5-1反比例函数

反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k 是常数，且k 不为零；（2）x k中分母x 的指数为1，如22y x=不是反比例函数。

（3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数.（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。

知识点2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数xky =的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。

它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。

反比例函数的性质xky =)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： （1）其图象的位置是：当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。

（2）若点(m,n)在反比例函数xky =的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。

（3）当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式xky =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入xky =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。

第19讲 反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式；2.反比例函数的图象和性质；3.反比例面数与方程及不等式；4.反比例函教与神奇的几何性质；5.反比例函数与直线y ＝a 或x ＝a ；6.反比例函数与全等相似；7.反比例函数与图形变换；8.反比例函数与定值及最值。

【板块一】反比例函数的定义和解析式 方法技巧 根据定义解题1.定义：一般地，形如ky x=（k 为常数，k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式：ky x=（k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）或1y kx -= （k ≠0）. 题型一根据定义判断反比例函数【例1】下列函数：①2x y =；@2y x =；③y =12y x =；⑤12y x =+；⑥12y x =- ；⑦2xy =； ⑧12y x -=；⑨22y x = .其中y 是x 的反比例函数的有 （填序号）.【解析】②③④⑦⑧.题型二根据定义确定k 值或解析式 【例2】（1）反比例函数32y x =- ，化为ky x=的形式，相应的k ＝ ； （2）函数ky x =中，当x ＝2时，y ＝3，则函数的解析式为 【解析】（1）32- ；（2）6y x=.题型三根据定义确定待定系数的值【例3】（1）如果函数2+1m y x = 是关于x 的反比例函数，则m 的值为 （2）若函数()252m y m x -=+ （m 为常数）是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。

【解析】（1）－1；（2）m ＝2，y ＝4x .针对练习11.下列函数中，为反比例函数的是（B ）A . 3x y =B . 13y x =C . 13y x =-D .21y x=答案：B2.反比例函数y ＝一化为ky x=的形式后，相应的k ＝答案： 3.若关于x 的函数()2274mm y m x --=- 是反比例函数，求m 的值答案：3.【板块二】反比例函数的图象和性质 式抓住反比例函数的性质并结合图象解题 一般地，对于反比例函数()0ky k x=≠，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现： 1.图象分布当k ＞0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k ＜0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。

反比例函数知识点总结一.反比例函数的概念1.概念：一般地，函数x k y =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

注意：(1)比例系数k ≠0是反比例函数的定义的重要部分;(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y 均不等于0;(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,反之,则不一定成立例1 给出的六个关系式:①x(y+1);②22+=x y ;③21x y =; ④x 21y =;⑤2x y =;⑥x3-y =.其中y 是x 的反比例函数的是 ( ) A.①②③④⑥ B.③⑤⑥ C.①②④ D.④⑥ 例2 若函数()321--+=m m x m y 是y 关于x 的反比例函数,则m= .例3 关于正比例函数x 31-y =和反比例函数x31-y =的说法正确的是 ( ) A.自变量x 的指数相同 B.比例系数相同C.自变量x 的取值范围相同D.函数y 的取值范围相同2.易错点解析 漏掉k ≠0这一条件解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k ≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.例4已知函数()2k -8x 3-k y =为反比例函数,则k= .二.反比例函数的图像和性质1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2.反比例函数的性质反比例函数 )0(≠=k xk y k 的符号 k>0 k<0图像性质 ①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

第十七章反比例函数小结昆明市实验中学初二（５）班陈璇Ⅰ、本章知识结构框图：Ⅱ、本章知识点：１、反比例函数的概念：一般地，形如ｙ＝（ｋ是常数，ｋ≠０）的函数叫做反比例函数。

注意：（１）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的左边是函数y，右边是分母为自变量x的分式。

也就是说，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式。

（２）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为０的常数，因此可以写成ｙ＝ｋｘ或ｘｙ＝ｋ的形式。

（３）反比例函数中，两个变量成反比例关系。

（４）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的自变量ｘ是不等于０的任意实数。

２、反比例函数的图象：反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象是双曲线。

注意：（１）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的两个分支时断开的。

（２）当ｋ＞０时，两个分支位于第一、三象限；当ｋ＜０时，两个分支位于第二、四象限。

（３）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象的两个分支关于原点对称。

（４）反比例函数的图象与ｘ轴、ｙ轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为ｘ≠０，ｙ≠０。

３、反比例函数解析式的确定：因为反比例函数的解析式ｙ＝（ｋ≠０）中，只有一个系数ｋ，确定了ｋ的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组ｘ、ｙ的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式。

４、反比例函数的性质：反比例函数的性质与ｋ的符号有关，反比例函数的性质如下表所示：注意：（１）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数ｋ的符号决定的。

反过来，有双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出ｋ的符号。

（２）反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论；当ｋ＞０时，在每一象限（第一、三象限）ｙ随ｘ的增大而减小，但不能笼统地说：当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而减小，同样，当ｋ＜０时，在每一象限（第二、四象限）ｙ随ｘ的增大而增大，也不能笼统地说：当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而增大。

５、反比例函数ｙ＝（ｋ≠０）中比例系数ｋ的几何意义：反比例函数中比例系数ｋ的几何意义：如图所示，过双曲线上任意一点Ｐ作ｘ轴、ｙ轴的垂涎ＰＮ、ＰＭ，所得矩形ＰＭＯＮ的面积Ｓ＝ＰＭ·ＰＮ＝︱ｘ︱·︱ｙ︱＝︱ｘｙ︱＝︱ｋ︱。

高中数学必修1反比例函数的基本性质1. 定义反比例函数是一种特殊的函数，其函数规律可以表示为：$y = \dfrac{k}{x}$，其中 $k$ 是一个非零常数，$x$ 和 $y$ 分别表示自变量和因变量。

2. 定义域和值域由于反比例函数中分母 $x$ 不能为零，所以其定义域为所有实数除了 $0$，即 $D: \{x | x \neq 0\}$。

对于因变量 $y$，它可以取任何实数，所以值域为 $R: \{y | y \in \mathbb{R}\}$，即所有实数。

3. 图像特点- 当自变量 $x$ 取正值时，因变量 $y$ 取正值，二者正相关。

- 当自变量 $x$ 取负值时，因变量 $y$ 取负值，二者正相关。

- 当自变量 $x$ 取值趋近于零时，因变量 $y$ 的绝对值趋近于无穷大，即反比例函数在 $x=0$ 处没有定义。

4. 主要性质- 反比例函数的图像总经过第一象限和第三象限的第一、第三象限。

- 反比例函数的图像是关于原点对称的。

- 反比例函数的图像位于横轴上方和下方的同侧。

- 反比例函数在直线 $x=0$ 上有一个垂直渐近线。

5. 例题例题1已知反比例函数 $\displaystyle y = \frac{8}{x}$，求当 $x =2$ 时的对应值 $y$。

解：将 $x = 2$ 代入反比例函数的表达式，得到 $y = \frac{8}{2} = 4$。

因此，当 $x = 2$ 时，$y = 4$。

例题2若反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的自变量 $x$ 增加 $2$，对应的因变量 $y$ 变化多少？解：由反比例函数的表达式可知，当自变量 $x$ 增加 $2$ 时，对应的因变量 $y$ 变化为 $\frac{5}{x+2} = \frac{5}{x} \times\frac{1}{1+\frac{2}{x}}$。

因此，对应的因变量 $y$ 变化的比例为$\frac{1}{1+\frac{2}{x}}$。

九年级上册数学第5章反比例函数『一』 ．知识归纳：● 知识点1 反比例函数的概念1．xky =（0≠k ）可以写成1-=kx y （0≠k ）的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关自变量指0≠k 数问题时应特别注意系数0≠k 这一限制条件；2．xky =（0≠k ）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数xky =的自变量0≠x ，故函数图象与x 轴、y 轴无交点． ● 知识点2 反比例函数的图象在用描点法画反比例函数xky =的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．● 知识点3 反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：xky =（0≠k ） 2．自变量的取值范围：0≠x3．图象：（1）图象的形状：双曲线．k 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．k 越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当0>k 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0<k 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则),(b a --在双曲线的另一支上．图象关于直线x y ±=对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则),(a b 和),(a b --在双曲线的另一支上．4．k 的几何意义如图1，设点P （a ，b ）是双曲线xky =上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO 和三角形PBO 的面k 21）． 积都是如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为k 2．5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线x k y 1=与双曲线xk y 2=的关系： 当021<k k 时，两图象没有交点；当021>k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．●知识点4 实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． ● 知识点5 充分利用数形结合的思想解决问题． 『二』典型例题解析★例题解析1 反比例函数的概念图2（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）．A ．y=3xB ．x y 23=-C ．3xy=1D ．22x y = （2）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）． A ．x y 41=B ．21x y -=C ．21-=x y D ．x y 11+= 答案：（1）C ；（2）A ．★例题解析2 图象和性质 （1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数xaby =的图象位于第________象限．（3）若反比例函数xk y =经过点（-1，2），则一次函数2+-=kx y 的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a ·b ＜0，点P （a ，b ）在反比例函数xay =的图象上， 则直线b ax y +=不经过的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （5）若P （2，2）和Q （m ，2m -）是反比例函数xky =图象上的两点， 则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 （6）已知函数)1(-=x k y 和xky -=（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ． 答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C ；（5）C ；（6）B ．★例题解析3 函数的增减性 （1）在反比例函数)0(<=k xky 的图象上有两点),(),,(2211y x B y x A ，且021>>x x ，则21y y -的值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（2）在函数xa y 12--=（a 为常数）的图象上有三个点),1(1y -，),41(2y -，),21(3y ，则函数值1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）．A ．2y ＜3y ＜1yB ．3y ＜2y ＜1yC ．1y ＜2y ＜3yD ．2y ＜1y ＜3y （3）下列四个函数中：①x y 5=；②x y 5-=；③x y 5=；④xy 5-=． y 随x 的增大而减小的函数有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 （4）已知反比例函数xky =的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）． 答案：（1）A ；（2）D ；（3）B ． ★例题解析4 解析式的确定（1）若y 与x 1成反比例，x 与z1成正比例，则y 是z 的（ ）． A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数D ．不能确定（2）若正比例函数y=2x 与反比例函数xky =的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数xm y 2=的图象经过点），（8-2-，反比例函数x m y =的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m 与反比例函数xm y 1+=（1≠m ）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室； ③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B ； （2）4，8，（2-，4-）； （3）依题意，且，解得．（4）①依题意，⎩⎨⎧>+==+;013300m x m x 解得⎩⎨⎧==210m x②一次函数解析式为2+=x y ,，反比例函数解析式为xy 3=． （5）①x y 43=，80≤≤x ，)8(48>=x xy ； ②30；③消毒时间为1025.13433-348>=⨯（分钟），所以消毒有效． ★例题解析5 面积计算 （1）如图，在函数xy 3-=的图象上有三个点A 、B 、C ，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为S 1、S 2、S 3，则（ ）． A ．321s s s >>B ．S 1<S 2<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 1=S 2=S 3第（1）题图 第（2）题图 （2）如图，A 、B 是函数xy 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC//y 轴，BC//x 轴，△ABC 的面积S ，则（ ）．A ．S=1B ．1＜S ＜2C ．S=2D ．S ＞2（3）如图，Rt △AOB 的顶点A 在双曲线xmy =上，且S △AOB=3，求m 的值．第（3）题图 第（4）题图 （4）已知函数xy 4=的图象和两条直线y=x ，y=2x 在第一象限内分别相交于P 1和P 2两点，过P 1分别作x 轴、y 轴的垂线P 1Q 1，P 1R 1，垂足分别为Q 1，R 1，过P 2分别作x 轴、y 轴的垂线P 2 Q 2，P 2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P 1 R 1和O Q 2P 2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx （k ＞0）和反比例函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴垂线交x 轴于B ，连接BC ，若△ABC 面积为S ，则S=_________．（6）如图在Rt △ABO 中，顶点A 是双曲线xky =与直线)1(++-=k x y 在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且S △ABO=23．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．（7）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数x k y =（k ＞0，x ＞0）的图象上，点P （m ，n ）是函数xky =（k ＞0，x ＞0）的图象上任意一点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ，设矩形OEPF 在正方形OABC 以外的部分的面积为S ． ① 求B 点坐标和k 的值；第5题图第6题图② 当29=S 时，求点P 的坐标； ③ 写出S 关于m 的函数关系式．答案：（1）D ； （2）C ；（3）6；（4）)22(1，P ，)222(2，P ，矩形O Q 1P 1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为26，前者大． （5）1．（6）①双曲线为xy 3-=，直线为2--=x y ；②直线与两轴的交点分别为（0，-2）和（-2，0），且A （1，-3）和C （-3，1）， 因此AOC ∆面积为4． （7）①B （3，3），9=k ；②29=S 时，E （6，0），），（236P ； ③mn S 22793219-=⋅⋅-=．★例题解析5 综合应用（一）（1）若函数y=k1x （k1≠0）和函数)0(22≠=k xk y 在同一坐标系内的图象没有公共点，则k 1和k 2（ ）．A ．互为倒数B ．符号相同C ．绝对值相等D ．符号相反 （2）如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例数xmy =的图象交于A 、B 两点：A （-2，1），B （1，n ）．① 求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数b kx y +=（k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数xmy =（m ≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．① 求点A 、B 、D 的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数b ax y +=的图象与反比例函数xky =的图象交于第一象限C 、D 两点，坐标轴交于A 、B 两点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）． ① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值；② 双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数． ①041=+x x ； ②041=-x x．答案： （1）D ．（2）① 反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A （0，），B （0，1），D （1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．『三』衔接中考：考题1:2013年潍坊市）设点()11,y x A 和()22,y x B 是反比例函数xky =图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，则一次函数k x y +-=2的图象不经过的象限是（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：A ．考题2:（2013泸州）如图、已知双曲线()0ky k x=<经过直角三角形△OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ，若点A 的坐标为（—6，4），则△AOC 的面积为 A 、12 B 、9 C 、6 D 、4考题3:(2013年南京)在同一直线坐标系中，若正比例函数y =k 1x 的图像与反比例函数y = k 2x 的图像没有公共点，则(A) k 1+k 2<0 (B) k 1+k 2>0 (C) k 1k 2<0 (D) k 1k 2>0 答案：C考题4:（2013•衢州）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜﹣2 B ． m ＜0 C ． m ＞﹣2 D ． m ＞0答案：A ．考题5:（2013•滨州）若点A （1，y 1）、B （2，y 2）都在反比例函数的图象上，则y 1、y 2的大小关系为（ ） A ． y 1＜y 2 B ． y 1≤y 2 C ． y 1＞y 2 D ． y 1≥y 2考题6:（2013•宁夏）函数（a ≠0）与y=a （x ﹣1）（a ≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：C ．考题5:（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D考题6:（2013•毕节地区）一次函数y=kx+b （k ≠0）与反比例函数的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k 、b 的取值范围是（ ）A ． k ＞0，b ＞0B ． k ＜0，b ＞0C ． k ＜0，b ＜0D ． k ＞0，b ＜0答案：C考题7:（2013•莱芜）M（1，a）是一次函数y=3x+2与反比例函数图象的公共点，若将一次函数y=3x+2的图象向下平移4个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5），（）．考题8:已知一个函数的图象与y=6x的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为y=﹣6x．考题9:（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=4，S n=．（用含n的代数式表示）考题10:（2013•眉山）如图，在函数y1=（x＜0）和y2=（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度=．考题11:（2013•雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）答案：解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，∵C的坐标为（﹣2，0），A的坐标为（n，6），∴AD=6，CD=n+2，∵tan∠ACO=2，∴==2，解得：n=1，故A（1，6），∴m=1×6=6，∴反比例函数表达式为：y=，又∵点A、C在直线y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的表达式为：y=2x+4；（2）由得：=2x+4，解得：x=1或x=﹣3，∵A（1，6），∴B（﹣3，﹣2）；（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，即点E与点D重合，此时E1（1，0）；②当EA⊥AC时，此时△ADE∽△CDA，则=，DE==12，又∵D的坐标为（1，0），∴E2（13，0）．考题12:（2013•嘉兴）如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？解答：解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1，∴一次函数解析式为y=x+1；将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2，∴反比例解析式为y=；（2）设一次函数与x轴交于D点，令y=0，求出x=﹣1，即OD=1，∴A（1，2），∴AE=2，OE=1，∵N（3，0），∴到B横坐标为3，将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反比例解析式得：y=，∴B（3，4），即ON=3，BN=4，C（3，），即CN=，则S△ABC=S△BDN﹣S△ADE﹣S梯形AECN=×4×4﹣×2×2﹣×（+2）×2=．考题13:（2013•湖州压轴题）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF 上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过点A作AH⊥OB于H，∵sin∠AOB=，OA=10，∴AH=8，OH=6，∴A点坐标为（6，8），根据题意得：8=，可得：k=48，∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，∵sin∠AOB=，∴AH=a，OH=a，∴S△AOH=•aa=a2，∵S△AOF=12，∴S平行四边形AOBC=24，∵F为BC的中点，∴S△OBF=6，∵BF=a，∠FBM=∠AOB，∴FM=a，BM=a，∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，∵点A，F都在y=的图象上，∴S△AOH=k，∴a2=6+a2，∴a=，∴OA=， ∴AH=，OH=2，∵S 平行四边形AOBC =OB •AH=24， ∴OB=AC=3， ∴C （5， ）；（3）存在三种情况：当∠APO=90°时，在OA 的两侧各有一点P ，分别为：P 1（，），P 2（﹣，）， 当∠PAO=90°时，P 3（， ）， 当∠POA=90°时，P 4（﹣，）．『四』课堂练习： ▼（一）基础类型：1. 1下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x=；其中是y 关于x 的反比例函数的有：__④__⑥_____________。

《反比例函数》章末提升试题一．选择题1．反比例函数y=﹣中常数k为（）A．﹣3B．2C．﹣D．﹣2．函数y=﹣图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），若y1＜y2＜0，则下列关于x1、x2的大小关系正确的是（）A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．无法确定3．若反比例函数y=图象经过点（5，﹣1），该函数图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限4．在同一坐标系中函数y=kx和y=的大致图象必是（）A．B．C．D．5．如图，平行四边形ABCD中，点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，点D在y轴上，点B、点C在x轴上．若平行四边形ABCD的面积为10，则k的值是（）A．﹣10B．﹣5C．5D．106．如图，A、B是双曲线y=（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、3a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=3．则k的值为（）A．2B．1.5C．4D．67．如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点B的坐标为（4，6），则△AOC的面积为（）A．3B．6C．9D．129．已知直线y=x与函数y=（k≠0）图象的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的纵坐标是（）A．2B．C．﹣D．﹣210．如图，点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD=2：1，S△ADC=．则k的值为（）A．B．16C．D．10二．填空题11．如图，点A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x 轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S=．△AOC12．若正比例函数y=﹣x的图象与反比例函数y=（k≠）的图象有公共点，则k 的取值范围是13．如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=．14．如图，△ABC是等边三角形，顶点C在y轴的负半轴上，点A（1，），点B在第一象限，经过点A的反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过顶点B，则△ABC的边长为．15．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（4，2），BO=4，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为．16．如图：M为反比例函数y=图象上一点，MA⊥y轴于A，S△MAO=4时，k=．17．如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB交于点D，连接OD，若点B的坐标为（2，3），则△OAD的面积为．三．解答题18．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．19．如图，已知A（﹣4，a），B（﹣1，2）是一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=（m＜0）图象的两个交点，AC⊥的值．（2）根据图象直接回答：在第二象限内，当y1＞y2时，x的取值范围是．（3）若P是线段AB上的一点，连接PC，若△PCA的面积等于，求点P坐标．20．如图，已知平行四边形OBDC的对角线相交于点E，其中O（0，0），B（3，4），C（m，0），反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点E恰好落在反比例函数y=上，求平行四边形OBDC的面积．21．如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．22．已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是ycm，宽是10cm，高是xcm．（1）写出y与时，求y的值．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：反比例函数y=﹣中常数k为﹣，故选：D．2．解：∵函数y=﹣中，k=﹣2，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，又∵A（x1，y1）和B（x2，y2）中y1＜y2＜0，∴点A和点B在第四象限，∴x1＜x2，故选：C．3．解：∵反比例函数y=的图象经过点（5，﹣1），∴k=5×（﹣1）=﹣5＜0，∴该函数图象在第二、四象限．故选：D．4．解：在同一坐标系中函数y=kx和y=的大致图象必是，故选：C．5．解：作AE⊥BC于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，∴四边形ADOE为矩形，∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，而S矩形ADOE=|﹣k|，∴|﹣k|=10，∵k＜0，∴k=﹣10．故选：A．6．解：如图，分别过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BG⊥y轴于点G，BE ⊥x轴于点E，∵k＞0，点A是反比例函数图象上的点，∴S△AOD=S△AOF=|k|，∵A、B两点的横坐标分别是a、3a，∴AD=3BE，∴点B是AC的三等分点，∴DE=2a，CE=a，∴S△AOC=S梯形ACOF﹣S△AOF=（OE+CE+AF）×OF﹣|k|=×5a×﹣|k|=3，解得k=1.5．故选：B．7．解：作DH⊥OA于H．∵B（4，6），OD=DB，∴D（2，3），∴S△ODH=×2×3=3，∵S△AOC=S△ODH=，∴S△AOC=3，故选：A．8．解：A、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＞0，根据一次函数图象可得﹣k＞0，则k＜0，则选项错误；B、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＞0，根据一次函数图象可得﹣k＞0，则k＜0，则选项错误；C、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＜0，根据一次函数图象可得﹣k＜0，则k＞0，则选项错误；D、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＞0，根据一次函数图象可得﹣k＜0，则k＞0，故选项正确．故选：D．9．解：把x=4代入y=x，可得y=2，即一个交点的坐标为（4，2），∵直线y=x与函数y=（k≠0）图象的两个交点关于原点对称，∴另一个交点为（﹣4，﹣2），∴另一个交点的纵坐标是﹣2，故选：D．10．解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．∵BC：CD=2：1，S△ADC=，∴S△ACB=，∵OA=AB，∴B（2m，2n），S△AOC=S△ACB=，∵A、C在y=上，BC=2CD，∴C（m，n），∵S△AOC=S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF=S梯形AEFC，∴•（n+n）×m=，∴mn=16，故选：B．二．填空题（共7小题）11．解：∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD=BD•CD=3，即CD=3，∵C（2，0），即OC=2，∴OD=OC+CD=2+3=5，∴B（5，2），代入反比例解析式得：k=10，即y=，则S△AOC=5，故答案为：512．解：∵正比例函数y=﹣x的图象与反比例函数y=（k≠）的图象有公共点，∴﹣x=，∴x2+4k﹣2=0有解，∴△=0﹣16k+8≥0，解得k≤且k≠∴k＜故答案为：k＜13．解：过点P做PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴ABDO为矩形∴AB=DO∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6∵P为对角线交点，PE⊥y轴∴四边形PDOE为矩形面积为3即DO•EO=3∴设P点坐标为（x，y）k=xy=﹣3故答案为：﹣314．解：如图延长AB到D，使得AB=BD，连接CD，作AH⊥y轴于H，DE⊥y轴于E．设C（0，c）．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵AB=BD，∴BA=BC=BD，∴△ACD是直角三角形，∵∠CAD=60°，∴DC=AC，∵∠ACD=∠AHC=∠DEC=90°，∴∠ACH+∠DCE=90°，∵∠ECD+∠CDE=90°，∴∠ACH=∠CDE，∴△ACH∽△CDE，∴===，∵A（1，），∴AH=1，CH=﹣c，∴EC=，DE=﹣c，∴D（﹣c，c﹣），∵BA=BD，∴B（，），∵A、B在y=上，∴=×，整理得：4c2﹣16c﹣11=0，解得c=﹣或（舍弃），∴C（0，﹣），∴AC===2，故答案为2．15．解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°，∴∠DBO+∠BOD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∴△DBO∽△COA，∴==，∵点A的坐标为（4，2），∴AC=2，OC=4，∴AO==2，∴==即BD=8，DO=4，∴B（﹣4，8），∵反比例函数y=的图象经过点B，∴k的值为﹣4×8=﹣32．故答案为﹣3216．解：∵MA⊥y轴，∴S△AOM=|k|=4，∵k＜0，∴k=﹣8．故答案为﹣8．17．解：∵点B的坐标为（2，3），点C为OB的中点，∴C点坐标为（1，1.5），∴k=1×1.5=1.5，即反比例函数解析式为y=，∴S△OAD=×1.5=．故答案为：．三．解答题（共6小题）18．解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4∵CD⊥x轴∴OB∥CD∴△ABO∽△ACD∴∴∴CD=20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n=xy=﹣80∴反比例函数解析式为：y=﹣把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：解得：∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12（2）当﹣=﹣2x+12时，解得x1=10，x2=﹣4当x=10时，y=﹣8∴点E坐标为（10，﹣8）∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜019．解：（1）把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2，把A（﹣4，a）代入y=﹣得a=﹣=，把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b，得，解得：，∴k=，b=，m=﹣2；（2）结合图象可得：在第二象限内，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣4＜x＜﹣1，故答案为﹣4＜x＜﹣1；（3）设点P的横坐标为x P，∵AC⊥x轴，点A（﹣4，），∴AC=．∵△PCA的面积等于，∴××[x P﹣（﹣4）]=，解得x P=﹣2，∵P是线段AB上的一点，∴y P=×（﹣2）+=，∴点P的坐标为（﹣2，）．20．解：（1）把B坐标代入反比例解析式得：k=12，则反比例函数解析式为y=；（2）∵B（3，4），C（m，0），∴边BC的中点E坐标为（，2），将点E的坐标代入反比例函数得2=，解得：m=9，则平行四边形OBCD的面积=9×4=36．21．解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，∴y与x之间的函数关系式为：y=；（2）∵A（1，3），∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，∴b=，∴y2=x+，令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，∴CP=BC=，或BP=BC=，∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，∴P（﹣，0）或（，0）．22．解：（1）由题意得，10xy=100，∴y=（时，y==5（cm）．23．解：（1）∵反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（3，1），∴3=∴m=3．∴反比例函数的表达式为y=．∵一次函数y=kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2）．∴，解得：，∴一次函数的表达式为y=x﹣2；（2）令y=0，∴x﹣2=0，x=2，∴一次函数y=x﹣2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）．∵S△ABP=3，PC×1+PC×2=3．∴PC=2，∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．。

目录第1讲：反比例函数的概念、图像及性质第2讲：k的几何意义与面积问题第3讲：比例和比例线段第4讲：相似三角形（一）第5讲：相似三角形（二）第6讲：相似三角形（三）第7讲：相似三角形（四）第8讲：锐角三角函数概念及应用第9讲：锐角三角函数的综合应用第10讲：圆的概念及性质第11讲：与圆有关的位置关系第12讲：圆的综合应用第一讲：反比例函数的概念、图象及性质1.反比例函数的概念定义：一般的，形如ky x=（k 为常数，0k ≠）的函数叫反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数。

自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。

如：1y x=是反比例函数，1是比例系数，x 是自变量，y 是因变量。

其他形式：1(0),(0)y kx k xy k k -=≠=≠【例1】（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．12y x =- B. 21y x =- C. 11y x =+ D.11y x=-（2）当时，函数是反比例函数．（3）已知反比例函数的图象经过（-1,2），则它的解析式是（ ）A ．12y x =-B ．2y x =-C ．2y x =D ．1y x=（4）已知y 与x 反比，1x =时，2y =，则y 与x 的解析式是________. 【练1】（1）（2015麓山国际）下列函数：22,21,,3,1x y x y x k y x y xy =-====中,是y 关于x 的反比例函数的有( )个A.1个 B.2个 C.3个D.4个（2）已知是反比例函数，则．（3）已知反比例函数ky x=的图象经过点(36)A --，，则这个反比例函数的解析式是 ．（4）已知y 与x+1反比，1x =时，2y =，则y 与x 的解析式是________.【例2】已知12y y y =+ ，而1y 与1x +成反比例，2y 与2x 成正比例，并且1x =时，2y =；0x =时，2y =．求y 与x 的函数关系式．【练2】已知函数12y y y =- ，1y 为x 的反比例函数，2y 为x 的正比例函数，且32x =-和1x =时，y 的值都是1．求y 与x 的函数关系式．=m 322)4(---=m m xm y 212=-y xm =m2.反比例的图象及性质反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象叫做双曲线。

六年级数学下册教案第4单元：5反比例人教版教案：六年级数学下册教案第4单元：5反比例人教版一、教学内容本节课的教学内容来自人教版六年级数学下册第4单元，主要包括反比例的概念、反比例函数的性质以及反比例函数的图像。

具体章节内容如下：1. 反比例的概念：引导学生理解反比例函数的定义，即当两个变量的乘积为常数时，这两个变量成反比例关系。

2. 反比例函数的性质：通过实例讲解反比例函数的性质，包括对称性、单调性以及在各个象限的符号特点。

3. 反比例函数的图像：引导学生绘制反比例函数的图像，并观察图像的形状、位置以及与坐标轴的交点。

二、教学目标通过本节课的学习，使学生能够掌握反比例函数的概念，理解反比例函数的性质，并能够绘制反比例函数的图像。

三、教学难点与重点重点：反比例函数的概念、性质和图像。

难点：反比例函数图像的绘制和性质的理解。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、反比例函数图像的示例图。

学具：学生用书、练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：创设一个实际情境，例如商场打折，商品的原价和折扣成反比例关系，让学生思考如何表示这种关系。

3. 性质讲解：通过示例和讲解，让学生了解反比例函数的性质，包括对称性、单调性以及在各个象限的符号特点。

4. 图像绘制：引导学生根据反比例函数的性质，绘制出反比例函数的图像，并观察图像的形状、位置以及与坐标轴的交点。

5. 例题讲解：选取几个典型例题，讲解如何利用反比例函数解决实际问题，如速度、路程和时间的关系。

6. 随堂练习：让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。

六、板书设计板书设计如下：反比例函数：y = k/x （k为常数）性质：1. 对称性2. 单调性3. 符号特点图像：1. 形状2. 位置3. 与坐标轴的交点七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列函数是否为反比例函数，并说明理由。

a. y = 2/xb. y = 5 x（2）绘制反比例函数y = 1/x的图像，并观察图像的形状、位置以及与坐标轴的交点。

第六章 反比例函数第5讲 反比例函数图象、性质及应用一．知识梳理知识点1 反比例函数的定义与表达式： （1）一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数 （2）反比例函数有三种表达式： ①xk y =（0k ≠） ②1kx y -=（0k ≠） ③k y x =⋅（定值）（0k ≠） 知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式. 知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线. 在作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交.知识点4 反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k >0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小.②当0k <时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大.注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾. ☆反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xky =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点. ☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x. ☆反比例函数（y=xk）的图像与正比例函数（y=ax ）的图像交于A(11y x ，),B(22y x ，)两点，那么这两点关于原点对称，即21-x x =，21-y y =.【补充】 中点坐标公式： 三点共线，且中间的点是中点，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22两个端点的纵坐标相加中间点的纵坐标两个端点的横坐标相加中间点的横坐标即若A(1x ，1y )，B(2x ，2y ),M(x ，y)在一条直线上，且M 为线段AB 的中点，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2y y y 2x x x 2121知识点5 反比例函数的应用（略）二.实战演练考点一反比例函数的概念及函数关系式的确定下列是反比例函数的有_____（填序号）①2xy-=；②xy21-=；③11-=xy；④21xy=⑤ xy=-3；⑥1--=xy考点二反比例函数的图像和性质1.反比例函数y=xa-1-2(a是常数)的图像分布在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限2.(1)若A（x1，y1），b（x2，y2）是双曲线y＝x3上的两点，且x1＞x2＞0，则y1____y2．3.反比例函数y=xk的图像如右图所示，则k的值可能是（）A.-1B.1C.2D.34.正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．典例分析考点三 反比例函数的应用 1.已知点P(a ，b)在反比例函数xy 2=的图像上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数xky =的图像上，则k 的值为_____. 2.李先生参加了清华同方电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y 元，x 月结清余款．y 与x 的函数关系如图所示，试根据图象提供的信息回答下列问题．（1）确定y 与x 的函数关系式，并求出首付款的数目；（2）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？考点四 一次函数与反比例函数综合问题 1.函数y=k(x-1)与xky -=在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）2.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是_____（只写出符合条件的一个即可）.3.已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式．4.如图所示，直线xy 34=与双曲线x k y =（x ＞0）交于点A ，将直线x y 34=向右平移29个单位后，与双曲线x k y =（x ＞0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若BCAO=2，则k=____.1.已知函数|m |1xm y -=是y 关于x 的反比例函数，则m 的值是____. 2.在反比例函数xmy 21-=的图像上有A(11y x ，)，B(22y x ，)两点，当021＜＜x x 时，21y y ＜，则m 的取值范围是（ ）A.m ＜0 B.m ＞21 C.m ＜21D.m ＞03.反比例函数的自变量x 满足-2≤x ≤-21时，函数值-1≤y ≤-41，则它的解析式是（ ）A.x y 21=B.xy 21-= C.x y 8= D.x y 81-=4.如图所示，等边三角形OAB 的边OA 在x 轴上，双曲线y=x3在第一象限内的图像经过边OB 的中点C,则点B 的坐标是( , ).5.双曲线y=xk经过点（-3,4），则下列点在双曲线上的是____. A.(-2,3) B.(4,3) C.(-2,-6) D.(6，-2) 6.已知一次函数b kx y +=1与反比例函数xky =2在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当21y y ＜时，x 的取值范围是（ ）课堂训练A.x ＜-1或0＜x ＜3B.-1＜x ＜0或x ＞3C.-1＜x ＜0D.x ＞37.如图，直线y=33-x+b 与y 轴交于点A ，与双曲线xky =在第一象限交于B 、C 两点，且AB.AC=8，则k=_____.8.某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y （单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？9.已知反比例函数y ＝8m x-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6） (1)求m 的值；(2)如图，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标.1.已知一个反比例函数的图像位于第二、四象限内，点P(yx，)在这个反比例函数图像上，且yx＞-4，请你写出这个反比例函数的表达式______．（只写出符合题意的一个即可）2.若点（-2，）1y，（-1，2y），（1，3y）在反比例函数)0(＜kxky=图象上，则下列结论中，正确的是（）A.3y＞1y＞2y B.2y＞1y＞3y C.1y＞2y＞3y D.3y＞2y＞1y3.如图所示，点P(2,1)是反比例函数xky=的图像上的一点，则当y＜1时，自变量x的取值范围是（）A.x＜2 B.x＞2 C.x＜2且x≠0 D.x＞2或x＜04.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且211112+=yy，则这个反比例函数的表达式为______.5.如图所示，矩形ABCD的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=xkk122++的图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为_____.6.已知A(2,m-2)和B(m，4)均在反比例函数图像上，则m=___.7.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=x6的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2-x1）（y2-y1）的值为_____.8.如图，直线y=2x与双曲线y=x2在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO 绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为( )A.（1，0）B.（1，0）或（﹣1，0）C.（2，0）或（0，﹣2）D.（﹣2.1）或（2，﹣1）课后作业※9.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间（min ）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ） A ．7：20 B ．7：30 C ．7：45 D ．7：5010.某汽车油箱的容积为80升，小陈把油箱注满油后从县城载客到400千米外的省城，把客人送到目的地后马上按原路返回，请回答下列问题：（1）油箱注满后，汽车能够行驶的总路程a （单位：千米）与每千米平均耗油量b （单位：升）之间有怎样的函数关系？（2）小陈以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城，在返回走了一半路程时下起了雨，小陈降低了速度，此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍，如果小陈一直以此速度行驶，油箱里的油是否能回到县城？如果不够用，至少还需加多少油？11.如图，已知反比例函数y=x2k和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+k ）两点，反比例函数和一次函数的图象交于A 、B 两点． (1)求反比例函数的解析式，和△AOB 的面积； (2)结合函数图象，直接写出不等式2x ＞76x 2k+-的解为_______；(3)在反比例函数图象上存在_____个点P ，使得OAB PAB S S △△2=．12.已知反比例函数x2ky =和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过(a,b)，（a+1,b+k ）两点.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；(3)利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第6讲 |k|的几何意义一．知识归纳☆反比例函数xky =（0k ≠）中k 的几何意义： 如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，连接OP ， 则:OEPF S PE PF y x 矩形=⋅=⋅=k【补充】|k|的几何意义常见模型： 模型一：一点一垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点(含原点)构成的三角形面积等于21|k|.特别补充：反比例函数图象上的两点与原点构成的三角形面积等于由这两点向x 轴作垂线构成的梯形面积.模型二：一点两垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|.模型三：原点一垂线模型分析：过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形的面积等于|k|.模型四：两点两垂线模型分析：反比例函数与正比例函数的两个交点的连线及由交点向不同坐标轴所作两条垂线围成的图形(或两交点及由交点向同一坐标轴所作两条垂线的垂足构成的图形)的面积等于2|k|.模型五：两点和一点模型分析：反比例函数与一次函数的交点和原点(或坐标轴上一点)所构成的三角形的面积，若两交点在同一支上，用减法；若两交点分别在两支上，用加法.模型六：两曲一平行模型分析：两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点构成或坐标轴围成的图形面积，结合k的几何意义求解.模型七：与四边形组合模型分析：反比例函数图象与四边形结合，已知面积求值，或已知值求面积.通常会用到反比例函数图象上点的横纵坐标乘积相等.二.实战演练例1：下列图形中，阴影部分面积最大的是（）例2：如图所示，反比例函数y=xk(x＞0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4例3：如图，A、B两点分别在反比例函数xy1-=和xky=的图像上，连接OA、OB，若OA ⊥OB，OB=2OA，则k的值为（） A.-2 B.2 C.-4 D.4例4:如图，反比例函数y=xk（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=xk的表达式为_____．典例分析例5：如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=xk1(x＞0)的图象经过点C，反比例函数y=xk2(x＜0)的图象分别与AD，CD交于点E，F，若BEFS∆=7，21k3k+=0，则1k等于_______.例6：已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数xky=（k＞0）的图象与AC边交于点E.（1）用含k的代数式表示△AOE的面积是____，△BOF的面积是_____.（2）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由.1.如图所示是反比例函数xky1=和xky2=（k1＜k2）在第一象限的图像，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若2=AOBS△,则k2-k1的值是（）A.1B.2C.4D.8课堂训练2.如图，P(x ，y)是反比例函数xy 3的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于点A ， PB ⊥y 轴于点B ， 随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积（ ） A ．不变 B.增大 C.减小 D.无法确定3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A 、B 两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C 、D 两点在反比例函数y=xk(k ＜0)的图象上，则k=_____.4.如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，反比例函数y ＝xk（x ＞0）在第一象限内的图象经过点D ，且与AB 、BC 分别交于E 、F 两点，若四边形BEDF 的面积为1，则k 的值为_____．5.如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=xk（k ＞0）在第一象限的图象经过A ，C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为_____.6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC边在x轴正半轴上，中线BD的反向延长线交于y轴负半轴于点E.双曲线xk y=一条分支经过点A，若S△BEC=4，则k=_______.1.如图所示，直线l和双曲线y=xk（k＞0）交于A,B两点，P是线段AB上的点（不与A、B 重合）.过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，△POE的面积为S3，则有（）A.S1＜S2＜S3B.S1＞S2＞S3C.S1＝S2＜S3D.S1＝S2＞S32.如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数xy4=的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为______.3.某反比例函数xky=的图像上有三点A(1，4)，B（2，m），C（4，n），则△ABC的面积为_____.课后作业4.(1)如左下图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=xk（k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OAD 的面积为1，则k 的值为_______．(2)如右上图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B ．若反比例函数y ＝xk的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO=4，tan ∠BAO=2，则k 的值为______.5.如图，A 、B 两点分别在反比例函数x y 1-=和xky =的图像上，连接OA 、OB ，若OA ⊥OB ，OB=2OA ，则k 的值为（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.46.如图，A ，B 两点在反比例函数y=x k 1的图象上，C ，D 两点在反比例函数y=xk2的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC=2，BD=1，EF=3，则k 1﹣k 2的值是________.7.如图，在□OADB 中，对角线AB 、OD 相交于点C ，反比例函数y=kx （k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若平行四边形OADB 面积为12，则k 的值为______．8.如图所示，双曲线y=x2(x ＜0)经过四边形OABC 的顶点A ，C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 负半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .9.如图矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （-320，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_____.10.在平面直角坐标系中，点A （﹣3，4）关于y 轴的对称点为点B ，连接AB ，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点B ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点P 是该反比例函数图象上任意一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，点Q 是线段AB 上任意一点，连接OQ 、CQ ． （1）求k 的值；（2）判断△QOC 与△POD 的面积是否相等，并说明理由．。

5.1 反比例函数教师寄语：千里之行，始于足下。

学习目标：1、能说出反比例函数的概念。

2、利用反比例函数的概念，会列反比例函数式。

3、体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段。

学习过程：前置准备：1、你能说出函数的定义吗？2、A、B两地相距40km，那么一辆汽车在这段路程行驶的速度v与行驶时间t之间有何关系？3、你还能举出与上题数量关系类似的例子吗？你能说出这两个变量的变化关系吗？自主学习1、自学课本P132—P133第三段，并思考以下问题①用含有R的代数式表示I：②利用上式完成课本表格③请判断I与R的关系，并说明理由。

2、反比例函数定义一般地如果两个变量x、y之间关系可以表示成（）形式，那么是的反比例函数反比例函数的自变量3、完成P133做一做合作交流：1、如何判断一个函数是不是反比例函数。

2、如何确定反比例函数表达式？归纳总结：本节课你学到了哪些知识，还有何疑惑？当堂训练1、下列函数是反比例函数的是（）A、y=1－2xB、y=C、y=－D、= 32、下列各选项中给出的两个变量成反比例的是（）A、某人体重与年龄B、被除数不变时除数与商C、x+3D、x：y=18中的x、y3、下列函数为反比例函数且常数k= 的是（）4.课本P134随堂练习课下练习：1.P134 习题5.12.压力为10N，则压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间关系表示为，P是S的函数。

3.已知矩形面积为48cm2，则矩形长y与宽x的函数关系式为，若矩形长为8cm，则宽为。

4.若反比例函数y=图象过点A（－3，－4），则k的值为。

5.完成某工作能得1000元报酬，若x人参加，试写出人均报酬y(元)与人数间函数关系式，它是什么函数？你能发现人均报酬与人数的变化规律吗？6.若y=2(k－1)x 是反比例函数，k值为。

7.一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它体积v(m3)的反比例函数。

当v=10m3时，ρ=1.43kg/m3。