(完整版)二次根式的复习(附答案)

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页脚内容 二次根式的复习

知识精要

1、二次根式的概念

代数式0aa叫做二次根式。

其中a是被开方数(可为整式或分式).a有意义的条件是0a.

2、二次根式的性质

性质1 20aaa；※)0()0(0)0(2aaaaaaa

性质2 2()0aaa;

性质3 abab 0,0ab

※)0,0(babaab

性质4 aabb （ba,0>0）一般地,我们有22ababba

3、最简二次根式

化简二次根式

把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如0maa的式子叫做最简二次根式。

4、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。

5.二次根式的混合运算

6.分母有理化

把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术。 页眉内容

页脚内容 分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号.

上述的适当代数式即是指有理化因式。

精解名题

二次根式有意义的条件：

例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。

（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332xxxxxxxxxx

解：（1）要使32x有意义，必须320x，由320x得x32，

当x32时，式子32x在实数范围内有意义。

（2）要使x13有意义，x1为任意实数均可，

当x取任意实数时x13均有意义。

（3）当xx12且时，式子xx12在实数范围内有意义。

（4）当xx11，且时，xx113有意义。

（5）当x12时，式子xx21在实数范围内有意义。

（6）当xxxx2525且或且时式子xx245有意义

最简二次根式

例2.根式xxmaa12,62,3,17,4,522中最简二次根式为

___________________________________________________.

解：42a，17，2x6

同类二次根式根式：

例3. 已知二次根式5,23a是同类二次根式,写出三个a的可能值页眉内容

页脚内容 _________________________.

解：3a+2是5的倍数

a为6，11，16（答案不唯一）

分母有理化：

例4.将下列二次根式分母有理化

（1）242aa （2）22aa

解：（1）22a

(2)2222aaa

（3）x125 （4）qpqp222（p>q）

解：（3）xx615

（4）2)(qpqp

化简：

例5：化简：

（）（）1424422242242222ababaabbaaaaaa

解： （）原式122222abababab 页眉内容

页脚内容 abababababaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2212242121224424421212222222202022121222222222222222（）原式原题只保证，因此要分类讨论时，及时当时，原式||||23222021212222222222222622aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa当时，原式

化简求值：

例6：已知：223223ba，，求：abab33的值。

解： abab32322332232214，··

abababbaababababab332222214321414312145258()将与·的值代入，得：··

备选例题（拓展） 页眉内容

页脚内容 例1、若abS、、满足357,23abSab，求S的最大值和最小值.

解：753ba（1）Sba3-2（2）

由（1）×3+（2）×5 得195S)(21a

由（1）×2-（2）×3 得19)3-14(Sb

因为00ba， 所以（21+5s）/19≥0，且（14-3s）/19≥0

解得s≥-21/5，且s≤14/3 所以-21/5≤s≤14/3

所以S的最大值14/3，最小值-21/5

※例2、已知a，b均为正数，且a+b=2，求U=1422ba的最小值．

解：作线段AB=2,

过A作AC⊥AB,且AC=2,

过B在AB的另一侧作BD⊥AB,且BD=1

在AB上任取一点P,设PA=a，则PB=b，则a+b=2

连结PC,PD ,CD 由勾股定理得

CP=42222aa

DP=1122bb

CD=√13,【可添画辅助线，构造出直角三角形来】

由两点之间线段最短得 CP+DP≥CD

即131422ba

所以若a+b=12，则u=1422ba最小值是√13

热身练习

一．填空 页眉内容

页脚内容 1.有下列式子：（1）4；（2）110；（3）x；（4）21a；(5)5。其中一定是二次根式的是：_(1)(2)(4)_________________(只填序号)。

2.若2)(11yxxx，则yx=___2__________。

3.使代数式43xx有意义的X的取值范围是______x>4____________。

4.2)3(=___3____;0)4(322cba,则.____________cba。3

5.若n12为正整数，则实数n的最大值是___11________.

6.233bb,则b的取值范围是___b≤3_____________.

1)1(2aa成立的条件是______a≥1__________________.

7.当0x时,化简21xx的结果是____1___________.

8.计算:

(1)022)41(4)23(

解：3411

(2)2312)2009(0

解：33

9.若yxyx230,求yx的值.

解：x=1,y=2

yx=-1

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页脚内容 10、满足等式22xxxx成立的X的取值范围是_______

解：x>2

11、化简：a31)3a(（忽视二次根式0aa中而造成错解）

解：a3

12、已知：321a，求：aa1a2a1aaa21222的值。

解：原式=aa11 把a代入得原式=3.

自我测试

1、化简aaa3244

解：aaa2

2、已知：xy123123，，求：xxyy225

解：9

3、若5的整数部分为a，小数部分是b，求：ab1的值。

解：-5 页眉内容

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4.计算:22)633()335(

解：1

5.点P(aa5,3)是第二象限的点,则5442aaa____.

解：3

6.已知1018222xxxx,则x的值是____________.

解：2

7.已知2,3abba,计算baab的值.

解：322

8.若ba,分别是136的整数和小数部分,则求)1)(1(ba的值.

解：a=2,b=413

)1)(1(ba=9133

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9、已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足aab23634,求此三角形的周长?

解：a=2,b=4

周长为10

10、已知实数x满足xxxx1,81,求xx1的值.

解：2

11、已知xba=2-xab，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简11xxxx+11xxxx，并求值．

解：244ba