2021高考数学一轮复习考点规范练12函数与方程(含解析)

2021届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷函数与方程测试时间：100分钟一、选择题（每小题有四个选项，只有一个正确）1.已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( )A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5)2.若函数f (x )唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是( )A.函数f (x )在区间(0，1)内有零点B.函数f (x )在区间(0，1)或(1，2)内有零点C.函数f (x )在区间[2，16)上无零点D.函数f (x )在区间(1，16)内无零点3.若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1]D.[1，＋∞)4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2，0 C.12 D.05.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A.0B.1C.2D.36.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)7.函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫1e ，1 B.(1，2) C.(2，e) D.(e ，3)8.已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C.－78D.－389.已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1，h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.b <a <c10.若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A.(a ，b )和(b ，c )内B.(－∞，a )和(a ，b )内C.(b ，c )和(c ，＋∞)内D.(－∞，a )和(c ，＋∞)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( ) A.(1，2) B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞)D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 12.定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1），2－x 2，x ∈[－1，0），且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( )A.3个B.2个C.1个D.0个13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1）x 3－3x（x ≥0），（x <0），若函数y ＝f (x )－k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A.(－2，2)B.(－2，1)C.(0，2)D.(1，3)14.设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( )A.4B.3C.2D.115.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，1)C.(－1，0)D.[－1，0)16.已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则实数a 的取值范围是( )A.(5，6)B.(7，8)C.(8，9)D.(9，10)17.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2.令g (x )＝f (x )－kx －k ，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝0有4个不相等实根，则实数k 的取值范围是( )A.(0，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤0，14 D.⎣⎡⎦⎤14，13二、填空题 18．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 19.方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围是________.20.函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为________.21.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.22.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________. 23.已知函数f (x )＝e x －e －x ＋4，若方程f (x )＝kx ＋4(k >0)有三个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.24设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________.25若曲线y ＝log 2(2x －m )(x >2)上至少存在一点与直线y ＝x ＋1上的一点关于原点对称，则m 的取值范围为________.答案解析一、选择题（每小题有四个选项，只有一个正确）1.B2.C3.B4.D5.C6.C7.C8.C9.A10.A11.D12.B13.C14.C15.D16.A17.C二、填空题18．－1219.[5，10)20.121.－1222.523.024(1，2)25(2，4]。

2023高考一轮复习讲与练12 函数与方程练高考 明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T10）（多选题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得x <<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 2.（2022·全国乙（文）T20） 已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． （1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1- （2）()0,+∞ 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=， 当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-； 【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=， 当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=， 所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x ，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0fx，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a aa -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1（当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2（若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）2y x = （2）(,1)-∞- 【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex xf x x f =++=,所以切点为(0,0)，11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。

《函数与方程》（二）考查内容：主要涉及函数零点个数的判断（方程法、数形结合法、图象法、零点存在定理与函数性质结合法）一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数26,0()3ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，2()f x x =，则4()log ||y f x x =-的零点个数为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．25．函数()sin 1f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．已知函数23(0),()1(0),x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩则方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）的不同的实数根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2e e xx f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．(]{},01-∞9．已知函数23||,3()(3),3x x f x x x -⎧=⎨->⎩，()(3)6g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．4C ．3D ．210．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0）D ．[0，+∞）11．已知函数()sin ,02224xx f x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，若函数()()1g x f x kx =--恰有三个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．41,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．41,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x =根的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题13．函数()()2ln 14xf x x =⋅+-的零点个数为_______.14．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．已知函数32ln(2),2,()68,,x x m f x x x x x m +-<<⎧=⎨-+≥⎩若函数()f x 仅有2个零点，则实数m 的取值范围为______. 16．已知函数,0()(1),0xlnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c 的取值范围是__.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求函数lg y x =和sin y x =的图像的交点个数．18．讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.19．已知函数()f x =，()3g x ax =-.（1）设函数()()()()25h x f x g x x =+-+，讨论函数()y h x =在区间[]0,2内的零点个数；（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[]2,4上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m ； （3）讨论()f x 在区间[]3,3-上的零点个数.21．已知函数()22,182,1x a x f x ax x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，其中a R ∈.()1当1a =时，求()f x 的最小值； ()2当2a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.22．已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）《函数与方程》（二）解析1.【解析】若260x x --=．则2x =-或3x =．又∵0x ≤∴2x =- 若3ln 0x -+=，则3x e =满足0x >，综上，函数()f x 的零点个数为2． 故选:B2.【解析】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2.故选：B3.【解析】函数()ln 1f x x x =-+的零点个数等价于函数ln y x =与函数1y x =-的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数ln y x =与1y x =-的图象，如下图：因为1(ln )y x x ''==，曲线ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为：11k x==， 所以曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以可知两函数图象有一个交点，故函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为1. 故选：B .4.【解析】因为()()y f x x R =∈为周期为2的函数,通过且(1,1]x ∈-时，2()f x x =,做出函数图象如图所示:4()log ||y f x x =-的零点个数即为()y f x =与4log ||y x =图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.5.【解析】令()sin 10f x x x =-=，显然0x =不是函数的零点，可得1sin x x=． 故作出函数sin y x =和1y x =的图象，如图所示：在(,)22ππ-上有2个交点.故选：A6.【解析】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C7.【解析】由|()1|2f x c -=-，得()1(2)f x c =±-．∵(1,0)c ∈-， ∴1(2)(3,4),1(2)(2,1)c c +-∈--∈--． 作出函数()f x 和1(2)y c =±-的图象如图所示，易知它们的图象共有4个不同的交点，即方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）有4个不同的实数根．故选：B8.【解析】(0)1100f =--=,则可知0x =一定是函数()f x 的一个零点0x ≠时,可得:1x x e a x e -=,令1(),()x x e a g x h x x e -==,21()x x xe e g x x '-+=，令()1x x u x xe e =-+, ()xu e x x '=，可得函数()u x 在0x =时取得极小值即最小值 ,()()00u x u ∴≥=.())'0(0g x x ∴>≠.∴函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增，此时，()0g x >恒成立，对于()xa h x e =， 0a <时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件0a =时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件1a =时 , 函数1()x h x e=, 经过()0,1, 与函数()g x 的图象没有交点, 如下图，满足条件 .0a >, 且1a ≠时 , 函数()h x 与函数()g x 的图象有交点，如下图，不满足条件，舍去 .综上可得：实数a 的取值范围为{}(],01-∞⋃，故选：D .9.【解析】由()6(3)g x f x =--，知()()()(3)6y f x g x f x f x =-=+--. 令()()(3)F x f x f x =+-，则(3)(3)()F x f x f x -=-+， 所以(3)()F x F x -=，即()F x 的图象关于直线32x =对称.当302x时，()()(3)33(3)3F x f x f x x x =+-=-+--=； 当0x <时，2221()()(3)3(33)32F x f x f x x x x x x ⎛⎫=+-=++--=++=++⎪⎝⎭114.作出()F x 的图象可知，函数()6F x =的解有2个，所以函数()()y f x g x =-的零点个数2个.故选：D10.【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1.故选：B11.【解析】当24x <≤时，y =，则0y ≤，等式两边平方得2268y x x =-+-，整理得()2231x y -+=，所以曲线)24y x =<≤表示圆()2231x y -+=的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，直线1y kx =+过定点()0,1P ，当直线1y kx =+过点()4,0A 时，则410k +=，可得14k =-； 当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=相切，且切点位于第三象限时，k0<，1=，解得34k =-.由图象可知，当3144k -<≤-时，直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点.因此，实数k 的取值范围是31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：B.12.【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. （1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.故选：C. 13.【解析】令()()2ln 140xf x x =⋅+-=，则()24ln 122x x x -+==， 在同一直角坐标系中作出函数()ln 1y x =+与22xy -=的图象，如图：由图象可知，函数()ln 1y x =+当1x →-时，()ln 1y x =+→+∞则与22xy -=的图象有必有两个交点， 所以方程()24ln 122xxx -+==有两个不同实根，所以函数()()2ln 14x f x x =⋅+-的零点个数为2.故答案为：2.14.【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知，当01k <<时，函数()f x 与y k =的图象有两个不同的交点， 此时，方程有两个不同实根，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1) 15.【解析】对于函数3268y x x x =-+，23128y x x '=-+，令0y '=，解得23x =±，故当,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭时，0y '>；当22x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<；当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '>； 令ln(2)0x +=，解得1x =-；令32680x x x -+=，解得0x =，2x =或4x =. 作出ln(2)y x =+，3268y x x x =-+的大致图像：观察可知，若函数()f x 仅有2个零点，则24m <≤，故实数m 的取值范围为(]2,4. 16.【解析】当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x ≤时，()(1)xf x e x =+，则()(2)x f x e x '=+2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；当1x <-时，()(1)0xf x e x =+< 作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个交点，由图可知，20e c --<<，故答案为：()20，e -- 17.【解析】由1y lgx ==解得10x =，又sin y x =的值域为[]1,1-， 且y lgx =在定义域上单调递增，作出函数sin y x =与y lgx =的图象如图： 由图象可知两个图象的交点个数为3个，18.【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x ，与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解； 当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解； 当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.19.【解析】（1）因为()()()()()22511h x fx g x x x a x =+-+=+-+，令()0h x =，则()2110x a x +-+=，当=0x 时，则10=，不符合条件，当0x ≠时，则11a x x-=+ 作函数1y a =-与()102y x x x=+<≤的图象，由图可知：①当12a -<时，即1a >-时，两图象无公共点，则()h x 在区间[]0,2内无零点；②当12a -=时或512a ->时，即32a <-或1a =-时，两图象仅有一个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内仅有一个零点； ③当5212a <-≤时，即312a -≤<-时，两图象有两个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内有两个零点.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5； 当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意，[]3,5M ⊆，①当0a =时，()03g x =-不合题意；②当0a >时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦， 由()()2523g g ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩ ，得2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，解得4a ≥； ③当0a <时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，得2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得4a ≤-； 综上得，实数a 的取值范围是(][),44,-∞-⋃+∞.20.【解析】（1）由题意，函数2()()7f x x mx m m R =++-∈开口向上，对称轴的方程为2m x =-，若使得函数()f x 在[]2,4上单调递增，则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞.（2）①当112m -≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为()()16g m f =-=-；②当1112m -<-<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减， 所以函数()y f x =的最小值为()()126g m g m ==-， 综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. （3）因为函数()y f x =的对称轴方程为12x m =-，且24280m m ∆=-+>恒成立， ①当()()133232203420m f m f m ⎧-<-<⎪⎪-=-≥⎨⎪=+≥⎪⎩，即112m -≤≤时， 函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点； ②当()1323220m f m ⎧-≤-⎪⎨⎪-=-≥⎩，此时m 不存在； ③当()1323420m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，此时m 不存在；④当()()330f f -⋅≤，即()()22420m m -+≤，解得m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 综上可得：当112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点， 当m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 21.【解析】()1当1a =时，()221,182,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则当1x ≤时，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1f x >-且无最小值；当1x >时，由二次函数()()2282414g x x x x =-+=--知，()f x 在(]1,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，故()()min 414f x f ==-.()2当0a ≤，1x ≤时，()f x 没有零点，当1x >时，()f x 没有零点；当02a <≤，1x ≤时，()f x 有一个零点，当1x >时，()f x 有一个零点.22.【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==， 解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增； 当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>， 又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.。

函数与方程基础练一、选择题1．[2021·河南濮阳模拟]函数f (x )＝ln2x －1的零点所在区间为( )A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(0,1)D ．(1,2)2．函数f (x )＝x 2＋ln x －2021的零点个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．C ．(1,2) D ．(2,3)4．[2021·四川绵阳模拟]函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2021·大同调研]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]二、填空题6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 7．[2021·新疆适应性检测]设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1,1)时，函数有零点，则a 的取值个数为________．8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求m 的取值范围．能力练11．[2021·天津部分区质量调查]已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫34，1C.⎝⎛⎭⎫34，2D.⎝⎛⎭⎫32，212．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤01x ，x >0，若方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4－23)B ．(4－23，4＋23)C ．(0,4－23]D ．(0,4－23)13．[2021·山西省六校高三阶段性测试]函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(－15≤x ≤10)的图象与函数y＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2图象的所有交点的横坐标之和为______．参考答案：1．解析：由f (x )＝ln2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故选D.答案：D2．解析：由题意知x >0，由f (x )＝0得ln x ＝2021－x 2，画出函数y ＝ln x 与函数y ＝2021－x 2的图象(图略)，即可知它们只有一个交点．故选C.答案：C3．解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (1)＝－0.28<0，f (2)＝3.39>0，故方程e x －x －2＝0的一个根在区间(1,2)内．故选C.答案：C4．解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C 项． 答案：C5．解析：h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a >1，故选B.答案：B 6．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－127．解析：根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)>0⇒1e －1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得a 的可能取值为0,1,2,3.答案：48．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0,1]．答案：(0,1]9．解析：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．解析：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)>0，g (2)<0，g (4)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. 11．解析：假设a <b <c ，通过作图可得a ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，b ＋c ＝2，所以a ＋b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，2，故选D 项．答案：D12．解析：方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根可化为函数y ＝f (x )与y ＝a (x ＋3)的图象有四个不同的交点，易知直线y ＝a (x ＋3)恒过点(－3,0)，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合函数图象，可知a >0且直线y ＝a (x ＋3)与曲线y ＝－x 2－2x ，x ∈[－2,0]有两个不同的公共点，所以方程x 2＋(2＋a )x ＋3a ＝0在[－2,0]上有两个不等的实数根，令g (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋3a ，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2＋a )2－12a >0－2<－2＋a 2<0g (0)＝3a ≥0g (－2)＝a ≥0，解得0≤a <4－23，又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,4－23)，故选D.答案：D 13．解析：函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(x ∈R )的图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2，当x ＝－1时，y ＝0，当x ≠－1时，易知函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2＝5x ＋1＋1x ＋1在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且当x ∈(－1，＋∞)时，y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2的最大值为52，函数图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5，当x ＝0时，y ＝5sin π5>5sin π6＝52，所以在(－1,0)内两函数图象有一个交点．根据两函数图象均关于点(－1,0)对称．可知两函数图象的交点关于点(－1,0)对称，画出两函数在[－15,10]上的大致图象，如图，得到所有交点的横坐标之和为－1＋(－2)×3＝－7.答案：－7。

专题11 函数与方程【考点总结】 1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)三个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 2．函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系(x ，0)，(x ，0) 无交点 有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 【易错总结】(1)错用零点存在性定理； (2)误解函数零点的定义； (3)忽略限制条件；(4)错用二次函数在R 上无零点的条件． 例1．函数f (x )＝x ＋1x的零点个数是______．解析：函数的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点． 答案：0例2．函数f (x )＝x 2－3x 的零点是______．解析：由f (x )＝0，得x 2－3x ＝0， 即x ＝0和x ＝3. 答案：0和3例3．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是______．解析：二次函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.答案：(－8，1]例4．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是______．解析：由题意得Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4. 答案：(0，4) 【考点解析】【考点】一、函数零点所在区间的判断例1．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，所以f (1)·f (2)＜0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数，所以f (x )的零点所在的区间是(1，2)． 例2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A.因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A. 例3．设函数y 1＝x 3与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______．解析：令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，有f (1)<0，f (2)>0，所以x 0所在的区间是(1，2)．答案：(1，2)确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上． (2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【考点】二、函数零点的个数例1、(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是______．(2)函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______． 【解析】 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin 2x (x >－1)与 y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．【答案】 (1)2 (2)2 判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．【变式】1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点． 当x ＞0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0. 则e x ＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.【变式】2．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为______．解析：由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x，作出函数y 1＝|log 0.5x |和y 2＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，由右图知两函数图象有2个交点， 故函数f (x )有2个零点． 答案：2【考点】三、函数零点的应用 角度一 根据函数零点个数求参数例1、(2020·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]【解析】 令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2 )，由f ′(x )<0得e x (x ＋2)<0，即x <－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )>0得e x (x ＋2)>0，即－2<x <0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0<b ≤1，故选D.【答案】 D角度二 根据函数有无零点求参数例2、(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D ．⎣⎡⎭⎫2，103 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103.(2)函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．【答案】 (1)D (2)D角度三 根据函数零点的范围求参数例3、若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是______．【解析】 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m <12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫14，12根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 【变式】1．方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为______．解析：若方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则⎝⎛⎭⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝⎛⎭⎫12x ＋2x ＝a 有解，因为14⎝⎛⎭⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1.答案：1【变式】2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是______．解析：函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.答案：a≥－1。

【最新考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ函数与方程√1．结合二次函数的图像，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2．依据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．【考点深度剖析】1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点．2．由函数y＝f(x)在闭区间a，b]上有零点不肯定能推出f(a)·f(b)<0，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间a，b]上有零点的充分不必要条件．【课前检测训练】判一判](1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( )解析错误.若f′(x)>0，则f(x)为增函数；但f(x)为增函数时，应有f′(x)≥0，如函数y＝x3.(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( )解析错误.可能有多个极大值也可能没有极大值.(3)函数的极大值不肯定比微小值大.( )解析正确.(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.( )解析错误.例如函数f(x)＝x3，在x＝0处的导数为0，但f(0)不是它的极值.(5)函数的最大值不肯定是极大值，函数的最小值也不肯定是微小值.( )解析正确.当函数在区间的端点处取得最值时，该最值就不是极值. 练一练]1．函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为________解析函数y＝12x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x－1x＋1x，令y′≤0，则可得0<x≤1.答案(0,1]2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图像，则f(x)的微小值点的个数为________.解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案 13．已知f(x)＝x3－ax在1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________.解析f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又∵x∈1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3.答案 34．函数f(x)＝x33＋x2－3x－4在0,2]上的最小值是________.答案－173【经典例题精析】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为_________．【答案】(1,2)．【解析】法一：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，所以函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．法二：作出函数y＝log3x与y＝－x＋2的图像(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内．【1-2】函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 【基础学问】 1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2．二分法对于在区间a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【思想方法】函数零点个数的推断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，假如能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必需结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提示】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点． 考点2 推断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个． 【答案】2【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____【答案】4【解析】由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1，又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． 【基础学问】函数零点个数的推断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )； (3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论． 【思想方法】 (1)等价转化思想． (2)数形结合思想【温馨提示】正确作出函数图像，揭示零点性质 考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1【基础学问】函数零点与函数交点关系 【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接依据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分别参数法：先将参数分别，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 【温馨提示】正确作出函数图像，揭示零点性质 【易错题型大揭秘】函数在区间上有零点求参数问题，肯定要留意变量或参数的取值范围． 如：已知集合(){}2,20x y xmx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．【分析】A B ≠∅，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．()010f =>，当()20f ≤，即32m ≤-时，明显A B ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【易错点】忽视变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 【解析】 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.。

考点规范练12 函数与方程考点规范练B 册第7页基础巩固1.已知函数f (x )={2x -1,x ≤1,1+log 2x ,x >1,则函数f (x )的零点为( )A .12,0 B.-2,0C .12D.0答案:D解析:当x ≤1时,由f (x )=2x-1=0,解得x=0; 当x>1时,由f (x )=1+log 2x=0,解得x=12, 又因为x>1,所以此时方程无解. 综上可知函数f (x )的零点只有0,故选D .2.函数y=ln(x+1)与y=1x 的图象交点的横坐标所在区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案:B解析:函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标,即为函数f (x )=ln(x+1)-1x的零点.∵f (x )在区间(0,+∞)内是图象连续的,且f (1)=ln2-1<0,f (2)=ln3-12>0,∴f (x )的零点所在区间为(1,2). 故选B .3.(2019北京西城区模拟)若函数f (x )=2x-2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)答案:C解析:由题意可知,f (x )=2x-2x -a 在区间(1,2)内单调递增,又f (x )=2x-2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则有f (1)·f (2)<0,故(-a )(4-1-a )<0,即a (a-3)<0.解得0<a<3.4.若函数f (x )的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),(1,32)内,则与f (0)符号相同的是( ) A.f (4) B.f (2) C.f (1)D.f (32)答案:C解析:本题实质考查二分法.由题意知f (x )的零点在区间(1,32)内,可知f (0)与f (1)符号相同. 5.若f (x )是奇函数,且x 0是y=f (x )+e x的一个零点,则-x 0一定是下列哪个函数的零点( ) A.y=f (-x )e x-1 B.y=f (x )e -x+1 C.y=e xf (x )-1 D.y=e xf (x )+1答案:C解析:由已知可得f (x 0)=-e x 0,则e -x 0f (x 0)=-1,e -x 0f (-x 0)=1,故-x 0一定是y=e xf (x )-1的零点.6.函数f (x )=sin(πcos x )在区间[0,2π]上的零点个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案:C解析:令f (x )=0,得πcos x=k π(k ∈Z )⇒cos x=k (k ∈Z ),所以k=0,1,-1. 若k=0,则x=π2或x=3π2;若k=1,则x=0或x=2π; 若k=-1,则x=π. 故零点个数为5.7.(2019河南郑州质量测试)已知函数f (x )={e x -x ,x ≤0,2x -x ,x >0(a ∈R ),若函数f (x )在R 上有两个零点,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1] B.[1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:画出函数f (x )的大致图象如图所示.因为函数f (x )在R 上有两个零点,所以f (x )在区间(-∞,0]和(0,+∞)内各有一个零点.当x ≤0时,要使f (x )有一个零点,则需{1-x ≥0,-x <0,即0<a ≤1;当x>0时,要使f (x )有一个零点,则需-a<0,即a>0.综上,0<a≤1.8.已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=(110)x在区间[0,4]上解的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:D解析:由f(x-1)=f(x+1),可知函数f(x)的周期T=2.∵x∈[0,1]时,f(x)=x,又f(x)是偶函数,∴f(x)的图象与y=(110)x的图象如图所示.由图象可知f(x)=(110)x在区间[0,4]上解的个数是4.故选D.9.(2019安徽安庆摸底)若函数f(x)=4x-2x-a在区间[-1,1]上有零点,则实数a的取值范围是.答案:[-14,2]解析:∵函数f(x)=4x-2x-a在区间[-1,1]上有零点,∴方程4x-2x-a=0在区间[-1,1]上有解,∴a=4x-2x=(2x-12)2−14在区间[-1,1]上有解.∵x∈[-1,1],∴2x∈[12,2],∴a∈[-14,2].故实数a的取值范围是[-14,2].10.(2019吉林实验中学模拟)已知关于x 的方程|2x-10|=a 有两个不同的实根x 1,x 2,且x 2=2x 1,则实数a= . 答案:6解析:∵关于x 的方程|2x-10|=a 有两个不同的实根x 1,x 2,且x 2=2x 1, ∴2x 2-10=a ,10-2x 1=a ,∴2x 2=22x 1=10+a ,2x 1=10-a , ∴10+a=(10-a )2,解得a=6或a=15(舍去).11.已知函数f (x )={log 2(x +1),x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,则实数m 的取值范围是 . 答案:(0,1)解析:因为函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,所以f (x )-m=0有3个根,所以y=f (x )的图象与直线y=m 有3个交点.画出函数y=f (x )的图象,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m 的取值范围是(0,1).12.已知函数f (x )=x+2x,g (x )=x+ln x ,h (x )=x-√x -1的零点分别为x 1,x 2,x 3,则x 1,x 2,x 3的大小关系是 . 答案:x 1<x 2<x 3解析:令y 1=2x,y 2=ln x ,y 3=-√x -1,y=-x ,∵函数f (x )=x+2x,g (x )=x+ln x ,h (x )=x-√x -1的零点分别为x 1,x 2,x 3,即为函数y 1=2x ,y 2=ln x ,y 3=-√x -1与函数y=-x 交点的横坐标,分别作出函数的图象,结合图象可得x 1<x 2<x 3.能力提升13.已知函数f (x )=|2x-2|+b 的两个零点分别为x 1,x 2(x 1>x 2),则下列结论正确的是( )A.1<x1<2,x1+x2<2B.1<x1<2,x1+x2<1C.x1>1,x1+x2<2D.x1>1,x1+x2<1答案:A解析:函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1),在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图),可知1<x1<2.当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x1+x2<2.14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上为增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为()A.8B.-8C.0D.-4答案:B解析:∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.∴函数图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.∵f(x)在区间[0,2]上为增函数,∴f(x)在区间[-2,0]上为增函数,综上条件得函数f(x)的示意图如图所示.由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.15.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是()A.f(a)<f(1)<f(b)B.f(a)<f(b)<f(1)C.f(1)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(1)<f(a)答案:A解析:由题意,知f'(x)=e x+1>0在x∈R上恒成立,故函数f(x)在R上单调递增.而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1);由题意,知g'(x)=1x+1>0在x∈(0,+∞)内恒成立,故函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).故选A.16.已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1答案:C解析:∵f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+e x-1)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12.17.若定义在R 上的函数y=f (x )满足f (x+1)=-f (x ),且当x ∈[-1,1]时,f (x )=x 2,函数g (x )={log 3(x -1),x >1,2x ,x ≤1,则函数h (x )=f (x )-g (x )在区间[-5,5]上的零点的个数为 .答案:8解析:∵f (x+1)=-f (x ),∴f (x+2)=f (x ). 又x ∈[-1,1]时,f (x )=x 2,∴f (x )的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )的图象,可见y=f (x )(-5≤x ≤5)与y=2x (x ≤1)有5个交点,y=f (x )(-5≤x ≤5)与y=log 3(x-1)(x>1)的图象有3个交点,故共有8个交点.高考预测18.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 都有f (x+1)=f (x-1).当0≤x ≤1时,f (x )=x 2.若函数y=f (x )-x-a 在区间[0,2]上有三个不同的零点,则实数a 的取值范围为 . 答案:(-14,0)解析:因为对任意的x ∈R 都有f (x+1)=f (x-1),所以f (x+2)=f (x ). 所以函数f (x )的周期为2. 由f (x )-x-a=0,得f (x )=x+a.又当0≤x ≤1时,f (x )=x 2,且f (x )是定义在R 上的偶函数,故可画出f (x )的示意图,如图所示.设直线y=x+a 与抛物线f (x )=x 2在[0,1]之间相切于点P (x 0,y 0),由f'(x )=2x ,可得2x 0=1,解得x 0=12. 故y 0=(12)2=14,即P (12,14),将点P 代入y=x+a ,得a=-14.当直线经过点O,A时,a=0.若函数y=f(x)-x-a在区间[0,2]上有三个不同的零点,即直线y=x+a与曲线y=f(x)在区间[0,2]上<a<0.恰有三个不同的公共点,则-14。