与高等数学衔接的高考题_李剑峰

2013高考数学 夺分法宝 函数、三角函数、立体几何（解析版）【2011高考真题——新课标卷】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只需一项是符合标题要求的。

(1)复数212ii +-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i 解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C （2）以下函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 解析:由影像知选B（3）履行左面的程序框图，如果输出的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B（4）有3个兴味小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相反，则这两位同学参加同一个兴味小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23（D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只需3种，所求的概率为p=3193=选A（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B （A ）45- （B ）35- （C ）35（D ）45（6）在一个几何体的三视图中，重视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

故选D（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A（B （C ）2 （D ）3解析：通径|AB|=222b a a =得2222222b a a c a =⇒-=，选B（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

【金识源】（3年高考2年模拟1年原创）最新2013版高考数学专题12 极限与导数理（解析版）【考点定位】2014考纲解读和近几年考点分布极限作为初等数学与高等数学的衔接点，每年必考，主要考查极限的求法及简单应用。

纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“小题”，在选择、填空题中出现，都属容易题；极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。

从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。

所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。

解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。

定积分是本章的另一个重要的概念，它可以看作是导数在某一区间上的逆运算。

它是新课标新增加的内容之一，在以前的课本中没有出现定积分的概念，但随着新课标的实施与教育工作者对校本研究工作的开展，相信在2014年的高考试题中应该有所体现。

2019届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练5９文编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（２０19届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练59 文)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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层级快练(五十九）1.已知集合A={(x，y)|错误!-错误!=1，x,y∈R},B＝｛(ｘ，ｙ）｜错误!－错误!＝1,x,y∈R},则Ａ∩B中元素的个数为( ）A.0 ﻩB.1C．2 ﻩ D.3答案Ｂ解析集合A表示双曲线,顶点为(±３,0）,其渐近线方程为＼ｆ（x,3）±错误!=０,集合B表示直线，与x轴的交点为(3,0)，且与其中一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个交点,所以A∩B中元素的个数为1．故选Ｂ.２．直线l过点(错误!,０）且与双曲线x2-y2＝２仅有一个公共点,这样的直线有( )A.1条B．2条C．３条ﻩ D.４条答案 C解析该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条,共３条．3．已知F1,F2是双曲线错误!－y2=1的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则｜PF1｜+|QF1|-｜PQ|的值为( )A．8 B．2错误!Ｃ．４ 2 Ｄ．随α的大小而变化答案 C解析由双曲线定义知：｜ＰF1|+|QＦ1｜－｜PQ|=|PF1|+|ＱF１|-(|PF2|＋｜QF２|）＝（｜PF1｜-｜PF2|)＋(｜QF１｜－｜QF2|)＝4a=４２。

４．已知双曲线E的中心为原点,F(３,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点,且AB的中点为Ｍ（－12，-15)，则E的方程为( ）A。

专题01三角函数与解三角形题型简介三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，解三角形主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，主要题型：1三角函数图像及性质问题，2结构不良试题3三角形面积周长问题4三角形三线问题5三角函数实际应用问题在新课标中强调情景复杂化，更容易将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.典例在线题型一：三角函数的图象及其性质1．()π1cossin 2264xx f x ωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，已知点A ，B 是函数()f x 的图像与直线12y =的两个交点.且AB 的最小值为π.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对于ππ,123x ⎡⎤∀∈⎢⎣⎦都有()274f x m m ≥--，求m 的取值范围.变式训练1已知函数π()2sin cos 3f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x ∈R ．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(3)若0π2410f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，0π7π,48x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．题型二：结构不良试题设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分．①向量()cos ,1m B =u r与向量(),2n b c a =+ 平行．②22a b bc=+2cos 2cos 242424A B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)确定角A 和角B 之间的关系；(2)若D 为线段BC 上一点，且满足BD ＝AD ＝4，若2a ＝3b ，求b ．变式训练1．已知函数()21cos cos 2222x x x f x =-.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，()0,f A a ==D 为BC 上一点，且满足____________，求ABC 的面积S .cos B b C =；②AD 为ABC的中线，且2AD =；③AD 为ABC的角平分线，且AD =这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）题型三：三角形面积，周长问题1ABC 中，74,cos ,8AB A AC AB ==>.(1)若12AB BC ⋅=，求BC ；(2)若1cos()4B C -=，求ABC 的面积.变式训练1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD 为CA 在CB方向上的投影向量，且满足2sin c B =.(1)求cos C 的值；(2)若b =3cos a c B =，求ABC 的周长.题型四：三角形三线问题1．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，()sin sin 4sin C B a C =-.(1)求A ；(2)若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.变式训练1已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin a C C b c +=+．(1)求A ；(2)已知ABCM 为BC的中点，且AM =BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度．题型五三角函数实际应用问题1如图，在ABC 中，cos 23cos()20B A C +++=，()0||||CA CB CA CB CA CB ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，D 为ABC 外一点，2,1DA DC ==．(1)求角B 的大小，并判断ABC 的形状；(2)求四边形ABCD 的面积的最大值．变式训练1．如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若AD =AB =，37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？模拟尝试1．如图,在平面四边形ABCD中,(0π),1ABC AB BC CD ∠θθ=<<===,AC CD ⊥.(1)试用θ表示BD 的长;(2)求22AC BD +的最大值.2．已知平面四边形ABCD 中，180,3A C BC ︒∠+∠==，若120ABC ∠= ，ABC(1)求AC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．(1)求A ﹔(2)若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长依次是a ，b ，c，b =222sin sin sin sin sin A C A C B ++=．(1)求角B 的大小；(2)当△ABC 面积最大时，求∠BAC 的平分线AD 的长．5．某地区组织的贸易会现场有一个边长为1的正方形展厅ABCD ，,M N 分别在BC 和AB 边上，图中DMN 区域为休息区，ADN △，CDM V 及BMN区域为展览区．(1)若BMN 的周长为2，求MDN ∠的大小；(2)若π6NDM ∠=，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积S 最大，并求出最大值．真题再练一、解答题1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．2．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知1231,sin 23S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．4．（2022·北京·统考高考真题）在ABC中，sin 2C C ．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC的面积为ABC 的周长．5．（2021·全国·统考高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2021·全国·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．。

精选大题kx —1[2019揭阳毕业]已知函数f x g%1( k • R ,' f ke(1)讨论函数f x 的单调性;1(1)见解析；(2) k ：：:0或 k .ef x 在-^：上单调递减.f x ：： 0 , f x 在 I ,? V k Jf x 在I 2, • ；： |上单调递增.•••当k 0时，f x 在-：：,？上单调递增，在上单调递减; I kJIk丿当k <0时，f x 在上单调递减，在 2,= 上单调递增.I k 丿 Ik 丿(2) f x 二口 勻nx x -1 ,V_k 丿 ke当 x 2, *：时，f x ：：0, \k丿大题精做十函数与导数：参数与分类讨论(2)当x_1 时，f △kIn x ,求k 的取值范围.【解析】 kx kx⑴1十十空=2"e kx-k x —2kx，e①若k 0，当x--,-时，f x 0, f x 在k.「彳上单调递增; k =0).【答②若…。

，当…迸时,上单调递减;当k ：：:0时，上不等式成立，满足题设条件;当k 0 时，f ! X二工1 _l n x , I k 丿ke xx 1设g x =害-klnx x _1，则e设h x i；=2x -x2 -ke x x _1，则••• h x在1, * 上单调递减，得x _1等价于_kInx^O,e2 x ‘2—x k 2x—x —keg x x xe x xeh x =2 1 _x ；」ke x::: 0，h x <h 1 =1 —ke.1①当 1 —ke 乞0，即k _ 时，得h x <0, g x <0 ,e•g x在1, •：：上单调递减，得g x -g 1 =0,满足题设条件;1 2②当1—ke・0，即0 ：：：k ：：：—时，h 1 0，而h 2；=「ke ：：：0,e•x0 刊1,2 , h X D =0,又h x单调递减，•当x三〔1,怡,h x ］，0，得g' x ］>0,• g x在1,X o上单调递增，得g x _g 1 =0，不满足题设条件;1综上所述，k <0或k_-.e模拟精N做］21. ［2019 周口调研］已知函数f(x)=l nx—(a+2)x —ax (a 乏R ).(1)求函数f x的单调区间；(2)若对任意x，0,；，函数f x的图像不在x轴上方，求a的取值范围.2. ［2019济南期末］已知函数f x =x e x• 1 ?-a e x -1 .(1)若曲线y=f x在点1, f 1处切线的斜率为1,求实数a的值;(2)当xGQi ］时，f x 0恒成立，求实数a的取值范围.3. ［2019 漳州一模］已知函数f x =1-x-axlnx .(1)求f x在1,；上的最值；(2)设g x二丄，若当0 ：：：a乞1，且x 0时，g x ^m，求整数m的最小值.x十1在-2,；上，「a 0 , u a 是减函数.又u -1产0，所以要使得f x max 乞0,须u a <0，即a 一 -1 . 故a 的取值范围为〔-1,=.丿 L2… 1 .2(a +2 )x +ax —1f x2 a 2 x -a =xx2x - Uh a • 2 x -1当a_-2时，「X 0恒成立，函数fx 的单调递增区间为11当a -2时，由f x =0，得x或x （舍去）， a+22则由 f x 0，得 0 ：：：x 1 ;由 f x = ：0，得 x1a+2a所以f （x ）的单调递增区间为‘0，a ^2 | ，单调递减区间为（2）对任意X ，0,；，函数f x 的图像不在x 轴上方,等价于对任意 x 0,；,都有f x -0恒成立，即在0,；上f X max 乞° •由（1）知，当a 一 -2时，f x 在0,=上是增函数, 又f 1〔=「2 a 1 -0 ,不合题意;当a 2时，f x 在x=代处取得极大值也是最大值,.f [ )1所以 f X max 二 f厂2 =斗n a 20~2-1"na 2 a 21 _1 a一2，所以 U a 」a 12_ 12・(a +2)【解析】（1）函数f x 的定义域为0,；，2.【答案】(1) a =2 ； (2) a _2 .【解析】(1) f x =xe x亠e x亠1 _ae x,因为「1 =e e 1 -ae =1，所以 a =2 .(2) f x 二 e 1 xe - ae，设g x 二 e 1 xe - ae ,设g x 二e x亠ix 1 e x「ae x = x 2「ae x，设h x =x 2「a ,注意到fO=O, f 0=g0=2-a ,(i)当a —2时，h x =x ^a 0在0,；上恒成立，所以g x 0在0,；上恒成立，所以g x在0,；上是增函数，所以g x g -a -0，所以f x 0在0上恒成立，所以f x在0,；上是增函数，所以f x f 0)=0在0,；上恒成立，符合题意；(ii)当 a 2 时，h 0i；=2 -a ：：：0, h a i；=2 ・0 ,所以x° • 0,a，使得h x°=0,当xw〔0,x0时，h x ：：：0,所以g x ：：：0，所以g x在0,x°上是减函数，所以f x在0,x0上是减函数，所以「x < f 0 =2 -a ：：：0，所以f x在0,x。

湖南师范大学附中2014年创新设计高考数学一轮简易通考前三级排查：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2006(x)＝( ) A ．sinx B ．－sinxC ．cosxD ．－cosx【答案】B2．已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为()f x '，(0)0f '>，f(x)与x 轴恰有一个交点，则(1)(0)f f '的最小值为( ) A ． 2 B ．32 C ． 3 D ．52【答案】A3．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A ．112B ．14C ．13D ．712【答案】A4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 【答案】D 5．已知函数1()cos f x x x =，则()()2f f ππ'+=( ) A ．2π-B ．3πC ． 3π-D ．1π-【答案】C 6．函数xy 1=在点4=x 处的导数是( )A ．81B ．81-C ．161 D ．161-【答案】D 7．曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．1 【答案】A8．曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程为( )A ． 320x y --=B ． 230x y --=C ． 320x y --=D ． 230x y --=【答案】A9．等比数列｛a n ｝中，a 1=2，a 8＝4，函数)(x f ＝x （x - a 1）（x - a 2）……（x - a 8），则)0('f ＝( ) A ． 26B ．29C ． 212D ．215【答案】C10．曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e【答案】A11．曲线()1f x nx =在x=1处的切线方程为( )A ．y=xB ．y=x －1C ．y=x+1D ．y=－x+1【答案】B12．设()[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,2x x x x x f ，则()dx x f ⎰20的值为( )A ． 43 B. 54 C ． 65D ．67 【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数)2009()3)(2)(1()(----=x x x x x x f 在0=x 处的导数值为____________．【答案】!2009- 14．由直线x=0,3,3==-y x ππ与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为15．某物体做直线运动，其运动规律是s=t 2+3t( t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为 . 【答案】16125m/s 16．曲线3y x =在(1,1)P 处的切线方程为____________ 【答案】023=--y x三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； (1）求()f x 的解析式及单调区间；(2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值． 【答案】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得：(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔= 得：21()()()12xx f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+ ()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得：()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ (2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2e F x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e 。