【创新设计人教B版(理)】高三一轮数学复习精品课件：第五知识块 数列(5课时134张)

an=Sn-Sn-1=bn+r-bn-1-r=(b-1)bn-1,
由于 an 为等比数列,a1=b+r 也适合上式,因此 a1=(b-1)·b0=b+r,解得 r=-1,故 r 的值是-1.
9
考点 1 等比数列的基本量的运算
典例 1 (1)(2016·辽宁五校联考)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2,12a3,a1 成
������������1 (������ = 1),
(2)求和:利用条件求出首项 a1 与末项 an,再利用公式 Sn= ������1(1-������������)
1-������
(������ ≠ 1)求解,但要注意
对 q 的分类讨论.
13
【变式训练】
1.(2015·广东仲元中学月考)若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=a·3n-2,则 a2=
1,
又S3
=
a1
+
a2
+
a3
=
1 q2
+
1 q
+
1
=
7,
得到
6q2
−
q
−
1
=
0,
解得
q
=
1 2
或
q
=
−
1 3
(舍),
所以a������
=
a3
×
q������ −3
=
【参考答案】 B
1 2
n-3
, 则a1
=
4, S5
=
4
1-215 1-12
= 341.
18
【变式训练】
已知数列{an}是等比数列,且 Sm=15,S2m=40,则 S3m=

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使用建议
(2)突出数学思想方法在解题中的指导作用．数列是 特殊的函数，深刻领会函数思想和方程思想，这是解决数 列问题的关键；数列问题中蕴含着极为丰富的数学思想方 法，如由前n项和求数列通项、等比数列求和的分类整合 思想，数列问题可以通过函数方法求解的函数思想，等差 数列和等比数列问题中求解基本量的方程思想，把一般的 数列转化为等差数列或等比数列的等价转化思想等，要引 导学生通过具体题目的解答体会数列问题中的数学思想方 法，并逐步会用数学思想指导解题．
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使用建议
(1)注重双基：降低难度，强化对等差、等比数列的 定义、性质、通项公式与前n项和等基础知识和通性通法 的训练，注重应用等差数列、等比数列的性质，应用性质 解题，往往可以回避求首项和公差或公比，使问题得到整 体解决，能够减少运算量，使学生通过本单元的复习能够 熟练运用数列的基本知识和基本方法解决问题．
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第28讲
数列的概念与简单表示法
考点统计
考频
示例(难度)
点 面 讲 考 向
1.根据数列的前几项求数列的 通项公式
2.由递推关系式求通项公式
0
填空(1) 2010年辽宁T16(B)
3.由数列的前n项和Sn求通项公 式an
4.数列的函数特征
解答(1)
2011年辽宁T17(B)， 2012年江西T16(B)
2．教学建议 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基 础，所以在高考中占有重要的地位．高考对数列的考查比 较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏，根 据近几年课标区高考对数列的考查要求，在指导学生复习 该单元时要注意如下两点：
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使用建议
(1)重视基础知识、基本方法的复习，加强基本技能 的训练．数列中的基础知识就是数列的概念、等差数列 (概念、等差中项、通项、前n项和)、等比数列(概念、等 比中项、通项、前n项和)；基本方法主要有基本量方法、 错位相减求和法、裂项求和法、等价转化法等；基本技能 主要是运算求解的技能、推理论证的技能等，在复习中要 把这些放在突出的位置．

D.an＝2n，n∈N＋
解析 这个数列的前4项都比序号大1，
所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N＋.
12345
3.数列{an}中，an＝2n2－3，n∈N＋，则125是这个数列的第__8___项. 解析 令2n2－3＝125，解得n＝8(n＝－8舍去). 所以125是该数列的第8项.
12345
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5； 解 这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数， 并且奇数项为负，偶数项为正，
－1n 所以它的一个通项公式为 an＝n×n＋1，n∈N＋.
22－1 32－1 42－1 52－1 (2) 2 ， 3 ， 4 ， 5 ； 解 这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数， 分子都是比序号大1的数的平方减1，
题型三 数列通项公式的简单应用
例 3 (1)已知数列21，32，43，54，…，那么 0.94，0.96，0.98，0.99 中是该数列
中某一项值的数应当有
A.1 个
B.2 个
√C.3 个
D.4 个
解析 数列21，32，43，54，…的通项公式为 an＝n＋n 1，
0.94＝19040＝4570，0.96＝19060＝2245，0.98＝19080＝4590，0.99＝19090，
解析 视察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4 ＋1，4×5＋1. 故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)·n＋1＝n2－n＋1.
素养评析 归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题.本例完善诠释了“视察 现象，归纳规律，大胆猜想，谨慎求证”这一认识发展规律.

[记结论] 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2，n∈N*.
2．在数列{an}中，若an最大，则aann≥ ≥aann－ ＋11， ； 若an最小，则aann≤≤aann－＋11，.
[提速度]
(多选)(2022·天津模拟)在数列{an}中，an＝(n＋1)·78n，则数列{an}中的最大项可以是
由an与Sn的关系求通项公式
1．已知Sn＝2n＋3，则an＝________． 解析：当n＝1时，a1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1， 当n＝1时，21－1＝1≠a1．所以an＝52， n－1n，＝n1≥，2. 答案：52， n－1n，＝n1≥，2
2．(2022·福州质检)已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝
(2)由 nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得aan－n 1＝n＋n 1(n≥2)．所以 an＝aan－n 1·aann－ －12·aann－ －23·…·aa32·aa21·a1 ＝n＋n 1·n－n 1·nn－ －21·…·34·23·1＝n＋2 1(n≥2)，又 a1 也满足上式，所以 an＝n＋2 1．
)
A．239
B．4 7－1
C．458
D．247
[解析] 由an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝28＋2
＋4＋…＋2(n－1)＝28＋n(n－1)＝n2－n＋28，∴
an n
＝n＋
28 n
－1，设f(x)＝x＋
28 x
，可知
f(x)在(0，
28
x
12345

结论: 1.数列的通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用a_n_=_f_(_n_)_来表示,则称此关系式为这个 数列的一个通项公式. 2.数列与函数的关系 (1)数列可以看成以_正__整__数__集__(或它的有限子集{1,2,…,k})为定义域的函数. (2)数列可以用相应函数图像上横坐标为正整数的一些孤立的点表示.
结论: 1.数列的概念 (1)数列:按照_一__定__次__序__排列的一列数称为数列. (2)项:数列中的_每__一__个__数__都称为这个数列的项.
2.数列的分类
按项 的个 数
按项 的变 化趋 势
类别 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列
摆动数列
项数_有__限__的数列
含义
项数_无__限__的数列
22 1，32 1，42 1，52 1; 1，4，7 ，10 . 2 3 4 5 4 7 10 13
写出数列{an},{bn}的通项公式.
【解析】数列{an}中的第n项的分母是项数加1,分子是项数加1的平方再减去1,
故an=（n 1）2 1 .数列{bn}中的第n项分母是3n+1,分子是3n-2,故bn= 3n 2 .
【定向训练】
已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N+,则-8是该数列的 ( )
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.非任何一项
【解析】选C.解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
【补偿训练】1.已知数列{an}的通项公式是an= n2 n 1 ,其中n∈N*.
3
(1)写出a10,an+1和
2345
③π精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排成一列数: 3,3.1,3.14,3.141,….

列的定义域则为离散的正整数集的子集.
过关自诊
1.已知下列数列:
①-1,0,1,2,3,4,…,n;
②1,-1,1,-1,…;
1
1
1
③ , 2 , 3 ,…;
10 10 10
④6,6,6,6,6.
其中递增数列为
有穷数列为 ①④
①
③
,递减数列为
,常数列为
,无穷数列为 ②③
.(填序号)
④
,
2.是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出一个这样
③1,-3 , 5,…, 2-1 ,…;
π
④1,0,-1,…,sin ,…;
2
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是
减数列是
,无穷数列是
,常数列是
,递增数列是
,摆动数列是
.(填序号)
,递
答案 ①⑥
②③④⑤
①⑤
②
⑥
③④
解析 ①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列且为递减数列;③为无穷
2 +1+
<1,
(+1)2 +1+(+1)
规律方法 判断数列是递增数列还是递减数列的方法
(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;
②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;
③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法
类别
提示 数列2,3,4,5,6是按一定的次序排列的数,打乱顺序后又产生新的数列;
而集合{2,3,4,5,6}中元素无论按怎样的顺序排列都是同一个集合.

4．{an}为等比数列，若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，TT2nn，TT23nn，…成等 比数列．
5．当 q≠0，q≠1 时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要 条件，此时 k＝1－a1q.
6．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地， 若项数为奇数时，还等于中间项的平方.
C. 4
D. 2
(2)(2019·广东珠海模拟)Sn 是正项等比数列{an}的前 n 项和，a3＝18，
S3＝26，则 a1＝( A )
A．2
B．3
C．1
D．6
a1q·a1q3＝1， 解析：(1)显然公比 q≠1，由题意得a111－－qq3＝7，
a1＝4， a1＝9，
解得q＝12
第五章
数列
第三节 等比数列
知识梳理·自主学 习
课堂探究·深度剖析
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
知识点一 等比数列的有关概念
1．等比数列的定义
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个 非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的 公比 ，公比通常用字母 q(q≠0)表示．
(2)证明：由 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得 4Sn＋2－4Sn＋1 ＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即 4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3 ＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，∴aan＋n＋2－1－1212aan＋n 1＝ 44aan＋n＋2－1－22aan＋n 1＝4an4＋a1－n＋1a－n－22aan n＋1＝222aann＋＋11－－aann＝12，

知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打 “×”. (1)数列{an}和集合{a1,a2,a3,a4,…,an}是一回事. ( ) (2)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( ) (3)若数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N+,都有an=Sn-Sn-1. ( ) (4)等差数列的单调性是由公差决定的. ( ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( ) (6)若对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2成立,则数列{an}一定为等 差数列. ( )
(2)等比数列: ������������1 ,������ = 1, Sn= ������1 -������������������ = ������1 (1-������������) ,������ ≠ 1,可采用错位相减法得到该公式.
1-������ 1-������
2
2
7.等差数列、等比数列前n项和的性质 (1)等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等差数列. (2)等比数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等思考辨析
5.等差中项与等比中项 (1)若a,b,c成等差数列,则2b=a+c. (2)若a,b,c成等比数列,则b2=ac. 6.等差数列、等比数列的前n项和公式 (1)等差数列: ������(������-1) ������(������1 +������������ ) na + d 1 Sn= =_______________ ,可采用倒序相加法得到该公式.
������������+1 = ������(������∈N+,������为非零常数) ������������ ������(������1 +������������) ������(������-1) = ������������1 + ������ 2 2

1．数列－3,7，－11,15，…的一个通项公式是( )
A．an＝4n－7
B．an＝(－1)n(4n＋1)
C．an＝(－1)n(4n－1)
D．an＝(－1)n＋1(4n－1)
答案：C 2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－
则a100＝( )
解析A：．a12＝－ B．－1
a3＝－C．－
＝－2D，．－2
若an为最大项，则
若an为最小项，
则
此种方法是从通项的角度研究，具有一般性，但此
类问题也可以用函数的观点研究．
【例4】 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)· 求n为何值时，an取最大值．
思维点拨：已知数列{an}的通项公式，要求n为何值时an取最大值，
则需满足
因为涉及an－1，所以应先讨论a1是否为最大
a4＝－
＝1，a5＝－
答案：A
＝－ ，…，∴a100＝a1＝1.
3．已知列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
解析
答案：A
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，则数列的通项为________． 解析：由an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 知：an＝3n－2－3n－1＋2＝2·3n－1. 当n＝1时，a1≠S1，∴an＝
(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n＋1，观察各项绝对值 组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则 是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，原数列的第1、2两项可改写为
(5)将数列各项改写为
分
母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
≥0，