高考数学一轮复习专题05 回归直线方程(解析版)

高考数学复习重点知识专题讲解与练习专题05 函数图象的辨析1．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数||()122x xx f x =+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】函数图像的识别，通常利用性质+排除法进行判断： 利用函数的奇偶性排除B ，利用特殊点的坐标排除A 、C. 【详解】 由||()22x xx f x -=+，得()f x 的定义域为R ，(0)0f =，排除A 选项． 而||()()22x xx f x f x --==+，所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，排除B 选项．()1141421,1152522f f ⎛⎫====< ⎪⎝⎭+，排除C 选项． 故选：D ．2．（2021·浙江·高三月考）函数sin 2x y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断当3,22x x ππ==的符号，可排除AC ，求导，判断函数在()0,π上的单调性，可排除D ，即可得出答案. 【详解】解：由()()sin 02x y f x x x==≠得，1310,0223f f ππππ⎛⎫⎛⎫=>=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除AC ， ()2cos sin 2x x x f x x -'=，令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，当0πx <<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在()0,π上递减， 所以()()00g x g <=在()0,π上恒成立， 即()2cos sin 02x x xf x x-'=<在()0,π上恒成立， 所以函数()f x 在()0,π上递减，故排除D. 故选：B.3．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知215()sin ,()42f x x x f x π⎛⎫+⎪⎭'=+ ⎝为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】求出导函数，判断导函数的奇偶性，再利用特殊值即可得出选项. 【详解】22co 151()si s n424f x x x x x π⎛⎫=++= +⎪⎝⎭， ()1sin 2f x x x '∴=-，∴函数()f x '为奇函数，排除B 、D.又1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．（2021·浙江·高二开学考试）函数())ln cos f x x x x =+⋅在[]2,2ππ-上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】确定奇偶性，可排除两个选项，然后确定函数在3[,2]2ππ上的单调性可再排除一个选项，从而得正确选项． 【详解】())cos())cos ()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-，()f x 是奇函数，排除AB ，在3[,2]2x ππ∈时，由复合函数单调性知)y x =是增函数，且)0y x =>，又cos y x =增函数，且cos 0y x =>，所以)cos y x x =是增函数，而y x =是增函数，所以()f x 是增函数，排除D ． 故选：C ．5．（2021·浙江金华·高三月考）函数|ln()|x ay x a +=-的图象，不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】通过函数的定义域、值域以及特殊值对四个选项中的函数图像一一分析即可判断.【详解】对于A ，当0a =时，ln xy x=，其定义域为{}0,1x x x >≠，且0y >恒成立，故A 正确； 对于B ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a >-时，0y >，当x a <-时，0y <，故B 正确；对于C ，由函数定义域可知，0a >，当1x a -=时，函数无意义，且0y ≥恒成立，故C 正确；对于D ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a <-时，0y <，但图中0y >，不满足条件，故D 错误； 故选：D.6．（2021·全国·高三专题练习）函数2x y π=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由02x <<时()0f x >，排除B 和C ；再探究出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 【详解】当02x <<时，sin 02x π>，所以()sin02xy f x π==>，故排除B 和C ；又(2)(2)sinsin()22x xf x f x ππ--===，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决函数图象的识别问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的定义域、值域、单调性与奇偶性来排除不合适的选项；二是取特殊点，根据函数的解析式选择特殊点，即可排除不合适的选项，从而得出正确的选项．7．（2021·天津市新华中学高三月考）函数23sin ()x x x x x f x e e--=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性排除A,D,再根据(1)0f >，排除C 即得解. 【详解】解：根据题意，23sin ()x x x x x f x e e--=+，其定义域为R ，有23sin ()()x xx x xf x f x e e---==+，则函数f (x )为偶函数，排除A ，D ， 3sin11(1)01f e e-=>+，排除C ， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证. 8．（2021·全国·高三专题练习）函数2()1cos e 1x f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性()()f x f x -=-；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解. 【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为2e 12e 1()1cos cos cos e 1e 1e 1x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-++⎛⎫=+⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，并且()()00e 1e e 1e ()cos cos cos e 1e e 1ex x xx x xf x x x x f x --+++-=⋅-=⋅=⋅=----， 所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A C ，；当()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =，而cos 0x =的根是2x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，可排除D . 故选:B 【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，单调性等是解决这类问题的关键，特别是特殊值的选取很重要，要结合图像的特征来选取.9．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】分析函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设()()()2322sin log sin log f x x x x x x ππ=⋅⋅=⋅，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()()()22sin log sin log f x x x x x f x ππ-=-⋅-=⋅=-，函数()f x 为奇函数，排除AC 选项；当01x <<时，0x ππ<<，()sin 0x π>，则()0f x <，排除D 选项. 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.10．（2022·全国·高三专题练习）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3loga f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠， 即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x 时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间⎛ ⎝⎭上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为增函数，0g =，则()g x 存在极小值3g a =-=⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．（2022·全国·高三专题练习）函数()122cos cos 4421x x f x x x ππ+-⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】先将()f x 的解析式化简，然后判断()f x 的奇偶性，再根据()f π的取值特点判断出对应的函数图象. 【详解】因为()12221cos cos 2442121x x x x f x x x x x x x ππ+⎫⎫--⎛⎫⎛⎫=+-=⋅⋅⋅+⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222121cos sin cos22121x x x x x x x --=⋅-=⋅++， 所以()()()2112cos 2cos22112x xx x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++且定义域为R 关于原点对称， 所以()f x 为奇函数，排除A 和C ；由()21cos2021f ππππ-=>+，排除B ， 故选：D ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（理））函数()ln |||sin |,(f x x x x ππ=+-≤≤且0)x ≠的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据解析式判断奇偶性，在0x π>>上0x +→有()f x →-∞，利用导函数，结合函数图象分析0x π>>内极值点的个数，即可确定正确函数图象. 【详解】函数()ln |||sin()|ln |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，(x ππ-≤≤且0)x ≠是偶函数，A 不合要求． 当0x π>>时，()ln sin f x x x =+：当0x +→，()f x →-∞，C 不合要求；而1()cos 0f x x x'=+=时，1,cos y y x x==-在0x π>>上只有一个交点(如下图示)，即区间内只有一个极值点. D不合要求，B 符合要求.故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用导函数，应用数形结合分析函数的交点情况，判断函数在区间上极值点个数.13．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x ，()g x 满足()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()()sin 2x h x f x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】依题意得()()()221=4x x f x g x e e --⋅，根据奇偶性定义知()h x 为奇函数，再结合特征点即可得答案． 【详解】因为()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得()()()()11=,=22x x x xf x e eg x e e --+- 所以()()()221=4x x f x g x e e --⋅，则()()()22sin 4cos 2=x xx x h x f x g x e e π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅- ()h x 定义域为{}0x x ≠因为()()224cos x xxh x h x e e --==--，故()h x 是奇函数，则B ，D 错；当02x π<<时，()224cos 0x xxh x e e -=>-，则C 正确，故选：C 【点睛】思路点睛：函数图象的识别可以以下方面入手： （1）从函数定义域判断； （2）从函数单调性判断； （3）从函数奇偶性判断； （4）从函数特征点判断．14．（2021·湖南·长郡中学二模）函数sin cos 4411()x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】本题首先可通过()()f x f x -=-判断出函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，然后取04x π<≤，通过sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断出此时()0f x <，即可得出结果.【详解】 因为sin cos cos sin 44441111()()x x x x f x f x ee e e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝==-⎭⎝⎭，x ∈R ，所以函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，当04x π<≤，442x πππ<+≤，sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411x x e e ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411()0x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝，B 错误，故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查函数图像的判断，在判断函数的图像的时候，可以通过函数的单调性、奇偶性、周期性、函数值的大小、是否过定点等函数性质来判断，考查数形结合思想，是中档题.15．（2021·福建龙岩·高一期末）已知函数()cos6x xxf x e e -=-，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】 对于函数()cos6x xxf x e e-=-，0x x e e --≠，解得0x ≠，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， ()()()cos 6cos6x xx xx xf x f x e e e e----==-=---，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项， 当0,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，60,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos60x >且0x x e e -->，此时，()0f x >，排除A 选项. 故选：C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.16．（2021·湖北武汉·高一期末）函数()32241x xxx y -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】研究函数奇偶性和区间(的函数值的正负，利用排除法即得结果. 【详解】函数()33222()4122x x xxxx x x y f x ---===++，定义域为R ， 对于任意的自变量x ，()333222()()222222x xx x x x x xx x x x f x f x -------===++-=-+++，故函数()y f x =是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD 错误；又(32()2222x x x xx x x x x y f x --+-===++，故(x ∈时，00,0,202x x x x x ->+>+>，，即()0y f x =<，故A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 17．（2021·全国·高三专题练习（理））函数()x x f x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的奇偶性，以及当0x >时，()f x 的符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 设())lng x x =，对任意的x ∈Rx x >≥-0x >，则函数()g x 的定义域为R ，())ln xxg x x-==)()lnx g x ==-=-，所以，函数())ln g x x =为奇函数，令())ln0g x x ==1x =1x =-，所以，10x -≥，可得1x ≤1x =-可得()2211x x +=-，解得0x =. 所以，函数()x x f x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()()2222x x x xf x f xg x g x --++-==-=--，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，)ln ln10x >=，220x x -+>，所以，()0f x >，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.18．（2021·全国全国·高三月考（理））已知函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则其图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性以及该函数在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的定义域为{}0x x ≠，排除D 选项； ()()()()()()333111sin sin sin f x x x x x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=--⋅-=-+⋅-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎣⎦， 所以，函数()f x 为偶函数，排除B 选项；当01x <<时，433110x x x x--=<，sin 0x >，此时()0f x <，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.19．（2020·全国全国·模拟预测（文））函数()()ee sin 32xx xf x -+⋅=在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除A,再结合π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >排除C ，最后讨论函数在对应区间内的零点个数即可得答案. 【详解】∵()()()()()e e sin 3e e sin 322xx xx x f f xx x --+⋅-+⋅==-=--，∴()f x 是奇函数，排除A ．当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ．由()0f x =得sin30x =，又15153,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴30x =或π±或2π±，∴()f x 在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有5个零点，排除D ．故选：B ． 【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查了函数的奇偶性，考查数形结合思想，属于基础题．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.20．（2020·山西·河津中学高三月考（理））函数(),()sin f x x g x x x ==+，则()()()h x f x g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由()h x 为偶函数，故排除选项B ，当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数，()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=，所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D ，从而可得出()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C ，得到答案.【详解】()(sin )h x x x x =+，则()()()()sin sin h x x x x x x x h x -=---=+=，所以()h x 为偶函数，故排除选项B. 当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数.()1cos 0g x x '=+≥恒成立，所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D. 设120x x <<，则()()120f x f x <<，()()120g x g x << 则()()()()()()121122g g h x h x f x x f x x -=-()()()()()()()()11121222g g g g f x x f x x f x x f x x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+-由条件()10f x >，()()12g g 0x x -<，则()()()()112g g 0f x x x -<()2g 0x >，()()120f x f x -<，则()()()()212g 0x f x f x -<所以()()()()()()()()112212g g g 0f x x x x f x f x -+-<，即()()12h x h x < 因此()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.。

概率与统计 专题五：回归直线方程一、知识储备 1．两个变量线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(,)i i x y (i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据11(,)x y ,22(,)x y ,33(,)xy (,)n n x y ．②设所求回归方程为y bx a =+，其中,a b 是待定参数． ③由最小二乘法得1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====---===---∑∑∑∑其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距． 二、例题讲解1．（2022·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三模拟预测（文））十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》这部法律自2021年1月1日起施行，某市相关部门进行法律宣传，某宣传小分队记录了前5周每周普及宣传的人数与时间的数据，得到下表：（1）若可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程； （2）利用（1）的回归方程，预测该宣传小分队第7周普及宣传（民法典）的人数．参考公式及数据：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-，()()51430i ii x x y y =--=∑.2．（2022·合肥市第六中学高三模拟预测（文））树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了A 树木，某农科所为了研究A 树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A 树木，调查得到A 树木根部半径x (单位：米)与A 树木高度y (单位：米)的相关数据如表所示：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某A 树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此片树木中随机抽取1棵A 树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中()()()1122211n ni iiii i b nnixii i x y nxy x x y y xnx x ==-==---==--∑∑∑∑，a y bx =-.三、实战练习1．（2022·湖南师大附中高三月考）今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：(10,20],(20,30],(30,40],(40,50],(50,60]，其频率分布直方图如图1所示．今年六月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y 与疫苗注射量x 个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．（1）健管中心从自身免疫力指标在(40,60]内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记X 表示这3人中免疫力指标在(40,50]内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以健管中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位．附：对于一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线ˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()1122211,nniii ii i nniii i x x yy x ynxyb a y bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑．2．（2022·安徽师范大学附属中学（理））根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：（1）建立y 关于x 的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆi ii nii x ynxybxnx π==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．3．（2022·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：其中1,2,3,i =，时间变量i x 对应的机动车纯增数据为i y ，且通过数据分析得到时间变量x 与对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系.（1）求机动车纯增数量y （单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑；a y bx =-.（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22⨯列联表： 根据上面的列联表判断，能否有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.4．（2022·贵州贵阳·高三月考（理））据贵州省气候中心报，2022年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm 之间，毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超过100mm.若我省某地区2022年端午节前后3天，每一天下雨的概率均为50%.通过模拟实验的方法来估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数x （x ∈N ，且09x ≤≤）表示是否下雨：当[]()0,x k k Z ∈∈时表示该地区下雨，当[]1,9x k ∈+时，表示该地区不下雨.因为是3天，所以每三个随机数作为一组，从随机数表中随机取得20组数如下: 332 714 740 945 593 468 491 272 073 445 992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出k 的值，使得该地区每一天下雨的概率均为50%；并根据上述20组随机数估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2021年该地区端午节当天降雨量（单位:mm ）如表：经研究表明：从2016年到2021年，该地区端午节有降雨的年份的降雨量y 与年份t 具有线性相关关系，求回归直线方程y bt a =+.并预测该地区2022年端午节有降雨的话，降雨量约为多少？参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i tty y t y nt yb tttnt====---==--∑∑∑∑，a y bt =-.5．（2022·重庆高三月考）为了研究义务教育阶段学生的数学核心素养与抽象能力(指标a 分)、推理能力(指标b 分)、建模能力(指标c 分)的相关性，其中025a ≤≤，030b ≤≤，025c ≤≤，并将它们各自量化为一级、二级、三级3个等级，再用综合指标y a b c =++的值评定学生的数学核心素养，若65y ≥，则数学核心素养为一级；若5065y ≤<，则数学核心素养为二级；若3050y ≤<，则数学核心素养为三级，为了了解重庆市1年级至9年级在校学生的数学核心素养，调查人员随机抽取了该地的五个年级，访问了每个年级的2个学生，统计得到这10个学生的如下数据：（1）画出散点图，并判断x ，y 之间是否具有相关关系⋅（2）若x ，y 之间具有线性相关关系，试估计重庆市9年级的学生数学核心素养平均分为多少⋅（3）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．附：①参考数据：521145i i x ==∑，511390i i i x y ==∑；②求线性回归方程y b x a =+的系数公式1221ni i i nii x y nx y b x nx==-⋅=-∑∑，a yb x =-．6．（2022·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，报考之前较冷门专业的人数也逐年上升．下表是某高校A 专业近五年来在某省录取平均分与当年该大学的最低提档线对照表：（1）根据上表数据可知，y 与t 之间存在线性相关关系，用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程； （2）据以往数据可知，该大学A 专业每年录取分数X 服从正态分布(,9)μN ，其中μ为当年该大学A 专业录取的平均分. 假设2022年该大学最低提档线为645分． ①利用（1）的结果预测2022年A 专业录取平均分；②若某同学2022年高考考了670分，该大学A 专业在该省共录取100人，录取成绩前五名的学生可以获得一等奖学金，请问该同学能否获得该奖学金？请说明理由．参考公式：()()()1122211ˆnnii i i i i nniii i tty y t y ntybtttnt ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bt =-． 参考数据：()0.683P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.954P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.997P X μσμσ-<≤+≈.7．（2022·全国（理））某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表：（1）根据2至6月份的数据，求出每月的销售额y 关于月份x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度(7，8，9月份)这种新药的销售总额.(参考公式：1122211()()()ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-)8．（2022·眉山市彭山区第一中学（文））为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；（2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？（参考公式：回归方程y bx a=+，其中()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-）9．（2022·四川内江·高三其他模拟（文））为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作——强基计划.现对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，随机抽取了10名学生.（1）在某次数学强基课程的测试中，这10名学生成绩的统计数据如茎叶图所示，其中某男生的成绩被污损（为整数），求女生的平均分数超过男生的平均分数的概率.（2）已知学生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，现统计了小明同学连续5次在强基课程测试中的数学和物理成绩（如下表）.若第6次测试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次测试他的物理成绩大约是多少？ 附：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.10．（2022·全国高三模拟预测（文））发展清洁能源，是改善能源结构、保障能源安全、推进生态文明建设的重要任务.十三五以来，我国加快调整能源结构，减少煤炭消费、稳定油气供应、大幅增加清洁能源比重，风电、光伏等可再生能源发电效率不断提高.据资料整理统计我国从2015年到2019年的年光伏发电量如表：其中514837.5,1251.2i i i x y y ===∑.（1）请用相关系数r 说明是否可用线性回归模型拟合年光伏发电量y 与x 的关系；（2）建立年光伏发电量y 关于x 的线性回归方程，并预测2022年年光伏发电量（结果保留整数）.参考公式：相关系数ni ix ynx yr -=∑y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为, 1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑, a y bx =-11．（2022·全国高三其他模拟（文））实施新规后，某商场2021年1月份至10月份的收入情况如表.并计算得101890i i i x y ==∑，1021385i i x ==∑，101150i i y ==∑75.99.（1）是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请用相关系数r 加以说明；(当0.751r ≤≤时，那么变量x ，y 有较强的线性相关关系)（2）建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+(结果保留1位小数)，并预测该商场12月份的收入情况.(结果保留整数)附：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，()()niix x y y r --=∑.。

回归直线方程公式详解及例题回归直线方程，听起来是不是有点严肃？这玩意儿就像是数学里的“小白兔”，看起来很复杂，但其实乍一看也不过是个简单的小家伙。

让咱们聊聊这个直线方程的由来，还有怎么用它解决问题。

说白了，就是用一条直线把一堆数据给“牵”起来，让我们看清楚它们之间的关系。

就像在赶集一样，把各种水果摆成一排，想要了解哪个最受欢迎。

这里，最常见的回归直线方程是y = mx + b。

听起来不算复杂吧？不过咱们慢慢来，不急。

y代表咱们要预测的东西，比如说，你想知道你的成绩和学习时间的关系，那y就可以是你的成绩；x就是你花在学习上的时间。

m，这个家伙叫做斜率，表示的是y和x之间的关系，简单来说就是学习时间每增加一个小时，成绩大概能提高多少分。

b则是当你啥都不做时，你的成绩是多少，这个也很重要，没错，人生不就是这么回事吗？想象一下，拿出一根铅笔和一张纸，把这些点点画出来。

每个点就代表了一次测量，比如说你在不同时间学习的成绩。

画得可真像一幅抽象画，虽然一开始没法看出什么，但如果仔细一看，就能发现某种趋势。

这就是回归分析的魔力，它能帮你找到这些点之间的规律。

慢慢地，这些点就会聚成一条线，给你展示出学习时间和成绩之间的关系。

再来聊聊如何计算这些参数。

有很多软件和工具可以帮你做这些。

但如果你想亲自尝试，手动计算也是个不错的选择。

先得算出这些数据的平均值，接着用这些平均值来计算m和b。

想象一下，m的计算就像是在算你朋友圈里哪个小伙伴总是抢着买单。

搞定这些，y = mx + b就能顺利出炉了。

说到这里，有些小伙伴可能会想，回归直线到底有什么用呢？这玩意儿其实是个超有用的工具。

比如说，商家可以用它预测销量，学校可以分析成绩趋势，甚至天气预报也会用到。

想想看，如果你知道晴天和下雨天的概率，你是不是就能提前决定穿哪双鞋？这不就是让生活更简单吗？回归直线也有它的局限性。

毕竟，生活可不是总那么简单。

数据点就像是小孩子一样顽皮，根本不愿意听话，完全不按常理出牌。

专题5 回归分析例1．已知回归方程y=5x+1，则该方程在样本（1，4）处的残差为（）A．﹣2B．1C．2D．5【解析】解：当x＝1时，y=5x+1＝6，∴方程在样本（1，4）处的残差是4﹣6＝﹣2．故选：A．例2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；③在回归直线方程y=−0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均减少0.2个单位；④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．以上正确说法的是①③④．【解析】解：①可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故①正确；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，故②错误；③在回归直线方程y=−0.2x+0.8中中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均减少0.2个单位，故③正确；④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，r的绝对值趋向于1，则变量y和x之间的负相关很强，故④正确．故答案为：①③④．例3．下列命题中，正确的命题有②③．①回归直线y=b x+a恒过样本点中心（x，y），且至少过一个样本点；②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好；③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好．【解析】解：①回归直线y=b x+a恒过样本点中心（x，y），不一定过样本点，故①正确；②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好，正确；③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，正确；④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越差．故④错误，故正确的是②③，故答案为：②③例4．下列命题：①相关指数R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好．②对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越大．③残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越高．④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0．其中错误命题的个数为4．【解析】解：对于①，相关指数R2越小，则残差平方和越大，此时模型的拟合效果越差，所以①错误；对于②，对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越小，所以②错误；对于③，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越低，所以③错误；对于④，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，所以④错误．综上知，错误命题的序号是①②③④，共4个．故答案为：4．例5．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（x i，y i）（i＝1，2，……，20），其中x i和y i分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得∑20i=1x i=80，∑20i=1y i=4000，∑20i=1（x i−x）2＝80，∑20i=1（y i−y）2＝8000，∑20i=1（x i−x）（y i−y）＝7000．（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：1年2年3年4年5年使用年限台数款式甲款520151050乙款152010550某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？参考公式：相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)∑i=1(y i−y)2．对于一组具有线性相关关系的数据（x i，y i）（i＝1，2，……，n），其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．【解析】解：（1）由题意知相关系数r=∑20i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)2∑i=1(y i−y)2=√80×8000=78=0.875，因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．（2）由题意可得，b=∑20i=1(x i−x)(y i−y)∑20i=1(x i−x)2=70080=8.75，a=y−b x=400020−8.75×8020=200−8.75×4=165，所以y=8.75x+165．（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：万元）的分布列为X﹣50050100P0.10.40.30.2E（X）＝﹣50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2＝30（万元）购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：万元）的分布列为：Y﹣302070120P0.30.40.20.1E（Y）＝﹣30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1＝25（万元）因为E（X）＞E（Y），所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算．例6．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，请计算相关系数r（精确到0.01），并以此判定是否可用线性回归模型拟合y 与x的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；（2）过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量X（单位：小时）30＜X＜5050≤X≤70n≥2光照控制仪最多可运行台数542若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其相关系数公式r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i−x)2∑i=1i−y)2，回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x，参考数据√0.3≈0.55，√0.9≈0.95．【解析】解：（1）由已知数据可得x=2+4+5+6+85=5，y=3+4+4+4+55=4，因为∑5i=1(x i−x)(y i−y)=(−3)×(−1)+0+0+0+3×1=6，√∑5i=1(x i−x)2=√(−3)2+(−1)2+02+12+32=2√5，√∑5i=1(y i−y)2=√(−1)2+02+02+02+12=√2．所以相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2√∑i=1i−y)2=2√5⋅√2=√910≈0.95，因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系，因为b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=620=0.3，a=y−b x=2.5，所以回归直线方程y＝0.3x+2.5．（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：X＞70时，共有10周，只有2台光照控制仪运行，周总利润Y＝2×3000﹣3×1000＝3000元，当50≤X≤70时，共有35周，有4台光照控制仪运行，周总利润Y＝4×3000﹣1×1000＝11000元，当X＜50时，共有5周，5台光照控制仪都运行，周总利润Y＝5×3000＝15000元，所以过去50周每周利润的平均值Y=3000×10+11000×35+15000×550=9800元，所以商家在过去50周每周利润的平均值为9800元．例7．湖南省从2021年开始将全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如表：等级A B C D E比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间[81，98][72，80][66，71][63，65][60，62]生物学科各等级对应的原始分区间[90，100][77，89][69，76][66，68][63，65]现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据（Y i，T i），请计算生物原始分Y i与生物转换分T i之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间等级A B C D E原始分从高到低排序的等级人数占比约15% 约35% 约35% 约13% 约2%转换分T 的赋分区间[86，100] [71，85][56，70] [41，55] [30，40]附2：计算转换分T 的等比例转换赋分公式：Y 2−Y Y−Y 1=T 2−T T−T 1．（其中：Y 1，Y 2别表示原始分Y 对应等级的原始分区间下限和上限；T 1，T 2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．T 的计算结果按四舍五入取整）．附3：∑ 6i=1（Y i −Y ）（T i −T ）＝74，√∑ 6i=1(Yi −Y)2∑ 6i=1(T i −T)2=√5494≈74.12，r =∑n i=1i −Y)(T i −T)√∑i=1i −Y)2∑i=1i −T)2．【解析】解：（1）根据茎叶图知，政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73； （2）甲同学选考政治学科的等级为A ，由转换赋分公式：98−8282−81=100−T T−86，解得T ＝87；乙同学选考生物学科的等级为A ，由赋分转换公式：100−9191−90=100−T T−86，解得T ＝87；所以甲、乙两位同学的转换分都是87分． （3）由题意知，r =∑n i=1i −Y)(T i −T)√∑ i=1(Y i −Y)2∑ i=1(T i −T)2=7474.12≈0.998， 说法1：等级转换赋分公平，因为相关系数十分接近1，接近函数关系，因此高考这种“等级转换赋分”具有公平性与合理性．说法2：等级转换赋分法不公平，在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为1，在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象． （只要说法有道理，都可以得分）．例8．某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m （单位：平方米，60≤m ≤130）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y （单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）．（Ⅰ）试估计该市市民的购房面积的中位数m0；（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从购房面积位于[110，130]的40位市民中随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率；（Ⅲ）根据散点图选择y=a+b√x和y=c+d lnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为y=0.9369+0.0285√x和y=0.9554+0.0306lnx，并得到一些统计量的值如表所示：y=0.9369+0.0285√x y=0.9554+0.0306lnx ∑13i=1(y i−y i)20.0005910.000164∑13i=1(y i−y)20.006050请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）．【参考数据】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，√2≈141，√3≈1.73，√23≈4.80．【参考公式】R2=1−∑ni=1(y i−y i)2∑n i=1(y i−y)2．【解析】解：（I）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.05+0.1+0.2＝0.35，前四组频率和为0.05+0.1+0.2+025＝0.6，故中位数出现在第四组，且m0=90+10×0.150.25=96．（Ⅱ）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽样可知：440=x30=y10，则x＝3，y＝1，在抽取的4人中，记3名位于[11，120）的市民为A1，A2，A3，位于[120，130]的市民为B则所有抽样情况为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B）共6种．而其中恰有一人在位于购房面积[120，130]的情况共有3种，故所求概率P=36=12，（III）设模型y=0.9369+0.0285√x和y=0.955+0.0306lnx的相关指数分别为R12，R22，则R12=1−0.0005910.006050，R22=1−0.0001640.006050，显然R12＜R22，故模型y=0.9554+0.0306lnx的拟合效果更好．由2019年12月份对应的代码为24，则y=0.9554+0.0306ln24=0.9554+0.0306(3ln2+ln3)≈1.052万元/平方米．例9．某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如表：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤16时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：y=4.1x+11.8；模型②：y=21.3√x−14.4；当x＞16时，确定y与x满足的线性回归方程为：y=−0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤16时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程y=4.1x+11.8y=21.3√x−14.4∑7i=1(y i−y i)2182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1−∑n i=1(y i−y i)2∑n i=1(y i−y)2．）（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16元与20亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程y=b x+a的系数公式b=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2；a=y−b x）（Ⅲ）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N（0.52，0.012），公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%但不超过53%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．（附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545．）【解析】解：（Ⅰ）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即182.4∑7i=1(y i−y)2＞79.2∑7i=1(y i−y)2，∴模型①的R2小于模型②的R2，说明模型②的刻画效果更好．∴当x＝16亿元时，科技改造直接收益的预测值为y=21.3×√16−14.4=70.8（亿元）；（Ⅱ）由已知可得，x−20=0.5+2+3.5+4+55=3，则x=23，y−60=8.5+8+7.5+6+65=7.2，则y=67.2，∴a=y−0.7x=67.2+0.7×23=83.3，∴当x＞16亿元时，y与x满足线性回归方程y=−0.7x+83.3，当x＝20亿元时，科技改造直接收益的预测值为y=−0.7×20+83.3=69.3．∴当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.3+10＝79.3亿元＞70.8亿元．∴科技改造投入20亿元时，公司的实际收益更大；（Ⅲ）∵P（0.52﹣0.02＜X＜0.52+0.02）＝0.9545，∴P（X＞0.50）=1+0.95452=0.97725，P（X≤0.50）=1−0.95452=0.02275，∵P（0.52﹣0.01＜X＜0.52+0.01）＝0.6827，∴P（X＞0.53）=1−0.68272=0.15865，∴P（0.50＜X≤0.53）＝0.97725﹣0.15865＝0.8186．设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为：Y024P0.022750.81860.15865∴每台发动机获得的奖励的数学期望为：E（Y）＝0×0.02275+2×0.8186+4×0.15865＝2.2718（万元）．例10．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据．数据一：身高在[170，180）（单位：cm）的体重频数统计体重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人数206010010080201010数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均体重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依据数据一将下面男高中生身高在[170﹣180）（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[170﹣180）（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）（Ⅱ）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；（Ⅲ）说明残差平方和或相关指数R2与线性回归模型拟合效果之间关系．（只需写出结论，不需要计算）参考公式：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．参考数据：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．【解析】解：（1）身高在[170，180）的总人数为：20+60+100+100+80+20+10+10＝400，体重在[55﹣60）的频率为：60400=0.15，体重在[70﹣75）的 频率为：80400=0.2，平均体重为：52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2 +77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，（2）因为 r ＝0.99→1，线性相关很强，故可以用线性回归直线来 刻画中学生身高与体重的相关， x =145+155+165+175+1855=165，y =45+75+60+53.6+66.45=60，b =∑ 8i=1x i y i −8x⋅y ∑ 8i=1x i 2−8x2=38608+175×66.4−5×165×601000=0.728， a =y −b x =60−0.728×165=−60.12， 所以回归直线方程为：y =0.728x −60.12，（3）残差平方和越小或相关指数 R 2 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好．例11．2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1～13分别对应2018年11月～2019年11月）根据散点图选择y =a +b √x 和y ＝c +dlnx 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为y ^=0.9369+0.0285√x和y^=0.9554+0.0306lnx，并得到以下一些统计量的值：y^=0.9369+0.0285√x y^=0.9554+0.0306lnx ∑13i=1(y i−y^i)20.0005910.000164∑13i=1(y i−y)20.006050（1）请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2020年4月购买这个小区m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）．若购房时该小区所有住房的房产证均已满2但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额＝房款+税费，房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格（计税价格＝房款）进行征收的．房产证满2年但未满5年的征收方式如下：首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且140平方米以内（含140平方米）1.5%；首套面积140平方米以上或非首套为3%．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，√2≈1.41，√3≈1.73，√17≈4.12，√19≈4.36．参考公式：相关指数R2=1−∑ni=1(y i−y^i)2∑n i=1(y i−y)2．【解析】解：（1）模型一中，y=0.9369+0.0285√x的残差平方和为0.000591，相关指数为R21−0.0005910.006050≈0.923，模型二中，y=0.9554+0.0306lnx的残差平方和为0.000164，相关指数为 R 21−0.0001640.006050≈0.973，∴ 相关指数较大的模型二拟合效果好些． （2）通过散点图确定2020年4月对应的 x ＝18， 代入（1）中拟合效果更好的模型二，代入计算 y =0.9554+0.0306ln18 ＝0.9554+0.0306×（ln 2+2ln 3） ＝0.9554+0.0306×（0.69+2×1.10） ≈1.044 （万元/平方米），则2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元/平方米）．（i ）设该购房者应支付的购房金额 h 万元，因为税费中淵方只需缴纳契税， ①当70⩽m ⩽90 时，契税为计税价格的 1%， 故h ＝m ×1.044×（1%+1）＝1.05444m ； ②当90＜m ⩽144 时，契税为计税价格的 1.5%， 故h ＝m ×1.044×（1.5%+1）＝1.05966m ； ③当144＜m ⩽160 时，契税为计税价格的 3%， 故h ＝m ×1.044×（3%+1）＝1.07532m ；∴ℎ={1.05444m ，70⩽m ⩽901.05966m ，90＜m ⩽1441.07532m ，144＜m ⩽160；∴ 当 70⩽m ⩽90 时购房金额为 1.05444m 万元， 当 90＜m ⩽144 时购房金额为 1.05966m 万元， 当 144＜m ⩽160 时购房金额为 1.07532m 万元．（ii ）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 t 平方米，由（i ） 知，当70⩽m ⩽90时，应支付的购房金额为 1.05444t ，又1.05444t ⩽1.05444×90＜100， 又因为房屋均价约为1.044万元/平方米，所以 t ＜100，所以90⩽t ＜100， 由1.05966t ⩽100，解得 t ⩽1001.05966，且1001.05966≈94.4，所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米．例12．某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x （单位：万元）对月销售量y（单位：千件）的影响，收集了2020年3月至2020年8月共6个月的月宣传费x和月销售量y的数据如表：月份345678宣传费x5678910月销售量y0.4 3.5 5.27.08.610.7现分别用模型①y=b x+a和模型②y=e m x+n对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如表：（模型①和模型②的残差分别为e1和e2，残差＝实际值﹣预报值）x5678910y0.4 3.5 5.37.08.610.7e1﹣0.60.540.280.12﹣0.24﹣0.1e2﹣0.63 1.71 2.10 1.63﹣0.7﹣5.42（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来拟合月宣传费x与月销售量y的关系较为合适，简要说明理由；（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据（x，y）剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测月宣传费为12万元时，该公司的月销售量．（剔除数据前的参考数据：x=7.5，y=5.9，∑6i=1x i y i=299.8，∑6i=1x i2=355，z＝lny．z≈−1.41，∑6i=1x i y i=−73.10，ln10.7≈2.37，e4.034≈56.49．）参考公式：b=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【解析】解：（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（2）由（1）知，需剔除第一组数据，则剔除后的x=7.5×6−55=8，y=5.9×6−0.45=7，5xy=280，5x2=320，∑5i=1x i y i=299.8−5×0.4=297.8，∑5i=1x i2=355−25=330．∴b=∑5i=1x i y i−5xy∑5i=1x i2−5x2=297.8−280330−320=1.78，a=y−b x=7−1.78×8=−7.24．得①的回归方程为y=1.78x−7.24，则当x＝12时，y=1.78×12−7.24=14.12．故月宣传费为12万元时，该公司的月销售量为14.12千件．例13．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长．如表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x12345678累计确诊人数y481632517197122为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①y=bx2+a，②y=dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差e î=y i−y î）：经过计算得它∑8i=1(x i−x)(y i−y)=728，∑8i=1(x i−x)2=42，∑8i=1(z i−z)(y i−y)=6868，∑8i=1(z i−z)2=3570，其中z i=x i2，z=18∑8i=1z i.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布．小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑8i=1(x i−x)(y i−y)∑8i=1(x i−x)2，a=y−b x．【解析】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对比较大，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1）可知y关于x的回归方程为y=bx2+a，令z＝x2，则y=bz+a，由所给的数据可得：z=18(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5，y=18(4+8+16+31+51+71+97+122)=50，b=∑8i=1(z i−z)(y i−y)∑8i=1(z i−z)2=68683570≈1.92，则a=y−b z≈50﹣1.92×25.5＝1.04，所以y关于x的回归方程为y=1.92x2+1.04；（3）将x＝9代入回归方程，可得y=1.92×92+1.04＝156.56≈157（人），所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数约为157人．例14．H市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（吨）与相应的生产总成本y（万元）的五组对照数据．产量x（件）12345生产总成本y（万元）3781012（Ⅰ）根据上达数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的线性回归方程y=b x+a；参考公式：b=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．（Ⅱ）记第（Ⅰ）问中所求y与x的线性回归方程y=b x+a为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②：y=12x2+1．其中模型②的残差图（残差＝实际值﹣预报值）如图所示：请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；（Ⅲ）根据模型①中y与x的线性回归方程，预测产量为6吨时生产总成本为多少万元？【解析】解：（Ⅰ）计算x=15(1+2+3+4+5)=3，y=15(3+7+8+10+12)=8，∑5i=1x i2=12+22+32+42+52=55，∑5i=1x i y i=1⋅3+2⋅7+3⋅8+4⋅10+5⋅12=141，b=∑5i=1x i y i−nxy∑5i=1x i2−nx2=141−5×3×855−5×9=2.1，a=y−b x=8−2.1×3=1.7，因此，回归直线方程为y=2.1x+1.7．（Ⅱ）模型①的残差表为：x12345y3781012 y 3.8 5.9810.112.2 e﹣0.8 1.10﹣0.1﹣0.2画出残差图，如图所示；结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方程，因为：理由1：模型①的4个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄；理由2：模型①的4个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近进x轴．．（不列残差表不扣分，写出一个理由即可得分．）（Ⅲ）根据模型①中y与x的回归直线方程，计算x＝6时，y=2.1×6+1.7=14.3，所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元．例15．为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业对最近一些相关数据进行了调查统计，得出相关数据见表：23456年广告投入x（万元）346811年利润y（十万元）根据以上数据，研究人员分别借助甲．乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：方程甲：y（1）=b（x﹣1）2+2.75，方程乙：y（2）=c x﹣1.6．（1）求b（结果精确到0.01）与c的值．（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．①完成下表（备注：e î=y i−y î，e î称为相应于点（x i，y i）的残差；年广告投入x（万元）23456年利润y（十万元）346811模型甲估计值y î（1）残差e î（1）模型乙估计值y î（2）残差e î（2）②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．【解析】解：（1）设t＝（x﹣1）2，则t=15(1+4+9+16+25)=11．∵y=6.4，∴6.4=b×11+2.75，解得b≈0.33．又x=4，∴6.4=c×4−1.6，即c=2．（2）①经计算，可得下表：年广告投入x（万元）23456年利润y（十万元）346811模型甲估计值y î（1） 3.08 4.07 5.728.0311残差e î（1）﹣0.08﹣0.070.28﹣0.030模型乙估计值y î（2） 2.4 4.4 6.48.410.4残差e î（2）0.6﹣0.4﹣0.4﹣0.40.6②Q1=(−0.08)2+(−0.07)2+0.282+(−0.03)2=0.0906．Q2=0．62×2+(−0.4)2×3=1.2．∵Q1＜Q2，∴模型甲的拟合效果更好．。

直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。

专题05 方程与不等式的实际应用1. 列方程（不等式组）解实际应用题的基本步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。

②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。

③列方程（不等式）：根据等量（不等量）关系与未知数列出相应的方程（不等式）。

④解方程（不等式）——按照解相应方程（不等式）的步骤解方程。

⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。

2. 常见的建立方程的方法：①基本等量关系建立方程。

②同一个量的两种不同表达式相等。

3. 常见的基本等量关系：①行程问题基本等量关系：路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。

顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）②工程问题：工作总量=工作时间×工作效率。

③配套问题：实际生产比＝配套比。

④商品销售问题：利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%总利润＝单利润×数量现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）现数量＝原数量－变化基数涨价基础涨价部分⨯（原数量＋变化基数降价基础降价部分⨯）⑤图形的周长，面积，体积问题。

利用勾股定理建立一元二次方程。

利用面积公式建立二元一次方程。

⑥传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。

⑦握手（比赛）问题：计算公式：单循环：()21+n n ＝总数；双循环：()1+n n ＝总数。

（n 表示参与数量）⑧数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。

以此类推。

⑨平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。

4. 列方程解应用题的方法技巧：列表格找等量关系建立方程。

高中数学例题：回归直线方程的求解例3．在钢铁中碳含量对于电阻的效应的研究中，得到如下表所示的一组数据：（1）画出散点图； （2）求回归方程．【解析】由散点图知能用回归直线拟合样本数据，然后，利用表中的数据，可以得到b ，a 计算公式中所需的数据，代入易得b ，a ． （1）作出散点图如下图所示．（2）由散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，可求回归方程．由表中的数据可求得711 3.800.54377i i x x ===≈∑，711145.420.7777i i y y ===≈∑，7212.595ii x==∑，7185.61i ii x y==∑．则7172221785.6170.54320.7712.552.59570.5437i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， 20.7712.550.54313.96a y bx =-=-⨯≈．所以回归方程为12.5513.96y x =+．【总结升华】 求线性回归直线方程的步骤为： 第一步：列表i i i i x y x y ，，；第二步：计算211nni i i i i x y xx y ==∑∑，，　，　　；第三步：代入公式计算b a ，的值； 第四步：写出直线方程. 举一反三：【变式1】 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元【答案】选B 【解析】4235492639543.5,4244x y ++++++==== 429.4 3.59.1a y bx ∴=-=-⨯=，∴回归方程为9.49.1y x =+，∴当6x =时，9.469.1y =⨯+=65.5，故选B .【变式2】 观察两相关变量得如下数据：求两变量间的回归方程．ˆˆy bx a =+b【答案】y x = 【解析】列表：计算得：0x =，0y =。

考向05 函数的单调性与最值1. （2022年浙江卷第7题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（ ）A. 25 B. 5 C.259D.53【答案】C【解析】因为25a =，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa b b b -====．故选：C.2. （2022年 新高考1卷第7题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A.a b c << B. c b a<< C. c a b<< D. a c b<<【答案】C【解析】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h xx =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<-时，()0h x <，所以当01x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.3. （2022年北京卷第14题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】①. 0（答案不唯一）②. 1【解析】若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若0a <时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1【易错点1】求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．【易错点2】有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -= B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x=【答案】B【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．2．函数()22312x x f x --⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递减区间是A ．(),-∞+∞ B ．(),1-∞C ．()3,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】设t ＝x 2﹣2x ﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．故选D ．【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数f （x ）的单调递减区间．3．已知函数1()x f x e=，()0.52a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b<<【答案】B【解析】函数1()xf x e=，()0.52a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f =根据指数函数和对数函数的单调性可得：0.50221>=，0.2000.30.31<<=，0.30.3log 2log 01<<，因为函数1()xf x e=在R 上单调递减，且0.50.20.3log 20.23<<，所以0.20.053.(log 2)(0.23)()f f f >>，即a b c <<.故选：B 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4．已知函数()22cos()(1)sin(),()233x f x x a x a g x x ππ=+-+=-，若()[]0f g x ≤对[]0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1]-∞-B ．(,0]-∞C ．1]-D ．(,1-∞-【答案】A【解析】在同一坐标系内画出2231,2,2x y x y y x =+==+的图象，由图象可知，在[]0,1上，223122xx x +≤<+恒成立，即23122x x ≤-<，当且仅当0x =或1x =时等号成立，()312g x ∴≤<，设()g x t =，则()(31,02t f g x ⎤≤<≤⎦等价于()0f t ≤，即()2cos1sin 033t a t a ππ+-+≤，31,,2332t t πππ⎡⎫≤<∴∈⎪⎢⎣⎭Q ，再设sin 13tm m π=≤<，原不等式可化为()212sin 1sin 033t a t a ππ-+-+≤，即()22211210,211m m m a m n a m m +--+-+≤≤=-+，1211m -≤-<，1a ∴≤-，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键点是设()g x t =，则原不等式等价于()0f t ≤，再设sin3tm π=，并参变分离求出最值解出实数a 的取值范围，考查了数形结合的解题思想方法，考查学生计算能力，属于中档题．5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有8()9f x -≥，则m 的取值范围是( )A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(0,1]x ∈时，，，∴()2(1)f x f x =-，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，，令，整理得：，∴()()37380x x --=（舍），∴173x =，283x =，∴(,]x m ∈-∞时，()=(1)f x x x -(+1)= ()f x 2f x ()f x ()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---84(2)(3)9x x --=-2945560x x -+=8()9f x -≥成立，即73m ≤，∴7,3m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））下列函数中是减函数的为（ ）A ．2()log f x x =B ．()13x f x =-C ．()f x =D ．2()1f x x =-+【答案】B【解析】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误；选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确；选项C ：由102-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =为增函数.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误.故选：B2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知函数33,0()e 1,0xx x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为33,0()e 1,0xx x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <．即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；故选：C3．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数()y f x =，若()0f x >且()()0f x xf x '+>，则有（ ）A ．()f x 可能是奇函数，也可能是偶函数B ．()()11f f ->C ．42x ππ<<时，cos22s (os )(in c )x f ef x x <D ．(0)(1)f <【答案】D【解析】若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，又因为()0f x >，与()()f x f x -=-矛盾，所有函数()y f x =不可能时奇函数，故A 错误；令()()22e x g xf x =，则()()()()()()222222eeex x x g x x f x f x xf x f x '''=+=+，因为22e0x >，()()0f x xf x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 为增函数，所以()()11g g -<，即()()1122e 1e 1f f -<，所以()()11f f -<，故B 错误；因为42x ππ<<，所以0cos x <<sin 1x <<，所以sin cos x x >，故()()sin cos g x g x >，即()()22sin cos 22e sin ecos xx f x f x >，所以()()()22cos sin cos222sin ecos ecos x xx f x f x f x ->=，故C 错误；有()()01g g <，即()()01f <，故D 正确.故选：D.4．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知13e ,(93ln 3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b c a<<【答案】C【解析】令函数ln ()(e)x f x x x=≥，当e x >时，求导得：()21ln 0xf x x '-=<，则函数()f x 在[e,)+∞上单调递减，又ln 3(3)3a f ==，ln e (e)eb f ==，3333e ln3(3ln 3)e 3()e e 33c f -===，显然3e e 33<<，则有3e ()(3)(e)3f f f <<，所以c a b <<.故选：C5．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ）A ．e e ln ln b a b a -<-B ．e e ln ln b a b a -≥-C ．e e a b b a ≤D ．e e a bb a >【答案】D【解析】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e xf x x '=-，当01x <<时，1()e xf x x'=-单调递增，且2132123(e 20,(e 0232f f ''=-<=-=>>故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=，则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增，由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定，故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x -'，当01x <<时，()0g x '<，故e g()=xx x 单调递减，所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e e a ba b > ，即e e a b b a >，故C 错误，D 正确，故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈，当12x x <时，都有()()()12122f x f x x x -<-，则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】B【解析】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增，又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-，所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<.故不等式解集为()0,2.故选：B 二、多选题7．（2022·江苏无锡·模拟预测）定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数”B ．()e xxf x =在()1,2上是“弱减函数”C ．若()ln xf x x=在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤【答案】BCD【解析】对于A ，1y x=在()0,+∞上单调递减，()1y xf x ==不单调，故A 错误；对于B ，()e x xf x =，()1ex x f x -'=在()1,2上()0f x ¢<，函数()f x 单调递减，()2e x x y xf x ==，220e x x x y -'==>，∴y 在()1,2单调递增，故B 正确；对于C ，若()ln xf x x =在(),m +∞单调递减，由()21ln 0x f x x -'==，得e x =，∴e m ≥，()ln y xf x x ==在()0,+∞单调递增，故C 正确；对于D ，()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()sin 20f x x kx '=-+≤在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立min sin 2x k x ⎛⎫⇒≤ ⎪⎝⎭，令()sin xh x x =，()2cos sin x x x h x x -'=，令()cos sin x x x x ϕ=-，()cos sin cos sin 0x x x x x x x ϕ'=--=-<，∴()ϕx 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()()00x ϕϕ<=，∴()0h x '<，∴()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()22h x h ππ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，∴212k k ππ≤⇒≤，()()3cos g x xf x x x kx ==+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()2cos sin 30g x x x x kx =+'-≥在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，∴2maxsin cos 3x x x k x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，令()2sin cos x x x F x x -=，()23cos 2cos 0x x xF x x +'=>，∴()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()22F x F ππ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，∴2233k k ππ≥⇒≥，综上：213k ππ≤≤，故D 正确.故选：BCD.8．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）当121x x <<时，不等式1221e e 0x xx x -<成立．若e e a b >>，则（ ）A ．e 1e e b b -> B ．e e e aa b b +< C ．e ln b a b a < D ．e ln a ab b>【答案】AD【解析】当121x x <<时，不等式12122112e e e e 0x x x x x x x x -<⇔<，令e (),1xf x x x=>，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，因e>1b >，则ee 1e e ()(e)e e e b bf b f b b->⇔>⇔>，A 正确；因e a b >>1，则e e e e ()(e )e e eaa b aa b a f b f b b +>⇔>⇔>，B 不正确；由e e a>知，1a >，有()()e 1e 1e aa f a f a a>⇔>>⇔>，则ln ln 1a a a a >⇔<，由选项A 知，e 1b b>，即e ln e ln b b aa b a b a >⇔>，C 不正确；由e e ab >>得，ln 1b a >>，则ln e e (ln )()e ln ln b aa fb f a ab b b a>⇔>⇔>，D 正确.故选：AD 三、填空题9．（2022·上海长宁·二模）已知函数()f x 满足：()(),01,0xx f x x f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪--<⎩，则不等式()102f x +≥的解集为____．【答案】[)1,-+∞【解析】根据题意可得(),01,01xx x f x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩，且()f x 为奇函数当0x ≥时，()11011xf x x x ==-≥++，则()f x 在[)0,∞+上单调递增∴()f x 在R 上单调递增则()12f x =-，即112x x =--，解得1x =-∴()102f x +≥即()12f x ≥-的解集为1x ≥-故答案为：[)1,-+∞．10．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =②()21x f x x =+；③()e e e e x xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．【答案】③④【解析】对于①，()f x =对于②，()2111x f x x x x==++不单调，不符合题意；对于③，()22222e e e 1e 1221e e e 1e 11e x x x x x x x x x f x ----+-===-++++=单调递增，且()()1,1f x ∈-，则()1f x <，符合题意；对于④，()11e xf x -=+单调递增，且()()0,1f x ∈，则()1f x <，符合题意．故答案为：③④1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x=D ．()f x =【答案】D【解析】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =为R 上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2018·陕西高考真题（理））下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()12f x x = B ．()3f x x = C ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()3xf x =【答案】D 【解析】试题分析：由于x r x r a a a +⋅=，所以指数函数()x f x a =满足()()()f x y f x f y +=+，且当1a >时单调递增，01x <<时单调递减，所以()3xf x =满足题意，故选D ．考点：幂函数、指数函数的单调性．3．（2019·陕西高考真题（理））下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．y x x=【答案】D【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.4．（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．5．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )( )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确．【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．6．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【解析】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.7．(2018北京卷)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】sin y x =（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不唯一．。

评说回归直线方程的方方面面一、两个变量间的相关关系相关关系我们可以从下三个方面加以认识：（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S 与边长x 之间的关系2x S =就是函数关系．即对于边长x 的每一个确定的值，都有面积S 的惟一确定的值与之对应．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系．（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系．然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些．（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化．例如正方形面积S 与其边长x 间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性．而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计．相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度．二、回归分析对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．（2）散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．（3）通过散点图的观察，一般地，若图中数据大致分布在一条直线附近，那么这两个变量近似成线性相关关系．（4）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．三、回归直线方程一般地，设x 与y 具有相关关系的两个变量，且相应于n 组观测值的n 个点（（i x ， i y ），i=1，2，…，n ）大致分布在一条直线的附近，求在整体上与这n 个点最接近的一条直线.记此直线方程为)1(bx a y +=这里在y 的上方加记号“＾”，是为了区分Y 的实际值y ，表示当x 取值i x (),,2,1n i ⋅⋅⋅= 时，Y 相应的观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐是i i bx a y +=.(1)式叫做Y 对x 的回归直线方程，b a ,叫做回归系数．四、求回归直线方程的思想方法在观察散点图特征时，发现各点大致分布在一条直线的附近，画出的直线不止一条类似的直线，而最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征，即为n 个偏差的平方和最小．设所求直线方程为bx a y +=，其中b a ,是待定系数，则i i bx a y+=（i ＝1，2，…，n ） 于是得到各个偏差)(a bx y y y i i i i +-=-（i ＝1，2，…，n ）显见，偏差i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用n 个偏差的平方和∑=--=n i i i a bx y Q 12)(,采用最小二乘法可求出使 Q 为最小值时的a 和b ．∑∑∑∑====--=---=n i in i i i n i i n i i i x n x y x n y x x x y y x x b 1221121)())((， （﹡） x b y a -=，其中∑∑====ni i n i i y n y x n x 1111 五、求回归直线方程的一般步骤为：(1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，用公式（﹡）求出b a ,，并写出回归直线方程． 注:计算b a ,时由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段(如计算器)，认真细致，谨防计算中产生错误．例 在10年期间，～城市居民收入与某种商品的销售额之间的关系见表1．表1(1）画出散点图；（2）如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程；（3）试预测居民年收入50亿元时这种商品的销售额．解题指导:只有散点图大致表现为线性时，求回归直线方程才有实际意义． 解：（1）散点图如下图所示．(2）通过观察散点图可知各点大致分布在一条直线的附近．列出表2，利用计算器进行计算．表2447.110107.37967.146631.397.3799.152021010210122101≈⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=-⋅-=∑∑==i ii i ix x yx y x b 84.1597.37447.11.39-≈⨯-=-=x b y a所以所求回归直线方程为:84.15447.1-=x y（3）根据上面求得的回归直线方程，当居民年收入50亿元时 51.5684.1550447.1=-⨯=y (万元) 即这种商品销售额大约为56.l 万元． 评述与反思：计算b a ,时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算错误产生误差．。