【步步高】2014届高考数学一轮复习 §1.3.1-1.3.2 基本算法语句备考练习 苏教版

1.2.3 直线与平面的位置关系第一课时一、基础过关1. 在空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 和BC 上的点,若AE ∶EB=CF ∶FB =1∶3,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是________.2. 过直线l 外两点,作与l 平行的平面,则这样的平面有____________个.3. 过平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有________条.4. 经过直线外一点有______个平面与已知直线平行.5. 如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面中:(1与直线AB 平行的平面是______________;(2与直线AA 1平行的平面是_______________________________;(3与直线AD 平行的平面是______________.6. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1的中点,则BD 1与过点A ,E ,C 的平面的位置关系是____________.7. 如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱BC 、C 1D 1 的中点.求证:EF ∥平面BDD 1B 1.8. 如图所示,P 是▱ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE ∶EA =BF ∶FD .求证:EF ∥平面PBC .二、能力提升9. 设m 、n 是平面α外的两条直线,给出三个论断:①m ∥n ;②m ∥α;③n ∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题,写出你认为正确的一个命题:______________.(用序号表示10.如图所示,ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP =a 3,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ =______.它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=________.12.如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为(1求证:BC∥l;(2MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.三、探究与拓展有一点P,Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.(用两种方法证明答案1.平行2.0,1或无数3.124.无数5.(1平面A 1C 1和平面DC 1 (2平面BC 1和平面DC 1 (3平面B 1C 和平面A 1C 16.平行7.证明取D 1B 1的中点O ,连结OF ,OB .∵OF 綊12B 1C 1,BE 綊12B 1C 1,∴OF 綊BE .∴四边形OFEB 是平行四边形,∴EF ∥BO . ∵EF ⊄平面BDD 1B 1,BO ⊂平面BDD 1B 1, ∴EF ∥平面BDD 1B 1.8.证明连结AF 延长交BC 于G ,连结PG .在▱ABCD 中,易证△BFG ∽△DFA .∴GF FA =BF FD =PE EA ,∴EF ∥PG .而EF ⊄平面PBC ,PG ⊂平面PBC ,∴EF ∥平面PBC .9.①②⇒③(或①③⇒② 10.223a11.m ∶n12.(1证明因为BC ∥AD ,AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ,所以BC ∥平面PAD .又平面PAD ∩平面PBC =l ,BC ⊂平面PBC ,所以BC ∥l .(2解 MN ∥平面PAD .证明如下:如图所示,取PD 中点E ,连结AE ,EN .又∵N 为PC 的中点,∴EN 綊12DC , 又∵AM 綊12DC , ∴EN 綊AM .即四边形AMNE 为平行四边形.∴AE ∥MN ,又MN ⊄平面PAD ,AE ⊂平面PAD .∴MN ∥平面PAD .13.证明方法一如图(1所示,作PM ∥AB 交BE 于M ,作QN ∥AB 交BC 于N ,连结MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ,∴AE =BD .又∵AP =DQ ,∴PE =QB .又∵PM ∥AB ∥QN ,∴PM AB =PE AE ,QN DC =BQ BD.∴PM 綊QN . ∴四边形PQNM 是平行四边形.∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ,PQ ⊄平面BCE ,∴PQ ∥平面BCE .方法二如图(2所示,连结AQ 并延长交BC (或其延长线于K ,连结EK .∵KB ∥AD ,∴DQ BQ =AQ QK. ∵AP =DQ ,AE =BD ,∴BQ =PE .∴DQ BQ =AP PE .∴AQ QK =AP PE.∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ,EK ⊂平面BCE , ∴PQ ∥平面BCE .。

§13.2合情推理与演绎推理2014高考会这样考 1.从近几年的高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档为主；2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题．复习备考要这样做 1.联系具体实例，体会几种推理的概念和特点，并结合这些方法解决一些应用问题；2.培养归纳、类比、演绎的推理思维模式，培养分析、解决问题的能力．1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．合情推理的过程(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)2．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)“三段论”可以表示为①大前提：M是P；②小前提：S 是M ； ③结论：S 是P .用集合说明：即若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P . [难点正本 疑点清源]1．在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．1．(2012·陕西)观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________． 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.2．(2011·山东)设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.答案x(2n－1)x ＋2n解析 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x (2n －1)x ＋2n .3．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B4．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 ( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错 答案 A5．(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.题型一 归纳推理例1 已知函数f (x )＝x 21＋x 2，(1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎫13，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明； (3)求值：f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 012. 思维启迪：所求函数值的和应该具有规律性、经观察可发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1. 解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)可得，原式＝f (1)＋⎣⎡⎦⎤f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋⎣⎡⎦⎤f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋⎣⎡⎦⎤f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎫12 012 ＝f (1)＋2 011＝12＋2 011＝4 0232.探究提高 本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17<210，7.5＋12.5<210，8＋2＋12－2<210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．答案 若m >0，n >0，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210解析 观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是若m >0，n >0，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210. 题型二 类比推理例2 在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．思维启迪：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象． 解图①如图①所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.∴1AD2＝1AB2＋1AC2.类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：四面体A—BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.图②如图②，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF平面ACD，∴AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．探究提高(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m ；现已知等比数列{b n } (b ≠0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝__________. 答案 n －m b na m解析 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b na m ，等差数列中的bn －am n －m 可以类比等比数列中的n －mb n a m ，故b m ＋n ＝n －m b na m.题型三 演绎推理例3 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n·S n (n ∈N *)，证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .思维启迪：在推理论证过程中，一些稍复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成．大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式．证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意的正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)探究提高 演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知得y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x＋a ＝－a ·a xa ＋a ·a x＝－a xa x ＋a ，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称． (2)解 由(1)有－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.归纳不准确致误典例：(5分)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示．按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011等于( )A ．1 003B ．1 005C ．1 006D ．2 010易错分析 本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系．可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系．本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a 2n ＝n (n ∈N *)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a4n－3＋a4n－1＝0(n∈N*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当n为偶数时a n＝n，就会得到a2 009＋a2 010＋a2 011＝2 010的错误结论，而选D.解析a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，这个数列的规律是奇数项为1，－1,2，－2,3，…，偶数项为1,2,3，…，故a2 009＋a2 011＝0，a2 010＝1 005，故a2 009＋a2 010＋a2 011＝1 005.答案 B温馨提醒由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具.方法与技巧1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．失误与防范1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数是复合函数，所以小前提不正确．2．由710>58，911>810，1325>921，…，若a >b >0，m >0，则b ＋m a ＋m 与b a 之间的大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定答案 B3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝ab ”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．4．(2011·江西)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49答案 B解析 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又因为2 011＝4×502＋3，所以72 011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R ＝________.答案 a 2＋b 2＋c 22解析 (构造法)通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．6．在平面内有n (n ∈N *，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是________，f (n )的表达式是________．答案 16 f (n )＝n 2＋n ＋22解析 由题意，n 条直线将平面分成n (n ＋1)2＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋22.7．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________． 答案 14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14. 三、解答题(共22分)8．(10分)已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数． 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)．所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数．9．(12分)f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33.由此猜想f (x )＋f (1－x )＝33.证明：f (x )＋f (1－x )＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x3＋3·3x＝13x ＋3＋3x3(3＋3x )＝3＋3x3(3＋3x)＝33.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于()A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2答案 A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n-1).又∵1*1=1，∴n*1=n2．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0a1，h1＝h0a2，运算规则为00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是() A．11010 B．01100 C．10111 D．00011答案 C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝01＝1，而h1＝h0＋a2＝1＋1＝0，故传输信息应是10110.3．已知函数f(x)＝sin x＋e x＋x2 010，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，则f2 011(x)等于() A．sin x＋e x B．cos x＋e xC．－sin x＋e x D．－cos x＋e x答案 D解析f1(x)＝f′(x)＝cos x＋e x＋2 010x2 009，f2(x)＝f′1(x)＝－sin x＋e x＋2 010×2 009x2 008，f3(x)＝f′2(x)＝－cos x＋e x＋2 010×2 009×2 008x2 007，f4(x)＝f′3(x)＝sin x＋e x＋2 010×2 009×2 008×2 007x2 006，由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；而f2 011(x)＝f′2 010(x)，此时其最后一项的导数将变为0.故求f2 011(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2 011(x)＝f(3＋4×502)(x)＝－cos x＋e x.二、填空题(每小题5分，共15分) 4．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x 的一个交点；…请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为______________________________．答案 点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点解析 观察题中给出的命题易知，命题n 中交点坐标为(n ，n 2)，直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3x .故猜想命题n ：点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点．5．(2012·湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个，11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则 (1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N ＋)位回文数有________个． 答案 90 9×10n 解析 (1)4位回文数有 1001,1111,1221，…，1991,10个 2001,2112,2222，…，2992,10个 ……9009,9119,9229，…，9999,10个 共90个． (2)5位回文数有⎭⎪⎬⎪⎫10001，10101，10201，…，10901，10个11011，11111，11211，…，11911，10个12021，12121，12321，…，12921，10个……19091，19191，19291，…，19991，10个100个．……⎭⎪⎬⎪⎫90009，90109，90209，…，9090991019，91119，91219，…，9191992029，92129，92229，…，92929……99099，99199，99299，…，99999.100个5位回文数共9×102个，又3位回文数有9×101个 2n ＋1位回文数共9×10n 个．6．(2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 答案 3 018解析 当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋1)·cos 4k ＋12π＋1＝1， 当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋2)·cos 4k ＋22π＋1 ＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1，当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋3)·cos 4k ＋32π＋1＝1， 当n ＝4k ＋4(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋4)·cos 4k ＋42π＋1＝(4k ＋4)＋1＝4k ＋5，∴a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝1－4k －1＋1＋4k ＋5＝6. ∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 012＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＝6×503＝3 018. 三、解答题7．(13分)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求a 1、d 和T n ；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)在a 2n ＝S 2n －1中，分别令n ＝1，n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ， 解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.(2)①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，即需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n＝2n ＋8n ＋17恒成立．∵2n ＋8n ≥8，等号在n ＝2时取得，∴此时λ需满足λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，即需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n－15恒成立．∵2n －8n是随n 的增大而增大，∴n ＝1时2n －8n 取得最小值－6，∴此时λ需满足λ<－21. 综合①②可得λ<－21， ∴λ的取值范围是{λ|λ<－21}．。

§6.4 数列求和2014高考会这样考 1.考查等差、等比数列的求和；2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧；3.综合考查数列和集合、函数、不等式、解析几何、概率等知识的综合问题．复习备考要这样做 1.灵活掌握数列由递推式求通项公式的几种方法；2.掌握必要的化归方法与求和技巧，根据数列通项的结构特点，巧妙解决数列求和的问题．1． 等差数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，推导方法：倒序相加法；等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ， q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． 2． 数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3． 常见的拆项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .[难点正本 疑点清源]1． 解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．2． 等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．1． 在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.答案 54解析 由等差数列的性质，a 2＋a 8＝18－a 5， 即2a 5＝18－a 5，∴a 5＝6， ∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝54.2． 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝________.答案 255解析 由a 8＝1，q ＝12得a 1＝27，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255.3． 若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________.答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.4． (2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为 ( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20. ∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.5． (2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 ( )A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.题型一 分组转化求和例1 已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．思维启迪：第(1)问由已知条件列出关于p 、q 的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．解 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n ) ＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.探究提高 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.题型二 错位相减法求和例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪：(1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法．解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )，即2S n ＝n ·3n ＋1－3(1－3n )1－3，∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34.探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三 裂项相消法求和例3 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪：第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和． 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 探究提高 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .审题路线图等差数列{a n }中，特定项的值 ↓(a 3，a 5，a 7即为特定项) a 3＝7，a 5＋a 7＝26↓(从特定项，考虑基本量a 1，d )列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26↓(根据条件的结构特征，确定了方程的方法) 用公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .↓(将a n 代入化简求b n ) b n ＝14n (n ＋1)↓(根据b n 的结构特征，确定裂项相消) b n ＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1↓T n ＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 规范解答解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.[4分]所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .[6分](2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，[8分] 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)[10分]＝14·(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).[12分]温馨提醒 本题审题的关键有两个环节．一是根据a 3＝7，a 5＋a 7＝26的特征，确定列方程组求解．二是根据数列{b n }的通项b n ＝14n (n ＋1)的特征，确定用裂项相消法求和．所以，在审题时，要根据数式的结构特征确定解题方案.方法与技巧 数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 失误与防范1．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．2．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100答案 C解析 ∵S n n ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.2． 已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于 ( )A ．20B ．17C ．19D ．21 答案 C解析 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0.3． 若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2答案 C解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4． 数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.答案 2 600解析 由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n 知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k . ∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100) ＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×502＝2 600.6． 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.答案 66解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝1)2n －5 (n ≥2).令2n －5≤0，得n ≤52，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66.7． (2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．答案 1 830解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.三、解答题(共22分)8． (10分)求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n ＋12n；(2)S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 解 (1)由于a n ＝n ·2n ＋12n＝n ＋12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋121＋⎝⎛⎭⎫2＋122＋⎝⎛⎭⎫3＋123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12n ＋1.(2)当x ＝±1时，S n ＝4n .当x ≠±1时， S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n .∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n (x ＝±1)，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n (x ≠±1).9． (12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n1＋n .(1)解 由已知得⎩⎨⎧a n ＋1＝12S n ，a n＝12Sn －1(n ≥2)，得到a n ＋1＝32a n (n ≥2)．∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×⎝⎛⎭⎫32n －2 ＝12⎝⎛⎭⎫32n －2(n ≥2)． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12⎝⎛⎭⎫32n －2， n ≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32⎣⎡⎦⎤32·⎝⎛⎭⎫32n －1＝n .∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －11＋n ＝1－11＋n ＝n 1＋n.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134答案 C解析 b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n＝lg q (常数)， ∴{b n }为等差数列．∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22.由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S 11、S 12最大且S 11＝S 12＝132.2． 数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0. 令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.3． 已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0答案 C解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 013＝6×335＋3，∴S 2 013＝S 3＝4 018. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.答案 13(4n －1)解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)．5． 若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________. 答案 2n 2＋6n解析 令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合上式，所以a n ＝4(n ＋1)2 (n ∈N *)．于是a nn ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n .6． 已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．答案 765解析 由题意知{a n }是等差数列，a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，令a n ≥0，解得n ≥21. ∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝(－60＋90－63)×302－(－60＋60－63)×20＝765.三、解答题7． (13分)(2012·四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1>0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n ，当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2.② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2.③若a 2＝0，由①知a 1＝0； 若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①④解得a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2， a 2＝2－ 2.综上可得，a 1＝0，a 2＝0或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1>0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2. 当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ， (2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1.所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1.令b n ＝lg10a 1a n， 则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1.所以数列{b n }是单调递减的等差数列⎝⎛⎭⎫公差为－12lg 2. 从而b 1>b 2>…>b 7＝lg108>lg 1＝0. 当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128<12lg 1＝0.故当n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。

13.1算法初步一、选择题1 •执行下面的程序框图，如果输入的N是6,那么输出的p是（）.A. 120 B • 720 C • 1 440 D • 5 040解析由题意得，p= 1 X 1= 1, k = 1v 6; k = 1+ 1 = 2, p= 1 x 2 = 2, k = 2v 6; k = 2 + 1= 3, P= 2 X 3= 6, k = 3 V 6; k = 3+ 1= 4, p = 6 X 4= 24, k= 4v 6;k= 4 + 1 = 5, p= 24x 5 = 120, k= 5V6; k = 5+ 1 = 6, p= 120x 6 = 720,k= 6不小于6,故输出p= 720.答案B2 •下面程序运行的结果是（）A. 5,8 B • 8,5 C • 8,13 D • 5,13解析此程序先将A的值赋给X,再将B的值赋给A,再将X+ A的值赋给B,即将原来的A 与B的和赋给B,最后A的值是原来B的值8，而B的值是两数之和13.答案C3.如右框图，当X1= 6, X2= 9,p= 8.5 时，X3等于（）.A. 7 B • 8（MJ 熾芈p/C. 10 D . 11解析| X1 —X2| = 3 , | X2 - X3| = | X3—9| ,故当| X1 - X2| V | X2- X3|，即3V | X3 —9| 时，p= X1；X2X 2+ X 3 9 + X 3p = 2 = 2~ =8.5，…X 3 = 8.答案 B4•下面的程序框图给出了计算数列 {◎}的前8项和S 的算法，算法执行完毕后，输出的 SA. 8B. 63C. 92D. 129解析程序框图是计算 S = 1 + 2 + 4+ 7 + 11+ 16+ 22 + 29= 92 ,•••输出的S 为92，故选C. 答案 C15~2，与P = 8.5不符; 当| X 1 — X 2| > | X 2— X 3| , 即 3 > | X — 9|A.—3 B C.1 1解析 由框图可知 i = 0, S = 2宀 i = 1, S = 3T i = 2, S = — i = 3,S =- 3f = 4, S = 2,循环终止，输出 S,故最终输出的 S 值为2.答案 D6 C. 5 D.___ i i i i4 1^2 + 2 X 3 + 3 X 4 + 4^5 + 5^611111 1 5 一丰一 一 一丰一 一 —=1一 一=一 4〒4 56= 6= 6'答案 D7•某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是( )•/输人瞬数川三//输出幫数冷)/结束2A. f (x ) = x 1B. f (x )=-xC. f (x ) = In x + 2x — 6D. f (x ) = sin x解析 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数， 第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点•结合选项知，函数 f (x ) = sin x 为奇函数，且存在零点.答案 D6 •如果执行下面的框图，输入 N= 5,则输出的数等于(解析据框图可得11112〒2 3/输人*~二、填空题&运行如图所示的程序，输出的结果是 _____________a = 1b = 2 a = a + b PRINT a END解析本题主要考查算法知识，由于a = 1,b = 2,a = a +b = 1 + 2= 3.答案39•如图所示的程序框图中，若10•按上图所示的程序框图运算，若输出 k = 2，则输入x 的取值范围是 _____________ • 解析 第一次运行 x = 2x + 1, k = 1,第二次运行 x = 2(2x + 1) + 1, k = 2,此时要输出, 的值要同时满足 2x + K 115,且2(2x + 1) + 1>115,解得28<x < 57. 答案(28,57]11.某地区有荒山 2 200亩，从2009年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树 亩，以后每年比上一年多植树50亩•如图，某同学设计了一个程序框图计算到哪一年可以将荒山全部绿化(假定所植树全部成活)，则框图应填上的条件是 ______________P = 0.8，则输出的n = ___________答案 4100丽n=2009|~T[i-T能出n/「鈿：解析据题意要将全部荒山 2 200亩全部绿化，故判断框处应填入S> 2 200?答案S> 2 200?12•下面程序表达的是求函数________ 的值.INPUT 5=订IF x>0 THENy=：iELSEIF x=0 THENy=0ELSEy= —IEND IFEND IFPRINT yEND解析根据所给的程序语句可知，这是条件语句输入x后，随着x取不同的值输出的y的结果也不相同，故所求的是一个分段函数'1 (x> 0),y=』0 ( x= 0)，的值.〔-1 ( x v 0)卩(x> 0)答案y=S0 ( x = 0)〔-1 ( x v 0)三、解答题x + 2(x>0),13 .设计计算f (x)=仁|x + 2( x v 0)的函数值的算法.解析算法：第一步：给出 x ；第二步：若x >0，则f (x ) = x + 2，否则进行第三步； 第三步：f (x ) = x 2+ 2.14.设计求1 + 3 + 5+ 7 +…+ 31的算法，并画出相应的程序框图. 解析第一步：S = 0; 第二步：i = 1; 第三步：S= S + i ； 第四步：i = i + 2 ；第五步：若i 不大于31,返回执行第三步，否则执行第六步； 第六步：输出S 值.程序框图如图.第一步：令 S = 0, i = 1 ；第二步：若i < 2 011成立，则执行第三步; 否则，输出S ,结束算法； 第三步：1S= S+ i (i +1)；第四步：i = i + 1，返回第二步.程序框图: 法一1 1 1 1 X 2+ 2X 3+3 X 41 2 011 X 2 012的值，并画出程序框图.解析 算法如下：15•设计算法求 …+16•甲、乙两位同学为解决数列求和问题，试图编写一程序, 如图1和如图2.(1)根据图1和图2,试判断甲、乙两位同学编写的算法框图输出的结果是否一致？当 时分别求它们输出的结果;⑵若希望通过对图2虚框中某一步(或几步)的修改来实现“求首项为 2,公比为3的等比 数列的前n项和”，请你给出修改后虚框部分的算法框图. 解析 (1)图1中程序的功能是求 2 + 4+ 6+ &••+ 2n的和,当 n = 20 时，S = 2 + 4+ 6 + …+ 40 = 420.图1 图2 两人各自编写的算法框图分别n = 20图2中程序功能是求2+ 4+ 6+-+ 2n的和，当n= 20时，S= 2+ 4+ 6+-+ 40= 420.所以甲、乙两位同学编写的程序输出的结果是一致的.(2)修改后部分算法框图如右图1=1+ 1。

word第一章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2010·某某)若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A 等于( )A ．(－∞，0]∪(22，＋∞) B．(22，＋∞) C ．(－∞，0]∪[22，＋∞) D．[22，＋∞) 答案 A解析 log 12x ≥12⇔log 12x ≥log 1222.⇔0<x ≤22. ∴∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)． 2．(2010·某某)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件 答案 A解析 一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解⇔Δ＝1－4m ≥0⇔m ≤14，m <14⇒m ≤14且m ≤14D /⇒m <14，故选A.3．(2010·某某一中期中)已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则( ) A ．綈p ：∃x ∈R ，x <sin x B ．綈p ：∀x ∈R ，x ≤sin x C ．綈p ：∃x ∈R ，x ≤sin x D ．綈p ：∀x ∈R ，x <sin x 答案 C解析 对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论， 故选C.4．(2010·华南师大附中期中)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1,2,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 答案 A解析 由题意得A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{1,2,4}，所以∁U (A ∩B )＝{0,3,5}．5．(2010·某某一中期中)设集合M ＝{x |2x 2－2x <1}，N ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则( ) A ．M ∪N ＝M B ．(∁R M )∩N ＝R C ．(∁R M )∩N ＝∅ D ．M ∩N ＝M 答案 D解析 依题意，化简得M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |－2<x <2}，所以M ∩N ＝M . 6．(2010·某某交大附中月考)下列命题错误的是( )A ．命题“若m ≤0，则方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x ＋m ＝0无实数根，则m >0”B ．“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中必有一真一假D ．对于命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题．故C 错．7．(2011·威海模拟)已知命题p ：无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }是等差数列，则点列{(n ，S n )}在一条抛物线上；命题q ：若实数m >1，则mx 2＋(2m －2)x －1>0的解集为(－∞，＋∞)．对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是( )A ．s 是假命题，r 是真命题B ．s 是真命题，r 是假命题C ．s 是假命题，r 是假命题D ．s 是真命题，r 是真命题 答案 C解析 对于命题p ，当{a n }为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s 也是假命题；由于使mx 2＋(2m －2)x －1>0的解集为(－∞，＋∞)的m 不存在，故命题q 的逆命题r 是假命题．8．已知命题p ：关于x 的不等式x 4－x 2＋1x2>m 的解集为{x |x ≠0，x ∈R }；命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1) 答案 B解析 p 真⇔m <x 2＋1x2－1恒成立⇔m <1.q 真⇔5－2m >1⇔m <2.∵p 与q 中一真一假，∴1≤m <2.9．(2011·某某月考)已知集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅ 答案 C解析 方法一 M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R } ＝{a |a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R }， N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R } ＝{a |a ＝ (－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R }．令(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2，解得λ1＝－1，λ2＝0， ∴M ∩N ＝{a |a ＝(－2，－2)}．方法二 设OA =(1，2)+λ(3，4)，λ∈R ，OB = (－2，－2)+λ(4，5)，λ∈R ，∴点A 的轨迹方程为y －2＝43(x －1)，点B 的轨迹方程为y ＋2＝54(x ＋2)，由①②联立解得x ＝－2，y ＝－2， ∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．10．设f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}， Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值X 围是( )A ．t ≤0 B．t ≥0C．t ≤－3 D ．t ≥－3 答案 C解析 P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}＝{x |－1<f (x ＋t )<3}＝{x |f (3)<f (x ＋t )<f (0)}＝{x |0<x ＋t <3}＝{x |－t <x <3－t }，Q ＝{x |x >3}，又由已知得P Q ， ∴－t ≥3，∴t ≤－3.11．(2011·某某模拟)若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |4y∈N *，y ∈N *，则A ∩B中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 A ＝{x |0<x <9，x ∈N *}＝{1,2，…，8}， B ＝{1,2,4}，∴A ∩B ＝B .12． (2010·某某实验中学高三月考)已知f (x )＝(12)x，命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≤1，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1B ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1 答案 C解析 ∵f (x )＝(12)x是R 上的减函数，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤f (0)＝1.∴p 为真命题，全称命题p 的綈p 为：∃x 0∈[0，＋∞)， f (x 0)>1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2010·某某一中期中)“lg x >lg y ”是“10x >10y”的________条件． 答案 充分不必要解析 考虑对数的真数需大于零即可．14．命题“∃x <0，有x 2>0”的否定是______________．答案 ∀x <0，有x 2≤0解析 “存在”即“∃”的否定词是“任意”即“∀”，而对“>”的否定是“≤”．15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的________条件． 答案 充分不必要解析 ∵p ：x <－3或x >1， ∴綈p ：－3≤x ≤1. ∵q ：2<x <3，∴綈q ：x ≤2或x ≥3，则綈p ⇒綈q .16．(2010·某某苏北三市高三联考)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值X 围为______．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 要使命题为真命题，只需Δ＝(a －1)2－4>0， 即|a －1|>2， ∴a >3或a <－1.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知A ＝{a ＋2,2a 2＋a }，若3∈A ，求a 的值． 解 若a ＋2＝3，得a ＝1.∵a ＝1时，2a 2＋a ＝3＝a ＋2， ∴a ＝1时不符合题意．(4分)若2a 2＋a ＝3，解得a ＝1或a ＝－32.(6分)由上面知a ＝1不符合题意，a ＝－32 时，A ＝{12，3}，(8分)综上，符合题意的a 的值为－32.(10分)18．(12分)(2011·某某月考)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的X 围．解 P ＝{x |x 2－8x －20≤0}＝{x |－2≤x ≤10}， S ＝{x |1－m ≤x ≤m ＋1}．假设存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则必有P ＝S .(6分)所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝m ＋1，此方程组无解．(10分)所以不存在实数m 使条件成立．(12分)19．(12分)(2011·某某模拟)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围．解 设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(6分)由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.(10分)故所某某数a 的取值X 围是[0，12]．(12分)20．(12分)已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值X 围． 解 由命题p ，得a >1，对于命题q ，因x ∈R ，ax 2－ax ＋1>0恒成立，又因a >0，所以Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4.由题意知p 与q 一真一假，(6分)当p 真q 假时 ，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤0或a ≥4.所以a ≥4. (8分) 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0<a <4，即0<a ≤1.(10分)综上可知，a 的取值X 围为(0,1]∪[4，＋∞)． (12分)21．(12分)(2011·某某模拟)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数；命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值X 围．解 ∵函数y ＝c x为减函数，∴0<c <1，即p 真时，0<c <1.(2分)函数f (x )＝x ＋1x >1c 对∈[12，2]恒成立，f (x )min ＝2x ·1x＝2， 当x ＝1x ，即x ＝1∈[12，2]时，有1c <2，得c >12，即q 真时，c >12.(5分)∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假．(7分)①p 真q 假时，0<c ≤12；(9分)②p 假q 真时，c ≥1.(11分)故c 的取值X 围为0<c ≤12或c ≥1.(12分)22．(14分)(2011·某某模拟)已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a－1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问同时满足B A ，A ∪C ＝A 的实数a 、b 是否存在？若存在，求出a 、b ；若不存在，请说明理由．解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{2,1}， B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又∵B A ，∴a －1＝1，∴a ＝2.(4分)∵A ∪C ＝A ，∴C ⊆A ，则C 中元素有以下三种情况：①若C ＝∅，即方程x 2－bx ＋2＝0无实根，∴Δ＝b 2－8<0，∴－22<b <22，(7分)②若C ＝{1}或{2}，即方程x 2－bx ＋2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b 2－8＝0，∴b ＝±22，此时C ＝{2}或{－2}不符合题意，舍去．(9分) ③若C ＝{1,2}，则b ＝1＋2＝3，而两根之积恰好为2.(11分) 综上所述，a ＝2，b ＝3或－22<b <2 2.(12分)。

§8.6 空间向量及其运算2014高考会这样考 1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义．复习备考要这样做 1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．1． 空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2． 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(2)共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝__1__. (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2. [难点正本 疑点清源]1． 空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．比如：(1)定义式：a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉或cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |，用于求两个向量的数量积或夹角；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0，用于证明两个向量的垂直关系； (3)|a |2＝a·a ，用于求距离等等．2．用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．答案－13解析∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝－20－5＋12＝－13.2．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确．．．的所有命题的序号为__________．答案②③④解析①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．3．同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是____________________．答案⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23解析设与a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)同时垂直b单位向量是c＝(p，q，r)，则⎩⎪⎨⎪⎧p2＋q2＋r2＝1，2p＋2q＋r＝0，4p＋5q＋3r＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p＝13，q＝－23，r＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧p＝－13，q＝23，r＝－23，即同时垂直a ，b 的单位向量为⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23.4． 如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD→＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .5. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 与A 1D 、AC 都垂直 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫13，0，13，F ⎝⎛⎭⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .题型一 空间向量的线性运算例1 三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.思维启迪：利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可． 解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.解 如图，连接AF ，则EF →＝EA →＋AF →. 由已知ABCD 是平行四边形， 故AC →＝AB →＋AD →＝b ＋c ， A 1D →＝A 1A →＋AD →＝－a ＋c .由已知，A 1F →＝2FD →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →＝c －13(c －a )＝13(a ＋2c )，又EA →＝－13AC →＝－13(b ＋c )，∴EF →＝EA →＋AF →＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13(a －b ＋c )． 题型二 共线定理、共面定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维启迪：对于(1)只要证出向量BD →与EH →共线即可；对于(2)只要证出EG →＝EF →＋EH →即可；对于(3)，易知四边形EFGH 为平行四边形，则点M 为线段EG 与FH 的中点，于是向量OM →可由向量OG →和OE →表示，再将OG →与OE →分别用向量OC →，OD →和向量OA →，OB →表示． 证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 探究提高 在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a ＝λb 关系，即可判定两直线平行．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，求证：A 1B ∥平面AC 1D .证明 设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ， 则BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→ ＝a ＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ，BA 1→＝AC 1→－2AD →，∵A 1B ⊄平面AC 1D ，∴A 1B ∥平面AC 1D . 题型三 空间向量数量积的应用例3 已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．思维启迪：利用两个向量的数量积可以求向量的模和两个向量的夹角． 解 (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1，∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．探究提高 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算； (3)通过数量积可以求向量的模.如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值． 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.空间向量运算错误典例：(12分)如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1＝4∶1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.易错分析 解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算，特别是减法运算理解不清，如把CA 1→误认为是AC →－AA 1→；另一个错误是向量的数乘表示不准，如把CQ →＝45CA 1→，误认为CQ →＝34CA 1→.规范解答解 如图连接AC ，AD 1. (1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝12(a ＋b ＋c )．[3分] (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→)＝12(a ＋2b ＋c )．[6分] (3)AN →＝12(AC 1→＋AD 1→)＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)]＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→)＝12(a ＋2b ＋2c )＝12a ＋b ＋c .[9分] (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA 1→－AC →)＝15AC →＋45AA 1→＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c .[12分] 温馨提醒 (1)空间向量的加减法运算和数乘是表示向量的基础；(2)空间任一向量用一组基底表示是唯一的；(3)空间向量共线和两直线平行是不同的.方法与技巧1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．失误与防范1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c 成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面 答案 D解析 OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．2． 已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2答案 A解析 由题意知：⎩⎨⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3. 如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为 ( )A ．(1,1,1) B.⎝⎛⎭⎫1，1，12 C.⎝⎛⎭⎫1，1，32D ．(1,1,2)答案 A解析 设PD ＝a (a >0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a2， ∴DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2，∵cos 〈DP →，AE →〉＝33，∴a 22＝a2＋a 24·33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．4． 如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144答案 C解析 因为PC →＝PA →＋AB →＋BC →， 所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以|PC →|＝12.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______________(用a ，b ，c 表示)． 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 6． 若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________.答案 －2或255解析 由已知得89＝a·b|a||b |＝2－λ＋45＋λ2·9，∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.7． 在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)、B (10，－1,6)、C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________． 答案 2解析 由题意知AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可解得x ＝2.三、解答题(共22分)8． (10分)如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B 、G 、N 三 点共线．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B 、G 、N 三点共线．9． (12分)已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)．k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.方法二 由(2)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 其中①③为真命题．2． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32＝216a .3. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．0 B.12 C.32D.22 答案 A解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b |＝0， ∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.答案 60°解析 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b ) ＝7|a |2＋16a·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a·b ＝0. 两式相减，得46a·b ＝23|b |2，∴a·b ＝12|b |2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |＝|b |. ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝12|b |2|b |2＝12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.5. 如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________． 答案3－2cos θ解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.6． 已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．答案355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355.三、解答题7． (13分)直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点． (1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． (1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ， |AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

§1.4算法案例一、基础过关1．若Int(x)表示不超过x的最大整数，对于下列等式：①Int(10.01)＝10；②Int(－1)＝－1；③Int(－5.2)＝－5.其中正确的有________个．2．对下列不等式：①Mod(2,3)＝3；②Mod(3,2)＝2；③Mod(2,3)＝1；④Mod(3,2)＝1.成立的有______(写出成立的等式的序号)．3．若Int(x)表示不超过x的最大整数，则Int(0.35)＝________，Int(－0.01)＝__________，Int(0)＝________.4．1 037和425的最大公约数是________．5．如果a，b是整数，且a>b>0，r＝Mod(a，b)，则a与b的最大公约数与下面的________相等．(填写正确答案的序号)①r；②b；③b－r；④b与r的最大公约数．6．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r<b)成立的q和r的值分别为________．7．求319,377,116的最大公约数．8．设计求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小正整数的算法流程图，并写出伪代码．二、能力提升9．下面的说法：①若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定有根；②若f(a)f(b)>0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定没有根．③连续不间断的函数y＝f(x)，若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上只有一个根．其中不正确的说法有________个．10．用二分法求方程x2－2＝0的近似根(误差不超过0.001)的一个算法补充完整：S1令f(x)＝x2－2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1＝1，x2＝2；S2令m＝____________，判断f(m)是否为0，若f(m)＝0，则m即为所求；若否，则判断________的符号；S3若____________，则x1←m；否则x2←m；S4判断____________<0.001是否成立，若是，则x1，x2之间的任意值均为满足条件的近似根，若否，________.11．1 624与899的最大公约数是________．12．在平面直角坐标系中作出函数f (x )＝1x 和g (x )＝lg x 的图象，根据图象判断方程lg x ＝1x的解的范围，再将用二分法求这个方程的近似解(误差不超过0.001)的算法用伪代码表示．三、探究与拓展13．有3个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组三个连续自然数的算法，画出流程图并写出伪代码．答案1．2 2.④ 3.0 －1 0 4．17 5．④ 6．13,217． 解 用辗转相除法377＝319×1＋58319＝58×5＋2958＝29×2∴377与319的最大公约数为29，116＝29×4∴116与29的最大公约数为29，∴377,319,116的最大公约数为29.8． 解 流程图：伪代码：n ←1While Mod(n,6)≠4 orMod(n,10)≠8 orMod(n,9)≠4n ←n ＋1End WhilePrint n9．3 10.x 1＋x 22f (x 1)f (m ) f (x 1)f (m )>0 |x 1－x 2| 转S2 11．29 12．解 图象为设h (x )＝1x－lg x . ∵h (2)＝12－lg 2>0，h (3)＝13－lg 3<0， ∴h (x )＝0在(2,3)内有解．伪代码为：13．解 算法：S1 取m ＝1；S2 当m 不能被15整除，或m ＋1不能被17整除，或m ＋2不能被19整除，则m ←m ＋1，转S2；否则输出m ，m ＋1，m ＋2，算法结束．算法流程图如下：伪代码如下：m←1While Mod(m,15)≠2 orMod(m＋1,17)≠0 orMod(m＋2,19)≠0 m←m＋1End WhilePrint m，m＋1，m＋2。