全国新课标卷文理科数学20122015试题分类汇编19圆锥曲线

2012年高考数学真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是B【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b ca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b ac x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B 2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2012理科高考试题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1 ．（2012年高考（新课标理））等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,43AB =;则C 的实轴长为 （ ）A ．2B ．22C ．4D ．82 ．（2012年高考（新课标理））设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ） A ．12B ．23C ．34D ．453 ．（2012年高考（浙江理））如图,F 1,F 2分别是双曲线C:22221x y a b-=(a ,b >0)的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是 （ ）A ．233B ．62C ．2D ．34 ．（2012年高考（四川理））已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M到该抛物线焦点的距离为3,则||OM = （ ）A ．22B ．23C ．4D ．255 ．（2012年高考（上海春））已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 [答]（ ）A ．1C 与2C 顶点相同.B ．1C 与2C 长轴长相同. C ．1C 与2C 短轴长相同.D ．1C 与2C 焦距相等.6 ．（2012年高考（山东理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为（ ）A ．22182x y +=B ．221126x y += C ．221164x y += D ．221205x y += 7 ．（2012年高考（湖南理））已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为 （ ）A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =18 ．（2012年高考（福建理））已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．5B ．42C ．3D ．59 ．（2012年高考（大纲理））已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= （ ）A ．14 B ．35C ．34D ．4510．（2012年高考（大纲理））椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 11．（2012年高考（安徽理））过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为 （ ）A ．22 B ．2C ．322D ．22二、填空题12．（2012年高考（天津理））己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩(t 为参数),其中>0p ,焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点M 作的垂线,垂足为E ,若||=||EF MF ,点M 的横坐标是3,则=p _______.13．（2012年高考（重庆理））过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =_____________________. 14．（2012年高考（四川理））椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.15．（2012年高考（上海春））抛物线28y x =的焦点坐标为_______.16．（2012年高考（陕西理））右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽____米.17．（2012年高考（辽宁理））已知P ,Q 为抛物线22x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P 、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于A ,则点A 的纵坐标为__________.18．（2012年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.19．（2012年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x ym m -=+的离心率为5,则m 的值为____. 20．（2012年高考（湖北理））如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则 (Ⅰ)双曲线的离心率e =________;(Ⅱ)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________. 21．（2012年高考（北京理））在直角坐标系xoy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________.三、解答题22．（2012年高考（天津理））设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B两点,O 为坐标原点.(Ⅰ)若直线AP 与BP 的斜率之积为12-,求椭圆的离心率; (Ⅱ)若||=||AP OA ,证明直线OP 的斜率k 满足||>3k .23．（2012年高考（新课标理））设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,准线为l ,A C ∈,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点;(1)若090=∠BFD ,ABD ∆的面积为24;求p 的值及圆F 的方程;(2)若,,A B F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点, 求坐标原点到,m n 距离的比值.xyA 1A 2yB 2 B 1AO B CDF 1F 2 x24．（2012年高考（浙江理））如图,椭圆C:2222+1x y a b=(a >b >0)的离心率为12,其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程.25．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分(Ⅰ)小问5分(Ⅱ)小问7分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,上顶点为A,左右焦点分别为21,F F ,线段12,OF OF 的中点分别为21,B B ,且△21B AB 是面积为4的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过1B 做直线l 交椭圆于P,Q 两点,使22QB PB ⊥,求直线l 的方程26．（2012年高考（四川理））如图,动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆,且2MBA MAB ∠=∠,设动点M 的轨迹为C . (Ⅰ)求轨迹C 的方程;(Ⅱ)设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ,与轨迹C 相交于点Q R 、,且||||PQ PR <,求||||PR PQ 的取值范围.27．（2012年高考（上海理））在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:221=-y x C .(1)过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点,若l 与圆122=+y x 相切,求证:OP ⊥OQ ;(3)设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点,且OM ⊥ON , 求证:O 到直线MN 的距离是定值.28．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知双曲线221: 1.4y C x -= (1)求与双曲线1C 有相同的焦点,且过点3)P 的双曲线2C 的标准方程;(2)直线:l y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A B 、两点.当3OA OB =时,求实数m 的值.yxB AOM29．（2012年高考（陕西理））已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率. (1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =,求直线AB 的方程.30．（2012年高考（山东理））在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. (Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)是否存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若点M 的横坐标为2,直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ,l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ,求当122k ≤≤时,22AB DE +的最小值. 31．（2012年高考（辽宁理））如图,椭圆0C :22221(0x y a b a b+=>>,a ,b 为常数),动圆22211:C x y t +=,1b t a <<.点12,A A 分别为0C 的左,右顶点,1C 与0C 相交于A ,B ,C ,D 四点.(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点,其中2b t a <<,12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等,证明:2212t t +为定值.32．（2012年高考（江西理））已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C 上任意一点M(x,y)满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++.(1) 求曲线C 的方程;(2)动点Q(x 0,y 0)(-2<x 0<2)在曲线C 上,曲线C 在点Q 处的切线为l 向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l 与PA,PB 都不相交,交点分别为D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求t 的值.若不存在,说明理由.[来源:学.科.网]33．（2012年高考（江苏））如图,在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.已知(1)e ，和32e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程;(2)设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线1AF 与直线2BF 平行,2AF 与1BF 交于点P.(i)若1262AF BF -=,求直线1AF 的斜率;(ii)求证:12PF PF +是定值.34．（2012年高考（湖南理））在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的点均在C 2:(x-5)2+y 2=9外,且对C 1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.(Ⅰ)求曲线C 1的方程;(Ⅱ)设P(x 0,y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点,过P 作圆C 2的两条切线,分别与曲线C 1相交于点A,B 和C,D.证明:当P 在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.35．（2012年高考（湖北理））设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由。

2012－2019年新课标全国卷解析几何题 （2012课标全国卷）4．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，△21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( )A ．12B ．23C ．34D ．458．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为( )A B ． C ．4 D ．8 20．(本小题满分12分)设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；(1)若︒=∠90BFD ，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(2)若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．（2013课标全国I 卷）4、已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =± D .y x =± 10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

若AB的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )A 、x 245＋y 236＝1 B 、x 236＋y 227＝1错误！未找到引用源。

C 、x 227＋y 218＝1D 、x 218＋y 29＝1(20)(本小题满分12分)已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.（2013课标全国II 卷）（11）设抛物线C ：y 2 =2p x ( p > 0)的焦点为F ，点M 在C 上，| MF |=5，若以MF 为直径的圆过点(0, 2)，则C 的方程为 （A ）y 2 = 4x 或y 2 = 8x （B ）y 2 = 2x 或y 2 = 8x （C ）y 2 = 4x 或y 2 = 16x （D ）y 2 = 2x 或y 2 = 16x（12）已知点A (-1, 0)，B (1, 0)，C (0, 1)，直线y = a x +b (a > 0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是：（A ）(0, 1)（B ）(1- 错误！未找到引用源。

专题九 圆锥曲线1.【2015高考福建、理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F 、点P 在双曲线E 上、且13PF =、则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==、即236PF -=、解得29PF =、故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程和定义．【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程、利用双曲线的定义列方程求解、属于基础题、注意运算的准确性．2.【2015高考四川、理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线、交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点、则AB =（ ）(C)6 （D ）【答案】D 【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F 、过F 与x 轴垂直的直线为2x =、渐近线方程为2203y x -=、将2x =代入2203y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D.【考点定位】双曲线.【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22220x y a b-=、将直线2x =代入这个渐近线方程、便可得交点A 、B 的纵坐标、从而快速得出||AB 的值.3.【2015高考广东、理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =、且其右焦点()25,0F 、则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==、所以5c =、4a =、2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=、故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力、由离心率和其右焦点易得a 、c 值、再结合双曲线222b c a =-可求、此题学生易忽略右焦点信息而做错、属于容易题．4.【2015高考新课标1、理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点、12,F F 是C 上的两个焦点、若120MF MF ∙<、则0y 的取值范围是( )（A ）（ （B ）（（C ）（） （D ）（ 【答案】A【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ∙表示为关于点M 坐标的函数、利用点M 在双曲线上、消去x 0、根据题意化为关于0y 的不等式、即可解出0y 的范围、是基础题、将12MF MF ∙表示为0y 的函数是解本题的关键.5.【2015高考湖北、理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度、得到离心率为2e 的双曲线2C 、则（ ） A ．对任意的,a b 、12e e >B ．当a b >时、12e e >；当a b <时、12e e <C ．对任意的,a b 、12e e <D ．当a b >时、12e e <；当a b <时、12e e >【答案】D【解析】依题意、2221)(1ab a b a e +=+=、2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=、因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-、由于0>m 、0>a 、0>b 、所以当b a >时、10<<a b 、10<++<m a m b 、m a m b a b ++<、22)()(ma mb a b ++<、所以12e e <；当b a <时、1>a b 、1>++m a m b 、而m a m b a b ++>、所以22)()(ma mb a b ++>、所以12e e >.所以当a b >时、12e e <；当a b <时、12e e >. 【考点定位】双曲线的性质、离心率.【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一、层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟、决不无原则地讨论． 6.【2015高考四川、理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点、与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M 、且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条、则r的取值范围是（ ）（A ）()13，（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D 【解析】显然当直线l 的斜率不存在时、必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时、设斜率为k .设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠、则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩、相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠、所以12121222y y y y x x +-⋅=-、即02ky =.圆心为(5,0)C 、由CM AB ⊥得000001,55y k ky x x -⋅=-=--、所以0025,3x x =-=、即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =得2012,y y =∴-<<.因为点M 在圆()()22250x y r r -+=>上、所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2044y +>（由于斜率不存在、故00y ≠、所以不取等号）、所以204416,24y r <+<∴<<.选D.xy–12123456789–1–2–3–4–5–6123456ABCFO M【考点定位】直线与圆锥曲线、不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知、只要圆的半径小于5、那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设、因此只需直线的斜率存在时、再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时、圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题、常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得、中点必在直线3x =上、由此可确定中点的纵坐标0y 的范围、利用这个范围即可得到r 的取值范围.7.【2015高考重庆、理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1、过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点、过B ,C 分别作AC 、AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a +、则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、((0,2)D 、(,(2,)-∞+∞【答案】A【考点定位】双曲线的性质.【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于,,a b c 的不等式、根据已知条件和双曲线中,,a b c 的关系、要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a b 的不等关系、解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中,,a b c 关系的不同．8.【2015高考天津、理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( 、且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上、则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=【答案】D【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的渐近线方程为by x a =±、由点(在渐近线上、所以b a =、双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =上、所以c =2,a b ==、所以双曲线方程为22143x y -=、故选D.【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质、同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合、找出双曲线中,,a b c 的关系、求出双曲线方程、体现圆锥曲线的统一性.是中档.9.【2015高考安徽、理4】下列双曲线中、焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意、选项,A B 的焦点在x 轴、故排除,A B 、C 项的渐近线方程为2204y x -=、即2y x =±、故选C. 【考点定位】1.双曲线的渐近线.【名师点睛】双曲线确定焦点位置的技巧：2x 前的系数是正、则焦点就在x 轴、反之、在y 轴；在双曲线22221x y a b -=的渐近线方程中,b aa b 容易混淆、只要根据双曲线22221x y a b -=的渐近线方程是22220x y a b-=、便可防止上述错误.10.【2015高考浙江、理5】如图、设抛物线24y x =的焦点为F 、不经过焦点的直线上有三个不同的点A 、B 、C 、其中点A 、B 在抛物线上、点C 在y 轴上、则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A.【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质、属于中档题、解题时、需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质、结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解、在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质、是高考中小题的热点、在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.11.【2015高考新课标2、理11】已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点、点M 在E 上、∆ABM 为等腰三角形、且顶角为120°、则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>、如图所示、AB BM =、0120ABM ∠=、过点M 作MN x ⊥轴、垂足为N 、在Rt BMN ∆中、BN a =、故点M 的坐标为(2)M a 、代入双曲线方程得2222a b a c ==-、即222c a =、所以e =、故选D ．【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识、正确表示点M 的坐标、利用“点在双曲线上”列方程是解题关键、属于中档题．12.【2015高考北京、理10】已知双曲线()22210x y a a -=>0y +=、则a =．【解析】双曲线()22210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a=±、0y y +=⇒=、0a >,则1a a-==【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质、正确利用双曲线的标准方程、求出渐近线方程、利用已给渐近线方程求参数.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质、重点考查双曲线的渐近线方程、本题属于基础题、正确利用双曲线的标准方程、求出渐近线方程、求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”、利用已知渐近线方程、求出参数a 的值.【2015高考上海、理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1、则p = ． 【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离、因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离、即1, 2.2pp == 【考点定位】抛物线定义【名师点睛】标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到、特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值、才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考、通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征、体现了数形结合思想解题的直观性．【2015高考湖南、理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点、若C 上存在点P 、使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点、则C 的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质、属于容易题、根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键、在求解双曲线的方程时、主要利用222b a c +=、焦点坐标、渐近线方程等性质、也会与三角形的中位线、相似三角形、勾股定理等平面几何知识联系起来.13.【2015高考浙江、理9】双曲线2212x y -=的焦距是 、渐近线方程是 ．【答案】32、x y 22±=. 【解析】由题意得：2=a 、1=b 、31222=+=+=b a c 、∴焦距为322=c 、渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距、渐近线等相关概念、属于容易题、根据条件中的双曲线的标准方程可以求得a 、b 、c 、进而即可得到焦距与渐近线方程、在复习时、要弄清各个圆锥曲线方程中各参数的含义以及之间的关系、避免无谓失分.14.【2015高考新课标1、理14】一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。

2012年高考试题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12()B23 ()C 34 ()D 45【答案】C2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【答案】C3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2x y (B) 2x y (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D 4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 【答案】C5.【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C 6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。

若M ，O ，N 将椭圆长 轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是【答案】B7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

全国卷高考圆锥曲线真题参考答案与试题解析一．解答题（共21小题）1．（2015•新课标II）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，△直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．△直线l过点（，m），△由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，△b=m﹣m，△k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，则k＞0，△l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，△k i＞0，k i≠3，i=1，2，△当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．2．（2015•河北）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（△）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（△）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有△OPM=△OPN？（说明理由）【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足△OPM=△OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔△OPM=△OPN．即可证明．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，△曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足△OPM=△OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，△x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．△k1+k2=+==．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，△△OPM=△OPN．△点P（0，﹣a）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2014•新课标I）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（△）求E的方程；（△）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【分析】（△）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（△）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（△）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（△）依题意当l△x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．4．（2014•新课标II）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（△）讨论f（x）的单调性；（△）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（△）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【分析】对第（△）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（△）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（△）问，根据第（△）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b ＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（△）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，△函数f（x）在R上为增函数．（△）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①△e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，△当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，△x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（△）△1.4142＜＜1.4143，根据（△）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．5．（2014•广西）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（△）求C的方程；（△）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（△）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（△）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（△）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，△点P（0，4），△|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，△+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（△）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．△AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，△直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，△y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），△|MN|=|y3﹣y4|=，△MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，△+DE2=MN2，△4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，△m=±1，△直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．6．（2013•新课标△）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（△）求M的方程（△）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD△AB，求四边形ACBD面积的最大值．【分析】（△）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB 的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（△）由CD△AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD=即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【解答】解：（△）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，△，△，又=，△，即a2=2b2．联立得，解得，△M的方程为．（△）△CD△AB，△可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，△直线CD与椭圆有两个不同的交点，△△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），△，．△|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，△交点为A（0，），B，△|AB|==．△S四边形ACBD===，△当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．△四边形ACBD面积的最大值为．【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．7．（2013•新课标△）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（△）求C的方程；（△）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当△P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于△M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，△动圆P与圆M外切并与圆N内切，△|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，△a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．△曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当△P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于△M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．△，．△|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．8．（2014•沧州校级一模）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．9．（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若△BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，△△ABD的面积S△ABD=，△=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），△圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，△A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（△）求r；（△）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【分析】（△）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M（1，），求得MA的斜率，利用l△MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（△）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（△）设A（x0，（x0+1）2），△y=（x+1）2，y′=2（x+1）△l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．△l△MA，△2（x0+1）×=﹣1△x0=0，△A（0，1），△r=|MA|=；（△）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为△△t2（t2﹣4t﹣6）=0△t0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1△D（2，﹣1），△D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．11．（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足△，=•，M点的轨迹为曲线C．（△）求C的方程；（△）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【分析】（△）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入△，=•，即可求得M点的轨迹C的方程；（△）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：（△）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（△）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．12．（2014•马山县校级模拟）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（△）证明：点P在C上；（△）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（△）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；△+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）△p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（△）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③△P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1△A，B也是在圆⑤上的．△A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．13．（2010•全国卷△）己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（△）求C的离心率；（△）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（△）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（△）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．【解答】解：（△）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2=3a2，②故，△C的离心率．（△）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|=（a﹣2x1）（2x2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8．又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．解得a=1，或（舍去），故=6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA△x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．14．（2010•全国卷△）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（△）证明：点F在直线BD上；（△）设，求△BDK的内切圆M的方程．【分析】（△）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2原式得证．（△）首先表示出结果为求得m，进而求得y2﹣y1的值，推知BD的斜率，则BD 方程可知，设M为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．【解答】解：（△）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，代入①，整理得y2﹣4my+4=0，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4，点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．BD的斜率k1===，BF的斜率k2=．要使点F在直线BD上需k1=k2需4（x2﹣1）=y2（y2﹣y1），需4x2=y22，上式成立，△k1=k2，△点F在直线BD上．（△）=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2=，△m2=，m=±．y2﹣y1==4=，△k1=，BD：y=（x﹣1）．易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即|a+1|×=|（（a﹣1）|×，△4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，解得a=．△半径r=，△△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2=．【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．15．（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力16．（2009•全国卷△）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（△）求a，b的值；（△）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，△（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得△，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．17．（2009•全国卷△）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（△）求r的取值范围；（△）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（△）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根△即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x 1），y+=（x ﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则△令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．18．（2009•宁夏）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【分析】（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由椭圆的性质可得从而解决．（2）设M（x，y），其中x∈[﹣4，4]．由已知=λ2及点P在椭圆C上，可得=λ2，整理得（16λ2﹣9）x2+16λ2y2=112，其中x∈[﹣4，4]．再按照圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论．【解答】解：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得，解得a=4，c=3，所以椭圆C的方程为=1．（2）设M（x，y），其中x∈[﹣4，4]．由已知=λ2及点P在椭圆C上，可得=λ2，整理得（16λ2﹣9）x2+16λ2y2=112，其中x∈[﹣4，4]．①λ=时，化简得9y2=112．所以点M的轨迹方程为y=±（﹣4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．②λ≠时，方程变形为=1，其中x∈[﹣4，4]；当0＜λ＜时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足﹣4≤x≤4的部分；当＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足﹣4≤x≤4的部分；当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程．考查分类讨论思想，是中档题．19．（2014•漳州校级模拟）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（△）求双曲线的离心率；（△）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为由，同向，△渐近线的倾斜角为（0，），△渐近线斜率为：，△△|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，△△可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan△AOB=而由对称性可知：OA的斜率为k=tan△，△，△；△，△△（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，c=b，△AB的直线方程为y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，△x1+x2=，x1•x2=，4=，16=﹣，△b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值．20．（2015•南昌校级二模）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（△）若，求k的值；（△）求四边形AEBF面积的最大值．【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据求得x0的表达式，由D在AB上知x0+2kx0=2，进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等求得k．（△）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．【解答】解：（△）依题设得椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，故．①。

10.5圆锥曲线的综合问题1.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点(2,√2)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析(1)由题意有√a2-b2a =√22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为x 28+y24=1.(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入x 28+y24=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M=x1+x22=-2kb2k2+1,y M=k·x M+b=b2k2+1.于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =-12k,即k OM·k=-12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2.(2015陕西,20,12分)如图,椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为√22.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.解析(1)由题设知ca =√22,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=√2.所以椭圆E的方程为x 22+y2=1.(2)证明:由题设知,直线PQ 的方程为y=k(x-1)+1(k ≠2),代入x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 由已知可知Δ>0. 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),x 1x 2≠0, 则x 1+x 2=4k(k -1)1+2k 2,x 1x 2=2k(k -2)1+2k 2. 从而直线AP,AQ 的斜率之和 k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-kx 2 =2k+(2-k)(1x 1+1x 2)=2k+(2-k)x 1+x2x 1x2=2k+(2-k)4k(k -1)2k(k -2)=2k-2(k-1)=2.考点二 参变量的取值范围与最值问题1.(2015山东,21,14分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√32,且点(√3,12)在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆E:x 24a 2+y 24b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q. (i)求|OQ||OP|的值;(ii)求△ABQ 面积的最大值. 解析 (1)由题意知3a 2+14b 2=1, 又√a 2-b 2a =√32,解得a 2=4,b 2=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1. (i)设P(x 0,y 0),|OQ||OP|=λ, 由题意知Q(-λx 0,-λy 0).因为x 024+y 02=1,又(-λx 0)216+(-λy 0)24=1,即λ24(x 024+y 02)=1,所以λ=2,即|OQ||OP|=2. (ii)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 将y=kx+m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2.① 则有x 1+x 2=-8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2-161+4k 2. 所以|x 1-x 2|=4√16k 2+4-m 21+4k 2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m), 所以△OAB 的面积S=12|m||x 1-x 2| =2√16k 2+4-m 2|m|1+4k 2 =2√(16k 2+4-m 2)m 21+4k 2=2√(4-m 21+4k 2)m 21+4k 2. 设m 21+4k 2=t.将y=kx+m 代入椭圆C 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2.② 由①②可知0<t ≤1,因此S=2√(4-t)t =2√-t 2+4t . 故S ≤2√3,当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2√3. 由(i)知,△ABQ 面积为3S, 所以△ABQ 面积的最大值为6√3.考点三 存在性问题1.(2015四川,20,13分)如图,椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率是√22,点P(0,1)在短轴CD 上,且PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. (1)求椭圆E 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A,B 两点.是否存在常数λ,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)由已知,点C,D 的坐标分别为(0,-b),(0,b). 又点P 的坐标为(0,1),且PC⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1, 于是{1-b 2=-1,c a =√22,a 2-b 2=c 2.解得a=2,b=√2.所以椭圆E 方程为x 24+y 22=1.(2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立{x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k 2+1)>0, 所以,x 1+x 2=-4k2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.从而,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1 =(-2λ-4)k 2+(-2λ-1)2k 2+1=-λ-12k 2+1-λ-2.所以,当λ=1时,-λ-12k 2+1-λ-2=-3. 此时,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =-3为定值. 当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD. 此时,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-1=-3. 故存在常数λ=1,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值-3. 2.(2015湖北,22,14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处饺链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时,带动．．N 绕O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为C.以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.图1 图2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线l 1:x-2y=0和l 2:x+2y=0分别交于P,Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解析 (1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4.当M,N 在x 轴上时,等号成立;同理,|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O 重合,即MN ⊥x 轴时,等号成立.所以椭圆C 的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为x 216+y 24=1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为x=4或x=-4,都有S △OPQ =12×4×4=8. (ii)当直线l 的斜率存在时,设直线l:y=kx+m (k ≠±12), 由{y =kx +m,x 2+4y 2=16,消去y,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点, 所以Δ=64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-16)=0,即m 2=16k 2+4.① 又由{y =kx +m,x -2y =0,可得P (2m 1-2k ,m 1-2k );同理可得Q (-2m 1+2k ,m1+2k ).由原点O 到直线PQ 的距离为d=√1+k 2和|PQ|=√1+k 2·|x P -x Q |,可得S △OPQ =12|PQ|·d=12|m||x P -x Q |=12·|m||2m1-2k +2m1+2k |=|2m 21-4k 2|.② 将①代入②得,S △OPQ =|2m 21-4k 2|=8|4k 2+1||4k 2-1| 当k 2>14时,S △OPQ =8·4k 2+14k 2-1=8(1+24k 2-1)>8; 当0≤k 2<14时,S △OPQ =8·4k 2+11-4k 2=8(-1+21-4k 2). 因0≤k 2<14,则0<1-4k 2≤1,21-4k 2≥2, 所以S △OPQ =8(-1+21-4k 2)≥8, 当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.。

圆锥曲线与方程1.（15北京理科）已知双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为30x y +=，则a =． 【答案】33考点：双曲线的几何性质2.（15北京理科）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】试题分析：椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，点()01P ，在椭圆上，利用条件列方程组，解出待定系数222,1ab ==，写出椭圆方程；由点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠，写出PA 直线方程，令0y =求出x 值，写出直线与x 轴交点坐标；由点(0,1),(,)P B m n -，写出直线PB 的方程，令0y =求出x 值，写出点N 的坐标，设0(0,)Q y ，,tan tan OQM ONQ OQM ONQ ∠=∠∴∠=∠求出tan OQM ∠和tan ONQ ∠，利用二者相等，求出02y =±，则存在点Q （0，2）±使得OQM ONQ ∠=∠.试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()01P ，且离心率为2，2211,1,b b == 222c e a =22221112a b a a-==-=，22a =，椭圆C 的方程为2212x y +=.(0,1),(,)P A m n ,直线PA 的方程为：11n y x m -=+，令0,1m y x n==-，(,0)1mM n∴-；考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.3.（15北京文科）已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．3 【解析】试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =. 考点：双曲线的焦点.4.（15北京文科）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【答案】（1（2）1；（3）直线BM 与直线DE 平行. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用ce a=计算离心率；第二问，由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与x=3相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行. 试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c =.所以椭圆C 的离心率c e a ==. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行.证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.5.（15年广东理科）已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ． 【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题．6.（15年广东理科）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； （3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）3325,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦．【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛ ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，L当直线L与圆C相切时，由32=得34k=±，又5743DE DFk k⎛-⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当3325,,4477k⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L：()4y k x=-与曲线C只有一个交点．【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于中高档题．6.（15年广东文科）已知椭圆222125x ym+=（0m>）的左焦点为()1F4,0-，则m=（）A．9B．4C．3D．2【答案】C【解析】试题分析：由题意得：222549m=-=，因为0m>，所以3m=，故选C．考点：椭圆的简单几何性质．7.（15年安徽理科）设椭圆E的方程为()222210x ya ba b+=>>，点O为坐标原点，点A的坐标为()0a，，点B的坐标为()0b，，点M在线段AB上，满足2BM MA=，直线OM的斜率为10.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为()0b-，，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程.8.（15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 【答案】A 【解析】试题分析：由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A. 考点：渐近线方程.9.（15年安徽文科）设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的5（1）求E 的离心率e;(2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。

2015全国各地高考真题 圆锥曲线1.【2015福建理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．32.【2015四川理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(A)433(B)23 (C)6 （D ）433.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233）5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13，（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 7.【2015重庆理10】设双曲线22221x y a b -=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C 、(2,0)(0,2)- D 、(,2)(2,)-∞-+∞8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B. 2211BF AF -- C.11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．212.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．13.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．14.【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .15.【2015高考浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 16.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。