概率与统计C卷
- 格式：doc
- 大小：261.46 KB
- 文档页数：4
概率与统计
一、(10分）盒中有20个产品中，其中5个次品，15个正品。
现任取5个，求取到的5个产品中（1）恰好有2个次品的概率；（2）至少有2个次品的概率。
解：设个次品恰好有2--A , 个次品至少有2--B 2分
（1） 23
5155
202275
()0.297752
C C P A C ==≈， 4分 （2） （2）366.01292
473
1)(5
20
4
15
15515≈=
+-
=C C C C B P 。
4分
二、（12分）设连续型随机变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤<<-=其它211
0,0,2,)(x x x Ax x f ，
求：(1)系数A ；(2)X 的分布函数。
（3）}10|5.15.0{<<<<X X P 解：(1)1)1(2
1
)2()(2
1
10
=+=
-+=⎰⎰⎰
∞
+∞
-A dx x Axdx dx x f Θ
1=∴A 3分
(2)⎰
∞
-=
x
dt t f x F )()(
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤≤-+=⎰⎰⎰221100,1,)2(,,01100x x x x dt t tdt tdt x
x ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤≤=2,121,121210,20,022x x x x x x x 6分
(3)75.0}10|5.15.0{10
15
.0==
<<<<⎰⎰xdx
xdx X X P 3分 三、（10分）设随机变量)1,1(~-U X ,求2
X Y =的分布函数与概率密度。
解：()⎪⎩⎪
⎨⎧<<-=其它
112
1
x x f X Θ,且2
)(x x g y ==, 2分
()()dx x f y F y
x X Y ⎰≤=∴2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=⎰-11
1
021
00
y y dx y y y
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<≤=1
11000
y y y y ,
6分
⎪⎩
⎪
⎨⎧<<==其它
01021)(')(y y
y F y f Y Y . 2分
四、（15分）设二维随机变量（X,Y ）在区域 },|),{(2x y x y y x G
><=
上服从均匀分布。
(1) 求（X,Y ）的联合概率密度；(2) 求（X,Y ）关于X,Y 的边缘概率密度；(3)判断X 与Y 的独立性。
解：（1）区域G 的面积为
6
1)(1
02
102=
⎰-
=
⎰⎰=
⎰⎰dx x x dy
dx dxdy x
x G
（X,Y ）的联合概率密度为
⎩⎨
⎧<<<<=其它,0
,10,6)(2x y x x x f 4分
（2）X 的边缘概率密度为
⎰=∞
∞-dy
y x f x f X ),()( ⎩⎨
⎧<<⎰=其它,0
1
0,62
x dy x x =⎩⎨
⎧<<-其它
,0
10),(62
x x
x 4分
Y 的边缘概率密度为
⎰=∞
∞-dx
y x f y f Y ),()( ⎩⎨⎧<<⎰=其它,0
1
0,6y dx y y
=⎩
⎨
⎧<<-其它
,0
10),(
6y y y 4分 （3）显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不独立。
3分
五、(15分) 设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的概率分布为
X 1 2
P 32 3
1 记},min{},,max{Y X V Y X U ==。
（1）求U 与V 的分布律； （2）求),(V U 的联合分布律；（3）求U 与V 的协方差),(V U Cov 。
解:（1）{1}{1,1}P U P X Y ====}1{}1{===Y P X P 9
4
=
5
{2}1{1}9
P U P U ==-== 3分
{2}{2,2}P V P X Y ===={2}{2}P X P Y ===1
9
=
8
{1}1{2}9
P V P V ==-== 3分
(2) ),(V U 有三个可能值：（1，1），（2，1），（2，2）
}1,1{}1,1{=====Y X P V U P }1{}1{===Y P X P 9
4
=
}1,2{}2,1{}1,2{==+=====Y X P Y X P V U P 9
4
=
}2,2{}2,2{=====Y X P V U P }2{}2{===Y P X P 9
1
= 4分
故),(V U 的概率分布为
（3）因为,9
16
)(,910,914===UV E EV EU 3分
所以 4
(,)()81
Cov U V E UV EU EV =-⋅= 2分
六、（10分）从一大批发芽率为0.8的种子中随机抽取1000粒,试求这1000粒种子的发芽率与0.8之差的绝对值小于0.02的概率.（(1.58)0.9430Φ=）
解：记X 为发芽的种子数，则)8.0,1000(B ~X ， 3分 利用德莫弗—拉普拉斯中心极限定理，得
()⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≈<<=≤-1602016020820X 780)02.08.01000X (
P --P ΦΦ 8862.09430.021)58.1(2=⨯=-≈Φ 7分
七、（15分）设总体X 的概率密度为
U V
1 2
1 2 94 9
4 0 9
1
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0,
00,1)(x x e x f x
θθ,
其中未知参数0>θ。
设),,,(21n X X X Λ为取自总体X 的样本。
(1)求θ的极大似然
估计量θ
ˆ；(2)试判断该估计量θˆ是否为θ的无偏估计量。
解：(1)样本),,,(21n X X X Λ的似然函数为
0,,,,1
)(111
1
>∑=
=-
n x n
x x x e
L n
i i
Λθ
θ
θ， 3分
则∑--==n
i i x n LnL 1
1
ln )(θ
θθ 3分
令
∑+-==n
i i x n d L d 1
21)(ln θθθθ 3分
则θ的极大似然估计值为x x n n i i =∑==1
1ˆθ
θ的极大似然估计量为X =θˆ。
3分
(2)由于θθ==∑=∑====)()(1)1()()ˆ(1
1X E X E n X n E X E E n
i i n i i ,所以X =θ
ˆ为未知参数θ的无偏估计量。
3分
八、（13分）某种仪器间接测量工件的硬度，重复测量5次，所得数据是175，178，178，174，176，而用别的精确方法测量硬度为176（可看作硬度的真值），设测量值服从正态分布，问此种的仪器测量值是否有系统误差（即测量值的均值是否等于176）（0.1α=）？ 解：0H ：=μ=μ0176， 1H ：0μμ≠ 检验统计量为n
s
X T 0μ-=
，0H 的拒绝域为)}1(|{|2-≥=n t t W α 4分
计算得=x 176.2，=s 1.789，=μ-=n
s x t 0
0.25 4分 对a =0.1，查得1318.2)4(t )1n (t 05.02
a ==-. 2分
因为|t | <)1n (t 2
a
-，所以接受H 0，
即此种仪器测量值无系统误差。
3分。
