数值计算方法ch2—2.2

数值计算方法1. 简介数值计算方法是一种利用计算机对数值进行近似计算的方法。

在实际问题中，无法直接找到解析解的情况下，数值计算方法可以通过一系列的数学算法和计算机程序来求解数值近似解。

本文将介绍数值计算方法的常见算法和应用。

2. 常见数值计算方法2.1 二分法二分法是一种通过逐步缩小区间来逼近根的方法。

它可以用于求解方程的根或函数的零点。

二分法的思想是首先选择一个区间，然后将区间分为两个子区间，根据函数的性质判断根可能在哪个子区间中，然后在选择的子区间内继续进行二分，不断逼近根的位置，直到达到指定的精度。

2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程根的方法。

它通过计算函数在某点的斜率，然后使用一条直线来逼近函数，进而求解方程的根。

牛顿迭代法的迭代公式如下：X[n+1] = X[n] - f(X[n])/f'(X[n])其中，X[n]是第n次迭代的近似根，f(X[n])是函数在X[n]处的值，f'(X[n])是函数在X[n]处的斜率。

2.3 插值法插值法是一种通过已知数据点来构造代表函数的曲线或多项式的方法。

在插值方法中，可以利用已知数据点之间的关系，通过求解系数来构造函数的近似表达式。

常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

2.4 数值积分数值积分是一种通过将函数转化为插值多项式来计算定积分的方法。

数值积分方法可以将曲线的面积近似分成多个小矩形或梯形，然后计算各个小矩形或梯形的面积之和来得到定积分的近似值。

3. 数值计算方法的应用数值计算方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理、金融、工程等。

以下是数值计算方法的一些典型应用：3.1 方程求解数值计算方法可以用来求解方程的根，例如光速逼近法可以用来求解非线性方程，在实际物理问题中有广泛的应用。

3.2 数据拟合数据拟合是一种通过已知数据点来构造函数的曲线或多项式的方法。

数值计算方法可以通过插值法或最小二乘法来拟合数据，用来分析和预测数据的趋势。

数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。

数值计算方法数值计算方法是一种通过使用数学算法和计算机技术，对数值问题进行近似求解的方法。

它广泛应用于科学、工程和金融等领域，是现代科学研究和工程设计中不可或缺的工具。

本文将介绍数值计算方法的基本概念和原理，以及一些常用的数值计算方法和其在实际问题中的应用。

一、基本概念和原理1.1 数值计算方法的定义数值计算方法是一种使用数学模型和计算机算法来求解数值问题的方法。

它的基本思想是将实际问题转化为数学模型，并通过数学算法进行近似求解。

数值计算方法包括数值逼近、数值微积分、数值代数、数值方程求解等多个方面。

1.2 数值计算方法的原理数值计算方法的原理是通过将连续的实际问题转化为离散的数学问题，然后利用数值算法对离散问题进行求解。

它的基本步骤包括问题建模、离散化、数值计算和求解结果的评估。

数值计算方法的关键在于选择合适的离散方法和数值算法，并进行适当的误差分析。

二、常用的2.1 数值逼近方法数值逼近方法是一种通过使用逼近函数来近似求解函数值的方法。

常用的数值逼近方法包括插值法、拟合法和最小二乘法等。

插值法通过已知函数值来估计其他点上的函数值，拟合法通过拟合函数来逼近实际数据，最小二乘法通过最小化误差平方和来确定拟合函数的系数。

2.2 数值微积分方法数值微积分方法是一种通过数值近似计算函数的导数和积分的方法。

常用的数值微积分方法包括数值微分和数值积分。

数值微分通过差分近似计算函数的导数，数值积分通过数值近似计算函数的定积分。

数值微积分方法在科学计算和工程设计中广泛应用，如求解微分方程、优化问题等。

2.3 数值代数方法数值代数方法是一种通过数值计算近似解线性代数方程组的方法。

常用的数值代数方法包括直接方法和迭代法。

直接方法通过高斯消元法等精确求解线性方程组，迭代法通过迭代逼近的方式求解线性方程组。

数值代数方法广泛应用于科学计算和工程设计中的矩阵计算和线性方程组求解等问题。

2.4 数值方程求解方法数值方程求解方法是一种通过数值计算近似求解非线性方程的方法。

节理岩体数值计算方法及其应用(一)：方法与讨论摘要叙述了工程岩体的典型破坏类型、发生条件和判断方法，简单介绍了针对节理岩体的数值计算方法发展过程、现状和特点，重点叙述了利用3DEC 基本功能生成三维随机节理网络和节理力学参数的随机赋值方法。

其中三维节理网络技术可以非常逼真地模拟现实条件下各种复杂形式的节理分布，甚至可以直接利用节理的地质编录资料在数值模型中生成确定位置上的确定性节理，在某种程度上一体化地实现了节理岩体的计算机模拟和数值计算，促进了不连续岩体、岩石计算方法在应用技术方面的发展。

最后讨论了不连续力学数值计算技术的工程应用，指出了合理运用数值计算方法解决工程问题的一般原则。

关键词岩石力学，数值模拟，不连续体，离散元，随机，节理岩体1 概述数值计算已经被普遍应用于工程设计中解决各种岩石力学问题。

随着数值计算技术的发展，它在很大程度上已经取代了一些传统的研究手段，使得岩土工程中的许多岩石力学问题有可能较快地得到解决。

目前已经开发出来的岩土工程数值计算软件及相关领域的工程软件，已为岩土工程设计和施工中相关问题的研究提供了充分的选择余地。

在目前条件下如何正确选择和有效地使用这些软件，则成为岩石力学数值计算实际应用中的一个现实问题。

对岩体几何特征的研究开始于20世纪70 年代，主要是采用概率统计方法研究节理的产状、间距和迹长等几何参数的统计分布[1]以及岩体节理网络计算机模拟等，其最终目的还是为研究节理岩体的力学特性服务。

然而，迄今为止，能正确地描述岩体中的节理分布，并把它们与岩石力学数值计算方法相结合的应用实例还很鲜见。

本文的研究，从岩体破坏类型及其发生条件入手，首先界定结构面控制型破坏的发生条件，从而规定了需要采用不连续力学方法进行岩石力学分析方法的一般范围，利用3DEC 程序的基本功能直接在3DEC 计算模型中模拟节理网络方法和节理力学指标值的随机赋值方法，针对中国水电工程特点，讨论了进行数值计算时需要考虑的有关岩体非连续性问题。

数值计算方法•随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。

科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。

因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各咼輕院校数学、物理和井算*几应用专 ?工科本科生的专业基础课，也是工科矗究生的学位必修课。

•数值分析或数值计算方法主要是研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法•对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺少，同时有十分•计算机解决科学计算问题时经历的几个过程-实际问题——> 数学模型——> 数值计算方法——> 程序设计——> 上机运行求出解-实际问题——〉数学模型：由实际问题应用科学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应-数值计算方法——> 程序设计——> 计算结果:根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出程序上机算出解，是计算数学的任务。

•数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论-包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计 q寸间的最小（也就是计算费用），占用内存空•例仁1.1试求函数方程x=cosx在区间(0,彳)内的—个根。

解令/■(%) r - COSX,易知/'(兀)在［0,Q上是连续函数且71 71f(0)f(-) = (-i)*-<0本题用解析法求解较为困难•若用图解法，可大致判定此零点位置作图像J “兀[y = cosx取两曲线交点/的横坐标/为所求方程的解，从图中可以例1.12计算定积分pi 4 a )i 1= —4 1 + x 2角军：(1)由牛顿一莱布尼兹公式厶=4arctanx !{)= 4arctanl -4arctan0 = n y 4 — 、帀庄的复 Rimpson 公式有 捋t 牌尿《rl Jo dx ⑵ I 2 =e~x dx 法有多种，如= = 被积函数2 賁/(0) + 4/(|) + 2f(|) + 4f(|) + /(I)] 6 4 2 4= 3.141568627 2 ▲(2) /2 = £ e dx,由 刁(兀) - Leibniz 公式无法求解，仅可fl®值方 仍选扌韌=2, 二丄,的复jhsimpson^式进 幽解有厶二无原函数，因此,2 q 0.746855379。