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同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点同角三角函数的基本关系与诱导公式是解决三角函数之间的相互关系的重要工具。
它们包含了三角函数的定义、性质和相互之间的关联，通过这些关联可以简化三角函数的计算和推导，提供了解决三角函数问题的便捷方法。
在学习和应用三角函数时，掌握这些知识点非常重要。
基本关系：sinθ = 角对边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边tanθ = 角对边 / 邻边这些定义描述了角度和三角函数之间的基本关系。
通过这些基本关系，可以推导出其他三角函数之间的关系。
诱导公式：诱导公式是通过基本关系推导得到的，它们描述了不同角度的三角函数之间的关系。
常用的诱导公式有：1.正弦的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(2π - θ) = -sinθ2.余弦的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π -θ) = -cosθcos(2π - θ) = cosθ3.正切的诱导公式：tan(π/2 - θ) = cotθtan(π/2 + θ) = -cotθtan(π - θ) = -tanθtan(2π - θ) = tanθ4.余切的诱导公式：cot(π/2 - θ) = tanθcot(π/2 + θ) = -tanθcot(π- θ) = -cotθcot(2π - θ) = cotθ通过这些诱导公式，可以将一个三角函数的值转化为与之相关的其他三角函数的值，从而简化计算和推导的过程。
这些基本关系和诱导公式在解决各种三角函数问题时是非常有用的。
通过掌握这些知识点，我们可以灵活运用三角函数的定义和性质，快速推导出需要的结果。
在解决具体问题时，可以利用诱导公式将所给角度转化为更简单的角度，从而获得更便捷的计算方法。
此外，这些基本关系和诱导公式还可以用于推导其他三角函数的性质和公式，扩展和深入了解三角函数的知识，为进一步研究和应用三角函数打下坚实基础。
三角函数的概念㊁同角三角函数的关系和诱导公式㊀㊀１．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合｛β｜β＝α＋２ｋπ，ｋɪＺ｝．２．弧长及扇形面积公式（１）弧长公式：㊀ｌ＝｜α｜ｒ㊀；（２）扇形面积公式：㊀Ｓ＝１２ｌｒ＝１２｜α｜ｒ２㊀．其中ｌ为扇形弧长，α为圆心角，ｒ为扇形半径．３．任意角的三角函数（１）定义：设角α的终边与单位圆交于点Ｐ（ｘ，ｙ），则ｓｉｎα＝㊀ｙ㊀，ｃｏｓα＝㊀ｘ㊀，ｔａｎα＝㊀ｙｘ㊀（ｘʂ０）．（２）三角函数线如图，设单位圆与ｘ轴的正半轴交于点Ａ，与角α的终边交于点Ｐ．过点Ｐ作ｘ轴的垂线ＰＭ，垂足为Ｍ，过Ａ作单位圆的切线交ＯＰ的延长线（或反向延长线）于Ｔ点，则有向线段ＯＭ㊁ＭＰ㊁ＡＴ分别叫做角α的余弦线㊁正弦线㊁正切线．ｓｉｎα＝ＭＰ，ｃｏｓα＝ＯＭ，ｔａｎα＝ＡＴ．由三角函数线得出的重要结论：①②特别地：当α为第一象限角时，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＞１．③角的终边越靠近ｙ轴非负半轴，正弦值越大；角的终边越靠近ｘ轴非负半轴，余弦值越大．４．同角三角函数的基本关系（１）平方关系：㊀ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１㊀；（２）商数关系：㊀ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔａｎｘ㊀ｘʂπ２＋ｋπ，ｋɪＺ()．５．诱导公式㊀㊀㊀函数角㊀㊀㊀㊀㊀正弦余弦正切２ｋπ＋α（ｋɪＺ）ｓｉｎα㊀ｃｏｓα㊀ｔａｎα－α㊀－ｓｉｎα㊀ｃｏｓα－ｔａｎαπ２ʃαｃｏｓα㊀∓ｓｉｎα㊀πʃα∓ｓｉｎα－ｃｏｓα㊀ʃｔａｎα㊀３π２ʃα－ｃｏｓα㊀ʃｓｉｎα㊀２πʃα㊀ʃｓｉｎα㊀ｃｏｓαʃｔａｎα㊀㊀若把α看成锐角，则角２ｋπ＋α（ｋɪＺ），π－α，π＋α，－α分别可看成第㊀一㊁二㊁三㊁四㊀象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名不变，符号看象限．若把α看成锐角，则角π２－α，π２＋α，３π２－α，３π２＋α分别可看成第㊀一㊁二㊁三㊁四㊀象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名改变，符号看象限．ʌ知识拓展ɔ（１）利用平方关系求三角函数值，在进行开方时，要根据角的象限或范围判断符号后，正确取舍．（２）三角求值㊁化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：①弦切互化法：利用公式ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ进行转化；②和积转换法：如利用（ｓｉｎθʃｃｏｓθ）２＝１ʃ２ｓｉｎθ㊃ｃｏｓθ进行变形㊁转化；③巧用 １ 的变换：１＝ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ２θ（１＋ｔａｎ２θ）＝ｓｉｎ２θ㊃１＋１ｔａｎ２θæèçöø÷．注意求值与化简后的结果要尽可能有理化㊁整式化．（３）已知ｔａｎα＝ｍ，求解关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα的齐次式问题必须注意以下几点：①一定是关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα的齐次式（或能化为关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα齐次式的三角函数式）．②因为ｃｏｓαʂ０，所以可用ｃｏｓｎα（ｎɪＮ∗）除之，这样可以将被求式化为关于ｔａｎα的表达式，进而将ｔａｎα＝ｍ代入，从而完成被求式的求值运算．③注意１＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α的应用．方法１㊀同角三角函数的基本关系的应用㊀㊀利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用㊁逆用㊁变形用．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程（组），通过解方程组达到解决问题的目的．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．㊀（１）已知ｔａｎθ＝２，则ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θ＝（㊀㊀）Ａ．－４３Ｂ．５４Ｃ．－３４Ｄ．４５（２）已知α是三角形的内角，且ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，则ｔａｎα＝㊀㊀㊀㊀．解析㊀（１）ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θ＝ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝ｔａｎ２θ＋ｔａｎθ－２ｔａｎ２θ＋１，把ｔａｎθ＝２代入得，原式＝４＋２－２４＋１＝４５．故选Ｄ．（２）由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，{消去ｃｏｓα整理，得２５ｓｉｎ２α－５ｓｉｎα－１２＝０，解得ｓｉｎα＝４５或ｓｉｎα＝－３５．因为α是三角形的内角，所以ｓｉｎα＝４５，又由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，得ｃｏｓα＝－３５，所以ｔａｎα＝－４３．答案㊀（１）Ｄ㊀（２）－４３㊀若角α的终边在直线ｘ－ｙ＝０上，则ｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝㊀㊀㊀㊀．答案㊀ʃ２解析㊀依题意，角α的终边在第一象限或第三象限．当角α的终边在第一象限时，在其终边上取一点Ｐ１（１，１），则ｒ＝２，ｓｉｎα＝２２，ｃｏｓα＝２２，ʑ１－ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α＝１－１２＝１２，ʑｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝２２２２＋２２２２＝２．同理，当角α的终边在第三象限时，在其终边上取一点Ｐ２（－１，－１），则ｒ＝２，ｓｉｎα＝－２２，ｃｏｓα＝－２２，ʑ１－ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α＝１－１２＝１２，ʑｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝－２．综上所述，ｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝ʃ２．方法２㊀诱导公式及其应用㊀㊀利用诱导公式求解问题时，应先观察角，后看函数名．一般是先将负角化成正角，再化为０ʎ ３６０ʎ的角，最后化成锐角求其函数值．在化简过程中应牢记 奇变偶不变，符号看象限 的原则．㊀若ｓｉｎ（π＋ｘ）＋ｓｉｎπ２＋ｘ()＝１２，则ｓｉｎ２ｘ＝㊀㊀㊀㊀．解析㊀因为ｓｉｎ（π＋ｘ）＋ｓｉｎπ２＋ｘ()＝１２，所以－ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝１２，两边平方，得１－ｓｉｎ２ｘ＝１４，解得ｓｉｎ２ｘ＝３４．答案㊀３４㊀已知ｆ（α）＝ｃｏｓπ２＋α()ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓ（－π－α）ｔａｎ（π－α），则ｆ－２５π３()的值为㊀㊀㊀㊀．答案㊀１２解析㊀因为ｆ（α）＝ｃｏｓπ２＋α()ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓ（－π－α）ｔａｎ（π－α）＝－ｓｉｎα（－ｃｏｓα）（－ｃｏｓα）－ｓｉｎαｃｏｓα()＝ｃｏｓα，所以ｆ－２５π３()＝ｃｏｓ－２５π３()＝ｃｏｓπ３＝１２．㊀已知ｓｉｎ（π－α）－ｃｏｓ（π＋α）＝２３π２＜α＜π()，则ｓｉｎα－ｃｏｓα＝㊀㊀㊀㊀．答案㊀４３解析㊀由ｓｉｎ（π－α）－ｃｏｓ（π＋α）＝２３，得ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２３．①将①两边平方，得１＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝２９，故２ｓｉｎαｃｏｓα＝－７９．又π２＜α＜π，ʑｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＜０．ȵｓｉｎα－ｃｏｓα＞０，（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２＝１－２ｓｉｎαｃｏｓα＝１－－７９()＝１６９，ʑｓｉｎα－ｃｏｓα＝４３．。
3-2同角三角函数的基本关系及诱导公式基础巩固强化1.(文)若cos α＝－35，π2<α<π，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－43 D ．－34 [答案] C[解析] 依题意得，sin α＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，选C. (理)已知cos α＝45，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( ) A.15 B ．－15 C ．－75 D.75 [答案] A[解析] 由于cos α＝45，α∈(－π4，0)， 所以sin α＝－35，所以sin α＋cos α＝15，故选A.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α＝( ) A ．－78 B.78 C ．－3132 D.3132 [答案] A[解析] sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78. 3．已知sin10°＝a ，则sin70°等于( ) A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1[答案] A[解析] 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210° ＝1－2a 2，故选A.4．(2011·天津模拟)若cos(2π－α)＝53且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝( )A ．－53B ．－23C ．－13D ．±23 [答案] B[解析] ∵cos(2π－α)＝53，∴cos α＝53， ∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－23， ∴sin(π－α)＝sin α＝－23.5．(2011·杭州二检)若a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° [答案] C[解析] 依题意得32×13－sin αcos α＝0，即sin2α＝1.又α为锐角，故2α＝90°，α＝45°，选C.6．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝45，则tan2α等于( )A ．－247 B.247 C ．－724 D.724 [答案] A[解析] ∵－π2<α<0，cos α＝45，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故选A.7．已知tan(π4＋α)＝12，则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝________.[答案] －56[解析] ∵tan(π4＋α)＝12，∴tan α＝tan[(π4＋α)－π4]＝tan (π4＋α)－tan π41＋tan (π4＋α)·tan π4＝－13，则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α ＝tan α－12＝－56.8．(2012·唐山二模)若3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12sin2θ的值是________．[分析] 利用诱导公式可将条件式化简得到sin θ＝k cos θ(或tan θ＝k )结合sin 2θ＋cos 2θ＝1可求得sin θ与cos θ代入待求值式可获解(或将待求式除以1＝sin 2θ＋cos 2θ，分子分母都化为tan θ的表示式获解)．[答案] 65[解析] ∵3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sin θ－cos θ＝0，即tan θ＝13.∴cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ1＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋(13)2＝43109＝65. [点评] 形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α、cos α的一次齐次式和二次齐次式．若已知tan α＝m ，求涉及它们的三角式的值时，常作①1的代换，②sin α＝m cos α代入，③选择题常用直角三角形法求解，④所给式是分式时，常用分子、分母同除以cos k α(k ＝1,2，…)变形．9．(文)设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝________. [答案] 1213[解析] ∵α为第三象限角，tan α＝512， ∴cos α＝－1213，∴cos(π－α)＝－cos α＝1213.(理)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x 等于________．[答案] 4[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－cos2x ＝sin 2x －cos 2x ＝35， 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＝45，cos 2x ＝15.∴tan 2x ＝sin 2xcos 2x ＝4.10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan A＝12，cos B＝31010.(1)求tan C的值；(2)若△ABC最长的边为1，求b.[解析](1)∵cos B＝31010>0，∴B为锐角，sin B＝1－cos2B＝1010∴tan B＝sin Bcos B＝13.∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B1－tan A·tan B＝－12＋131－12·13＝－1.(2)由(1)知C为钝角，所以C是最大角，所以最大边为c＝1∵tan C＝－1，∴C＝135°，∴sin C＝22.由正弦定理：bsin B＝csin C得，b＝c sin Bsin C＝1·101022＝55.能力拓展提升11.(2011·绵阳二诊)已知tanθ>1，且sinθ＋cosθ<0，则cosθ的取值范围是()A．(－22，0) B．(－1，－22)C．(0，22) D．(22，1)[答案] A[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0.选A.12．(文)(2012·大纲全国理，7)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( )A ．－53 B ．－59 C.59 D.53[答案] A[解析] 由sin α＋cos α＝33平方得：1＋sin2α＝13， 即sin2α＝－23.又α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－153.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝33×(－153)＝－53.故选A.解答本题要注意到sin α±cos α与sin αcos α之间的关系． (理)(2011·湖北联考)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝( ) A.－1±52 B.3＋12 C.5－12 D.3－12[答案] C[解析] ∵tan x ＝sin(x ＋π2)，∴tan x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52，∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选C.13．(2012·银川第一次质检)已知α∈(0，π2)，sin α＝35，则1cos2α＋tan2α的值为________．[答案] 7[解析] 由题意知，cos α＝1－sin 2α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝725，tan α＝sin αcos α＝34，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝247，因此1cos2α＋tan2α＝257＋247＝7.14．(文)(2011·盐城模拟)已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos(π12－α)＝________.[答案] －223[解析] ∵－π<α<－π2，∴－7π12<5π12＋α<－π12，∵cos(5π12＋α)＝13，∴sin(5π12＋α)＝－223， ∴cos(π12－α)＝cos[π2－(5π12＋α)] ＝sin(5π12＋α)＝－223.(理)设a ＝22(cos31°－sin31°)，b ＝1－tan 231°1＋tan 231°，c ＝1＋cos50°2，则a 、b 、c 的大小关系为________(从小到大排列)．[答案] a <b <c[解析] a ＝sin14°，b ＝cos 231°－sin 231°＝cos62°＝sin28°，c ＝cos25°＝sin65°，∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增，∴a <b <c . 15．已知tan(α＋π4)＝2，α∈(0，π2)． (1)求tan α的值； (2)求sin(2α＋4π3)的值．[解析] (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α，tan(α＋π4)＝2，∴tan α＋11－tan α＝2.解得tan α＝13.(2)由tan α＝13，α∈(0，π2)，可得sin α＝1010，cos α＝31010.因此sin2α＝2sin αcos α＝35，cos2α＝1－2sin 2α＝45，sin(2α＋4π3)＝sin2αcos 4π3＋cos2αsin 4π3＝－35×12－45×32＝－3－4310. [点评] 求第(2)问时，可由tan α＝13得，sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝45，再求sin(2α＋4π3)．16．(文)已知向量a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，且a ⊥b .(1)求sin α的值； (2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． [解析] (1)∵a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，且a ⊥b . ∴a ·b ＝(cos α，1)·(－2，sin α)＝－2cos α＋sin α＝0. ∴cos α＝12sin α.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝45.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－255.(2)由(1)可得cos α＝－55，则tan α＝2. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－3. (理)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝2326，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)的值．[解析] (1)由题意得m ·n ＝0，所以， f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos2ωx 2＋3sin2ωx2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12， 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π. 又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋12. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋12 ＝cos α＋12＝2326， 解得cos α＝513，因为α是第一象限角，故sin α＝1213，所以，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22·1cos α－sin α＝－13214.1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且∠A ＝2∠B ，则sin Bsin3B 等于( )A.b cB.c bC.b aD.a c [答案] A[解析] ∵A ＝2B ，∴sin B sin3B ＝sin Bsin (A ＋B )＝sin B sin (π－C )＝sin B sin C ＝b c.2．(2011·石家庄质检)已知x ∈(π2，π)，cos2x ＝a ，则cos x ＝( ) A.1－a2 B ．－1－a 2 C.1＋a 2D ．－1＋a 2[答案] D[解析] a ＝cos2x ＝2cos 2x －1， ∵x ∈(π2，π)，∴cos x <0，∴cos x ＝－a ＋12.3．(2012·广东六校联考)sin (－250°)cos70°cos 2155°－sin 225°的值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 [答案] C [解析] 原式＝－sin (270°－20°)cos (90°－20°)cos 225°－sin 225°＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝cos50°2cos50°＝12，故选C.4．(2012·大纲全国文)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( )A ．－2425B ．－1225 C.1225 D.2425[答案] A[解析] 此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式．∵sin α＝35，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－(35)2＝－45，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425.[点评] 使用同角基本关系式求值时要注意角的范围． 5．已知tan140°＝k ，则sin140°＝( ) A.k 1＋k 2 B.11＋k 2 C ．－k1＋k2 D ．－11＋k2 [答案] C[解析] k ＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°， ∴tan40°＝－k ，∴k <0，sin40°＝－k cos40°， sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°， ∵sin 240°＋cos 240°＝1， ∴k 2cos 240°＋cos 240°＝1，∴cos40°＝1k 2＋1，∴sin40°＝－k k 2＋1.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______.[答案] 78[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝78. 7．若sin76°＝m ，则cos7°＝______. [答案]2m ＋22[解析] ∵sin76°＝m ，∴cos14°＝m ，即2cos 27°－1＝m ，∴cos7°＝2＋2m2.8．设a ＝2tan70°1＋tan 270°，b ＝1＋cos109°2，c ＝32cos81°＋12sin99°，将a 、b 、c 用“<”号连接起来________．[答案] b <c <a[解析] a ＝2tan70°1＋tan 270°＝2sin70°cos70°cos 270°＋sin 270°＝sin140°，b ＝1＋cos109°2＝1－cos71°2＝sin35.5°＝sin144.5°， c ＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°， ∵y ＝sin x 在(90°，180°)内单调递减， ∴a >c >b .。
