平衡优化问题常见解法

解化学平衡题的思路和几种方法化学平衡的内容是比较难以理解的理论知识，同学们只要在平时的学习中，形成一般的解题思路和方法，解题便可以达到事半功倍的效果。

解化学平衡题常用的方法和思路有：一、三步法即写出可逆反应达到平衡的过程中各物质的起始、转化、平衡时的量，然后根据条件列出方程求解即可。

例1，在一真空密闭容器中通入一定量的气体A，在一定温度下，发生如下反应：2A（g） B （g）＋xC（g），反应达到平衡时，测得容器内压强增大了p%，若此时A的转化率为a%，下列关系正确的是（）。

（1）若x＝1，则p＞a；（2）若x＝2，则p＜a；（3）若x＝3，则p＝a；（4）若x＝4，则p≥a。

A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（2）（4）解析：设起始通入A气体为nmol。

2A（g） B（g） + xC（g）始 n 0 0变 na% na%/2 （na%/2）x平 n－na% na%/2 （na%/2）x依题意：（n－na%＋na%/2＋（na%/2）x）/2＝（1＋p%）/1化简：P＝（x－1）代入选项得（1）x＝1，p＝0；（2）x＝2，p＝a/2；（3）x＝3，p＝a；（4）x＝4，p＞ a。

故A正确。

二、假设法对一些影响化学平衡的外界条件，先假设其对化学平衡的移动不产生影响，得出结论，然后再与已知条件作对比。

例2，在密闭密闭容器中发生如下反应：xA（g）+ yB（g）zC（g），达到平衡后测得A的浓度为0.20mol/L。

在恒温下增大压强使容器容积缩小为原来的，再次达到平衡时，测得A的浓度为0.35mol/L。

下列说法不正确的是（）。

A．x＋y＞z；B．平衡向右移动；C．B的转化率提高；D．C的体积分数降低。

解析：增大压强使容器的体积缩小一半，A的浓度变为0.40mol/L，而实际浓度为0.35 mol/L，相当于平衡向左移动，所以得：x＋y＜z，故，D正确。

三、等效法对于一个可逆反应，两个具有不同初始量而具有相同平衡状态的体系是等效的，可以相互替换。

处理平衡问题的几种方法一、合成、分解法利用力的合成与分解解决三力平衡的问题．具体求解时有两种思路：一是将某力沿另两个力的反方向进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力；二是某二力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力．[例1] 如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m 的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g 。

若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )A.mg2sin α B.mg 2cos α C.12mg tan αD.12mg cot α[解析] 石块受力如图所示，由对称性可知两侧面所受弹力相等，设为F N ，由三力平衡可知四边形OABC 为菱形，故△ODC 为直角三角形，且∠OCD 为α，则由12mg ＝F N sin α，可得F N ＝mg 2sin α，故A 正确．[答案] A 二、图解法在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，则物体处于动态平衡状态．解决动态平衡类问题常用图解法，图解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上，若满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变时，可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法，图解法也常用于求极值问题．[例2] 如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O 点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是()A．F1先增大后减小，F2一直减小B．F1先减小后增大，F2一直减小C．F1和F2都一直减小D．F1和F2都一直增大[解析]小球受力如图甲所示，因挡板是缓慢转动，所以小球处于动态平衡状态，在转动过程中，此三力(重力、斜面支持力、挡板弹力)组成矢量三角形的变化情况如图乙所示(重力大小方向均不变，斜面对其支持力方向始终不变)，由图可知此过程中斜面对小球的支持力不断减小，挡板对小球弹力先减小后增大，再由牛顿第三定律知B对．[答案] B三、正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：F x合＝0，F y合＝0.为方便计算，建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为原则．[例3]如图所示，用与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动．关于物块受到的外力，下列判断正确的是()A．推力F先增大后减小B．推力F一直减小C．物块受到的摩擦力先减小后增大D ．物块受到的摩擦力一直不变[解析] 对物体受力分析，建立如图所示的坐标系．由平衡条件得F cos θ－F f ＝0F N －(mg ＋F sin θ)＝0 又F f ＝μF N 联立可得F ＝μmgcos θ－μsin θ，可见，当θ减小时，F 一直减小，故选项B 正确．[答案] B 四、三力汇交原理物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力必为共点力． [例4] 一根长2 m ，重为G 的不均匀直棒AB ，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图所示，则关于直棒重心C 的位置下列说法正确的是( )A ．距离B 端0.5 m 处 B ．距离B 端0.75 m 处C ．距离B 端32 m 处 D ．距离B 端33 m 处[解析] 当一个物体受三个力作用而处于平衡状态，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把O 1A 和O 2B 延长相交于O 点，则重心C 一定在过O 点的竖直线上，如图所示．由几何知识可知：BO ＝12AB ＝1 m ，BC ＝12BO ＝0.5 m ，故重心应在距B 端0.5 m 处．A项正确．[答案] A五、整体法和隔离法选择研究对象是解决物理问题的首要环节．若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法．对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法相结合的方法．[例5]如图所示，顶端装有定滑轮的斜面体放在粗糙水平面上，A、B两物体通过细绳相连，并处于静止状态(不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦)．现用水平向右的力F作用于物体B上，将物体B缓慢拉高一定的距离，此过程中斜面体与物体A仍然保持静止．在此过程中()A．水平力F一定变小B．斜面体所受地面的支持力一定变大C．物体A所受斜面体的摩擦力一定变大D．地面对斜面体的摩擦力一定变大[解析]隔离物体B为研究对象，分析其受力情况如图所示．则有F＝mg tanθ，F T＝mgcos θ，在物体B缓慢拉高的过程中，θ增大，则水平力F随之变大，对A、B两物体与斜面体这个整体而言，由于斜面体与物体A仍然保持静止，则地面对斜面体的摩擦力一定变大，但是因为整体竖直方向并没有其他力，故斜面体所受地面的支持力不变；在这个过程中尽管绳子张力变大，但是由于物体A所受斜面体的摩擦力开始并不知道其方向，故物体A所受斜面体的摩擦力的情况无法确定，所以答案为D.[答案] D六、临界问题的常用处理方法——假设法运用假设法解题的基本步骤是：(1)明确研究对象；(2)画受力图；(3)假设可发生的临界现象；(4)列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解．[例6]倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.现给A施以一水平力F，如图所示．设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值可能是()A．3 B．2C．1 D．0.5[解析]设物体刚好不下滑时F＝F1，则F1cos θ＋μF N＝G sin θ，F N＝F1sin θ＋G cos θ.得：F1G＝sin 37°－0.5×cos 37°cos 37°＋0.5×sin 37°＝0.21.1＝211；设物体刚好不上滑时F＝F2，则：F2cos θ＝μF N＋G sin θ，F N＝F2sin θ＋G cos θ，得：F2G＝sin 37°＋0.5×cos 37°cos 37°－0.5×sin 37°＝10.5＝2，即211≤FG≤2，故选B、C、D.[答案]BCD七、相似三角形法物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向．[例7] 如图所示，一个重为G 的小球套在竖直放置的半径为R 的光滑圆环上，一个劲度系数为k ，自然长度为L (L ＜2R )的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在大环的最高点，求小球处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角φ.[解析] 对小球B 受力分析如图所示，由几何关系有△AOB ∽△CDB ，则R AB ＝G F 又F ＝k (AB －L ) 联立可得AB ＝kRLkR －G在△AOB 中，cos φ＝AB 2 R ＝AB 2R ＝kRL 2R (kR －G )＝kL2(kR －G ).则φ＝arccoskL 2(kR －G )[答案] arccoskL2(kR －G )八、正弦定理法三力平衡时，三力合力为零．三个力可构成一个封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可由正弦定理列式求解．[例8] 一盏电灯重力为G ，悬于天花板上A 点，在电线O 处系一细线OB ，使电线OA 与竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示．现保持β角不变，缓慢调整OB 方向至OB 线上拉力最小为止，此时OB 与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？[解析] 对电灯受力分析如图所示．据三力平衡特点可知：OA 、OB 对O 点的作用力F T A 、F T B 的合力F T 与G 等大反向，即F T ＝G ①在△OF T B F T 中，∠F T OF T B ＝90°－α又∠OF T F T B ＝∠F T OA ＝β，故∠OF T B F T ＝180°－(90°－α)－β＝90°＋α－β 由正弦定理得F T Bsin β＝F Tsin (90°＋α－β)②联立①②解得F T B ＝G sin βcos (α－β)因β不变，故当α＝β＝30°时，F T B 最小，且F T B ＝G sin β＝G /2. [答案] 30° G 2。

处理平衡问题的常见方法及特例常用物理方法1）整体法与隔离法①隔离法：为了研究系统（连接体）内某个物体的受力和运动情况，一般可采用隔离法。

隔离法是将所确定的研究对象从周围物体（连接体）中隔离出来进行分析的方法。

②整体法：当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的力和运动时，一般可采用整体法。

整体法是把两个或两个以上的物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法。

整体法多用于系统中各部分具有相同 加速度 的情况。

③“隔离法”或“整体法”的选择求各部分加速度相同的连接体中的加速度或合外力时，优先考虑“ 整体法 ”。

如果还要求物体间的作用力，再用“ 隔离法 ”且一定要从要求作用力的那个作用面将物体进行隔离。

如果连接体中各部分的加速度不同，一般选用“ 隔离法 ”。

2）力的合成法物体受三个共点力作用平衡时，其中任意两个力的合力必跟第三个力等大反向作用在同一直线上 ，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解。

3）力的三角形法物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零。

利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力。

4）图解法常用于处理三个共点力的平衡问题，且其中一个力为恒力，一个力的方向不变 的情形。

5）正交分解法将各力分别分解到x 轴和y 轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件。

多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。

常用数学方法1）菱形转化为直角三角形。

如果两分力大小相等，则以这两分力为邻边所作的平行四边形是一个菱形，根据菱形的两条对角线相互垂直平分，可将菱形转化成直角三角形。

2）相似三角形法。

在具体问题中，当表示力的大小的矢量三角形与其相应的几何三角形相似时，可利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几何三角形的边长为已知时，利用此法解题尤为简单。

3）正弦定理法：如果在共点的3个力的作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比，如图所示，表达式为332211sin F sin F sin F θ=θ=θ热身训练1.如图所示，质量为m1＝5 kg的物体置于一粗糙的斜面上，用一平行于斜面的大小为30N的力F推物体，物体沿斜面向上匀速运动，斜面体质量m2＝10 kg，且始终静止，取g＝10 m/s2，求(1)斜面对滑块的摩擦力大小；(2)地面对斜面体的摩擦力和支持力的大小. F＝m1gsin30°＋Ff，解析：(1)用隔离法：对滑块受力分析，如图甲所示，在平行斜面的方向上Ff＝F－m1gsin30°＝(30－5×10×0.5) N＝5 N.方法技巧灵活地选取研究对象可以使对于都处于平衡状态的两个物体组成的系统，在不涉及内力时，优先考虑整体法。

专题 处理平衡问题常用的几种方法1．力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；“力的合成法”是解决三力平衡问题的基本方法．2．正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：F x 合＝0，F y 合＝0.为方便计算，建立直角坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则．易错点评1．进行受力分析时，一般是分析性质力，而不分析效果力；此外，分力与合力也不能同时进行分析．这样做可防止多力或漏力．2．对于三力平衡问题，一般是根据推论利用合成法求解．3．对于多力平衡问题，一般用正交分解法，用此法时，坐标轴不一定水平与竖直，应根据具体情况灵活选取．4．若不涉及物体间内部相互作用，一般用整体法，即以整体为对象；反之，若研究物体间内部的相互作用，则要用隔离法，选对象的原则是受力较少的隔离体．1如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m 的小球，小球被竖直的木板挡住，不计摩擦，则球对挡板的压力是 ( )A ．mg cos αB ．mg tan αC.mgcos α D ．mg2如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=60°。

两小球的质量比 m 2/m 1 为（ ）A ．B ．C ．D ．3如图，绳AO 能承受的最大张力为150N ，绳BO 能承受的最大张力为100N ，绳CO 的强度能吊起足够重的重物．α=60°，β=30°，求此装置能悬挂的最大重物是多少？4倾角为θ的斜面上有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ。

现用水平力F 推动木块，如图所示，使木块恰好沿斜面向上做匀速运动。

若斜面始终保持静止，求水平推力F 的大小。

第4章优化问题的经典解法Chapter 4 Classical Optimization 4-1 优化问题的最优解（Optimum solution）4-1-1 无约束最优解、约束最优解所谓优化问题的最优解→变量的最优点{}Tnxxx**2*1,, + 函数的最优值()*X f（Optimum point + Optimum value）。

根据优化问题是否存在约束，有无约束最优解及有约束最优解之分。

1)无约束最优解使函数取得最小Minima（最大Maxima）值的解称之，见图4-1。

图4-12)约束最优解使函数取得最小（最大）值的可行解称之。

情况要比无约束问题复杂，见二维问题的示意图4-2。

约束不起作用一个起作用约束二个起作用约束线性规划问题图4-24-1-2 局部最优解解和全局最优解 （Relative or local & Absolute or global minimum ）以一维问题为例，对于无约束优化问题，当目标函数不是单峰函数时，会出现多个极值点 ,,,*3*2*1x x x ，对应的函数值为 ),(),(),(*3*2*1x f x f x f 。

每一个极值点在数学上称为局部最优点，它们中间的最小者才是全局最优点。

对于约束优化问题，情况就要更复杂一些，目标函数、约束函数的特性都会使得可行域内出现二个以上的局部极小点，其中函数值最小者，称为全局最优点。

P16 Fig3.2 , P30 图2-10清华本课程中讲述的所有优化方法目前只能求出局部最优解，而优化设计的目的是要追求全局最优解。

因此，除了凸规划问题以外，要进行局部最优解之间的比较，选择出问题的全局最优解来。

P124-2 凸集、凸函数与凸规划4-2-1 凸集 （Convex set ）函数的凸集表现为其单峰性（Unimodal ）。

对于具有凸性的函数而言，其极值点只有一个，该点即是局部极值点，也是全局最优点。

为了研究函数的凸性，首先引入凸集的概念。

化学平衡题的解题方法和技巧高中知识搜索小程序有关化学平衡的知识，是高中化学的一个难点，同时又是高考考查的重点，几乎每年高考都有。

掌握化学平衡题的基本方法和技巧，对解题起着事半功倍的效果。

常见的解题方法和思路有如下几种：一、常规方法找出可逆反应到达平衡的过程中，各物质的起始量、变化量和平衡量，然后根据条件列方程式解答。

例1：在一个固定容积的密闭容器中放入3molX气体和2molY气体，在一定条件下发生下列反应4X(气)+4Y(气) ⇌3Q(气)+nR(气)达到平衡后，容器内温度与起始时相同，混合气的压强比原来的增大10%，X的浓度减小则n值为（）（A）4 （B）5（C）3 （D）7二、差量法：对于例1，根据题意，因为反应在一个恒温定容的容器内进行，但平衡时混合气体的压强比反应前增大，这就表明混合气体的物质的量较反应前增加了。

三、估算法：若换一个角度思考例1，则更显简单，由于X的浓度减少，所以平衡正向移动。

此时压强增大则意味着正反应方向为气体体积增大的方向，所以4+4<3+n，所以n>5。

答案为（D）。

例2：在一密闭容器中，用等物质的量的A和B发生如下反应：A(g)+2B(g)⇌2C(g)反应达到平衡时，若混合气体中A和B的物质的量之和与C的物质的量相等，则这时Ａ的转化率为（）（A） 40% （B） 50%（C） 60% （D） 70%用基本方法可以算出答案为（A）。

若设计另外的途径通过B求A的转化率则显得更加简单。

因为A和B按1:2反应，而A、B又是等物质的量，所以A必然过量，设B完全转化则A只转化一半，故转化率为50%，但可逆反应的特点是反应物不能完全转化，所以A的实际转化率<50%，故答案为（A）。

四、守恒法：有些化学平衡问题，常可抓住某一元素守恒，通过设计另外的变化途径，使难以确定的问题变得有规律可循，从而化难为易，使问题得到解决。

例3：在某合成氨厂合成氨的反应中，测得合成塔入口处气体N2、H2、NH3的体积比为6:8:1，出口处N2、H3、NH3的体积比为9:27:8，则氮气的转化率为（）（A） 75% （B） 50%（C） 25% （D） 20%此题刚一读题无从下手，但若从原子守恒的角度分析，便很容易得到解决。

动态均衡问题常见解法动态均衡问题是在经济学和数学中经常遇到的一类问题。

它涉及到在不断变化的环境下，在特定的约束条件下找到一个稳定的状态或者均衡点。

在现实生活中，动态均衡问题有着广泛的应用，例如经济学中的市场均衡、供求平衡问题，以及工程学中的资源分配等。

在解决动态均衡问题时，有一些常见的解法可以采用。

以下是几种常见的解法：1. 迭代法迭代法是一种常见的解决动态均衡问题的方法。

它通常通过不断迭代逼近的方式来寻找解的近似值。

迭代法适用于那些可以通过不断调整变量值来逼近均衡状态的问题。

其优点是简单易用，但可能需要较长的计算时间。

常见的迭代法包括牛顿迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

2. 动态规划动态规划是一种求解最优化问题的方法，常用于解决动态均衡问题。

它将问题划分为一个个阶段，并通过逆向思考的方式，从最后一个阶段开始逐步推导最优解。

动态规划适用于那些具有最优子结构和重叠子问题性质的问题。

其优点是可以快速找到最优解，但需要定义合适的状态和状态转移方程。

常见的动态规划算法包括背包问题、最短路径问题等。

3. 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，可以用来描述状态之间的转移。

在动态均衡问题中，马尔可夫过程常用于建立状态转移模型，从而在不断变化的环境下寻找均衡状态。

马尔可夫过程的优点是能够灵活地处理不同的状态转移情况，但需要合理的状态转移概率和初始状态概率。

常见的马尔可夫过程包括马尔可夫链、马尔可夫决策过程等。

4. 数值方法数值方法是一种通过数值计算的方式来求解动态均衡问题的方法。

它通常基于一定的数值逼近原理，通过计算和优化来寻找近似的解。

数值方法适用于那些无法用解析方法求解的问题，但可能受到数值误差的影响。

常见的数值方法包括数值积分、数值优化等。

以上是几种常见的解决动态均衡问题的方法。

在实际应用中，具体选择哪种方法取决于问题的性质、约束条件和计算资源等因素。

我们需要根据具体情况综合考虑，并选择最适合的方法来解决动态均衡问题。

物 体 的 平 衡 的 解 决 方 法制作人：晏远清 学生姓名：一、力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反;“力的合成法”是解决三力平衡问题的基本方法.例1如图1甲所示，重物的质量为m ,轻细绳AO 与BO 的A 端、B 端固定，平衡时AO 水平,B0与水平面的夹角为θ，AO 拉力1F 和BO 拉力2F 的大小是 ( ) A 、1F mg = B. 1cot F mg θ= C. 2sin F mg θ= D. 2sin mg F θ=二、正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解:0x F =合,0y F =合.为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则.例2 如图2甲所示，不计滑轮摩擦,A B 、两物体均处于静止状态.现加一水平力F 作用在B 上使B 缓慢右移，试分析B 所受力F 的变化情况.三、整体法与隔离法整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法;当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可采用整体法.隔离法是将所确定的研究对象从周围物体(连接体)系统中隔离出来进行分析的方法，其目的是便于进一步对该物体进行受力分析，得出与之关联的力.为了研究系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况时，通常可采用隔离法.一般情况下，整体法和隔离法是结合在一起使用的.例3有一直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，OB 竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可忽略，不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示，现将P 环向左移一小段距离，两环再将达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力N F 和细绳拉力T F 的变化情况是：（ ） A 、N F 不变、T F 变大B 、N F 不变、T F 变小C 、N F 变大、T F 变大D 、N F 变大、T F 变小四、矢量三角形法对受三力作用而平衡的物体，将力矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形，进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法;力三角形法在处理动态平衡问题时方便、直观，容易判断.如图4甲，细绳AO 、BO 等长且共同悬一物，A 点固定不动，在手持B 点沿圆弧向C 点缓慢移动过程中，绳BO 的张力将 ( ) A 、不断变大 B 、不断变小 C 、先变大再变小 D 、先变小再变大五、相似三角形法物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图申的几何三角形相似，进而力三角形与几何三角形对应成比例，根据比值便河计算出末知力的大小与方向.例5 固定在水平面上的光滑半球半径为R ，球心0的正上方C 处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A 点，另一端绕过定滑轮，如图5所示，现将小球缓慢地从A 点拉向B 点，则此过程中小球对半球的压力大小N F 、细线的拉力大小T F 的变化情况是 ( )A 、N F 不变、T F 不变 B. N F 不变、T F 变大 C ，N F 不变、T F 变小 D. N F 变大、T F 变小 .六、正弦定理法正弦定理:在同一个三角形中，三角形的边长与所对角的正弦比值相等;在图6中有sin sin sin AB BC CAC A B==同样，在力的三角形中也满足上述关系，即力的大小与所对角的正弦比值相等.例6 不可伸长的轻细绳AO 、BO 的结点为0，在0点悬吊电灯L ，OA 绳处于水平，电灯L 静止,如图图7甲所示，保持0点位置不变，改变OA 的长度使A 点逐渐上升至C 点，在此过程中绳OA 的拉力大小.例7 如图9甲所示装置，两根细绳拉住一个小球，保持两绳之间夹角θ不变;若把整个装置顺时针缓慢转动090，则在转动过程中，CA 绳拉力1T F 大小的变化情况是 ，CB 绳拉力2T F 大小的变化情况是 . .七、对称法研究对象所受力若具有对称性，则求解时可把较复杂的运算转化为较简单的运算，或者将复杂的图形转化为直观而简单的图形.所以在分析问题时，首先应明确物体受力是否具有对称性.例8 如图10甲所示，重为G 的均匀链条挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水平方向成θ角，试求;(1)链条两端的张力大小. (2)链条最低处的张力大小.【典型习题】1．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球．当它们处于平衡状态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=60°两小球的质量比12m m 为 ： A ．33B ．32 C ．23D ．222. 如图所示，轻杆BC 一端用铰链固定于墙上，另一端有一小滑轮C ，重物系一绳经C 固定在墙上的A 点，滑轮与绳的质量及摩擦均不计若将绳一端从A 点沿墙稍向上移，系统再次平衡后，则（ ）A ．轻杆与竖直墙壁的夹角减小B ．绳的拉力增大，轻杆受到的压力减小C ．绳的拉力不变，轻杆受的压力减小D ．绳的拉力不变，轻杆受的压力不变 3. 重为G 的物体系在OA 、OB 两根等长的轻绳上，轻绳的A 端和B 端挂在半圆形的支架BAD 上，如图2（a ）所示，若固定A 端的位置，将OB 绳子的B 端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直位置C 的过程中，则以下说法正确的是（ ）m 1m 2o αF1F3F2135°45°60°ABθA．OB绳上的拉力先增大后减小B．OB绳上的拉力先减小后增大C．OA绳上的拉力先减小后增大D．OA绳上的拉力一直逐渐减小4. 如图，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上，能使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次力之比F1/F2=?5. 质点m在F1、F2、F3三个力作用下处于平衡状态，各力的方向所在直线如图所示，图上表示各力的矢量起点均为O点，终点未画，则各力大小关系可能为（）A．F1>F2>F3 B．F1>F3>F2C．F3>F1>F2 D．F2>F1>F36.如图1-8(a)所示，两个质量均为m的小球A、B用轻杆连接后，斜放在墙上处于平衡状态，已知墙面光滑，水平地面粗糙。

动态平衡问题的基本解法五种
1. 增加支撑点或重心：通过增加支撑点或调整重心位置来改善动态平衡问题。

2. 调整结构或重量分布：通过改变结构或重量分布来改善动态平衡问题。

3. 调整姿态或姿态控制：通过改变车辆或航天器的姿态或调整姿态控制来改善动态平衡问题。

4. 建立反馈控制系统：通过建立反馈控制系统来解决动态平衡问题，使系统能够自动调整。

5. 优化控制算法：通过优化控制算法来提高系统的响应速度和精度，改善动态平衡问题。

讲解平衡法解方程的基本思路并通过例题演示平衡法的具体步骤平衡法是解方程中常用的一种方法，它基于保持等式两边的平衡的原则进行推导。

通过合理的变形和化简，我们可以得到方程的解。

本文将首先介绍平衡法解方程的基本思路，然后通过例题演示平衡法的具体步骤。

一、基本思路平衡法解方程的基本思路是通过变形和化简，将方程转化为更简单的形式，从而得到方程的解。

具体步骤如下：1. 确定方程类型：首先，我们需要明确方程是一元方程还是多元方程，以及是否为线性方程、二次方程等。

这有助于我们选择合适的变形和化简方法。

2. 保持平衡：在进行变形和化简的过程中，需要始终保持等式两边的平衡，以确保变形后的方程仍然等价于原方程。

我们可以通过移项、合并同类项等方式来实现平衡。

3. 变形和化简：根据具体的方程类型，选择合适的变形和化简方法进行推导。

常见的方法包括因式分解、配方法、公式代入、解二次方程等。

4. 检验解的有效性：在得到方程的解之后，需要进行解的有效性检验。

将解代入原方程，验证等式是否成立。

如果成立，则得到的解是有效的；如果不成立，则需要重新检查推导过程或者重新求解。

二、通过例题演示平衡法的具体步骤下面通过一个具体的例题，演示平衡法解方程的具体步骤。

例题：解方程2x + 5 = 13步骤1：确定方程类型。

这是一个一元线性方程。

步骤2：保持平衡。

由于等式两边已经平衡，无需进行移项或合并同类项的操作。

步骤3：变形和化简。

将方程简化为x = 4：2x = 13 - 5 （移项）2x = 8x = 4 （除以2）步骤4：检验解的有效性。

将解x = 4代入原方程2x + 5 = 13进行验证：2*4 + 5 = 138 + 5 = 1313 = 13验证成功，可得出解x = 4。

通过以上的例子，我们可以清楚地看到平衡法解方程的基本思路和具体步骤。

在解方程时，我们需要根据具体的方程类型选择相应的变形和化简方法，并始终保持等式两边的平衡。

最后，通过检验解的有效性，确认我们得到的解是正确的。