7.8 机械能守恒定律

第八节 机械能守恒定律一、动能与势能及相互转化1、机械能：物体动能和势能之和统称为物体的机械能。

2、表达式：E E E P K =+①重力势能：Ep=mgh ，WG=-△Ep 。

②弹性势能：221kx E P =，Wk=-△Ep 。

③动能：221mv E P =，Wk=-△Ek 。

3、理解说明：①机械能为系统所有。

②机械能为一状态量。

③机械能为一标量，有正负之分，正负表示大小。

④机械能为一相对量，其大小与参考平面和参考系的选取有关。

4、注意：描述机械能时，无特殊说明，选地面为参考系和参考平面。

5、相互转化情况：①动能与重力势能间的转化：只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能，若重力做负功，则动能转化为重力势能，转化过程中，动能与重力势能之和保持不变．②动能与弹性势能间的转化：被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做正功，弹性势能转化为动能．二、机械能守恒定律1、内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．。

2、表达式：①E k2－E k1＝E p1－E p2，即ΔE k 增＝ΔE p 减．（转化）②E k2＋E p2＝E k1＋E p1.（转移）③E 2＝E 1.（前后）3、条件：只有重力做功、弹簧弹力做功。

W 其=0①机械能守恒的条件不是F 合为零。

②只受重力仅仅是机械能守恒的一种情况。

条件不仅仅是只受重力，也可以受到其它力，但其它力不做功或做功为零。

③机械能守恒也可以受到其它力，但其它力不做功或做功为零。

4、判断机械能守恒的方法：①条件法。

②能量分析法。

三、机械能守恒定律的应用1、应用机械能守恒方法步骤：①确定研究对象②确定研究过程③判断机械能是否守恒（如不守恒，用定能定理）。

④恰当选择参考系和零势能为参考平面，并确定研究对象的初末状态。

⑤根据机械能守恒定律列方程。

2、机械能守恒定律的一般格式：①E k2－E k1＝E p1－E p2，即ΔE k 增＝ΔE p 减．（转化）②E k2＋E p2＝E k1＋E p1.（转移）③E 2＝E 1.（前后）3、例题1：质量均为m 、长度为2L 和3L解：法一（机械能守恒） )2(2121022L mg mv mgL mv B A +++=法二（机械能守恒） 222121)2(B A mv mv mgL L mg +=- 法三（机械能守恒） [⎥⎦⎤+-=+2221)2(21B A mv L mg mv mgL法四（动能定理） 222121)2(B A mv mv mgL L mg +=-例题2：弹簧小球模型中机械能的守恒分析①区别：小球机械能②区别：小球和弹簧组成的系统的机械能 四、机械能不守恒分析结论：除重力（弹簧弹力）之外的其它力做功，机械能不守恒。

《7.8机械能守恒定律》的应用机械能守恒定律：在只有重力或弹力对物体做功的物体系统内，动能和势能可以发生相互转化，而机械能的总量保持不变。

定律的适用条件：①物体虽然受到除重力以外的其它力作用，但只有重力（或者弹簧的弹力）对物体做功，其它力对物体不做功②物体受到除重力以外的其它力作用，而且其它力也做功，但除重力以外的其它力对物体做的功的代数和为零判断机械能是否守恒的方法：(1)确定好研究对象和研究范围(哪个系统?哪一段物理过程?思想上一定要明确)。

(2)分析系统所受各力的情况及各力做功的情况(不能漏掉任何一个做功因素)。

(3)在下列几种情况下，系统机械能守恒①物体只受重力或弹簧弹力作用；②只有系统内的重力或弹簧弹力做功，其他力均不做功；③虽有多个力做功，但除系统内的重力或弹簧弹力以外的其他力做功的代数和为零；④系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式能之间的转化。

应用机械能守恒定律解题的一般步骤：(1)确定研究对象(2)对研究对象进行正确的受力分析(3)判定各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件(4)视解题方便选取零势能参考平面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能。

(5)根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解。

典型例题剖析：类型一：单个物体机械能守恒定律的应用：【1】用一根长l的细线，一端固定在项板上，另一端拴一个质量为m的小球。

现使细线偏离竖直方向α角后，从A处无初速地释放小球(如图)，试问：(1)小球摆到最低点O时的速度?(2)小球摆到左方最高点的高度(相对最低点)?(3)若在悬点正下方P处有一钉子，O′P=l／3，则小球碰钉后，向左摆动过程中能达到的最大高度有何变化?类型二：多个物体组成的系统机械能守恒问题【2】如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角θ=30°,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮,一柔软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块的A和B连接,A 的质量为4m,B的质量为m,开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B 上升.物块A与斜面间无摩擦,设当A沿斜面下滑s距离后,细线突然断了,求物块B上升的高度H.类型三：与弹簧相关联物体的机械能守恒问题【3】如图所示，质量为m1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k ，A、B 都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩，不计绳与滑轮间的摩擦，开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向，现在挂钩上挂一质量为m3的物体C 并从静止开始释放，恰好能使物块B离开地面，但不继续上升。

高中物理：7.8机械能守恒定律详解机械能包括动能；重力势能；弹性势能。

在不牵涉到弹力做功的情况下，物体所具有的机械能就是动能和重力势能的和。

1机械能守恒的应用分为两种情况：判断一个物体的机械能是否守恒有两种方法：（1）物体在运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒。

（2）物体在运动过程中不受媒质阻力和摩擦阻力，物体的机械能守恒。

四类题型（1）阻力不计的抛体类包括竖直上抛；竖直下抛；斜上抛；斜下抛；平抛，只要物体在运动过程中所受的空气阻力不计。

那么物体在运动过程中就只受重力作用，也只有重力做功，通过重力做功，实现重力势能与机械能之间的等量转换，因此物体的机械能守恒。

（2）固定的光滑斜面类在固定光滑斜面上运动的物体，同时受到重力和支持力的作用，由于支持力和物体运动的方向始终垂直，对运动物体不做功，因此，只有重力做功，物体的机械能守恒。

（3）固定的光滑圆弧类在固定的光滑圆弧上运动的物体，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始终沿圆弧的法线方向而和物体运动的速度方向垂直，对运动物体不做功，故只有重力做功，物体的机械能守恒。

（4）悬点固定的摆动类和固定的光滑圆弧类一样，小球在绕固定的悬点摆动时，受到重力和拉力的作用。

由于悬线的拉力自始至终都沿法线方向，和物体运动的速度方向垂直而对运动物体不做功。

因此只有重力做功，物体的机械能守恒。

系统的机械能守恒由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，要看两个方面（1）系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统的机械能就减少。

不做功，系统的机械能就不变。

（2）系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。

系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能系统间的相互作用力分为三类①刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等。

② 弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。

7.8 机械能守恒定律【学习目标】1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化．2．会正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件．3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能列出机械能守恒的方程式。

4.学会在具体的问题中判定物体的机械能是否守恒．【知识梳理】知识点一机械能的概念及理解1．定义：物体由于做机械运动而具有的能叫机械能，用符号E表示，它是动能和势能(包括重力势能和弹性势能)的统称．2．表达式：E＝E k＋E p.机械能是标量，没有方向，只有大小，可有正负(因势能可有正负)．3．机械能具有相对性因为势能具有相对性(需确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是地面)，所以机械能也具有相对性．只有在确定的参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义．知识点二机械能守恒定律1．理论推导如图所示：物体沿光滑曲面下滑，某时刻处于位置A时，它的动能为E k1，重力势能为E p1，总机械能E1＝E k1＋E p1.运动到位置B时，它的动能是E k2，重力势能为E p2，总机械能是E2＝E k2＋E p2.由动能定理知，由A到B的过程中，只有重力做功，所以重力所做的功W G＝mg(h1－h2)，由重力做的功与重力势能的关系知W G＝E p1－E p2，所以有E k2－E k1＝E p1－E p2，即E k1＋E p1＝E k2＋E p2，即E1＝E2.说明在只有重力做功的情况下，不论物体做直线运动还是曲线运动(如平抛运动、斜抛运动等)，机械能都守恒．2．守恒条件物体系统内只有重力或弹力做功(其他力不做功)，机械能守恒．对于该条件可具体理解如下：(1)系统内部只有重力或弹力做功，而没有内部摩擦力和其他内力(如炸弹爆炸时的化学物质的作用力等)做功，即系统内部除发生重力势能或弹性势能与动能的相互转化之外，不会引起发热、发光或化学反应等非力学现象的产生．(2)没有任何外力对系统做功，包括以下三种情况：①系统不受外力．②系统受外力，但所有外力均不做功．③系统受外力，而且外力做功，但外力做功的代数和为零．知识点三机械能守恒定律的应用1.机械能守恒定律的表达式及举例表达方式说明注意点举例方程E k1＋E p1＝E k2＋E p2初状态Ⅰ的机械能等于末状态Ⅱ的机械能需选择一合适的参考面mgh1＋12m v21＝mg·2R＋12m v22ΔE k＝－ΔE p物体减少的势能等于增加的动能从初状态Ⅰ到末状态Ⅱ的过程中12m v22－12m v21＝mgh1－mgh2ΔE a＝－ΔE b 将一个系统分为两部分，一部分增加的机械能等于另一部分减少的机械能①单就某一部分机械能不守恒②从状态Ⅰ到状态Ⅱ的过程中(12m2v22－12m2v21)－m2gh＝－(m1gh＋12m1v22－12m1v21)2.应用机械能守恒定律列方程的两条基本思路(1)守恒观点始态机械能等于终态机械能，即：E k1＋E p1＝E k2＋E p2.(2)转化或转移观点①动能(或势能)的减少量等于势能(或动能)的增加量，即：E k1－E k2＝E p2－E p1.②一个物体机械能的减少(或增加)量等于其他物体机械能的增加(或减少)量，即：E A1－E A2＝E B2－E B1.3．应用机械能守恒定律解题的步骤(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．(3)恰当的选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程.知识深入1.判断机械能是否守恒的方法有哪些？(1)做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析．若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒．(2)能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析．若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．(3)增减情况分析法：直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析．若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒．2．动能定理和机械能守恒定律有什么区别呢？【典例精析】一、机械能守恒的判定例1 下列物体中，机械能守恒的是( ) A ．做平抛运动的物体B ．被匀速吊起的集装箱C ．光滑曲面上自由运动的物体D ．物体以45g 的加速度竖直向上做匀减速运动二、机械能守恒定律的应用例2 如图所示，在水平台面上的A 点，一个质量为m 的物体以初速度v 0被抛出，不计空气阻力，求它到达B 点时速度的大小．三、应用机械能守恒定律解决物体系统问题例3 如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H ，斜面顶点上有一定滑轮，物块A 和B 的质量分别为m 1和m 2，通过轻而柔软的细绳连结并跨过定滑轮．开始时两物块都位于与地面垂直距离为12H 的位置上，释放两物块后，A 沿斜面无摩擦地上滑，B 沿斜面的竖直边下落．若物块A 恰好能达到斜面的顶点，试求m 1和m 2的比值．滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计．方法总结由两个或两个以上物体组成的系统中，虽然每个物体的机械能不守恒，但若系统的总机械能守恒，仍可对系统用机械能守恒定律求解. 四、几个功能关系的理解例4 质量为m 的物体，从静止开始以2g 的加速度竖直向下运动h 高度，下列说法中正确的是( )A ．物体的重力势能减少2mghB ．物体的机械能保持不变C ．物体的动能增加2mghD ．物体的机械能增加mgh方法总结1．重力做功等于重力势能的变化．2．合外力做的功等于动能的变化．3．重力(或弹力)以外的其他力做的功等于机械能的变化.【课堂达标】1.关于机械能守恒，下列说法正确的是()A．物体匀速运动，其机械能一定守恒B．物体所受合外力不为零，其机械能一定不守恒C．物体所受合外力做功不为零，其机械能一定不守恒D．物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动，其机械能减少2．如图所示，在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有()A．力F所做功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量B．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量C．力F、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱动能的增量D．力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量3.如图所示，某人以拉力F将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，则下列说法中正确的是()A．物体做匀速运动B．合力对物体做功等于零C．物体的机械能守恒D．物体的机械能减小4．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是()5．如图所示，翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H＝72 m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h＝37 m．不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A点由静止开始下滑运动到B 点时的速度．(g取10 m/s2)6．某人站在离地面h＝10 m高处的平台上以水平速度v0＝5 m/s 抛出一个质量m＝1 kg的小球，不计空气阻力，g取10 m/s2，问：(1)人对小球做了多少功？(2)小球落地时的速度为多大？7.如图所示，光滑的水平轨道与光滑半圆轨道相切，圆轨道半径R＝0.4 m．一个小球停放在水平轨道上，现给小球一个v0＝5 m/s的初速度，求：(g取10 m/s2)(1)小球从C点飞出时的速度．(2)小球到达C点时，对轨道的作用力是小球重力的几倍？(3)小球从C点抛出后，经多长时间落地？(4)落地时速度有多大？【参考答案】【典例精析】例1 解析 物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以A 、C 项正确；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以45g 的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律F －mg ＝m (－45g )，有F ＝15mg ，则物体受到竖直向上的大小为15mg 的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒． 答案 AC例 2 解析 物体抛出后的运动过程中只受重力作用，机械能守恒，若选地面为参考面，则mgh ＋12m v 20＝mg (H －h )＋12m v 2B 解得v B ＝v 20＋2gh 若选桌面为参考面，则 12m v 20＝－mgh ＋12m v 2B解得它到达B 点时速度的大小为 v B ＝v 20＋2gh 答案v 20＋2gh例3 解析 设B 刚下落到地面时速度为v ，由系统机械能守恒得 m 2g H 2－m 1g H 2sin 30°＝12(m 1＋m 2)v 2①A 物体以v 上滑到顶点过程中机械能守恒 12m 1v 2＝m 1g H2sin 30°② 由①②得m 1m 2＝1∶2答案 1∶2例4 解析 因重力做了mgh 的功，由重力做功与重力势能变化关系可知重力势能减少mgh ，合力做功为2mgh ，由动能定理可知动能增加2mgh ，除重力之外的力做功mgh ，所以机械能增加mgh ，A 、B 错，C 、D 对． 答案 CD 【课堂达标】1.答案 D2.答案 BCD解析 对木箱受力分析如右图所示，则由动能定理：W F －mgh －W f ＝ΔE k ，故C 对．由上式得：W F －W f ＝ΔE k ＋mgh ，即W F －W f ＝ΔE k ＋ΔE p ＝ΔE ，故A 错，D 对． 由重力做功与重力势能变化关系知B 对，故B 、C 、D 对． 3.答案 C 4.答案 C解析 依据机械能守恒条件：只有重力做功的情况下，物体的机械能才能保持守恒，由此可见，A 、B 均有外力F 参与做功，D 中有摩擦力做功，故A 、B 、D 均不符合机械能守恒的条件．5.答案 26.5 m/s解析 取水平地面为参考平面，在过山车从A 点运动到B 点的过程中，对过山车与地球组成的系统应用机械能守恒定律，有mgh ＋12m v 2＝mgh可得过山车运动到B 点时的速度为v ＝2g (H －h )＝2×10×(72－37) m/s≈26.5 m/s 6.答案 (1)12.5 J (2)15 m/s解析 (1)人对小球做的功等于小球获得的动能，所以W ＝12m v 20＝12×1×52 J ＝12.5 J (2)根据机械能守恒定律可知mgh ＋12m v 20＝12m v 2 所以v ＝v 20＋2gh ＝52＋2×10×10 m/s ＝15 m/s 7.答案 (1)3 m/s (2)1.25倍 (3)0.4 s (4)v 0解析 (1)小球运动至最高点C 过程中机械能守恒，有12m v 20＝2mgR ＋12m v 2C v C ＝v 20－4gR ＝52－4×10×0.4 m/s ＝3 m/s(2)对C 点由向心力公式可知F N ＋mg ＝m v 2CRF N ＝m v 2CR－mg ＝1.25mg由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为小球重力的1.25倍． (3)小球从C 点开始做平抛运动 由2R ＝12gt 2知t ＝4R g＝ 4×0.410s ＝0.4 s (4)由于小球沿轨道运动及做平抛运动的整个过程机械能守恒，所以落地时速度大小等于v 0.。