求最大公因数和最小公倍数的方法

如何求最小公倍数和最大公因数

1、列举法

例如：求6和8的最小公倍数。

6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……

8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……

6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。

这种方法是先分别写出各自的倍数，再找出它们的公倍数，然后在公倍数里找出它们的最小公倍数。

2、分解质因数法。

我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便地求出两个数的最小公倍数。

例如：求60和42的最小公倍数。

60=2×2×3×5 42=2×3×7

60和42的最小公倍数=2×3×2×5×7=420 。

这种方法是把60和42分别质因数后，观察相同的质因数只取一个（如2，3），把各自独有的质因数全部乘进去，所得的积就是这两个数的最小公倍数。相同的质因数的乘积就是最大公因数。

3、短除法。

用短除法求。 例如：18和24的最小公倍数。

4、判断法。

（1）如果a．b是互质数，那么a.b的最小公倍数是a×b。

如：求4和5的最小公倍数。

4和5是互质数，那么4和5的最小公倍数是4×5=20 。

（2）如果两个数中，较大的数是较小数的倍数，那么较大的数是这两个数的最小公倍数。较小的数就是这两个数的最大公因数。

如：求16和8的最小公倍数。

16是8的倍数，那么16就是16和8的最小公倍数。8就是16和8的最大公因数。

过关练习

一、找出每组数的最小公倍数。

2和4 6和10 5和8 10和4

8和10 6和12 12和10 15和5

二、找出每组数的最大公因数。

10和6 20和30 12和24 14和21

公因数和公倍数知识点

公因数和公倍数

公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。

首先，我们需要了解一些基本知识。两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。

最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。

对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

12的倍数为12、24、36、48.

一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.

另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。

还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。

对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90. 对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.

2.3 短除法、最大公因数和最小公倍数的求法（小考复习精编专项练习）六年级数学小升初复习系列：第二章 数和数的运算（含知识点与答案）

【知识要点】

一、短除法

把一个合数分解成质因数，通常采用短除法。那什么是短除法呢？先用能整除这个合数的质数去除它，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式，这种方法就是短除法。

例如：

所以，36分解质因数是：36＝2×2×3×3

二、求几个数的最大公因数

求几个数的最大公因数的方法：先找出这几个数的公因数，然后用这些公因数逐个去除这几个数，一直除到各个数所得的商只有公因数1时停止；然后，把所有的除数连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最大公因数。

例如：求18和24的最大公因数

所以，18和24的最大公因数是：2×3＝6

三、求几个数的最小公倍数

求几个数的最小公倍数的方法：先用全部数的公因数去除这几个数；或者其中某几个数

的公因数去除，一直除到各数互质为止；然后，把所有的除数和商连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如：求12、15和20的最小公倍数

所以，12、15和20的最小公倍数是：2×2×3×5×1×1×1＝60

四、互质关系的数

公因数只有1的两个数，叫做互质数，简称“互质”；互质数的两个数最大公因数是1。

成为互质关系的两个数，有下列几种情况：

（1）1和任何自然数互质。

例如：1和9互质，最大公因数是1。

（2）相邻的两个自然数互质。

例如：4和5互质，最大公因数是1。

（3）不同的两个质数互质。

例如：3和11互质，最大公因数是1。

（4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数也互质。

例如：9和13互质；27和7互质，最大公因数是1

（5）两个合数的公因数只有1时，这两个合数也互质。

例如：12和25互质，最大公因数是1。

【优选练习】

一、单选题

1、下列各组数中，一定是互质数的是（ ）。

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第三节 最大公因数与最小公倍数

一、基本概念和知识

1、公因数和最大公因数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；

18的约数有：1，2，3，6，9，18。

12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。

2.公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…

18的倍数有：18，36，54，72，90，…

12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

3.互质数

如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

4.最大公因数与最小公倍数的计算方法

求最大公因数与最小公倍数的常用方法：

（1） 列举法 （2）分解质因数 （3）短除法 （4）辗转相除法

简单的应用

例1、求28和70的最大公因数与最小公倍数。

例2：求437和323的最大公因数。

例3：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

例4：用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板多少块？

例5：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？

例6：把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有多少个小朋友？

例7：加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？