高中数学 第一章 立体几何初步教案 新人教B版必修2
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1 第一章 立体几何初步
示范教案
整体设计
教学分析
本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章内容，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．值得注意的是对于本章知识结构，学生比较陌生，教师要帮助学生完成，并加以引导．
三维目标
通过总结和归纳立体几何的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力．
重点难点
教学重点：①空间几何体的结构特征．
②由三视图还原为实物图．
③面积和体积的计算．
④平行与垂直的判定与性质．
教学难点：形成知识网络．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
设计1.第一章是整个立体几何的基础，为了系统地掌握本章的知识和方法，本节对第一章进行复习．教师点出课题．
设计2.大家都知道，农民伯伯在春天忙着耕地、播种、浇水、施肥、治虫，非常辛劳，到了秋天，他们便忙着收获．到了收获的季节，他们既高兴又紧张，因为收获比前面的工作更重要，收获的多少决定着一年的收成．我们前面的学习就像播种，今天的小结就像收获，希望大家重视今天的小结学习．教师点出课题．
推进新课
新知探究
提出问题
1请同学们自己梳理本章知识结构.2对比直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系.3对比面积、体积各自之间的关系.
讨论结果：
(1)本章知识结构： 2
(2)平行关系与垂直关系的对比：
平行 垂直
直
线
与
平
面 公共点 0个 1个
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
性质定理 如果一条直线与一个平面平行，则过该直线的任意一个平面与此平面的交线与该直线平行 如果两条直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行
平
面
与
平
面 公共点 0个 无数个
判定定理 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
(3)①柱、锥、台的侧面积关系： 3
其中c′、c分别为上、下底面周长，h′为斜高或母线长，h为正棱柱或圆柱的高．
②柱、锥、台的体积关系：
其中S上、S下分别为台体的上、下底面积，h为高，S为柱体或锥体的底面积．
③球的表面积和体积：S球面＝4πR2，V球＝43πR3.
应用示例
思路1
例1 下列几何体是台体的是(
)
解析：A中的“侧棱”没有相交于一点，所以A不是台体；B中的几何体没有两个平行的面，所以B不是台体；很明显C是棱锥，D是圆台．
答案：D
点评：本题主要考查台体的结构特征．像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握．
变式训练
1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 4 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥
解析：因为梯形的两底平行，故另一底旋转形成了圆柱面．而两条腰由于与旋转轴相交，故旋转形成了锥体．因此得到一个圆柱、两个圆锥．
答案：D
2．下列三视图表示的几何体是(
)
A．圆台 B．棱锥
C．圆锥 D．圆柱
解析：由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体．又侧视图和正视图均是 等腰梯形，所以该几何体是圆台．
答案：A
3．下列有关棱柱的说法：
①棱柱的所有的棱长都相等；②棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；
③棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；④棱柱的上、下底面形状、大小相同．
正确的有__________．
解析：棱柱的所有侧棱长都相等，但底面上的棱与侧棱不一定相等，其侧面都是平行四边形，只有当棱柱是直棱柱时，侧面才是矩形，侧面个数与底面边数相等，棱柱的上、下底面是全等的多边形，由此可知仅有③④正确．
答案：③④
2 已知正方体外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长等于( )
A．22 B.233 C.423 D.433
解析：过正方体的相对侧棱作球的截面，可得正方体的对角线是球的直径．设正方体的棱长为a，球的半径为R，则有2R＝3a，所以R＝3a2.则4π3(3a2)3＝32π3，解得a＝433.
答案：D
点评：解决球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，本题利用正方体外接球的直径是正方体的对角线这一隐含条件使得问题顺利获解．
空间几何体的表面积和体积问题是高考考查的热点之一．主要以选择题或填空题形式出现，也不排除作为解答题中的最后一问，题目难度属于中、低档题，以考查基础知识为主，不会出现难题．其解决策略是利用截面或展开图等手段，转化为讨论平面图形问题，结合平面几何的知识来求解．
变式训练
1．如下图(1)所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( ) 5 A.23 B.33 C.43 D.32
(1) (2)
解析：如上图(2)所示，过B作BG⊥EF于G，连结CG，则CG⊥EF，BF＝1，△BCG中，BG＝32，BC边上的高为22，而S△BCG＝12×1×22＝24，
∴VF—BCG＝13×24×12＝224.同理过A作AH⊥EF于H，则有
VE—AHD＝224，显然BCG—ADH为三棱柱，∴VBCG—ADH＝24×1＝24.则由图(2)可
知VADE—BCF＝VF—BCG＋VE—AHD＋VBCG—ADH＝23.
答案：A
点评：本题求几何体体积的方法称为割补法，经常应用这种方法求多面体体积．割补法对空间想象能力的要求很高且割补法的目的是化不规则为规则．
2．某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其主视图如下图所示，则这个容器的容积为( )
A.7π3 m3 B.8π3 m3
C．3π m3 D．12π m3
解析：由该容器的主视图可知圆柱的底面半径为1 m，高为2 m，圆锥的底面半径为1 m，高为1 m，则圆柱的体积为2π m3，圆锥的体积为π3 m3，所以该容器的容积为7π3 m3.
答案：A
点评：三视图是新课标高考的新增内容，在高考中会重点考查，在该知识点出题的可能性非常大，应予以重视．此类题目的解题关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握．
3．如下图所示，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是( ) 6
A.423
B.433 C.36 D.83
解析：根据三视图，可知该几何体是正四棱锥，且底面积是4，高为主视图等边三角形的高3，所以体积为13×4×3＝433.
答案：B
例3 如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.
证明：(1)直三棱柱ABC—A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.
∵C1C⊥AC，
∴AC⊥平面BCC1B1.
又∵BC1平面BCC1B1，
∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交点为E，连结DE，
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1.
∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
变式训练
如下图(1)，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 7
(1) (2)
证明：(1)如上图(1)，∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)如上图(2)，连结PG.
∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，
∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG平面PGB，BG平面PGB，且PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.
(3)解：当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：
F为PC的中点时，在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，FE∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面PGB.PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD.
∴平面DEF⊥平面ABCD.
点评：要证两平面垂直，最常用的办法是用判定定理：证一个平面内的一条直线垂直于另一平面，而线垂直面的证明关键在于找到面内有两条相交直线垂直已知直线．要善于运用题目给出的信息，通过计算挖掘题目的垂直与平行关系，这是一种非常重要的思想方法，它可以使复杂问题简单化．
思路2
例4 一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，则该几何体的表面积是__________，体积是__________．
活动：学生回顾简单几何体的结构特征和三视图．
解析：由三视图知该几何体是圆锥，且母线长为5 cm，底面半径是3 cm，圆锥的高是4 cm，所以其表面积是π×3×(3＋5)＝24π (cm2)，体积是π3×32×4＝12π (cm3)．
答案：24π cm2 12π cm3
