二 分类讨论的思想方法 【例 2】 函数 f(x)的定义域为[0,1]，且 f(0)＝f(1)，当 x1、x2 ∈[0,1]，x1≠x2 时都有|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|，求证：|f(x2)－f(x1)|<12.
【证明】 不妨设 0≤x1<x2≤1，以下分两种情形讨论． ①若 x2－x1≤12，则|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤12， ∴|f(x2)－f(x1)|<12. ②若 x2－x1>12，∵f(0)＝f(1)， ∴|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|
(3)各种类型绝对值不等式的解法． ①|x|<a(a>0)⇔－a<x<a. ②|x|>a(a>0)⇔x>a 或 x<－a. ③|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c. ④|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. ⑤|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 有三种方法选择：
熟悉以上三个基本不等式及它的变形应用，如 a＋b≥2 ab， abc≤a＋3b＋c3.在应用等号求最值时，要满足“一正、二定、三相 等”的条件，否则等号不一定成立．
还有由基本不等式推出的常用不等式： a2＋b2≥2|ab|≥2ab；(a＋b)2≥4ab； a2＋b2≥12(a＋b)2；a2＋2 b2≥a＋2 b2； ba＋ab≥2(ab>0)；ba＋ab≤－2(ab<0)．
【解】 (1)∵a＝1，∴lg(|x＋5|＋|x－5|)<1＝lg10.∴|x＋5|＋|x －5|<10.
由实数绝对值的几何意义知，不等式的解就是数轴上表示到－ 5 与 5 两点距离之和小于 10 个单位的点的集合．如图所示．
设 x 对应点为 C，当 C 在线段 AB 上时，|AC|＋|BC|＝10，当点 C 在线段 AB 的外端时|AC|＋|BC|>10，因此，适合题意的点 C 不存 在，即当 a＝1 时，不等式无解，故原不等式无解．
y2＝c.在同一直角坐标系中分别作出它们的图象，利用图象写 出原不等式的解集．(此法求参数的范围非常优越)
(Ⅲ)几何法：它是利用绝对值的几何意义，在数轴上直接找出 不等式的解．它仅适用于非常简单的情况.
专题探究
一 数形结合的思想 【例 1】 设关于 x 的不等式 lg(|x＋5|＋|x－5|)<a. (1)当 a＝1 时，解这个不等式； (2)当 a 为何值时，这个不等式的解集为∅.
b(n∈N，n≥2)．
通过语言叙述可以加深对性质的理解，以下几条性质也经常会 用到：
(7)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (8)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (9)ab>0，a>b⇒1a<1b. (10)a>b，c<d⇒a－c>b－d. (11)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc.
2．基本不等式 (1)a，b∈R⇒a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)． (2)a>0，b>0⇒a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)． (3)a>0，b>0，c>0⇒a＋3b＋c≥3 abc(当且仅当 a＝b＝c 时，等 号成立)．
第一讲 不等式和绝对值不等式 复习课件
知识总结
1．不等式的基本性质 (1)a>b⇔b<a. (2)a>b，b>c⇒a>c. (3)a>b⇔a＋c>b＋c.
(4)a>b，c>0⇒ac>bc. a>b，c<0⇒ac<bc. (5)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
(6)a>b>0⇒n
n a>
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 当 a，b 表示向量时，有明显的几何意义，三角形任两边之和 大于第三边，任两边之差小于第三边．
4．绝对值不等式的解法 绝对值不等式都要转化为一元一次不等式组或一元二次不等 式来解．其转化的常用方法(也就是化去绝对值符号的方法)有： (1)由实数绝对值的意义，即|a|＝a－，aa，≥a0<，0. (2)不等式两边平方(平方前不等式两边非负)．
(Ⅰ)分区间讨论法：它虽然麻烦一些，但具有普遍性．如：|x －a|＋|x－b|≤c(c>0)．不妨设 a<b，可将原不等式转化为三个不等 式组xa≤－ax，＋b－x≤c；
或ax－<xa<＋b，b－x≤c； xx≥－ba，＋x－b≤c. 原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集．
(Ⅱ)图象法：以|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)为例，不妨设 a<b，令
≤|f(x2)－f(1)|＋|f(x1)－f(0)|<|x2－1|＋|x1－0| ＝1－x2＋x1 ＝1－(x2－x1)<1－12＝12. 综上所述，|f(x2)－f(x1)|<12.
规律技巧 对于绝对值符号内的式子，采用加、减某个式子后， 重新组合，运用绝对值不等式的性质放缩，是证明绝对值不等式常 用技巧.
(2)令 y＝|x＋5|＋|x－5|＝－ 102x－x5≤<x－<55，， 2x x≥5.
作出函数的图象．
由图象知，当 a≤1 时，|x＋5|＋|x－5|<10 无解， 故 lg(|x＋5|＋|x－5|)<a 无解，∴当 a≤1 时，lg(|x＋5|＋|x－5|)<a 的解集为空集．
规律技巧 把对数不等式转化为绝对值不等式，利用图象法顺 利解出.
三 转化与化归的思想 【 例 3 】 若 二 次 函 数 f(x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 且 1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求 f(3)的取值范围．
【解】 方法一：设 f(x)＝ax2＋c(a≠0)， 则由题意可得ff12＝＝a4＋a＋c，c 解得ac＝＝4ff21－3－3ff12， ∴f(3)＝9a＋c＝3f(2)－3f(1)＋4f1－3 f2＝8f2－3 5f1.
3．绝对值三角不等式 (1)a，b∈R，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． (2)a，b，c∈R，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0 时，等号成立． 应用公式时，正用、逆用、还是变形用都要正确无误，还要注 意等号成立的条件，完整的绝对值三角不等式：
