数学史19教学文档

林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第一篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。

1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。

1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。

魏尔斯特拉斯简介。

1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。

实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。

1.3 集合论康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。

康托简介。

2、分析的拓展 2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。

复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。

柯西建立了复变函数的微分和积分理论。

1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。

柯西简介。

背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。

黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。

1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。

魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。

《数学史教案》word版一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解古代数学的发展历程及其代表性人物和成就；（2）掌握数学的基本概念、原理和方法，提高数学思维能力。

2. 过程与方法：（1）通过探究数学历史，培养学生的自主学习能力和团队合作精神；（2）学会运用数学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）感受数学的博大精深和魅力，增强对数学的兴趣和信心；（2）培养严谨治学、不断探索的科学研究态度。

二、教学内容1. 第一章：中国古代数学（1）概述中国古代数学的发展历程；（2）介绍《九章算术》和《周髀算经》等古代数学著作；（3）讲解中国古代数学家的成就和贡献。

2. 第二章：古希腊数学（1）概述古希腊数学的发展历程；（2）介绍毕达哥拉斯、欧几里得等古希腊数学家及其主要成就；（3）讲解勾股定理和圆的周长、面积等几何概念。

3. 第三章：阿拉伯数学（1）概述阿拉伯数学的发展历程；（2）介绍阿拉伯数学家花拉子密及其主要成就；（3）讲解阿拉伯数字和代数学的发展。

4. 第四章：欧洲中世纪数学（1）概述欧洲中世纪数学的发展历程；（2）介绍莱昂纳多·斐波那契及其主要成就；（3）讲解斐波那契数列和黄金分割等概念。

5. 第五章：欧洲近代数学（1）概述欧洲近代数学的发展历程；（2）介绍笛卡尔、牛顿等欧洲近代数学家及其主要成就；（3）讲解解析几何和微积分等概念。

三、教学方法1. 采用讲授法、讨论法、探究法等多种教学方法；2. 使用多媒体课件、实物模型等辅助教学；3. 组织学生进行小组合作、研究性学习等活动。

四、教学评价1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；2. 期中考试：考察学生对数学史知识的掌握和理解；3. 期末考试：综合考察学生的数学知识和运用能力。

五、教学资源1. 教材：《数学史教程》等；2. 参考书籍：《数学简史》、《数学发展史》等；3. 网络资源：数学史相关网站、视频等；4. 教具：多媒体课件、实物模型等。

人教版八年级下册合作研学之------第19 章数学活动建立函数模型解决实际问题课题第19 章一次函数授课年级课型课时数学活动八年级新授课 1一、内容和内容解析内容数学活动内容解析函数是反映变量之间对应关系和变化规律的重要模型。

它在研究自然界和现实生活中的变化规律及解决相关问题中有着广泛的应用。

本章是在学生已有的建立方程（组）或不等式的数学模型基础上，继续重视数学与实际的联系，在建立函数这种应用更广泛的数学模型的过程中继续体现数学模型思想。

本节课是人教版八年级教材第十九章《一次函数》中的最后一个内容，为进一步提高学生实践意识与综合应用数学知识的能力，教材安排了这节活动课。

本节数学活动课，具有更强的实际应用背景，进一步学习用函数模型的方法研究问题，主要是建立一次函数模型刻画实际问题中变量关系，并尝试对变量的变化规律进行初步预测。

即将实际问题中两个变量的部分对应数据，用平面直角坐标系中的点表示，观察点的分布特征建立函数模型，求出函数解析式，再利用解析式对变量的变化规律进行初步预测等活动。

目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出函数模型的广泛应用性和有效性；另一方面使学生在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。

因此本节课的教学重点：根据两个变量的部分对应值建立一次函数函数模型，并利用函数模型解决实际问题，体会数学模型的思想方法。

二、目标和目标解析教学目标知识技能理解一次函数的本质，能够构造一次函数模型，并用一次函数模型描述和研究实际问题中的运动变化规律，探究建立函数模型解决实际问题的基本规律。

数学能力经历建立函数模型刻画实际问题中的变量关系，并解释与应用的基本过程，发展学生的数学核心素养；经历提出问题，收集和整理数据，获取信息，处理信息（图象法），构造一次函数模型，待定系数法求函数解析式，对变量的变化规律进行初步预测的过程，在获得对数学知识和方法进一步理解的同时，发展学生分析问题、解决问题的能力。

第19章一次函数19.1.1变量与函数(1)教学目标①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义。

能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。

②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。

③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心。

教学重点与难点重点：函数概念的形成过程。

难点：正确理解函数的概念。

教学准备每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子。

教学设计提出问题:1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶。

行驶里程为s千米,行驶时间为t小时。

先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：2.已知每张电影票的售价为10元。

如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评。

(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验。

动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示) 。

设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报。

通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息。

课题第十九章一次函数（复习课）授课人指导教师人教版八年级数学下册第十九章第十九章一次函数（复习课）教学的实质是以教材中提供的素材或实际生活中的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、数形结合和方程的思想方法，达到学生知识的构建、能力的培养、情感的陶冶、意识的创新．一、教材及教学内容分析（一）教材的地位和作用分析一次函数是人教版八年级下册第十九章的内容．本节课是在前面学习了一次函数的相关知识的基础上，通过复习构建完整的知识网络，巩固已经学过的知识，研究一次函数在实际问题中的应用，渗透数形结合、函数模型等重要思想方法，它既是前面所学知识的延伸，也是后面学习二次函数、反比例函数的重要知识储备，我们常常利用它来解决生活中的实际问题，因此本节课具有承上启下的重要作用．本节课通过“复习—探究—归纳—巩固—反馈”的过程，进一步培养学生的观察能力、分析能力、逻辑推理能力和归纳能力，因此，本堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的意义和作用．（二）教学内容的分析本节课是一次函数的复习课，在掌握一次函数的图象和性质的基础上着重探究其应用”。

在教学的过程中，通过举贴近学生生活的国庆小长假租共享汽车出游的实例，结合一次函数的实际应用，让学生感知生活中处处有数学，感受生活中的数学美；通过学生感兴趣的问题情景引入复习课，提高学生的学习乐趣；通过发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的教学过程让学生回顾一次函数的知识点；通过开展小组讨论等活动，探究发现一次函数的图象和性质，渗透数形结合的思想方法．本节课的设计上，尽量把一次函数的知识与生活实际有机地结合起来，经历知识的“再发现”过程，从而提高学生的学习兴趣，在探究活动的过程中发展创新思维能力．在例题的选取上，注重联系实际，激发学生学习兴趣，让学生主动用数学知识解决实际问题，同时渗透数形结合和函数模型的数学思想方法，让学生形成属于自己的数学思维和能力．二、目标及其解析（一）教学目标1．了解正比例函数与一次函数的定义，进一步认识待定系数法；2．经历复习探究一次函数的图象和性质的过程，理解一次函数的图象和性质；3．掌握数形结合的思想方法，能运用数形结合的思想方法解决生活中的实际问题．数学思考经历复习一次函数的过程，体会探究的必要性，理解数形结合的数学思想，强化数学的建模意识，提高利用演绎和归纳进行复习的能力.解决问题1．能运用数形结合的思想方法解决生活中的实际问题，发展学生数学的应用能力，获得解决问题的经验；2．在小组活动和探究过程中，学会与人合作，体会与他人合作的重要性.（二）教学重点：一次函数的图象和性质及其应用.（三）教学难点：运用一次函数数形结合的思想分析、解决实际问题．（四）解析本堂课是一次函数的复习课，所以对于本堂课的知识目标的定位，主要考虑如下：1．了解正比例函数与一次函数的定义，认识求一次函数解析式的方法待定系数法，在本节课中要达到如下要求：（1）了解正比例函数与一次函数的定义，知道正比例函数与一次函数的区别与联系；（2）知道求一次函数解析式的方法是待定系数法，并会用待定系数法求一次函数解析式；2．经历复习探究一次函数的图象和性质的过程，掌握一次函数的图象和性质；在上课的过程中让学生参与一次函数的图象和性质的复习和探索，鼓励学生用规范的数学言语表述解题过程，发展学生的数学语言能力；3．掌握数形结合的思想方法，能运用数形结合的思想方法解决生活中的实际问题，本节课要达到以下要求：掌握一次函数的图象和性质及数形结合的思想方法，会利用数形结合的思想方法解决生活中的实际问题．三、问题诊断分析八年级的学生思维活跃并且已初步具备自主探索及归纳的能力，逻辑思维较强．对于授课班级的学生来说，他们总体层次较好，接受能力较强，基本上掌握了一次函数的概念、表示方法和解法，在学习了一次函数的图象和性质后，已经初步具有了数形结合和函数模型的意识．但从实际问题中发现相关问题并提出问题建立数学模型还是存在一定困难．因此，在本节课的教学中同时要注意培养和提高学生分析问题与解决问题的能力．在教学中我采用先解决实际问题，再对数学知识和思想方法进行归纳，最后再运用学知识和数学思想方法解决其他实际问题的流程，为学生搭一个台阶，从而更好地解决这个难点．在设计问题时，我注重挑选与数形结合联系比较紧密的实际问题，让学生主动运用数学知识解决实际问题，通过练习渗透数形结合和函数模型的数学思想方法，发展学生应用数学的意识，提高学生分析问题与解决问题的能力，培养学生学习数学的兴趣．四、教法、学法（一）教法常言道：“教必有法，教无定法”．所以我针对八年级学生的心理特点和认知能力水平，大胆应用生活中的素材，并作了精心的安排，充分体现数学是源于实践又运用于生活．因此，本堂课的教学中，我以学生为主体，让学生积极思维，勇于探索，主动地获取知识．同时，采用了现代化教学技术，激发学生的学习兴趣，使整个课堂“活”起来，提高课堂效率．本堂课以生活中的一些例子为中心，让学生亲自尝试，接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一个宽松愉快的学习氛围，让学生体验成功的快乐，为终身学习和发展打打下坚实的基础．本堂课的设计是以新课程标准和教材为依据，采用复习探究式教学．遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性．教学过程中，注重学生探究能力的培养．还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维．同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生主动学习的意识．（二）学法学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“复习—探究—归纳—巩固—反馈”的主线进行学习．让学生从活动中去复习、探究、归纳知识，沿着知识发生，发展的脉络，学生经过自己亲自思考、提出问题、解决问题，形成自己的经验，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动构建．这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会自主学习，学会探索问题的方法．五、教学支持条件分析在本堂课中，利用常规教学用具、多媒体动画演示、几何画板、智慧课堂等方法再探究一次函数的图象和性质，渗透数形结合的思想方法，并且借助多媒体信息技术加强对学生所学知识的理解和运用，通过数据分析及时准确地掌握学生学习的情况．六、教学基本流程七、教学过程设计活动一：自主复习，板书展演（1）分别求出y1，y2关于x的函数关系式；解：设y1=k1x（k1≠0），把（1，30）代入，可得30=k1，即k1=30，∴y=30x（x≥0）小时时，租车费用为）求该问题运用了数学中哪个重要的思想方法？从数的角度，本题可以转化为求什么？从形的角度呢？时，选择甲公司合算；）从数的角度，本题可以转化为求什么？从形的角）可借助数形结合的思想方法解决一次函数与方程解决该问题，课堂训练中，的做法，挑选出最便捷的解题方法，学生运用数形结合的思想方法解决类似问题．问题（现了数形结合思想方法中“以数解形”、“以形助数”的价值和魅力对一次函数定义的印象，次函数解析式的方法待定系数法，会了学生如何运用数形结合思想解决实际问题－x的图象经过怎样的平移得到函数－x的图象经过怎样的平移得到函数－x－2的图象经过怎样的平移得到函数活动四：一题多解，合作探究例3．已知，点（－1，y1），（2，y2）在一次函数y=2x －1的图象上，则y1y2．问题：（9）还有其它的解法吗？小组讨论．归纳：解法一：代入法；解法二：增减性法；解法三：图象法．7．巩固训练一、选择题（第2题图）（第3题图）二、填空题4．直线y=－2x+4与x（第2题图）．自我评价．学习活动中，你得到快乐了吗？．得到很少C．得到一些附：板书设计：教材选用义务教育课程标准实验教科书，教学内容：谢谢指教!新人教版八年级下册第十九章一次函数复习课.“一次函数”复习课重点是在已经学习了相关知识点的基础上，用解决问题的方式让学生经历探索一次函数的图象和性质的过程，掌握一次函数中数形结合思想方法的渗透，并能运用一次函数数形结合思想方法解决实际问题．现实生活中，有不少问题的解决都涉及到一次函数的相关知识．根据新课程标准，我这节课的设计试图联系学生已有的生活经验，希望能够创造性地应用生活中一些比较贴近学生的素材，导入情境，通过问题串的形式进行发问、探究、归纳、最终解决问题的过程，激发学生的求知欲和探究欲，发散学生的思维，培养学生的创新精神，让学生在活动中自主探索，合作学习，使学生快乐、轻松地成为学习的“主人”，体会获得成功的喜悦．并通过小组合作学习，让学生体会到任何一个成功靠每一个个体的积极参与和相互间的合作实现，使学生的自主性和主动性得到充分的发展．在经历知识再生成探索活动的过程中，使学生准确理解一次函数的性质，加深学生对数形结合思想方法的理解，体会一次函数在现实生活中的应用价值．在教学设计上，一方面，重视创设问题的语言和分析例题的引导语言的关键作用，既要启发学生又要简练、点到即止．以启发、诱导、激励为主策略，以探究活动为主线，面向全体学生，充分发挥学生的主体地位，注重个性培养和因材施教，积极引导学生主动参与到数学活动中，在知识的“发现--发展--形成”过程中始终处于动态的活动中，形成以学习者为中心的探索性的学习活动,培养他们学习的主动性，挖掘他们的学习潜能，不仅使他们学到数学知识和数学方法，而且还养成良好的思维习惯，提高了认知水平，让他们不断地确立科学态度和科学的方法．另一方面，重视学生的思维活动，尽可能地创设情景提供素材，激发学生的兴趣，利用好直觉，让学生积极参与，给学生充足的思维时间，仔细观察、比较、猜想、分析思考和归纳规律，自己发现问题，认识事物，得出答案，提高能力，从而达到探究式教学的目的．教学过程，从同学已有的认知结构出发，注重新旧知识的联系，创设问题情景，激发同学思维，使其在原有认知基础上既发展了新知识，又完善认知结构．在教学程中处理好信息反馈，随机应变，及时调整，做好监控，驾驭课堂．点评：一次函数复习课点评教师：云南省财经大学附属中学王学先本堂课的授课教师在教学设计时认真分析教材，对教学内容、目标、问题诊断、教学条件支持等方面分析到位。

八下人教版十九章一次函数教案第十九章一次函数单元备课一次函数单元名称单元教学目标单元知识结构教学重点：对于一次函数与正比例函数概念的理解．重点、难点教学难点：根据具体条件求一次函数与正比例函数的解析式课时划分第19章一次函数19.1变量19.1.1变量与函数授课时间：知识与技能：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系。

增强对变量的理解过程与方法：师生互动，讲练结合情感态度世界观：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想重点：变量与常量难点：对变量的判断教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式教学设计：引入：信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，s.新课：问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x 张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?(2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？（3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r?（4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。

记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。

指出上述问题中的变量和常量。

范例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？（1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系；（3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；（4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。

19.3 一次函数
——数学活动（选择方案）
第二课时
教学内容：教材102—104页
教学目标：
1.进一步理解一次函数的解析式和图象在解决实际问题中的应用。

2.尝试用图解法解决简单的实际问题。

教学重点：
一次函数的数形结合在实际问题中的运用
教学难点：
图象法解决实际问题
课时安排：
2课时
教学过程：
一.创设情境，引入新课
做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的。

在选择方案时，往往需要从数学的角度进行分析，涉及变量的问题用到函数。

二.合作交流，探究新知
1.问题:
怎样选取上网收费方式？
某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案？
2.归纳：
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型。

三.应用迁移，巩固提高
数学活动：超市优惠活动
四.小结
熟练掌握一次函数的数形结合，有助于推动实际问题的解决。

五.作业
复习题19 12—13题
教学反思：
从“数”和“形”两个角度突破，首先给出相关问题的代数解法，然后结合图象认识代数式与图象表达的关系，认识逐步加深。

数学史融入数学课堂的教学设计HPM研究组织成立三十多年以来，HPM理论及其实践研究得到了长足的发展.本文参考范广辉提出的“数学史——探索”教学模式，对圆锥曲线的发展历史进行教学重组，以工作单的形式引领学生经历概念形成的几个关键时期，以及数学家探究数学概念的活动，完成数学知识的自我建构.工作单1倍立方问题传说中，这问题的来源可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛（Delos），造成四分之一的人口死亡.岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍.人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图.开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易.他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗？结果……问题1.你能利用所学知识求出数学题“体积是棱长a的立方体的2倍的立方体的棱长b”吗？让我们来看一下柏氏门徒当时差点成功的作法：“求体积是棱长a的立方体的2倍的立方体”，这问题可以转化为“求在a与2a之间插入二数x，y，使a，x，y，2a成等比数列”，即a∶x=x∶y=y∶2a，故x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，从而x3=a（xy）=a（2a2），故x3=2a3，则棱长x的立方体即为所求.2.从上述方法中可以看出，我们所要求的棱长x是哪两条曲线的交点横坐标？3.我们只要画出这些曲线就可以找到x的值，尝试从图像中找出x.上述用曲线来求解倍立方问题的方法是希腊数学家门奈赫莫斯开创的圆锥曲线法，这些曲线就是我们现在的抛物线.工作单2门奈赫莫斯与圆锥曲线希腊著名学者门奈赫莫斯（公元前4世纪）企图解决当时的著名难题“倍立方问题”.他把Rt△ABC的直角A的平分线AO作为轴，旋转△ABC一周，得到曲面ABECE′，如图1.用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲线EDE′，梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”.他想以此在理论上解决“倍立方问题”未获成功.而后，便撤开“倍立方问题”，把圆锥曲线作为专有概念进行研究：若以Rt△ABC中的长直角边AC为轴旋转△ABC一周，得到曲面CB′BE′，如图2.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口为一曲线，称之为“锐角圆锥截线”；若以Rt△ABC中的短直角边AB为轴旋转△ABC一周，可得到曲面BC′ECE′，如图3.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口曲线EDE′称为“钝角圆锥截线”.当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，上述三种曲线须以“圆锥曲面”为媒介得到，因此，被称为圆锥曲线的“雏形”.我们可以用几何知识证明曲线的性质：设直角圆锥的轴三角形VBC是等腰直角三角形，顶角V是直角，过母线VB 上一点A用垂直于VB的平面截圆锥面，其交线QAR为直角圆锥截线.过交线QAR上任一点P作平面垂直于轴VO，它与轴截面VBC交于DE，与圆锥交于以DE为直径的圆DPE，作AF∥DE，FG⊥DE.若记AN=x，NP=y，AG是与点A位置有关的定线段记为b.问题：我们可以得到x，y，b之间怎样的关系式？上述的关系式正是解析几何中抛物线的解析式.类似的方法可以证明锐角圆锥截线就是现在的椭圆，钝角圆锥曲线是双曲线.【。

第九讲：19世纪的几何1、几何学的变革几何学的基础：现实空间与思维空间。

1.1 微分几何平面曲线理论17世纪基本完成。

1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。

1760年欧拉（瑞，1707－1783年）《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论，1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族深入研究。

蒙日简介。

1.2 非欧氏几何从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但“平行公设”始终让他们耿耿于怀。

萨凯里（意，1667－1733年）1733年《欧几里得无懈可击》提出“萨凯里四边形”。

1763年克吕格尔（德，1739－1812年）对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑。

1766年兰伯特（法，1728－1777年）《平行线理论》指出通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反欧几里得几何，非欧几里得几何，担心世俗的攻击而未发表。

1826年罗巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《简要论述平行线定理的一个严格证明》，历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。

1832年J•鲍约（匈，1802－1860年）《绝对空间的科学》，所谓“绝对几何”就是非欧几何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《关于几何基础的假设》建立了黎曼几何。

在黎曼几何中，过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。

黎曼简介。

1868年贝尔特拉米（意，1835－1899年）《论非欧几何学的解释》，在“伪球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。

1871年克莱因（德，1849－1925年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何，1882年庞加莱（法，1854－1912年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因－庞加莱圆。

1.3 射影几何将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。