不定积分求解方法毕业论文设计

不定积分求解方法一、引言不定积分是微积分中的重要概念之一，它是求解函数的原函数的过程。

在实际中，很多问题需要对函数进行积分，而不定积分方法可以帮助我们快速求解这些问题。

本文将介绍不定积分的定义、基本性质以及几种常见的不定积分求解方法。

二、不定积分的定义不定积分，又称原函数或积分函数，是求解函数的导数反函数的过程。

给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F’(x) = f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

记作F(x) = ∫f(x)dx。

在不定积分中，dx表示对x进行积分，∫表示积分符号，f(x)为被积函数，F(x)为原函数。

三、不定积分的基本性质不定积分具有以下几个基本性质：1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，k为常数，则有∫(kf(x)+g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

2.常数项积分为0：∫kdx = kx + C，其中C为常数。

3.积分的和差规则：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

4.乘法常数规则：∫kf(x)dx = k∫f(x)dx，其中k为常数。

5.递推性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，其中C为常数。

四、不定积分的求解方法1. 基本积分法基本积分法是通过基本积分公式表和积分运算的基本性质来求解不定积分的方法。

常用的基本积分公式有：•基本初等函数的积分公式：如幂函数、指数函数、对数函数等的积分公式。

•基本三角函数的积分公式：如正弦函数、余弦函数、正切函数等的积分公式。

使用基本积分公式和积分运算的基本性质，可以将复杂的积分转化为简单的积分，从而求解不定积分。

2. 分部积分法分部积分法是一种通过积分的乘法法则将不定积分转化为另一种形式的方法。

设有两个可导函数u(x)和v(x)，则有公式∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u’(x)dx。

毕业论文开题报告题目不定积分的求解办法与技巧学生姓名学号所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师20 14 年 3 月 10 日下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！你可以哭泣，但不要忘了奔跑2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。

彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。

去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。

消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字：好。

就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。

有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。

当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。

俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。

火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。

人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。

旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。

几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。

我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。

出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。

那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。

高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。

朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。

那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。

那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练求一元函数的不定积分的方法系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号： 2009031129学生姓名：陶莹成绩：2012年6月求一元函数不定积分的方法陶莹长沙学院 信息与计算科学系，湖南 长沙，410022摘要：本文给出反函数法、倒代换法、互余法、递推法和分解积分法五种求一元函数不定积分的方法技巧，并举例说明如何灵活运用．加以推广, 对于一些用一般方法去解较复杂的题目使用此方法可变的简单．关键字：不定积分，反函数法，倒代换法，互余法，递推法，分解积分法1综述求一元函数不定积分的方法是根据部分积分公式以及变量代换得出的一系列的求积分公式．在求解计算过程中，虽然某些类型的不定积分的求解，有固定的方法可用，但在计算时常常很繁杂，本文提供了反函数法、倒代换法、互余法、递推法和分解积分法五种求一元函数不定积分的方法技巧，并举例说明如何灵活运用．使用这些方法可使计算变的简单，并且起到化繁为简的作用．在利用反函数法求不定积分[1]中，根据原函数与反函数的关系，得出利用反函数法求不定积分的一系列积分公式．在不定积分的几种解法[2]中，倒代换法是根据函数本身的特点，利用倒数代换来求解函数的不定积分．互余法是利用三角函数互余性的关系来求解不定积分．递推法是利用数学计算中常用的递推关系来求解函数的不定积分．在求不定积分的一种新方法——分解积分法[3]中，分解积分法提供了一种解题的通用方法，在实际中分解积分法的求解思路，可用于任何求解题目中，具有广泛的推广性．2求解不定积分的方法 方法1 反函数法[1]定理1[1] 设函数)(x f y =的反函数)(1-y f x =存在且都可积，则有⎰⎰=dyy fx xf dx x f )( -)()(1-．证明 考虑分部积分公式⎰⎰=v d u uv udv -．（1） 令)(x f y u ==，)(1-y f x v ==，于是有dy du dx dv ==,． （2） 将（2）式代入（1）式，得⎰⎰=dyy fx xf dx x f )( -)()(1-．例1[1] 求不定积分⎰xdx c sin ar 解 由定理1得Cxx c x Cy x c x ydy x c x xdx c ++=++==⎰⎰2-1sin ar cos sin ar sin -sin ar sin ar定理2[1] 设函数)(x f y =的反函数)(1-y f x =存在且都可积，）（x G 是)(x g 的一个原函数且也可积，则有dyy fyx x f dx x x f k k ⎰⎰=))(G(k -))G(())g((-11-k ．证明 在分部积分公式⎰⎰=vdu uv udv -中，令)(x f u k = )(x G v =,则有dyy f yx x f dyy f x x f x f d x x x f x G d f dx x x f kkk kk k k⎰⎰⎰⎰⎰====))(G(k -))G(())(G(-))G(())(()G(-))G(( ))(((x)))g((1-1-k 1-例2[1] 求不定积分dx x x c 3)(2sin ar 2+⎰）（解 由定理2得Cx c x x x xc x x x c x x x c C y y y y y y y x x x c dyy y y x x x c dxx x c +++++=+++++=++=+⎰⎰sin ar -166-)2-(141sin ar -1)sin (ar 21-)3()sin (ar cos 6sin 6-2cos 412sin 2121-)3()sin (ar )3sin (sin 2-)3()sin (ar 3)(2sin ar 2222222222222）（定理3[1]设函数)(x f y =的反函数)(1-y f x =存在且都可积，)(x g 可导且)(x g n也可积，则有dy y fyn x x f n dx x x x f k k k ⎰⎰++++=))((g1k-)()g(11)()g ()g (1-1n 1-1n 'n ．证明 在分部积分公式⎰⎰=vdu uv udv -中，令)(x f u k = )(111x gn v n ++=,则有：dyy f y n x x f n dyx f g n x x f n x f d x g n x f n dx x x x f k k n kkn k k ⎰⎰⎰⎰++++++++=++=++=))((g1k -)()g(11))((11-)()g (11))(()(11-(x))g (11)()g ()g (1-1n 1-1n k1-11n 11n 'n例3[1] 求不定积分dxxx ⎰)1(-ln 52解 由定理3得Cxx xx xCeyex xdy yex x dx x yyy+++=+++==⎰⎰44244-4-244-4252321ln 81ln 4132181ln4142-)1(ln 41)x1(-ln定理4[1]设函数)(y x f =的反函数(y)1-f x =存在且都可积，则有⎰⎰=dyeyakx f adx x f afk xk kax(y)1-a 1--)e(1)(e．证明 在分部积分公式⎰⎰=vdu uv udv -中，令)(x f u k =，axe av 1=，则有⎰⎰⎰==dyeyak x f ax dfe ax f ax x f afk k kax k kax(y)1-axax1--)e(1)(1-)e(1)d (e例4 求不定积分dx x e x 221)(+⎰ 解 由定理4得Cee x ex C eyee x dy ye e x dx x exy y x y xx++++=+++=+=+⎰⎰x2x2221)-2(1)-(2221)-(22222411)(21-1)(214121-1)(21-1)(211)( 方法2 倒代换法[2]对⎰⎰⎰⎰±±2222222222,,-,-ax xdx ax x dx xa xdx xa x dx 等类型的不定积分,采用倒代换ta x =都能将积分化简并求值．例5[2] 求⎰+)(1d 24x x x解 令dttdx tx 21-,1==Cx c x xC t c t t dtt x t dt t x xdx++=++=++=+=+∴⎰⎰⎰1tanar -131-tan ar -31-]111)-[(-1-)(1232224-24方法3 互余法[2]定义[2]设βαβαβαπβαcsc sec ,cot tan ,cos sin 2====+，，则称三角函数的正弦于余弦，正切与余切，正割与余割间的这种性质称为三角函数的互余性．例6[2] 求⎰xdx x cos e解 根据三角函数的互余性，记⎰=xdxI xcos e 1，⎰=xdx I x sin e 2xdxe x e dexdx xxxxsin sin cosx cos e ⎰⎰⎰+==1x 21cos C x e I I +=-∴ (3)又⎰⎰⎰==xdx e x e xde xdx x x x x cos -sin sin sin e221sin C x e I I x +=+∴ (4)将(3)+(4)解得C cosx)(sin e 21cos e 1++==⎰x xdx I xx其中)(2121C C C +=．方法4 递推法[2]例7[2]⎰+=nn x adxI )(22（n 为自然数）解 Cax c axadx I +=+=⎰tan ar 1221当2≥n 时])(-)([1)-(211)(11)-(211)(1-)(1)(-11-221-2221-21-2221-222221)-(222222222n ⎰⎰⎰⎰⎰+++=++=++=++=n n n n n nn nx adxx a xn a I ax a xdn aI a dxx axax adxadx x a x x a a I经整理得2)()x 1)(-(21)-(23-21-2221-2≥++=n a n a xI n a n I n n nCax c aI +=tan ar 11方法5 分解积分法[3]定义[3]求不定积分 ⎰=dxx f X )(，若r r X X X X ααα+⋅⋅⋅++=2211． （5）其中，r),,21,(i ⋅⋅⋅=∈i α，i x 是某一函数的不定积分r),,21,(i ⋅⋅⋅=，称为辅助积分，且r X X X ⋅⋅⋅,,21满足：r rr r r r r r r bX X X b X X X b X X X =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++ααααααααα22112222212111212111 （6）其中：r),1,2,(i b r),1,2,j (i,i ⋅⋅⋅=∈⋅⋅⋅=∈R R ij α，且0≠ij α，则通过解线性方程组（6）便得到r X X X ⋅⋅⋅,,21，这样不定积分X 由（5）就可以求出，我们把该方法称为分解积分法．例8[3] 求不定积分dxxx x x ⎰++cos 3sin 2cos 2sin解 令 dxx x xX ⎰++=cos 3sin 2cos 2sinx ， dx xx X ⎰+=cos 3sin 2sinx 1， dxxx x X⎰+=cos 3sin2cos 2，那么1213cosx2sinx 3cosx 2sinx 32C x dx X X +=++=+⎰（7）221cos 3sin 2ln cos 3sin2sin 3-cos 223-C x x dx xx xx XX ++=+=+⎰ （8）(8)2(7)3⨯+⨯得21223cos 3sin 2ln 234)X(9C C x x x ++++=+整理得1323cos 3sin 2ln 132133212C C x x x X ++++=)8(3)7(2⨯-⨯得2113-2cos 3sin 2ln 3-29)X (4C C x x x ++=+整理得133-2cos 3sin 2ln 133-132211C C x x x X ++=所以 Cx x X X X X +++=+=c o s 3s i n 2ln 131138221其中13821C C C +=．3总结本文给出反函数法、倒代换法、互余法、递推法和分解积分法五种求一元函数不定积分的方法技巧，并举例说明如何灵活运用．加以推广, 对于一些用一般方法去解较复杂的题目使用此方法可变的简单，并且起到化繁为简的作用．在求解函数不定积分时，观察函数的特征采用正确的解题方法，可以快速准确的求解出函数的不定积分．参考文献[1] 高丽.利用反函数法求不定积分[J].河南：河南科学,2006,24(1):9-10． [2] 傅涌.不定积分的几种解法[J].宜春师专学报，2005,22(5):43-47． [3] 王震.求不定积分的一种新方法——分解积分法[J].枣庄师专学报，1999，10（3）：10-12．[4] 华东师范大学数学系.数学分析第三版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001：252-280．。

毕业论文开题报告题目不定积分的求解办法与技巧学生姓名学号所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师20 14 年 3 月 10 日下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！你可以哭泣，但不要忘了奔跑2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。

彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。

去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。

消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字：好。

就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。

有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。

当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。

俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。

火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。

人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。

旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。

几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。

我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。

出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。

那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。

高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。

朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。

那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。

那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。

- 1 -不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（2）班 蓝俊杰 【摘要】 本文简单介绍不定积分的性质，分析常见不定积分各种求解方法：直接积分法（公式法）、第一换元积分法、第二换元积分法（三角代换、倒代换、去根号法）、分部积分法，并且结合实例加以讨论分析，寻找快捷简便的解题方法。

【关键词】 不定积分 换元法 三角代换 倒代换 去根号法 分部积分法不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是学习定积分、广义积分、重积分、曲线积分及各种有关积分函数的基础，因此，掌握不定积分的计算是非常重要的，但是求不定积分没有固定的方法，要根据题型的特点采取不同的方法，同一道题会有不同的解法，是数学分析学习是的一个难点。

本文对不定积分的求解方法进行了总结。

一、不定积分的定义与性质定义1：设()f x ， x I ∈，若存在函数()F x ，使得对任意x I ∈均有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称()F x 为()f x 的一个原函数。

显然，若f(x)存在原函数，则它的原函数有无穷多个，不同的原函数只相差一个常数。

定义2：()f x 的全部原函数称为()f x 在区间I 上的不定积分，记为()()f x dx F x C =+⎰由[1]，若f(x)在区间I 上连续，则f(x)必定存在原函数。

2.不定积分的运算性质- 2 -[]1.()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰2.()();()()f x dx f x d x dx f x dx '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ 3.'()),()F x dx F x c dF x F x c =+=+⎰⎰（（）二、直接积分法（公式法）利用不定积分运算性质、代数公式、三角函数公式及基本公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法（另称公式法）本积分公式如下：10dx c =⎰（）．； 7kdx kx C =+⎰（）；112,11uu x dx x u u +=≠-+⎰（）； 8ln dx x C x=+⎰（）; 3sin cos xdx x c =-+⎰（）；9cos sin dx x c =+⎰（）； 214arctan 1dx x C x =++⎰（）；(10)arcsin ;x C =+ 215tan cos dx x C x =+⎰（）； 21(11)cot ;sin dx x C x=-+⎰ 6x x xe d e C =+⎰（）； 下面具体举例加以讨论：例：2.1.1求不定积分 32(4253)x x x dx -++⎰解：原式=34x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=43x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=.43225332x x x x c -+++注：计算多项式的不定积分时，可用不定积分运算性质［1］[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰进行计算。

浅谈无理函数不定积分的求解方法摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。

这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。

对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。

本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。

同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。

为无理函数不定积分的求解提供一种思路。

关键字：无理函数不定积分计算方法Abstract:We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider.This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems.key words:irrational function indefinite integral method1.无理函数不定积分的求解方法通常情况下，我们对无理函数不定积分的求解通常都会先对无理函数部分做前置处理工作。

学号14121401576Hunan Institute of Science and Technology本科毕业论文题目：关于不定积分解题思路的探讨作者何宇届别2017系别数学学院专业数学与应用数学指导教师罗德仁职称讲师完成时间2017年5月关于不定积分解题思路的探讨On the resolving idea of indefinite integral 专业:数学与应用数学作者:何宇指导老师:罗德仁湖南理工学院数学学院二○一七年五月岳阳摘要不定积分是求定积分的基础, 在一元微积分学中占有重要地位. 学好不定积分, 对于导数和微分学中其他相关知识的巩固很有帮助. 求解不定积分常用的方法主要有: 基本公式法, 换元积分法, 分部积分法, 有理函数的积分法. 如何快速找到解题的突破口, 灵活使用各类方法是关键.我们从被积函数的特点出发, 从易到难, 对不定积分进行多角度的观察和分析, 比较各类积分法, 发现和总结规律, 提高不定积分解题能力.关键词: 不定积分; 基本公式法; 换元积分法; 分部积分法; 有理函数的积分法AbstractIndefinite integral is the foundation of definite integral, i t occupies an important position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefinite integral is helping to derivative and other relevant knowledge. S everal methods of solving i ndefinite integral are f requently used, such as basic formula method, change the variable, integration by parts, primitives of rational functions. What matters is how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method.We observed and analysised the indefinite integral multi-angle, on the characteristics of integrand,from simple to difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem .Keywords:indefinite integral; basic formula method; change the variable; integration by parts;integration by parts primitives of rational functions目录摘要 (I)Abstract (II)0 引言 (1)1 原函数与不定积分 (1)1.1 原函数存在定理 (1)1.2 不定积分的定义 (2)2 不定积分的计算方法 (2)2.1 基本公式法 (2)2.1.1 不定积分线性运算法则 (2)2.1.2 基本积分公式及基本公式法 (3)2.2 第一换元积分法 (4)2.2.1 观察法和联合“凑”微分 (4)2.2.2 多次“凑”微分 (6)2.3 第二换元积分法 (6)2.3.1 根式代换法 (7)2.3.2 三角代换法 (7)2.3.3 倒代换法 (8)2.4 分部积分法 (9)2.4.1 幂三指两两相乘u,v的选取 (9)2.4.2 幂对反两两相乘u,v的选取 (10)2.5 有理函数的积分 (12)2.5.1 六个基本积分 (12)2.5.2 待定系数法 (13)参考文献 (15)0 引言不定积分与定积分构成一元函数积分学. 现实中许多问题, 如: 已知加速度求速度; 已知速度求路程等都与不定积分有关, 这些求导的逆运算便是不定积分的求解. 首先第1章第1节我们利用变上限积分的定义和积分第一中值定理, 证明原函数的存在定理, 1.2节给出了不定积分的定义并总结了不定积分和原函数之间的关系. 第2章在给出不定积分各类解题方法的基础上, 就解题思路和方法的选取技巧作进一步探讨.1 原函数与不定积分1.1 原函数存在定理定义1.1 设函数()F x 与()f x 区间I 上都有定义.若()(),,F x f x x I '=∈ (1.1) 则称()F x 为()f x 在I 区间上的一个原函数.定义1.2 设()f x 在[],a b 上可积, 由可积的充要条件可知, 对任意的[],,x a b ∈()f x 在[],a x 上也可积, 定义变上限积分()()(),xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰[],.x a b ∈ (1.2) 定理1.1 若()f x 在[],a b 上连续, 则由上式（1.1）所定义的函数在[],a b 上处处可导,有()()(),xa d x f t dt f x dx 'Φ==⎰[],.x a b ∈ (1.3) 证 对任一确定的[],,x a b ∈当0x x +∆≠且[],x x a b +∆∈时, 由上式和积分第一中值, 存在θ使得1()(),x xx f t dt f x x x x θθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰0 1.θ≤≤ (1.4) 因()f x 在x 处连续, 故有0()lim lim ()(x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆ (1.5)由x 的任意性, 知()x Φ是()f x 在[],a b 上的原函数.1.2 不定积分的定义定义1.3 函数()f x 在区间I 上的全体原函数称为()f x 在区间I 上的不定积分，记作(),f x dx ⎰(1.6)其中称⎰为积分号, ()f x 为被积函数, ()f x dx 为被积表达式, x 为积分变量, (1.6)在使用时要看成一个整体.由定义3可知，不定积分和原函数是个体和总体的关系, 即如果()F x 为()f x 的一个原函数那么()f x 的不定积分是一个函数族{()},F x C +其中C 为任意常数, 记作()().f x dx F x C =+⎰ (1.7)不难发现,[]()=()(),f x dx F x C f x ''⎡⎤+=⎣⎦⎰(1.8)[]()()().d f x dx d F x C f x dx =+=⎰(1.9)显然, “存在原函数” 和 “存在不定积分” 说法是一样的.2 不定积分的计算方法2.1 基本公式法2.1.1 不定积分线性运算法则我们平时做题都会发现, 求导相对求原函数要简单很多. 因为导数的定义具有构造性, 而原函数的定义只告诉我们, 它的导数恰好等于某个已知的函数, 并没有给出由已知函数求原函数的具体形式和途径.下面先讲述怎样由导数线性运算法则来求不定积分的线性运算法则:定理 2.1 函数()f x 和()g x 在区间I 上都存在原函数, 12,c c 为任意常数，则12()()c f x c g x +在I 上也存在原函数, 且当12,c c 不同为零时, 有[]1212()()()().c f x c g x dx c f x dx c g x dx +=+⎰⎰⎰ (2.1)证 由导数的基本性质可知121212()()()()()().c f x dx c g x dx c f x dx c g x dx c f x c g x '''⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰2.1.2 基本积分公式及基本公式法上表便是常用的积分公式. 如果遇到被积函数和公式里的一样, 便可以直接利用公式; 但很多时候我们遇到的被积函数有所变化, 这时我们要将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算.我们将这种方法称为积分基本公式. 例1求. 分析: 被积函数显然是一个幂函数, 通过化简便能利用积分公式直接求解.解54x dx -=⎰514514xC -+-+=+144x C -=-+C =.例2求dx ⎰. 分析: 被积函数是两个带根号的分式, 并且两个分母不同, 但我们观察可以发现(1)(1)x x -+的乘积恰好是21x -, 这不正好是我们积分公式里的形式吗? 因此可将分子分母同乘一个数再化简求解.解 dx ⎰dx =⎰=⎰=2arcsin x C =+.求解不定积分的基本思路是: 先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算, 然后应用不定积分的基本积分公式和线性运算法则来求解.2.2 第一换元积分法定理2.2 设()(),()f u du F u C u x ϕ=+=⎰是可微函数, 则(())()(()).f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰ (2.2)上面求不定积分的方法称之为第一换元法, 也叫 “凑” 微分法.运用公式(2.2), 关键在于寻找合适的()x ϕ, 使()x ϕ'与dx 凑微分, 然后进行换元, 故这种方法又称为 “凑” 微分法.使用第一换元法的基本步骤是:()g x dx ⎰观察(())()f x x dx ϕϕ'⎰凑微分(())()f x d x ϕϕ⎰()x uϕ=令()f u du ⎰积分()F u C + ()u x ϕ=代回(()).F x C ϕ+ 2.2.1 观察法和联合“凑”微分有的被积函数通过观察便能很快 “凑” 出来, 比如以下的这种:例3(ln )(ln )(ln )f x dx f x d x x=⎰⎰; (cos )sin (cos )(cos )f x xdx f x d x =-⎰⎰; 2(cot )csc (cot )(cot )f x xdx f x d x =-⎰⎰;(csc )csc cot (csc )(csc )f x x xdx f x d x =-⎰⎰.第一个式子中的1x 能 “凑” 成ln||x 的微分, 即1(ln||)(ln||)x d x x'==. 中间变量ln x 便是(2.2)中的()x ϕ.其余式子与此类似. 而有的被积函数则比较复杂, 再看一个例题:例4 求21ln (ln )x dx x x +⎰.分析: 初看来无法下手, 但通过观察和推敲可以发现, 对分母中ln x x 进行求导, 有(ln )1ln x x x '=+. 故需将ln x x 与dx 凑微分, 称为联合凑微分法.解 由(ln )1ln x x x '=+, 则21ln (ln )xdx x x +⎰2ln (ln )dx x x x =⎰1ln C x x =-+. 我们再看一个例子: 例5 求3cos 2.(sin cos )xdx x x +⎰分析: 被积函数中分母为一个和式的高次幂, 和式应当成一个整体, 再看分子, 可以转化为与和式相关的式子.解 cos2(sin cos )x dx x x +⎰223cos sin (sin cos )x x dx x x -=+⎰ 2232cos sin (sin cos )(sin cos )(sin cos )1.sin cos x xdx x x d x x dx x x C x x-=++=+=-++⎰⎰2.2.2 多次“凑”微分有时候我们不能很快的就凑出微分, 这时需用到多次凑微分, 如例6. 例6 求.(12ln )dxx x +⎰分析: 被积函数中含有多个复合函数, 我们可以利用基本积分表中的积分公式，作多步的凑微分.解(13ln )dx x x +⎰(ln )13ln d x x =+⎰1(3ln )=313ln 1(13ln )=313ln 1ln |13ln |.3d x x d x x x C +++=++⎰⎰有的时候我们要多次同时凑微分, 这需要我们对导数公式特别熟悉.用凑微分法求解不定积分时, 首先要认真观察被积函数, 当被积函数为复合函数时, 首先考虑这种方法, 为复合函数的中间变量“凑微分”. 当看不清被积函数的特点时, 不妨从被积函数中拿出部分算式来求导尝试, 或许从中可以得到某些启发.2.3 第二换元积分法当被积函数是复合函数, 还是有很大一部分中间变量的微分不好用第一换元法 “凑” 出来, 这时我们可能用到第二换元积分法.定理2.3 设()x t ψ=是单调可导函数, 且()0,t ψ'≠ []()()f t t dt ψψ'⎰具有原函数, 则有[]1()()()()|t x f x dx f t t dt ψψψ-='=⎰⎰.(2.3)其中1()t x ψ-=是()x t ψ=的反函数.用好第二换元积分法, 关键在于找到合适的换元()x t ψ=使积分变得简单, 但在换元过程中要注意()x t ψ=需存在反函数且可导, 故需要()x t ψ=的可导性和单调性.使用第二换元积分法的基本步骤是:()f x dx ⎰()x t ψ=令(())()f t d t ψψ⎰微分(())()f t t dt ψψ'⎰积分()F t C +1()t x ψ-=代回1(()).F x C ψ-+下面我们通过例题先介绍根式代换. 2.3.1 根式代换法 例 7求⎰分析: 被积函数含有无理根式, 不管是基本公式法还是第一换元法, 都不好求解, 这时第二换元法恰到好处地解决了这个问题: 将无理根式看成一个整体进行根式代换. 解3, 2.t x t ==-⎰231t dt t =+⎰ 211311t dt dt tt ⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 23ln |1|2t t t C ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭3ln |1C ⎫⎪=++⎪⎝⎭. 由此可见, 当我们遇到被积函数为无理根式的时候, 可以优先考虑根式代换法. 下面再讲讲三角代换.2.3.2 三角代换法 例8求 分析:被积函数中让人联想到三角函数让人联想到三角函数, 在一个直角三角形中,a 为斜边, x 为一直角边, 如右下图1.解 sin ,x a t =令则arcsin .xt a ==dt =⎰ t C =+ arcsinxC a=+., 考虑换元令sin x a t =;, 考虑换元令tan x a t =;, 考虑换元令sec x a t =. 碰到这些形式的, 都可以使用三角代换法. 2.3.3 倒代换法 例9 求2018.(1)dx x x+⎰分析:被积函数中分母的幂函数次数很高, 能否找个中间变量使分母变成分子, 简化计算呢? 我们会想到以前的倒数!解 令1,x t =则21,dx dt t=-2018(1)dxx x+⎰220181111t dtt t -=⎛⎫⎪+⎝⎭⎰201720181t dtt =-+⎰201820182018201811(1)201811ln(1)201811ln(1).2018d t tt CC x =-++=-++=-++⎰不难发现, 当被积函数中分母的次数较高时, 我们考虑倒代换. 用第二换元积分法解题, 根式代换, 三角代换, 倒代换是常用手段.两类换元积分法的联系:基本方法都是换元, 进行的都是求微分的核心运算. 两类换元积分法的区别:(1)第一换元法是将x 看成自变量, 第二换元法是将t 看当成中间变量; (2)第一换元法先微分后换元, 第二换元法是先换元再微分;2.4 分部积分法设函数()u u x =和()v v x =都具有连续的导数, 则有分部积分公式:uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或 udv uv vdu =-⎰⎰. (2.4)其原理是函数四则运算的求导法则的逆用.当被积函数是指数函数, 三角函数, 幂函数, 对数函数或者反函数中任意两个的乘积时, 常考虑用分部积分法. 关键在于找好v ', 把它凑成dv , 用两个因式乘积减去vdu 的积分.那么, 在选取,u v 时, 应该注意哪些问题呢? 下面通过例题来探讨一下.2.4.1 幂三指两两相乘,u v 的选取 例10 求sin x xdx ⎰.解 (方法一) 将sin x 看成v ', 则sin =x xdx ⎰cos xd x -⎰cos cos x x xdx=-+⎰cos sin .x x x C =-++ (方法二) 将x 看成v ', 则sin =x xdx ⎰2sin 2x xd⎰22=sin cos 22x x x xdx -⎰,到这一步的时候我们发现比原题更难, 因此题中,u v 的选取是有技巧的.当被积函数是三角函数与幂函数的乘积时, 把三角函数看成v '是有利于计算的.下面继续探讨一种类型:例11 求2x x e dx -⎰.分析：被积函数是指数函数和幂函数的乘积, 发现u 选2x , 其余部分凑微分形成v , 这样在使用分部积分公式后可以对幂函数进行降幂. 这里我们还要用到多次分部积分. 解 2x x e dx -⎰2()x x d e -=-⎰ 22x x x e xe dx --=-+⎰ 222x x x x e xe e dx ---=-+⎰ 2(22)x x x e C -=--++.如果u 选xe -, 原式222()222xx x x x x e d e e dx ---==+⎰, 新积分22xx e dx -⎰不比原积分2x x e dx-⎰简单, 因此将幂函数看成u , 指数函数看成v '. 同理, 当被积函数是指数函数与三角函数的乘积时, 将指数函数看成v ', 这里还用到循环分部积分法.例12 求cos .x e xdx ⎰解 cos x e xdx ⎰=(sin )x e d x ⎰sin sin ()x x e x xd e =-⎰sin (cos )sin cos cos ()sin cos cos .x x x x x x x x e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx =+=+-=+-⎰⎰⎰由于2cos (sin cos )2,x xe xdx e x x C =++⎰所以1cos (sin cos ).2xx e xdx e x x C =++⎰通过例题我们发现, 当被积函数是三角函数和指数函数的乘积时, 要分部积分两次.2.4.2 幂对反两两相乘,u v 的选取 例13 求2ln(1)x x dx -⎰.分析: 类似上面例题的思路, 发现选ln(1)x -为u 更好.解 32ln(1)ln(1)3x x x dx x d-=-⎰⎰331ln(1)331x x x dx x =--⋅-⎰3211ln(1)(1)331x x x x dxx =--+++-⎰ 32311ln(1)(1)().3332x x x x x C =---+++当被积函数是幂函数与对数函数的乘积时, 将对数函数看成u , 幂函数看成v '无疑是更利于计算的. 下面再看下幂函数与反三角函数的例子, 这里我们还得对式子作适当的变形. 例14求3.解 令arccos t x =, 则cos ,x t = sin ,dx tdt =- 有33cos (sin )sin tt t dt t=-⎰3cos t tdt =-⎰ 2(sin 1)sin t t d t =-⎰31(sin sin )3td t t dt =-⎰3211sin sin (sin 1)cos 33t t t t t d t =-+-⎰33121sin sin cos cos 339t t t t t t C =---+3121(933x x x x C =---++.当被积函数是幂函数与反三角函数的乘积时, 将幂函数看成v '. 同理, 若是对数函数与反三角函数的乘积, 将对数函数看成v '.综上所述, 分部积分法在选取,u v 时, 有一定的选取技巧, 这样使运算更为方便: （1）根据v '容易求出v ;（2）新积分vdu ⎰比udv ⎰容易求.一般的, 积分从反函数到指数函数会越来越简单. 被积函数中是 “反对幂三指” 5类函数的2种, 根据“反对幂三指” 先后顺序, 前者为u 后者为v '. 如被积函数是三角函数与对数函数的乘积时, 把三角函数看成v ', 即v '的选取顺序为指数函数, 三角函数, 幂函数, 对数函数, 反函数.2.5 有理函数的积分我们把形如10111011()()n n n n m m m m a x a x a x a P x Q x b x b x b x a ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ (2.5) 称为有理函数. 其中012,,,n a a a a ⋅⋅⋅及012,,,m b b b b ⋅⋅⋅为常数, 且000,0.a b ≠≠()P x 的次数n 小于()Q x 的次数m , 称分式为真分式; ()P x 的次数n 大于()Q x 的次数m , 称分式为假分式.2.5.1 六个基本积分我们把被积函数分成基本类型的几个函数进行积分时, 总是假定它们可分成若干基本分式. 理论上任意一个有理真分式函数的积分, 都可以拆分成6个类型的基本积分的代数和:(1)ln ||;dxx k C x k =+++⎰(2)11(2);()(1)()m m dx C k x k k x k -=+≥+-+⎰(3)221arctan ;dx xC x k k k =++⎰(4)22221ln();2xdx x k C x k =+++⎰ (5)222211;()2(1)()m m xdx C x k n x k -=++-+⎰ (6)22()m dxx k +⎰(2)m ≥可由递推法求得.例15 简单的有理真分式拆分, 如23311(1)1x dx dx x x x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰31ln ||ln |1|2x x C =-++.有的时候, 被积函数不能很快地拆分成几个基本分式, 下面介绍一种好用的方法. 2.5.2 待定系数法(1) 被积函数拆成多个分式后, 如分母中含有因式()t x c -时, 部分分式形式中对应项应该是这样:122.()()ttK K K x c x c x c ++⋅⋅⋅+--- (2) 如分母中含有因式22()(40)m x rx s r s ++-<时, 分式形式中对应项应是这样:11222222.()()m m mM x N M x N M x N x rx s x rx s x rx s +++++⋅⋅⋅+++++++例16 求2132x dx x x +-+⎰. 解 被积函数的分母分解成(2)x -(1)x -, 故可设213212x A Bx x x x +=+-+--, 其中,A B 为待定系数. 上式两端去分母后, 得1(2)(1)x A x B x +=-+- ()2A B A B =+--,比较两端同次幂的系数, 有121A B A B +=⎧⎨+=-⎩， 解得2, 3.A B =-= 因此,21323221x dx dx x x x x +⎛⎫=- ⎪-+--⎝⎭⎰⎰ 3ln |2|2ln |1|.x x C =---+致谢本文是在罗德仁博士的指导和帮助下完成的, 他细心的教导令我受益匪浅, 无微不至的关怀更是让我平添许多信心. 在此对罗老师表示衷心的感谢!参考文献[1]数学分析(第4版)[M]. 高等教育出版社,2011.[2]王晓康. 浅谈不定积分的第一换元积分法[J]. 科技资讯,2008,(07):194.[3]曾亮. 第二换元法求解某类积分的探讨[J]. 中国科技信息,2008,(11):263-264.[4]杨艳华. 两类“换元积分法”的联系与区别[J]. 科教文汇(上旬刊),2013,(12):47+49.[5]汤茂林. 分部积分法在二重积分中的巧用[J]. 高等数学研究,2007,(02):52-53.[6]包树新,展丙军. 第二类分部积分法及其应用[J]. 高师理科学刊,2010,(01):39.[7]李鸿儒. 不定积分中的拆项积分法[J]. 数学学习,1994,(04):10-12.[8]王伟珠.有理函数的不定积分的求解技巧[J].中国商界(上半月),2010,(11):327-328.[9]崔连香.整体思想求解不定积分[J].硅谷,2011,(03):191.[10]王耀卫.浅谈求解不定积分的几个原则[J].赤峰学院学报(自然科学版),2009,(11):11-12.[11] Wright K. 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不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。

【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。

不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。

下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。

二、不定积分的概念定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()RF∈xCC+称为函数f(x)的不∀定积分，表为⎰+=C x F dxx f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）,其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。

在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。

列如：at at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，而⎰+=C at atdt 221； ()x x cos sin '=,而⎰+=C x xdx sin cos ；2'331x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，而⎰+=C x dx x 3231. 这也就是说：()⎰)(dx f dx和⎰dx x f )('是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。