1.2集合的基本关系与基本运算(学生版)

（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。

§1.1.1 集合的含义与表示¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．§1.1.2 集合间的基本关系¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}.A BB A A B A B A ． B ．C ．D ．【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.§1.1.3 集合的基本运算（一）¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到B （读作“B （读作“{|B x x ={|B x x =¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求ð.\【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()ABC ； （2）()A A BC ð.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C AB ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.§1.1.3 集合的基本运算（二）¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9AB =，求实数a 的值.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , AB .（教材P 14B 组题2）【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若AB =B ，求实数a的值．【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= .§1.2.1 函数的概念¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）y =.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.§1.2.2 函数的表示法¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．.【例2】已知f (x )=33x x-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.【例3】画出下列函数的图象： （1）|2|y x =-；（2）|1||24|y x x =-++.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当(2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.§1.3.1 函数的单调性¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.【例3】求下列函数的单调区间： （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间.§1.3.1 函数最大（小）值¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac ba-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.【例3】求函数2y x =的最小值.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.§1.3.2 函数的奇偶性¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.复习【例1】已知a ,b 为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= .【例2】已知()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明.【例3】集合{|17}A x x =-≤≤，{|231}B x m x m =-<<+，若A B B =，求实数m 的取值范围.【例4】设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x ∈R .。

1.2 集合间的基本关系1．已知集合，，则的子集个数为 A ．B ．C ．D ．2．如果集合|,3n A x x n Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，1|,3B x x n n Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，2|,3C x x n n Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，那么下列结论中正确的是（ ）A ．BC ≠B ．ABC ．C B A =⊆D ．A C ⊆ 3．已知集合{}1,2,3A ⊆，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合个数为（ ）. A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 4．已知A B ⊆，A C ⊆，{2,0,1,8}B =，{1,9,3,8}C =，则集合A 可以为A ．{1,8}B ．{2,3}C ．{0}D ．{9}5．已知集合{}220A x Z x x =∈-++>，则集合A 的真子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．86．下列集合的说法中正确的是（ ）A ．绝对值很小的数的全体形成一个集合B ．方程2(1)0x x -=的解集是{1,0,1}C ．集合{}1,,,a b c 和集合{},,,1c b a 相等D ．空集是任何集合的真子集7．若{}|1P x x =<，{}|0Q x x =>，全集为R ，则 A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆ C ．R Q C P ⊆ D ．R C P Q ⊆8．设集合A ＝1，2，4}，B ＝x|x 2﹣4x+m ＝0}．若A∩B＝1}，则集合B 的子集个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．集合M=16x x m m ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，N=}1-23n x x n -⎧=∈⎨⎩Z ，，P=126p x x p ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M ，N ，P 之间的关系是（ ） A ．M=N ⫋P B ．M ⫋N=P C ．M ⫋N ⫋P D ．N ⫋P=M 10．满足的集合的个数为A ．6B ．7C ．8D ．911．已知集合{}0,1,2,4,6A =，{}*233nB n =∈<N ，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．412．已知集合N ＝1,3,5}，则集合N 的真子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．813．已知集合{}3A x N x =∈<，则（ ） A ．0A ∉B ．1A -∈C ．{}0A ⊆D ．{}1A -⊆14．已知集合{}{}1,,1,1A xax a R B ==∈=-∣，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为（ ） A ．{}1- B ．{}1,1- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1-15．已知S 1，S 2，S 3为非空集合，且S 1，S 2，S 3⊆Z ，对于1，2，3的任意一个排列i ，j ，k ，若x∈S i ，y∈S j ，则x －y∈S k ，则下列说法正确的是（ ） A ．三个集合互不相等 B ．三个集合中至少有两个相等 C ．三个集合全都相等D ．以上说法均不对16．已知集合S ＝0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x∈A 时，若有1x A -∉，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集的个数为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．2017．下列表示方法正确的是（ ）A ．3∈［0，3)B ．0 ⊆［0，3)C ．1∈［0，3)D ．｛2｝∈［0，3)18．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，19．已知集合{}220A x x x =+-=，若{}B x x a =≤，且A B ，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．2a ≥-D ．2a ≤- 20．下列有关集合的写法正确的是（ ）A ．{0}{0,1,2}∈B ．{0}∅=C ．0∈∅D ．{}∅∈∅参考答案1．A详解：试题分析：,所以集合的子集个数为，故选A.考点：集合2．C3．C4．A5．A6．C7．D8．D9．B10．A详解：试题分析：由题意得，满足的集合有：{}{}{}{}{}{}a b c a b d a b e a b c d a b c e a b d e，共有6个，故选A. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,考点：集合真子集的运算.11．A12．C详解：集合N＝1,3,5}，则集合N的子集个数328=.除去集合N本身，还有8-1=7个.故选C.13．C14．D15．B16．D17．C19．B 20．D【参考解析】1．2．解析：用列举法分别列出集合,,A B C 即可判断. 详解： 因为集合54211245|,,,,1,,,0,,,1,,,333333333n A x x n Z ⎧⎫⎧⎫==∈=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 154211245|,,,,,,,,,,333333333B x x n n Z ⎧⎫⎧⎫==±∈=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 254211245|,,,,,,,,,,333333333C x x n n Z ⎧⎫⎧⎫==±∈=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 所以C B A =⊆. 故选：C. 点睛：本题主要考查了集合之间的关系.属于较易题.3．解析：由题得{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}A =，即得解. 详解：由题得{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}A =. 所以满足条件的集合有6个. 故选：C 点睛：本题主要考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．解析：由A B ⊆，A C ⊆，则A B C ⊆，又{}1,8B C ⋂=，从而可得答案. 详解：由A B ⊆，A C ⊆，则A B C ⊆. 又{}1,8B C ⋂=,所以{}1,8A ⊆所以选项B 、C 、D 不满足，选项A 满足.点睛：本题考查集合的子集的运用和交集的运算，属于基础题.5．解析：求出集合A ，确定集合A 的元素个数，利用真子集个数公式可得出集合A 的真子集个数. 详解：{}{}{}220120,1A x Z x x x Z x =∈-++>=∈-<<=，所以，集合A 的真子集个数为2213-=. 故选：A. 点睛：本题考查集合真子集个数的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，解答的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题.6．解析：逐项分析选项A,B 不符合集合的三要素，选项C 满足集合三要素，选项D 不符合真子集的定义，即可得出结论. 详解：选项A:不满足集合的确定性，错误； 选项B:不满足集合的互异性，错误；选项C:集合无序性，只需集合元素相同，则集合相等，正确； 选项D: 空集不是本身的真子集，错误. 故选: C 点睛：本题考查对集合概念的理解，以及空集的性质，属于基础题.7．解析：根据集合的基本关系和补集运算，即可求出结果. 详解：因为{}|1P x x =<，所以{}=|1R C P x x ≥，又{}|0Q x x =>， 所以R C P Q ⊆， 故选：D. 点睛：本题主要考查集合之间的基本关系，熟练掌握集合间的基本关系是解题的关键.8．解析：由题意知1是方程x 2﹣4x+m ＝0的实数根，求出m 的值和集合B ，即知集合B 的子集个数． 详解：集合A ＝1，2，4}，B ＝x|x 2﹣4x+m ＝0}，若A∩B＝1}，则1是方程x 2﹣4x+m ＝0的实数根， ∴m＝4﹣1＝3，∴集合B ＝x|x 2﹣4x+3＝0}＝x|x ＝1或x ＝3}＝1，3}， ∴集合B 的子集有22＝4（个）． 故选D ． 点睛：本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．9．解析：通分化简，再利用集合之间的包含关系即可求解. 详解： M=616m x x m Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，， N=3-23(-1)166n n x x n Z ⎧+⎫==∈⎨⎬⎭⎩，， P=316p x x p Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，． 由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数， 所以M ⫋N=P ． 故选：B 点睛：本题考查了集合的包含关系，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 10．11．解析：首先确定集合B ，求出A B 后可得其子集个数． 详解：由题意{1,2,3,4,5}B =，{1,2,4}A B ⋂=，其子集个数为328=． 故选：A ． 点睛：本题考查集合的运算，考查子集的个数，确定集合中的元素是解题关键． 12．13．解析：根据集合的概念判断． 详解：集合A 是由小于3的自然数组成，0A ∈，1A -∉，只有C 正确，故选：C．14．解析：根据子集的概念求得参数a的值可得．详解：a=时，A=∅满足题意，a≠时，1ax=得1xa=，所以11a=或11a=-，1a=或1a=-，所求集合为{1,0,1}-．故选：D．15．解析：根据条件，若x∈Si ，y∈Sj，则y﹣x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，这便说明Si中有非负元素，从而三个集合中都有非负元素．可以看出若0∈Si ，任意x∈Sj，都有x－0＝x∈Sk ，从而说明Sj⊆S k，而同理可得到S k⊆S j，从而便可得出S j＝S k，这便得出3个集合中至少有两个相等．详解：解：若x∈Si ，y∈Sj，则y－x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，所以Si中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a(由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在)，不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a(否则b不可能大于a，只能等于a，所以b－a＝0∈S3，矛盾)，但是，这样就导致了0＜b－a＜b，且b－a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x－0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y－0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等，故选：B．16．解析：由集合S＝0，1，2，3，4，5}，结合x∈A时，若有1x A-∉，且x＋1∉A，则称x 为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得出答案.详解：∵当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含“孤立元素”．S中无“孤立元素”的2个元素的子集为0，1}，1，2}，2，3}，3，4}，4，5}，共5个，S中无“孤立元素”的3个元素的子集为0，1，2}，1，2，3}，2，3，4}，3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的4个元素的子集为0，1，2，3}，0，1，3，4}，0，1，4，5}，1，2，3，4}，1，2，4，5}，2，3，4，5}，共6个，S中无“孤立元素”的5个元素的子集为0，1，2，3，4}，1，2，3，4，5}，0，1，2，4，5}，0，1，3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的6个元素的子集为0，1，2，3，4，5}，共1个，故S 中无“孤立元素”的非空子集有20个，故选D. 点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们根据定义列出满足条件的所有不含”孤立元素”的集合，进而求出不含”孤立元素”的集合个数.17．解析：由元素与集合的关系、集合与集合的关系的表示符号判断即可. 详解：3[0,3)∉，故A 错误；0[0,3)∈，故B 错误；1[0,3)∈，故C 正确；{2}[0,3)⊆，故D 错误. 故选：C. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的符号表示，属于基础题.18．解析：解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 详解：由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意； ②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a=，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A . 点睛：本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.19．解析：先求得集合A ，结合A B 求得a 的取值范围. 详解：()()22210x x x x +-=+-=，解得2x =-或1x =，所以{}2,1A =-，由于{}B x x a =≤，A B ，所以1a ≥. 故选：B 点睛：本小题主要考查根据真子集求参数的取值范围，属于基础题.20．解析：试题分析：元素和集合是属于或不属于的关系，空集是没有元素的集合，所以D 选项正确．考点：元素和集合的关系．。

集合数学知识点高一公式高一数学公式集合一、集合的基本概念在数学中，集合是指由若干个元素组成的事物的总体。

集合中的元素可以是具体的数、点、线，也可以是抽象的概念、命题等。

以下是一些高一数学常见的集合相关的基本概念和符号：1.1 集合的表示方式一般来说，集合可以通过列举元素、描述特性或使用图形等方式进行表示。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示集合A中包含元素1, 2, 3, 4。

1.2 集合的关系运算集合之间常见的关系运算有并集、交集、差集和补集。

假设集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则它们的关系运算如下所示：- 并集：A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}- 交集：A∩B={3, 4}- 差集：A-B={1, 2}- 补集：A'={(所有不属于A的元素)}1.3 集合的基数与空集以集合A为例，A中元素的个数称为集合A的基数，用符号|A|表示。

若集合A中没有任何元素，则称集合A为空集，用符号Ø表示。

例如，集合A={1, 2, 3}的基数为3，而空集的基数为0。

二、集合的运算法则在集合论中，有一些常见的运算法则，包括交换律、结合律、分配律等。

2.1 交换律对于并集和交集运算来说，交换律成立。

也就是说，对于任意的集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

2.2 结合律对于并集和交集运算来说，结合律成立。

也就是说，对于任意的集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

2.3 分配律对于并集和交集运算来说，分配律成立。

也就是说，对于任意的集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

三、常用的集合相关公式除了集合的基本概念和运算法则外，高一数学中还有一些常用的集合相关公式，包括排列组合公式、二项式定理等。

3.1 排列公式排列是从n个不同的元素中取出m个元素按照一定的顺序排列的方法数。

高一数学必修一必刷题电子版第一章集合与常用逻辑用语 (4)1.1集合的概念 (5)1.2集合间的基本关系 (10)1.3集合的基本运算 (13)阅读与思考集合中元素的个数 (18)1.4充分条件与必要条件 (20)1.5全称量词与存在量词 (27)阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件 (34)第二章一员二次函数、方程和不等式 (39)2.1等式性质与不等式性质 (40)2.2基本不等式 (47)2.3二次函数与一元一次方程、不等式 (53)第三章函数的概念与性质 (62)3.1函数的概及其表示 (63)阅读与思考函数概念的发展历程 (78)3.2函数的基本性质 (79)信息技术应用用计算机绘制函数图像 (90)3.3幂函数 (92)探索与发现探索函数y=x+1/x的图象与性质 (95)3.4函数的应用(一) (96)文献阅读与数学写作函数的形成与发展 (100)第四章指数函数与对数函数 (106)4.1指数 (107)4.2指数函数 (114)阅读与思考放射性物质的衰减 (118)信息技术应用探究指数函数的性质 (123)4.3对数 (125)阅读与思考对数的发明 (131)4.4对数函数 (133)探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 (138)4.5函数的应用(二) (145)阅读与思考中外历史上的方程求解 (150)文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 (160)数学建模建立函数模型解决实际问题 (165)第五章三角函数 (170)5.1任意角和弧度制 (171)5.2三角函数的概念 (180)阅读与思考三角学与天文学 (189)5.3诱导公式 (191)5.4三角函数的图象与性质 (199)探究与发现函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ) (206)探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 (211)5.5三角恒等变换 (218)信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 (227)5.6函数y=Asin(ωx+φ) (234)5.7三角函数的应用 (245)阅读与思考振幅、周期、频率、相位 (253)本书根据《普通高中数学课程标准（2017年版》编写，包括“集合与常用逻辑用语”“一元二次函数、方程和不等式”“函数的概念与性质”“指数丽数与对数函数&quot;“三角函数”五章内容，集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础；常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.在“集合与常用逻辑用语”的学习中，同学们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法；并学习用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，为高中数学学习做准备.相等关系和不等式关系是数学中最基本的数量关系，在“一元二次函数、方程和不等式”的学习中，同学们将类比等式学习不等式，通过梳理初中数学的相关内容，理解一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系，从函数观点认识方程与不等式.感悟数学知识之间的关联，完成初高中数学学习的过渡.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它的思想方法贯穿了高中数学课程的始终，在“函数的概念与性质”中，同学们将在初中的基础上，进一步学习运用集合与对应的语言刻画函数概念，学习丽数的基本性质，并通过幂函数的学习感受如何研究一个丽数，如研究的内容、思路和方法，进一步感受函数的思想方法和广泛应用.“指数爆炸”“对数增长”是生活中常见的变化现象，在“指数函数与对数函数&quot;中同学们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数与对数函数的概念、图象和性质.通过对儿类基本初等函数的变化差异的比较，体会如何根据变化差异选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律，解决简单的实际问题.三角函数也是一类基本的、重要的函数，它是刻画现实世界中具有周期性变化现象的数学模型，在“三角函数”的学习中，同学们将学习借助单位圆建立一般三角函数的概念，学习三角函数的图象和性质，探索和研究三角函数之间的一些恒等关系，通过建立三角函数模型刻画周期变化现象，进一步体会函数的广泛应用.祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的认识.我们知道，方程x-2在有理数范围内无解，但在实数范围内有解.在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面，因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础，为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具.事实上，集合的知识是现代数学的基础，也是高中数学的基础，在后面各章的学习中将越来越多地应用它.在本章，我们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法.逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容，逻辑用语也是日常交往、学习和工作中必不可少的工具，正确使用逻辑用语是每一位公民应具备的基本素养，本章我们将通过常用逻辑用语的学习理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合和逻辑语言表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性和准确性.1.1集合的概念在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等，为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识，下面先从集合的含义开始.看下面的例子：（1）1-10之间的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有的正方形；（4）到直线1的距离等于定长d的所有点（5）方程1-3r+2-0的所有实数根；（6）地球上的四大洋.例（1）中，我们把1~10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例（2）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）.给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.例如.&quot;1~10之间的所有偶数&quot;构成一个集合，2.4，6.8.10是这个集合的元素，1.3，5，7.9，…不是它的元素；“较小的数”不能构成集合.因为组成它的元素是不确定的.一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.我们通常用大写拉丁字母A.B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，.表示集合中的元素.如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作aEA；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作afA.。

《集合习题课》教学设计PPT．一、复习导入请同学们梳理第1.1到1.3节的内容，回答以下几个问题：问题1：怎么理解集合的含义？元素与集合的关系是什么？集合的表示方法有哪些？师生活动：学生默写，之后互相核对，教师予以指正．预设的答案：集合的特性：①确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的．②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，并集、交集中相同元素只出现一次．③无序性：一个给定集合中的元素前后位置可以交换．元素与集合的关系如下表：集合的表示方法：自然语言表示法、字母表示法、列举法、描述法、Venn图图示法．设计意图：通过复习帮助学生梳理集合的概念，集合的表示方法等知识．问题2：集合之间的关系又哪些？回顾子集、真子集、集合相等的相关概念，它们间的关系是什么？师生活动：学生先独立复习，教师根据学生的回答补充． 预设的答案：集合之间的关系“子集”“真子集”“相等”．其关系如图1所示．如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 是集合B 的真子集或两个集合相等．设计意图：复习回顾集合间的关系．问题3：集合有哪些运算？请你用Venn 图表示．有了运算律使运算更加简洁，那么集合的运算有哪些性质和运算律？师生活动：学生先复习，然后交流讨论，教师根据学生的回答补充． 预设的答案：集合的运算有并集、交集、补集．定义略．V enn 图表示如下： 并集：交集：补集：并集、交集和补集的性质、运算律及常用结论如下表：并集交集 补集性质A ∪A ＝__A __；A ∩A ＝__A __；A ∪(∁U A )＝U ，子集真子集相等 图1设计意图：复习回顾集合运算的相关知识． 二、巩固应用问题4：你能利用习题1.2第5题（1）的方法求解以下题目吗？ 例1 已知a ∈R ，b ∈R ，若｛a ，ab，1｝＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 020＋b 2 020＝________．师生活动：学生独立思考，完成之后讨论交流，教师根据情况进行讲解． 预设的答案：解：由已知得a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 020＋b 2 020＝1．追问1：怎么知道a ≠0，做这种题时哪儿是突破口？（观察集合中元素的特点，如本题中有分式，分母不为零．再将一个集合中已知的元素与另一个集合中未知的元素联系，看是否相等，如果与该元素不等，再看与另一个元素是否相等，依此试验排除．）追问2：集合元素的三个特征中，哪一个在求解本题时起了主要作用？求解此类题目有什么经验？（集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．）设计意图：通过两个集合相等即元素相同，深化了对集合元素互异性的理解． 问题5：你能利用习题1.2第5题（2）的方法求解以下题目吗？例2 已知集合A ＝{x |x ＜－1，或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．师生活动：学生先总结习题的做法，再独立完成例2，教师根据学生的情况有针对地指导，突出点拨分类讨论及数形结合思想方法的应用．预设的答案：解：当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3，即a ＞3；当B ≠∅时，根据题意作出下图：可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a ＞4，解得a ＜－4或2＜a ≤3． 综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ＜－4或a ＞2}． 追问1：完成下面的题目． 已知A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |x ＜a }．（1）若B ⊆A ，则a 的取值范围是________；（a ≤3） （2）若A ⊆B ，则a 的取值范围是________；（a ≥3） （3）若A ⫋B ，则a 的取值范围是________；（a ＞3） （4）若A ＝B ，则a 的值是________．（a=3） 联系例2概括，这类题目的特点及步骤是怎样的？预设的答案：上述题目的特点是：已知两个集合的关系，其中一个集合中含有参数．求解步骤是：①确定两个集合之间的关系；②考虑集合为空集的情形是否满足题意；③将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．追问2：这类题的易错点是什么？怎么才能避免这样的错误？预设的答案：易错点是：两个集合的端点是否相等．一般利用数轴画图，数形结合观察端点是否能重合．设计意图：通过求解含有参数的集合问题，进一步理解集合的关系，掌握分类讨论思想的思想方法，积累解题的经验．问题6：你是怎样思考求解习题1.3第6题的？这种题型的特点是什么？根据这样的思路思考下面的例3题．例3 设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R ．如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．师生活动：学生先独立思考，总结方法：已知两个集合间的运算，再根据运算结果得出集合间的关系．然后分享交流，教师适时引导．预设的答案：解：∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ， ∴B ⊆A ．当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解， 即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2． 当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2． 将a ＝－2代入方程， 解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－2(a ＋2)＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2．综上可得a ＝2或a ≤－2．设计意图：通过A ，B 运算的结果等价转化为A ，B 之间的关系，列出关于m 的不等式组，解不等式组得到m 的取值范围，从而熟练巩固集合间的关系和集合的运算．追问：例3求解运用了分类讨论的思想．求解集合问题时常见的分类讨论的标准源于哪些知识？师生活动：学生回顾思考、然后讨论交流、教师适时点拨．预设的答案：一般考查集合中元素的互异性、空集是任何非空集合的子集、集合的运算或集合间的关系中都会涉及到对参数的讨论．设计意图：结合例题梳理方法． 三、归纳总结问题7：本节课你有哪些收获？复习了哪些知识，巩固了哪些方法？ 师生活动：学生独立思考，之后交流完善． 答案略．设计意图：梳理总结，深化理解，形成做题规则． 四、目标检测设计1．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ）A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M2．设集合A ＝{－1，1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠∅且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．3．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．答案：1．D．2．当B＝{－1}时，a＝－1，b＝1；当B＝{1}时，a＝b＝1；当B＝{－1，1}时，a＝0，b＝－1．3．m≥－1．设计意图：1题考查元素与集合的关系，2题考查集合与集合的关系，3题考查集合的运算．。

1.2 集合间的基本关系1．已知集合{}1,16,4A x =，{}21,B x =，若B A ⊆，则x = A ．0 B ．4-C ．0或4-D ．0或4±2．已知∅{}20xx x a -+=∣，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a<14B ．a≤14C ．a≥14D ．a>143．下列表示错误的是（ ） A ．{}∅⊆∅ B ．{}{}{}{}10,1∈C ．A A ⋃∅=D ．R C Q =无理数4．能正确表示集合M ＝x|x∈R 且0≤x≤1}和集合N ＝x∈R| x 2＝x}关系的Venn 图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知集合{}220,A xax x a a R =++=∈∣，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0，1D ．-1，0，16．()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}1,2,3,4,5A ⊆，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 7．集合（1，2）（3，4）}的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．15D ．168．已知集合A ，B 均为全集{}1,2,3,4,5U =的子集，且(){}3,4U A B =，{}1,2B =，则集合A 可以有（ ）种情况 A ．2B ．3C ．4D ．69．设{}311A x x =<<，{}2337B x a x a =-≤≤-，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(36)，B ．(,6)-∞C ．[4,6)D ．(,4)-∞10．下列各式：①{}10,1,2⊆；②{}()00,1,2∈：③0∈∅：④{}{}2,0,10,1,2=.其中错误的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．已知集合321x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}221B x a x a =-<<+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．集合{12}A =，，{123}B =，，，则下列关系正确的是 A ．A B = B ．A B =∅ C ．A B ⊆ D ．A B ⊇ 13．集合{}|61,M x x k k Z ==+∈与集合{}|32,N x x k k Z ==-∈的关系为 A ．MNB ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．MN φ=14．若集合2}{01A =，，，则下列选项不正确的是（ ） A ．A ∅⊆ B ．{}0,1 AC ．{0,1,2}A ⊆D ．{}0,1,2 A15．设集合{A x y ==，{B y y ==，则下列结论正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =∅16．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为（ ）A ．2a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤17．下列表述正确的有（ ） ①空集没有子集；②任何集合都有至少两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅是A 的真子集，则A≠∅. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个18．设{|23}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．2a ≥C ．2a ≤D ．3a ≤19．下列集合中为空集的是 A ．x∈N|x 2≤0}B ．x∈R|x 2–1=0}C ．x∈R|x 2+x+1=0}D ．0}20．满足{}{}11,2,3A ⊆的集合A 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．4参考答案1．C 详解：试题分析：∵{}1,16,4A x =，{}21,B x =，若B A ⊆，则216x =或24x x =，则4,0,4x =-，又当4x =时，A 集合出现重复元素，因此0x =或4-.故选C. 考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.2．B 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．C 9．B 10．B 11．B 12．C 详解：试题分析：由题{12}A =，，{123}B =，，.则根据子集的定义可得：A B ⊆. 考点：集合间的关系.13．B 14．D 15．B 16．A 17．B 18．A 19．C 20．B【参考解析】1．2．解析：由题得方程x 2－x ＋a ＝0有实根，解不等式(－1)2－4a≥0即得解. 详解：∵∅{}20xx x a -+=∣， 所以集合{}20xx x a -+=∣不是空集， ∴方程x 2－x ＋a ＝0有实根， ∴∆＝(－1)2－4a≥0，故a≤14. 故选：B 点睛：本题主要考查集合的关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．解析：根据空集是任何集合的子集来判断选项A ，根据元素与集合的关系来判断选项B ，根据并集的定义来判断选项C ，根据集合的表示方法来判断选项D ． 详解：解：空集是任何集合的子集，∴{}∅⊆∅正确； 显然{}1是集合{}{}{}0,1的元素，∴{}{}{}{}10,1∈正确； 根据并集的定义，A A ⋃∅=正确；R C Q 表示无理数集，无理数不是无理数集，∴R C Q =无理数错误．故选D ． 点睛：本题考查了空集是任何集合的子集，元素与集合的关系，并集的定义及运算，补集的运算，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．4．解析：先求集合N,再判断集合间的关系 详解：N ＝x∈R|x 2＝x}＝0,1}，M ＝x|x∈R 且0≤x≤1}，∴N M.故选：B 点睛：本题考查集合间的关系，是基础题5．解析：根据集合A 有且仅有两个子集，由方程220ax x a ++=只有一个解求解.详解：因为集合A 有且仅有两个子集，即为∅和集合A 本身， 故集合A 中的元素只有一个， 即方程220ax x a ++=只有一个解，当0a =时，原方程为20x =，即0x =，符合题意； 当0a ≠时，令22240a ∆=-=，1a ∴=±综上，1a =-，0a =或1a =可符合题意. 故选：D. 点睛：本题主要考查集合的子集，还考查了分类讨论思想，属于基础题.6．解析：因为{}1,2,3,4,5A ⊆,所以非空集合A 可以是:{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}3,1,2,1,5,2,4,4,51,2,3,1,3,5,2,3,4,3,4,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5,故选B.7．解析：直接枚举求解即可. 详解：易得()(){}1,2,3,4的子集有∅,(){}1,2,(){}3,4,()(){}1,2,3,4. 故选：B 点睛：本题主要考查了集合的子集个数,属于基础题.8．解析：根据(){}3,4UA B =得到{}1,2,5A B =，故{}{}51,2,5A ⊆⊆得到答案.详解：∵{}1,2,3,4,5U =，(){}3,4U A B =，∴{}1,2,5A B =∵{}1,2B =，于是{}{}51,2,5A ⊆⊆∴集合A 可以是{}5、{}1,5、{}2,5、{}1,2,5四种情况. 故选：C 点睛：本题考查了集合的运算和子集问题，意在考查学生的计算能力.9．解析：对集合B 分成两种情况考虑，即B =∅和B ≠∅，分别求得a 的范围再取并集. 详解：当B =∅时，此时B A ⊆，所以23374a a a ->-⇒<；当B ≠∅时，因为B A ⊆，所以2337,233,463711,a a a a a -≤-⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-<⎩； 综上所述：6a <. 故选B. 点睛：本题考查根据集合间的基本关系求参数的取值范围，求解过程中注意不等式的等号能否取到是成功解决问题的关键.10．解析：对每一个命题逐一分析判断得解. 详解：①{}10,1,2⊆是错误的，因为元素和集合之间不能用⊆连接； ②{}()00,1,2∈是错误的，因为集合之间不能用∈连接； ③0∈∅是错误的，因为不符合空集的定义；④{}{}2,0,10,1,2=是正确的，因为集合的元素是无序的，元素相同的两个集合相等. 故选：B 点睛：本题主要考查集合之间的关系，考查元素和集合之间的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．解析：先解分式不等式，化简集合A ，再由A B ⊆，即可列出不等式求出结果. 详解： 因为{}3322220012111xx x x A xx x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫---=≤=≤=≤=-<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬+++⎩⎭⎩⎭⎩⎭，又{}221B x a x a =-<<+，A B ⊆，所以21212a a -≤-⎧⎨+>⎩，解得112a <≤.故选：B. 点睛：本题主要考查由集合的包含关系求参数，涉及分式不等式的解法，属于基础题型. 12．13．解析：集合M 中任意元素x 满足()613212x k k =+=+-，由此可得出集合M 是集合N 的子集，即可得出结论.详解：集合M 中的任意元素x 都有()613212x k k =+=+-，由题意可知21k +为奇数 由于集合N 中的任意元素x 都有32,x k k Z =-∈ 所以M N ⊆ 故选B 点睛：本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题.14．解析：先列举出集合2}{01A =，，的所有真子集，再根据{}0,1,2A =，判断D 选项错误. 详解：解：因为集合2}{01A =，，的所有真子集有：∅，{0}，{1}，{2}，{0}1，，{0,2}，{1}2，， 故ABC 正确，{}0,1,2A =，所以{}0,1,2A ⊆，但不是真子集，故D 选项错误. 故选：D. 点睛：本题考查集合间的基本关系，是基础题.15．解析：分别化简两个集合，从而即可作出判断. 详解：∵{A x y ==，{B y y ==，∴[)1+A =∞，，[)0+B =∞，， ∴A B ⊆. 故选：B.16．解析：根据给定条件结合不等式恒成立即可求出a 的范围判断作答. 详解：集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，因A B ⊆， 于是得(1,2),x x a ∀∈<，因此有2a ≥， 所以a 的取值范围是2a ≥. 故选：A17．解析：根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断. 详解：因为∅⊆∅，故①错；∅只有一个子集，即它本身．故②错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故③错； 空集是任何非空集合的真子集，故④正确， 故选：B.18．解析：根据集合A B ⊆的关系可知集合A 为集合B 的子集,即可结合数轴求得a 的取值范围. 详解：根据题意,23{|}A x x =<<,如下图所示：若{|}B x x a =<,且A B ⊆,必有3a ≥ 则a 的取值范围是[)3,+∞ 故选：A 点睛：本题考查集合间关系的判断,对于此类问题可以借助数轴来分析,属于基础题.19．解析：A ，x∈N|x 2≤0}=0}，不是空集；B ，x∈R|x 2–1=0}=–1，1}，不是空集；C ，x∈R|x 2+x+1=0}，因为方程x 2+x+1=0无实数解，所以集合是空集；D ，0}显然不是空集．故选C ．20．解析：列举出符合条件的集合A ，即可得出答案. 详解： 满足{}{}11,2,3A⊆的集合A 有：{}1、{}1,2、{}1,3.因此，满足{}{}11,2,3A ⊆的集合A 的个数为3.故选：B. 点睛：本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.。

集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集, 记作A B 或B A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B3、真子集：如果A B,且A B,那么集合A称为集合B的真子集,A B .4、设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C S A5 、元素与集合、集合与集合之间的关系6 、有限集合的子集个数1 )n 个元素的集合有2n个子集2) n 个元素的集合有2n-1 个真子集3) n 个元素的集合有2n-1 个非空子集4) n 个元素的集合有2n-2 个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A Bo8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A B o9 、集合的运算性质及运用知识应用】1. 理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B,那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出x Bo【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系(1)A={-1,1} ，B=Z (2)A={1,3,5,15} ，B={x|x 是15的正约数}【L】例 2.已知集合A={x|-2 x 5},B={x|m+1x 2m-1},若B A,求实数m取值范围。

【C】例3.已知集合A {0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一写出。

2. 解题方法：证明2个集合相等的方法：(1)若A 、B 两个集合是元素较少的有限集，可用【C 】例 3.集合 M={x|x=3k-2,k Z},P={y|y=3x+1,x Z},S={z|z=6m+1,m Z}之间的关列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足 的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。

1.2 集合间的基本关系教材分析：本节内容来自人教版高中数学必修一第一章第一节集合第二课时的内容。

集合论是现代数学的一个重要基础，是一个具有独特地位的数学分支。

高中数学课程是将集合作为一种语言来学习，在这里它是作为刻画函数概念的基础知识和必备工具。

本小节内容是在学习了集合的含义、集合的表示方法以及元素与集合的属于关系的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也是下一节学习集合间的基本运算的基础，因此本小节起着承上启下的关键作用.通过本节内容的学习，可以进一步帮助学生利用集合语言进行交流的能力，帮助学生养成自主学习、合作交流、归纳总结的学习习惯，培养学生从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维能力，通过Venn图理解抽象概念，培养学生数形结合思想。

教学目标：A.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；B．理解子集、真子集的概念；C．能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。

核心素养：1.数学抽象：集合间的关系的含义；2.逻辑推理：由集合的元素的关系推导集合之间的关系；3.数学运算：由集合与集合之间的关系求值；4.直观想象：体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。

教学重难点：1.教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念；2.教学难点：属于关系与包含关系的区别．教学过程：牛刀小试1：下图中，集合A 是否为集合B 的子集？牛刀小试2判断集合A 是否为集合B 的子集，若是则在（ ）打√，若不是则在（ ）打×:①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( √ ) ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( × ) ③A={0}, B={x | x 2+2=0} ( × ) ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( √ )思考2：与实数中的结论 “若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列四个关系中，正确的是（ ） A ．{},a a b ∈B ．{}{},a a b ∈C ．{}a a ∉D ．(){},a a b ∈2．已知集合2{|2,}A x x x x R ==-∈，{}1,B m =，若A B ⊆，则m 的值为 A ．2 B ．1- C ．1-或2 D ．2或2 3．若集合，，且，则的值为A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0 4．设集合{}1012U =-，，，，2{|1}A y y x x U ==+∈，，则集合A 的真子集个数为A ．2B ．3C ．7D ．8 5．下列结论正确的是（ ）A ．A ⊂∅≠B ．{}0∅∈C ．{1,2}Z ≠⊂ D ．{}{}00,1∈6．设集合{},,,,A a b c d e =，B A ⊆，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有（ ） A ．26A 个 B ．24C C ．33A D ．35C 7．若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．308．已知集合{}1,4,A x =，{}21,B x =，且B A ⊆，则满足条件的实数x 有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个9．已知集合A =x x 是菱形}，B =x x 是正方形}，C =x x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是（ ） A ．A B C ⊆⊆B ．B AC ⊆⊆C ．A B C ⊆D ．A B C =⊆10．设集合2{|230}M x x x =+-=，2{|10}N x x x =-+=，则,M N 的关系是（ ） A ．MNB ．M N ⊆C ．N MD ．N M二、填空题1．设集合{}|1,A x x a x R =-<∈，{}|15,B x x x R =<<∈，若A B ≠⊂，则a 的取值范围为________．2．满足{1,2,3,4}M ⊆，且{1,2}M ≠∅的集合M 的个数是_____________. 3．集合的子集共有________个．4．设m R ∈，若集合{}2,,3A m m =+，{}2,5,8B =，且A B =，则m =_________.5．已知集合{}2,3A =-，{}3B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的所有可能的取值的集合为__________． 三、解答题 1．设，，.（1）写出集合的所有子集；（2）若为非空集合，求的值.2．设二次函数满足下列条件：①当时，的最小值为0，且图像关于直线对称；②当时，恒成立．（Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若在区间上恒有，求实数的取值范围．3．设全集U =R ，集合{}14A x x =≤<，{}23B x a x a =<<-.若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.4．记函数()12x x xf +=-A ，集合()(){}10B x x x a =--≤． （1）当2a =时，求A B ；（2）若1a <，且B A ⊆，求a 的取值范围．5．已知集合{}1,4,A a =，{}21,B a =，且B A ⊆,求实数a 的值.参考答案一、单选题 1．A解析：因为a 是集合{,}a b 中的元素，判断A 选项正确；因为{}a 与{},a b 是两个集合，判断B 选项错误；因为a 是集合{}a 中的元素，判断C 选项错误；因为数a 不在集合{(,)}a b 中，判断D 选项错误. 详解：解：A 选项：因为a 是集合{,}a b 中的元素，所以{},a a b ∈，故A 选项正确； B 选项：{}a 与{},a b 是两个集合，集合之间没有属于关系，故B 选项错误； C 选项：因为a 是集合{}a 中的元素，所以{}a a ∈，故C 选项错误；D 选项：因为集合{(,)}a b 中的元素是点(,)a b ，数a 不在集合{(,)}a b 中，故D 选项错误； 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合的属于关系、集合之间的包含关系，是基础题 2．A 详解：解：由题意可知：{}2A = ，则满足题意时，2m = . 本题选择C 选项.3．D 详解：当0m =时，,B φ=满足A B A ⋃=，即0m =；当0m ≠时，1,B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而A B A ⋃=，∴11111m m=-=-或，或；∴1,10m =-或；4．C解析：先求出集合A ，进而求出其真子集的个数． 详解：因为集合{}1012U =-，，，，∴集合{|}A y y x U =∈＝1， ∴真子集个数为23﹣1＝7个， 故选C ． 点睛：本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题． 5．C解析：根据集合与集合的关系，真子集的概念，对四个选项注意分析，由此得出正确结论. 详解：对于A 选项，空集是任何非空集合的真子集，但集合A 无法确定是不是空集，故A 选项错误.对于B 选项，集合与集合之间是包含关系，故B 选项错误.对于C 选项，根据真子集的概念可知，C 选项正确.对于D 选项，集合与集合之间是包含关系，故D 选项错误.综上所述，本小题选C. 点睛：本小题主要考查集合与集合的关系，考查真子集的概念，属于基础题. 6．B解析：B 中其他两个元素是从,,,b c d e 中选取的．由此可得． 详解：由题意∵a B ∈，且B 中只有3个元素，B A ⊆，∴集合B 的个数是24C ． 故选：B. 点睛：本题考查集合的包含关系，掌握子集的概念是解题关键． 7．D解析：先确定集合S 中元素的个数，再由集合的真子集的个数和元素个数间的关系求解. 详解：因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素， 所以S 的非空真子集个数是52230-=个. 故选：D 点睛：本题主要考查集合元素的特征及集合的基本关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8．B 详解：试题分析：由24x =得，2x =±；由2x x =得，0x =，1x =（舍去）；满足的条件的x 值有：220-，，共3个．故选B.考点：集合的包含关系判断及应用.【方法点睛】本题已知的两个集合中均含有参数，且这两个集合相等，可从集合相等的的概念着手，转化为元素间的相等关系；解决此类问题的步骤：（1）、利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数；（2）、把求得的参数值依次代入集合验证，若满足集合中元素的三个性质确定性，互异性，无序性，则所求是可行的，否则应舍去.9．B解析：由菱形，正方形，平行四边形的定义来判断相互包含关系即可得出答案. 详解：由一对邻边相等的平行四边形是菱形，可得菱形是特殊的平行四边形，故A C ⊆；又因一个角为直角的菱形是正方形，即得正方形是特殊的菱形，故B A ⊆，所以A 、B 、C 之间关系为：B AC ⊆⊆.故选：B. 点睛：本题考查了集合之间的关系判断，属于基础题. 10．C解析：求出集合,M N ，即可发现它们之间的关系． 详解：解：由题意可得{3,1}M =-，集合N 为空集， 由于空集是任意非空集合的真子集， 故选C ． 点睛：本题考查集合之间的关系，是基础题．二、填空题 1．24a ≤≤解析：先化简集合A,再根据A B ≠⊂得到关于a 的不等式求出a 的取值范围. 详解：由1x a <－得11x a －－<<，∴11a x a <<－＋，由A B ≠⊂得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴24a <<． 又当2a ＝时，{}A |13x x <<＝满足A B ≠⊂，4a ＝时，{}|35A x x ＝<<也满足A B ≠⊂，∴24a ≤≤. 故答案为24a ≤≤ 点睛：(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意． 2．12解析：根据题设条件，利用交集的性质，由列举法写出满足条件的集合所有M ，从而可得结果. 详解：集合{}1,2,3,4M ⊆，且{}1,2M φ⋂≠，∴满足条件的集合M 为{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4{}{}{}{}1,1,3,1,4,1,3,4{}{}{}{}2,2,3,2,4,2,3,4共有12个，故答案为12.点睛：本题主要考查已知集合间的关系求集合的个数问题，考查学生对子集，交集概念的理解，是一道中档题. 3．8解析：试题分析：{}{}|030,1,2A x x x Z =≤<∈=且，含有3个元素，因此子集有328=个 考点：集合的子集 4．5解析：本题可根据集合相等的相关性质得出结果. 详解：因为A B =，3m m +>，所以385m m +=⎧⎨=⎩，5m =，满足题意，故答案为：5.5．30,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析：根据子集关系，分类讨论即可得到结果. 详解：解：由于B⊆A，∴B＝∅或B＝2}或-3}，∴a＝0或a＝32或a＝﹣1，∴实数a的所有可能取值的集合为3 0,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭故答案为30,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．点睛：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，方程的根的概念等基本知识，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．三、解答题1．（1），，，（2）的值为3.解析：（1）解一元二次方程求得集合的元素，由此求得集合的所有子集.（2）根据集合有一个元素或有两个元素进行分类讨论，结合一元二次方程的知识，求得的值.详解：解析：（1）∴集合的所有子集为，，，（2），∴当集合只有一个元素时，由得，即此时或，不满足.当集合只有两个元素时，由得：.综上可知，的值为.点睛：本小题主要考查集合子集的求法，考查根据集合的包含关系求参数，考查一元二次方程根、判别式等知识，属于基础题.2．（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）先在②中令，得到，根据题意，设二次函数为，由，求出，即可得出结果；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，由解得，再由题意，得到，进而可求出结果.详解：（Ⅰ）在②中令，有，故.当时，的最小值为0且二次函数关于直线对称，故设此二次函数为.∵，∴.∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，因此，由即，得；∵在区间上恒有，所以只需，∴，解得，∴实数的取值范围为.点睛：本题主要考查求二次函数的解析式，以及由不等式恒成立求参数，熟记二次函数的性质，绝对值不等式的解法，以及集合的包含关系即可，属于常考题型.3．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：由A∪B=A，得到B A ，然后再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求解. 详解：A B A B A =⇔⊆，①B =∅时，则有23a a ≥-， ∴1a ≥，②B ≠∅时，则有232134a aa a <-⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，∴112a ≤<，综上所述，所求a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：本题主要考查集合基本运算和基本关系的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.4．（1）{}12A B x x ⋂=≤<；（2）11a -≤<.解析：（1）化简可得{}12A x x =-≤<，{}12B x x =≤≤，直接求交集即可； （2）根据集合关系B A ⊆，直接求参数a 的范围，即可得解. 详解： （1）函数()x f =102x x +≥-，故12x -≤<，即{}12A x x =-≤<． ()(){}{}12012B x x x x x =--≤=≤≤，故{}12A B x x ⋂=≤<（2）当1a <时，()(){}{}101B x x x a x a x =--≤=≤≤，{}12A x x =-≤<．B A ⊆，故1a ≥-，即11a -≤<．点睛：本题考查了集合的运算以及利用集合关系求参数范围，考查了计算能力，属于基础题.5．0,2,2a =-解析：根据子集关系，先分类讨论，然后求解出a 的值. 详解：因为B A ⊆，所以2a a =或24a =；当2a a =时，0a =或1，若1a =，不满足互异性，故舍去；若0a =，此时{1,4,0}A =，{0,1}B =，满足条件；当24a =时，2a =±，若2a =，此时{1,4,2}A =，{4,1}B =，满足条件；若2a =-，此时{1,4,2}A =-，{4,1}B =，满足条件；综上：2,0,2a =-.点睛：根据集合间的关系，求解集合中的参数时，求解出参数后一定要记得去验证是否满足集合中元素的互异性.。

2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第1节集合考试要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B 真子集A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}表示4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()2.若集合P＝{x∈N|x≤2023}，a＝22，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}4.(易错题)(2021·南昌调研)集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则由实数a的取值组成的集合为()A.{－2}B.{1}C.{－2，1}D.{－2，1，0}5.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁U A)∩B＝()A.{x|x<0}B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤2}D.{x|x>2}6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T ＝()A. B.S C.T D.Z考点一集合的基本概念1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为()A.3B.4C.5D.62.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且86－x∈N}＝________.4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.考点二集合间的基本关系例1(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.训练1(1)(2022·大连模拟)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2022＋b2023的值为()A.0B.1C.－2D.0或－1(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3]考点三集合的运算角度1集合的基本运算例2(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}角度2利用集合的运算求参数例3(1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B 中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A.a <－2B.a ≤－2C.a >－4D.a ≤－4训练2(1)(2021·全国甲卷改编)设集合M ＝{x |0<x <4}，N x |13≤x <aM ∩N ＝N ，则a 的取值范围为()A.a ≤13B.a >4C.a ≤4D.a >13(2)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝∅，则a 的取值范围是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]Venn 图的应用用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn 图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.例1设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N +}，若A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1，5，7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，则A ＝________，B ＝________.例2(2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%例3向100名学生调查对A，B两件事的看法，得到如下结果：赞成A的人数是全体的35，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成.另外，对A，B都不赞成的人数比对A，B都赞成的学生人数的13多1人，则对A，B都赞成的学生人数为________，对A，B都不赞成的学生人数为________.1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{1，6}C.{5，6}D.{1，3}2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5)B.[2，5)C.(2，5]D.[2，5]3.(2021·浙江卷)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝()A.{x|x>－1}B.{x|x≥1}C.{x|－1<x<1}D.{x|1≤x<2}4.(2022·河南名校联考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.±15.已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2<0}，则()A.A∩B＝AB.A∪B＝BC.B AD.A B6.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M 的个数是()A.0B.1C.2D.37.(2022·太原模拟)已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，则(∁R M)∩N＝()A.[－1，＋∞)B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞)D.[－1，1]∪(3，＋∞)8.设集合A ＝{x |(x ＋2)(x －3)≤0}，B ＝{a }，若A ∪B ＝A ，则a 的最大值为()A.－2B.2C.3D.49.(2021·合肥模拟)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，集合B ＝{x ||x －1|≤2}，则A ∩B ＝________.10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A ＝{x |y ＝x －3}，B ＝{x |1<x ≤9}，则(∁R A )∩B ＝________.11.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________.12.已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.13.若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}14.(2020·浙江卷)设集合S ，T ，S ⊆N +，T ⊆N +，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x ＜y ，则y x ∈S .下列命题正确的是()A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.16.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－12，12，1}，若M与N“相交”，则a＝________.。

1.2 集合间的基本关系1．已知集合{}21,A x =，则下列说法正确的是A ．{}1A ∈B ．1A ⊆C ．1A -∉D ．{}A ∅⊆ 2．已知集合16A x x k k N ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，123m B x x m N ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，，126n C x x n N ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，则集合、、A B C 的大小关系是（ ）A ．A CB B ．C A B C ．A B C =D ．A B C3．设集合{21,},{2,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，则（ ） A ．M N B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M N ⋂=∅4．已知集合2{1,}A x x =+，{1,2,3}B =，且A B ⊆，则实数x 的值是A ．-1B ．1C ．3D ．4 5．集合{}2*70,A x x x x N =-<∈，则集合*6,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭的子集个数为（ ） A ．4个 B ．8个 C ．15个 D ．16个6．集合{}{},1,,1,2,P x Q y ==其中{},1,2,3,,9x y ∈⋅⋅⋅，且P Q ⊆，把满足上述条件的一对有序整数对(),x y 作为点，这样的点的个数是 （ ）A ．9B ．14C ．15D ．217．已知集合{}221,M y y x x x R ==--∈，{}24P x x =-≤≤，则集合M 与集合P 的关系是（ ）A ．P MB ．P M ∈C ．M PD ．M P 8．已知A B ⊆，A C ⊆，{}1,2,3,5B =，{}0,2,4,8C =，则A 可以是 A ．{}1,2 B ．{}2,4 C ．{}2D ．{}4 9．已知集合{}21,A x y x y Z ==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ）A ．AB = B ．A BC ．B AD ．A B =∅10．设集合{}1,2A =，则下列正确的是A ．1A ∈B ．1A ∉C ．{}1A ∈D ．1A ⊆11．设集合{}4A x x =≤，a = ）A ．a A ∉B ．a A ⊆C ．{}a A ⊆D ．{}a A ∈12．已知12|,01A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|1,B y y kx x A ==+∈，若A B ⊆，则实数k 的取值范围为 A ．1k =- B ．1k <-C ．10k -≤≤D ．1k ≤- 13．设集合{}|12A x x =<≤,{}|B x x a =<，若A B ⊆,则a 的取值范围是 A ．{}|1a a ≥ B ．{}|1a a ≤ C ．{}|2a a ≥D ．{}2a a ＞ 14．定义集合运算A◇B=c|c=a+b,a∈A,b∈B},若A=0,1,2},B=3,4,5},则集合A◇B 的子集个数为( )A ．32B ．31C ．30D ．1415．已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉；这四个命题中，真命题的个数为（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．已知集合{}24A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若A B A =，则a 取值范围是（ ）A ．()2,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．()2,+∞17．已知集合(){},A x y y x ==，()21,45x y M x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭,则下列结论中正确的是A ．M A =B ．M A ⊆C ．()1,1A ⊆D ．M A ∈18．已知集合{}1,2,4A =，{B x x =是8的正约数}，则A 与B 的关系是．A ．AB = B ．A BC ．A BD ．A B =∅19．已知集合{3A x x =>或}1x <，{}0B x x a =-<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞20．{}{}2|60,|10A x x x B x mx =+-==+=,且A B A ⋃=,则m 的取值范围是A ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．110,,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ C ．110,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D ．11,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭参考答案1．C详解：试题分析：集合与集合关系为“包含”、“含于”，元素与集合关系为“属于”、“不属于”，故选C.考点：元素与集合、集合与集合的关系．2．A3．B4．B5．D6．B详解：解：根据题意，若P Q ⊆，有2种情况：①、x≠y，则必有x=2，y 可取的值为3、4、5、6、7、8、9，共7种情况，即（x ，y ）有7种情况，②、x=y ，此时x 、y 可取的值为3、4、5、6、7、8、9，共7种情况，即（x ，y ）有7种情况，则（x ，y ）有7+7=14种情况，故答案为14, 选B7．D8．C详解：∵A B ⊆，A C ⊆，∴把选项代入检验即可，只有集合{}2符合题意，故选C9．C10．A详解：试题分析：由{}1,2A =可知1，2是集合中的元素，元素与集合间的关系是∈，所以1A ∈ 考点：集合和元素的关系11．C12．D13．D详解：根据已知A B ⊆以及子集的性质可知，当2a >时，A B ⊆，故2a >，故选D.14．A15．B16．C17．B18．B19．D20．C详解：由题意{}3,2,A A B A B A =-⋃=∴⊆ 当11,0,,3,,3B m B m m φφ==≠-=-=时当时由得由112,.2m m -==-得 所以,m 的取值范围为110,,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【参考解析】1．2．解析：列举出集合A,B,C 即得三个集合的关系.详解： 由题得1171319=,,,,66666A x x k k N ⎧⎫⎧⎫==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，， 1112710={,,,,}2336366m B x x m N ⎧⎫==-∈-⎨⎬⎩⎭，，， 11271013={,,,}2663666n C x x n N ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，，. 所以A C B .故选A点睛：本题主要考查集合的表示和集合的关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．解析：先判断出M 为奇数集，N 为整数集，从而可判断两者之间的关系.详解：∵集合{21,}M xx k k Z ==+∈∣，故M 为奇数集. 而{2,}N xx k k Z ==+∈∣，故N 为整数集， ∴M N ⊆.故选：B.点睛：本题考查集合的包含关系，一般根据集合元素的特征确定出两个集合的包含关系，本题属于基础题.4．解析：已知集合的元素，根据集合间的包含关系A B ⊆即可求参数详解：由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈经检验1x =符合题意∴1x =故选：B点睛：本题考查了集合间的基本关系，利用包含关系求参数5．解析：先求出A ，再找出A 中6的正约数，可确定集合B ，进而得到答案．详解：集合2{|70A x x x =-<，{}**}|07,{1x N x x x N ∈=<<∈=，2，3，4，5，6}*6{|,}{1B y N y A y=∈∈=，2，3，6}， 故B 有4216=个子集，故选：D ．点睛：本题考查的知识点是子集与真子集，求出集合B 是解答的关键，属于基础题．6．7．解析：首先，化简集合M ，就是求解函数221y x x =--，x ∈R 的值域，然后，利用集合之间的基本关系进行判断即可．详解：解：由集合M 得2221(1)2y x x x =--=--，x ∈R2y ∴-，{|2}M y y ∴=-，{}24P x x =-≤≤，M P ∴，故选：D ．点睛：本题重点考查集合之间的基本关系，属于基础题，注意落实集合M 的元素取值情形． 8．9．解析：由题意得出Z A ⊆，而集合BZ ，由此可得出A 、B 的包含关系. 详解： 由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.{}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则B Z ，因此，B A .故选：C.点睛：本题考查集合包含关系的判断，解题时要善于抓住代表元素，认清集合的特征，考查推理能力，属于中等题. 10．114，依次判断选项即可. 详解：对选项A4<，所以a A ∈，故A 错误.对选项B ，⊆用于集合与集合之间，故B 错误.对选项C 4<，所以{}a A ⊆，故C 正确.对选项D ，∈用于元素与集合之间，故D 错误.故选：C点睛：本题主要考查集合间的包含关系，同时考查了元素与集合的关系，属于简单题.12．解析：首先求出集合A ，分类讨论0k =，0k <，0k >情况下的B 集合，从而求出满足A B ⊆的实数k ．详解：由题可得{}12|,01|01A y y x x y y ⎧⎫==≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，当0k =时，{}{}|1,1B y y kx x A ==+∈=，不满足A B ⊆，舍去，当0k <时，{}{}|1,|11B y y kx x A y k y ==+∈=+≤≤，由于A B ⊆，所以10k +≤，解得：1k ≤-， 当0k >时，{}{}|1,|11B y y kx x A y y k ==+∈=≤≤+，由于11k +>，所以不满足A B ⊆，舍去， 综述所述，实数k 的取值范围为1k ≤-故答案选D点睛：本题考查集合间的关系，涉及一次函数的值域，属于基础题13．14．解析：∵A=0，1，2}，B=3，4，5}．又∵A◇B=c|c=a+b，a∈A，b∈B}，∴A◇B=3，4，5，6，7}由于集合A◇B 中共有5个元素故集合A◇B 的所有子集的个数为25=32个 故选A15．解析：根据题意，由子集的定义分析M 、P 元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案．详解：根据题意，“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题．则其否定为真， 则非空集合M 的元素不都是集合P 的元素，据此分析4个命题：①M 的元素不都是P 的元素，正确，②M 的部分元素可以为P 的元素，不正确，③可能M 的元素都不是P 的元素，故存在x P ∈且x M ∈，不正确，④存在x M ∈且x P ∉，正确，其中正确的命题有2个，故选：B ．16．解析：由条件可知A B ⊆，列不等式求a 的取值范围.详解：由A B A =知A B ⊆，故234a a -<⎧⎨+≥⎩，解得1a ≥． 故选：C ．17．解析：化简集合M ，最后根据集合的相等关系、子集关系、属于关系的概念选出正确答案.详解：因为(){}21,(1,1)45x y M x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭，所以M A ⊆，故本题选B. 点睛：本题考查了集合表示方法中的列举法，考查了集合之间的子集关系.18．解析：化简集合B ，比较A ，B 中的元素，即可判断A ，B 的关系．详解：{|B x x =是8的正约数}{1,2,4,8}=，又集合{1,2,4}A =，A B ∴．故选B ．点睛：本题考查集合的包含关系及集合的基本运算，属于基础题．19．解析：由题得{}B x x a =<，根据已知得1a ≤.详解： 由题得{}B x x a =<，因为B A ⊆，所以1a ≤.故选：D点睛：本题主要考查根据集合的包含关系求参数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．。

集合的基本关系及运算编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ð）．4.集合基本运算的一些结论A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一、集合间的关系例1. 集合{}|2,A a a k k N ==∈，集合21|1(1)(1),8n B b b n n N ⎧⎫⎡⎤==--⋅-∈⎨⎬⎣⎦⎩⎭，那么,A B 间的关系是（ ）.A.A B B.B A C. A =B D.以上都不对 【答案】B【解析】先用列举法表示集合A 、B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A 是非负偶数集，即{}0,2,4,6,8,A =⋅⋅⋅.集合B 中的元素211(1)(1)8n b n ⎡⎤=--⋅-⎣⎦0()1(1)(1)()4n n n n ⎧⎪=⎨+-⎪⎩为非负偶数时，为正奇数时.而1(1)(1)4n n +-（n 为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n =⋅⋅⋅.由1(1)(1)4n n +-依次得0,2,6,12，⋅⋅⋅，即{}0261220B =⋅⋅⋅，，，，，. 综上知，B A ，应选B .【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合{}{}|21,,|41,A x x k k z B x x l l z ==-∈==±∈，则（ ）.A.A B B.B A C. A =B D.A B Z = 【答案】C例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：∅和它本身.举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（ ） A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个 【答案】C【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.例3．集合A={x|y=x 2+1}，B={y|y=x 2+1}，C={(x,y)|y=x 2+1}，D={y=x 2+1}是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A={x|y=x 2+1}的代表元素为x ，故集合A 表示的是函数y=x 2+1中自变量x 的取值范围，即函数的定义域A=(,)-∞+∞；集合B={y|y=x 2+1}的代表元素为y ，故集合B 表示的是函数y=x 2+1中函数值y 的取值范围，即函数的值域B=[1,)+∞；集合C={(x,y)|y=x 2+1}的代表元素为点（x ，y ），故集合C 表示的是抛物线y=x 2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=x 2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x 2+1．【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．举一反三：【变式1】 设集合{(,)|34}M x y y x ==+，{(,)|32}N x y y x ==--，则M N =（ ）A. {1,1}-B. {1,1}x y =-=C.(1,1)-D. {(1,1)}- 【答案】D【解析】排除法：集合M 、N 都是点集，因此MN 只能是点集，而选项A 表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C 表示区间(1,1)-（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D ．【变式2】 设集合{|21,}M x y x x Z ==+∈，{|21,}N y y x x Z ==+∈，则M 与N 的关系是（ ）A. N M ÜB. M N ÜC. N M =D. N M =∅【答案】A【解析】集合M 表示函数21,y x x Z =+∈的定义域，有{}M =整数；集合N 表示函数21,y x x Z =+∈的值域，有{}N =奇数，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】【变式3】 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅【答案】B【解析】 当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性． 【答案】D【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由O ∈{0，|x|，y}可知O {x,xy,x-y}∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠0若0x-y=，则x=y ，M ，N 可写为M={x ，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x| ∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( ) 【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又，∴当b=1时，a=-1，b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二、集合的运算例 5. 设集合{}{}|3,,|31,A x x k k Z B y y k k Z ==∈==+∈，{}|32,C z z k k Z ==+∈，{}|61,D w w k k Z ==+∈，求,,,A B A C B C B D .【答案】AB AC B C ===∅,BD D =【解析】先将集合A 、B 、C 、D 转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.集合{}|3,A x x k k Z ==∈表示3的倍数所组成的集合；集合{}|31,B x x k k Z ==+∈表示除以3余1的整数所组成的集合； 集合{}|32,C x x k k Z ==+∈表示除以3余2的整数所组成的集合； 集合{}|61,D x x k k Z ==+∈表示除以6余1的整数所组成的集合；A B A C B C ∴===∅,B D D =.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式1】已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2-2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A. ∅ B. R C. {-1，9} D. [-1，9] 【答案】D【解析】集合M 、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y ≥-1}，N={y|y ≤9}，所以M ∩N={y|-1≤y ≤9}，选D.例6. 设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( ) A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【思路点拨】先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题． 【答案】D【解析】由N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}可得：N={x|0<x<2，x ∈Z}={1}，又由M ∩N={1}，可知1∈M ，即a=1，故选D.举一反三：【变式1】（1）已知：M={x|x ≥2}，P={x|x 2-x-2=0}，求M ∪P 和M ∩P ；（2）已知：A={y|y=3x 2}， B={y|y=-x 2+4}， 求：A ∩B ，A ∪B ；（3）已知集合A={-3， a 2 ，1+a}， B={a-3， a 2+1， 2a-1}， 其中a ∈R ，若A ∩B={-3}，求A ∪B. 【答案】（1）{x|x ≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y ≤4}，R ；（3）{-4，-3，0，1，2}. 【解析】（1）P={2，-1}，M ∪P={x|x ≥2或x=-1}，M ∩P={2}.（2）∵A={y|y ≥0}， B={y|y ≤4}， A ∩B={y|0≤y ≤4}， A ∪B=R . （3）∵A ∩B={-3}，-3∈B ，则有：①a-3=-3⇒a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}⇒A ∩B={-3，1}，与已知不符，∴a ≠0；②2a-1=-3⇒a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A ∪B={-4，-3，0，1，2}.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a 的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【高清课堂：集合的运算 377474 例5】【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B. 【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A ∩B={2，3}，知元素2，3是A ，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2-2a ，6｝，则必有a 2-2a=3，解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A ∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝ 当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A ∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A ∪B=｛2，3，6，18｝例7.已知全集{}{}21,2,3,4,5,|40U A x x px ==++=，求C u A.【思路点拨】C u A 隐含了A U ⊆，对于A U ⊆，注意不要忘记A =∅的情形.【答案】 当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5. 【解析】当A =∅时，方程240x px ++=无实数解. 此时2160,44p p ∆=-<-<<.C u A=U当A ≠∅时，二次方程240x px ++=的两个根12,x x ，必须属于U . 因为124x x =，所以只可能有下述情形：当122x x ==时，4p =-，此时{}2,A = C u A={}1,3,4,5； 当121,4x x ==时，5p =-，此时{}1,4,A = C u A={}2,3,5. 综上所述，当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5； 当4p =-时，C u A={}1,3,4,5； 当5p =-时，C u A={}2,3,5.【总结升华】求集合A 的补集，只需在全集中剔除集合A 的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A 的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式1】 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}. 【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B 中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三、集合运算综合应用例8．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点. 【答案】（1）a<4；（2）a ≥-2；（3）-2≤a<4． 【解析】(1)∵A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}，又A ∩B ≠∅，如图，a<4； (2)画数轴同理可得：a ≥-2；(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4. 【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =， ∴M P ⊆，∴ 11a -≤≤ 故选C ．例9. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.（1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值. 【思路点拨】明确A B B =、A B B =的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】（1）1a =或1a ≤-；（1）2． 【解析】首先化简集合A ，得{}4,0A =-. （1）由AB B =，则有B A ⊆，可知集合B 为∅，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.①若B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-. ②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时，{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意； 当1a =-时，{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意. ③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =. 当1a =时，已讨论，符合题意；当7a =时，{}{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意. 由①②③，得1a =或1a ≤-. （2）,AB B A B =∴⊆.又{}4,0A =-，而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =. 【总结升华】两个等价转化：,A B B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆非常重要，注意应用.另外，在解决有条件A B ⊆的集合问题时，不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.【答案】4,a ≥或4a <- 【解析】A B B =,B A ∴⊆.①当B =∅时，此时方程22120x ax a ++-=无解，由0∆<，解得4,a >或4a <-. ②当B ≠∅时，此时方程22120x ax a ++-=有且仅有一个实数解-2，0∴∆=，且22(2)2120a a --+-=，解得4a =.综上，实数a 的取值范围是4,a ≥或4a <-.【变式2】设全集U R =，集合{}{}|12,|40A x x B x x p =-≤≤=+<，若B C u A ，求实数p 的取值范围.【答案】4p ≥【解析】 C u A={}|1,2x x x <->或，|4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭.B C u A ，∴14p-≤-，即4p ≥.∴实数p 的取值范围是4p ≥. 【巩固练习】1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð（ ）A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）3．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 4．已知集合,A B 满足AB A =,那么下列各式中一定成立的是（ ）A ． AB B ． B AC ． AB B = D ． A B A =5．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．MN C ．N M D ．M N =∅7．用适当的符号填空：（1）m {},m n ；（2）{}m {},m n ；（3）∅ {},m n . 8. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 .9．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则AB =_____________．10．设集合{32}A x x =-≤≤，{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .11．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________.12．已知集合{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==，若A M B ⊆，请写出满足上述条件得集合M .13．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围.14．已知集合{}{}22|20,|0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1AB =-,求实数,p q 的值．15．设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根()U C M N 求.【巩固练习】1．1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ）A 、B A Ü B 、A B ÜC 、A=BD 、A ∩B=∅2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ） A 、{(-2, 1), (2, 1)} B 、{}|03x x ≤≤C 、{}|13x x -≤≤D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ）A ． AB B ． B AC ． AB B = D ． A B A = 5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( )A ．1B ．-1C ．1或-1D ．1或-1或06．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a . 8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = .10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = .11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件： （1）{}1414,,10;A B a a a a =+=（2）集合A B 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<. 求1234,,,a a a a 的值.。

考点01集合（4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．【知识点】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．(3)集合的表示法：__________、____________、____________.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N*(或N＋)2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B￿A)．(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是________________________的真子集．3．集合的基本运算表示运算　集合语言图形语言记法并集交集补集常用结论1．若集合A 有n (n ≥1)个元素，则集合A 有2n 个子集，2n －1个真子集．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .【核心题型】题型一　集合的含义与表示解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．【例1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）A ．(){}1,3M =-，(){}3,1N =-B ．{}1,3M =-，{}3,1N =-C ．(){}2,|3M x y y x x ==+，{}2|3N x y x x ==+D ．{}0M =，0N =【变式1】已知集合{,,}{1,0,1}a b c =-，若下列三个关系有且只有一个正确：①1a ¹-；②1b =-；③0c ¹，则202324a b c -+=（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知{}210A x x ax =-+£，若2A Î，且3A Ï，则a 的取值范围是（ ）A ．510,23öé÷êëøB ．510,23æùçúèûC ．5,2éö+¥÷êëøD ．10,3æö-¥ç÷èø【变式3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合{}22e1xxA x -=£，{}1,0,1B =-，则集合A B Ç的非空子集个数为（ ）A ．4B ．3C ．8D ．7题型二　集合间的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【例2】在集合{}1,1,2,3,4,5,6A =-的子集中，含有3个元素的子集的个数为.【变式1】（2024·海南·模拟预测）已知集合{}{}21,2,4,,A B a a==，若A B B =I ，则=a.【变式2】集合{3,}A m =-，{}24,1B m m =+-，且A B =，则实数m = ．【变式3】若集合{}210A x ax ax =-+<=Æ，则实数a 的值的集合为．题型三　集合的基本运算命题点1　集合的运算【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合π2π2π2π,Z 63A x k x k k ìü=+<<+Îíýîþ，集合ππππ,Z 43B x k x k k ìü=+<<+Îíýîþ，则A B =I （ ）A ．ππ2π,2π43k k æö++ç÷èø，Zk ÎB ．πππ,π43k k æö++ç÷èø，Zk ÎC ．ππ2π,2π63k k æö++ç÷èø，Zk ÎD ．πππ,π63k k æö++ç÷èø，Zk Î【变式1】（2024·云南红河·二模）设集合{}{}0,1,2,3,A B m ==，若{}2A B Ç=，则A B È=（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}2,3【变式2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知{1,2,3,4,5,6,7},{2,4,5},{1,3,5,7},U A B ===则()U A B =I ð（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{2,4,6}D ．{2,4}命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．【例4】（2024·四川凉山·二模）已知集合{}1,11A y y x x ==+-££，{}B x x a =£，若A B B È=，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,2B ．[)2,+¥C ．(],2-¥D ．(],1-¥【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合{}5,1,1,5A =--，{}3B x a x a =<<+，若A B Ç中有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,1--B ．[]2,1--C ．(]2,2-D ．[)5,1--【变式2】．已知集合{}3217A x x =-<+<，{4B x x =<-或}2x >，{}321C x a x a =-<<+．(1)求()R A B I ð；(2)若“()R :p x A B ÎU ð”是“:q x C Δ的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．题型四　集合的新定义问题解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．【例5】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于全集R 的子集A ，定义函数()1,0,A x Af x x A Îì=íÎî为A 的特征函数．设A ，B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是（ ）A ．若A B Í，则()()A B f x f x £B ．()1()A A f x f x =-C ．()()()A B A B f x f x f x Ç=×D ．()()()A B A B f x f x f x È=+【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义()0,0sgn ,0x x x x x =ìï=í¹ïî，若集合()31|sgn i i A y y x =ìü==íýîþå，则A 中元素的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知集合{}1,2A =，{}3,4B =，定义集合：(){},,A B x y x A y B *=ÎÎ，则集合A B *的非空子集的个数是（ ）个．A ．16B ．15C ．14D ．13【变式3】已知实数集A 满足条件:若a A Î，则11aA a+Î-，则集合A 中所有元素的乘积为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．与a 的取值有关【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．下列说法中正确的是（ ）A ．1与{}1表示同一个集合B ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1C ．方程()()2120x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2D ．集合{}5|4x x <<可以用列举法表示2．（2024·福建厦门·二模）设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5i B x x x x x x A i =Î=，那么集合B 中满足1234513x x x x x £++++£的元素的个数为（ ）A ．60B ．100C ．120D ．1303．集合{03}M x x =Î<<N∣的子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．44．（2024·浙江·模拟预测）已知全集{}(){}(){}(){}1,2,3,4,5,1,2,4,3U U U U M N M N M N ====I I U ððð，则M N Ç=（ ）A ．ÆB ．{}4C ．{}5D ．{}1,2二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）设1A ，2A ，×××，()4n A n ³为集合{}1,2,,S n =×××的n 个不同子集，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行第j 列的数为0,1,j ij j i A a i A Ïì=íÎî．则下列说法中正确的是（ ）A ．数阵中第一列的数全是0，当且仅当1A =ÆB ．数阵中第n 列的数全是1，当且仅当n A S =C ．数阵中第j 行的数字和表明集合j A 含有几个元素D ．数阵中所有的2n 个数字之和不超过2n n 1-+6．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N È=，M N Ç=Æ，M 中的每一个元素小于N 中的每一个元素，则称(,)M N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）A ．{}0M x x =<，{}0N x x =>是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素三、填空题7．已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B Í，则=a ．四、解答题8．已知集合A U Í，B U Í，全集{}1,2,3,4,5,6U =，且{}1,3,4U A =ð，{}3,5,6B =(1)求集合A ；(2)求A B Ç.9．已知集合{}1,4A =，{}1,4,5,6B =.(1)求A B Ç及A B È；(2)求B A ð.【综合提升练】一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}{}2450,34A x x x B x a x a =--³=-<<+，若A B =U R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}1a a >B ．{}12a a <<C ．{}2a a <D ．{}12a a ££2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}{}22,0,20A B x x x =-=-=，则()U A B È=ð（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}1,1-3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合{1,2}A =，{0,2}B =，若定义集合运算：{}*,,A B z z xy x A y B ==ÎÎ，则集合*A B 的所有元素之和为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．04．（2024·全国·模拟预测）已知集合U =Z ，{}21,A x x k k ==+ÎZ ，{}42,B x x k k ==+ÎZ ，则{}4,x x k k =Î=Z （ ）A ．()U AB ÇðB ．()U A B U ðC ．U A B I ðD ．U A BÈð5．设全集U =R ，集合302x A xx ìü-£íý+îþ．集合{}ln 1B x x =³，则()U A B =I ð（ ）A ．()e,3B ．[]e,3C ．[]2,e -D ．()2,e -6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合105x A xx ìü+=³íý-îþ，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B Ç=ð（ ）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,57．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S Î，则当且仅当a m n =+（其中正整数m 、n S Î且m n ¹）或a p q =+（其中正整数p 、q S Ï且p q ¹）．现有如下两个命题：①5S Î；②集合{}*3,x x n n S =ÎÍN ．则下列判断正确的是（ ）A ．①对②对B ．①对②错C ．①错②对D ．①错②错8．已知函数()442xx f x =+，[]y x =为高斯函数，表示不超过实数x 的最大整数，例如[]0.51-=-，[]1.31=.记{}2,1,0,1A =--，()()111,22B yy f x f x x ìüéùéù==-+--ÎíýêúêúëûëûîþR ，则集合A ，B 的关系是（ ）A ．{}2A B Ç=-B ．{}1,0,1A B =-I C ．{}1,0A B Ç=-D ．{}0,1A B =I 二、多选题9．若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（ ）A ．()()U U M N U ððB ．()U M N U ðC ．()U M N ððD ．()U N Mðð10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合212{|N,N},{|67}1A x xB x x x x =ÎÎ=-<+，则（ ）A ．{}1,2,3,5AB Ç=B ．(){}1,711A B È=-ÈC ．{}12,x y x A y B Ï-ÎÎ∣D ．(){}2,lg 9Ra A y y x ax $Î=-+=∣11．已知集合,A B 满足(){},,11,,,B x y z x y z x y z A =++=Î∣，则下列说法正确的是（ ）A ．若{}2,0,1,13A =-，则B 中的元素的个数为1B ．若{}21,A xx k k ==+ÎN ∣，则B 中的元素的个数为15C ．若A +=N ，则B 中的元素的个数为45D ．若A =N ，则B 中的元素的个数为78三、填空题12．已知集合{}2,0,2,4M =-，{}N x x m =³，若M N M Ç=，则m 的最大值为．13．（2024·广东湛江·一模）已知全集U 为实数集R ，集合{}24A x x =£，{}2log 2B x x =>，则U A B =U ð ．14．（2024·辽宁·一模）已知集合{|M x y ==，{2}N x x =Î>-N∣，则M = ，M N Ç= .四、解答题15．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，B ＝{1，2}，且A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R }，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围．17．已知a 为实数，设集合{}22A x x a x =-+£．(1)设集合{}lg 0B x x ==，若B A Í，求实数a 的取值范围．(2)若集合A =R ，求实数a 的取值范围；18．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -Îì=íÏî．对于两个集合,M N ，定义集合()(){}1M N M N x f x f x Ä=×=-∣．已知集合{}{}1,3,5,7,9,2,3,5,6,9A B ==．(1)求()1A f 与()1B f 的值；(2)用列举法写出集合A B Ä；(3)用()Card M 表示有限集合M 所包含元素的个数．已知集合X 是正整数集的子集，求()()Card Card X A X B Ä+Ä的最小值，并说明理由.19．对于数集{}121,,,,n X x x x =-×××，其中120n x x x <<<×××<，2n ³，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==ÎÎr r，若对任意1a Y Îr ，存在2a Y Îr ，使得120a a ×=r r ，则称X 具有性质P ．(1)设{}1,1,2X =-，请写出向量集Y 并判断X 是否具有性质P （不需要证明）．(2)若102x <<，且集合11,,,12x ìü-íýîþ具有性质P ，求x 的值；(3)若X 具有性质P ，且2x q =，q 为常数且1q >，求证：34231n n x xx q x x x -==×××==．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2023·上海宝山·一模）已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S Î，则当且仅当(a m n =+其中,m n S Î且)m n ¹，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ÏÎ且)p q ¹.现有如下两个命题: ①4S ∈；②集合{}35,N x x n n S =+ÎÍ.则下列选项中正确的是（ ）A ．①是真命题， ②是真命题；B ．①是真命题， ②是假命题C ．①是假命题， ②是真命题；D ．①是假命题， ②是假命题.2．已知函数()()221R f x x ax a =-+Î，若非空集合(){}()(){}0,1A x f x B x f f x =£=£∣∣，满足A B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11éù--ëûB ．1éù-ëûC ．éëD ．1,1éë3．已知集合{}Z 10A x x =Î+³，{}23B x x =-<<，则A B =I （ ）A ．{}Z 1x x γ-B ．{}13x x -££C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}1,0,1,2-4．（2024·全国·模拟预测）已知集合{}{}230,e 1x M x x N y y =->==+，则（ ）A ．31,2M N æö=ç÷èøIB ．3,2M N æö=+¥ç÷èøUC ．31,2N M æö=ç÷èøðD ．M NÍ5．（23-24高三上·上海·期中）设R a Î且0a ¹，n 为正整数，集合()cos πx S x a x n ìü==íýîþ．有以下两个命题：①对任意a ，存在n ，使得集合S 中至少有2个元素；②若存在两个n ，使得S 中只有1个元素，则25a <，那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是假命题D ．①、②都是真命题二、多选题6．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0R x Î满足：对任意0a >，都存在x X Î，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）A ．{}|R,0x x x ιB ．{Z |0}x x ιC ．*1,N x x n n ìü=ÎíýîþD ．*,N 1n x x n n ìü=Îíý+îþ7．下列说法正确的是（ ）A ．已知集合ππ,Z 42k M x x k ìü==+Îíýîþ，ππ,Z 24k N x x k ìü==+Îíýîþ，则M NB ．终边落在y 轴上的角的集合可表示为{}90π,Z k k a a =°+ÎC ．若sin cos 0x x ->，则π5π2π2π,Z 44x x k x k k ìüÎ+<<+ÎíýîþD ．在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形三、填空题8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合{}21A x x =-<£，集合{}211B x a x a =-££+，若A B Ç=Æ，则实数a 的取值范围为 .9．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列{}n a 的公差为23p ，集合*{|cos ,}n S x x a n ==ÎN 有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．10．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合{}++,,N ,N i A x x a i n i n ==£ÎÎ，12n S a a a =+++L 则称S 为集合A 的“元素和”，记为A .若集合(){}+12,,N ,N i P x x i i n i n +==+£ÎÎ，集合P 的所有非空子集分别为1P ，2P ，…，k P ，则12k P P P +++=L.四、解答题11．设自然数3n ³，由n 个不同正整数123,,,n a a a a L 构成集合{}123,,,n S a a a a =L ，若集合S 的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合S P ，记()card S P 为集合S P 元素的个数(1)已知集合{1,2,3,4}A =，集合{1,2,4,8}B =，分别求解()()card ,card A B P P ．(2)对于集合{}123,,,n S a a a a =L ，若()card S P 取得最大值，则称该集合S 为“极异集合”①求()card S P 的最大值（无需证明）．②已知集合{}123,,,n S a a a a =L 是极异集合，记12i i i d a -=-求证：数列{}n d 的前n 项和0n D ³．12．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有||x y k -¹，则称A 具有性质()P k ．(1)试判断集合{1,2,3,4}B =和{1,4,7,10}C =是否具有性质(2)P ？并说明理由．(2)若{}1212,,,{1,2,,20}A a a a =¼Í¼．证明：A 不可能具有性质(3)P ．(3)若{1,2,,2023}A ͼ且A 具有性质(4)P 和(7)P ．求A 中元素个数的最大值．13．（2024·北京·模拟预测）已知集合{}1,2,3,,A n =¼，其中*12,,,,m n A A A ÎN L 都是A的子集且互不相同，记i i M A =的元素个数，()ij i j N A A =Ç的元素个数{}(,1,2,,,)i j m i j Î<L .(1)若{}{}1213234,1,2,1,3,1n A A N N =====，直接写出所有满足条件的集合3A ；(2)若5n =，且对任意1i j m £<£，都有0ij N >，求m 的最大值；(3)若()7,31,2,,i n M i m ³£=L 且对任意1i j m £<£，都有1ij N =，求m 的最大值.。

中职数学基础知识汇编（学生版）【集合】1. 集合的概念集合中的元素具有__________、__________和__________.2. 常用数集及其记法自然数集用_____表示，正整数集用__________表示，整数集用_____表示，有理数集用_____表示，实数集用_____表示.3．集合与元素间的关系元素a属于集合M用符合表示为__________，元素a不．属于集合M用符合表示为__________. 4．集合的表示法有_____________、_____________、_____________和_____________.5．集合按照元素个数可分类为__________、__________以及不含任何元素的空集（_____）（用符合表示）6. 集合间的基本关系n n≥个元素，则它有_____个子集，它有_____个真子集，它有_____个非空子集，7. 已知集合A有(1)它有_____非空真子集.8. 集合的基本运算∅=A=_________A =___∅=()___U A =()___U A =【不等式】 1. 实数比较大小__________a b =⇔，__________a b >⇔，__________a b <⇔.2. 不等式的性质（1）若a b >，则___a c b c ++.（2）若a b >，c d >，则___a c b d ++.（3）若a b >，0c >，则___ac bc ；若a b >，0c <，则___ac bc . （4）若0a b >>，0c d >>，则___ac bd .（5）若0a b >>，则___n n a b .*（6）绝对值三角不等式：__________||a b ≤±≤__________. 3. 一元二次不等式的解法4. 两个重要不等式（1）若,a b R ∈，则22_____a b +≥（当且仅当a b =时等号成立），变形公式：____________. （2）若0,0a b >>，则_____a b +≥（当且仅当a b =时等号成立）,变形公式：____________. 5. 绝对值不等式的解法（1）不等式||(0)x a a <>的解集为_______________. （2）不等式||(0)x a a >>的解集为_______________. 【函数】1. 函数的三要素是__________、__________和__________.2. 只有__________和__________都相同的两个函数才是同一函数.3. 区间设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做__________，记做__________；满足a x b <<的实数x 的集合叫做__________，记做__________；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做_______________，分别记做__________，__________；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做__________，__________，__________，__________.注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． 4. 求函数的定义域（1）()f x 是整式时，定义域是__________.（2）()f x 是分式函数时，定义域是使分母__________的一切实数．（3）()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为__________时的实数的集合． （4）零（负）指数幂的底数不能为_____. （5）对数函数的真数大于_____.（6）函数tan y x =的定义域为____________________.5. 函数的常用表示方法有__________、__________和__________.6. 函数的单调性（1）如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x ，2x ,当12x x <时，都有 __________，那么就说f (x )在这个区间上是增函数．．．． （2）如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x ，2x ,当12x x <时，都有 __________，那么就说f (x )在这个区间上是减函数．．．． 7. 最大（小）值（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；②存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的______，记作______. （2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；②存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的______，记作______.8. 函数的奇偶性（1）如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有__________，那么函数()f x 叫做奇函数．．．，其图象 关于_____对称；若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)_____f =.（2）如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有__________，那么函数()f x 叫做偶函数．．．，其图象 关于_____对称. 9. 指数运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的________．当n 是奇数时，a 的n 次表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是_____；负数a 没有n 次方根．______，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．（2）根式的性质：___n =；当n___；当n 为偶数时，||__________a ==.（3）零指数幂：0_____(0)a a =≠，负整数指数幂：__________(0)n a n N a ，−+==∈≠. （4）正数的正分数指数幂：_____(0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >，0_____(,,m nm n N +=∈且1)n >. （5）正数的负分数指数幂： __________(0,,,m naa m n N −+==>∈且1)n >.（6）_____(0,,)r s a a a r s R ⋅=>∈，()_____(0,,)r s a a r s R =>∈，()_____(0,0,)r ab a b r R =>>∈ 10.指数函数11.对数运算（1）对数的定义：若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做____________________，记作__________，其中a 叫做__________，N 叫做__________.（2）对数式与指数式的互化：__________(0,1,0)x a N a a N ⇔=>≠>（3）10log N 叫做常用对数，记作_______；log e N （其中 2.71828e =…）叫做自然对数，记作_______. （4）三个重要的对数恒等式：log 1_____a =，log _____a a =，log _____a N a =.（0a >且1a ≠） （5）对数的运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log _____a a M N +=②减法：log log _____a a M N −= ③数乘：log _____()a n M n R =∈④换底公式：log _____a N = 12.对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 值域过定点图象过定点_______，即当1x =时，0y =．1 xyO(1,0)1x =log a y x=01xyO(1,0)1x =log a y x=13.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式：①一般式：_____________________②顶点式：_____________________③两根式：_____________________（2）求二次函数解析式的方法：①已知三个点坐标时，宜用_______．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用_______.③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用_______求()f x更方便.（3）二次函数图象的性质：①二次函数2()(0)f x ax bx c a=++≠的图象是一条_______，对称轴方程为_______，顶点坐标是______________.②若0a>时，则抛物线开口_______，函数在__________上递减，在__________上递增，当x=____时，min ()f x=_______；若0a<，则抛物线开口_______，函数在__________上递增，在__________上递减，当x=____时，max ()f x=_______．【三角函数】1. 任意角（1）正角：按__________方向旋转形成的角；（2）负角：按__________方向旋转形成的角；（3）零角：不作任何旋转旋转形成的角；2. 象限角（1）角α的顶点与________重合，角的始边与x 轴的__________重合，终边落在第几象限， 则称α为第几象限角. （2）终边相同的角第一象限角的集合为___________________________________ 第二象限角的集合为___________________________________ 第三象限角的集合为___________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ 终边在x 轴上的角的集合为______________________________ 终边在y 轴上的角的集合为______________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为______________________________ 与角α终边相同的角的集合为______________________________ 3. 弧度制（1）长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度.（2）半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是α=_____. （3）弧长公式：l =_____.（4）扇形面积：S 扇形=________=________.（5）弧度制与角度制的换算公式：π=________，10.01745180π=≈，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭.4. 任意角的三角函数的定义：设点(,)P x y 是角α终边上的任意一点，且22OP r x y ==+，那么正弦sin α=______，余弦cos α=______，正切tan α=______. 5. 各三角函数在每个象限的符号6. 特殊角的弧度制与角度制及三角函数值sin αcos αtan α角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°弧度制 sin α cos α tan α7. 同角三角函数的基本关系式（1）__________________⇔22sin 1cos αα=−⇔__________________ ⇔__________________⇔2cos 1sin αα=±− （2）__________________⇔sin cos tan ααα=（3）“1”的代换变形：1=__________________=________=________=________. 8. 诱导公式形式： )2k k Z （πα⋅±∈；总口诀：奇变偶不变，符合看象限。

1.2 集合间的基本关系1．集合M=}|1,2n x x n Z ⎧=+∈⎨⎩，N=}1|,2x x m m Z ⎧=+∈⎨⎩，则两集合M ，N 的关系为（ ）A ．M∩N=∅B ．M=NC ．M ⊆ND ．N ⊆M 2．已知集合{2,0,1},{0,1,3}M N =-=，则M N ⋃=（ ）A ．{0,1}B ．{2,1,3}-C ．{2,0,1}-D ．{2,0,1,3}-3．已知集合A ，B ，C 满足：A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3B =，{}1,3,8,9C =，则集合A 可以是（ ） A ．{}1,8B ．{}1,3C ．{}0D ．{}94．集合{|13}P x Z x =∈-<，{}2R |9M x x =∈，则P∩M 等于A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．1,0,1,2D ．{|03}x x ≤≤5．设集合{}2|0log 1A x x =<<，{}|B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）． A ．2a ≥B ．2a >C ．1a <D ．1a ≤6．已知集合{}20A x mx mx m =-+=有两个非空真子集，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}4m m ＞B ．{}04m m m ＜或＞C ．{}4m m ≥D ．{}04m m m ≤≥或7．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆8．对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算，法则如下：当,m n 都是正奇数时，mn m n =+ ；当,m n 不全为正奇数时，m n mn =，则在此定义下，集合(){,|M a b a=16,*,*}b a N b N =∈∈的真子集的个数是（ ）A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421- 9．若集合{|13}A x x =<<，{|}B x x a =<，且A B B ⋃=，则a 的取值范围为（ ）A ．3a ≥B ．3a ≤C ．1a ≥D ．1a ≤10．已知集合A ＝x|x 2﹣3x+2＝0}，B ＝x|0＜x ＜6，x∈N}，则满足A ⫋C ⊆B 的集合C 的个数为（ ） A ．4B ．7C ．8D ．1611．已知a R b R ∈∈，，若集合{}210b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，，，，则20212020a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．212．设集合{}210A x x =-=，则（ ）A ．A ∅∈B ．A π∈C ．1A -∈D ．{}11A -∈， 13．设集合A ＝x|x ＝2k ＋1，k ∈Z}，若a ＝5，则有（ ）A ．a ∈AB ．－a ∉AC ．a}∈AD ．a}∉A14．设集合P=立方后等于自身的数}，那么集合P 的真子集的个数是（ ）A ．3B ．4C ．7D ．815．集合|,3kA x x k Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，{}|,B x x k k Z ==∈，1{|,}3C x x k k Z ==+∈，2{|,}3D x x k k Z ==+∈，则下面正确的是（ ）A ．C DB =B ．CD A ⋃=C ．B C A =D ．B C D A =16．若集合|,2M k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,2N k k Z πββπ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，|2,2P k k Z πθθπ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，|2,2Q k k Z πϕϕπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则四个集合中与其它三个集合不相等的一个集合是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q17．已知集合2{|40}A x x =-=，则下列关系式表示正确的是（ ）A ．A ∅∈B ．{2}A -=C ．2A ∈D ．{2,2}- ≠⊂A 18．已知集合{}01A =，，{},,B z z x y x A y A ==+∈∈∣，则B 的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．8D ．619．设集合{|,}24k M x x k ππ==+∈Z ，{|,}42k N x x k ππ==+∈Z ，则（ ） A ．M NB ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N ⋂=∅ 20．若1,2,3} A ⊆1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案1．D 2．D 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 详解：由题意，当m n ， 都是正奇数时，m n m n =+※ ；当m n ，不全为正奇数时，m n mn =※ ； 若a b ， 都是正奇数，则由16a b =※ ，可得16a b += ，此时符合条件的数对为（115313151⋯，），（，），（，） 满足条件的共8个；若a b ，不全为正奇数时，m n mn =※ ，由16a b =※ ，可得16ab = ，则符合条件的数对分别为116284482161（，），（，），（，），（，），（，） 共5个；故集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（，）※，， 中的元素个数是13， 所以集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（，）※，，的真子集的个数是1321-．故选C ．点睛：本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，9．A 10．B 11．B 12．C 13．A 14．C 15．D 16．D 17．C 18．C 19．C详解：集合1,2,3}是集合A 的真子集，同时集合A 又是集合1,2,3,4,5}的子集，所以集合A 只能取集合1,2,3,4}，1,2,3,5}和1,2,3,4,5}． 考点：集合间的基本关系.【参考解析】1．解析：根据子集的定义判断． 详解：由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n=2k （k∈Z），则x=k+1（k∈Z）， 当n 为奇数时，设n=2k+1（k∈Z），则x=k+1+12（k∈Z）， ∴N ⊆M ， 故选：D.2．解析：根据并集的运算求解即可. 详解：因为{2,0,1},{0,1,3}M N =-=，由集合的并集运算，得{2,0,1,3}M N ⋃=-. 故选：D 点睛：本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.3．解析：根据题意，得()A B C ⊆，再利用交集的定义即可得到结论. 详解：由A B ⊆，A C ⊆，知()A B C ⊆， 又{}0,1,2,3B =，{}1,3,8,9C =， ∴{}1,3B C =， ∴集合A 可以为{}1,3. 故选：B. 点睛：本题考查交集的定义，集合与集合的关系，属于基础题.4．解析：先求出集合M 和集合P ，根据交集的定义，即得P M ⋂。

（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};。