数字信号处理习题及答案
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数字信号处理习题及答案
数字信号处理作业(1)1、画出离散信号的波形 （1）)2(3)3(2)(1++-=n n n x δδ （2）)2()(2
+-=n u n x
（3）)5()()(3--=n u n u n x
（4）)()()(214n u n x n ?= （5）)()25.0sin(3)(5n u n n x ??=π
2、设x (n )、y (n )分别为系统的输⼊、输出变量，根据定义确定系统是否为：（1）线性，（2）稳定，（2）因果 ① )()]([ )(2nax n x T n y == ② b n x n x T n y +==)()]([ )( ③ )0( )()]([ )(00>-=
=n n n x n x T n y
④ ∑+-=>=0
)0( )( )(0
n n n n m n m x n y
3、已知:描述系统的差分⽅程为
)()1(5- )(n x n y n y =-
且初始条件为： 0)1(=-y 求：系统的单位冲激响应h (n )4、已知：线性时不变系统的单位脉冲响应为
10 , )( )(<
求：该系统的单位阶跃响应。
数字信号处理作业(1)解答1、画出离散信号的波形 （1）)2(3)3(2)(1++-=n n n x δδ （2）)2()(2
+-=n u n x
（3）)5()()(3--=n u n u n x
（4）)()()(214n u n x n ?= （5）)()25.0sin(3)(5n u n n x ??=π
2、设x (n )、y (n )分别为系统的输⼊、输出变量，根据定义确定系统是否为：（1）线性，（2）稳定，（3）因果
因果：输出只取决于当前和之前的输⼊。线性移不变系统的因果的充要条件：h (n )＝0 ， n < 0
稳定系统：有界输⼊产⽣有界输出。线性移不变系统稳定的充要条件：∞
<=∑
∞
-∞
=P n h m )(
① )()]([ )(2n ax n x T n y ==（⾮线性，稳定，因果） ② b n x n x T n y +==)()]([ )(（⾮线性，稳定，因果） ③ )0( )()]([ )(00>-==n n n x n x T n y （线性，稳定，因果）
④ )0( )( )(0
>=∑+-=n m x n y n n n n m （线性，稳定，⾮因果）
注意：⾮线性系统的稳定、因果只能按定义判断，不能按线性、移不变系统的h (n )特点判断。 3、已知:描述系统的差分⽅程为)()1(5- )(n x n y n y =-
且初始条件为： 0)1(=-y 求：系统的单位冲激响应h (n )1)0( ,1)0()10(5- )0(===-y y y δ 5)1( ,0)0(5- )1(==y y y 2
5
)2( ,0)1(5- )2(==y y y
………..
n
n y n y n y 5
)( ,0)1(5- )(==-
所以：)(5)()(n u n h n y n ==4、已知：线性时不变系统的单位脉冲响应为
10 , )( )(<
求：该系统的单位阶跃响应。 解：
)
0( 1111
)()( )
()( )(1
1
)1(0
≥--=
--===
-=-=+-+-=-=-∞
-∞
=-∞
-∞=∑∑∑
∑n a
a
a
aa
a
a
a
m n u a
m u m n h m x n y n n n
n
m m n
n m m
n m m
n mn
数字信号处理作业 (2)
求下列序列的Z 变换及收敛域
（1）)()()(211n u n x n
= （2）)1()()(21
2--?=n u n x n
（3）)()(3n n x δ= （4）)1(2)(4-=n k x δ
数字信号处理作业(2)解答
求下列序列的Z 变换及收敛域
（1）)()()(211n u n x n
=
∑
∑
∑
∞
=--∞=-∞-∞
=--=
=
=
=1
2
12
11)
2(11)
2()()()()(n n
n n
n n n
n z z z z
n u z X
收敛域： 1)2(1
<-z 所以 2
1>
z
（2）)1()()(212--?=n u n x n
01≥--n 1-≤∴n
z
z z z z
z
z
n u z X n n
n n
n n
n
n n
n n n
n 2121)
2()
2( )
(
)(
)1()(
)(01
1
2
11
2
12
12-=
-=
=
=
=
--?=∑∑∑∑∑∞
=∞=∞
=---∞
=-∞
-∞=-
收敛域： 121
（3）)()(3n n x δ=1)()(3==
∑∞
-∞
=-n n
z
n z X δ
∞≤≤z 0
（4）)1(2)(4-=n n x δ1
42)1(2)(-∞
-∞
=-=-=
∑
z z
n z X n n
δ∞≤
数字信号处理作业 (3)1、求Z 反变换 （1）21 , 5.011)(1
>+=
-z z
z X
（2）21 , 5.011)(1
<+=
-z z
z X
（3）0 , )(72
1
>++=---z z z
z z X
（4）∞<<+=-z ee z X z
z 0 , )(
2、已知：系统函数为线性、时不变、因果离散系统。 1
1
111)(-----=az
z a z H ，式中a 为实数。
试分析说明
（1）a 在什么范围内取值，系统是稳定的。（必须说明原因）
（2）如果10<
数字信号处理作业(3) 解答1、求Z 反变换 （1）2
1 , 5.011)(1
>+=
-z zz X
解：)(n x 为右边序列5
.0
5.01)(1
1
1
+=+=
---z z
z
z
z
z X n
n n
2
1 >
z
当 n ≥ 0，C 内只有⼀阶极点Z ＝-0.5。
（当n < 0，C 内还有Z = 0为⾼阶极点，但C 外没有极点，Z ＝∞不是极点，C 外极点留数为零，故C 内极点留数也为零0)(=nx ） 此时：求C 内极点Z ＝-0.5留数，得到)(n x 。
(-0.5)0.5)]
(z 5
.0
[)]5.0()([)(-0.5
z 5,01
n
n
z n z z
z z
z X n x =++=+==-=-
n ≥ 0 即： )((-0.5))(n u n x n
=
（2）21 , 5.011)(1
<+=
-z zz X解：)(n x 为左边序列
5
.0
5.01)(1
1
1
+=+=
---z z
z
z
z
z X n
n n
2
1 <
z
当n < 0时，Z ＝∞有⼆阶或⼆阶以上零点（分母阶次⽐分⼦⾼⼆阶或以上），且Z ＝∞不是极点（留数为零）。 故可求C 外极点留数，得到)(n x 。(-0.5)0.5)]
(z 5
.0
[)]5.0()([)(-0.5
z 5,01
n
n
z n z z
z z
z X n x -=++-=+-==-=-
n < 0
即：)1((-0.5))(---=n u n x n
（3）0 , )(721>++=---z z z z z X 解：根据题意有∑∞
-∞
=--+-+-=n n
z
n n n z X )]7()2()1([)(δδδ
∴ )7()2()1()(-+-+-=n n n n x δδδ
（4）∞<<+=-z e e z X zz 0 , )(
解：∑
∑
-∞
=-∞
==
=
!
!
n n
n n
n
n z
n z
e
∑
∑
-∞=-∞
=-=
=
0!
!
n n
n n n
n z
n z
e
∴ n
n nn n
n
n
n
z
n n z z e e
--∞
=-∞
=--?-+=
-+=
+∑
∑
!
)
1(1!
)
(
即：)(!
)
1(1)(n u n n x n
--+=
2、已知：系统函数为线性、时不变、因果离散系统。 1
1
111)(-----=
az
z a z H ，式中a 为实数。
试分析说明
（1）a 在什么范围内取值，系统是稳定的。（必须说明原因） （2）如果10<
（在Z 平⾯上注明单位园位置） 解：
（1）a 在什么范围内取值，系统是稳定的。 ① 收敛条件
∵ )(z H 是线性、时不变、因果系统。 ∴ 有 0 0)(<=n n h 根据 1
11
11)(-----=
