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正弦定理、余弦定理

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学 科数学 版 本 人教版大开本、3+x 期 数 2339 年 级高一 编稿老师 梁文莉 审稿教师【同步教育信息】一. 本周教学内容：§5.9正弦定理、余弦定理目标：使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程，初步运用它们解斜三角形。

并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。

培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力，渗透数形结合思想、分类思想、化归思想，以及从特殊到一般、类比等方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

二. 重点、难点：重点：正弦定理、余弦定理的推导及运用。

难点：（1）正弦定理、余弦定理的推导过程；（2）应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。

［学法指导］学习本节知识时可采用向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理，以加深对定理的理解和记忆，由于已知两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，此时三角形可能出现两解、一解、无解三种情况，因此解此类三角形时，要注意讨论。

深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。

注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量。

当有一个角为90°时，即为勾股定理。

因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

一般地，利用公式a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC （R 为ΔABC 外接圆半径），可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π。

利用，，cos cos cos A b c a bc B a c b ac C a b c ab=+-=+-=+-222222222222 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题。

在三角形中，有一个角的余弦值为负值，该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零，便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值，便是锐角三角形。

【例题分析】例1. 在中，已知，，，解三角形并判断三角形的形状。

∆A BC B b c =︒==30503150 分析：已知两边及一边对角，可用正弦定理先求出c 边的对角C ，再用内角和定理求出角A ，然后用正弦定理求出边a 。

至于三角形的形状，用角或边均可判断。

解：由正弦定理，得c C b Bsin sin = s i n s i n s i n C c b B ==︒=1505033032∴=︒︒C 60120或从而或A A =︒-︒+︒=︒=︒-︒+︒=︒1806030901801203030()()由正弦定理，得c C a Asin sin = a A Cc =⋅s i n s i n 当时，A a =︒=⋅=901321501003 当时，A a =︒=⋅=301232150503 由边（角）的关系易知∆A B C是直角三角形或等腰三角形。

说明：（1）三角形的形状既可按角分类，又可按边分类，因而判断三角形的形状，既可依角判断，又可依边判断。

（2）正弦定理实际上包含三个等式：a Ab B b Bc C c C a As i n s i n s i n s i n s i n s i n ===，， 每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：已知两角和任一边，求其他两边和一角。

（此时三角形的形状是确定的，故有唯一解）；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角（此时不能唯一确定三角形的形状，故要注意解的情况）。

例2. 在中，已知，且，，，求、的长。

∆ABC A B C A C b a c a c >>==+=248分析：先利用正弦定理及A ＝2C 可用a 、c 的代数式表示cosC ，再利用余弦定理用a 、c 的代数式表示cosC ，即可建立a 、c 的等量关系式，又a ＋c ＝8，解方程组即得a 、c 。

解： a A c CA C s i n s i n ==，且2 ∴=a C c Cs i n s i n 2 即a C C c C2s i n c o s s i n ⋅= ∴=c o s C a c2 又且 cosC a b c abb =+-=22224 ∴=-+c o s C a c a22168 ∴=-+a c a c a2168122() 又 a c +=8∴=-a c 81代入式并整理得()∴==c c 121654， 当时，c a ==-=1658165245当时，c a ==-=4844（，，该组解不合题意，舍去） A C a c =∴≠∴2综上可知，，a c ==245165说明：合理利用正、余弦定理及角的关系，寻求边的恒等关系，运用方程的思想是处理此类问题的关键。

例3. 根据下列所给条件，判断ΔABC 的形状。

（）（）（）1232222a A b Ba Ab Bc C a b A B a b A B c o s c o s c o s c o s c o s ()s i n ()()s i n ()===+-=-+分析：将所给等式中的角换算成边或将边全部转化为角进行判断。

解：（1）方法一：a Ab Bc o s c o s =∴⋅+-=⋅+-a b c a bc b a c b ac22222222 ∴-+-=a a c b c b 4222240即()()a b c a b 222220---=∴-=--=a b c a b 2222200或∴==+a b c a b 或222∴∆A B C是等腰三角形或直角三角形 方法二：设（显然），则a A b B c Ck k sin sin sin ===≠0 a k A b k B c k C ===s i ns i n s i n ，， a A b B c o s c o s =∴⋅⋅=⋅⋅k A A k B B s i n c o s s i n c o s∴=s i n s i n 22A B∴==-2222A B A B 或π∴=+=A B A B 或π2∴∆A B C为等腰三角形或直角三角形 （2）方法一：c o s c o s c o s A c b a bc B a c b ac C a b c ab=+-=+-=+-222222222222，， 又a A b B c Cc o s c o s c o s == ∴+-=+-=+-222222222222a b c c b a a b c a c b a b c a b c∴+-=+-=+-c b a a c b a b c 222222222即c b a a c b a c b a b c c b a a b c222222222222222222+-=+-+-=+-+-=+-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴==a b c∴∆A B C是等边三角形 方法二：设（显然），则a A b B c Ck k sin sin sin ===≠0 a k A b k B c k C ===s i ns i n s i n ，， a A b B c C c o s c o s c o s== ∴⋅=⋅=⋅k A A k B B k C C s i n c o s s i n c o s s i n c o s∴==t a n t a n t a n A B CA B C A B C 、、，，∈∴==()0π∴∆A B C为等边三角形 （3）方法一：()s i n ()()s i n ()a b AB a b A B 2222+-=-+ 整理得b A B A B a A B A B 22[sin()sin()][sin()sin()]-++=+--即b A B a B A 22221⋅⋅=⋅⋅s i nc o s s i n c o s ()即b a A B B A 2212⋅⋅=s i n s i ncos cos () a A b B A B a bs i n s i n s i n s i n =∴=， ∴⋅⋅+-+-=()222122222222式等价于b a a b a c b ac b c a bc即a b c a c b 4222240-+-= 即()()a b c a b 222220---=∴-=--=a b c a b 2222200或∴==+a b c a b 或222∴∆A B C是等腰三角形或直角三角形 方法二：设（显然），则a A b B c Ck k sin sin sin ===≠0 a k A b k B c k C ===s i ns i n s i n ，， 代入式得：()1k B A B k A B A 222222s i ns i n c o s s i n s i n c o s ⋅⋅=⋅⋅ s i ns i n A B k >>>0002，， ∴⋅=⋅22s i n c o s s i n c o s B B A A∴=s i n s i n 22B AA B B A B 、，，或∈∴=+=()02222ππA∴=+=A B A B 或π2∴∆A B C为等腰三角形或直角三角形 说明：（1）已知某条件，要判断三角形形状，一般将条件转换成只含边或只含角的式子。

（2）由于三角形各边和它所对角的正弦比相等，故可设比值为一个值k ，这时可使解题过程简化。

实际上，这一比值为三角形的外接圆直径2R ，即a Ab Bc CR s i n s i n s i n ===2 故正弦定理的形式也可写为：a R Ab R Bc R C ===222s i ns i n s i n ，， 它在解决某些问题时可使解题过程简单化。

例4. 已知圆O 的半径为R ，它的内接三角形ABC 中，2222R A C a b B BC S (sin sin )()sin -=-成立，求面积的最大值。

∆A分析：观察已知等式的结构特征可知，先用正弦定理将角转化为边，再用余弦定理求cosC ，得出角C 后，利用正弦定理，将面积S 表示为某角的三角函数形式，再求最值。

解： 2222R A C a b B (sin sin )()sin -=-∴-=-()s i n ()s i n ()s i n 22222222R A R C a b R B由正弦定理得a c a b b 222-=-()即a b c ab 2222+-=由余弦定理得cosC a b c ab ab ab =+-==2222222204<<∴=C C ππ， ∴==S ab C ab 1224sin =⋅⋅⋅2442R A B s i n s i n =--+222R A B A B [c o s ()c o s ()] =--22342R A B [c o s ()cos ]π =-+22222R A B [c o s ()] ∴=+当时，有最大值A B S R 2122 说明：（）本题由，联想余弦定理求出是解题的关键。

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正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理正弦定理是什么正弦定理是三角学中的一个基本定理，它定义了在任意三角形中，角A、B、C所对的边长a、b、c与它们的正弦值之比相等，都等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2r=D(r为外接圆半径，D为直径)。

这个定理也可以表达为在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。

正弦定理的应用非常广泛，在解决三角形问题时非常有用。

例如，可以用正弦定理来求解三角形的边长或角的大小，或者判断一个三角形是否可能存在等。

余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

余弦定理中角条件是唯一的，所以角的对边在等式左边，两邻边及角的余弦在等式右边。

等式右边除夹角余弦值外的部分，可以看作是差的完全平方公式，可以辅助我们记忆。

正弦定理的证明方法方法1、直接过三角形一顶点如C作对边AB的垂线(设垂线长为h),则sinA=h/b,sinB=h/a,所以，sinA/a=sinB/b，同理可得sinC/c=sinB/b,因此a/sinA=b/sinB=c/sinC。

方法2、利用三角形面积公式：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB,整理即得：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

方法3：作三角形的外接圆，过B作边BC的垂线交圆于D，连接CD,因圆周角为直角，则CD长为直径(不妨直径长度设为d)。

因圆周角相等，即角D=角A，所以sinA=sinD=BC/CD=a/d,同理可证sinB=b/d,sinC=c/d.所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。

方法4.还有一种向量的方法，在旧版课本上。

正弦定理证明具体步骤步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到 a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

正弦定理和余弦定理公式

正弦定理和余弦定理公式

正弦定理和余弦定理公式正弦定理是指在一个三角形ABC中，三角形的任意一个角a、b、c的正弦与相对应的边的比例相等，即：sin(a)/a = sin(b)/b = sin(c)/c其中a、b、c分别表示三角形的三个边长，A、B、C分别表示对应的角度。

根据正弦定理公式，我们可以推导出以下两个关系式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)A = arcsin(a/b*sin(B)) = arcsin(a/c*sin(C))B = arcsin(b/a*sin(A)) = arcsin(b/c*sin(C))C = arcsin(c/a*sin(A)) = arcsin(c/b*sin(B))这些关系式可以帮助我们在已知三角形的两个角度和一个边长的情况下，求解出其他未知的边长和角度。

正弦定理的应用：-在解决三角形边长和角度的问题时，特别是当已知一个角度和两个边长时，可以利用正弦定理来求解其他未知量。

-在几何学中，可以利用正弦定理来计算两个不相邻边的夹角。

余弦定理是用来计算一个三角形的任意一个角的余弦值的平方与其余两边长度的关系。

在一个三角形ABC中，余弦定理可以表达如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)其中a、b、c分别表示三角形的三个边长，A、B、C分别表示对应的角度。

根据余弦定理公式，我们可以推导出以下两个关系式：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bccos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2accos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab这些关系式可以帮助我们在已知三角形的三个边长的情况下，求解出三个角度的余弦值。

余弦定理的应用：-在解决三角形边长和角度的问题时，特别是当已知三个边长时，可以利用余弦定理来求解其他未知量。

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则有正弦定理和余弦定理：正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA；b^2 = c^2 + a^2 - 2cacosB；c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC可以通过变形得到以下公式：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc；cosB = (c^2 + a^2 - b^2) / 2ac；cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab同时还有以下关系：a = 2RsinA；b = 2RsinB；c = 2RsinCa:b:c =asinB = bsinA；bsinC = csinB；asinC = csinAABC的面积S = absinC = bcsinA = acsinB = r其中r为三角形内切圆半径，可以通过S = (a + b + c)r得到。

选择题：1.在△ABC中，已知a = 2，b = 6，A = 45°，则满足条件的三角形有2个。

2.在△ABC中，A = 60°，AB = 2，且△ABC的面积为3，则BC的长为3.3.已知在△ABC中，a = x，b = 2，B = 45°，若三角形有两解，则x的取值范围是2＜x＜22.4.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是(8,10)。

注：原文中存在格式错误，已经进行修正。

整理得2c=b+bc，因为c≠0，所以等式两边同时除以c，得到2=c+b，解得c=2/(b+1)。

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且△ABC的面积为315，b-c=2，cosA=1/4，求a的值。

解析：由cosA=1/4，得到sinA=√15/4，S△ABC=bcsinA=bc*√15/4=315，因此bc=24.又因为b-c=2，所以b^2-2bc+c^2=4，联立解得b^2+c^2=52.由余弦定理得，a=b+c-2bccosA=52-2*24*(1/4)=64，因此a=8.在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=π/4，b^2-a^2=c^2/2.1)求tanC的值；2)若△ABC的面积为3，求b的值。

正弦,余弦定理

正弦,余弦定理

正弦,余弦定理正弦和余弦定理是三角函数中的重要概念，它们在解决三角形相关问题时起到了关键作用。

本文将分别介绍正弦和余弦定理的含义、推导过程以及应用场景。

一、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，三边的长度与其对应的角的正弦值之间存在一定的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的推导过程如下：假设有一个三角形ABC，分别连接AB、AC的垂线，垂足分别为D、E。

根据几何性质，可以得到以下关系：AD = b * sinCAE = c * sinB再根据三角形的内角和等于180°的性质，可以得到：∠B + ∠C + ∠AED = 180°∠B + ∠C + ∠ADE = 180°将上述两个等式代入，得到：∠ADE + ∠AED = 180°∠ADE + ∠ABC = 180°由此可以得出∠ABC = ∠AED，进而得到以下等式：sinA/sinB = AD/AE = b/c通过类似的推导过程，可以得到其他两个等式：sinA/sinC = c/asinB/sinC = a/b由此可以看出，正弦定理实际上是三个比例关系的等式，可以用来求解未知边长或角度的问题。

例如，已知一个三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求解第三边的长度或另外两个角的大小。

二、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，三边的长度与其对应的角的余弦值之间存在一定的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosCb² = a² + c² - 2accosBa² = b² + c² - 2bccosA余弦定理的推导过程如下：假设有一个三角形ABC，分别连接AC、BC的垂线，垂足分别为D、E。