2018年成实外数学真卷(一)+答案详解

2018年四川省成都外国语学校中考数学一诊试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1．下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列各式正确的是（）A．a5+3a5＝4a5B．（﹣ab）2＝﹣a2b2C．D．m4•m2＝m83．如图，立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．已知一组数据1，5，6，5，5，6，6，6，则下列说法正确的是（）A．众数是5B．中位数是5C．平均数是5D．极差是45．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.56．如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（）A．2：5B．3：5C．2：3D．5：77．给出下面四个命题，其中真命题的个数有（）（1）平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；（2）90°的圆周角所对的弦是直径；（3）在同圆或等圆中，圆心角的度数是圆周角的度数的两倍；（4）如上图，顺次连接圆的任意两条直径的端点，所得的四边形一定是矩形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为（4，6）．若直线y ＝kx +3k 将▱ABCO 分割成面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣9．若2x +5y +4z ＝0，3x +y ﹣7z ＝0，则x +y ﹣z 的值等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能求出10．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，已知AD ＝AB ，连接BE 交AD 于点F ，下列结论：①BE ＝CE ；②∠CAD ＝∠ABE ；③S △ABF ＝3S △DEF ；④△DEF ∽△DAE ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个二．填空题（每小题4分，共16分）11．已知a ﹣b ＝2，那么2a ﹣2b +5＝ ．12．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有个．13．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为．14．如图，点A1（1，1）在直线y＝x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y＝x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y＝x于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．三．解答题（共54分，15题每小题12分，共12分）15．（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+；（2）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝．16．当m为何值时．关于x的方程＝﹣的解是负数？17．某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分﹣100分；B级：75分﹣89分；C级：60分﹣74分；D级：60分以下）（1）写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为，C级学生所在的扇形圆心角的度数为；（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级内；（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？18．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝c sin B，AD＝b sin C，于是c sin B＝b sin C，即，同理有：，所以．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝；AC＝；（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）19．已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的解析式；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．（1）求证：△ECF∽△GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan G＝，AH＝3，求EM的值．一．填空题（每小题4分，共20分）21．已知+|ab+3|＝0，则a﹣b的值是．22．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．23．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF，CE，AF、CE交于G，则四边形BEGF 与四边形ADCG的面积的比值为．24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y＝kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1，其中正确的结论有．25．如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为．二．解答题（共30分）26．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再销售，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？27．已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF＝90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG（1）求证：∠AFD+∠CBG＝180°；（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH＝GB；（3）如图3，连接HF，若CH＝3AH，AD＝2，求线段HF的长．28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB＝2DH．（1）求a的值；（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，连接PD，PQ⊥x轴于点Q，点N是线段PQ上的点，过点N作NF⊥DH于点F，NE⊥PD交直线DH于点E，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，连接DN、DQ、PB，当DN＝2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ＝90°时，作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C，求点C的坐标．参考答案一．选择题（每小题3分，共30分）1．下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：|﹣2|＝2，﹣（﹣2）2＝﹣4，﹣（﹣2）＝2，（﹣2）3＝﹣8，﹣4，﹣8是负数，∴负数有2个．故选：B．2．下列各式正确的是（）A．a5+3a5＝4a5B．（﹣ab）2＝﹣a2b2C．D．m4•m2＝m8【解答】解：A、合并同类项，正确；B、（﹣ab）2＝a2b2，错误；C、＝2，错误；D、m4•m2＝m6，错误．故选：A．3．如图，立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示的立体图形的俯视图是C．故选：C．4．已知一组数据1，5，6，5，5，6，6，6，则下列说法正确的是（）A．众数是5B．中位数是5C．平均数是5D．极差是4【解答】解：把数据1，5，6，5，5，6，6，6，按从小到大排列为1，5，5，5，6，6，6，6，中位数＝＝5.5，众数为6，平均数＝＝5，极差为＝6﹣1＝5，故C正确，故选：C．5．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.5【解答】解：把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3＝1或2x+3＝﹣4，所以x1＝﹣1，x2＝﹣3.5．故选：A．6．如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（）A．2：5B．3：5C．2：3D．5：7【解答】解：∵BE：EC＝2：3，∴BE：BC＝2：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴BE：AD＝2：5，△ADF∽△EBF，∴＝＝．故选：A．7．给出下面四个命题，其中真命题的个数有（）（1）平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；（2）90°的圆周角所对的弦是直径；（3）在同圆或等圆中，圆心角的度数是圆周角的度数的两倍；（4）如上图，顺次连接圆的任意两条直径的端点，所得的四边形一定是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）平分（非直径）弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧，所以此命题不正确；（2）90°的圆周角所对的弦是直径，正确；（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角的度数是它所对的圆周角的两倍，错误；（4）根据对角线相等且相互平分的四边形是矩形可判断此命题正确；故选：B．8．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（4，6）．若直线y＝kx+3k 将▱ABCO分割成面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：连接OB和AC交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点B作CB⊥x轴于点F，如下图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴ME ＝BF ＝3，OE ＝OF ＝2，∴点M 的坐标为（2，3），∵直线y ＝kx +3k 将▱ABCO 分割成面积相等的两部分， ∴该直线过点M ， ∴3＝2k +3k ， ∴k ＝．故选：A ．9．若2x +5y +4z ＝0，3x +y ﹣7z ＝0，则x +y ﹣z 的值等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不能求出【解答】解：根据题意得：，把（2）变形为：y ＝7z ﹣3x ， 代入（1）得：x ＝3z ， 代入（2）得：y ＝﹣2z ， 则x +y ﹣z ＝3z ﹣2z ﹣z ＝0． 故选：A ．10．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，已知AD ＝AB ，连接BE 交AD 于点F ，下列结论：①BE ＝CE ；②∠CAD ＝∠ABE ；③S △ABF ＝3S △DEF ；④△DEF ∽△DAE ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个【解答】解：∵D 是BC 的中点，且DE ⊥BC ， ∴DE 是BC 的垂直平分线，CD ＝BD ， ∴CE ＝BE ，故①正确；∴∠C ＝∠7， ∵AD ＝AB ，∴∠8＝∠ABC ＝∠6+∠7， ∵∠8＝∠C +∠4， ∴∠C +∠4＝∠6+∠7，∴∠4＝∠6，即∠CAD ＝∠ABE ，故②正确；作AG ⊥BD 于点G ，交BE 于点H ， ∵AD ＝AB ，DE ⊥BC ， ∴∠2＝∠3，DG ＝BG ＝BD ，DE ∥AG ，∴△CDE ∽△CGA ，△BGH ∽△BDE ，DE ＝AH ，∠EDA ＝∠3，∠5＝∠1， ∴在△DEF 与△AHF 中，，∴△DEF ≌△AHF （AAS ）， ∴AF ＝DF ，EF ＝HF ＝EH ，且EH ＝BH ，∴EF ：BF ＝1：3， ∴S △ABF ＝3S △AEF ， ∵S △DEF ＝S △AEF ，∴S △ABF ＝3S △DEF ，故③正确；∵∠1＝∠2+∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3， ∴∠5＝∠3+∠4， ∴∠5≠∠4，∴△DEF ∽△DAE ，不成立，故④错误． 综上所述：正确的答案有3个．故选：C．二．填空题（每小题4分，共16分）11．已知a﹣b＝2，那么2a﹣2b+5＝9．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴原式＝2（a﹣b）+5＝4+5＝9，故答案为：912．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有2个．【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是白球的概率为，∴＝，解得：n＝2．故答案为：2．13．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为．【解答】解：设CE为x，则BE＝AE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴BE2﹣CE2＝BC2，（8﹣x）2﹣x2＝36，解得x＝．14．如图，点A1（1，1）在直线y＝x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y＝x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y＝x于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．【解答】解：∵A n B n+1∥x轴，∴tan∠A n B n+1B n＝．当x＝1时，y＝x＝，∴点B1的坐标为（1，），∴A1B1＝1﹣，A1B2＝＝﹣1．∵1+A1B2＝，∴点A2的坐标为（，），点B2的坐标为（，1），∴A2B2＝﹣1，A2B3＝＝﹣，∴点A3的坐标为（，），点B3的坐标为（，）．同理，可得：点A n的坐标为（，）．故答案为：．三．解答题（共54分，15题每小题12分，共12分）15．（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+；（2）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝．【解答】解：（1）|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+＝2﹣1+4﹣2×+2＝2﹣1+4﹣+2＝5+；（2）÷（2+）＝＝＝，当a＝时，原式＝＝﹣1．16．当m为何值时．关于x的方程＝﹣的解是负数？【解答】解：两边都乘（x+1）（x﹣2），得m＝x2﹣2x﹣x2+1，解得x＝，由分式方程的解为负数，得＜0且≠﹣1，解得m＞1且m≠3．17．某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分﹣100分；B级：75分﹣89分；C级：60分﹣74分；D级：60分以下）（1）写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为4%，C级学生所在的扇形圆心角的度数为72°；（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级B内；（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？【解答】解：（1）总人数为25÷50%＝50人，D成绩的人数占的比例为2÷50×100%＝4%，表示C的扇形的圆心角360°×（10÷50）＝360°×20%＝72°，故答案为：4%，72°；（2）由于A成绩人数为13人，C成绩人数为10人，D成绩人数为2人，而B成绩人数为25人，故该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内；故答案为：B；（3）×500＝380（人），答：估计这次考试中A级和B级的学生共有380人．18．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝c sin B，AD＝b sin C，于是c sin B＝b sin C，即，同理有：，所以．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝60°；AC＝20；（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）【解答】解：（1）由正玄定理得：∠A＝60°，AC＝20；故答案为：60°，20；（2）如图，依题意：BC＝40×0.5＝20（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE＝180°．∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°．∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°．∴∠A＝45°．在△ABC中，，即，解之得：AB＝10≈24.49海里．所以渔政204船距钓鱼岛A的距离约为24.49海里．19．已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的解析式；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，＝y，解得y＝6，∴点A的坐标为（1，6），又∵点A在一次函数图象上，∴1+m＝6，解得m＝5，∴一次函数的解析式为y1＝x+5；（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，∴点C的横坐标为3，∴y＝＝2，∴点C的坐标为（3，2），过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，∴x+5＝2，解得x＝﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴CD＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，点A到CD的距离为6﹣2＝4，联立，解得（舍去），，∴点B 的坐标为（﹣6，﹣1），∴点B 到CD 的距离为2﹣（﹣1）＝2+1＝3， S △ABC ＝S △ACD +S △BCD ＝×6×4+×6×3＝12+9＝21．20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连结AC ，过上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连结AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连结CE ． （1）求证：△ECF ∽△GCE ； （2）求证：EG 是⊙O 的切线；（3）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝，AH ＝3，求EM 的值．【解答】（1）证明：如图1中，∵AC ∥EG ， ∴∠G ＝∠ACG ，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠CEF＝∠ACD，∴∠G＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE，∵GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠GEF+∠AEO＝90°，∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝＝，∵AH＝3，∴HC＝4，在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，∴（r﹣3）2+（4）2＝r2，∴r＝，∵GM∥AC，∴∠CAH＝∠M，∵∠OEM＝∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴＝，∴＝，∴EM＝．一．填空题（每小题4分，共20分）21．已知+|ab+3|＝0，则a﹣b的值是±．【解答】解：由题意得，a2+b2﹣5＝0，ab+3＝0，即a2+b2＝5，2ab＝﹣6，（a﹣b）2＝11，则a﹣b＝±，故答案为：±．22．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．【解答】解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根，则△＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2+3m﹣2）＝8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22＝（x2+x1）2﹣x1x2＝（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）＝3m 2﹣3m +2＝3（m 2﹣m +﹣）+2 ＝3（m ﹣）2 +； ∴当m ＝时，有最小值； ∵＜，∴m ＝成立；∴最小值为；故答案为：． 23．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，AF 、CE 交于G ，则四边形BEGF 与四边形ADCG 的面积的比值为 ．【解答】解：如图：连接BG ，设S △AEG ＝a ，S △CFG ＝b ，∵点E ，F 分别是矩形ABCD 的边AB ，BC 的中点，∴S △BEG ＝a ，∴S △BGF ＝S △FGC ＝b ，∴S △ABF ＝S △BCE ＝S 矩形ABCD ，S △ABF ＝2a +b ，S △BCE ＝2b +a ，∴a ＝b ，S 矩形ABCD ＝12a ，∴＝＝．故答案为：．24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y＝kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1，其中正确的结论有①⑤．【解答】解：①由图知：抛物线的开口向下，则a＜0．对称轴在x轴的左侧，因此，a、b同号，则b＜0∵﹣2+x1＝﹣，1＜x1＜2，∴0＜＜1，∴b＞a．故①正确；②∵抛物线交x轴与点（﹣2，0）∴4a﹣2b+c＝0∵c＞2∴4a﹣2b＝﹣c＜﹣2即2a﹣b＜﹣1．故②错误；③∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0∵b＞a，∴2b＞2a，∴4a﹣2b＜2a，∴4a﹣2b+c＜2a+c，即0＜2a+c，∴2a+c＞0，故③错误；⑤如图，过顶点C作CD⊥AB于点D．则k＝﹣．AD和BD的长度都在1.5和2之间，也就是说1.5＜BD＜2，又因为CD＞2，所以CD除以BD＞1，所以k＜﹣1∴k＜﹣1，故⑤正确；④∵当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c＞2，∴a+b＞﹣2．又由⑤知，k＜﹣1，∴k与a+b的大小无法判断，故④错误；综上所述，正确的结论有①⑤．故答案是：①⑤．25．如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为2或s．【解答】解：①如图1中，连接KC、BC．设PB的中点为K．∵PK＝PC，∠KPC＝60°，∴△PKC是等边三角形，∴KC＝PK＝BK，∴∠PCB＝90°，∴当∠PCA＝90°时，点C在线段AB上，∵△AOB是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠APC＝30°，∵∠CPK＝60°，∴∠APB＝90°，∴BP⊥OA，∵BO＝BA，∴OP＝PA＝2，∴t＝2．②如图2中，当∠PAC＝90°时，作BH⊥OA于H，BG⊥AC于G，连接KC、BC．则四边形BHAG是矩形，△PAC∽△CGB，∴＝＝＝，设OP＝x，则AP＝4﹣x，∵AH＝BG＝2，∴AC＝，GC＝（4﹣x），∵BH＝AG＝2，∴+（4﹣x）＝2，∴x＝．∴t＝，综上所述，t＝2或s时，△PAC是直角三角形，故答案为2或s．二．解答题（共30分）26．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再销售，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？【解答】解：（1）设x，y的解析式为y＝kx+b，把x＝2时，y＝12，x＝8时，y＝6得：解得：，∴y＝﹣x+14（2≤x≤8），∴x＝5时，y＝9，答：A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨9万元；（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则B类杨梅有6吨，易得：W A＝（10﹣3﹣1）×4＝24（万元），W A＝6×（9﹣3）﹣（12+3×6）＝6（万元），∴W＝24+6＝30（万元），答：此时经营这批杨梅所获得的毛利润w为30万元；（3）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨，①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x，w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x，∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x，w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48，∴w关于x的函数关系式为：w＝，②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意，当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18，∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．27．已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF＝90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG（1）求证：∠AFD+∠CBG＝180°；（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH＝GB；（3）如图3，连接HF，若CH＝3AH，AD＝2，求线段HF的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠AEF＝90°，∴∠EAB＝∠DAF，∵∠ABE＝∠ADF＝90°，∴△ABE≌△ADF，∴∠AFD＝∠E，∵AG＝GE，∴GB＝GE＝GA，∴∠E＝∠GBE＝∠AFD，∵∠GBE+∠GBC＝180°，∴∠AFD+∠GBC＝180°．（2）证明：如图2中，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK．∵∠BGH＝∠BOH＝90°，BK＝KH，∴GK＝KH＝OK＝KB，∴O、H、G、B四点共圆，∵AG＝GE，AO＝OC．∴OG∥CE，∴∠GOB＝∠OBC＝45°，∴∠GOH＝∠GBH＝45°，∵∠BGH＝90°，∴∠GBH＝∠GHB＝45°，∴GH＝GB．（3）解：如图3中，如图3中，设OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．∵OG∥EC，AB⊥CE，∴OG⊥AB，易证∠EAB＝∠GBP＝∠PGT＝∠HBO，∴tan∠EAB＝tan∠HBO＝，∵CH＝3AH，OA＝OC＝OB，∴tan∠EAB＝tan∠HBO＝＝，∵AB＝AD＝2，∴BE＝DF＝，在Rt△HMF中，易证FM＝，HM＝，∴HF＝＝5．28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB＝2DH．（1）求a的值；（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，连接PD，PQ⊥x轴于点Q，点N是线段PQ上的点，过点N作NF⊥DH于点F，NE⊥PD交直线DH于点E，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，连接DN、DQ、PB，当DN＝2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ＝90°时，作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C，求点C的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，∵a≠0，∴x2﹣10x+16＝0，得x＝2或x＝8，∴点A（2，0），B（8，0），∴AB＝8﹣2＝6，∵AB＝2DH，∴DH＝3，∵OH＝2+，∴D（5，﹣3），∴﹣3＝a×52﹣10a×5+16a，得a＝；（2）如图1，过点D作PQ的垂线，交PQ的延长线于点M，∵NE⊥PD，∴∠DPN+∠PNE＝90°，∵NF⊥DE，∴∠FEN+∠FNE＝90°，又∵DH⊥x轴，PQ⊥x轴，∴DE∥PQ，∴∠FEN＝∠PNE，∴∠DPM＝∠ENF，∴△EFN∽△DMP，∴，设点P（t，），则FN＝DM＝t﹣5，PM＝+3，∴，解得，EF＝3；（3）如图2，作QG⊥DN于点G，∵DF∥PQ，∴∠FDN＝∠DNQ，∵2∠NDQ+∠DNQ＝90°，∴2∠NDQ+∠FDN＝90°，∵∠FDM＝90°，∴∠NDM＝2∠NDQ，∴∠NDQ＝∠MDQ，∴QG＝QM＝DH＝3，设QN＝m，则DN＝2m，∵sin∠DNM＝，sin∠QNG＝，sin∠DNM＝sin∠QNG，∴，得DM＝6＝DG，∴OQ＝5+6＝11，∴点P的纵坐标是：，∴点P（11，9），∵NG＝DN﹣DG＝2m﹣6，在Rt△NGQ中，QG2+NG2＝QN2，∴32+（2m﹣6）2＝m2，解得，m＝3（舍去）或m＝5，设点C的坐标为（n，），作CK⊥x轴于点K，作NF⊥CK于点K，则CT＝，NT＝11﹣n，∵P（11，9），则BQ＝11﹣8＝3，PQ＝9，∵CN⊥PB，PQ∥CK，PQ⊥x轴，∴△CTN∽△BQP，∴，即，解得，n＝﹣1或n＝10（舍去），∴点C（﹣1，9）．。

2017-2018学年度上期期末高一年级调研考试数 学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}20|<<=x x P ，{}11|<<-=x x Q ，则=⋂Q P ( )A ．{}1|<x xB ．{}10|<<x xC ．{}11|<<-x xD ．{}0 2.已知平面向量()()3,3,2,1-=-+=m .若//，则实数m 的值为( ) A ．0 B ．-3 C ．1 D ．-13.函数33-=+x a y （0>a ，且1≠a ）的图象一定经过的点是( ) A ．()20-， B ．()3,1-- C ．()30-， D ．()2,1--4.已知21cos 2sin cos sin =θ-θθ+θ，则θtan 的值为( )A ．-4B ．41- C. 41D ．45.函数()2log 3-=x x f 的大致图象是( )A ．B ．C.D ．6.函数()⎪⎭⎫⎝⎛π+π=42tan 31x x f 单调递增区间为( ) A ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212,232 B ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,212,212 C. Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,214,214 D ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,214,2347.函数()()231ln ---=x x x f 的零点所在区间为( ) A ．()3,4-- B ．()e --,3 C.()2,--e D ．()1,2-- 8.将函数()x x f sin =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的21倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()x g 的图象，则函数()x g 的图象的一条对称轴为（ ) A ．12π=x B ．6π=x C.12π-=x D ．6π-=x9.已知()2275lg 2lg ,5log ,28log +===c b a ，则c b a ,,的大小关系为( )A ．b a c <<B ．a b c << C. b c a << D ．c a b << 10.如图，在ABC ∆中，已知P DC BD ，21=为AD 上一点，且满足CB CA m CP 94+=，则实数m 的值为( )A ．32 B ．31 C.95 D ．2111.当()π∈θ，0时，若5365cos -=⎪⎭⎫⎝⎛θ-π,则⎪⎭⎫ ⎝⎛π+θ6tan 的值为( )A ．43 B ．34 C. 34- D ．43- 12.定义在R 上的函数()x f 满足()()22-=x f x f ，且当(]1,1-∈x 时，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21.若关于x 的方程()()23+-=x a x f 在()50，上至少有两个实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．[]20，B ．[)∞+，0 C.(]20， D ．[)∞+，2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设角a 的顶点与坐标原点重合，始变与x 轴的非负半轴重合，若角a 的终边上一点P 的坐标为()3,1-，则a cos 的值为 ．14.已知函数()⎩⎨⎧<<<=-0,210,log 2x x x x f x，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛31f f ． 15.若函数()32231-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=mx x x f 在区间()1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围是 ．16.已知P 是ABC ∆内一点，()+=2,记PBC ∆的面积为1S ,ABC ∆的面积为2S ，则=21S S ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知平面向量()()0,5,3,4=-=b a . (Ⅰ)求a 与b 的夹角的余弦值；(Ⅱ)若向量kb a +与kb a -互相垂直，求实数k 的值. 18.已知定义域为R 的奇函数()R a ax f x ∈+-=,131. (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)用函数单调性的定义证明函数()x f 在R 上是增函数.19.大西洋蛙鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速u （单位:s m /）与其耗氧量单位数Q 之间的关系可以表示为函数b Qk u +=100log 3，其中b k ,为常数.已知一条蛙鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5s m /时，其耗氧量为2700个单位.(Ⅰ)求出游速u 与其耗氧量单位数Q 之间的函数解析式；(Ⅱ)求当一条蛙鱼的游速不高于2.5s m /时，其耗氧量至多需要多少个单位？ 20.已知函数()()()0,0sin >ω>ϕ+ω=A x A x f 的部分图象如图所示. (Ⅰ)求函数()x f 的解析式；(Ⅱ)若函数()x f 在[]π，0上取得最小值时对应的角度为θ.求半径为2，圆心角为θ的扇形的面积.21.设函数()R a ax x x f ∈++=,122.(Ⅰ)当[]1,1-∈x 时，求函数()x f 的最小值()a g ；(Ⅱ)若函数()x f 的零点都在区间[]0,2-内，求a 的取值范围. 22.已知函数()()R m mx mx x f ∈+-=,12log 22. (Ⅰ)若函数()x f 的定义域为R ，求m 的取值范围；(Ⅱ)设函数()()x x f x g 4log 2-=.若对任意[]1,0∈x ，总有()02≤-x g x ，求m 的取值范围.2017-2018学年度上期期末高一年级调研考试数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:BCDAD 6-10: ABCAB 11、12：BC 二、填空题 13.21 14.3 15.[)+∞,4 16.41 三、解答题17.解：(Ⅰ)∵向量()()0,5,3,4=-=b a ， ∴545520,cos =⨯=⋅>=<b a b a b a . ∴向量a 与b 的夹角的余弦值为54. (Ⅱ)∵向量kb a +与kb a -互相垂直， ∴()()0222=-=-⋅+b k a kb a kb a .又02525,25222=-∴==k b a . ∴1±=k .18.解：(Ⅰ)∵()x f 是定义域为R 的奇函数， ∴()()x f x f -=-，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--131131xx a a . ∴21313=+++-x x a a ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+⋅131133x x x a a .解得2=a .(Ⅱ)由(Ⅰ)，知()1321+-=x x f . 任取R x x ∈21,且21x x <，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-132113212121x x x f x f()()()1313332132132212112++-=+-+=x x x x x x . 由21x x <，可知03312>>x x .∴()()()()()01313332212121<++-=-x x x x x f x f ，即()()21x f x f <. ∴函数()1321+-=x x f 在R 上是增函数. 19.解：(Ⅰ)由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=bk b k 1002700log 5.1100100log 033.解得0,21==b k .∴游速u 与其耗氧量单位数Q 之间的函数解析式为100log 213Q u =. (Ⅱ)由题意，有5.2100log 213≤Q ，即5100log 3≤Q. ∴5333log 100log ≤Q. 由对数函数的单调性，有531000≤<Q.解得243000≤<Q . ∴当一条蛙鱼的游速不高于s m /2.5时，其耗氧量至多需要24300个单位. 20.解：(Ⅰ)∵0>A ，∴根据函数图象，得2=A . 又周期T 满足0,41264>ωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π=T ， ∴ωπ=π=2T .解得2=ω. 当6π=x 时，2)62sin(2=ϕ+π⨯. ∴Z k k ∈π+π=ϕ+π,223.∴Z k k ∈π+π=ϕ,26.故()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin 2x x f . (Ⅱ)∵函数()x f 的周期为π，∴()x f 在[]π，0上的最小值为-2.由题意，角()π≤θ≤θ0满足()2-=θf ，即162sin -=⎪⎭⎫⎝⎛π+θ. 解得32π=θ. ∴半径为2，圆心角为θ的扇形面积为3443221212π=⨯π⨯=θ=r S . 21.解：(Ⅰ)∵函数()()R a a a x ax x x f ∈-++=++=,112222. 当1-≤-a ，即1≥a 时，()()a f a g 221-=-=； 当11<-<-a ，即11<<-a 时，()()21a a f a g -=-=； 当1≥-a ，即1-≤a 时，()()a f a g 221+==.综上，()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+<<--≥-=1,2211,11,222a a a a a a a g(Ⅱ)∵函数()x f 的零点都在区间[)0,2-内，等价于函数()x f 的图象与x 轴的交点都在区间[)0,2-内.∴()()4510201004520442≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤->=≥-=-≥-=∆a a f a f a 故a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡451，22.解：(Ⅰ)函数()x f 的定义域为R ，即0122>+-mx mx 在R 上恒成立.当0=m 时，01>恒成立，符合题意； 当0≠m 时，必有100440002<<⇒⎩⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<∆>m m m m m .综上，m 的取值范围是[)10，. (Ⅱ)∵()()()x x f x x f x g 24log log 2-=-=， ∴()()()x m m x f x g x xx x 21222log 22222-+-⋅=-=-.对任意[]1,0∈x ，总有()02≤-x g x ，等价于()x x x x m m 22222log 21222log =≤+⋅-⋅在[]1,0∈x 上恒成立⎩⎨⎧≤+⋅-⋅>+⋅-⋅⇔xx x x x m m m m 2222122201222在[]1,0∈x 上恒成立.()* 设xt 2=，则[]02,2,12≤-∈t t t （当且仅当2=t 时取等号）.()()()⎩⎨⎧≤+->+-⇔22212012*tt t m t t m ，在[]2,1∈t 上恒成立. 当2=t 时，()**显然成立.当[)21，∈t 时，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥--<⇔⎩⎨⎧≤+->+-t t t m t t m t t t m t t m 212112012222222在[)21，∈t 上恒成立. 令()tt t u 212--=，[)21，∈t .只需()min t u m <.∵()()1112122---=--=t t t t u 在区间[]21，上单调递增， ∴()()11min ==<u t u m .令(),2122tt t t h --=[)21，∈t .只需()min t h m ≥.而02,0122<--t t t f ，且(),01=h ∴02122≤--tt t .故0≥m . 综上，m 的取值范围是[)10，.。

成都市实验外国语学校高2018级高三上数学周考（理）一、单选题1．已知集合112162x A x N+⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭，{}240B x x x m =-+=，若1A B ∈， 则A B ＝【 】 A ．{1,2,3}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3} 2．已知i 是虚数单位，复数1iz i-=，下列说法正确的是【 】A ．z 的虚部为i -B ．z 对应的点在第一象限C ．z 的实部为1-D ．z 的共轭复数为1i +3．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为【 】A ．2B ．4C ．6D ．84．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的【 】A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件 5．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是【 】A ．ln y x x =B ．ln 1y x x x =-+C ．1ln 1y x x x=+- D ．ln 1xy x x=-+- 6．若12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为【 】 A ．132 B ．164 C ．-164D ．11287．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移(02)ϕϕπ<<个单位后得到的图象 关于直线12x π=对称，则ϕ的最大值为【 】A ．116πB ．5π3 C ．2312πD ．43π8．执行如图的程序框图，若输出的4n =， 则输入的整数p 的最小值是【 】A ．4B ．5C ．6D ．159. 祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将 圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间， 这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的 方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型. 该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都 相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置. 实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量， 来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次 投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量【 】A. 297B. 302C. 307D. 31210．已知抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，以PF 为边作一个等边三角形PFQ ，若点Q 在抛物线的准线上，则PF =【 】A ．1B ．2C ．22D ．311. 已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为 【 】A. 2e -B. e -C. e 2-D. 1e-12. 已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的 重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为【 】A.172B. 23C. 32D.17二、填空题13．平面直角坐标系xOy 中，双曲线221169x y -=的顶点到其渐近线的距离为__________． 14．某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成 （不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种.（用数字作答） 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*1302,n n n a S S n n N -+⋅=≥∈，113a=， 则n na 的最小值为_________.16．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足()0BC AC λλ=>，且在平面α内运动，则有以下几个命题： ①当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线； ②当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线； ③当2λ=时，点C 的轨迹是圆； ④当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆； ⑤当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线.其中正确的命题是__________.（将所有正确的命题序号填到横线上）三、解答题17、如图，在△ABC 中，已知sin 2A －sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C )－sin 2C .（1）求cos 3B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）若D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长． 18、如图，点C 是以AB 为直径的圆上的动点（异于A ，B ），已知2AB =，7AE =，EB ⊥平面ABC ，四边形BEDC 为平行四边形. （1）求证：BC ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.19．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次)：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁 乘坐飞机10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 3 6 2 4 9 0分(不满意)16344（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次, 记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望; （3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据, 你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线2213x y -=的离心率互为倒数，且直线20x y --=经过椭圆的右顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MN OM ON k k k =⋅， 求△OMN 面积的取值范围．21. 已知函数()l e n xm f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最小值；（2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．选做题22. 在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PNPN PM+的最大值．23. 已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤． （1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥．参考答案一、选择题：DDCDD BAABB BD 二、填空题：13．125 14．2415．13-16．②③三、解答题： 17．【详解】(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，sin 2Asin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C )－sin 2C ， 所以由正弦定理可知BC 2BC ·AB ＝AC 2－AB 2，BC 2＋AB 2－AC 2BC ·AB ， cos B ＝2222+-⋅BC AB AC BC AB. 因为在ABC 中，B ∈(0，π)，所以B ＝4π. 所以cos(B ＋3π)＝cos B cos 3π－sin B sin 3π＝1222⨯-=(2) 由余弦定理可知，在ACD △中，222222DC AC AD 37511cos 2AC DC 2734+-+-===⋅⨯⨯C ，因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，sin C. 由正弦定理可知，在ABC 中，sin AB C ＝sin ACB，，所以AB＝2.18．【详解】（1）因为四边形BEDC 为平行四边形，所以//CD BE . 因为EB ⊥平面ABC ，所以CD ⊥平面ABC ，所以CD BC ⊥. 因为ACB ∠是以AB 为直径的圆上的圆周角，所以BC AC ⊥，因为AC DC C =，,AC DC ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD . （2）ABC ∆中，设AC x =，)02BC x =<<，所以1122ABC S AC BC x =⋅=△，因为AE =2AB =，所以BE =， 所以13A BCE E ABC ABC V V S BE --==⋅△2242x x +-==≤=， 当且仅当224x x =-，即x =时，三棱锥A BCE -法一：以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0C ，)A，(D，(E ，所以(AD =-，()0,DE =，平面ABC 的法向量(1n =，设平面ADE 的法向量()2,,n x y z =，2200n AD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0⎧+=⎪=，即(23,0,n =，所以121212cos ,3n n n n n n ⋅===⋅.法二：因为//DE BC ，BC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC ，过点A 在圆内作//BC AF 交圆于点F ，则直线AF 与l 重合，所以AF 为平面ADE 与平面ABC 的交线，因为//AF BC ，AC BC ⊥，所以AC AF ⊥，又因为BC ⊥平面ACD ，所以BC AD ⊥，所以AD AF ⊥， 所以DAC ∠为两个平面所成的锐二面角的平面角， 在Rt ACD △中，=2AC DC BE AD====， 所以cos 5AC DAC AD ∠===， 所以平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为5. 19．【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 22211(2)C ()P X ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为：故()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++ 乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++因为11622155>，20、【详解】解：（1）∵双曲线的离心率为3，∴椭圆的离心率2c e a ==． 又∵直线20x y --=经过椭圆的右顶点，令0y =，则2x =∴右顶点的坐标为(2,0)，即2,1a c b ===，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由题意可知直线MN 的斜率存在且不为零，设直线MN 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠，()()1122,,,M x y N x y ．联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()222148410k x kmx m +++-=， 则()2121222418,1414m km x x x x k k-+=-=++，又2MN OM ON k k k =⋅，故()2221212121212k x x km x x m y y k x x x x +++=⋅=，则()()22214041m k m -=-． 由20,1m m ≠≠得214k =，解得12k =±．又由()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，得202m <<，且21m ≠．设原点O 到直线MN 的距离为d，则d =，12111||||222OMNS MN d x x m =⋅⋅=-=⋅=△，()()211,00,1m -∈-，()()221011,m -+-∈，21、【详解】（1）由题意知()f x 的定义域为0,．当1e m =时，()l e n e x f x x xx =+-，则()()()()22e e 1e 111e e x x x x x f x x x x ---'=+-=． 令()()e e 0x u x x x =->，则()e e xu x '=-，令()0u x '>，得1x >，令()0u x '<，得01x <<， 故()u x 在1,上单调递增，在0,1上单调递减，则()()10u x u ≥=，即对任意()0,x ∈+∞，()e e 0xu x x =-≥恒成立．所以令0fx ，得1x >，令0f x ，得01x <<，故()f x 在1,上单调递增，在0,1上单调递减，所以当1x =时，()f x 取得最小值，即()()min 10f x f ==．（2）令()()()()e ln 0xm F x f x g x x x x=-=->，220e m ≥>，则()()221e1e e xx x x m x m x m F x x x x---'=-=， 当01x <≤时，()10m x --≥，则()0F x '>，()F x 单调递增，所以当01x <≤时，()()1e 0m x F F =-<≤，故()()f x g x <成立；当1x >时，()()()21e 1x m x x F x x m x ⎡⎤-'=-⋅-⎢⎥-⎣⎦，显然()210m x x --<， 令()()()e 11xxG x x m x =->-，则()()21e 1G x x m x '=+-，因为220em ≥>，所以()0G x '>，即()G x 在1,上单调递增， 22e 2m -因为222e 11e 1e 1m m m =+--，且2e 11m -≥，所以22e 12e 1m m <≤-， 所以存在t 满足22e 12e 1m t m <<≤-，则()22e 1e t m m -<，整理得()2e 1t m t >-， 则有()()22e e e 01tt G t m t =-<-=-． 因为()()20G t G ≤，所以()G x 存在唯一零点(]01,2x ∈，所以()01,x x ∈时，()0G x <，()0F x '>，()F x 单调递增；()0,x x ∈+∞时，()0G x >，()0F x '<，()F x 单调递减，所以当1x >时，()F x 的最大值为()0F x ，且(]01,2x ∈．由()00G x =，可得()000e 1x x m x =-，故()000000e 1ln ln 1x m F x x x x x =-=--．令()n 11l x x x ϕ=--，(]1,2x ∈，则()()21101x x x ϕ'=+>-， 所以()ϕx 在(]1,2上单调递增，所以()()2ln 21x ϕϕ≤=-，故()0ln 210F x ≤-<，所以1x >时，()()f x g x <成立．综上所述，()()f x g x <．22、【答案】（1）()(22216x y -+-=；（2）103． 23、【答案】（1）{|0x x <或8}3x >；（2）因为3m ≥，3n ≥，所以()()–33333f m f n m n m n +=-=-+-=+，即9m n +=．所以()141141411451999n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当n m =4mn，即m =3，n =6时取等号．所以不等式得证。

2018年成都实验外国语学校数学真卷 时间：90分钟 满分：120分姓名：____________ 分数：___________一、选择题：（每小题2分，共20分）1、从东城到西城，甲需要10小时，乙需要15小时，甲的速度比乙的速度快（ ）。

A 、33.3% B 、3.3% C 、50% D 、5%2、一个边长10厘米的正方形，相邻的两边中，一边增加2厘米，另一边减少2厘米，那么它的周长和面积的变化情况是（ ）。

A ．周长和面积都不变B. 周长增加，面积相等C ．周长不变，面积缩小D. 周长缩短，面积相等3、用一根52厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长6厘米，宽4厘米，高（ ）厘米的长方体。

A 、2B 、3C 、4D 、54、甲仓库存货量比乙仓库多10%，乙仓库存货量比丙仓库少10%，那么（ ）。

A 、甲仓与乙仓相等。

B 、 甲仓最多 C 、 丙仓最多 D 、无法比较5、若01>>>b a ，则下面4个式子中，不正确的是（ ） A 、b a ÷<÷11 B 、 22b a < C 、 5252÷>÷b a D 、3311b a -<- 6、修一条水渠，计划每天修80米，20天可以完成，如果要提前4天完成，那么，每天要比计划多修（ ）米。

A 、20B 、60C 、64D 、1007、在一块边长为4厘米的正方形的铁皮上，剪出直径为2厘米的小圆片，最多可剪（ ）片。

A ．3B ．4C ．5D ．68、甲乙二人从底楼（第一层）开始比赛爬楼梯（每两层之间楼梯的级数相同），甲跑到第4层时，乙恰好到第3层，照这样的速度，甲跑到第16层时，乙跑到（ ）层。

A ．9B ．10C ．11D ．129、360的因数共有（ ）个。

A 、26B 、25C 、24D 、2310、甲步行每分钟行80米，乙骑自行车每分钟行200米，二人同时同地相背而行3分钟后，乙立即掉回头来追甲，再经过（ ）分钟乙可追上甲。

理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U =R ，集合{}2=£-A x x {}1,,=³-B x x 则()=ðU A BA.[]21,- B.21(,)-- C.(][)21,,-¥--+¥D.21(,)- 2.复数21iz =+在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下列说法错误．．的是 A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数AQI 与日期成负相关4.已知锐角ABC D 的三个内角分别为,,,A B C 则“sin >sin A B ”是“tan >tan A B ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. “更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k 的值分别为4，6，1，则输出的k 的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 6.若关于x 的不等式2210x ax ++³在[)0+¥，上恒成立，则实数a 的取值范围为A.0+¥(,) B.[)1-+¥,222522B E分别为双曲线的左、右焦点a b433-433+433-334-3p3p11.设函数sin 23f x x p=+()()，若12x x 0,<且120f x f x +=()()，则21x x -的取值范围为A.6p¥(,+) B.3p¥(,+) C.23p +¥(,)D.43p+¥(,) 12.已知关于x 的方程e 0e ex x x++-x m =x 有三个不相等的实数根123x x x ,,,且1230x x <x <<，其中m ÎR ，e 271828=×××.为自然对数的底数则1232312111e e e x x x ---()()()x x x 的值为A.eB. 1C. 1m +D. 1m -第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13.52()y x +的展开式中的第三项系数为.14.若实数x y ,满足线性约束条件124+³ìï£íï-£îx y y x x y ，则2+x y 的最大值为.15.如图，在直角梯形ABDE 中，已知90ABD EDB °Ð=Ð=,C 是BD 上一点，33,15,AB ACB °=-Ð=60,ECD °Ð=45EAC °Ð=，则线段DE 的长度为.16.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，123AD AA ==,，点Q 是正方形ABCD 所在平面内．．．的一个动点，且2=QC QP ，则线段BQ 的长度的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B DAEC17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ，24316a S ==,,*n ÎN .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =,求数列{}n b 的前n 项和nT.18. （本小题满分12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位:吨）. 若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水量超标.（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率； （2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数记随机变量X 为未来这3超标的天数，天中用水量超标的天数，求求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图①，在边长为5的菱形ABCD 中，6AC =.现沿对角线AC 把ADC D 翻折到APC D 的位置得到四面体P ABC -，如图②所示.已知42PB =.（1）求证：平面PAC^平面ABC ；（2）若Q 是线段AP 上的点，且13AQ =AP ，求二面角Q BC A --的余弦值.图① 图②20.（本小题满分12分）已知椭圆222210x y C a b ab+=:()>>的右焦点30F (,)，长半轴与短半轴之比等于2.PACBDA CB（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不经过点01(,)B 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M N ,.若线段MN 的中点H 满足2MN =BH ，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标21.（本小题满分12分）已知函数e x f x =()，其中e 271828=×××.为自然对数的底数. （1）若曲线()=y f x 在点0e x P x (,)处的切线方程为y kx b =+，求k b -的最小值；（2）当常数()2,+m Î¥时，已知函数212g x x f x mx =--+()()()在0(,)+¥上有两个零点()1212x x x x ,<.证明：214ln e <-<x x m .请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122322x t t y tì=+ïïíï=+ïî(为参数）在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4sin r q q r +=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点M 的直角坐标为22(,).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B ,，求MA MB ×的值.2123a S=,解得d=212232212+48833B P (,),())80)，X 01 2 3P827 49 29 127ABCD 是菱形，\=PA PC ，PO AC ^.5634DC AC OC PO OB ==\===,,，,42PB =， 222PO OB PB \+=.PO OB \^.BOAC O =，\^PO 平面ABC .ÌPO 平面PAC ， \平面ABC ^平面PAC . ………4分（2）AB BC BO AC =\^.，易知,,OB OC OP 两两相互垂直.以O 为坐标原点，OB OC OP ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.则400030004030B C P A -(,,),(,,),(,,),(,,). 设点(,,)Q x y z .由13AQ AP =， 得4023Q -(,,). ………6分4430423BC BQ \=-=--(,,),(,,).设1111x y z =(,,)n 为平面BCQ 的一个法向量. 由11111114300442003x y BC x y z BQ -+=ìì×=ïïÞíí--+×=ïïîî.=n n 解得111134415x y y z ì=ïïíïïî.= 取115z =，则13415=(,,).n ………8分取平面ABC 的一个法向量2001=(,,)n .12122221215310cos ,103415×===++n n n n n n ， ………11分 \二面角--Q BC A 的余弦值为31010.………12分20.解：（1）22232a c a b c b===+,，，∴21,==a b .\椭圆的标准方程为2214x y +=.………4分（2）易知当直线l 的斜率不存在时，不合题意. 设直线l 的方程为1)y kx m m =+¹(，点1122M x y N x y (,),(,).联立2244y kx mx y =+ìí+=î，消去y 可得222418440k x kmx m +++-=(). 2212221224108414441k m km x x k m x x k ìïD =+->-ï\+=í+ïï-=ï+î.由2MN =BH ，可知点B 在以MN 为直径的圆上.BM BN \^. 0BM BN \×=. ………7分112211(,)(,)×=+-×+-BM BN x kx m x kx m2212121110k x x k m x x m =++-++-=()()()()，2222244811104141m km k k m m k k --\++-+-=++()()().整理，得25230m m --=. 解得35=-m 或1=m （舍去）. ∴直线l 的方程为35y kx =-. 故直线l 经过定点经过定点，，且该定点的坐标为305-(,).………12分21.解：（1）曲线在点00e x P x (,)处的切线为0000e e e x x x y x x =-+.0000e e e x x x k b x \==-+,. 00e xk b x \-=. ………3分2ln2x>G m¢=() G m \()>22.解：（1）由122322x t y t ì=+ïïíï=+ïî，消去参数t 可得322y x =-+(). ∴直线l 的普通方程为32230x y -+-=. ………2分2222sin 4sin sin 4sin .r q q r r q r q r +=\+=，222sin ,y x y r q r ==+，故曲线C 的直角坐标方程为24x y =. ………4分 （2）将122322x t y t ì=+ïïíï=+ïî代入抛物线方程24x y =，可得21324222t t +=+()(). 即2883160t t +--=(). ………8分 设点,A B 对应的参数分别为12,t t . 则12120,+838,16,D >=-=-t t t t ∴1216MA MB t t ==. ………10分23.解：（1）由题意，得214x x -++<.i ()当2x >时，原不等式即25x <.∴522x <<； ii ()当x <-1时,原不等式即23x -<.∴312-<<-x ； iii ()当2x -1££时，原不等式即3<4.∴12x -££. 综上，原不等式的解集为3522x |x ìü-<<íýîþ，即123522x x =-=,. 121x x \+=. ………5分（2）由题意，得21x k x k -++³. 当2=x 时,即不等式k k ³3成立0.k \³ i ()当2-£x 或0³x 时,11x +³，\不等式k x k x ³++-|1||2|恒成立. ii ()当12-£<-x 时,原不等式可化为2---³x kx k k .可得241.22xk x x -£=-+++ 3.k \£().。

2018-2019学年四川省成都实验外国语学校八年级（上）第一次段考数学试卷一、选择题.（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各实数中，为无理数的是（）A．﹣5B．C．D．π2．（3分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列各式中正确的是（）A．＝±3B．＝﹣3C．＝3D．﹣＝4．（3分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD，BF⊥AD，分别交AD于E、F两点，若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c5．（3分）估计+1的值，应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．37．（3分）若二元一次联立方程式的解为x＝a，y＝b，则a+b之值为何？（）A．24B．0C．﹣4D．﹣88．（3分）如图，AD是在Rt△ABC斜边BC上的高，将△ADC沿AD所在直线折叠，点C恰好落在BC的中点处，则∠B等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（3分）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．10．（3分）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）二、填空题.（每小题4分，共16分）11．（4分）64的立方根是，4的算术平方根是．12．（4分）点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n＝．13．（4分）已知，求x y的值．14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝3，AB＝5，则CE的长为．三、解答题（共54分）15．（12分）（1）+（﹣）﹣|1﹣|+（﹣）﹣2+（1﹣）0（2）解方程组：16．（6分）化简并代入求值：（x+）（x﹣）﹣（﹣x）2，其中x＝．17．（8分）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（取1.732，结果取整数）？18．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．19．（10分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？20．（10分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．四、填空题（每小题4分，共20分）21．（4分）定义一种新的运算“※”，规定：x※y＝mx+ny2，其中m、n为常数，已知2※3＝﹣1，3※2＝8，则m ※n＝．22．（4分）已知﹣＝，则a﹣的值为．23．（4分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．24．（4分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠F AE＝19°，则∠C＝度．25．（4分）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝，若点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是．五、解答题（共30分）26．（8分）观察下列各式：+3×1+1，+3×2+1，+3×3+1，…（1）猜想①＝．②＝，其中n为正整数．（2）请证明②式．（3）计算：+++…+．27．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P的坐标是（a，6）．（1）求△ABC三个顶点A，B，C的坐标；（2）若点P坐标为（1，6），连接P A，PB，则△P AB的面积；（3）是否存在点P，使△P AB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标．28．（12分）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝10cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N 从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．2018-2019学年四川省成都实验外国语学校八年级（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.（每小题3分，共30分）1．【解答】解：﹣5是整数，属于有理数，故选项A不合题意；是分数，属于有理数，故选项B不合题意；，是整数，属于有理数，故选项C不合题意；π是无理数，故选项D符合题意．故选：D．2．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．3．【解答】解：A、原式＝3，不符合题意；B、原式＝|﹣3|＝3，不符合题意；C、原式不能化简，不符合题意；D、原式＝2﹣＝，符合题意，故选：D．4．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∠A＝∠C，∠CED＝∠AFB＝90°∴△ABF≌△CDE（AAS）∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，∵EF＝c，∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故选：D．5．【解答】解：∵≈2.236，∴+1≈3.236，故选：C．6．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．7．【解答】解：，①﹣②×3，得：﹣2x＝﹣16，解得：x＝8，将x＝8代入②，得：24﹣y＝8，解得：y＝16，即a＝8、b＝16，则a+b＝24，故选：A．8．【解答】解：△ADC沿AD所在直线折叠，点C恰好落在BC的中点处，则AC＝AE，∵E为BC中点，△ABC是直角三角形，∴AE＝BE＝CE，∴AC＝AE＝EC，∴△AEC是等边三角形．∴∠C＝60°，∴∠B＝30°．故选：B．9．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB＝6，AC＝8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，∴BC＝＝10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C．10．【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，∴BD＝5，CD＝50÷2﹣16＝9，OA＝OD﹣AD＝40﹣30＝10，∴P（9，10）；故选：C．二、填空题.（每小题4分，共16分）11．【解答】解：因为4的立方等于64，2的平方等于4，所以64的立方根是4，4的算术平方根是2．故答案为：4，2．12．【解答】解：∵点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，∴m＝﹣2，n＝3，故m+n＝3﹣2＝1．故答案为：1．13．【解答】解：由题意，得，解得x＝5．∴＝2，∴x y＝52＝25．14．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠F AD，∴∠CF A＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，∴，∵FC＝FG，∴，解得：FC＝，即CE的长为．故答案为：三、解答题（共54分）15．【解答】解：（1）原式＝﹣﹣（﹣1）+9+1＝﹣﹣+1+9+1＝﹣﹣+11，（2）原方程组可整理得：，①+②得：x＝1，把x＝1代入①得：4﹣y＝0，解得：y＝4，即原方程组解为：．16．【解答】解：原式＝x2﹣5﹣3﹣x2+2x＝2x﹣8，x＝＝，原式＝2×﹣8＝3+﹣8＝﹣5．17．【解答】解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BDE中，BD＝520m，∠D＝30°，∴BE＝BD＝260m，∴DE＝＝260≈450（m）．答：另一边开挖点E离D450m，正好使A，C，E三点在一直线上．18．【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∵c是的整数部分，∴c＝3．（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，∴3a﹣b+c的平方根是±4．19．【解答】解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意得：，解得：．答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．（2）∵要使每位学生都有座位，∴租45座客车需要5+1＝6辆，租60座客车需要5﹣1＝4辆．220×6＝1320（元），300×4＝1200（元），∵1320＞1200，∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．20．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CF A＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠F AE＝∠F AC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．四、填空题（每小题4分，共20分）21．【解答】解：根据题意，得：，解得：，则x※y＝4x﹣y2，∴4※（﹣1）＝4×4﹣（﹣1）2＝15，故答案为：1522．【解答】解：∵﹣＝，∴＞0且a＞0，∴0＜a＜1，∴a﹣＜0，∵﹣＝，∴（）2＝5，∴＝5，∴a+＝7，∴（a+）2＝49，∴a2+2+＝49，∴a2﹣2+＝45，∴（a﹣）2＝45，∴a﹣＝，又∵a﹣＜0，∴a﹣＝﹣3，故答案为：﹣3．23．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．24．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠F AC＝∠EAC+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠F AB＝∠EAC+19°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，解得，∠C＝24°，故答案为：24．25．【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB＝120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH＝DH，∵∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝，∴CD＝2CH＝3．∴△PMN周长的最小值是3故答案为：3．五、解答题（共30分）26．【解答】解：（1）①由题意可得，＝20152+3×2015+1，故答案为：20152+3×2015+1；②＝n2+3n+1，故答案为：n2+3n+1；（2）证明：∵（）2＝n4+6n3+11n2+6n+1，（n2+3n+1）2＝n4+6n3+11n2+6n+1，∴＝n2+3n+1；（3）+++…+＝+…+＝＝＝＝＝＝．27．【解答】解：（1）∵S△ABO＝•OA•OB，∵OA＝OB，∴OA2＝8，解得OA＝4，∴OB＝OA＝4，∴OC＝BC﹣OB＝12﹣4＝8，∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）；（2）作PH⊥x轴于H，如图1，S△P AB＝S△PBH﹣S△AOB﹣S梯形AOHP＝×（4+1）×6﹣8﹣×（4+6）×1＝15﹣8﹣5＝2．（3）S△ABC＝•4•12＝24，当点P在第一象限，即a＞2，作PH⊥x轴于H，如图2，S△P AB＝S△AOB+S梯形AOHP﹣S△PBH＝8+•a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4；则2a﹣4＝24，解得a＝14．此时P点坐标为（14，6）；当点P在第二象限，即a＜2，作PH⊥y轴于H，如图3，S△P AB＝S梯形OHPB﹣S△P AH﹣S△OAB＝•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a；则4﹣2a＝24，解得a＝﹣10．此时P点坐标为（﹣10，6）．综上所述，点P的坐标为（﹣10，6）或（14，6）．28．【解答】解：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，又AB＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）S△ABC＝×5x×4x＝10cm2，解得，x＝1cm，则BD＝2cm，AD＝3cm，CD＝4cm，AC＝5cm，①当MN∥BC时，AM＝AN，即5﹣t＝t，∴t＝2.5，当DN∥BC时，AD＝AN，则t＝3，故若△DMN的边与BC平行时，t值为2.5或3．②当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE，当t＝2时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t﹣2＝2.5，∴t＝4.5，如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝5，如果MD＝ME＝t﹣2，则（t﹣2）2﹣（t﹣3.5）2＝22，∴t＝，综上所述，符合要求的t值为4.5或5或．。

2018年某成外、成实外、成实外西区三校联考招生数学真卷 (满分：120分 时间：90分钟)一、填空题(每空1分，共16分)1.【年龄问题】李老师a 岁，笑笑(a-18)岁，再过n 年后，他们相差()岁。

2.【比较大小】设6229=A ，626160293031=B ，比较大小：A( )B 3.【分数应用】40吨增加51后是( )吨，( )千米减少51后是40千米。

4.【数论】在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，那么这个两位数是()。

5.【植树问题】把一根6米长的小棒锯成相等的几段，共锯了4次，每段长()米，每段占全长的()。

6.【时钟问题】现在是4点整，再过()分，时针与分针第一次重合。

7.【长方形面积】一个长方形的周长是160分米，长与宽的比是5:3，这个长方形的面积是()平方米。

8.【定义新运算】定义新运算※：a※b=3a -2b ，已知4※x=2，则x=()。

9.【年龄问题】叔叔对淘气说：“到21世纪的2x 年，我刚好x 岁。

”，那么叔叔生于()年。

10.【工程问题】有一项工程，甲单独做16天完成，乙单独做12天完成。

现在甲先做了几天，乙接着又做几天，共用14天完成。

甲做了()天。

11.【圆的面积】已知一个圆的面积为50.24平方厘米，那么这个圆的直径为( )厘米。

12.【数论】有一个整数除300、262、205，得到相同的余数，这个整数是()。

13.【圆环面积】一个圆环外直径是36厘米，环宽6厘米，这个圆环的面积是( )平方厘米。

14.【平面图形面积】如图所示，四边形的总面积为72，已知两个小三角形的面积分别是11和13，那么图中四个小三角形中面积最大的一个面积是()。

二、判断题，正确的打“√"，错误的打“×”(共12分) 15.【倒数应用】假分数的倒数一定小于1。

()16.【比的应用】72:1:=B A ，当A 增加2倍，B 乘以3后，这时A 与B 的比值还是72:1。

四川省成都市实验外国语学校2018届零诊模拟考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}|||2A x x =<，{}2|430B x x x =-+<，则AB 等于（ ）A ．{}21A x =-<<B ．{}21A x =-<<C ．{}23A x =<<D ．{}23A x =-<<2．设复数2i z =+，则z z -=（ ） A ．4B ．0C ．2D．3．在等差数列{}n a 中，39||||a a =且公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值时的n 的值为（ ） A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在4．某公司的班车在7:00、8:00、8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．345．P 是双曲线222219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线为320x y -=，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，若16PF =，则2PF =（ ） A ．2或10 B ．2 C ．10 D ．96．某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．π3C ．2π9D ．16π97．已知实数12,,OA e OB e ==满足12,,OA e OB e ==其中12,,OA e OB e ==则实数12,,OA e OB e ==的最小值俯视图侧视图为（ ）A ．12OA e OB e ==，， B ．12,OA e OB e ==，C ．12,OA e OB e ==，D ．12OA e OB e ==，，7．已知实数,x y 满足3,2,2x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么2z x y =+的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若(0)a f =，1()2b f =，(3)c f =，则a b c 、、的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>10．如图，抛物线2:4W y x =与圆22:(1)25C x y -+=交于A B 、两点，点P 为劣弧AB 上不同于A B 、的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则PQC △的周长的取值范围是（ ）A ．(9,11)B ．(1012)，C ．(12,14)D ．(10,14)11．在平行四边形ABCD 中，0AB BD =，240AB BD -=，若将其沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BDC -的外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．2π12．设函数32()f x ax bx cx d =+++有两个极值点12x x 、，若点11(,())P x f x 为坐标原点，点22(,())Q x fx在圆22:(2)(3)1C x y -+-=上运动时，则函数()f x 图像的切线斜率的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中相应的横线上．）13．平面向量a 与b 的夹角为2π3，且(1,0)a =，||1b =则2a b +=_______． 14．若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =_______．15．16．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE BC ⊥于点E ，1,3,2EC AB BC PE ====，则四棱锥P ABCD -的外接球半径为_______．16．已知函数2()ln f x x x =-与21()(2)24g x x m x =----的图像上存在关于点(1,0)对称的点，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题12分）已知231()cos cos 24f x x x x =+-． （Ⅰ）求()212f x x x =+--的最小正周期()0f x ≥及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC △中，角()f x x a ≤+的对边分别为a ，若00,t y kx t k -+⎛⎫⎪⎝⎭，求ABC △面积的最大值．18．（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PDC ,PD DC ⊥底面ABCD 是梯形，AB DC∥1,AB AD PD ===2CD =．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）（理科）设Q 为棱PC 上一点，,PQ PC λ= 试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60︒．（Ⅲ）（文科）Q 为棱PC 上的中点．求三棱锥P QBD -的体积P QBD V -19．（本小题12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：（1）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数； （2）试估计员工A 与员工B 在这个月送快件数的大小（3）对于员工B 在抽取的这10天中的快件数为37和42的5天中，任取2天，求快件数不同的概率．20．（本小题12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别12(F F 、，（1）以椭圆的短轴为直径的圆经过点(1,0)M（2）求椭圆C 的标准方程过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，设点(3,2)N ，直线AN BN 、的斜率分别为12k k 、，问12k k +是否为定值？并证明你的结论． 21．（本小题12分）已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明:22()1f x x <-．22．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为12(1122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），点A的极坐标为π4⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P Q 、 （1）写出圆C 的直角坐标方程； （2）求AP AQ 的值．30四川省成都市实验外国语学校2018届零诊模拟考试数学试卷答 案一、选择题 1~5．BCBBA 6~10．DBBBB11~12．AD二、填空题1314．4 15．216．[)1ln 2,-+∞ 三、解答题17．解：（Ⅰ）()f x π1)32x =++，故()y f x =周期πT =．令πππ2π22π,()232k x k k -+≤+≤+∈Z 则5ππππ,()1212k x k k -+≤≤+∈Z 所以()y f x =单调增区间为()ln ,x m ∈+∞5πππ,π,()1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）由5()4f A =可得π6A =，所以cos A ．由余弦定理2222cos a b c b A =+-，可得2212b c bc +=+≥，即2bc ≤b c =时等号成立，因此1sin 2bc A ≤．所以 ABC △ 18．解：（Ⅰ）证明AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，∴,AD PD AD DC ⊥⊥，在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD ⊥于H ，在BCH △中，145,BH CH ADB ==⇒∠=又在DAB △中，145,AD AB ADB ==⇒∠=∴4590,BDC DBC BC AD ∠=⇒∠=⇒⊥①,,,PD DC ADDC A D D D A P D ⊥=⊂⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥，由①②，,BDPD D =BD ⊂平面,PBD PD ⊂平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）以D 为原点，,,DA DC DP 所在直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系（如图）则()()()()0,0,10,2,01,0,01,1,0P C A B 、、、 令()000,,Q x y z ，()000,,1PQ x y z -，()0,2,1PC -，PQ PC λ=，∴()()000,,10,2,1x y z λ-=-，∴()0,2,1Q λλ=-，BC ⊥平面PBD ，∴()1,1,0n =-是平面PBD 的一个法向量，设平面QBD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0m DB m DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即()0210x y y z λλ+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩即,21x y z y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩不妨令1y =，得21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 二面角Q BD P --为60，∴(),21cos ,222m nm n m nλλ===⎛+ ⎝-解得3λ=Q 在棱PC 上，∴01,λ<<故3λ=为所求．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BC ⊥平面PBD 且BC111223P BDQ Q PBD C PBD PBD V V V S BC ---===⨯⨯△=1111626⨯⨯ 19．解：（1）员工A 的平均数为A 3233333835363933414010x +++++++++==36员工A 的众数为33．（2）员工B 的平均数为=38.636B Ax x >=（3）11322535C C p C == 20．解：（1）由已知得：c =222a b -=，由已知得1b OM ==，解得：a =，则椭圆C 的方程为2213x y += （2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1x =，y =A，(1,B ，12233+=222k k +=②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+ 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以12122112121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- [][]122112122(1(3)2(1(3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++[]1212121212122()24()693()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212221212336122()246313193()k k x x k k k x x x x ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=-++ 2212(21)26(21)k k +==+ 综上得：12k k +为定值221（理科）．解（Ⅰ）①由题意，得()(()())(e )e x xh x f x g x mx n m '''=-=--=-，所以函数()h x 在0x =处的切线斜率1k m =-，又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-， 将点(1,0)代入，得2m n +=．②当0n =，可得()(e )e x x h x mx m ''=-=-，因为1x >-，所以1x e e>， （1）当1em ≤时，()e 0xh x m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =，所以只需1(1)0e h m -=+≥，解得1e m ≥-，从而11e em -≤≤． （2）当1em >时，由()0xh x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞， 当()1,ln x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()ln ,x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-， 令ln 0m m m ->，解得e m <，所以1e em <<．综上所述，1,e e m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）由题意，1114()()()e e 4x x n xnx x m r x n f x g x x x m=+=+=+++，而14()1e 4x x r x x =+≥+等价于e (34)40x x x -++≥， 令()e (34)4xF x x x =-++，则(0)0F =，且()e (31)1xF x x '=-+，(0)0F '=，令()()G x F x '=，则()e (32)xG x x '=+，因0x ≥，所以()0G x '>，所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=， 从而函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(0)0F x F ≥=．21（文科）．（1）函数()2ln a f x x x x =--的定义域为()0,+∞，()222221a x x af x x x x -+'=+-=，令()0f x '=，得220x x a -+=，其判别式44a ∆=-，当0∆≤，即1a ≥时，220x x a -+≥，()0f x '≥，此时，()f x 在()0,+∞上单调递增; ②当0∆>，即1a <时，方程220x x a -+=的两根为11x =211x =+>， 若0a ≤，则10x ≤，则()20,x x ∈时，()0f x '<，()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 此时，()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增;若0a >，则10x >，则()10,x x ∈时，()0f x '>，()12,x x x ∈时，()0f x '<，()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，此时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增; 当01a <<时，函数()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 在()2,x +∞上单调递增;当1a ≥时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增．（2）由（1）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，等价于方程220x x a -+=在()0,+∞有两不等实根，故01a <<．21x =，且212x <<2222a x x =-+()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--， 令()2ln 1g t t t =--，12t <<，则()221t g t t t-'=-=，由于12t <<，则()0g t '<， 故()g t 在()1,2上单调递减．故()()112ln110g t g <=--=． ∴()()22210f x x g x -+=<．∴()221f x x <-．22．（1）因为圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，所以22cos ρρθ=，将其转化成直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=（2）由点A的极坐标π4⎫⎪⎪⎝⎭得直角坐标为11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭ 将直线l的参数方程121122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程22(1)1x y -+=，得211022t t --=． 设12,t t为方程2102t -=的两个根，则1212t t =-，由t 的几何意义可知1212AP AQ t t ==。

2018年成都市成都外国语学校自主招生考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一．选择题（每小题3分，共30分）1．下列各数中，比﹣3大的数是（）A．﹣πB．﹣3.1 C．﹣4 D．﹣22．在下列计算中，正确的是（）A．b3•b3＝b6B．x4•x4＝x16C．（﹣2x2）2＝﹣4x4D．3x2•4x2＝12x23．亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000科学记数法表示为（）A．4.4×106B．4.4×107C．0.44×107D．4.4×1034．下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如果方程ax2+2x+1＝0有两个实根，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1且a≠0 D．a≤16．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.57．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF＝2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB 于点G，则S四边形AGFH：S△BFC＝（）A．1：10 B．1：5 C．3：10 D．2：58．如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC的长为（）A．B．C．D．9．如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）A．πB．πC．πD．π10．如图，抛物线y1＝（x+1）2+1与y2＝a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a＝；②AC＝AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（每小题3分，共15分）11．若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝．12．如果样本x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，那么样本x1+2，x2+2，x3+2，…x n+2的平均数是13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A 逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为．14．学生要测算某建筑的高度，他们先从视角仪安装处对准筑物顶部上的点A，再把标杆放在视线OA的反向延长线与地面的交点C处．然后把视线对准建筑物底部的点B（AB垂直于地面地面），再找到视线OB的反向延长与标杆的交点D，量得O点到地面的高OO1＝1.5（米），CD＝1.53（米），则建筑物高AB＝米．15．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB ＝∠DCE．若tan∠ACB＝，BC＝2，则⊙O的半径为．三．解答题（共5小题，计55分）16．（18分）计算：（1）﹣12018+（﹣6）2×（）（2）﹣|﹣3|（3）关于x的不等式组恰好有三个整数解，求a的取值范围．17．（7分）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m；（3）量出测倾器的高度AC＝h．根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN．如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图2）的方案：（1）在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）；（2）写出你的设计方案．18．（10分）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0…①（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；（2）如果a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，其中x1，x2是方程①的两个实数根，求代数式（﹣1）÷•的值．19．（10分）如图，已知直线l：y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，1）、B（m，﹣4），且直线l与y轴交于点C．（1）求直线l的解析式；（2）若不等式ax+b＞﹣成立，则x的取值范围是；（3）若直线x＝n（n＜0）与y轴平行，且与双曲线交于点D，与直线l交于点H，连接OD、OH、OA，当△ODH的面积是△OAC面积的一半时，求n的值．20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC，垂足为H，连接OB．（1）如图1，求证：∠DAC＝∠ABO；（2）如图2，在弧AC上取点F，使∠CAF＝∠BAD，在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC＝60°，求证：GF ＝GD；（3）如图3，在（2）的条件下，AF、BC的延长线相交于点E，若AF：FE＝1：9，求sin∠ADG的值．B卷（50分）一．填空题（每题4分，共20分）21．已知m，n是方程x2﹣2017x+2018＝0的两根，则（n2﹣2018n+2 019）（m2﹣2018m+2019）＝．22．在一个口袋中有七个大小和形状完全相同的小球，分别标有数字﹣6，﹣5，﹣4．﹣3，﹣2，2，1．现从袋中抽出一个小球记上面的数字为a，则使得二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解的概率是．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是．24．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是．25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG＝CH；②GH＝；③直线GH的函数关系式y＝﹣；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为．其中正确的有．二．解答题（26题8分，27题10分，28题12分）26．（8分）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长24千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工0.4千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的．（1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？（2）若甲工程队每天的施工费用为0.8万元，乙工程队每天的施工费用为0.5万元，要使两个工程队施工的总费用不超过7万元，则甲工程队至多施工多少天？27．（10分）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB＝4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AC＝，请你直接写出DM+CN的最小值．28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左边），AB＝4，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点，且tan∠ABE＝2．（1）求此二次函数的表达式；（2）已知P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，若S△EAP＝3S△EMN，求点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿y轴翻折得到一个新抛物线，A点的对应点为点F，过点C作直线l与新抛物线交于另一点M，与原抛物线交于另一点N，是否存在这样一条直线，使得△FMN的内心在直线EF上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：∵﹣π＜﹣3，﹣3.1＜﹣3，﹣4＜﹣3，﹣2＞﹣3，∴比﹣3大的数是﹣2．故选：D．2．【解答】解：A、b3•b3＝b6，正确；B、x4•x4＝x8，错误；C、（﹣2x2）2＝4x4，错误；D、3x2•4x2＝12x4，错误；故选：A．3．【解答】解：将44000000科学记数法表示为4.4×107，故选：B．4．【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．5．【解答】解：∵ax2+2x+1＝0有两个实数根，∴当a＝0时，方程化为2x+1＝0，解得：x＝﹣，不合题意；故a≠0，∴△＝b2﹣4ac＝2 2﹣4a≥0，解得：a≤1，则a的取值范围是a≤1且a≠0．故选：C．6．【解答】解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE＝DG，∴DM＝DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，S△DNM＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．故选：B．7．【解答】解：设DF＝x，EF＝2x，S△GDF＝S，则DE＝3x，∵DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝6x，∵DE∥BC，∴△GDF∽△GBC，＝＝，∴＝（）2，即＝（）2＝，∴S△GBC＝36S，∵＝＝，∴S△BGF＝6S，∴S△BFC＝30S，∵EF∥BC，∴＝＝＝＝，∴＝＝，∴S△CFH＝S△BCF＝15S，∴S△BCH＝45S，而AE＝CE，∴AH：HC＝1：3，∴S△BAH＝S△BCH＝15S，∴S四边形AGFH＝S△BAH﹣S△BGF＝15S﹣6S＝9S，∴S四边形AGFH：S△BFC＝9S：30S＝3：10．故选：C．8．【解答】解：延长DC交AB的延长线于点K；在Rt△ADK中，∠DAK＝60°∠AKD＝30°，BC＝1，∴，∴DK＝CD+CK＝4，∴AD＝＝，在△Rt△ADC中，AC＝＝，故选：C．9．【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，设AB与x轴交于点M，与y轴交于点N．∵直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴M（，0），N（0，），∴OM＝ON＝，△OMN是等腰直角三角形，∴∠OMN＝∠ONM＝45°，∵OC⊥AB，∴OC＝OM＝．∵△OAB为等边三角形，OC⊥AB，∴AB＝2AC，AC＝＝＝，∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，∴AB＝，∴弧AB的长度为：＝π．故选：C．10．【解答】解：∵抛物线y1＝（x+1）2+1与y2＝a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），∴3＝a（1﹣4）2﹣3，解得：a＝，故①正确；过点E作EF⊥AC于点F，∵E是抛物线的顶点，∴AE＝EC，E（4，﹣3），∴AF＝3，EF＝6，∴AE＝＝3，AC＝2AF＝6，∴AC≠AE，故②错误；当y＝3时，3＝（x+1）2+1，解得：x1＝1，x2＝﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB＝4，AD＝BD＝2，∴AD2+BD2＝AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；∵（x+1）2+1＝（x﹣4）2﹣3时，解得：x1＝1，x2＝37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．故选：B．二．填空题（每小题3分，共15分）11．【解答】解：∵9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝3x（3x3﹣x）+4（3x3﹣x）﹣3x+2001，且3x3﹣x＝1，∴9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝3x+4﹣3x+2001＝2005故答案为200512．【解答】解：∵样本x1，x2，…x n的平均数为5，（x1+2）+（x2+2）+…+（x n+2）＝（x1+x2+…+x n）+2n ∴样本x1+2，x2+2，…，x n+2的平均数＝5+2＝7，故答案为：7．13．【解答】解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E．∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，∴AB＝AB′＝6，∠B′AC′＝60°，∴∠EAB′＝180°﹣∠B′AC′﹣∠BAC＝60°．∵B′E⊥EC，∴∠AB′E＝30°，∴AE＝3，∴根据勾股定理得出：B′E＝＝3，∴EC＝AE+AC＝6，∴B′C＝＝＝3．故答案为：3．14．【解答】解：如图，高OO1＝1.5，CD＝1.53，∵OO1∥CD，∴△BOO1∽△BDC，∴＝，即＝，∴＝＝，∵OO1∥AB，∴△COO1∽△CAB，∴＝，∴＝，∴AB＝76.5（m）．故答案为76.5．15．【解答】解：连接EF，∵∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠D＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴＝，即＝，∵BC＝2，∴AB＝CD＝，∴DE＝1，∴AE＝DE，∵AF为直径，∴EF⊥AD，∴EF∥CD，∴AF＝CF，在Rt△ABC中，AB＝，BC＝2，∴AC＝，∴⊙O的半径OA＝AF＝AC＝．故答案为：．三．解答题（共5小题，计55分）16．【解答】解：（1）原式＝﹣1+36×＝﹣1+6＝5；（2）原式＝2+﹣3＝；（3）解不等式5x+2＞0，得：x＞﹣0.4，解不等式3x+2a+4＞4（x+1），得：x＜2a，∵不等式组恰好有三个整数解，∴不等式组的整数解为：0、1、2，∴2＜2a≤3，解得：1＜a≤．17．【解答】解：（1）正确画出示意图；（2）①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝α；②在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角∠MDE＝β；③量出测倾器的高度AC＝BD＝h，以及测点A、B之间的距离AB＝m．根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN．18．【解答】（1）证明：△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2+2k﹣1）＝8＞0，所以对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1，x2是方程①的两个实数根，∴x1+x2＝2（k+1），x1•x2＝k2+2k﹣1，∴x1+x2﹣2k＝2（k+1）﹣2k＝2，（x1﹣k）（x2﹣k）＝x1•x2﹣（x1+x2）k+k2＝k2+2k﹣1﹣（2k+2）k+k2＝﹣1，方程②为y2﹣2y﹣1＝0，∵a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，∴a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣1＝2a，∴（﹣1）÷•＝••＝﹣＝﹣＝﹣19．【解答】解：（1）∵，∴m＝1，∴B（1，﹣4）．∵y＝ax+b过A（﹣4，1），B（1，﹣4），∴，解得，∴直线解析式为y＝﹣x﹣3；（2）由函数图象可知，不等式ax+b＞﹣成立，则x的取值范围是x＜﹣4或0＜x＜1．故答案是：x＜﹣4或0＜x＜1；（3）∵直线与y轴交点为（0，﹣3），∴由直线x＝n可知当﹣4＜n＜0时，，∵，∴，整理得n2+3n+2＝0，解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2；当n＜﹣4时，，∵，∴，整理得n2+3n﹣10＝0，解得：n1＝﹣5，n2＝2（不合题意，舍去）．综上可知n的值为﹣1，﹣2，﹣5．20．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．∵BQ是⊙O直径，∴∠QAB＝90°．∵AD⊥BC，∴∠AHC＝90°．∵弧AB＝弧AB，∴∠AQB＝∠ACB，∵∠AQB+∠ABO＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°∴∠ABO＝∠CAD．（2）证明：如图2，∵AG∥OB，∴∠ABO＝∠BAG，∵∠ABO＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAG，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝∠BAD+∠BAG＝60°，∵∠BAD＝∠CAF，∴∠CAF+∠CAD＝60°，∴∠GAD＝∠DAF＝60°，∠GAF＝120°，∵四边形AGDF内接于⊙O，∴∠GDF＝60°，∵弧GD＝弧GD，∴∠GAD＝∠GFD＝60°，∴∠GDF＝∠GFD＝60°，∴GD＝GF．（3）解：如图3，延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO 交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．∵AF：FE＝1：9，∴设AF＝k，则FE＝9k，AE＝10k，在△AHE中，∠E＝30°，∴AH＝5k．设NH＝x，则AN＝5k﹣x，∵ON⊥AD，∴AD＝2AN＝10k﹣2x又在△AQF中，∵∠GAF＝120°，∴∠QAF＝60°，AF＝k，∴AQ＝，FQ＝k，由（2）知：∠GDF＝∠DAF＝60°，∴△GDF是等边三角形，∴GD＝GF＝DF，∵∠GAD＝∠DAF＝60°，∴DP＝DK，∴△GPD≌△FKD，△APD≌△AKD∴FK＝GP，AP＝AK，∠ADK＝30°，∴AD＝2AK＝AP+AK＝AF+AG∴AG＝10k﹣2x﹣k＝9k﹣2x，∵作OM⊥BC，ON⊥AD，∴OM＝NH＝x，∵∠BOM＝∠BOC＝∠BAC＝60°∴BC＝2BM＝2x，∵∠BOC＝∠GOF，∴GF＝BC＝2x在△GQF中，GQ＝AG+AQ＝k﹣2x，QF＝k，GF＝2x，∵GQ2+FQ2＝GF2，∴（k﹣2x）2+（k）2＝（2x）2，∴x1＝k，x2＝﹣k（舍弃），∴AG＝9k﹣2x＝k，AR＝2OB＝4OM＝4x＝7k，在△GAR中，∠RGA＝90°，∴sin∠ADG＝sin∠R＝＝．一．填空题（每题4分，共20分）21．【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2 017x+2 018＝0的两根，∴m2﹣2017m＝﹣2018，n2﹣2017n＝﹣2018，m+n＝2017，mn＝2018，∴原式＝（﹣n+1）（﹣m+1）＝mn﹣（m+n）+1＝2018﹣2017+1＝2．故答案为：2．22．【解答】解：二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点坐标为：（﹣1，a+1），当顶点落在第三象限时，a+1＜0，即a＜﹣1，则符合条件的a的值为﹣6，﹣5，﹣4．﹣3，﹣2，＝2﹣，去分母，得ax＝2（x﹣2）﹣（3x+2），去括号，得ax＝2x﹣4﹣3x﹣2，移项、合并同类项，得（a+1）x＝﹣6，系数化为1，得x＝﹣，当a＝﹣4时，x＝2是增根，则a＝﹣3，﹣2，2，1时，分式方程有整数解，综上所述，当a═﹣3，﹣2时，二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解，所以使得二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解的概率是，故答案为：．23．【解答】解：E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，过C作CF⊥x轴于F，则∠CFO＝90°，此时OE＝BE＝AB＝1，由勾股定理得：CE＝＝2，OC＝1+2＝3，即BE＝CE，∵∠CBE＝90°，∴∠ECB＝30°，∠BEC＝60°，∴∠AEO＝60°，∵在Rt△AOB中，E为斜边AB中点，∴AE＝OE，∴△AOE等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠COB＝90°﹣60°＝30°，∴CF＝OC＝＝，由勾股定理得：OF＝＝＝，所以点C的坐标是（，）．故答案为：（，）．24．【解答】解：连接BD交AC于O，连接CD1交AC1于E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴ACD⊥BD，∠BAO＝∠DAB＝30°，OA＝AC，∴OA＝AB•cos30°＝1×＝，∴AC＝2OA＝，同理AE＝AC•cos30°＝•＝，AC1＝3＝（）2，…，第n个菱形的边长为（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1，25．【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，∴OE＝BE，BC∥OA，OA＝BC，∴∠HBE＝∠GOE，∵在△BHE和△OGE中，∠HBE＝∠GOE，OE＝BE，∠HEB＝∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），∴BH＝OG，∴AG＝CH．②如图1，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，则由矩形的性质，点E在AC上．∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，∵在△CME和△ADE中，∠MCE＝∠DAE，CE＝AE，∠MEC＝∠DEA，∴△CME≌△ADE（ASA），∴CM＝AD＝2﹣1＝1，∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，∴MD切⊙O于D，∵HG切⊙O于F，E（1，），∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，在Rt△MHE中，有MH2+ME2＝HE2，即（1﹣x）2+（）2＝（+x）2，解得x＝．∴H（，1），OG＝2﹣＝，∴G（，0）．∴GH2＝（﹣）2+（0﹣1）2＝，∴GH＝，③设直线GH的解析式是：y＝kx+b，把G、H的坐标代入得，解得：，∴直线GH的函数关系式为y＝﹣x+，④如图2，连接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH＝AG，∠HCO＝∠GAB，OC＝AB，∴△OCH≌△BAG（SAS）．∴∠CHO＝∠AGB．∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F．∴OH平分∠CHF．∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA．∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE．∵在△HOE和△GBE中，HE＝GE，∠HEO＝∠GEB，OE＝BE，∴△HOE≌△GBE（SAS）．∴∠OHE＝∠BGE．∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA．∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上．过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA．∴＝，设半径为r，则＝，解得r＝．故答案为：①②③④．二．解答题（26题8分，27题10分，28题12分）26．【解答】解：（1）设甲队每天完成x千米，则乙队每天完成（x﹣0.4）千米．根据题意得：＝×，解得：x＝2.4．经检验，x＝2.4是原方程的解．2.4﹣0.4＝2．答：甲队每天修2.4千米，乙队每天修2千米．（2）设甲队改造a千米，则乙队改造（24﹣a）千米．根据题意得×0.8+×0.5≤7，解得：a≤12．＝5，答：甲工程队至多施工5天．27．【解答】解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE＝＝2，∵DC∥AB，∴∠EDC＝∠DEA＝90°，在Rt△DEC中，DC＝4，EC＝＝＝2；（2）如图2，延长CD至H，使DH＝CD，连接NH、AH，∵AD＝CD，∴AD＝DH，∵CD∥AB，∴∠HDA＝∠BAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD，∠HAD＝60°，∵△AMN是等边三角形，∴AM＝AN，∠NAM＝60°，∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM，∴∠HAN＝∠DAM，在△ANH和△AMD中，∵，∴△ANH≌△AMD（SAS），∴HN＝DM，∵D是CH的中点，Q是NC的中点，∴DQ是△CHN的中位线，∴HN＝2DQ，∴DM＝2DQ．（3）如图2，由（2）知，HN＝DM，∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，此时，点D和点Q重合，即：CN+DM的最小值为CH，如图3，由（2）知，△ADH是等边三角形，∴∠H＝60°．∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAD＝30°，∴∠CAH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在Rt△ACH中，CH＝＝2，∴DM+CN的最小值为2．28．【解答】解：（1）二次函数y＝a（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，又∵AB＝4，∴点A到y轴的距离为×4﹣1＝1，∴点A的坐标是（﹣1，0），∵tan∠ABE＝2，∴×4×tan∠ABE＝2×2＝4，∴点E的纵坐标为4，∴顶点E的坐标为（1，4），∴k＝4，∵点A（﹣1，0）在二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象上，∴a（﹣1﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1，故二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）如图1，∵A（﹣1，0），E（1，4），∴点M是AE的中点，且M（0，2），根据等底等高的三角形的面积相等可得，S△AMN＝S△EMN，又∵S△EAP＝3S△EMN，∴S△AMN＝S△APN，根据等底等高的三角形的面积相等可得点P的纵坐标为﹣2，∴﹣（x﹣1）2+4＝﹣2，解得x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），故点P的坐标是（1+，﹣2）；（3）存在．理由如下：如图2，令x＝0，﹣（0﹣1）2+4＝3，所以，点C的坐标为（0，3），根据翻折的性质，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4沿y轴翻折得到的新抛物线为y＝﹣（x+1）2+4，∵A点的对应点为点F，∴点F的坐标为（1，0），又∵E（1，4），∴EF⊥x轴，设直线l的解析式为y＝kx+3，联立，解得（为点C，舍去），，∴点N坐标为（2﹣k，﹣k2+2k+3），联立，解得（为点C，舍去），，∴点M的坐标为（﹣2﹣k，﹣k2﹣2k+3），过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，∵△FMN的内心在直线EF上，∴EF是∠MFN的平分线，∴∠MFG＝∠NFH，又∵∠MGF＝∠NHF＝90°，∴△MGF∽△NHF，∴＝，即＝，整理得，k2﹣2k﹣3＝﹣（k2﹣2k+1），即k2﹣2k﹣1＝0，解得k1＝1+，k2＝1﹣，∵点M（﹣2﹣k，﹣k2﹣2k+3）在y轴的右侧，点N（2﹣k，﹣k2+2k+3）在对称轴直线x＝1的右边，∴，解得﹣2＜k＜1，∴k＝1﹣，故直线EF的解析式为y＝（1﹣）x+3．。