分形的概念

分形的概念

分形理论是人们在自然界和社会的实践活动中所遇到的不完全规则事物的一种数学抽象。分形理论自从20世纪70年代被提出以来，经过几十年的发展，已经成为一门重要的新学科，被广泛应用于数学、计算机科学、力学、物理学、化学、生物学、地质学、社会学、人文学以及艺术学等各个领域，成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。分形理论是研究和处理自然与工程项目中不完全规则图形的强有力的理论工具，分形理论正起着把现代科学各个领域连接起来的作用，人们把它与耗散结构及混沌理论共称为20世纪70年代中期科学上的三大重要发现。随着电子计算机的迅速发展和广泛应用，分形的思想和方法正在不断的应用发展，日益影响着现代社会的生产和生活活动。随着分形理论的广泛应用，一些新的数学方法和数学工具被不断提出，显示了分形理论的强大生命力。

分形理论是非线性科学的前沿和重要分支，在分形造型、自然景物模拟以及图象压缩等方面具有广阔的应用前景，随着图形学和软件技术的迅速发展，分形理论的研究和应用日见受到人们重视。对具有分形特征的图形图像进行变形也越来越成为热门，分形变形技术是计算机图形学中重要的研究领域之一

分形图形的变形要求从某一原始形状到目标形状的光滑、连续、自然变换过程。作为模拟自然图形的工具，分形迭代函数系统(IFS)表现出良好的可操作性。本文主要研究的是迭代函数系统中，点控制下的二维及三维分形吸引子的变形方法。

分形理论及其国内外研究现状：分形(fractal)一词源于拉丁文fractus，本意是指“破碎的”、“产生不规则碎片”、“分数”等，是美籍法国数学家B.B.Mandelbrot于1975年最先创用的Mandelbrot用这个词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂不规则的几何对象。如：弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、纵横交错的血管、令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点是看似极不规则或极不光滑的，直观而粗略地说，这些对象被称为分形。分形目前还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略的说，分形是没有明确特征标度大自然本身描绘的曲线，如海岸线、布朗粒子运动轨迹等都有两个共同的特点。首先，它们不像数学家设计的

曲线那样纯粹。它们的自相似性是通过大量的统计而抽象出来的其次，它们的自相似性只存在于“无标度区间”，一旦逾越这个区间，自相似性就不复存在，就更谈不上分形了。通常人们把这类曲线称为无规则分形曲线。所谓无标度性是指无论测量单位如何改变，所研究的客体的性质均不发生变化，而“无标度区间”可以说是客体具有的自相似性区间。因此，自然界的无规则分形是具有上下端限制的，或者说是不完全规则的事物。Mandelbrot引入统计自相似性概念作为自然界景物的更一般和更逼真的模型。在一个“统计自相似性”的景物中，组成景物的各部分具有和整体相似的一般结构，只是根据某个比例缩小或某个局部改变的复制品。

从模拟的观点看，统计自相似性意味着分形的分形元在每个递归层次上在随机变化。这些变化必须足够小，以保证分形元大致相同。这就提供了模拟复杂对象的一种方法。如大自然中的多数植物种类都具有分支结构，如果任意一个分支都与植物整个植株统计特征自相似的话，那么这种植物的结构就可以认为是分形结构。当然，这类分形结构仅是统计自相似意义上的分形结构，而不是严格自我复制的分形结构。

到目前为止，分形理论已成功的应用到自然科学、社会科学等诸多领域，并在工程领域中得到了广泛的应用，分形理论已经成为研究许多自然现象的有力工具。在自然现象中，有许多对事物都不能用经典欧氏几何描述，在这种情况下，分形几何就可以用来处理这不完全规则的几何形状。

分形理论的创始人美籍法国数学家Mandelbrot于1967年在美国《科学》杂志上发表了“英国的海岸线有多长”的著名论文。首次提出了分形的思想。1975年，他提出了分形几何的概念，并且创用了fractal一词，同年他出版了专著《分形：形状、机遇和维数》，这本书的问世标志着分形理论的诞生。分形至今还没有统一的定义。英国数学家K.Falconer在其所著《分形几何的数学基础及应用》中认为，分形不存在准确的定义，但可以列出其基本性质的集合F：

①F具有精细的结构，具有任意小的比例细节；

②F具有不规则性，它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；

③F一般具有近似的或统计意义的部分与整体之间的自相似性；

④F通常以某种方式定义的“分形维数”大于它的拓扑维数；

⑤F可以通过令人感兴趣的递归、迭代等简单的方法生成。

分形几何学的核心思想是物体形状整体和局部的自相似性，这个概念与自然界中大量不规则事物的形状特征相吻合，因此分形学适合于描述自然界中的不规则物体。借助于分形算法通过计算机从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在景物仿真模拟方面前进了一大步。植物形态作为自然界中最常见的景观之一，其复杂性也适合用分形理论进行模拟。分形理论和技术提出后，在世界上引起了广泛重视，在数学、物理、化学、生物、经济学、计算机科学、艺术等领域广泛地展开了对它及其应用的研究，逐渐发展和完善成为一个理论体系。

分形既可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”等构成的数理模型。它可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性。与数学上的分形相比，自然界中实际存在的分形具有两个明显的特征[49]：

1)自然界中的分形仅在一定范围，一定层次中才表现出分形特征，这个具有分形特征的范围叫“无标度区”。在无标度区外，自相似性不复存在，系统也就没有分形规律了。此外，同一自然现象可能出现多个无标度区，在不同的无标度区内可能出现不同的分形特征。

2)数学中的分形具有无限嵌套的层次结构，而自然界中的分形具有有限层次的嵌套，且是具有自相似分布特征的随机现象，不像数学上的分形那样单纯、均匀和一致，必须从统计的角度考虑、分析和处理。实际上，现实世界没有真正的分形，正如Mandelbrot所强调的那样，自然界的分形跟我们在数学中讨论的分形是有区别的。

分形理论发展起来才三十余年，且方兴未艾，国内外出版了大量关于分形的图书文献。值得注意的是，近年来分形理论应用的发展远远超过了理论的发展，并且对分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使理论简便，可操作性强，是分形的研究者们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求某一动力系统的吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数等研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。

分形理论的发展经历了三个阶段：

第一阶段为1875年至1925年。在这一阶段，人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这一部分分形集和经典几何的差别进行描述、分类和刻画。十九世纪，尽管人们已经能区分连续与可微曲线之间的区别，但是业界公认为绝大多数情况下连续而不可微的情况是极少的，在进行理论研究时应排除这种"异端”，而且特别认为一条连续曲线上不可微的点应当是极少的。1872年，Weierstrass证明了一种连续函数在任意一点均不具有有限或无限导数，当时在学术界引起了极大的轰动，人们从不同方面推广了此函数，并对其奇异性作了深入的研究。VonKoch在1904年通过初等方法构造了如今被称为Von Koch曲线的处处不可微的曲

线，并讨论了该曲线的性质。由于该曲线的构造极为简单，从而改变了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法。该曲线是人们第一个发现的人为构造的局部与整体相似结构的例子。Von Koch曲线是按如下方法得到的：平面曲线：设EO是平面F上的单位线段，将EO三等分，以中间的1/3线段拱出一个正三角形的两边，得到一个由4个长度为1/3的边所组成的折线，称此折线为E1。并称E1是由EO繁衍生成的，对E1的每一条边都进行上述规则的变化，就可得到一个由42个长度为1/32的边组成的折线，记其为E2。如此逐次发展下去，便得到一个折线序列EO,E1,E2,...,En,的极限曲线即为Von Koch曲线，如下图0510024051002405100240510024