求二次函数解析式 综合题 练习+答案

--求二次函数解析式专项练习60题（有答案)１．已知二次函数图象的顶点坐标是(1,﹣4)，且与y轴交于点(0,﹣3)，求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x２＋bｘ+c的图象经过点Ａ(﹣1,1２），B(2，﹣3).(1)求这个二次函数的解析式.(２)求这个图象的顶点坐标及与ｘ轴的交点坐标．3.在平面直角坐标系ｘOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线ｌ与二次函数y=x2+bx+２图象的一个交点为（m,3),试求二次函数的解析式.4.已知抛物线ｙ=ax２+bｘ＋c与抛物线形状相同,顶点坐标为（﹣2，4)，求ａ,b，c的值.５．已知二次函数y=aｘ２＋bx＋ｃ,其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式;（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．x …﹣2 0 ２…y …﹣１１１１…6.已知抛物线y=x2+(m+1)x+ｍ,根据下列条件分别求m的值.(1）若抛物线过原点；（２)若抛物线的顶点在ｘ轴上；(3）若抛物线的对称轴为x=2．7.已知抛物线经过两点Ａ（1,０）、Ｂ(0，3)，且对称轴是直线x=２,求其解析式.8．二次函数y=ax2+ｂｘ＋c(ａ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题:（1)写出y>０时,x的取值范围_＿__＿__＿_ ；(２）写出y随x的增大而减小的自变量ｘ的取值范围_＿＿__＿__＿；(3)求函数y=ax2+bx＋ｃ的表达式.９.已知二次函数y=x2+bx+ｃ的图象经过点A(﹣2，5），B（1，﹣4）.（1）求这个二次函数解析式；(2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（３)画出这个函数的图象.1０．已知:抛物线经过点Ａ(﹣1,7)、Ｂ（2,１)和点C(０，1).(1)求这条抛物线的解析式;（2)求该抛物线的顶点坐标.１1．若二次函数y＝ａx2+ｂｘ+c的图象与y轴交于点Ａ（0,3),且经过B(1,0)、C（2,﹣1）两点,求此二次函数的解析式．12.二次函数y=x2＋ｂx+ｃ的图象过Ａ(2，3)和Ｂ(﹣1，0)两点，求此二次函数的解析式．13.已知：一抛物线y=aｘ2+ｂx﹣2（a≠０）经过点(3，4)和点（﹣1,0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴.１4．二次函数y=2ｘ2＋bx＋c的图象经过点(０，﹣6)、(３,0），求这个二次函数的解析式,并用配方法求它的图象的顶点坐标．１5．如图,抛物线y＝﹣x２+5x+m经过点A(1，０）,与ｙ轴交于点B，（1)求m的值;（2)若抛物线与x轴的另一交点为C，求△ＣAB的面积；（3）P是ｙ轴正半轴上一点，且△PAＢ是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.16．如图，抛物线ｙ=﹣ｘ2+ｂｘ+c与ｘ轴的两个交点分别为Ａ(１，0）,B(3,0).(1）求这条抛物线对应函数的表达式;（2)若Ｐ点在该抛物线上,求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．１７.已知二次函数的图象经过点（0,﹣１)、（1，﹣3）、（﹣1，3）,求这个二次函数的解析式.并用配方法求出图象的顶点坐标．18.已知:二次函数的顶点为A(﹣１,4）,且过点B（２，﹣5），求该二次函数的解析式.19.已知一个二次函数y=x２＋bx＋c的图象经过(1,2)、（﹣1，6）,求这个函数的解析式．２0．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2,０）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与ｘ轴的另一个交点.21.已知抛物线最大值为3,其对称轴为直线ｘ=﹣1,且过点（1,﹣5）,求其解析式.22.已知二次函数图象顶点坐标为（﹣２,3），且过点（1,0),求此二次函数解析式．２3．已知抛物线y=﹣x2＋bｘ+c,它与x轴的两个交点分别为（﹣1，０），(3,0)，求此抛物线的解析式.24．一个二次函数的图象经过点（0，0）,（﹣1,﹣１），(１,9）三点,求这个函数的关系式．25．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点Ａ(２,﹣３)，B（１,﹣４)．（1)求这个函数的解析式;(２)求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．2６.已知二次函数ｙ=ax２+bx﹣3的图象经过点A(2,﹣3）,B(﹣1,0）．求二次函数的解析式．27．已知二次函数y＝ａx2+ｂx+c,当ｘ=0时，函数值为5,当x＝﹣１或﹣5时,函数值都为0，求这个二次函数的解析式．2８．已知抛物线的图象经过点A（１,0),顶点P的坐标是.(l)求抛物线的解析式；(2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积.２９．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分,它经过A(﹣１,0）,Ｂ（0,3)两点.(1）求抛物线的解析式；(2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移１个单位,求平移后的抛物线的解析式.30．已知二次函数y=﹣x２+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为（﹣１，0），与ｙ轴的交点坐标为（0,３)．（１）试求二次函数的解析式;(2)求y的最大值;（3）写出当ｙ＞0时，x的取值范围.31．已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x＋1上，并且图象经过点（２，1），求二次函数的解析式．３2．抛物线y=﹣ｘ２+bx+ｃ的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，０)，求此抛物线的解析式.33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3)，且顶点坐标为（﹣1,﹣４）.（1）求该二次函数的解析式；(2）设该二次函数的图象与ｘ轴的交点为A、B，与ｙ轴的交点为C，求△ABＣ的面积．34．如图,直线y=ｘ+ｍ和抛物线y＝x２+ｂｘ+c都经过点A(2，0),B(５，３)．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+ｍ的解集(直接写出答案)；(3）若抛物线与y轴交于C,求△ＡBＣ的面积．35．二次函数的图象经过点(１，2)和(0,﹣1）且对称轴为ｘ=2，求二次函数解析式.36．如图所示,二次函数y=﹣x２+bx+c的图象经过坐标原点O和A(４，0).（1)求出此二次函数的解析式；（2）若该图象的最高点为B,试求出△AＢＯ的面积；（3）当1<x＜4时,y的取值范围是____＿____ ．3７．已知：一个二次函数的图象经过(﹣1,10),(1,4）,（2,7）三点．(1)求出这个二次函数解析式;(２）利用配方法,把它化成ｙ=a（x+h)２+k的形式,并写出顶点坐标和y随ｘ变化情况．38.已知抛物线ｙ=x2﹣2(k﹣2）x+1经过点A(﹣１,２)(1）求此抛物线的解析式；(2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．39.根据条件求下列抛物线的解析式：(1）二次函数的图象经过(0，1)，（２，1）和(3，4）;(2）抛物线的顶点坐标是（﹣2,１）,且经过点(1,﹣2）．40.已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,﹣2）且与ｙ轴交于（0，)（1）求函数的解析式;（２)当x为何值时,ｙ随x增大而增大.41．已知二次函数的图象经过点(0,﹣2)，且当ｘ=1时函数有最小值﹣３．（1)求这个二次函数的解析式;(2)如果点（﹣2，y1),（1，ｙ2）和（3，y3)都在该函数图象上,试比较y1,y2，y3的大小.4２．已知二次函数y=x2+bｘ＋c的图象经过点(０,3）、（4,3)（1）求二次函数的解析式,并在给定的坐标系中画出该函数的图象(不用列表）；（2)直接写出x２+bx＋ｃ＞3的解集.43.不论m取任何实数，ｙ关于x的二次函数y=x２+2mｘ+m2＋2m﹣１的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．44.抛物线ｙ=ax2+bx+c过点A（﹣2,１），B(2,3），且与ｙ轴负半轴交于点C，S△ABＣ=12，求其解析式.45．直线ｙ＝kx+b过x轴上的A(2，0)点,且与抛物线y=ax２相交于B、Ｃ两点,已知B点坐标为（1,1),求直线和抛物线所表示的函数解析式,并在同一坐标系中画出它们的图象．46．已知二次函数y=x２+ｂx＋c的图象经过点P（2，7）、Q（０，﹣5)．（1)试确定b、c的值;（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点Ｂ的左侧),试求△PＡB的面积．４7．抛物线y=ａｘ2﹣3ａx+b经过A（﹣1，0），C（3,﹣２）两点．（１）求此抛物线的解析式;（２)求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标.4８．已知二次函数ｙ=ｘ2+bx+ｃ的图象经过点A(０,4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式.４9.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣４，３），且图象过点（ｌ,﹣2)．(1）求这个二次函数的关系式;（２）写出它的开口方向、对称轴．５0．如图，A(﹣1,０)、B(2，﹣３)两点在一次函数y1＝﹣x＋ｍ与二次函数y2=ａx２+ｂx﹣3的图象上.（1）求m的值和二次函数的解析式.（2)二次函数交y轴于C,求△AＢC的面积．51．若二次函数的图象的对称轴是直线ｘ=1.5,并且图象过A(０，﹣４)和Ｂ(4，０）（1）求此二次函数的解析式；(2）求此二次函数图象上点Ａ关于对称轴对称的点A′的坐标.52．若二次函数ｙ=aｘ2＋bx+c中，c=3,图象的顶点坐标为（２,﹣1),求该二次函数的解析式.５3.过点A(﹣1，4）,B（﹣3,﹣8)的二次函数ｙ1=ax2＋bｘ+c与二次函数的图象的形状一样,开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．54.二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为１和﹣7，且经过点(﹣3，8).求:（１）这个二次函数的解析式；（２)试判断点A(﹣１,２)是否在此函数的图象上．5５．已知二次函数y=aｘ2＋bx+c的图象经过点（０，﹣９)、（1,﹣8）,对称轴是y轴．(1）求这个二次函数的解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位,设平移后的图象与ｙ轴的交点为C,顶点为P，求△POC的面积．５６.如图，抛物线ｙ=aｘ２+bx经过点Ａ(４,０)、B(2，2）,连接OＢ、ＡB.（1）求抛物线的解析式；（2)求证：△OＡB是等腰直角三角形.57．如图，抛物线ｙ=x2+ｂｘ﹣２与x轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交于C点,且A（﹣１,０）.（１）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2）若将上述抛物线先向下平移３个单位,再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式.5８.已知二次函数y=﹣x2+ｂx+c的图象经过Ａ(２,0）,B(０,﹣６）两点.(１）求这个二次函数的解析式;（2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△AＢC的面积和周长.５9．如图,已知二次函数y=aｘ2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．6０.已知函数y=x2+bx+c过点A(2,２），B（5,2）．（1)求b、c的值;（2）求这个函数的图象与ｘ轴的交点C的坐标;(３)求S△ＡBC的值．二次函数解析式60题参考答案:1.∵顶点坐标是(１，﹣4）因此,设抛物线的解析式为:ｙ=ａ(x﹣１)2﹣4，∵抛物线与ｙ轴交于点(０，﹣3)把（0，﹣３）代入解析式:﹣3=a(0﹣１）2﹣4解之得：a=1(１４分）∴抛物线的解析式为:y＝x2﹣2x﹣3．2.（１）把点A（﹣1，12)，B(2,﹣3）的坐标代入ｙ=x２+bｘ＋c 得得∴y=ｘ2﹣6x+５.(2）ｙ=x2﹣6x＋5,ｙ=（ｘ﹣３)2﹣4，故顶点为（３，﹣４)．令x2﹣6ｘ＋５＝０解得ｘ1=1，x２=5.与x轴的交点坐标为（1，0）,（5，0)．3．由题意，直线l的解析式为y=x,将（ｍ，3）代入直线l的解析式中，解得m＝3.将（３,3)代入二次函数的解析式，解得,∴二次函数的解析式为4．抛物线ｙ=ax2+bx+c 与抛物线形状相同,则a ＝±. 当a ＝时，解析式是:y=(ｘ+2）２+4=ｘ2＋x＋5.即ａ=,b=１，ｃ=５；当a ＝﹣时，解析式是：y=﹣（x+2)2+４=﹣x２﹣x+3.即a=﹣,b＝﹣１,c=3.５．（1)依题意,得,解得;∴二次函数的解析式为：y=ｘ2＋３x+1．(２)由（1）知:y＝x2＋３x+１＝(x+）2﹣,故其顶点坐标为（﹣,﹣）6．(1）∵抛物线过原点,∴０=02+(m+1）×0+m．解得m＝０;（2)∵抛物线的顶点在x轴上.∴△=(ｍ＋1)2﹣4m＝０. 解得：m=１;（3）∵抛物线的对称轴是ｘ=2,∴﹣=２．解得ｍ＝﹣５７．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（１，0) 由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点（３，0）设抛物线的解析式为y＝a(ｘ﹣x1)(x﹣ｘ２）(a≠0）即:y=a(ｘ﹣1)(ｘ﹣3）把Ｂ（0,3)代入得:３＝3ａ∴a=1∴抛物线的解析式为：y＝x２﹣4x+3．8．（１)抛物线开口向下，与x轴交于(1,0)，（３,0), 当y>０时,x的取值范围是：1<x<3；(２）抛物线对称轴为直线x=2,开口向下,y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是ｘ>2; （３)抛物线与ｘ轴交于(１，0），（3,0),设解析式y=ａ(x﹣1）(x﹣3），把顶点（２，2）代入, 得2=ａ(２﹣１）(２﹣3）,解得a＝﹣2，∴y=﹣2（ｘ﹣1)(x﹣3),即ｙ=﹣2ｘ２+8ｘ﹣6．9.（1）把A(﹣2，5），B(１，﹣４)代入y=x2+ｂx+c, 得,解得b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．（２）∵y=x2﹣2x﹣３,∴﹣＝1，=﹣4，∴顶点坐标（1,﹣4)，对称轴为直线x=1；又当ｘ＝0时,y＝﹣3，∴与ｙ轴交点坐标为(0，﹣3）；y=0时,x=3或﹣1，∴与ｘ轴交点坐标为（3，0),（﹣1，0）．（３）图象如图.10．(1)设所求抛物线解析式为ｙ＝aｘ2+bｘ+c．根据题意，得,解得．故所求抛物线的解析式为y＝2x２﹣4x+1．（2）∵,∴该抛物线的顶点坐标是（1,﹣1）11.∵二次函数ｙ=ａx2+bx+c的图象与y轴交于点A（０，3）, ∴ｃ=3．又∵二次函数y=ａｘ2+bx＋ｃ的图象经过B（１,0）、Ｃ(2，﹣１)两点,∴代入y＝aｘ2+ｂx+c得：a+b+c=0，①4a+2b＋ｃ=﹣１，②由①②及c=3解得∴二次函数的解析式为y=ｘ2﹣4x+312．由题意得解得,．此二次函数的解析式为ｙ=ｘ2﹣1.13.把点（3,４)、（﹣１,0）代入y＝ax２+bx﹣2得:解得:则抛物线的解析式是y＝x2﹣ｘ﹣2=(x ﹣）2﹣则抛物线的对称轴是：ｘ＝１４.由题意得,解得．∴这个二次函数的解析式是ｙ=2x2﹣4x﹣6．y＝2(x2﹣2x)﹣6=2(ｘ2﹣2x+1)﹣２﹣6（1分）＝2(x﹣１)2﹣8.（1分）∴它的图象的顶点坐标是（1,﹣８).15.（１）根据题意,把点A的坐标代入抛物线方程得:0=﹣1+５+m，即得m=﹣4；（２）根据题意得：令y=0,即﹣x2＋5x﹣４=0,解得x１＝1，ｘ2＝4,∴点Ｃ坐标为（4，0）；令x=0,解得y=﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；∴由图象可得，△CＡＢ的面积Ｓ=×ＯB×AＣ=×4×3=6;(3)根据题意得：①当点O为PB的中点,设点P的坐标为(0，y），(ｙ＞０)则y﹣4＝0，即得ｙ=４,∴点P的坐标为(０,４）．②当AB＝BP时，AB=,∴OP的长为:﹣4,∴P（0,﹣4）,∴P(0，﹣4），或（0，4）16．（1）点（1,０）,(3,0）在抛物线y=﹣x2+ｂx＋c上．则有解得:则所求表达式为y=﹣ｘ2+４x﹣3．（2)依题意，得AＢ＝3﹣1=2.设P点坐标为（a，ｂ）当b＞０时,×２×ｂ=8.则b=8．故﹣ｘ２+4x﹣3=8即ｘ２+4ｘ＋1１＝0△=(﹣４)２﹣４×1×1１=16﹣44=﹣２8<0,方程﹣x2+4x＋11＝0无实数根.当b＜0时，×2×（﹣b)=８,则b=﹣8故﹣x２+4x﹣3=﹣8 即﹣x2＋４x﹣５=0．解得x1＝﹣１，ｘ２=5所求点P坐标为(﹣1,﹣8），(5,﹣8)17．设二次函数的解析式为y=ax２+bx+c,由题意得，解得．故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1;ｙ=x2﹣3x﹣1=x2﹣3x+()2﹣（)2﹣1=（x ﹣)２﹣,所以抛物线的顶点坐标为（，﹣)．１8．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+４.∵其图象经过点（２,﹣5)，∴a(2+１）２+4=﹣５,∴a=﹣1，∴y=﹣(ｘ+1)２+4=﹣x２﹣2x＋3.故答案为:y=﹣x2﹣2x+31９. ∵二次函数ｙ=ｘ2+bx+c的图象经过（1，2)、(﹣１，6)，∴，解得，∴所求的二次函数的解析式为y=ｘ２﹣２x+３.20.(1）把Ａ（2,０)、B（0，﹣6)代入y=x２+ｂx+c得,4+2ｂ+c=０,c＝﹣6,∴b=１,c＝﹣6,∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x１=2,ｘ2=﹣3,∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3,０).21.∵已知抛物线最大值为3,其对称轴为直线x=﹣1,∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，３）设抛物线的解析式为:y＝a(ｘ+1）2+３, ∵(1,﹣5)在抛物线y=a（x+1）2＋３上，∴解得a=﹣2，∴此抛物线的解析式ｙ=﹣2(x+1）2+322．设二次函数式为y=k(ｘ+2)2+3．将（１，0)代入得9k+３=０,解得k=.∴所求的函数式为 y=（x+２)２+323．根据题意得，,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣ｘ2+2x＋3；或:由已知得，﹣１、3为方程﹣x２+bx+c=0的两个解,∴﹣１+３=b,(﹣1)×３=c,解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣ｘ2+2x＋３．2４. 设二次函数的关系式为y=aｘ2+bx+ｃ(a≠0），∵二次函数的图象经过点(0，0),(﹣１,﹣１），(1，９)三点，∴点(０，0），（﹣1,﹣1),(1，9）满足二次函数的关系式，∴，解得,所以这个函数关系式是:y＝4x２+5ｘ２５.(1)由题意,将A与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：,则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣３；(2）令y=0，则ｘ2﹣２x﹣3＝0，即(x＋1)(x﹣3)=0，解得:ｘ１=﹣1，ｘ2=3，∴与x轴交点坐标为(﹣1,０）,(3，０);令x=0,则y＝﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣３）26．根据题意，得,解得,;∴该二次函数的解析式为:y=x2﹣２x﹣3.27．由题意得，二次函数y=ａｘ2+bx+ｃ,过（0，５)(﹣1，0)（﹣５，0）三点，∴,解得a=1,b=6，c=５，∴这个二次函数的解析式y＝x２＋6x＋５２8．(1）由题意,可设抛物线解析式为y=a(ｘ﹣)2＋,把点A(１，０）代入,得a(1﹣）2+=0，解之得a=﹣1,∴抛物线的解析式为ｙ=﹣(x ﹣）２+,即y=﹣ｘ2+５x﹣4；(2）令x=0，得y＝﹣4,令y＝0,解得x１=4，x2=1,Ｓ=×（4﹣１）×4=６.所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为６. ２9.(1)∵抛物线经过Ａ（﹣１，0）,Ｂ(0,3)两点∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x２+２x+3．（2）∵y＝﹣x2+2x＋３可化为y＝﹣(x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣ｘ2+2ｘ+3的顶点坐标为（1,4)，又∵此抛物线向左平移3个单位,再向下平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(﹣2,３)．∴平移后的抛物线的解析式为ｙ=﹣(x＋2）2＋3=﹣x2﹣4x﹣１．30.(1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(﹣1,０)，与y 轴的交点坐标为(0,3）,∴x=﹣1，y=０代入y=﹣x２+bx+ｃ得:﹣1﹣b＋c=0①,把ｘ=０,y=3代入y＝﹣x2+bx+ｃ得：c=3，把ｃ＝３代入①,解得b=2，则二次函数解析式为y=﹣x２+2x+3;（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜０，∴抛物线的开口向下，则当x ＝﹣=﹣=1时，ｙ有最大值,最大值为＝４;（３)令二次函数解析式中的y=０得：﹣x２＋2x＋3=0，可化为:（x﹣3)(x+1)＝0，解得:x1=3,x2=﹣1,由函数图象可知：当﹣1＜ｘ＜３时,y＞03１．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2, 又顶点在ｙ=x+1上，那么顶点的横坐标是1,设此函数的解析式是y=ａ(x﹣1）2+２,再把(２,１）代入函数中可得a（2﹣１）2＋２＝1，解得a＝﹣１,故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．３2.∵﹣=﹣=1,∴ｂ＝2,又∵点（3,0)在函数上,∴﹣9＋６+c＝0，∴c＝３,∴函数的解析式是y=﹣x2＋２x＋3．33．（1)设y=a(x+1)２﹣４,把点(０，﹣３)代入得:a=１，∴函数解析式y＝（x＋１)２﹣4或y＝ｘ2＋2ｘ﹣３；(2）∵x2+2ｘ﹣３=0，解得x1=1，ｘ2=﹣3，∴A（﹣3，0)，Ｂ（1,0），Ｃ(０,﹣3）,∴△AＢC的面积=.34.（1）解:∵直线y＝ｘ＋m经过A点,∴当x＝2时，ｙ＝０，∴m+2=0，∴ｍ=﹣2,∵抛物线ｙ=x2+bx+ｃ过Ａ(2，０）,B（５，3)，∴,解得，∴抛物线的解析式为y＝ｘ2﹣6ｘ+8；(2)由图可知,不等式ax２+bx+c≤ｘ＋m的解集为2≤x≤５; (3）解：设直线AB与y轴交于D,∵A（2，０)B(５,3）,∴直线AＢ的解析式为y=x﹣2，∴点D(０,﹣2）,由(１)知Ｃ(0,8),∴S△BCD =×10×５＝２５，∵Ｓ△ＡＣD =×10×２=10,∴S△AＢC=S△BＣＤ﹣Ｓ△ＡCD＝25﹣10=15．35.设二次函数的解析式为y=aｘ2＋ｂx+ｃ,由题意得，二次函数的图象对称轴为ｘ=2且图象过点（1，2），(0,﹣１)，故可得：,解得:.即可得二次函数的解析式为:y=﹣x2+4x﹣1３6.(1）由条件得解得所以解析式为ｙ＝﹣x2+4x，(2)∵该图象的最高点为B,∴点B的坐标为（2,４),∴△ABO的面积=×4×4＝8,（３)∵当ｘ=1时,y=3,∴当1＜x＜4时,ｙ的取值范围是0<y<4．故答案为:0<ｙ＜4．３7．(１）这个二次函数解析式ｙ＝ax２+bｘ+c(ａ≠0）,把三点(﹣1，１0），(1,４)，(2,7)分别代入得：,解得：,故这个二次函数解析式为：y＝2x2﹣３x+5;（2）y=２x2﹣3x+5=2(ｘ２﹣x+﹣）+5=2(x ﹣)2﹣＋5=２(x ﹣）２+,则抛物线的顶点坐标是（,）, 因为抛物线的开口向上，所以当x>时，ｙ随ｘ的增大而增大，当x时,ｙ随x的增大而减小.3８.（1）将A（﹣１，２)代入y=x2﹣２(k﹣2)x+1得：2=1﹣２（k﹣2)＋１,解得:k＝2，则抛物线解析式为ｙ=x２+1；（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0,c=1，∴﹣＝0,＝1，则顶点坐标（0,1）;对称轴为直线x=0(y轴)３9．（1)设抛物线的解析式是ｙ=ax2＋ｂx+ｃ,把(0，1),(2，1）,(3,4）代入得：，解得：，∴y=x2﹣２x+1.（２）设抛物线的解析式是:ｙ=ａ(ｘ+2)２+1，把(1，﹣2）代入得:﹣2=a（1+2)2+1，∴a=﹣，∴y ＝﹣（ｘ＋2）2＋1,即y=﹣ｘ2﹣x ﹣.4０．(１)设函数的解析式是：ｙ=ａ(x﹣３）2﹣２根据题意得：9ａ﹣２=,解得:a ＝;∴函数解析式是:y=﹣2；(２)∵a=>0∴二次函数开口向上又∵二次函数的对称轴是x=3.∴当x＞3时,y随ｘ增大而增大．41．(1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点(０,﹣２)，则有:ａ(０﹣1)2﹣3=﹣２，解得a=1;因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3.(2)∵ａ=１＞0,∴故抛物线的开口向上;∵抛物线的对称轴为ｘ=１,∴（１,ｙ２)为抛物线的顶点坐标,∴y２最小.由于(﹣２,y1）和（4,y1)关于对称轴对称,可以通过比较(４，ｙ1）和(3,y3)来比较y1,y3的大小,由于在ｙ轴的右侧是增函数,所以y１>y3.于是y2＜y3＜y1．42.(１)由于二次函数y=x2+bｘ+c的图象经过点(0,3)、（4,３），则，解得:，∴此抛物线的解析式为:y=x2﹣4ｘ+3．函数图象如下:（2）由函数图象可直接写出ｘ2+bx+c＞3的解集为:ｘ＜0或x＞４.4３．二次函数可以变形为y=（x+m）2＋2m﹣1,抛物线的顶点坐标为（﹣m,2m﹣1)．由，消去m,得y=﹣２x﹣１.所以这条直线的函数解析式为ｙ=﹣2ｘ﹣144．设直线AＢ的解析式为y=ｋx＋ｂ,∴，解得,直线AＢ的解析式为ｙ=x＋2,令x=0，则ｙ＝2，∴直线AＢ与y轴的交点坐标（0,2），∵S△ABC=１２,∴C(0，﹣４),∵抛物线y=aｘ2+ｂx+c过点A（﹣２，1)，Ｂ(2，3）,且与ｙ轴负半轴交于点C,∴，解得,∴抛物线的解析式为y=ｘ2+x﹣445.∵直线ｙ=kx+b过点A（2，0)和点Ｂ(1，1)，∴，解得，∴直线AB所表示的函数解析式为ｙ=﹣x+２，∵抛物线ｙ=ax2过点B（1,1),∴ａ×１2＝1，解得a＝1，∴抛物线所表示的函数解析式为ｙ＝x2.它们在同一坐标系中的图象如下所示：46.(1)∵二次函数ｙ=x2+bx+c的图象经过点P(2，７）、Ｑ（0,﹣5）,，解得b=４,c=﹣5．∴b、c的值是4,5；（2）∵二次函数的图象与ｘ轴交于A、B两点,（其中点A在点B 的左侧)，∴A(1，0），B（﹣5，0）,∴ＡB＝６，∵P点的坐标是:（2,７）,∴△PAＢ的面积=×6×7=21４７．（1）根据题意得,解得,所以抛物线的解析式为ｙ=﹣x﹣２；（2)y=﹣ｘ﹣2＝(x ﹣）2﹣,所以抛物线的对称轴为直线x ＝,顶点坐标为（,﹣）48.∵二次函数的图象过A(0，4），∴ｃ=４，∵对称轴为x=﹣１，∴x=﹣＝﹣2，解得b=４；∴二次函数的表达式为ｙ=x２+４ｘ+4．４9.（1)∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣４，3）, ∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）２+３(a≠0）；又∵图象过点（ｌ，﹣2）,∴﹣２=a(1＋4）2+３，解得，a=﹣;∴设该二次函数的关系式为：y=﹣(x+4）2＋3;(2）由（１）知，该二次函数的关系式为：y ＝﹣（x＋4）2+3，∴a ＝﹣＜0,∴该抛物线的方向向下;∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣4,3），∴对称轴方程为:x=﹣4.50．（1）把Ａ（﹣1，0）代入y１=﹣x+m得﹣(﹣1）＋ｍ＝0,解得ｍ=1,把A（﹣1,0）、Ｂ(2，﹣3)代入y2＝ax2+bｘ﹣3得,解得.故二次函数的解析式为y2=ｘ２﹣﹣2x﹣3;(2）因为Ｃ点坐标为(0,﹣3)，Ｂ（2，﹣3)，所以ＢＣ⊥y轴，所以Ｓ△ABC =×2×3=３．51．(1)设此二次函数的解析式为ｙ=aｘ2＋bx+c，把Ａ(0，﹣４）和B(4,０）,即对称轴x=1．5代入解析式得：，解得:故ｙ=x2﹣3x﹣4；(2)∵Ａ(０，﹣４),对称轴是ｘ=1.５，∴A′(３,﹣4）５2．∵二次函数y=ax2+bx＋ｃ的顶点坐标为(﹣，), 二次函数y＝ax２+ｂx+c中,c=3,图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2,=﹣１，解得a=1,ｂ=﹣4，∴二次函数的解析式y=x2﹣４x+353.∵二次函数ｙ1=aｘ２+bx+c 与二次函数的图象的形状一样,开口方向相同，∴a=﹣2,将点A（﹣1,４）,Ｂ(﹣３，﹣8)代入y１＝﹣2x2＋ｂx+c，得,解得，∴y１=﹣2ｘ2﹣２x+4;∵y1=﹣2x2﹣2x+４＝﹣2(x2+ｘ)+４=﹣2（x ＋）２＋，∴顶点坐标为(﹣,)．故这个函数的解析式为ｙ１=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为(﹣,).5４.（1)∵二次函数的图象与ｘ轴的两交点的横坐标为１和﹣7，且经过点（﹣3,8),∴两交点的横坐标为：(1，0）,(﹣7，０）,且经过点(﹣3,８), ∴代入解析式:y=a（ｘ﹣１)（x＋7),8＝a(﹣3﹣1）×(﹣3+７）,解得：a=﹣，∴ｙ=﹣（x﹣1）（x+7);(2）∵将点A(﹣1，2)此函数的解析式，∴左边=2，右边=﹣（﹣１﹣１）(﹣1+7)=6；∴左边≠右边,∴点A(﹣1,2）不在此函数的图象上.55．(1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，∴b=0，即二次函数解析式为y=ａx2+c，又二次函数的图象经过点（０,﹣9）、(１,﹣8)，∴,解得：,则二次函数的解析式为y=ｘ2﹣9；(2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣４x﹣5,令x=0，解得：y=﹣5,∴C（0,﹣５）,即OＣ=5，又平移后抛物线的顶点Ｐ的坐标为（2,9）,即Ｐ的横坐标为２,则S△ＰＯC =ＯＣ•x P的横坐标=×5×2=5．56.1）解：由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x;（2）证明:过点B作BC⊥ｘ轴于点Ｃ，则OＣ＝ＢC=AC=２;∴∠BＯC＝∠OBC=∠ＢAＣ＝∠ABC=45°;∴∠OＢA=９0°,OＢ=ＡＢ;∴△ＯＡB是等腰直角三角形；５7.(１)将A(﹣1，0）代入抛物线y ＝x2＋bx﹣2得,×(﹣1）2﹣b﹣2=0,解得,b ＝﹣,则函数解析式为ｙ=ｘ2﹣x﹣2．配方得，y=（x ﹣)2﹣,可见,顶点坐标为(，﹣).(2)将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位,可得,y=(x ﹣﹣2)2﹣﹣3=（ｘ﹣）2﹣=ｘ2﹣x.５8．（1）把(2,0)、(０,﹣6）代入二次函数解析式，可得,解得,故解析式是ｙ=﹣x2+4ｘ﹣6；（２）∵对称轴x=﹣=4,∴C点的坐标是（4,0),∴ＡC=2，OB=6，ＡB=2，BＣ=2，∴Ｓ△AＢＣ=AC•OＢ=×2×6=6，△ＡBＣ的周长＝ＡＣ+AB+ＢC=２＋2＋２.59．（１)A坐标是(﹣1,﹣１）,B点的坐标是(3,﹣９）, 代入y=ax2﹣4x+c 得：解得：a=1,c=﹣6．则二次函数表达式是：y＝x２﹣4x﹣6（2)ｙ=x2﹣4ｘ﹣6=(ｘ﹣２)2﹣10,因此对称轴为直线x＝２,顶点坐标为（2,﹣１0)６0.(1)把Ａ(2，2），B（5,2)分别代入y=ｘ２+bx+c,可得,解得；（2)由b=﹣7,c=１2，知ｙ=ｘ2﹣７x+1２令y=0，得x2﹣7x+１2=0,∴x=３或x=4，∴C（3,0)或Ｃ(4,０)；（3）∵A（2，２)B（5，２）∴AB=|２﹣5｜＝3，且△ＡBＣ的ＡB边上的高h=2,∴Ｓ△ABC =ＡB•h=×３×２=3。

2022年春北师大版九年级数学中考复习《二次函数与特殊平行四边形综合压轴题》专题突破训练（附答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线解析式；（2）点E为线段BD上的一个动点，作EF⊥x轴于点F，连接OE，当△OEF面积最大时．求点E的坐标；（3）G是第四象限内抛物线上一点，过点G作GH⊥x轴于点H，交直线BD于点K、且OH＝GK，作直线AG．①点G的坐标是；②P为直线AG上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥AG于点Q，取点M（0，），点N为平面内一点，若四边形MPNQ是菱形，请直接写出菱形的边长．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C 作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B （5，0），与y轴交于点C，D是抛物线对称轴上一点，纵坐标为﹣5，P是线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BP、DP．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BDP的面积取得最大值时，求点P的坐标和△BDP面积的最大值；（3）将抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）沿着射线BD平移，使得新抛物线经过点D．新抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧），与y轴交于点G，M是新抛物线上一动点，N是坐标平面上一点，当以点E、G、M、N为顶点的四边形是矩形时，请直接写出所有满足条件的点N的横坐标．5．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”的形状为（不必写出证明过程）；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+mx（m＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A（4，0），另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC．（1）求m的值及该抛物线的对称轴；（2）已知该抛物线上有一点D（x，y）（x＞0，y＞0），使得S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；（3）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求A、C两点的坐标；（2）当△ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；（3）当△ABC关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有MN∥x轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．①是否存在以P、C、G为顶点的三角形与△BNG相似？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；②过点P作PD⊥BC于点D，当△PDG≌△BNG时，求n的值．（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1．①点E在直线OB1上运动，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、B、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，请直接写出点N的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，若点E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值；（3）如图2，将抛物线C1先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线C2，点M为抛物线C2上一动点，点N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内部和边）有公共点，求t的取值范围．11．综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式．（2）点E在抛物线的对称轴上，则CE+OE的最小值为．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①当△ANC面积最大时的P点坐标为；最大面积为．②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），则，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知抛物线的顶点为D（1，4），令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∴直线BD的解析式为：y＝﹣2x+6，设点E的横坐标为m，则E（m，﹣2m+6），F（m，0），∴EF＝﹣2m+6，OF＝m，∴△OEF面积＝•EF•OF＝（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，△OEF面积的最大值为．此时E（，3）；（3）①设点G的横坐标为n，则G（n，﹣n2+2n+3），K（n，﹣2n+6），H（n，0），∴OH＝n，GK＝﹣2n+6﹣（﹣n2+2n+3）＝n2﹣4n+3，∵OH＝GK，∴n＝（n2﹣4n+3），解得n＝或n＝（舍），∴G（，﹣）．②若四边形MPNQ是菱形，则△MPQ是等腰三角形，且MP＝MQ，取PQ的中点N，则PQ⊥MN，由上可知，A（﹣1，0），G（，﹣）．∴直线AG的解析式为：y＝﹣x﹣．∵PQ⊥AG，PQ⊥MN，∴MN∥AG，∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+．设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+2t+3），直线PQ的解析式为：y＝2x+b，则2t+b＝﹣t2+2t+3，解得b＝﹣t2+3，∴直线PQ的解析式为：y＝2x﹣t2+3，令2x﹣t2+3＝﹣x﹣，解得x＝．∴Q（，﹣），∴PQ的中点N（，），∵直线MN的解析式为：y＝﹣x+．∴﹣•+＝，解得t＝2或t＝，∴P（2，3）或P（，）．∴MP的长为＝或＝．故菱形的长为：或．2．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），点A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2，∵抛物线交x轴于点A和点B，∴当y＝0时，x2+x+2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴B（4，0）；（2）存在最大值，由题知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴交BC于点G，∴CD∥EG，∴，∵直线y＝kx+1与y轴交于点D，∴D（0，1），∴CD＝2﹣1＝1，∴，设直线BC的解析式为y＝gx+r（g≠0），将B（4，0），C（0，2）代入，得，解得，∴直线BC得解析式为y＝﹣x+2，设点E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），且0＜t＜4，∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴＝﹣（t﹣2）2+2，∵﹣＜0，∴当t＝2时，有最大值为2，此时E点的坐标为（2，3）；（3）存在点M和点N使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：设直线DE的解析式为y＝sx+d，将D（0，1），E（2，3）代入，得，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+1，设M（n，n+1），∵B（4，0），D（0，1），∴BM2＝（4﹣n）2+（0﹣n﹣1）2＝2n2﹣6n+17，DM2＝（0﹣n）2+（1﹣n﹣1）2＝2n2，BD2＝42+12＝17，∵以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，故分以下两种情况：①当BD为边时，MN＝DM＝BD（如下图）或MN＝BM＝BD（如下图），∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17，解得n＝±或n＝0（舍去）或n＝3，∴M（，）或M'（﹣，）或M''（3，4）；②如下图，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q（2，），∵四边形BMDN是菱形，∴MN⊥BD，QB＝QD＝BD，∴QD2+QM2＝DM2，∴（2﹣0）2+（﹣1）2+（n﹣2）2+（n+1﹣）2＝2n2，解得n＝，∴M'''（，），综上，符合条件的M点的坐标为（，）或（﹣，）或（3，4）或（，）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），∴得，∴解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4，∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，设满足条件的点在抛物线上：①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥直线CD，垂足为F．则F（t，4），CF＝t，，根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得t1＝0（舍去），t2＝3，∴；②当点E'位于直线CD上方时，过点E'作E'F'⊥直线CD，垂足为F'．则F'（s，4），CF'＝s，E'F'＝﹣s2+s+4﹣4＝﹣s2+s，根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得s1＝0（舍去），s2＝1．∴，所以，点E的坐标为或；（3）①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′＝P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC＝OB，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，∴∠P′M′C＝45°，设点P′（m，﹣m2+m+4），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′＝m，P′M′＝m，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴m＝﹣m2+2m，∴m＝0（舍）或m＝4﹣2，菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）＝4﹣4．②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ＝∠NCQ，∵∠OCB＝45°，∴∠NCQ＝45°，∴∠PCQ＝45°，∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，∴PQ＝CQ，设点P（n，﹣n2+n+4），∴CQ＝n，OQ＝n+4，∴n+4＝﹣n2+n+4，∴n＝0（舍），∴此种情况不存在．综上，菱形的边长为4﹣4．4．解：（1）由题意得，，解之得，，∴抛物线的函数表达式是：y＝﹣x2+4x+5；（2）如图1，∵抛物线的对称轴是x＝＝2，∴D（2，﹣5），∵B（5，0），∴直线BD的解析式是：y＝x﹣，过点P作PQ∥BD，∴可设PQ的解析式是：y＝x+b，由﹣x2+4x+5＝x+b得，x2﹣x+（b﹣5）＝0，∵△BPD面积最大，∴方程由两个相等实数根，∴（x﹣）2＝0∴x＝，当x＝时，y＝﹣（）2+5＝，∴P（，），如图2，∵B（5，0），∴直线PB的解析式是：y＝﹣x，∴当x＝2时，y＝，∴DE＝﹣（﹣5）＝，∴S△BDP＝×（5﹣）＝，即△BDP的最大面积是；（3）∵B（5，0），D（2，﹣5），∴y＝﹣（x﹣2）2+9平移后的关系式是y＝﹣（x+1）2+4，∴﹣（x+1）2+4＝0，∴x＝1或x＝﹣3，∴点E（﹣3，0），G（0，3），如图3，当点M落在抛物线y＝﹣（x+1）2+4的顶点（﹣1，4）时，∠EGM＝90°，根据MN∥EG，MN＝EG可得N（﹣4，1），∴NE的解析式是y＝﹣x﹣3，由﹣（x+1）2+4＝﹣x﹣3得，x＝2或x＝﹣3（舍去），∴M′（2，﹣5），∴N′（5，﹣2），当EG是对角线时，设点M1（m，﹣m2﹣2m+3），由M1E2+M1G2＝EG2得，（x+3）2+（﹣x2﹣2x+3）2+x2+（﹣x2﹣2x）2＝32+32，∴x1＝﹣3，x2＝0，x3＝，x4＝，∴N1横坐标是：﹣3﹣＝，N2横坐标是：﹣3﹣＝，综上所述点N的横坐标是：﹣4或5或或．5．解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．（2）当抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（，），满足＝（b＞0）．则b＝2．（3）存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO＝AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB＝60°，作AE⊥OB，垂足为E，∴AE＝OE tan∠AOB＝OE．∴＝•（m＞0）．∴m＝2．∴A（，3），B（2，0）．∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0）．设过点O、C、D的抛物线为y＝mx2+nx，则，解得．故所求抛物线的表达式为y＝x2+2x．6．解：（1）把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：∴﹣16+12+m＝0，解得：m＝4，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴二次函数对称轴为直线x＝；（2）由（1）知，y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），即OC＝4，令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（﹣1，0），∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，∵S△ABD＝S△ABC，点D（x，y）在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，∴﹣x2+3x+4＝4，解得：x＝0或3，∴只有（3，4）符合题意．∴点D的坐标为（3，4）；（3）存在，理由：①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，∵A（4，0），AB＝5，∴点Q′的坐标为（4，5）；②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，∵AB、PQ是正方形对角线，∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为，∴点Q的坐标为（，﹣），故点Q的坐标为（4，5）或（，﹣）．7．解：（1）在y＝x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣3，∴A点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（0，4）；（2）设B点坐标为（x，0），①当AC＝BC时，，解得：x＝﹣3（舍去）或x＝3，∴B点坐标为（3，0），将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，②当AB＝BC时，，解得：x＝，∴B点坐标为（，0），将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，③当AB＝AC时，，解得：x＝2或x＝﹣8，∴B点坐标为（2，0）或（﹣8，0），i）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，ii）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（﹣8，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4，综上，当△ABC为轴对称图形时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝x2+x+4；（3）存在，理由如下：当△ABC关于y轴成轴对称时，则AC＝BC，此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，①当MN为正方形一边时，∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，∴此时点Q也位于x轴上，设Q点坐标为（k，0），由正方形性质可得则P点坐标为（﹣k，0），∴|2k|＝﹣k2+4，解得：k＝±或k＝±6，∴当MN在x轴上方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（，0）或（﹣，0），当MN在x轴下方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（6，0）或（﹣6，0），②当MN为正方形对角线时，∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，∴此时Q点位于y轴上，设Q点坐标为（0，k），∴||＝﹣×（）2+4，解得：k＝，∴当MN位于x轴上方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），当MN位于x轴下方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），综上，坐标平面内存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形，Q点坐标为（，0）或（﹣，0），或（6，0）或（﹣6，0）或（0，）或（0，）．8．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，∵点N（n，0），∴P（n，n2﹣2n﹣3），G（n，n﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，当点N在y轴右侧，△BNG∽△CPG时，如图：∵PN⊥x轴，∴∠BNG＝∠CPG＝90°，∴PN＝OC＝3，∴n2﹣2n﹣3＝﹣3，解得：n＝2或0（与C重合，舍去），∴n＝2，∴点N的坐标为（2，0）；当点N在y轴右侧，△BNG∽△PCG时，如图：∵△BNG∽△PCG，∴∠BNG＝∠PCG＝90°，∠CPG＝∠OBC＝45°，，∴CG＝n，PG＝n﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，NG＝3﹣n，BG ＝＝（3﹣n），∴，解得：n＝1，∴点N的坐标为（1，0）；当点N在y轴左侧，△BNG∽△PCG时，如图：∵△BNG∽△PCG，∴∠BNG＝∠PCG＝90°，∠CPG＝∠OBC＝45°，∴CG＝|n|＝﹣n，PG＝（n2﹣2n﹣3）﹣（n﹣3）＝n2﹣3n，∴PG＝CG，即n2﹣3n＝×（﹣n），解得：n＝0或1（舍去），综上所述，点N的坐标为（2，0）或（1，0）；②当点N在y轴右侧时，由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，∴NB＝3﹣n＝NG，∴BG＝（3﹣n），∵△PDG≌△BNG，∴PG＝BG＝（3﹣n），∴PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（1+），∴点P的坐标为（n，（n﹣3）（1+）），将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣2n﹣3，解得n＝3（舍去）或n＝，∴n＝；当点N在y轴左侧时，同理可得：n＝﹣，综上所述，n＝±；（3）①存在，理由如下：AB为矩形的边时，如图：设OC的中点为R（0，﹣），由B、R的坐标得，直线BR的表达式为y＝x﹣，则将它向上平移个单位长度，得到直线OB1，此时函数的表达式为y＝x，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴E（3，）或（﹣1，﹣），∴F（﹣1，）或（3，﹣）；AB为矩形的对角线时，如图：连接EF交AB于G，作EH⊥x轴于H，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，GB＝GE＝2，OG＝1，∵直线OB1的表达式为y＝x，∴OH＝2EH，∵EH⊥x轴，四边形AFBE是矩形，∴∠AHE＝∠BHE＝∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠BEH，∴△AEH∽△EBH，∴，即，解得：EH＝或，∴OH＝或，∴OK＝OH﹣OG﹣OG＝或OK＝OH+1+1＝，∴F（，）或（，）；综上所述：存在，点F的坐标为（﹣1，）或（3，﹣）或（，）或（，）；②设线段NN1交OB1于点H，则OB1是NN1的中垂线，∵tan∠BOB1＝，则tan∠N1NB＝2，∵直线NN1的过点N（n，0），故直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n）②，联立①②并解得，故点H的坐标为（，），∵点H是NN1的中点，由中点坐标公式得：点N1的坐标为（，），将点N1的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣2×﹣3，解得n＝，故点N的坐标为（，0）或（，0）．9．解：（1）将A（0，8），B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+8；（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为直线x＝2，令y＝0，则﹣x2+x+8＝0，∴x＝﹣4或x＝8，∴C（8，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+4，过点E作EH⊥x轴交CD于点H，设E（m，﹣m2+m+8），F（2，n），则H（m，﹣m+4），∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，∴当m＝3时，S△ECD的面积有最大值25，此时E（3，），连接BE，交对称轴于点F，连接CF，∵B点与C点关于对称轴x＝2对称，∴BF＝CF，∴CF+EF＝BF+EF≥BE，当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，∴BE＝＝；（3）存在点M、N使得四边形DMCN为菱形，理由如下：平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，设M（t，﹣t2+2t），N（x，y），∵四边形DMCN为菱形，∴DC与MN为对角线，∴，∵CN＝CM，∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，∴x＝8+2或x＝8﹣2，∴N（8+2，10+2）或N（8﹣2，10﹣2）．10．解：（1）依题意，将点D（5，6）代入，得，解得k＝﹣2，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）存在，设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（﹣1，0），D（5，6）两点坐标代入得，，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，如图1，设直线AD与y轴交于点E，令x＝0，得y＝1，∴OA＝OE＝1，∴∠DAB＝45°，过点D作DP1⊥x轴，过点A作AP2∥y轴，过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连接DP3，延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，延长DP2至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符合题意的等腰直角三角形，∴P1（5，0），P2（﹣1，6），P3（11，0），P4（5，﹣6），P5（﹣1，12），P6（﹣7，6）；（3）如图2，由（2）可知，点E的坐标是（11，0），点F的坐标是（5，﹣6），直线AD的解析式是y＝x+1，设平移后的抛物线解析式为，结合图象可知，当抛物线经过点E时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置，将点（11，0）代入，得，解得t＝﹣48，当抛物线与AD边有唯一公共点时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最高位置，将y＝x+1与联立方程组，，化简得x2﹣4x+2t﹣5＝0，∵只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0，解得，∴t的取值范围．11．解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+c，得c＝4，将A（﹣4，0）和c＝4代入y＝﹣x2+bx+c，得﹣16﹣4b+4＝0，解得b＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．（2）如图1，∵y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，由（1）得，直线AC的解析式为y＝x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），作点C关于直线x＝﹣的对称点G，则点G（﹣3，4）在抛物线上，∴OG＝＝5，连接OG交直线x＝﹣于点H，连接CH、EG，则CE＝GE，CH＝GH，∴GE+OE＝CE+OE，∵GE+OE≥OG，∴CE+OE≥OG，∴当点E与点H重合时，CE+OE＝CH+OH＝GH+OH＝OG＝5，此时CE+OE的值最小，∴CE+OE的最小值为5，故答案为：5．（3）①如图2，设点M的坐标为（x，0）（﹣4＜x＜0），则P（x，x+4），N（x，﹣x2﹣3x+4），∴PN＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，∴S△ANC＝PN•AM+PN•OM＝PN•OA＝×4（﹣x2﹣4x）＝﹣2（x+2）2+8，∴当x＝﹣2时，S△ANC最大＝8，此时P（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）；8．②存在，如图3，菱形BDCF以BC为对角线，连接BC、DF交于点I，DF交y轴于点R，当y＝0时，由﹣x2﹣3x+4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），∴CB＝＝，∵DF与BC互相垂直平分，∴I为BC的中点，∴I（，2），CI＝CB＝，∵∠CIR＝∠COB＝90°，∠RCI＝∠BCO，∴△ICR∽△OCB，∴＝，∴CR＝＝＝，∴OR＝4﹣＝，∴R（0，），设直线DF的解析式为y＝kx+，则k+＝2，解得k＝，∴直线DF的解析式为y＝x+，由得，∴F（，），∵点D与点F（，）关于点I（，2）对称，∴D（，）；如图4，菱形BCDF以CF为对角线，连接BD交CF于点J，连接AD，∵BD与CF互相垂直平分，∴∠AJB＝∠AJD＝90°，JB＝JD，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠JAB＝∠JBA＝45°，∴JB＝JA，∴JD＝JA，∴∠JAD＝∠JDA＝45°，∴∠DAB＝90°，∠ADB＝∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝1+4＝5，∴D（﹣4，5）；如图5，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的左侧，设DF交x轴于点T，∴CF＝CB＝，作FL⊥y轴于点L，作DK⊥FL于点K，交x轴于点Q，则∠CLF＝90°，∴∠LFC＝∠LCF＝45°，∴LC＝LF，∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，∴LF＝LC＝，∵FL∥OA，DF∥BC，∴∠DFK＝∠ATF＝∠CBO，∵∠DKF＝∠COB＝90°，DF＝CB，∴△DKF≌△COB（AAS），∴KF＝OB＝1，KD＝OC，∵QK＝OL，∴QD＝LC＝，LK＝﹣1＝，∴D（，）；如图6，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的右侧，作FL⊥y轴于点L，作DV⊥y轴于点V，作FK⊥DV于点K，则∠CLF＝90°，∵∠LCF＝∠OCA＝45°，∴∠LCF＝∠LFC＝45°，∴LF＝LC，∵CF＝CB＝，∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，∴LF＝LC＝，∵FK∥OC，FD∥CB，∴∠DFC＝∠BCA，∠KFC＝∠OCA，∴∠DFK＝∠BCO，∵DF＝BC，∴△DFK≌△BCO（AAS），∴FK＝CO＝4，KD＝OB＝1，∴DV＝1+＝，OV＝4+﹣4＝，∴D（，），综上所述，点D的坐标为（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．。

求二次函数解析式：综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)∴抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式．对于本例利用两根式来解则更为方便．解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x-1)又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1∴函数解析式为y=-x2＋1．说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：①三项条件确定二次函数；②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；③二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．例2 由右边图象写出二次函数的解析式．分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．设解析式为y=a(x＋1)2+2∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．说明：已知顶点坐标可以设顶点式．本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8∴解析式y=2x2+4x-6(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y 随x增大而减小∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：题(2)充分利用对称性可简化计算．例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2或y=a(x+1)2-2又∵抛物线经过点A(-3，0)∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2所求函数式是解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上∴0=9a-3b＋c ①又∵对称轴是x=-1∵顶点M到x轴的距离为2解由①，②，③组成的方程组：∴所求函数的解析式是：解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1又∵图象经过点A(-3，0)∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)解关于a的方程，得∴所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A 和B，以AB为直径作⊙C，(1)求圆心C的坐标．(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9∴抛物线的对称轴为直线x=3∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性∴圆心C的坐标为(3，0)(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9设A(x1，0)，B(x2，0)∵抛物线的顶点为P(3，m-9)解得：m=8或m=9∵m＜9，∴m=9舍去∴m＝8∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．例6 已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．解：(1)由题设条件得∴抛物线顶点为(2，4)．又A点坐标为(-2，0)，而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2×12=24．故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．解：设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．例8 二次函数y=ax2＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O到直线AB的距离．分析：为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用．为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．解： (1)如图，由已知，有∴(x1+x2)2-2x1x2=26，∴a=-1．∴解析式为y=-x2＋6x-5=-(x-3)2＋4．(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD 是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，其实△AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了．纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习．一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的．在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形．例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2x＋k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求k的值．分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍．解：∵抛物线与x轴有两个相异交点，故△＞0，即(-2)2-4·(-3)k＞0，解关于k的不等式，得根据题意，作出图象，如图设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N 为AB中点．∵∠AMB＝Rt∠，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得∴k＝0．说明：本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x 轴有两个相异交点，应首先满足△＞0．(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解．例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润．而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数．这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式．解：设该商品的售出价定为x元／件时，每天可获得y 元的利润．即每件提价(x-20)(元)，每天销售量减少10(x-20)(件)，也就是每天销售量为[100-10(x-20)](件)，每件利润(x-18)(元)根据题意，得：y＝(x-18)[100-(x-20)×10]=-10x2+480x-5400=-10(x-24)2+360．(20≤x≤30)y是x的二次函数∵a=-10＜0，20≤24≤30∴当x=24时，y有最大值为360．答：每件售出价为24元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360元．例11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A 点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F 点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE ＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．∵C为抛物线的最高点，例12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图．地导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点)．(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上．解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3(2)设C(x0，y0)，过C点作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC 和Rt△ABC中，OA=1，例13 已知函数y1=-x2+b1x+c1与x轴相交于原点O(0，0)和点A(4，0)，若函数y2=-x2+b2x+c2，(b1≠b2)也经过点A，且y1与y2的顶点所在直线平行于x轴．(1)求两个函数的解析式．(2)当x为何值时，y1＜y2．分析：解答第(1)题的关键是求y2的解析式，由题意可知a1=a2=-1，因此可以判断两条抛物线的形状和开口方向都相同，再利用y1与y2的顶点所在直线平行于x轴，可判断出y1和y2在x轴上截得的线段长相等，从而求出y2与x轴另一个交点B(8，0)，由A，B点都是抛物线与x轴交点，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)形式解：(1)∵y1=-x2+b1x+c1过点O(0，0)，A(4，0)∴0=0＋0＋c1 ∴c1=00=-16+4b1+0 ∴b1=4∴函数y1=-x2+4x∵a1=a2=-1∴两条抛物线的形状，开口方向相同．又∵y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等∵b1≠b2，y1与y2都经过A(4，0)点∴y2与x轴的另一个交点是点B(8，0)y2=-(x-4)(x-8)=-x2＋12x-32注：以上求y2的解析式是采用数、形结合的方法，进行推理得到的，此外，也可用计算方法求到b2和c2，然后写出y2的解析式，具体解法如下：∵y1的顶点是(2，4)y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等，y2又过点A(4，0)∵b1=4，而b1≠b2 ∴b′2=4(舍去)∴y2=-x2+12x-32解：(2)若要使y1＜y2只要使-x2+4x＜-x2+12x-32即可解不等式，得x＞4∴当x＞4时，y1＜y2例14 m是怎样的数值时，二次函数y＝(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．分析：二次函数的图象与x轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零，判别式大于零，两根之和小于零，两根之积大于0．(所谓两根是这个函数对应的一元二次方程的两根)解：设二次函数与x轴两交点的横坐标为x1，x2．要使它的图象与x轴两交点都在x轴的负方向上，应满足不等式组：解得1＜m＜2．答：当1＜m＜2时，二次函数y=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．对二次函数式中的m不知代表什么，也无从下手求m．当抛物线与x轴相交时，y=0，两个交点的横标即为方程的两个根，两个根在原点的左方，列不出算式，不知道列出这种算式与“根与系数的关系”有关．总之有不少学生没有掌握二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败．发生错误的原因，不知道在一元二次函数式中的m其实质是参数．一元二次方程的根在直角坐标系x轴上的分布理论如何表达，许多学生不清楚．解不等式功底不深厚也会发生错误．纠正错误的办法，加强一元二次函数式的学习，m属于实数，任给m一个数值，就存在一条具体数值的抛物线，给出m的数值是无穷的，随着m值的不同也产生了不同的抛物线，可用“抛物线族”这个名词去表达本题的一元二次函数表达式所勾勒的抛物线是无穷无尽的．另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习．例15 已知抛物线l：y=x2-(k-2)x+(k+1)2．(1)证明：不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2＋12x＋9上；(2)要使抛物线y=x2-(k-2)x＋(k＋1)2和x轴有两个不同的交点A，B，求k的取值范围；(3)当(2)中的A，B间距离取得最大值时，设这条抛物线顶点为C，求此时的k值和∠ACB的度数．分析：把l的顶点坐标用k的代数式表示分别代入y=3x2+12x+9的左、右后能使两边相等说明顶点在抛物线y=3x2+12x+9上．抛物线与x轴交点的情况就是相应一元二次方程有无实根的情况．AB间距离又可列出反的二次函数．解：∴左边=右边，所以不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y＝3x2+12x+9上．(2)欲使抛物线l与x轴有两个交点，则△＞0，即△=[-(k-2)]2-4(k+1)2=-3k2-12k＞0，解之，-4＜k＜0．(3)当-4＜k＜0时，抛物线l与x轴有两个不同的交点A，B，设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＞x2，x1＋x2＝k-2，x1x2＝(k＋1)2，说明：不明白“不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9”上这句话的意思，实质上就是方程与曲线的关系，点在曲线上，即点的坐标满足曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等，即达到(1)提问；不知道抛物线与x轴相交，是△＞0，无法运算而失败；不知道用“根与系数的关系”以及截距公式，不会巧用“根与系数的关系”，求不出最大值，因而求不出y=ax2＋bx＋c(a≠0)的a，b，c，使该题后面的提问无法进行；在x轴与抛物线顶点所构造出的三角形中，求边长时没有绝对值的概念、正切函数值不熟悉而求不出∠ACB=60°．发生错误的原因，本题是综合题，而且是中考的考题，要顺利而正确地回答出本题所有答案，从初一至初三所学的数学知识应该牢固掌握，第一问求出抛物线顶点坐标表达式，将表达式代入(1)的函数式，若相等，即满足了函数式的要求，按初中阶段属于验根的手段，按高中就是曲线与方程的关系了．这个不难的问题为什么学生束手无策呢？只是用文字表示了顶点坐标，很抽象，不易理解．本题的难度之一是出现了“k”，这个“k”其本质起到了参数作用．有些精品文档。

求二次函数的解析式 专题练习题姓名： 班级：1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2，点A ，C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B 和D(4，－)，求抛物线的解析式．232．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中点A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求直线CM 的解析式；(3)求△MCB 的面积．3．已知一个二次函数，当x ＝1时，y 有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的解析式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋64．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点(2，1)，求二次函数的解析式． 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：x … －4 －3 －2 －10 …y …－5 0 3 4 3 …(1)求此二次函数的解析式；(2)画出此函数图象；(3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点；(1)求此二次函数的解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝____，c＝____；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．10．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x ＝－.12(1)求抛物线的解析式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求M 点的坐标．答案:1. 解：y ＝x 2－x －216132. 解：(1)y ＝－x 2＋4x ＋5(2)y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，则M 点坐标为(2，9)，可求直线MC 的解析式为y ＝2x ＋5(3)把y ＝0代入y ＝2x ＋5得2x ＋5＝0，解得x ＝－，则E 点坐标为(－，0)，5252把y ＝0代入y ＝－x 2＋4x ＋5得－x 2＋4x ＋5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，则B 点坐标为(5，0)，所以S △MCB ＝S △MBE －S △CBE ＝××9－××5＝1512152121523. D4. 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y ＝x ＋1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y ＝a(x －1)2＋2，再把(2，1)代入函数中可得a(2－1)2＋2＝1，解得a ＝－1，故函数解析式是y ＝－(x －1)2＋2，即y ＝－x 2＋2x ＋15. 解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(－1，4)，设y ＝a(x ＋1)2＋4，把(0，3)代入得a(0＋1)2＋4＝3，解得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4，即y ＝－x 2－2x ＋3　(2)图象略(3)－5＜y≤46. 解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，由于抛物线的图象经过C(0，－3)，则有－3＝a(0＋1)(0－3)，解得a ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)，即y ＝x 2－2x －3(2)由(1)可知y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，则y 的最小值为－4＞－5，因此无论m 取何值，点M 都不在这个二次函数的图象上7. 解：∵抛物线的对称轴为x ＝－1，在x 轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，设抛物线解析式为y ＝a(x ＋3)(x －1)，把(－2，－6)代入得a ·(－2＋3)·(－2－1)＝－6，解得a ＝2，所以抛物线解析式为y ＝2(x ＋3)(x －1)，即y ＝2x 2＋4x －68. (1) 2 0(2)(－1，－1)　(3)＝22＋32139. y ＝－x 2＋2x ＋310. 解：(1)y ＝－x 2－x ＋31212(2)由y ＝0得－(x ＋)2＋＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3，1212258∴B(－3，0)．①当CM ＝BM 时，∵BO＝CO ＝3，即△BOC 是等腰直角三角形，∴当M 点在原点O 时，△MBC 是等腰三角形，∴M 点坐标为(0，0)；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得OC2＋OB2222BC＝3，∴BM＝3，∴M点坐标(3－3，0)．2综上所述，M点坐标为(3－3，0)或(0，0)。

2019年人教版数学九年级上册 专项综合全练（二）求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解析式1．（2018福建龙岩上杭月考）已知二次函数的图象经过点(0，3)、（-3，0）、（2，-5）． (1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P （-2，3）是否在这个二次函数的图象上．2．（2017上海闵行一模）已知：在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=ax ²+bx+c 经过点A(3，0)，B （2，-3），C(0，-3)． (1)求抛物线的表达式；(2)设点D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为-2，求△AOD 的面积． 3．（2019广东广州越秀月考）已知抛物线y= ax ²+bx+c 过点 A(-1,1)，B （4,-6），C(0,2). (1)求此抛物线的函数解析式；(2)该抛物线的对称轴是__________，顶点坐标是____； (3)选取适当的数据，并在直角坐标系内描点画出该抛物线． 类型二利用“顶点式”求二次函数解析式4．（2019四川广安月考）某抛物线的对称轴为直线x=3，y 的最大值为-5，且与的图象开口大小相同，则这条抛物线的解析式为( )A.y=（x+3）²+5B ．y=(x-3)²-5C.y=（x+3）²+52x 21=y 21-21-21D ．y=(x-3)2²-55．已知二次函数y= ax ²+bx +c 中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)求该函数的表达式；(2)当y<5时，x 的取值范围是________．6．已知某二次函数图象的顶点坐标为（2，-2），且经过点(3，1)，求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与，，轴的交点坐标． 类型三利用“交点式”求二次函数解析式7．（2019安徽合肥包河月考）已知二次函数图象经过A （-5，0），B(3，0)，C （-1，16）三点，求该抛物线的解析式．8．如图22-5-1，抛物线y=ax ²+bx+c 经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，求抛物线的解析式．图22-5-19．已知二次函数y= ax ²+bx+c 的图象过点A(1，0)，B （-3，0），C （0，-3）． (1)求此二次函数的解析式：(2)在抛物线上存在一点P ，使△ABP 的面积为6，求点P 的坐标．（写出详细的解题过程）21图22-5-2类型四利用“平移规律”求二次函数解析式10.如图22-5-3．将函数y=(x-2) ²+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)、B （4，n ）平移后的对应点分别为A ‘、B ’．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是( )图22-5-3A ．y=(x-2) ²-2 B.y=(x-2) ²+7 C ．y=(x-2)²-5 D ．y=(x-2)² +411.将抛物线y=3（x-4）²+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是______________.12．如图22-5-4，抛物线y=x ²沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x 上的M 处，则平移后抛物线的解析式为_______________．21212121212图22-5-413.如图22-5-5，△OAB的OA边在x轴上，其中B点坐标为(3，4)且OB= BA.(1)求经过A，B，0三点的抛物线的解析式：(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移，设点A，B的对应点分别为点A’，B’，若四边形ABB’A’为菱形，求平移后的抛物线的解析式．图22-5-514.如图22-5-6所示，直线L经过点A(4，0)和B(O，4)两点，它与二次函数y= ax²的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4．(1)求点P的坐标：(2)求二次函数的解析式：(3)能否将抛物线y=ax²上下平移，使平移后的抛物线经过点A?如果能，请求出平移后抛物线的解析式：如果不能，请说明理由，图22-5-6答案求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解析式1．解析 (1)设此二次函数的解析式为y=ax ²+bx+c ，将(0，3)、（-3，0）、（2，-5）代入y=ax2 +bx+c ，得解得∴此二次函数的解析式是y=-x ²-2x+3． (2)当x=-2时，y=-（-2）²-2x （-2）+3 =3， ∴点P( -2，3)在这个二次函数的图象上．2．解析(1)把A(3，0)，B （2，-3），C （0，-3）代入y=ax ²+ bx+得解得∴该抛物线的解析式为y=x ²-2x-3.(2)把x=-2代入抛物线的解析式得y=5， 即D （-2，5）， ∵A(3，0)，∴OA=3，∴． 3．解析(1)抛物线的解析式为y=ax ²+bx+c ，将点A （-1，1），B （4，-6），C(0，2)分别代入，得解得2155321S AOD =⨯⨯=∆则此抛物线的解析式为．(2)对称轴为直线；∵．∴抛物线的顶点坐标为．(3)其函数图象如下，类型二利用“顶点式”求二次函数解析式 4. B解析；因为抛物线的对称轴为x=3,y 的最大值为-5，所以设抛物线解析式为y=a(x-3)²-5，因为所求抛物线与的图象开口大小相同，而y 有最大值，所以，所以这条抛物线的解析式为．故选B ．5．解析(1)由题表易得二次函数y=ax ²+bx+c 的图象的顶点坐标为(2，1)， 设函数的表达式为y=a （x-2）²+1． 由题意得函数的图象经过点(0，5)， 所以5=a ·（-2）²+1．所以a=1．所以该函数的表达式为y=（x-2）2+1（或y=x ²-4x+5）． (2)由题表所给数据可知二次函数图象的对称轴为x=2． ∴(0，5)和(4，5)均在该函数图象上． 又a=1>0．221y x -=221a x =5)3(21y 2---=x∴当y<5时，对应的x 的取值范围为0<x<4． 故答案为0<x<4．6．解析根据题意，可设二次函数的解析式为y=a （x-2）²-2(a ≠0)， 把(3，1)代入y=a （x-2）²-2，得a(3-2)²-2=1，解得a=3，所以二次函数的解析式为y=3（x-2）²-2(或y=3x ²-12x+10). 当x=0时，y= 3x4-2= 10，所以该函数图象与y 轴的交点坐标为(0，10)． 类型三利用“交点式”求二次函数解析式 7．解析 ∵A （-5，0），B(3，0)， ∴设抛物线解析式为y=a （x-3）（x+5），把C （-1，16）代入得a ·（-1-3）×（- 1+5）=16， 解得a= -1,∴抛物线的解析式为y=-（x-3）(x+5)，即y= -X ²-2x+15．8．解析根据题意，可设抛物线的解析式为y=a （x-1）（x-4）(n ≠0)，把c(0，3)代入得a ．（-1）×（-4）=3，解得a=，所以抛物线的解析式为y=（x-1）（x-4），即y=x ²-+3．9．解析(1)根据题意，可设抛物线的解析式为y=a （x-1）(x+3)(a ≠0)， 把C （0，-3）代入得a ·（-1）x3= -3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x-1）·（x+3）=x ²+2x-3． (2)∵A(1,0),B( -3,0)．∴AB=4. 设P(m ，n)，∵△ABP 的面积为6．∴AB ·ln l =6，即×4xlnl =6,解得n=±3．当n=3时，m ²+2m-3=3．434343x4152121解得m= - 1+或-1-， ∴P(-1+，3)或P(-1-，3)． 当n= -3时，m ²+2m-3= -3, 解得m=0或m=-2, ∴P(0，-3)或P( -2，-3)．故P （-1+，3）或P （-1-，3）或P(0，-3)或P （-2，-3）． 类型四利用“平移规律”求二次函数解析式 10. D解析：如图，连接AB 、A'B'，则，由平移可知AA ’= BB ’，AA ’∥BB ’， ∴四边形ABB' A ’是平行四边形， 分别延长A ’ A 、B ’ B 交x 轴于点M 、N. ∵A(1，m)、B （4，n ）， ∴MN=4-1=3． ∵,∴9= 3AA ’，解得AA ’=3,即原函数图象沿y 轴向上平移了3个单位，∴新图象的函数表达式为y=(x-2) ²+4．11．答案y=3（x-5）²-177777721解析抛物线y=3（x-4）²+2的顶点坐标为(4，2)，将其向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度所得点的坐标为（5，-1），所以平移后抛物线的解析式为y=3（x-5）²-1． 12.答案y=（x-1）²+1解析 抛物线y=x ²沿直线y=x 向上平移个单位后，顶点在直线y=x 上的M 处．∴M(1，1)，则平移后抛物线的解析式为y=( x-1)²+1． 13．解析(1) ∵B 点坐标为(3，4)且OB= BA ， ∴A(6，0)．设所求抛物线的解析式为y=ax （x-6）， 将(3，4)代入，可得4=a ．3x( 3-6)= -9a ，∴，∴．(2)∵ B(3，4)，A(6，0)， ∴．∵四边形ABB' A ’为菱形， ∴BB'= BA=5．①若抛物线沿x 轴向右平移，则B ’(8，4)，∴平移后抛物线的解析式为y=（-8）²+4；②若抛物线沿x 轴向左平移，则B ’（-2，4），∴平移后抛物线的解析式为y=(x+2)²+4．14．解析(1)设直线l 的解析式为y=kx+b(k ≠0)， ∵直线l 过A(4，0)和B(0，4)两点，∴∴294a -=x x x x 3894)6(94y 2+-=--=94-94-∴y=-x+4 设,∵△AOP 的面积为4．∴∴，∴2= -+4， 解得=2．∴点P 的坐标为(2，2)．(2)把点P(2，2)代入y=ax ²，得2=ax2²，解得，故二次函数的解析式为．(3)能．设将抛物线上下平移后的解析式为+m,把点A(4，0)代入，得0=×4²+m ，解得m= -8．故将抛物线y= ax ²向下平移8个单位长度时，平移后的抛物线经过点A ．平移后抛物线的解析式为-8．21a =221y x =221y x =221y x =21221y x=。

2020中考数学压轴训练：二次函数综合题（含答案）1. 已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B(A在B的左侧)两点，与y轴交于点D(0，3)，且顶点为E(1，4).(Ⅰ)求抛物线C的解析式；(Ⅰ)将抛物线C经过某种平移后得到抛物线C′，顶点变为E′(1，k)(k＜4)，设平移后D的对应点为D′，且OD′＝2.Ⅰ求抛物线C′的解析式；Ⅰ点Q在抛物线C′的对称轴上，若AD′＝AQ，求点Q的坐标.解：(Ⅰ)设抛物线C的解析式为y＝a(x－1)2＋4，代入D(0，3)，得a＋4＝3，解得a＝－1，Ⅰ抛物线C的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3；(Ⅰ)ⅠⅠE(1，4)，E′(1，k)(k＜4)，Ⅰ抛物线向下平移了(4－k)个单位长度，ⅠD′(0，3－4＋k)，即D′(0, k－1)，ⅠOD′＝2，k－1＝2，解得k＝3或k=－1，Ⅰ||Ⅰ抛物线C′的解析式为y＝－(x－1)2＋3或y＝－(x－1)2－1，即y＝－x2＋2x＋2或y＝－x2＋2x－2；ⅠⅠOD′＝2，ⅠD ′(0，2)或D ′(0，－2)．令y ＝0，则有－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，Ⅰ点A 的坐标为(－1，0)．设点Q 坐标为(1，m )．ⅠAD ′2＝(0+1)2＋(±2－0)2＝5，AQ 2＝(－1－1)2＋(0－m )2＝m 2＋4，Ⅰm 2＋4＝5，解得m ＝±1.ⅠQ 点坐标为(1，1)或(1，－1)．2. 已知二次函数y ＝ x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点．(Ⅰ)若A (－2，0)，B (3，0)，求二次函数的解析式；(Ⅰ)若b ＝－(3m －1)，c ＝2m 2－2m (其中m ＞－1)．Ⅰ二次函数与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1＜x 2)两点，且－1≤12x 1－13x 2≤1，试求m 的取值范围；Ⅰ当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是－1，求m 的值．解：(Ⅰ)把A (－2，0)，B (3，0)代入y ＝ x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4－2b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－6， Ⅰ二次函数的解析式为y ＝x 2－x －6；(Ⅰ)Ⅰ令y ＝0，则x 2－(3m －1)x ＋2m 2－2m ＝0，b 2－4ac ＝(3m －1)2－4×(2m 2－2m )＝(m +1)2，Ⅰx 1＝3m －1－（m ＋1）22＝m －1， x 2＝3m －1＋（m ＋1）22＝2m ， Ⅰ－1≤12x 1－13x 2≤1，Ⅰ－1≤m －12－2m 3≤1，整理得－9≤m ≤3，Ⅰm ＞－1，Ⅰ－1＜m ≤3；Ⅰ若对称轴x ＝3m －12≤1，当x ＝1时，二次函数有最小值－1，此时－1＜m ≤1，代入(1，－1)得：1－(3m －1)＋2m 2－2m ＝－1，化简得2m 2－5m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝32(舍去)；若对称轴x ＝3m －12≥3，当x ＝3时，二次函数有最小值－1，此时m ≥73，代入(3，－1)得：9－3(3m －1)＋2m 2－2m ＝－1，化简得2m 2－11m ＋13＝0，解得m ＝11＋174或m ＝11－174(舍去)； 若对称轴1＜3m －12＜3，当x ＝3m －12时，二次函数有最小值－1，此时1＜m ＜73，代入(3m －12，－1)，得（3m －1）24－（3m －1）22＋2m 2－2m ＝－1， 化简得m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3，(均舍去)综上所述，m 的值为11＋174或1. 3. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和B ，与y 轴的交点为C (0，－3)，其中A (－1，0)．(Ⅰ)求点B 的坐标；(Ⅰ)若抛物线上存在一点P ，使得ⅠPOC 的面积是ⅠBOC 的面积的2倍，求点P 的坐标；(Ⅰ)点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，求线段MD 长度的最大值． 解：(Ⅰ)Ⅰ抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，A (－1，0)，Ⅰ点B 的坐标为(3，0)；(Ⅰ)将点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，-3）代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2c ＝－3，Ⅰ抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3， ⅠS ⅠBOC ＝12×3×3＝92.ⅠS ⅠPOC ＝2S ⅠBOC ＝9.设点P 的横坐标为xP ，则12×3×|x p |＝9，解得x P ＝±6.Ⅰ点P 的坐标为(6，21)或(－6，45)；(Ⅰ)Ⅰ点B (3，0)，C (0，－3)，Ⅰ直线BC 的解析式为y ＝x －3.设点M (a ，a －3)，则点D (a ，a 2－2a －3)．ⅠMD ＝a －3－(a 2－2a －3)＝－a 2＋3a ＝－(a －32)2＋94，Ⅰ当a ＝32时，线段MD 长的最大值为94.4. 抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c (b ，c 为常数)与y 轴相交于点C ，经过点C 作直线CD Ⅰx 轴，交抛物线于点D ，将直线CD 向上平移t 个单位长度，交抛物线于点A 、B (A 在B 的左侧)，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E .(Ⅰ)当b ＝－2，c ＝1时，求抛物线顶点P 的坐标；(Ⅰ)若ⅠACB ＝90°，求t 的值；(Ⅰ)在(Ⅰ)的条件下，当以点A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时，求b 的值．解：(Ⅰ)当b ＝－2，c ＝1时，y ＝12x 2－2x ＋1＝12(x －2)2－1，Ⅰ抛物线的顶点P 的坐标为(2，－1)；(Ⅰ)如解图，连接AC ，BC ，CE ，ⅠⅠACB ＝90°，AE ＝EB ，ⅠCE ＝12AB ，由12＋bx＋c＝c＋t，解得x＝－b±b2＋2t，2xⅠA(－b－b2＋2t，c＋t)，B(－b＋b2＋2t，c＋t)，ⅠAB＝2b2＋2t.ⅠE(－b，c＋t)，C(0，c)，ⅠCE＝b2＋t2.Ⅰb2＋t2＝b2＋2t.解得t＝2或t＝0(舍去)，Ⅰt＝2；第4题解图(Ⅰ)由题意得CD＝AE，ⅠA(－b－b2＋2t，c＋t)，E(－b，c＋t)，且点A在点E的左侧，ⅠAE＝b2＋2t.ⅠC(0，c)，D(－2b，c)，ⅠCD＝|－2b|，Ⅰb2＋2t＝|－2b|，Ⅰ3b2＝2t，Ⅰt ＝2，Ⅰb ＝±233.5. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 经过点(1，－4a )，(4，5a )．(Ⅰ)证明：抛物线与x 轴有两个不同的交点；(Ⅰ)设抛物线与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若ⅠACB ＝90°，求a 的值；(Ⅰ)若点D 和点E 的坐标分别为(0，4)，(4，4)．抛物线与线段DE 恰有一个公共点，求a 的取值范围．(Ⅰ)证明：把点(1，－4a )，(4，5a )代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－4a 16a ＋4b ＋c ＝5a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a c ＝－3a， Ⅰ抛物线的解析式为y ＝ax 2－2ax －3a ，Ⅰb 2-4ac ＝(－2a )2－4a ·(－3a )＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0，Ⅰ抛物线与x 轴有两个不同的交点；(Ⅰ)解：令ax 2－2ax －3a ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，Ⅰ设A ，B 两点的坐标分别为(－1，0)，B (3，0)，令x ＝0，则y ＝－3a ，Ⅰ点C 的坐标为(0，－3a )，ⅠⅠACB ＝90°，ⅠAC 2＋BC 2＝AB 2，ⅠAC 2＝(－1)2＋(－3a )2＝1＋9a 2，BC 2＝32＋(－3a )2＝9＋9a 2，AB 2＝[3－(－1)]2＝16，Ⅰ1＋9a 2＋9＋9a 2＝16，解得a ＝±33.Ⅰa的值为±3 3；(Ⅰ)解：Ⅰ由(Ⅰ)知，抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，Ⅰ抛物线关于直线x＝1对称，Ⅰa的正负不确定，需分类讨论；当a＞0时，如解图Ⅰ，将x＝0代入抛物线解析式得y＝－3a，Ⅰ抛物线与线段DE恰有一个公共点，Ⅰ－3a＜4，解得a＞－4 3，将x＝4代入抛物线解析式得y＝5a，Ⅰ5a≥4，解得a≥4 5，Ⅰa≥4 5，当a＜0时，如解图Ⅰ，将x＝0代入抛物线解析式得y＝－3a，Ⅰ抛物线与线段DE恰有一个公共点，Ⅰ－3a＞4，解得a＜－4 3，将x＝4代入抛物线解析式得y＝5a，Ⅰ5a≤4，解得a≤4 5，Ⅰa <－43；当抛物线的顶点在线段DE 上时，则顶点为(1，4)，如解图Ⅰ，将点(1，4)代入抛物线得4＝a －2a －3a ，解得a ＝－1.综上所述，a ≥45或a ＜－43或a ＝－1.第5题解图6. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (0，2)，B (2，－2)两点．(Ⅰ)求a ，b 满足的关系式；(Ⅰ)当a ＝－12时，y 值为正整数，求满足条件的x 值；(Ⅰ)若a ＞0，线段AB 下方的抛物线上有一点D ，求ⅠDAB 的面积最大时，D 点的横坐标． 解：(Ⅰ)将A (0，2)，B (2，－2)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝24a ＋2b ＋c ＝－2， Ⅰ4a ＋2b ＋2＝－2，整理得2a ＋b ＝－2，即a ，b 满足的关系式为2a ＋b ＝－2； (Ⅰ)由(Ⅰ)知，c ＝2，b ＝－2a －2，Ⅰa ＝－12 ，Ⅰb ＝－1，Ⅰ抛物线解析式为y ＝－12x 2－x ＋2＝－12(x ＋1)2＋52，Ⅰy 值为正数，Ⅰ－12(x ＋1)2＋52＞0，Ⅰ(x ＋1)2－5＜0，Ⅰ－5－1＜x ＜5－1，Ⅰy 值为整数，即－12(x ＋1)2＋52为整数，Ⅰ(x ＋1)2是奇数，综上所述，满足条件的x 值为－2或0； (Ⅰ)由(Ⅰ)知，c ＝2，b ＝－2a －2， Ⅰ抛物线的解析式为y ＝ax 2－(2a ＋2)x ＋2， ⅠA (0，2)，B (2，－2)，Ⅰ直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋2， Ⅰ点D 在线段AB 下方的抛物线上， 设点D （m ，am 2－(2a ＋2)m ＋2），如解图，过点D作y轴的平行线DE交AB于点E，ⅠE(m，－2m＋2)，ⅠDE＝－2m＋2－[am2－(2a＋2)m＋2]＝－a(m－1)2＋a，ⅠSⅠDAB＝12DE·(xB－xA)＝－a(m－1)2＋a，Ⅰa＞0，Ⅰ－a＜0，Ⅰ当m＝1时，ⅠDAB的面积最大，此时D点的横坐标为1.第6题解图7. 一次函数y＝34x的图象与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(Ⅰ)求点C的坐标；(II)设二次函数图象的顶点为D.Ⅰ若点D与点C关于x轴对称，且ⅠACD的面积等于3，求此二次函数的解析式；Ⅰ若CD＝AC，且ⅠACD的面积等于10，求此二次函数的解析式．解：(Ⅰ)Ⅰy＝ax2－4ax＋c＝a(x－2)2－4a＋c，Ⅰ二次函数图象的对称轴为直线x＝2.当x ＝2时，y ＝34x ＝32，ⅠC (2，32)；(Ⅰ)ⅠⅠ点D 与点C 关于x 轴对称，ⅠD (2，－32)，ⅠCD ＝3.设A (m ，34m ) (m <2)，由S ⅠACD ＝3，得12×3×(2－m )＝3，解得m ＝0，ⅠA (0，0).将A (0，0)、 D (2，－32)代入y ＝ax 2－4ax ＋c 中，得⎩⎨⎧c ＝0－4a ＋c ＝－32， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==083c a . Ⅰ此二次函数的解析式为y ＝38x 2－32x ；Ⅰ设A (m ，34m )(m <2)，如解图，过点A 作AE ⅠCD 于E ，第7题解图则AE ＝2－m ，CE ＝32－34m ，∴ AC ＝AE 2＋CE 2＝(2－m )2＋(32－34m )2＝54(2－m )，ⅠCD ＝AC ，ⅠCD ＝54(2－m ).由S ⅠACD ＝10得12×54(2－m )2＝10，解得m ＝－2或m ＝6(舍去)，Ⅰm ＝－2.ⅠA (－2，－32)，CD ＝5.若a ＞0，则点D 在点C 下方，ⅠD (2，－72)，由A (－2，－32)、D (2，－72)得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋c ＝－32－4a ＋c ＝－72， 解得⎩⎨⎧a ＝18c ＝－3， Ⅰy ＝18x 2－12x －3.若a ＜0，则点D 在点C 上方，ⅠD (2，132)，由A (－2，－32)、D (2，132)得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋c ＝－32－4a ＋c ＝132 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝92， Ⅰy ＝－12x 2＋2x ＋92. 综上，二次函数的解析式为y ＝18x 2－12x －3或y ＝－12x 2＋2x ＋92.8. 已知二次函数y＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3(m是常数)的图象与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左侧)．(Ⅰ)如果二次函数的图象经过原点．Ⅰ求m的值；Ⅰ若m＜0，点C是一次函数y＝－x＋b(b＞0)图象上的一点，且ⅠACB＝90°，求b的取值范围；(Ⅰ)当－3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．解：(Ⅰ)ⅠⅠ二次函数的图象经过原点，Ⅰm2－2m－3＝0，解得m1＝－1，m2＝3.ⅠⅠm＜0，Ⅰm＝－1.把m＝－1代入y＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3中，得：y＝x2－4x，当y＝x2－4x＝0时，解得x1＝0，x2＝4，ⅠAB＝4.以AB为直径作ⅠP，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y＝－x＋b(b＞0)的图象与圆相交时，可得ⅠACB＝90°.如解图，一次函数y＝－x＋b(b＞0)的图象与ⅠP相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得ⅠPCF＝90°.第8题解图当x＝0时，y＝－x＋b＝b，Ⅰ点E(0，b).Ⅰ当y＝－x＋b＝0时，x＝b，Ⅰ点F(b，0)，ⅠAE＝AF＝b，又ⅠⅠPCF＝90°，ⅠⅠPCF为等腰直角三角形，ⅠPF＝2PC＝22，Ⅰb＝AF＝2＋22，Ⅰb的取值范围为0＜b≤2＋22；(Ⅰ)Ⅰy＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3＝(x＋m－1)2－4，Ⅰ抛物线的对称轴为直线x＝1－m，Ⅰ当1－m≤-3+22，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为5，Ⅰ(2＋m－1)2－4＝5，解得：m＝2或m＝－4(舍去)；Ⅰ当1－m＞-3+22，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝－3时，函数最大值为5，Ⅰ(－3＋m－1)2－4＝5，解得：m＝1或m＝7(舍去)．综上所述，m＝2或m＝1.9. 已知抛物线y＝a(x－h)2－2(a，h是常数，a≠0)，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点．(Ⅰ)若点A(－1，0)，B(5，0)，求抛物线的解析式；(Ⅰ)若点A(－1，0)，且ⅠABM是直角三角形，求抛物线的解析式；(Ⅰ)若抛物线与直线y＝x－6相交于M、D两点，当CDⅠx轴时，求抛物线的解析式．解：(Ⅰ)Ⅰ抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，Ⅰ5－h＝h－(－1)，Ⅰh＝2.把A(－1，0)代入y＝a(x－2)2－2，有a(－1－2)2－2＝0，解得a＝29，Ⅰ抛物线的解析式为y＝29(x－2)2－2；(Ⅰ)Ⅰ抛物线与x轴交于A、B两点，顶点M在直线y＝－2上，如解图Ⅰ.Ⅰa＞0.由a(x－h)2－2＝0，得x＝h±2a.Ⅰ|AB|＝(h＋2a)－(h－2a)＝22a.设对称轴x＝h交x轴于点H，则MH＝2.ⅠⅠABM是等腰直角三角形，ⅠAB＝2MH，Ⅰ22a＝4，解得a＝12，把A(－1，0)代入y＝12(x－h)2－2，得12(－1－h)2－2＝0，解得h1＝1，h2＝－3，Ⅰ抛物线的解析式为y＝12(x－1)2－2或y＝12(x＋3)2－2；第9题解图Ⅰ(Ⅰ)如解图Ⅰ，Ⅰ点M(h，－2)在直线y＝x－6上，Ⅰ－2＝h－6，解得h＝4.Ⅰy＝a(x－4)2－2＝ax2－8ax＋16a－2，ⅠC (0，16a －2)，由x －6＝ax 2－8ax ＋16a －2，即ax 2－(8a ＋1)x ＋16a ＋4＝0.解得x 1＝8a ＋1＋12a ＝4＋1a ，x 2＝8a 2a ＝4，把x ＝4＋1a 代入y ＝x －6，得y ＝1a －2，ⅠD (4＋1a ，1a－2)． ⅠCD Ⅰx 轴，Ⅰ点C 与点D 关于直线x ＝h ＝4对称，Ⅰ16a －2＝1a －2，Ⅰa ＝±14，Ⅰ当a ＝－14时，点C 与点D 重合，不合题意，故舍去，Ⅰa ＝14，Ⅰ抛物线的解析式为y ＝14(x －4)2－2.第9题解图Ⅰ10. 已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线y ＝kx ＋m 交于A (1，3)，B (4，0)两点，点P 是抛物线上A 、B 之间(不与点A 、B 重合)的一个动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C 、D .(Ⅰ)求抛物线与直线AB 的解析式；(Ⅰ)当点C 为线段AB 的中点时，求PC 的长；(Ⅰ)设点E 的坐标为(s ，t )，以点P ，C ，D ，E 为顶点的四边形为矩形时，用含有t 的式子表示s ，并求出s 的取值范围．解：(Ⅰ)Ⅰ点A (1，3)，B (4，0)在抛物线上，Ⅰ⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝3－16＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝0， Ⅰ抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x .Ⅰ点A (1，3)，B (4，0)在直线y ＝kx ＋m 上，Ⅰ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋m ＝34k ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝4， Ⅰ直线AB 的解析式为y ＝－x ＋4；(Ⅰ)根据题意，点C 的坐标为(52，32)，且PC Ⅰx 轴，Ⅰ－x 2＋4x ＝32，解得x ＝2－102(舍去)或x ＝2＋102，即点P 的横坐标为x ＝2＋102，第10题解图ⅠPC＝2＋102－52＝10－12；(Ⅰ)设点P的坐标为(x0，y0)，则y0＝－x02＋4x0.根据题意，以点P，C，D，E为顶点的四边形为矩形．如解图，又ⅠE(s，t)，ⅠC(s，y0)，D(x0，t)，Ⅰ点C、D在直线y＝－x＋4上，Ⅰy0＝－s＋4，t＝－x0＋4，即x0＝4－t，Ⅰ点P(x0，y0)在抛物线y＝－x2＋4x上，Ⅰ－s＋4＝－(4－t)2＋4(4－t)，Ⅰs＝t2－4t＋4.又ⅠP是抛物线上A、B之间的一个动点，Ⅰ1<x0<4，即1<4－t<4，Ⅰ0<t<3，Ⅰs＝t2－4t＋4的对称轴为直线t＝2.当0<t<2时，s随t的增大而减小，当2<t<3时，s随t的增大而增大．又Ⅰ当t＝2时，s＝0；当t＝0时，s＝4，Ⅰs的取值范围是0≤s<4.。

求二次函数的解析式专题练习题姓名：班级：1．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B和D(4，－23 )，求抛物线的解析式．2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求直线CM的解析式；(3)求△MCB的面积．3．已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的解析式是( )A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋64．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(2，1)，求二次函数的解析式．2x …－4 －3 －2 －1 0 …y …－5 0 3 4 3 …(1)求此二次函数的解析式；(2)画出此函数图象；(3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点；(1)求此二次函数的解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝____，c＝____；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x＝－1 2 .(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．答案:1. 解：y＝16x2－13x－22. 解：(1)y＝－x2＋4x＋5(2)y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，则M点坐标为(2，9)，可求直线MC的解析式为y＝2x＋5(3)把y＝0代入y＝2x＋5得2x＋5＝0，解得x＝－52，则E点坐标为(－52，0)，把y＝0代入y＝－x2＋4x＋5得－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，则B点坐标为(5，0)，所以S△MCB ＝S△MBE－S△CBE＝12×152×9－12×152×5＝153. D4. 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y＝x＋1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y＝a(x－1)2＋2，再把(2，1)代入函数中可得a(2－1)2＋2＝1，解得a＝－1，故函数解析式是y＝－(x－1)2＋2，即y＝－x2＋2x＋15. 解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(－1，4)，设y＝a(x＋1)2＋4，把(0，3)代入得a(0＋1)2＋4＝3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3(2)图象略(3)－5＜y≤46. 解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，由于抛物线的图象经过C(0，－3)，则有－3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x －3)，即y＝x2－2x－3(2)由(1)可知y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则y的最小值为－4＞－5，因此无论m 取何值，点M都不在这个二次函数的图象上7. 解：∵抛物线的对称轴为x＝－1，在x轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，设抛物线解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，把(－2，－6)代入得a·(－2＋3)·(－2－1)＝－6，解得a＝2，所以抛物线解析式为y＝2(x＋3)(x－1)，即y＝2x2＋4x－68. (1) 2 0(2)(－1，－1)(3)由平移知两个图象顶点之间的距离＝22＋32＝139. y＝－x2＋2x＋310. 解：(1)y＝－12x2－12x＋3(2)由y＝0得－12(x＋12)2＋258＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形，∴M点坐标为(0，0)；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝OC2＋OB2＝32，∴BM＝32，∴M点坐标(32－3，0)．综上所述，M点坐标为(32－3，0)或(0，0)。

2019年中考复习《二次函数》求解析式专题训练1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；第1题图3. 在平面直角坐标系中，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过A ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；图①4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝-21x 2+bx +c (b 、c 为常数)的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限.(1)如图，若抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；5. 如图，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2，OC =3.（1）求抛物线的解析式；第5题图6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，AB ∥OC ，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ，将∠DBC 绕点B 顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 、F .（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；7. 如图①，二次函数y =ax 2+bx +3的图象与x 轴相交于点A （-3，0）、B (1，0)，与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直线GC 交x 轴于点H (3，0)，AD 平行GC 交y 轴于点D .（1）求该二次函数的表达式；图①8.如图①，关于x 的二次函数y = -x 2+bx +c 经过点A (-3，0)，点C (0，3)，点D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上.（1）求抛物线的解析式；图①9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M .（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△P AB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；第4题图10.如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A (1，0)、B (4，0)、C (0，3)三点.（1）求抛物线的解析式；图①11. 如图，直线y =-21x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）.（1）求B 、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；12.已知正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，点B （4，4）.二次函数y = -61x 2+bx +c 的图象经过点A 、B .点P （t ，0）是x 轴上一动点，连接AP .（1）求此二次函数的解析式；13. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点左侧，B 点的坐标为（4，0），与y 轴交于C （0，-4）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式；15.如图，已知抛物线y ＝-m1（x +2）（x -m ）（m ＞0）与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点G （2，2），求实数m 的值.（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求△ABC 的面积.②在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH +CH 最小，并求出点H 的坐标.第1题图【答案】1.解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），解得⎩⎨⎧==3-4c b ， ∴抛物线的解析式为y =x 2-4x +3.（2）令x =0，则y =3，∴点C （0，3），又∵点A (3，0)，∴直线AC 的解析式为y = -x +3，设点P （x ，x 2-4x +3），∵PD ∥y 轴，且点D 在AC 上，∴点D (x ，-x +3)，∴PD =(-x +3)-(x 2-4x +3)=-x 2+3x =-(x-23)2+49， ∵a =-1<0，∴当x =23时，线段PD 的长度有最大值，最大值为49. 3.解：（1）对于直线y =x +4，令x =0，得y ＝4，令y =0，得x =-4，则A (-4，0)，C (0，4)，代入抛物线解析式得⎩⎨⎧==+404-8-c c b ， 解得⎩⎨⎧==4-1c b ， ∴抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4. 4.(1)解：设AC 与x 轴的交点为M ，∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0，-1)，C 的坐标为(4，3)， ∴直线AC 的解析式为y=x-1，∴直线AC 与x 轴的交点M (1，0).∴OM =OA ，∠CAO =45°.∵△CAB 是等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，∴BC ∥y 轴，又∵∠OMA =45°，∴∠OAB ＝90°，∴AB ∥x 轴，∴点B 的坐标为(4，-1).∵抛物线过A (0，-1)，B (4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=-141621--1c b c ，解得⎩⎨⎧==-12c b ， ∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+2x -1. 5.解：（1）∵OA =2，∴点A 的坐标为（-2，0）.∵OC =3，∴点C 的坐标为（0，3）.把A （-2，0），C （0，3）分别代入抛物线y = -21x 2+bx +c ， 得⎩⎨⎧=+=c c b 32--20， 解得⎩⎨⎧==312c b ， ∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+21x +3. 6.解：(1)由题意得A (0，2)、B (2，2)、C (3，0).设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +2(a ≠0)，将点B 、C 分别代入得⎩⎨⎧=++=++02392224b a b a ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432-b a ，∴抛物线的解析式为y = - 32x 2+ 34x +2. 7.(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +3过点A (-3，0)、B (1，0)，∴⎩⎨⎧=++=+03033-9b a b a ，，解得⎩⎨⎧==-2-1b a ， ∴二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3.8.解：（1）将A (-3，0)，C (0，3)代入y =-x 2+bx +c ，得⎩⎨⎧=+=03-9-3c b c ，解得⎩⎨⎧==3-2c b . ∴抛物线的解析式为y = -x 2-2x +3.9.解：（1）∵抛物线过点A （0，4）、B （1，0）、C （5，0），∴设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =a (x -1)·(x -5)(a ≠0)，∴将点A （0，4）代入y=a (x -1)(x -5)，得a =54， ∴此抛物线的解析式为y =54x 2-524x +4， ∵抛物线过点B （1，0）、C （5，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝251+=3. （2）存在，如解图①，连接AC 交对称轴于点P ，连接B P 、BA ， ∵点B 与点C 关于对称轴对称，∴PB =PC ，∴AB +AP +PB =AB +AP +PC =AB +AC ，∵AB 为定值，且AP +P C≥AC ，∴当A 、P 、C 三点共线时△P AB 的周长最小，∵ A （0，4）、C （5，0），设直线A C 的解析式为y =ax +b (a ≠0)， 第4题解图① 将A 、C 两点坐标代入解析式得⎩⎨⎧=+=054b a b ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==454-b a ，∴直线AC 的解析式为y = -54x +4. ∵在y = -54x +4中，当x ＝3时，y =58， ∴P 点的坐标为（3，58）， 即当对称轴上的点P 的坐标为（3，58）时，△ABP 的周长最小. 10.解：（1）∵点A （1，0），B （4，0）在抛物线上，∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4)，将点C （0，3）代入得a (0-1)(0-4)=3，解得a =43， ∴抛物线解析式为y =43(x -1)(x -4)， 即y =43x 2-415x+3. 11. 解：（1）令x =0，可得y =2，令y =0，可得x =4，即点B （4，0），C （0，2）.（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a ，解得b c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===22321- ， 即该二次函数的关系式为y=-21x 2+23x +2. 12.解：（1）∵B （4，4），∴AB =BC =4，∵四边形ABCO 是正方形，∴OA =4，∴A （0，4），将点A （0，4），B （4，4）代入y = -61x 2+bx +c ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=441661-4c b c ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==432c b ，∴二次函数解析式为y =-61x 2+32x +4. 13.解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得：⎩⎨⎧==++-40416c c b ，解得⎩⎨⎧==-4-3c b ， ∴二次函数的表达式为y =x 2-3x -4.14.解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2=-m1 (2+2)(2-m )， ∴m =4.(2)①y =0，- m 1 (x +2)(x -m )=0，解得x 1=-2，x 2=m ，∵m ＞0，∴A (-2，0)、B (m ，0)，又∵m =4，∴AB =6.令x =0，得y =2，∴C (0，2)，∴OC =2，∴S △ABC =21×AB ×OC =21×6×2＝6.第1题解图① ②∵m =4，∴抛物线y = -41(x +2)(x -4)的对称轴为x =1，如解图①，连接BC 交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知， 此时AH +CH =BH +CH =BC 最小.设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0).则⎩⎨⎧==+204b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221-b k ，∴直线BC 的解析式为y=-21x +2.当x =1时，y =23，∴H (1， 23).。

二次函数基础专项练习一、简答题1、已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.（1）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）在如图3的直角坐标系内画出y＝－x2＋2x＋2的图象．2、将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，求所得抛物线的解析式？3、在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．(1)若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围.3、抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有无交点？若无，说出理由，若有，求出交点坐标．5、已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．6、求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出当x取何值时，y的值随x的增大而减小．(1)y＝x2－4x－3；(2)y＝－3x2－4x＋2.7、用配方法将二次函数y＝2x2－4x－3化为顶点式：8、画出函数y＝(x－1)2－1的图象．9、已知抛物线y＝kxk2＋k，当x＞0时，y随x的增大而减小．(1)求k的值；(2)作出函数的图象．10、．已知二次函数y＝ax2的图象经过点(1，－3)．(1)求a的值；(2)当x＝3时，求y的值；(3)说出此二次函数的三条性质．11、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．12、等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合。

中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。

22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质*第2课时用待定系数法求二次函数的解析式一、选择题1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则其函数解析式是()A.y=x2-4x+5B.y=-x2-4x+5C.y=x2+4x+5D.y=-x2+4x+52.如果二次函数y＝ax2＋bx,当x＝1时,y＝2;当x＝－1时,y＝4,则a,b的值是( )A.a＝3,b＝－1B.a＝3,b＝1C.a＝－3,b＝1D.a＝－3,b＝－13.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝3x2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为( )A.y＝－3(x＋2)2＋4B.y＝3(x＋2)2＋4C.y＝－(2x＋1)2＋4D.y＝－3(2x－1)2＋4x2的图象开口大小相同,则这条抛物4.已知抛物线的对称轴为直线x＝3,y的最大值为－5,且与y＝12线的解析式为( )(x＋3)2＋5A.y＝－12B.y＝－1(x－3)2－52C.y＝1(x＋3)2＋52D.y＝1(x－3)2－525.已知某抛物线的顶点坐标为M(－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为( )A.y＝(x－2)2＋1B.y＝1(x＋2)2＋14C.y＝(x＋2)2＋1D.y＝－1(x＋2)2＋146.某抛物线与x轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为( )A.y＝2x2－2x－4B.y＝－2x2＋2x－4C.y＝2x2＋2x－4D.y＝x2＋x－27.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是( )A.y＝－x2＋x＋2B.y＝－12x2－12x＋2C.y＝－12x2－12x＋1D.y＝x2－x－28.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x＝－1,则这个二次函数的解析式为( )A.y＝－x2＋2x＋3B.y＝x2＋2x＋3C.y＝－x2－2x－3D.y＝－x2－2x＋39.当k取任意实数时,抛物线y＝3(x－k－1)2＋k2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是( )A.y＝x2＋2B.y＝x2－2x＋1C.y＝x2－2x＋3D.y＝x2＋2x－3二、填空题10.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点,则该抛物线的解析式是.11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是.12.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1,与y轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为.13.已知抛物线y=4x2+mx-48,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.则当x=3时,y=.14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根.其中正确的结论有.(填写序号)15.如果将二次函数y＝－6(x－1)2的图象沿x轴对折,得到的函数图象的解析式是;如果沿y轴对折,得到的函数图象的解析式是.16.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y＝x＋1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B 的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为.三、解答题17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),求该抛物线的解析式和顶点E的坐标.18.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:求该二次函数的解析式.19.已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与抛物线y＝4x2－2x＋5的形状相同,且抛物线y＝a(x－h)2＋k经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.). 20.已知二次函数图象的对称轴是直线x＝－3,图象经过点(1,6),且与y轴的交点坐标为(0,52(1)求这个二次函数的解析式.(2)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?21.如图,抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1,0),B(－3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.22.(陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．23.(江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为____________．(2)求抛物线的解析式及m，n的值．(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：______________．24.(永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图②所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q错误!是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称？若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．25.(攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．26.(衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．27.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.答案一、选择题1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则其函数解析式是(B)A.y=x2-4x+5B.y=-x2-4x+5C.y=x2+4x+5D.y=-x2+4x+52.如果二次函数y＝ax2＋bx,当x＝1时,y＝2;当x＝－1时,y＝4,则a,b的值是(A)A.a＝3,b＝－1B.a＝3,b＝1C.a＝－3,b＝1D.a＝－3,b＝－13.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝3x2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为(B)A.y＝－3(x＋2)2＋4B.y＝3(x＋2)2＋4C.y＝－(2x＋1)2＋4D.y＝－3(2x－1)2＋4x2的图象开口大小相同,则这条抛物4.已知抛物线的对称轴为直线x＝3,y的最大值为－5,且与y＝12线的解析式为(B)(x＋3)2＋5A.y＝－12B.y＝－1(x－3)2－52C.y＝1(x＋3)2＋52D.y＝1(x－3)2－525.已知某抛物线的顶点坐标为M(－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为(D)A.y＝(x－2)2＋1B.y＝1(x＋2)2＋14C.y＝(x＋2)2＋1D.y＝－1(x＋2)2＋146.某抛物线与x轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为(C)A.y＝2x2－2x－4B.y＝－2x2＋2x－4C.y＝2x2＋2x－4D.y＝x2＋x－27.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是(A)A.y＝－x2＋x＋2B.y＝－12x2－12x＋2C.y＝－12x2－12x＋1D.y＝x2－x－28.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x＝－1,则这个二次函数的解析式为(D)A.y＝－x2＋2x＋3B.y＝x2＋2x＋3C.y＝－x2－2x－3D.y＝－x2－2x＋39.当k取任意实数时,抛物线y＝3(x－k－1)2＋k2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是(C)A.y＝x2＋2B.y＝x2－2x＋1C.y＝x2－2x＋3D.y＝x2＋2x－3二、填空题10.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点,则该抛物线的解析式是y＝－x2＋2x＋3.11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是y＝－12x2－12x＋1.12.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1,与y轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为y=2x2-8x+6.13.已知抛物线y=4x2+mx-48,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.则当x=3时,y=36.14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根.其中正确的结论有①③④.(填写序号)15.如果将二次函数y ＝－6(x －1)2的图象沿x 轴对折,得到的函数图象的解析式是 y ＝6(x －1)2 ;如果沿y 轴对折,得到的函数图象的解析式是 y ＝－6(x ＋1)2 .16.如图,抛物线的顶点M 在y 轴上,抛物线与直线y ＝x ＋1相交于A ,B 两点,且点A 在x 轴上,点B 的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为 y ＝x 2－1 .三、解答题17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A (0,4),B (1,0),C (5,0),求该抛物线的解析式和顶点E 的坐标.解:由题意,设y ＝a (x －1)(x －5). 将点A (0,4)代入,得a ＝45,∴y ＝45(x －1)(x －5)＝45(x －3)2－165, 故顶点E 的坐标为(3,−165). 18.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表:求该二次函数的解析式.解:根据表中可知,点(－1,－2)和点(0,－2)关于对称轴对称, ∴对称轴是直线x ＝－12.设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋12)2＋k. 把点(－2,0)和点(0,－2)代入,得{a (−2＋12)2＋k ＝0,a (0＋12)2＋k ＝−2,解得a ＝1,k ＝－94, ∴该二次函数的解析式为y ＝(x ＋12)2－94＝x 2＋x －2.19.已知抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5的形状相同,且抛物线y ＝a (x －h )2＋k 经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式. 解:把点(0,0)代入y ＝a (x －h )2＋k ,得ah 2＋k ＝0. ∵抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的最大值为16,∴函数图象的开口向下,即a <0,其顶点的纵坐标k ＝16.∵抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的形状与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5相同,∴a ＝－4, 把a ＝－4,k ＝16代入ah 2＋k ＝0中,得h ＝±2,∴此抛物线的解析式为y ＝－4(x －2)2＋16或y ＝－4(x ＋2)2＋16.20.已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝－3,图象经过点(1,6),且与y 轴的交点坐标为(0,52). (1)求这个二次函数的解析式.(2)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大? 解:(1)这个二次函数的解析式为y ＝12x 2＋3x ＋52. (2)∵y ＝12x2＋3x ＋52,∴a ＝12>0,开口向上,对称轴是直线x ＝－3,∴当x >－3时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大. 21.如图,抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1,0),B (－3,0)两点. (1)求该抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线交y 轴于点C ,在该抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得△MAC 的周长最小?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)该抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)存在.连接BC 交对称轴于点M ,则此时△MAC 的周长最小.在y ＝－x 2－2x ＋3中,令x ＝0,得y ＝3,∴点C 的坐标为(0,3).设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ,∴{−3k ＋b ＝0,b ＝3,解得{k ＝1,b ＝3,∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3. ∵抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的对称轴为直线x ＝－1, ∴当x ＝－1时,y ＝2,∴点M 的坐标为(－1,2).22.(陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式，得错误!解得错误!故抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．解：抛物线的对称轴为直线x＝－1.令y＝0，则x＝－3或x＝1；令x＝0，则y＝－3，故点A，B的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，点C的坐标为(0，－3)．∴OA＝OC＝3.∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等．设点P(m，n)，当点P在抛物线的对称轴右侧时，m－(－1)＝3，解得m＝2，故n＝22＋2×2－3＝5，故点P(2，5)，故点E(－1，2)或(－1，8)；当点P在抛物线的对称轴左侧时，由抛物线的对称性可得点P (－4，5)，此时点E坐标同上．综上，点P的坐标为(2，5)或(－4，5)，点E的坐标为(－1，2)或(－1，8)．23.(江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：(1)根据以上信息，可知抛物线开口向__上______，对称轴为_直线x＝1___________．(2)求抛物线的解析式及m，n的值．解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分别代入y＝ax2＋bx＋c，得错误!解得错误!∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.当x＝－2时，m＝4＋4－3＝5；当x＝1时，n＝1－2－3＝－4.(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？解：如图所示．该曲线是一条抛物线．(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：_A3A4－A1A2＝1_______．24.(永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．解：在等腰直角三角形ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2.∴A(－2，0)，B(2，0)，C(0，－2)．∴设二次函数解析式为y＝ax2－2，将点B(2，0)的坐标代入，得4a －2＝0，则a ＝12.∴抛物线所表示的二次函数解析式为y ＝12x 2－2.(2)过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图②所示． ①求△CMN 面积的最小值．解：设直线l 的解析式为y ＝kx ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由错误!可得错误!x 2－kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k ，x 1·x 2＝－4.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4k 2＋16. ∴|x 1－x 2|＝2k 2＋4.∴S △CMN ＝12OC ·|x 1－x 2|＝2k 2＋4. ∴当k ＝0时，2k 2＋4取最小值4. ∴△CMN 面积的最小值为4.②已知Q 错误!是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称？若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．解：抛物线上存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称．设点P 的坐标为错误!，连接OP ，OQ ，PQ ，∴OP ＝OQ ，即错误!＝错误!， 解得m 1＝3，m 2＝－3，m 3＝1(不合题意，舍去)，m 4＝－1(不合题意，舍去)． 当m ＝3时，点P 错误!，则线段PQ 的中点为错误!，∴错误!k ＝－1， 解得k ＝1－ 3.∴直线l 的解析式为y ＝(1－3)x . 当m ＝－3时，点P 错误!，则线段PQ 的中点为错误!，∴错误!k ＝－1， 解得k ＝1＋3，∴直线l 的解析式为y ＝(1＋3)x .综上，直线l 的解析式为y ＝(1－3)x 或y ＝(1＋3)x .25.(攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (2，0)，与y 轴交于点C (0，4)，点P 是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；解：由题意可设抛物线所对应的函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，将C(0，4)的坐标代入，得4＝－2a，解得a＝－2.∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝－2(x＋1)(x－2)＝－2x2＋2x＋4.(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．解：如图，连接OP，设点P的坐标为(m，－2m2＋2m＋4)，m＞0.∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)，∴OA＝1，OC＝4，OB＝2.∴S＝S△OAC＋S△OCP＋S△OPB＝12×1×4＋12×4m＋12×2×(－2m2＋2m＋4)＝－2m2＋4m＋6＝－2(m－1)2＋8.当m＝1时，S最大，最大值为8.26.(衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；解：由题意得二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－2)＝x2－x－2.(2)求当－2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差； 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝－1＋22＝12， ∴在－2≤x ≤1范围内，当x ＝－2时，函数有最大值， y 最大值＝4＋2－2＝4；当x ＝12时，函数有最小值，y 最小值＝14－12－2＝－94(如图)．∴y 的最大值与最小值的差为4－错误!＝错误!.(3)一次函数y ＝(2－m )x ＋2－m 的图象与二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围． 解：令x 2－x －2＝(2－m )x ＋2－m ， 整理得x 2＋(m －3)x ＋m －4＝0. 解得x 1＝－1，x 2＝4－m . ∵a ＜3＜b ，∴a ＝－1，b ＝4－m . 由4－m ＞3，解得m ＜1.27.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知矩形ABCD 的顶点坐标A (-1,0),B (3,0),C (3,-2),抛物线经过A ,B 两点,且顶点在线段CD 上. (1)求这条抛物线的解析式;(2)若点E (3,1),将△DCE 向上平移直至CD 边与AB 边重合,在此过程中,线段CD 与抛物线的交点为P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),线段DE 与AB 交于点M (x 3,y 3),求x 1+x 2+x 3的取值范围.解:(1)由题意可知抛物线的对称轴为直线x=-1+32=1,顶点为(1,-2). 设抛物线的解析式为y=a (x-1)2-2,把A (-1,0)代入得4a-2=0,∴a=12, ∴这条抛物线的解析式为y=12(x-1)2-2.(2)易知D (-1,-2),E (3,1),可求得直线DE 的解析式为y=34x-54.令y=0,则0=34x-54,解得x=53,∴x3=53;至CD边与AB边重合时,线段DE与AB交于A(-1,0),∴x3=-1,∴-1≤x3≤53.∵对称轴为直线x=1,∴x1+x2=2,∴x1+x2+x3的取值范围是-1+2≤x1+x2+x3≤2+53,即1≤x1+x2+x3≤113.。

22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。

文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.求二次函数解析式专项练习60题（含解析）1．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣3），求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x2+bx+2图象的一个交点为（m，3），试求二次函数的解析式．4．已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线形状相同，顶点坐标为（﹣2，4），求a，b，c的值．5．已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式；x …﹣2 0 2 …y …﹣1 1 11 …6．已知抛物线y=x+（m+1）x+m，根据下列条件分别求m的值．（1）若抛物线过原点；（2）若抛物线的顶点在x轴上；（3）若抛物线的对称轴为x=2．7．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出y＞0时，x的取值范围_________；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围_________；（3）求函数y=ax2+bx+c的表达式．9．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，5），B（1，﹣4）．（1）求这个二次函数解析式；（2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（3）画出这个函数的图象．10．已知：抛物线经过点A（﹣1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．12．二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，3）和B（﹣1，0）两点，求此二次函数的解析式．13．已知：一抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）经过点（3，4）和点（﹣1，0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴．14．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（0，﹣6）、（3，0），求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．15．如图，抛物线y=﹣x2+5x+m经过点A（1，0），与y轴交于点B，（1）求m的值；（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求△CAB的面积；（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．17．已知二次函数的图象经过点（0，﹣1）、（1，﹣3）、（﹣1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．18．已知：二次函数的顶点为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5），求该二次函数的解析式．19．已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），求这个函数的解析式．20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点．21．已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，且过点（1，﹣5），求其解析式．22．已知二次函数图象顶点坐标为（﹣2，3），且过点（1，0），求此二次函数解析式．23．已知抛物线y=﹣x2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），求此抛物线的解析式．24．一个二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个函数的关系式．25．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．26．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．27．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，函数值为5，当x=﹣1或﹣5时，函数值都为0，求这个二次函数的解析式．28．已知抛物线的图象经过点A（1，0），顶点P的坐标是．（l）求抛物线的解析式；（2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．29．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分，它经过A（﹣1，0），B（0，3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．30．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）试求二次函数的解析式；（2）求y的最大值；（3）写出当y＞0时，x的取值范围．31．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式．32．抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，0），求此抛物线的解析式．33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．34．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．35．二次函数的图象经过点（1，2）和（0，﹣1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．36．如图所示，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点O和A（4，0）．（1）求出此二次函数的解析式；（2）若该图象的最高点为B，试求出△ABO的面积；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是_________．37．已知：一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．（1）求出这个二次函数解析式；（2）利用配方法，把它化成y=a（x+h）2+k的形式，并写出顶点坐标和y随x变化情况．38．已知抛物线y=x2﹣2（k﹣2）x+1经过点A（﹣1，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．39．根据条件求下列抛物线的解析式：（1）二次函数的图象经过（0，1），（2，1）和（3，4）；（2）抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），且经过点（1，﹣2）．40．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）（1）求函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x增大而增大．41．已知二次函数的图象经过点（0，﹣2），且当x=1时函数有最小值﹣3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点（﹣2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．42．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3）（1）求二次函数的解析式，并在给定的坐标系中画出该函数的图象（不用列表）；（2）直接写出x2+bx+c＞3的解集．43．不论m取任何实数，y关于x的二次函数y=x2+2mx+m2+2m﹣1的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．44．抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，S△ABC=12，求其解析式．45．直线y=kx+b过x轴上的A（2，0）点，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为（1，1），求直线和抛物线所表示的函数解析式，并在同一坐标系中画出它们的图象．46．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5）．（1）试确定b、c的值；（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），试求△PAB的面积．47．抛物线y=ax2﹣3ax+b经过A（﹣1，0），C（3，﹣2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标．48．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式．49．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），且图象过点（l，﹣2）．（1）求这个二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴．50．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．51．若二次函数的图象的对称轴是直线x=1.5，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标．52．若二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），求该二次函数的解析式．53．过点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）的二次函数y1=ax2+bx+c与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．54．二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8）．求：（1）这个二次函数的解析式；（2）试判断点A（﹣1，2）是否在此函数的图象上．55．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），对称轴是y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．56．如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．57．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．58．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．59．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．60．已知函数y=x2+bx+c过点A（2，2），B（5，2）．（1）求b、c的值；（2）求这个函数的图象与x轴的交点C的坐标；（3）求S△ABC的值．二次函数解析式60题参考答案：1．∵顶点坐标是（1，﹣4）因此，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线与y轴交于点（0，﹣3）把（0，﹣3）代入解析式：﹣3=a（0﹣1）2﹣4解之得：a=1（14分）∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．2．（1）把点A（﹣1，12），B（2，﹣3）的坐标代入y=x2+bx+c 得得∴y=x2﹣6x+5．（2）y=x2﹣6x+5，y=（x﹣3）2﹣4，故顶点为（3，﹣4）．令x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5．与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．3．由题意，直线l的解析式为y=x，将（m，3）代入直线l的解析式中，解得m=3．将（3，3）代入二次函数的解析式，解得，∴二次函数的解析式为4．抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线形状相同，则a=±．当a=时，解析式是：y=（x+2）2+4=x2+x+5．即a=，b=1，c=5；当a=﹣时，解析式是：y=﹣（x+2）2+4=﹣x2﹣x+3．即a=﹣，b=﹣1，c=3．5．（1）依题意，得，解得；∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．（2）由（1）知：y=x2+3x+1=（x+）2﹣，故其顶点坐标为（﹣，﹣）6．（1）∵抛物线过原点，∴0=02+（m+1）×0+m．解得m=0；（2）∵抛物线的顶点在x轴上．∴△=（m+1）2﹣4m=0．解得：m=1；（3）∵抛物线的对称轴是x=2，∴﹣=2．解得m=﹣57．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（1，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y=a（x﹣1）（x﹣3）把B（0，3）代入得：3=3a∴a=1∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．8．（1）抛物线开口向下，与x轴交于（1，0），（3，0），当y＞0时，x的取值范围是：1＜x＜3；（2）抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＞2；（3）抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），设解析式y=a（x﹣1）（x﹣3），把顶点（2，2）代入，得2=a（2﹣1）（2﹣3），解得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣2x2+8x﹣6．9．（1）把A（﹣2，5），B（1，﹣4）代入y=x2+bx+c，得，解得b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3，∴﹣=1，=﹣4，∴顶点坐标（1，﹣4），对称轴为直线x=1；又当x=0时，y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）；y=0时，x=3或﹣1，∴与x轴交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．（3）图象如图．10．（1）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得，解得．故所求抛物线的解析式为y=2x2﹣4x+1．（2）∵，∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）11．∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），∴c=3．又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，∴代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0，①4a+2b+c=﹣1，②由①②及c=3解得∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+312．由题意得解得，．此二次函数的解析式为y=x2﹣1．13．把点（3，4）、（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣2得：解得：则抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣则抛物线的对称轴是：x=14．由题意得，解得．∴这个二次函数的解析式是y=2x2﹣4x﹣6．y=2（x2﹣2x）﹣6=2（x2﹣2x+1）﹣2﹣6（1分）=2（x﹣1）2﹣8．（1分）∴它的图象的顶点坐标是（1，﹣8）．15．（1）根据题意，把点A的坐标代入抛物线方程得：0=﹣1+5+m，即得m=﹣4；（2）根据题意得：令y=0，即﹣x2+5x﹣4=0，解得x1=1，x2=4，∴点C坐标为（4，0）；令x=0，解得y=﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；∴由图象可得，△CAB的面积S=×OB×AC=×4×3=6；（3）根据题意得：①当点O为PB的中点，设点P的坐标为（0，y），（y＞0）则y﹣4=0，即得y=4，∴点P的坐标为（0，4）．②当AB=BP时，AB=，∴OP 的长为：﹣4，∴P（0，﹣4），∴P（0，﹣4），或（0，4）16．（1）点（1，0），（3，0）在抛物线y=﹣x2+bx+c上．则有解得：则所求表达式为y=﹣x2+4x﹣3．（2）依题意，得AB=3﹣1=2．设P点坐标为（a，b）当b＞0时，×2×b=8．则b=8．故﹣x2+4x﹣3=8即x2+4x+11=0△=（﹣4）2﹣4×1×11=16﹣44=﹣28＜0，方程﹣x2+4x+11=0无实数根．当b＜0时，×2×（﹣b）=8，则b=﹣8故﹣x2+4x﹣3=﹣8 即﹣x2+4x﹣5=0．解得x1=﹣1，x2=5所求点P坐标为（﹣1，﹣8），（5，﹣8）17．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1；y=x2﹣3x﹣1=x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣1=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的顶点坐标为（，﹣）．18．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+4．∵其图象经过点（2，﹣5），∴a（2+1）2+4=﹣5，∴a=﹣1，∴y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3．故答案为：y=﹣x2﹣2x+319．∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），∴，解得，∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x+3．20．（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=x2+bx+c得，4+2b+c=0，c=﹣6，∴b=1，c=﹣6，∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x1=2，x2=﹣3，∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）．21．∵已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+3，∵（1，﹣5）在抛物线y=a（x+1）2+3上，∴解得a=﹣2，∴此抛物线的解析式y=﹣2（x+1）2+322．设二次函数式为y=k（x+2）2+3．将（1，0）代入得9k+3=0，解得k=．∴所求的函数式为 y=（x+2）2+323．根据题意得，，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；或：由已知得，﹣1、3为方程﹣x2+bx+c=0的两个解，∴﹣1+3=b，（﹣1）×3=c，解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．24．设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，∴点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）满足二次函数的关系式，∴，解得，所以这个函数关系式是：y=4x2+5x25．（1）由题意，将A与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：，则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）26．根据题意，得，解得，；∴该二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．27．由题意得，二次函数y=ax2+bx+c，过（0，5）（﹣1，0）（﹣5，0）三点，∴，解得a=1，b=6，c=5，∴这个二次函数的解析式y=x2+6x+528．（1）由题意，可设抛物线解析式为y=a（x ﹣）2+，把点A（1，0）代入，得a（1﹣）2+=0，解之得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣）2+，即y=﹣x2+5x﹣4；（2）令x=0，得y=﹣4，令y=0，解得x1=4，x2=1，S=×（4﹣1）×4=6．所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为6．29．（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（0，3）两点∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵y=﹣x2+2x+3可化为y=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），又∵此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2+3=﹣x2﹣4x﹣1．30．（1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），∴x=﹣1，y=0代入y=﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c=0①，把x=0，y=3代入y=﹣x2+bx+c得：c=3，把c=3代入①，解得b=2，则二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，则当x=﹣=﹣=1时，y有最大值，最大值为=4；（3）令二次函数解析式中的y=0得：﹣x2+2x+3=0，可化为：（x﹣3）（x+1）=0，解得：x1=3，x2=﹣1，由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞031．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y=a（x﹣1）2+2，再把（2，1）代入函数中可得a（2﹣1）2+2=1，解得a=﹣1，故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．32．∵﹣=﹣=1，∴b=2，又∵点（3，0）在函数上，∴﹣9+6+c=0，∴c=3，∴函数的解析式是y=﹣x2+2x+3．33．（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）∵x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴△ABC的面积=．34．（1）解：∵直线y=x+m经过A点，∴当x=2时，y=0，∴m+2=0，∴m=﹣2，∵抛物线y=x2+bx+c过A（2，0），B（5，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+8；（2）由图可知，不等式ax2+bx+c≤x+m的解集为2≤x≤5；（3）解：设直线AB与y轴交于D，∵A（2，0）B（5，3），∴直线AB的解析式为y=x﹣2，∴点D（0，﹣2），由（1）知C（0，8），∴S△BCD =×10×5=25，∵S△ACD =×10×2=10，∴S△ABC=S△BCD﹣S△ACD=25﹣10=15．35．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，二次函数的图象对称轴为x=2且图象过点（1，2），（0，﹣1），故可得：，解得：．即可得二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x﹣136．（1）由条件得解得所以解析式为y=﹣x2+4x，（2）∵该图象的最高点为B，∴点B的坐标为（2，4），∴△ABO的面积=×4×4=8，（3）∵当x=1时，y=3，∴当1＜x＜4时，y的取值范围是0＜y＜4．故答案为：0＜y＜4．37．（1）这个二次函数解析式y=ax2+bx+c（a≠0），把三点（﹣1，10），（1，4），（2，7）分别代入得：，解得：，故这个二次函数解析式为：y=2x2﹣3x+5；（2）y=2x2﹣3x+5=2（x2﹣x+﹣）+5=2（x ﹣）2﹣+5=2（x ﹣）2+，则抛物线的顶点坐标是（，），因为抛物线的开口向上，所以当x ＞时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小．38．（1）将A（﹣1，2）代入y=x2﹣2（k﹣2）x+1得：2=1﹣2（k ﹣2）+1，解得：k=2，则抛物线解析式为y=x2+1；（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0，c=1，∴﹣=0，=1，则顶点坐标（0，1）；对称轴为直线x=0（y轴）39．（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，把（0，1），（2，1），（3，4）代入得：，解得：，∴y=x2﹣2x+1．（2）设抛物线的解析式是：y=a（x+2）2+1，把（1，﹣2）代入得：﹣2=a（1+2）2+1，∴a=﹣，∴y=﹣（x+2）2+1，即y=﹣x2﹣x ﹣．40．（1）设函数的解析式是：y=a（x﹣3）2﹣2根据题意得：9a﹣2=，解得：a=；∴函数解析式是：y=﹣2；（2）∵a=＞0 ∴二次函数开口向上又∵二次函数的对称轴是x=3．∴当x＞3时，y随x增大而增大．41．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点（0，﹣2），则有：a（0﹣1）2﹣3=﹣2，解得a=1；因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3．（2）∵a=1＞0，∴故抛物线的开口向上；∵抛物线的对称轴为x=1，∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，∴y2最小．由于（﹣2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．于是y2＜y3＜y1．42．（1）由于二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3），则，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．函数图象如下：（2）由函数图象可直接写出x2+bx+c＞3的解集为：x＜0或x＞4．43．二次函数可以变形为y=（x+m）2+2m﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m﹣1）．由，消去m，得y=﹣2x﹣1．所以这条直线的函数解析式为y=﹣2x﹣144．设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，直线AB的解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴直线AB与y轴的交点坐标（0，2），∵S△ABC=12，∴C（0，﹣4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣445．∵直线y=kx+b过点A（2，0）和点B（1，1），∴，解得，∴直线AB所表示的函数解析式为y=﹣x+2，∵抛物线y=ax2过点B（1，1），∴a×12=1，解得a=1，∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2．它们在同一坐标系中的图象如下所示：46．（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5），，解得b=4，c=﹣5．∴b、c的值是4，5；（2）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，（其中点A在点B 的左侧），∴A（1，0），B（﹣5，0），∴AB=6，∵P点的坐标是：（2，7），∴△PAB的面积=×6×7=2147．（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）48．∵二次函数的图象过A（0，4），∴c=4，∵对称轴为x=﹣1，∴x=﹣=﹣2，解得b=4；∴二次函数的表达式为y=x2+4x+4．49．（1）∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）2+3（a≠0）；又∵图象过点（ l，﹣2），∴﹣2=a（1+4）2+3，解得，a=﹣；∴设该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3；（2）由（1）知，该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3，∴a=﹣＜0，∴该抛物线的方向向下；∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴对称轴方程为：x=﹣4．50．（1）把A（﹣1，0）代入y1=﹣x+m得﹣（﹣1）+m=0，解得m=1，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2=ax2+bx﹣3得，解得．故二次函数的解析式为y2=x2﹣﹣2x﹣3；（2）因为C点坐标为（0，﹣3），B（2，﹣3），所以BC⊥y轴，所以S△ABC =×2×3=3．51．（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1.5代入解析式得：，解得：故y=x2﹣3x﹣4；（2）∵A（0，﹣4），对称轴是x=1.5，∴A′（3，﹣4）52．∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，），二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2，=﹣1，解得a=1，b=﹣4，∴二次函数的解析式y=x2﹣4x+353．∵二次函数y1=ax2+bx+c 与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，∴a=﹣2，将点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）代入y1=﹣2x2+bx+c，得，解得，∴y1=﹣2x2﹣2x+4；∵y1=﹣2x2﹣2x+4=﹣2（x2+x）+4=﹣2（x+）2+，∴顶点坐标为（﹣，）．故这个函数的解析式为y1=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为（﹣，）．54．（1）∵二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8），∴两交点的横坐标为：（1，0），（﹣7，0），且经过点（﹣3，8），∴代入解析式：y=a（x﹣1）（x+7），8=a（﹣3﹣1）×（﹣3+7），解得：a=﹣，∴y=﹣（x﹣1）（x+7）；（2）∵将点A（﹣1，2）此函数的解析式，∴左边=2，右边=﹣（﹣1﹣1）（﹣1+7）=6；∴左边≠右边，∴点A（﹣1，2）不在此函数的图象上．55．（1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，∴b=0，即二次函数解析式为y=ax2+c，又二次函数的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），∴，解得：，则二次函数的解析式为y=x2﹣9；（2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y=（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣4x﹣5，令x=0，解得：y=﹣5，∴C（0，﹣5），即OC=5，又平移后抛物线的顶点P的坐标为（2，9），即P的横坐标为2，则S△POC =OC•x P的横坐标=×5×2=5．56．1）解：由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；（2）证明：过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；∴∠OBA=90°，OB=AB；∴△OAB是等腰直角三角形；57．（1）将A（﹣1，0）代入抛物线y=x2+bx﹣2得，×（﹣1）2﹣b﹣2=0，解得，b=﹣，则函数解析式为y=x2﹣x﹣2．配方得，y=（x ﹣）2﹣，可见，顶点坐标为（，﹣）．（2）将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，可得，y=（x ﹣﹣2）2﹣﹣3=（x ﹣）2﹣=x2﹣x．58．（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得，解得，故解析式是y=﹣x2+4x﹣6；（2）∵对称轴x=﹣=4，∴C点的坐标是（4，0），∴AC=2，OB=6，AB=2，BC=2，∴S△ABC =AC•OB=×2×6=6，△ABC的周长=AC+AB+BC=2+2+2．59．（1）A坐标是（﹣1，﹣1），B点的坐标是（3，﹣9），代入y=ax2﹣4x+c 得：解得：a=1，c=﹣6．则二次函数表达式是：y=x2﹣4x﹣6（2）y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，因此对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣10）60．（1）把A（2，2），B（5，2）分别代入y=x2+bx+c，文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 可得，解得；（2）由b=﹣7，c=12，知y=x2﹣7x+12令y=0，得x2﹣7x+12=0，∴x=3或x=4，∴C（3，0）或C（4，0）；（3）∵A（2，2）B（5，2）∴AB=|2﹣5|=3，且△ABC的AB边上的高h=2，∴S△ABC =AB•h=×3×2=311word版本可编辑.欢迎下载支持.。

用待定系数法求二次函数的解析式同步练习题基础题知识点1利用“三点式”求二次函数解析式1．已知二次函数y＝－12x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点，则这个二次函数的解析式为______________________．2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x －7 －6 －5 －4 －3 －2y －27 －13 －3 3 5 3则此二次函数的解析式为____________________．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．4．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标．知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－86．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y 轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式 7．如图所示，抛物线的函数表达式是( )A ．y ＝12x 2－x ＋4B ．y ＝－12x 2－x ＋4C ．y ＝12x 2＋x ＋4D ．y ＝－12x 2＋x ＋48．已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，则该二次函数的解析式为_______________．9．已知二次函数经过点A(2，4)，B(－1，0)，且在x 轴上截得的线段长为2，求该函数的解析式．中档题10．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝－12x 2－12x ＋2C ．y ＝－12x 2－12x ＋1D ．y ＝－x 2＋x ＋211．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点是(－1，－3)，则b ，c 的值分别是( )A ．b ＝2，c ＝4B ．b ＝2，c ＝－4C ．b ＝－2，c ＝4D ．b ＝－2，c ＝－412．二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________．13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线所对应的函数关系式为________________．14．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为___________________________________．15．如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y 轴交于点B(0，3)，与x 轴交于C ，D 两点．点P 是x 轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA ＋PB 的值最小时，求点P 的坐标．16．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．综合题17．设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．参考答案基础题1.y ＝－12x 2＋4x －6 2.y ＝－2x 2－12x －133.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝6，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－3x ＋1.4.(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3.∴二次函数解析式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－4)． 5.D6.依题意，设y ＝a(x －h)2＋k.将顶点坐标(4，－1)和与y 轴交点(0，3)代入，得3＝a(0－4)2－1.解得a ＝14.∴这条抛物线的解析式为y ＝14(x －4)2－1.7.D 8.y ＝x 2－x －29.∵B(－1，0)且在x 轴上截得的线段长为2，∴与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)或(－3，0)．设该函数解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，把A(2，4)，B(－1，0)，(1，0)代入得a(2＋1)(2－1)＝4，解得a ＝43.所以y ＝43(x＋1)(x －1)．同理，把A(2，4)，B(－1，0)，(－3，0)代入，可以求得y ＝415(x ＋1)(x ＋3)．∴函数的解析式为y ＝43(x ＋1)(x －1)或y ＝415(x ＋1)(x ＋3)．中档题10.D 11.D 12.y ＝－x 2＋2x ＋3 13.y ＝x 2－2x －3 14.y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋215.(1)∵抛物线顶点坐标为(1，4)，∴设y ＝a(x －1)2＋4.∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，－3)，连接AE 交x 轴于点P.设AE 解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝－3.∴y AE ＝7x －3.∵当y ＝0时，x＝37，∴点P 的坐标为(37，0)． 16.(1)∵A(1，0)，B(3，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)(x －3)．∵抛物线过(0，－3)，∴－3＝a(－1)×(－3)．解得a ＝－1.∴y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3.∵y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)．(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y ＝－x 2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y ＝－x 上． 综合题17．(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画函数图象图略．(2)①三个图象都过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x轴于点(1，0)；③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；④函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(x－3)]的图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；等等．(其他正确结论也行)(3)将函数y2＝(x－1)2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3＝(x＋3)2－2，∴当x ＝－3时，函数y3取最小值，等于－2.。

2020中考复习《二次函数》—待定系数法求二次函数解析式姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(−1,3)，且过点(0,5)，那么二次函数y=ax2+bx+c的解析式为()A. y=−2x2+4x+5B. y=2x2+4x+5C. y=−2x2+4x−1D. y=2x2+4x+32.二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1,1)，则该二次函数的解析式为()A. y=2x2−1B. y=2x2+3C. y=−2x2−1D. y=−2x2+33.一个二次函数的图象经过点A(0,0)，B(−1,−11)，C(1,9)三点，则这个二次函数的关系式是()A. y=−10x2+xB. y=−10x2+19xC. y=10x2+xD. y=−x2+10x4.二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过(−2,8)，下列点中在该函数的图象上的是()A. (2,8)B. (1,3)C. (−1,3)D. (2,6)5.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为()A. ℎ=−316t2 B. ℎ=−316t2+tC. ℎ=−18t2+t+1 D. ℎ=−18t2+2t+16.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是A. y=2x2+xB. y=3x2+3xC. y=x2−2xD. y=x2+2x7.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱距离是4m，则抛物线的函数关系式为()A. y=254x2 B. y=−254x2 C. y=−425x2 D. y=425x2二、填空题8.如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y=x2−4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为______________．9.试写出一个图象开口向上，且经过点(0,1)的二次函数解析式：________．10.与抛物线y=2x2−4x的形状相同，开口方向也相同，且顶点坐标为(1,3)的抛物线解析式是____．11.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点分别为A(1,0)，B(−4,0)，则该抛物线所对应的函数表达式为___________________．12.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则当x=3时，y=______．x…−3−2−101…y…73113…13.一个二次函数的解析式的二次项系数为1，一次项系数为0，这个二次函数的图象与y轴的交点坐标是(0,1)，这个二次函数的解析式是_________．14.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在抛物线y=ax2上，C，D在x轴上，AB的中点E在y轴上，AB=4AD.已知矩形ABCD的周长为10，若将抛物线的顶点平移到点C，则点E________(填“在”或“不在”)抛物线上．三、解答题15.二次函数y=ax2+2x+c的图象经过(−1,0)，(3,0)两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)求该二次函数图象与y轴交点的坐标．16.如图，二次函数y=ax2+bx−3a经过点A(−1,0)，C(0,3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．(1)求此二次函数表达式；(2)连接DC，BC，DB，求证：△BCD是直角三角形．17.已知，如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0, 5)，且经过点(1, 8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴．(3)求△ABC的面积S△ABC．18.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B点，与y轴交于C点，顶点为D，其中点A，C的坐标分别是(−1,0)，(0,3)．(1)求抛物线的表达式与顶点D的坐标．(2)连结BD，过点O作OE⊥BD于点E，求OE的长．19.甲，乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x−4)2+ℎ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．(1)若a=−1．24①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为12m5的Q处时，乙刚好打到球，求a的值．20.设抛物线y=mx2−2mx+3(m≠0)与x轴交于点A(a,0)和B(b,0)．(1)若a=−1，求m，b的值；(2)若2m+n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx+n上；(3)抛物线上有两点P(x1,p)和Q(x2,q)，若x1<1<x2，且x1+x2>2，试比较p与q的大小。

二次函数解析式习题及详解求二次函数解析式练习题1.已知二次函数y=a某+b某+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为某=﹣．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b 【答案】D2.二次函数y=a某2+b某+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 【答案】D3.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．4.已知一个二次函数当某=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．解：设y=a(某-8)^2+9且a<0图象过点（0，1）,所以有：1=64a+9解得：a=-1/8则这个二次函数的关系式;y=-1/8(某-8)^2+95.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．6.6.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式．7.7.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是某=1，求这个二次函数的关系式．8.(3,0)是二次函数的一个零点对称轴某=1则另一零点是1-(3-1)=-1(-1,0)设二次函数y=a(某-3)(某+1)代入(2,-3)-3=a(2-3)(2+1)a=1y=(某-3)(某+1)y=某2-2某-39.8.已知二次函数的图象与某轴交于A,B两点，与某轴交于点C。

若AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式记原点为O,1、当A在O的左边,C在O的上方时,由勾股定理得AB=25.设│OB│=a,则│OA│=25-a,因为OC是两个小直角三角形的公共边,所以202-（25-a）2=152-a2.解得a=9,则25-a=16.于是可得三点坐标为A（-16,0）B（9,0）C（0,12）,利用顶点式得y=-1/12·(某+16)(某-9).2、当A在O的右边,C在O的上方时,比较（1）的结论得y=-1/12·(某-16)(某+9).3、当A在O的左边,C在O的下方时,比较（1）的结论得y=1/12·(某+16)(某-9).4、当A在O的右边,C在O的下方时,比较（1）的结论得y=1/12·(某-16)(某+9).9.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.10.（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；（2）.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；（3）.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）1）设y=a某^2,代入点（2,8),8=a某4,得：a=2,故y=2某^22)设y=a(某+1)^2-2,代入点（1,10）,10=4a-2,得：a=3,故y=3(某+1)^2-23)设y=a某^2+b某-2代入（1,0）得：a+b-2=0,得：a+b=2代入(2,3)得：4a+2b-2=3,得：2a+b=2.5解得：a=0.5,b=1.5故y=0.5某^2+1.5某-210.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？11.如图，在平面直y?a某?b某?c角坐标系中，抛物线y?a某?b某?c经过A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值．【答案】22解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点代入y?a某2?b某?c中，得4a2bc？4？4a?2b?c?0………………3分?c?0?112，b=1，c=0.所以解析式为y？某?某2212112（2）由y？某?某=?(某?1)?，可得222抛物线的对称轴为某=1,并且对称垂直平分线段OB．∴OM=BM，OM+AM=BM+AM连接AB交直线某=1于M，则此时OM+AM最小．过A点作AN⊥某轴于点N，在Rt△ABN中解这个方程组，得a？AB=AN2?BN2?42?42?42因此OM+AM最小值为4211.如图，点A在某轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）如图，过点B作BC⊥某轴，垂足为C，则∠BCO＝90°.∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°.又∵OA＝OB＝4∴OC＝311OB＝某4＝2，BC＝OB·sin60°＝4某＝23. 222∴点B的坐标是(－2，－23). （2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y＝a某2+b某.. 将A(4，0)，B(－2，－23)代入3a＝-，？？16a?4b＝0，6得?解得?？b＝23.?4a?2b＝?23.?3?∴此抛物线的解析式为y＝－3223某?某.63（3）存在.如图，抛物线的对称轴是某＝2，直线某＝2与某轴的交点为D.设点P的坐标为(2，y)①若OB＝OP则22+，y，2＝42，解得y＝±23.当y＝23时，在Rt△POD中，∠POD＝90°，PD233.＝＝OP42∴∠POD＝60°.∴∠POB＝∠POD+∠AOB＝60°+120°＝180°sin∠POD＝即P，O，B三点在同一条直线上∴y＝23不符合题意，舍去.∴点P的坐标为(2，－23).方法一：②若OB＝PB，则42+，y+23，2＝42，解得y＝－23.∴点P的坐标是(2，－23).③若OB＝PB，则22+，y，2＝42+，y+23，2，解得y＝－23.∴点P的坐标是(2，－23).综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，－23).方法二：在△BOP中，求得BP＝4，OP＝4，又∵OB＝4，∴△BOP为等边三角形.∴符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，－23).。

完整版)初中数学二次函数综合题及答案二次函数题选择题：1、若y=(m-2)x^2-m是关于x的二次函数，则m=（）A。

-1.B。

2.C。

-1或2.D。

m不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)模型的是（）A。

在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B。

我国人口自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C。

矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D。

圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x^2，则抛物线的解析式是（）A。

y=-(x-2)^2+2.B。

y=-(x+2)^2+2C。

y=-(x+2)^2+2.D。

y=-(x-2)^2-25、抛物线y=1/2x^2-6x+24的顶点坐标是（）A。

(-6,-6)。

B。

(-6,6)。

C。

(6,6)。

D。

(6,-6)6、已知函数y=ax^2+bx+c，图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个①abc0.④2c<3bA。

1.B。

2.C。

3.D。

47、函数y=ax^2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，1），则b+c/a的值是（）A。

-1.B。

1.C。

-2.D。

2二填空题：8、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（）A。

A。

B。

B。

C。

C。

D。

D13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x^2+2mx+m上的点的坐标是（）m,m）16、若抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，最小值为-2，则关于方程ax^2+bx+c=-2的根为（）1±√317、抛物线y=(k+1)x^2+k^2-9开口向下，且经过原点，则k=（）2或-2解答题：（二次函数与三角形）1、已知：二次函数y=x^2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，-2）．1）求此二次函数的解析式．解：因为对称轴为x=1，所以顶点坐标为（1，k），其中k为最小值．又因为经过点（2，-2），所以方程组4+2b+c=k1+b+c=k解得b=-3，c=2，k=0，所以二次函数的解析式为y=x^2-3x+2．2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△XXX的面积最大，并求出最大面积．解：易得B、C两点坐标分别为（0，2）和（3，0）．设点E的横坐标为x，则其纵坐标为y=x^2-3x+2．则△XXX的面积为S(x)=1/2(3-x)(x^2-3x+2-2)，化简得S(x)=-1/2x^3+9/2x^2-8x+3．对S(x)求导得S'(x)=-3/2x^2+9x-8，令其等于0得x=2或4/3，代入S(x)得S(2)=4和S(4/3)=16/27，故△XXX的最大面积为4，当且仅当E的坐标为（2，-2）时取得．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为（1，2）．1）求抛物线的函数表达式；2）在抛物线上取一点P，作△ABC的高PH，交AB于点H，求证：PH=2BP．解：（1）因为抛物线与x轴交于A、B两点，所以其解析式为y=a(x-a)(x-b)，其中a<1<b．因为顶点为（1，2），所以方程组a(1-a)(1-b)=2a(b-a)(b-1)=4解得a=1/2，b=3/2，所以抛物线的函数表达式为y=1/2(x-1)^2+2．2）设点P的坐标为（x,y），则PH的长度为y-4，BP的长度为x-1．根据△ABC的面积公式得4=1/2y(x-1)，即y=8/(x-1)．又因为P在抛物线上，所以y=1/2(x-1)^2+2．将y代入上式得x^3-3x^2+2x-8=0，解得x=2或-1±√3．当x=2时，PH=2BP成立，当x=-1±√3时，PH≠2BP不成立．故结论成立．2、设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形。