量子力学 考研 真题

量子力学的产生与发展

量子力学是描述微观世界结构、运动与变化规律的物理科学。它是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃，量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明，对人类社会的进步做出重要贡献。

19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以hV为最小单位，一份一份交换的。这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。当时只有少数科学家认真研究这个问题。

著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。

1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定（按经典理论，原子中电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq＝nh，n称之为量子数。玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差AE＝hV确定，即频率法则。这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铅的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。这在物理学史上是空前的。

由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。量子力学的几率解释等都做出了贡献。

北京科技大学2003——2004学年度第一学期

量子力学与原子物理试题答案

题号 一

二 三 四 五 总分 学院：

班级：

学号：

姓名：

得分

可能会有用的公式：

薛定谔方程：ˆHit

一维定态薛定谔方程：2222dVxxExmdx

动量算符：ˆpix

高斯积分：2xedx

一。[30分]一维无限深方势阱：

质量为m的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：

0;0,;0,xaVxxxa

1。[10分]求解能量本征值nE和归一化的本征函数()nx；

2。[5分]若已知0t时，该粒子状态为：121,0()()2xxx，求t时刻该粒子的波函数；

3。[5分]求t时刻测量到粒子的能量分别为1E和2E的几率是多少？

4。[10分]求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x。

解：1）[10分]

22222sin2nnnxaanEma

2）[5分]

,niEtnnxtxe

t时刻的波函数：12121,()()2iEtiEtxtxexe

3）[5分] t时刻测量到粒子的能量为1E的几率是：211,,2xtxt

t时刻测量到粒子的能量为2E的几率是：221,,2xtxt

4）[10分]

平均能量：221225ˆ,,,,24EEExtExtxtixttma

平均位置：12216,,cos29EEtaaxxtxxt

二。[30分]一维线性谐振子：

质量为m的粒子在一维线性谐振子势：22()2mxVx中运动。按占有数表象，哈密顿可写为：†12Haa。这里ˆa是湮灭算符，†ˆa是产生算符：

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2012 年攻读硕士学位研究生入学考试试题

科目代码：××× 科目名称：量子力学

一、简答题（50分）

（1）何谓微观粒子的波粒二象性？

（2）分别说明什么是束缚态、简并态和负宇称态。

（3）波函数的物理意义是什么？它应满足什么条件？

（4）物理上可观测量对应何种性质算符，为什么？

（5）氢原子能量量子数 4n= 时，氢原子轨道角动量有哪些可能的取值和取向？

二、（20分）质量为 m

的粒子在三维无限深势阱中运动，势阱箱的长、宽、高分别在

0xa≤≤，0yb≤≤，0zc≤≤ 区间，在势阱内势场为零。

（1）求粒子的波函数和能量可能值；

（2）若 abc==，讨论系统第二、三激发的态简并度。

三、（20分）在磁场中运动的电子哈密顿量为 ˆˆ

zHSω

=，在 0t= 时电子处于

2

xS=

的状态，给出任意时刻的波函数及在此状态下测量得到

2

zS=− 的概率。

四、（30分）ˆ

xσ、ˆ

yσ

、ˆ

zσ 为泡利算符。

（1）在

zσ表象中，求 ˆ

xσ 和 ˆ

yσ

的归一化本征矢；

（2）求算符 ˆ

⋅σn 的归一化本征矢和本征值，其中 ˆ

σ 为 Pauli 矩阵，

(cos,cos,cos)αβγ

=n 为空间单位矢量；

（3）在 ˆ

zσ 本征值为 1 的态下，计算 ˆ

⋅σn 的平均值 ⋅σn；

（4）在 ˆ

zσ 本征值为 1 的态下，计算 2

()

xσ

∆。

（5）证明 ˆi

ˆ

ecosisin

z

zλσ

λσλ

=+；

（6）证明 ˆˆii

ˆˆˆ

ecose2sin2zz

xxyλσλσ

σσλσλ−

=−。

五、（30分）（1）若系统哈密顿量算符为 222ˆˆˆˆˆ

()2

xyzzHLLALL=+++

，在角动量算符 ˆ

zL

的本征态下，试求：（a）系统的能量本征值；（b）角动量算符 ˆ

xL 的平均值；（c）角动量

算符 ˆ

L 沿矢量 (cos,cos,cos)αβγ=n 投影的平均值

⋅Ln。

（2）氢原子处于

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2013 年攻读硕士学位研究生入学考试试题

科目代码：849 科目名称：量子力学

一、求解下列各题（每题 10 分，共 40 分）

1．电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正，则原来 12.1Å5 Vλ= 的 de

Broglie 波长与加速电压 V 的关系应改为 2

012.15[1 Å(4)]eVmcVλ≈−，式中 V 为以

Volt 为单位的电子加速电压。试证明之。

2．试证明 3323()(3)(23)exp(2)xxxxψαpααα=−−，并求出此波函数对应的能量。

3．求在自旋态

12()

zSχ 中，ˆ

xS 和 ˆ

yS 的测不准关系：22ˆˆ()()

xySS∆∆。

4．量子系统的 Hamilton 量算符为 2ˆˆˆ(2)()HpmVx=+，利用坐标-动量对易关系证明

22

0()0(2)

n

nEEnxm−=∑，其中

nE 是本征态 n 的能量本征值。

二、（30 分）质量为 µ 的粒子在一维无限深势阱 ()Vx（0xa<<）中运动，

（1）求在能量表象中坐标的矩阵元；

（2）若粒子的状态由波函数 ()()xAxaxψ=− 描写，其中 A 为归一化常数，求粒子

能量的概率分布和能量平均值；

（3）若粒子受到微扰 H′ 的作用，求基态能量的一级修正，其中

2,0;

2

2(1),

2xa

x

aHxa

xa

aλ

λ<<′=

−<<



已知积分公式：

21

cosdsincosx

xpxxpxpx

pp=+∫。

三、（40 分）一刚性转子的能量的经典表示式是 2(2)HI=L，L 是刚体的角动量，I

是其转动惯量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。

（1）转子绕一固定轴转动；

（2）转子绕一固定点转动。

四、（40 分）1．考虑自旋为 12 的系统，求出算符 ˆˆ

yxASBS+ 的本征值及归一化的

本征函数。若此系统处在 ˆˆ

yxASBS+ 算符的一个本征态中，求测量