14.3.2 第1课时 运用平方差公式因式分解

方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整 式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
巩固练习
若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式 a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.
巩固练习
分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平 方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状. 解：∵a2–2bc=c2–2ab， ∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0， ∴(a–c)(a+c+2b)=0. ∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c， ∴这个三角形是等腰三角形.
当堂训练
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(–b)2
B．5m2–20mn
C．–x2–y2
D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( D )
A．x(x2–1)
B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1)
D．x(1+x)(1–x)
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为( A )
答：剩余部分的面积为36 cm2.
当堂训练
5.(1)992–1能否被100整除吗？ (2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98， 所以992–1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5) =(2n+6)(2n–4) =2(n+3) ×2(n–2)=4(n+3)(n–2).
所以，(2n+1)2–25能被4整除.

14.3.2运用平方差公式分解因式教学设计【教学目标】1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式；3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式；4.在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.【教学重点】灵活运用平方差公式进行各种因式分解【教学难点】高次指数的转化、两种因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的灵活运用。

【教材分析】本节课位于人教版八年级上册第14.3.2提公因式法后，起承上启下作用。

使学生知道当多项式的各项含有共因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解。

【学情分析】本班学生基础知识一般，学生之间个体差异很大，个别学生学习态度不端正，意志力不强，大部分学生好动。

【教学方法】合作探究法及引导发现法【媒体选择】多媒体课件【教学过程】活动一、复习:运用平方差公式计算1）（a+2)(a-2)； 2）(x+2y) (x-2y) ；3) (t+4s)(-4s+t)； 4) (m²+2n²)(2n²- m²) .设计意图：进一步明确平方差公式，复习旧知识，为新知识的学习做准备．活动二、新课引出教师出示3x3-12x让学生分解因式，让学生在解题过程中发现问题，进而引入新课。

小组讨论：1、什么叫因式分解？你能将多项式x2 –25，9 x2- y2改写成多项式乘多项式吗？它们有什么共同特征？2、尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同组交流。

活动三、新知的分析、概括、总结观察发现：a2-b2=(a+b)(a-b) x2 –25=(x+5)(x-5) 9 x2- y2=(3x+y)(3x-y)1、能用平方差公式分解因式的多项式有几项？各项指数都是几？各项符号相同还是相反？2、分解的结果是什么形式？描述一下。

设计意图：通过设置问题，说明平方差公式可以用来分解因式。

同学们，今天我们将要学习的是《平方差公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时是否遇到过需要分解多项式的情况？”例如，x² - 4这样的表达式。这个问题与我们将要学习的平方差公式密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
在小组讨论环节，我发现同学们的参与度很高，能够积极提出自己的观点，并尝试解决实际问题。但我也注意到，部分小组在讨论过程中可能会偏离主题，这需要我在以后的课堂上更加注意引导，确保讨论的内容紧扣教学目标。
此外，对于平方差公式与完全平方公式的混淆问题，我觉得在今后的教学中，我应该设计一些对比练习，帮助同学们明确这两个公式的区别和适用场景。通过具体的练习，让他们在实际操作中感受到这两个公式的不同。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对于平方差公式的理解整体上是积极的，但也存在一些需要我进一步关注和引导的地方。在讲解平方差公式时，我注意到有些同学在推导过程中对(a + b)(a - b) = a² - b²的理解还不够深入，可能需要通过更多的实际例题来加强他们的理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发同学们的兴趣，这种方式似乎收到了不错的效果。大家对于将数学知识应用到实际生活中的讨论非常积极，这让我感到欣慰。然而，我也意识到在接下来的课程中，需要更多地设计这样的环节，让同学们感受到数学的实用性和趣味性。
3.成展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际数学题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

（1）a 2 -
1 25
b 2；
（2）9a2-4b2；
（3）-1+36b2； （4）（ 2x+y） 2-（ x+2y） 2．
合作雅究二例2：把下列各式分解因式
(1) ax2 - a3
(2) 2xy2 - 50x
解：原式=a(x2-a2) 原式=2x(y2-25)
=a(x+a)(x-a) =2x(y+5)(y - 5)
人教版八年级数学上册14.3.2
因式分解（2） 平方差公式
和雅激情：我努力、我成功、我快乐。 学习目标 ：
1 掌握因式分解的公式法----平方差公式；
2 熟练地运用平方差公式进行因式分解.
文雅自修：研读课文
认真阅读课本第116和117页的内容，完成 下面自学提示.
1、 思考 多项式 a2 b2 的项和符号有什么
特点？你能 将它分解因式吗？
2、由 乘法公式 a b a b a 2 b 2 反过来得 a 2 b 2 a b a b
因式分解的第二种方法：公式法---平方差公式
a 2 b 2 a b a b
即，两个数的平方差，等于这两个数的 和____ 与这两个数的__差____的_积____.
1、适用于平方差公式因式分解的多项式
必
须是二项式，每一
项都为平方项，并且两个平方项的符号相
反．
2、a,b表示单项式或多项式
明察秋毫
3、下列多项式能否用平方差公式来分解 因式？
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2+4y2
(4) -x2 - y2
答(2)(3)能，(1)(4)不能： 提公因式法和公式法（平方差公式）