一元一次方程等量关系式教学内容

第五章一元一次方程5．1认识方程1．理解并让学生掌握方程、一元一次方程、方程的解和解方程的概念；2．初步了解列方程的一般步骤，体会用方程解决实际问题的优越性．重点理解并掌握一元一次方程、方程的解和解方程的概念，以及列方程解决实际问题．难点列方程解决实际问题．一、导入新课在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，总票款为475元．你知道学生和老师的人数分别是多少吗？购买学生票和成人票的票款分别是多少？(1)这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)如果设学生人数为x，那么总票款可以用含x的代数式表示为__________．(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？学生思考后举手回答，教师点评并进一步讲解：教师：请同学们用算术方法解决这个问题．学生独立思考后，与同桌交流，老师作简单讲解．教师：我们已经知道，方程是含有未知数的等式．上面等式中的x是未知数，这个等式是一个方程．以后我们将学习如何解方程求出未知数x.教师：比较这两种方法，用方程来解决问题有什么优点？学生相互交流，说出自己对方程的感受．二、探究新知1．一元一次方程的概念与列方程课件出示问题：根据下列问题，设未知数并列出方程．1．某长方形操场的面积是5850 m，长比宽多25 m．(1)这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为________．(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？2．甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地．(1)这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为____________．(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？学生完成后举手回答，教师点评总结：同学们在列方程时，一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义，体会列方程所依据的等量关系．等式10x ＋15(45－x )＝475，x (x ＋25)＝5850，22x －22x ＋1 ＝1260 是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程．教师：上面各方程都含有一个未知数(元)，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．如10x ＋15(45－x )＝475，2x ＋3＝7x ＋4都是一元一次方程．那么在实际问题中怎样列出方程呢？引导学生总结出列方程的一般步骤：实际问题――→设未知数、列方程一元一次方程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程是用数学知识解决实际问题的一种方法．2．方程的解你能求出满足方程10x ＋15(45－x )＝475的未知数x 的值吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流．教师：当x ＝30是方程的解吗？x ＝40呢？x ＝50呢？教师：我们可以发现，当x ＝40时，方程两边等号成立．也就是说，x ＝40是方程解． 引导学生得出：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．三、课堂练习1．教材第137页“随堂练习”第1，2题．2．(1)用一根长24 cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？(2)一台计算机已使用1700 h ，预计每个月再使用150 h ，经过几个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h?(3)某校女生占全体学生人数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？【答案】2.(1)设正方形的边长是x cm ，由题意列方程得4x ＝24.解得x ＝6，答：正方形的边长是6 cm(2)设经过x 个月这个计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h ．由题意列方程为1700＋150x ＝2450，解得x ＝5.答：经过5个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h (3)设这个学校有x 名学生，由题意列方程得52%x －(1－52%)x ＝80.解得x ＝2000，答：这个学校有2000名学生四、课堂小结1．方程、一元一次方程、方程的解、解方程的概念分别是什么？ 2．实际问题中列一元一次方程的步骤是什么？ 五、课外作业教材第138页习题5.1第1，2，3题．本节课的内容是一元一次方程的初步认识，主要使学生了解什么是方程，什么是一元一次方程；体会字母表示数的好处，体会从算式到方程是数学的一大进步；会将实际问题抽象为数学问题，通过找相等关系列方程解决问题．在教学过程中，通过新旧知识的联系，使学生温故而知新，并能从学习过的知识中得到拓展和延伸．同时结合生活实例，理解一元一次方程的概念．使学生感受数学的魅力，提高学习的兴趣．课堂上，营造宽松、和谐的课堂氛围，激活学生的思维，提高了学生参与课堂的积极性．5．2 一元一次方程的解法 第1课时 等式的基本性质1．理解等式的基本性质；2．会根据等式的基本性质解简单的方程．重点运用等式的基本性质对等式进行变形． 难点根据等式的基本性质解简单的方程．一、导入新课方程是含有未知数的等式，解方程自然要研究等式的基本性质．等式有哪些基本性质呢？我们不难理解下面两个基本事实： (1)如果a ＝b ，那么b ＝a ；(2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .除此之外，等式还有哪些基本性质呢？ 学生回答，教师点评． 二、探究新知下面，我们通过实验一起来探究等式的性质．(1)教师演示：天平两边分别放入一个铁球和砝码，天平平衡，再在两边都加上相同的木块，天平仍平衡，再拿掉木块天平仍平衡．教师：如果我们把天平看成是等式，会得到什么结论呢？ 学生小组讨论，合作交流．教师总结得出等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式． (2)教师演示：天平两边各放入一个小球和砝码，天平平衡，把两边小球与砝码的数量都变成原来的3倍，天平仍平衡．再将两边小球与砝码的数量还原，天平仍平衡．教师：如果我们把天平看成是等式，那么又有什么结论呢？引导学生得出等式的性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．用字母可以表示为： 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝bc(c ≠0)(1)如图5－2，小明用天平解释了方程5x ＝3x ＋4的变形过程，你能明白他的意思吗？(2)请用等式的基本性质解释方程5x ＝3x ＋4的上述变形过程．归纳：利用等式的基本性质求解一元一次方程，实质就是对方程进行变形，变形为x ＝a 的形式．对于x ＋a ＝b ，方程两边都减去a ，得x ＝b －a ；对于方程ax ＝b (a ≠0)，两边都除以a ，得x ＝ba.例1 (课件出示教材第140页例1)要求学生独立完成后汇报答案，教师点评． 例2 (课件出示教材第140页例2)要求学生独立完成后汇报答案，教师点评． 三、课堂练习 1．判断：(1)若x ＝y ，则5＋x ＝5＋y ；( √ ) (2)若x ＝y ，则5x ＝5y ；( √ ) (3)若x ＝y ，则x 5 ＝y5；( √ )(4)若x ＝y ，则5－x ＝5－y ；( √ ) (5)若2x ＝5x ，则2＝5.( × ) 2．下列各式变形正确的是( A )A ．由3x －1＝2x ＋1得3x －2x ＝1＋1B ．5＋1＝6得5＝6＋1C ．由2(x ＋1)＝2y ＋1得x ＋1＝y ＋1D ．由2a ＋3b ＝c －5b ，得2a ＝c ＋8b 3．应用等式的性质解下列方程并检验： (1)x －5＝6； (2)0.3x ＝45； (3)5x ＋4＝0; (4)2－14x ＝3.【答案】3.(1)x ＝11 (2)x ＝150 (3)x ＝－45 (4)x ＝－44．教材第141页“随堂练习”第1，2题． 四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．等式的基本性质是什么？3．如何用等式的基本性质解方程？ 五、课外作业教材第146页第6，7题．本节课的学习内容是等式的性质，是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的．它是解方程的基础和依据．在课堂上，教师通过学生的实践活动引导学生，发现规律，从而得出等式的基本性质，接着又通过实验解释了方程5x ＝3x ＋4的变形过程．由此得出利用等式的性质解一元一次方程，实质上就是逐步把方程化为x＝a的形式．通过教师设置的两次活动，学生对等式性质的理解和运用等式的性质解一元一次方程都留下了深刻的印象．第2课时用移项和合并同类项解一元一次方程1．掌握移项变号的基本原则，会用移项解一元一次方程；2．会用合并同类项解一元一次方程．重点移项法则和合并同类项法则及其应用．难点理解移项的同时必须变号．一、导入新课问题1：什么是一元一次方程？问题2：等式的基本性质是什么？学生举手回答，教师引入新课．二、探究新知1．移项的概念教师：你会解方程5x－2＝8吗？方程的两边都加2，得5x－2＋2＝8＋2，也就是5x＝8＋2比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相当于5x－2＝8，5x＝8＋2即把原方程中的－2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移顶．因此，解方程的过程可以简化为：移项，得5x＝8＋2化简，得5x＝10方程的两边都除以5，得x＝2.在上面解方程的过程中，移项的依据是什么？目的是什么？与同伴进行交流．归纳：学生思考后举手回答，教师点评，并进一步讲解：把原方程的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项．课件出示问题：下列移项是否正确，请说明理由．(1)6＋x＝8移项，得x＝8＋6；(2)3x＝8－2x移项，得3x＋2x＝－8；(3)5x－2＝3x＋7移项，得5x＋3x＝7＋2.要求学生认真观察找出错误，并说明理由，教师点评．2．用移项和合并同类项解一元一次方程 教师：你会解方程3x ＋20＝4x －25吗？引导学生思考：方程3x ＋20＝4x －25的两边都有含x 的项(3x 与4x )和不含字母的常数项(20与－25)，怎样才能使它向x ＝a (常数)的形式转化呢？要求学生思考后举手回答，教师点评．归纳：学生观察，讨论交流，教师引导学生说出将方程左边合并同类项，向x ＝a 的形式转化．思考：本问题的解决过程中，合并同类项起到了什么作用？ 学生讨论后回答．(让学生感受化归的思想)问题：对于本问题，你还有其他的方法解决吗？ 课件出示练习：将下列方程化为ax ＝b 的形式． (1)2x －3＝6； (2)5x ＝3x －1； (3)2.4y ＋2＝－2y ； (4)8－5x ＝x ＋2.学生完成后举手回答，教师点评，并进一步讲解： ①移动的项要改变符号；②为了方便计算，移项通常是将未知项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，使方程化为ax ＝b 的形式．例3 (课件出示教材第142页例3) 要求学生独立完成并思考： (1)移项的根据是什么？ (2)移项的目的是什么？ 学生汇报答案，教师点评．例4 (课件出示教材第142页例4)指名板演，教师巡视指导，集体订正，教师再次强调移项时符号的变化． 三、课堂练习1．教材第142页“随堂练习”． 2．用移项法解下列方程： (1)7－2x ＝3－4x ；(2)34x ＝x －3. 3．如果x ＝－7是方程4x ＋6＝ax －1的解，试求代数式a －3a的值．【答案】2.(1)x ＝－2 (2)x ＝12 3.把x ＝－7代入方程4x ＋6＝ax －1中，得4×(－7)＋6＝－7a －1.解得a ＝3；当a ＝3时，a －3a ＝3－33＝2四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．什么叫移项？3．移项时应注意什么问题？ 五、课后作业教材第145页习题5.2第1，2题．本节课学生通过观察、讨论，归纳出移项的定义，体现了学生的主体地位．课堂上，教师通过讲练结合，使学生更好地掌握移项的法则．学生对移项的掌握比较牢固，但移项时要“变号”这个问题，个别学生掌握得不够好，不能灵活应用，需要加强练习．在用移项和合并同类项解方程的过程中，教师要逐步渗透数学中变未知为已知的重要数学思想．第3课时解带括号的一元一次方程1．理解并掌握解含有括号的一元一次方程的方法；2．能用多种方法灵活地解一元一次方程．重点含括号的一元一次方程的解法．难点结合方程的特点选择不同的方法解方程，并解释解法的合理性．一、导入新课问题1：什么叫移项？问题2：用移项法解下列方程：(1)2x－2＝3x＋3；(2)－3x＋5＝4x＋2.学生举手回答，教师讲评．二、探究新知1．利用去括号解一元一次方程小颖在超市买了1袋牛奶和4瓶矿泉水，她付给售货员20元，售货员找回3元．已知1瓶矿泉水比1袋牛奶贵0.5元，你能算出1袋牛奶多少钱吗？你列出了怎样的方程？如果设1袋牛奶x元，那么可列出方程4(x＋0.5)＋x＝20－3.(1)上面这个方程列得对吗？为什么？你还能列出不同的方程吗？(2)怎样解所列的方程？学生完成后汇报答案，教师点评并引导学生总结出去括号解一元一次方程的步骤：①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1.强调：括号前是“＋”号，去括号时，不改变符号；括号前是“－”号，去括号时，要改变符号．用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a＋(b＋c)＝a＋b＋ca－(b＋c)＝a－b－c多媒体出示例5解方程：1＋6x＝2(3－x).解：去括号，得1＋6x ＝6－2x . 移项，得6x ＋2x ＝6－1. 合并同类项，得8x ＝5. 方程的两边都除以5，得x ＝58.例6 解方程：－2(x －1)＝4. 解法一：去括号，得－2x ＋2＝4. 移项，得－2x ＝4－2. 化简，得－2x ＝2.方程的两边都除以－2，得x ＝－1. 解法二：方程的两边都除以－2，得 x －1＝－2.移项，得x ＝－2＋1. 化简，得x ＝－1.要求学生用两种方法解答，并写出解题过程，引导学生比较这两种方法的区别与联系． 教师：我们来试一试解下面的方程(课件出示). (1)－3(x －5)＝6； (2)2(3－x )＝9； (3)－2(x －1)＝4.2．去括号解一元一次方程的应用课件出示：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2 h ；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5 h ．已知水流的速度是3 km/h ，求船在静水中的速度．教师：如果设船在静水中的速度为x km/h ，船顺流的速度为多少？ 学生：(x ＋3)km/h.教师：船逆流的速度为多少？ 学生：(x －3)km/h.教师：这个方程的等量关系是什么？ 学生：往返的路程相等．师生共同探讨，列出方程：2(x ＋3)＝2.5(x －3). 学生完成解方程，指名板演，集体订正． 三、课堂练习1．教材第143页“随堂练习”．2．若方程3(2x －1)＝2－3x 的解与关于x 的方程6－2k ＝2(x ＋3)的解相同，则k 的值为－59． 3．一架飞机在两城之间航行，风速为24 km/h ，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城距离．【答案】3.设无风时飞机的速度为x km/h ，则可列方程为256 (x ＋24)＝3(x －24)，解得x＝840，所以两城的距离为3×(840－24)＝2448(km)四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．如何去括号解一元一次方程？ 五、课后作业教材第138页习题5.2第3，4题．本节课主要内容是解一元一次方程的重要步骤——去括号．在教学过程中，学生通过思考、讨论、练习，归纳出去括号解一元一次方程的步骤，体现了学生的主体地位，培养了学生的自主学习能力．课堂上，教师通过讲练结合，使学生熟悉去括号解一元一次方程的步骤及其注意事项．通过分析具体问题中的数量关系，使学生了解运用方程解决实际问题．第4课时 解含分母的一元一次方程1．会解含有分母的一元一次方程；2．掌握解一元一次方程的基本步骤和方法，能根据方程的特点灵活地选择解法．重点解一元一次方程的基本步骤和方法． 难点含有分母的一元一次方程的解法．一、导入新课问题1：什么是移项法则？什么是去括号法则？ 学生举手回答，教师点评． 问题2：解方程： (1)2(x ＋15)＝x －10； (2)4(x ＋7)＝2(x －1).学生独立完成，指名板演，集体订正． 二、探究新知1．解含分母的一元一次方程课件出示问题：一个数与它的三分之二、它的一半、它的七分之一加起来的和是33，求这个数．教师：设这个数为x ，怎样列出方程呢？学生：23 x ＋12 x ＋17x ＋x ＝33.教师：如何解这个方程呢？解这个方程的关键是什么？依据是什么？要求学生合作探究，并与同桌交流自己的解法是否正确．教师指名学生回答．教师：根据等式的基本性质，在方程两边同乘各分母的最小公倍数42，即可将方程化为熟悉的类型．教师边讲解板书：23 x ＋12 x ＋17x ＋x ＝33.去分母，得28x ＋21x ＋6x ＋42x ＝1386. 合并同类项得97x ＝1386. 系数化为1得，x ＝138697 .2．解一元一次方程的一般步骤课件出示练习：例7解方程：17 (x ＋14)＝14 (x ＋20).解法一：去括号，得17 x ＋2＝14 x ＋5.移项、合并同类项，得－328 x ＝3方程的两边都除以－328，得x ＝－28.解法二：去分母，得4(x ＋14)＝7(x ＋20). 去括号，得4x ＋56＝7x ＋140. 移项、合并同类项，得－3x ＝84. 方程的两边都除以－3，得x ＝－28.学生独立完成，写出解题过程，教师点评并引导学生总结解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.例8 (课件出示教材第144页例8)要求学生用两种方法解答并写出解题过程，教师点评． 三、课堂练习1．教材第139页“随堂练习”．2．解方程：3x ＋12 －2＝3x －210 －2x ＋35 .【答案】2.x ＝716四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．如何解含有分母的一元一次方程？ 3．解一元一次方程的步骤有哪些？ 五、课后作业教材第145页习题5.2第5题．本节课主要内容是解一元一次方程的重要步骤——去分母，及解一元一次方程．在教学过程中，学生通过思考、讨论、练习，归纳出去分母的依据和解一元一次方程的步骤，体现了学生的主体地位，培养了学生的自主学习能力．课堂上，通过讲练结合，使学生熟悉解一元一次方程的步骤及其注意事项．强调根据具体情况选择解一元一次方程的方法，培养学生具体问题具体分析的能力．5．3 一元一次方程的应用 第1课时 图形的等积变形问题1．通过分析图形问题中的等量关系，建立方程解决问题；2．进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．重点列一元一次方程解简单的图形变化的实际问题．难点从复杂问题中寻找等量关系．一、导入新课1．课件出示两瓶矿泉水(容量一样，一瓶短而宽，另一瓶长而窄).教师：哪瓶矿泉水多？为什么？2．教师演示：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个“又矮又胖”的圆柱．教师：在刚才操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？学生思考后回答问题，教师点评．二、探究新知某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料．经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？(1)这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)设新包装的高度为x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？有关量旧包装新包装底面半径/cm 3.33高/cm12x容积/cm3π×3.32×12π×32×x(3)引导学生找出等量关系：旧包装的容积＝新包装的容积．设新包装的高度为x cm.根据等量关系，列出方程：π×3.32×12＝π×32×x解这个方程，得x＝14.52因此，易拉罐的高度将变为14.52 cm.归纳：列一元一次方程解应用题的步骤：1、审题，2、设未知数，3、列方程，4、解方程，5、作答．课件出示实验题：一个圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个长方体形状的可盛水的盒子里(玻璃杯的容积大于长方体的容积)，当盒子装满水时，玻璃杯中的水下降了多少？要求学生用玻璃杯按要求分组实验后，全班交流各组得到的结果及解决问题的方法、步骤，并派小组代表进行操作示范、讲解．教师巡视课堂，指导、参与学生的实验．例1 用一根长为10 m 的铁丝围成一个长方形．(1)如果该长方形的长比宽多1.4 m ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？(2)如果该长方形的长比宽多0.8 m ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？你能分别用含未知数的式子表示它们的数量关系吗？让学生独立完成解答过程，然后教师点评．在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流．三、课堂练习1．教材第149页“随堂练习”．2．某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m 的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m 减少为3.2 m ．那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4 m 变为多少米？【答案】2.设水箱的高度由原先的4 m 变为x m ，由题意列方程为π×(42 )2×4＝π×(3.22)2×x ，解得x ＝6.25.答：水箱的高度由原先的4 m 变为6.25 m 四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．列一元一次方程解实际问题时，关键是什么？ 五、课后作业教材第154页习题5.3第1，4，5题．本节课是一元一次方程的应用——易拉罐变形．在课堂上，让学生观察易拉罐由“矮”变“高”的变化过程，引导学生找出问题中的等量关系，列出方程，并解方程，使问题得到解决．通过学生自己动手操作实验、思考、计算、讨论，调动学生学习的积极性和主动性，充分体现“自主、合作、交流、探究”的新课程理念．观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程．第2课时 盈余与不足问题1．理解盈余与不足之间的数量关系；2．会通过列表格解一元一次方程的有关问题．重点理解盈余与不足之间的数量关系．难点列表格解一元一次方程的有关问题．一、导入新课教师：列方程解决实际问题的关键是什么呢？学生回答，教师点评．教师：今天，我们学习一元一次方程的一个应用——盈余与不足问题．二、探究新知课件出示问题：《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？(1)问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？(2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表．有关量每人出8钱每人出7钱人数x x出钱总数8x 7x物价8x－37x＋4(3)设人数为x.根据等量关系，列出方程：8x－3＝7x＋4解这个方程，得x＝7因此，人数为7人，物价为53钱．如果设物价为y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流．例2《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？有关量每人出400钱每人出300钱人数x x出钱总数400x 300x金价400x－3400300x－100解：设合伙人数为x，则金价可表示为400x－3400，还可表示为300x－100，根据等量关系，列出方程：400x－3400＝300x－100.解这个方程，得x＝33.300×33－100＝9800.因此，人数为33，金价为9800钱．对于例2，如果设金价为y，能列出怎样的方程？归纳：《九章算术》给出了一种算法：人数＝两次剩余钱数之差∶两次每人所出钱数之差；物价＝每人出的较多钱数×人数－剩余钱数，物价＝每人出的较少钱数×人数＋不足的钱数．教师：通过上面的讲解和练习，你能总结出列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？引导学生总结：①分析问题，找出等量关系式；②列出方程，求出方程的解；③验证方程的解是否合理．三、课堂练习1．教材第150页“随堂练习”．四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．盈余与不足问题中如何找等量关系？3．列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？五、课后作业教材第154页习题5.3第7题．本节课是一元一次方程的应用——盈余与不足．在教学过程中，通过由具体实例中的数量关系分析、思考，形成方程的模型，初步培养学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力．通过分组学习，让学生学会在活动中与他人合作、交流，调动学生学习的积极性和主动性，体现了以人为本的现代教学理念．第3课时行程问题1．通过画线段图分析追及问题中的数量关系，找出等量关系；2．进一步培养学生分析问题、解决问题的能力；3．学会用一元一次方程解决复杂的实际问题．重点找出追及问题中的等量关系，列出方程，解决实际问题．难点通过画线段图找等量关系．一、导入新课问题1：以前学习的行程问题中，路程、速度、时间三者间有什么关系？问题2：若小明每秒跑4 m，那么他5 s能跑多少米？。

一元一次方程应用题所有题型及等量关系一、行程问题1. 相遇问题等量关系：甲走的路程+乙走的路程 = 总路程。

比如说，小明和小红分别从A、B两地相向而行，小明的速度是v1，行走时间是t1，小红的速度是v2，行走时间是t2。

如果他们同时出发，那么总路程S = v1t1+v2t2。

这里就像两个人约好了见面，他们走过的路加起来就是两地之间的距离啦。

2. 追及问题等量关系：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 原来相距的路程。

就像在跑步比赛中，甲速度快，乙速度慢，甲在乙后面一段距离开始追，甲跑的距离减去乙跑的距离就是开始时他们相差的距离呢。

设甲速度为v1，追及时间为t，乙速度为v2，开始相距距离为S，那么S = v1t - v2t。

3. 环形跑道问题同向而行等量关系：快者跑的路程 - 慢者跑的路程 = 环形跑道一圈的长度。

比如在环形跑道上，甲比乙快，跑了一段时间后，甲比乙多跑了一圈。

设甲速度v1，时间t，乙速度v2，跑道一圈长度为L，那么L = v1t - v2t。

背向而行等量关系：甲跑的路程+乙跑的路程 = 环形跑道一圈的长度。

就好像两个人从同一点反向出发，跑了一会儿后，他们跑的路程加起来就是跑道一圈的长度啦。

二、工程问题1. 基本工程问题等量关系：工作效率×工作时间 = 工作量。

假设甲的工作效率是a，工作时间是t，工作量是W，那么W = at。

如果是多人合作的工程问题，比如说甲、乙合作完成一项工程，甲的工作效率是a，乙的工作效率是b，合作时间是t，总工作量为1（把整个工程看作单位1），那么等量关系就是(a + b)t = 1。

这就好比大家一起做蛋糕，每个人做的速度乘以做的时间，加起来就是整个蛋糕啦。

2. 工程问题中的进水排水问题等量关系：进水量 - 排水量+原有水量 = 最终水量。

例如一个水池，进水管的进水效率是a，排水效率是b，原有水量是m，经过t时间后，水池里的水量n，那么n = at - bt+m。

第一篇：一元一次方程及其解法教案课题：沪科版数学七年级（上册）§3.1 一元一次方程及其解法（第一课时）合肥市五十五中学蔡新莲一．教材分析：学生在小学已经学过列方程解简单应用题，但所学方程形式较简单，仅限于ax b c,ax bx c 的形式，(a,b,c,x都是非负数)。

本节教科书在描述一元一次方程的概念后，利用等式性质来解一元一次方程（比小学更为广泛），一元一次方程的解法是应用一元一次方程解决实际问题，解二元一次方程组及一元二次方程等内容的基础，是代数中的重要内容。

二．教学目标：1．通过对多个实际问题的分析，感受方程是刻画现实世界的有效模型体会学习方程的意义在于解决实际问题。

2．通过观察，归纳一元一次方程的概念。

3．理解等式的基本性质，会根据等式的基本性质解方程。

三．教学重难点：重点：一元一次方程的概念，运用等式的性质解方程难点：运用等式的性质解方程。

四．教学流程：1. 通过一些具体问题，引出一元一次方程概念。

2. 复习等式的基本性质。

3. 利用等式的基本性质，解一元一次方程。

五．教具准备：教师：多媒体课件，投影仪学生：练习本六．教学过程：（一）。

创设情境，引出概念问题1：在2008年北京奥运会中，中国共获得了51枚金牌，比澳大利亚的3倍还多9枚，问澳大利亚共获得了多少枚金牌？设澳大利亚共获得了x枚金牌，引导学生列出等量关系式：3x951问题2：王玲今年12岁,她爸爸今年36岁, 问再过几年,他爸爸的年龄是她年龄的2倍？设再过x年，他爸爸的年龄是她的2倍，引导学生列出等量关系式：36x2(12x)观察思考：上面的两个式子有什么共同点？【设计意图】用学生感兴趣的身边的例子引入，唤起同学的注意力，同时也为下面得到一元一次方程的概念埋下伏笔。

师生互动：得到一元一次方程的概念，同时教师明确方程的解的概念，指出一元方程的解也叫做根。

考考你：1.判断下列式子是不是一元一次方程：(1)2x45x 3(4)x 32.判断对错:(1)x=2是方程x-10=4x的解. (2)x y1(5)3x1(3)3a211(6)x1x(2)x=3和x=-3都是方程x290的解.【设计意图】加深对一元一次方程及根的理解。

初一上册数学一元一次方程所有题型等量关系式
（1）等积类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积）＝变形后的体积（容积）。

（2）调配类应用题的特点是：调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。

（3）利息类应用题的基本关系式：本金×利率＝利息，本金＋利息＝本息。

（4）商品利润率问题：商品的利润率，商品利润＝商品售价－商品进价。

（5）工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体1，其中，工作效率＝工作总量÷工作时间。

（6）行程类应用题基本关系：路程＝速度×时间。

相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。

追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。

环形跑道题：
①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。

②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。

飞行问题、基本等量关系：①顺风速度＝无风速度＋风速②逆风速度＝无风速度－风速顺风速度－逆风速度＝2×风速航行问题，基本等量关系：①顺水速度＝静水速度＋水速②逆水速度＝静水速度－水速顺水速度－逆水速度＝2×水速（7）比例类应用题：若甲、乙的比为2：3，可设甲为2x，乙为3x。

（8）数字类应用题基本关系：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这三位数为：。

（9）浓度问题：溶质＝溶液×浓度（），溶液＝溶质＋溶剂。

1。

一元一次方程教案最新7篇元一次方程教学设计篇一一、教材分析1、教材地位和作用本节课是义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册第五章《一元一次方程》中第一节课的内容。

是小学与初中知识的衔接点，学生在小学已经初步接触过方程，了解了什么是方程，什么是方程的解，并学会了用逆运算法解一些简单的方程。

并在前一章刚学过整式的概念及其运算的基础上，本节课将带领学生继续学习方程、一元一次方程等内容。

要求教师帮助学生在现实情境中，通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界的模型的意义，建立方程归纳得出一元一次方程的概念并用尝试检验法来求解，同时也为学生进一步学习一元一次方程的解法和应用起到铺垫作用。

2、教学目标综上分析及教学大纲要求，本课时教学目标制定如下：⒈.通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义⒈.会根据简单数量关系列方程，通过观察、归纳一元一次方程的概念⒈.体会解决问题的一种重要的思想方法----尝试检验法⒈.回顾理解等式的两个性质，并初步学会利用等式的两个性质解一元一次方程3、教学重点和难点重点：一元一次方程的概念和用尝试检验法求方程的解难点：利用等式的两个性质解一元一次方程二、教法与学法分析：教法方法与手段：本节课利用多媒体教学平台，在概念教学设计中，注意遵循人们认识事物的规律，从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深。

从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”建立方程模型。

采用教师引导，学生自主探索、观察、归纳的教学方式。

利用多媒体和天平演示等教学设备辅助教学，充分调动学生的积极性。

学法指导：根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导了新课程的自主探究、合作交流的学习方法。

通过对学生原有知识水平的分析，创设情境，使数学回到生活，鼓励学生思考，探索情境中的所包含的数量关系，学生在经历“建立方程模型”这一数学化的过程后，理解学习方程和一元一次方程的意义，培养学生抽象概括等能力。

《一元一次方程》教学设计《一元一次方程》教学设计1今天上了一元一次方程的专题复习——行程问题，设计思路如下：学生首先回顾了行程问题的三个基本量及它们之间的关系（路程=速度乘以时间），及有上述关系式得到的其它式。

然后由学生上台讲解预习提纲中学生认为有疑问的题目（上课前通过抽查学生预习提纲获得的信息），题目如下：一列火车从A站开往B站，已知A，B两地相距500千米，若火车以80千米/时的速度行驶，能准时到达B站，现火车以65千米/时的速度行驶了2小时30分后把速度提高到95千米/时，通过计算说明该火车能否准时到达B站。

若不能准点到达，则应在2小时30分后把速度变为多少才能准点到达？（学生讲解时教师示意用线段图辅助）。

再次以四人小组互助研讨预习中存在的个案问题，教师深入各小组（特别是比较薄弱的小组进行题目的个别指导），然后学生把预习题目分类，总结行程问题的类型及每类问题常用的等量关系。

教师点拨行程问题可用画线段图的方法直观的表示来理解题意。

最后，学生做拓展提升题目，教师进行面批指导。

反思：本节课能充分放手，让学生真正成为学习的主体，在自主展示、合作交流中锻炼了思维，提升了智慧，使课堂真正成为学生自由发展的天空。

但也有一点点担心：学生在小组合作中是否每个学生都能把题目本身和思想方法通过交流悟透呢。

《一元一次方程》教学设计2一、教学目标【知识与技能】1、理解一元一次方程，以及一元一次方程解的概念。

2、会从题目中找出包含题目意思的一个相等关系，列出简单的方程。

3、掌握检验某个数值是不是方程解的方法。

【过程与方法】在实际问题的过程中探讨概念，数量关系，列出方程的方法，训练学生运用新知识解决实际问题的能力。

【情感态度和价值观】让学生体会到从算式到方程是数学的进步，体现数学和日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，激发学生学习数学的热情。

二、教学重点建立一元一次方程的概念，寻找相等关系，列出方程。

5.3《一元一次方程的应用》教学设计教材分析本节课是北师大版（ 2024）七年级上册的第五章第三节（《一元一次方程的应用》教学内容，它是学生学习完一元一次方程的概念和解法后的第一个模型应用内容，目的是让学生感受一元一次方程是刻画现实世界常见的数学模型之一。

本节课内容与学生现实生活结合紧密，这样可以让学生更容易根据问题中的数量关系建立方程模型。

与此同时，由于本节课是学生首次经历建立数学模型并求解的全过程，所以对于本课的教学，需引导学生真正经历从实际问题中获得等量关系、建立和求解一元一次方程模型的全过程，感悟模型思想，为以后学习研究其他数学模型奠定基础。

因此，本节课无论是在知识上还是思想方法及能力上都起着举足轻重的作用。

本节课的重点是通过对实际问题所涉及的数学关系的理解，找到图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化。

难点是审清题意，关键让学生抓住图形问题中的不变量。

核心素养目标：思维品质、能正确分析应用题的题意，找出题中的不变量——等量关系，设未知数、列方程、求解并检验解的合理性。

数学建模、通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力。

情感态度与价值观、通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望。

教学重点与难点：重点：能正确分析应用题的题意，找出题中的不变量——等量关系，设未知数、列方程、求解并检验解的合理性。

难点：通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力。

课前准备：多媒体课件、细绳、小球、水杯。

教学过程：一、创新情境，引入新课活动内容：情境1：成语（ 朝三暮四”的故事（ 附内容：从前有个人养了一群猴子.每天早晨和晚上都喂每只猴子四个橡子，可是他家里越来越穷了，已经买不起这么多橡子了，这可怎么办，于是他想了一个办法，第二天他对猴子们说，从今天开始，每天早上给你们三个橡子，晚上给四个，猴子们一听，早上的比晚上的少，气的大叫起来，那个人灵机一动，连忙改口说，要不我每天早上给你们四个橡子，晚上三个橡子，这样总可以了吧，猴子们一听，早上比晚上多，都高兴的跳了起来。

《一元一次方程》说课稿尊敬的各位老师，大家好！我是X号考生。

对于本节课我将从教材分析、学情分析、教学目标及教学过程等多个方面进行阐述。

首先谈谈我对教材的理解一、说教材《一元一次方程》是人教版七年级上册第三章第一节的内容，在此之前，学生已在小学学习了用算术方法解应用题及简易方程，本节课通过一个具体的行程问题，首先让学生尝试用算术的方法解决，然后再逐步引导学生依据相等关系列出含未知数的等式——方程。

这样安排突出方程的根本特征，引出方程的定义，突出方程在解应用题的优越性。

同时，本节课内容也是进一步学习一元一次方程解法及应用的基础，又为今后学习一次函数、一元二次方程等知识作铺垫。

为了更好的因材施教，在课程教学之前分析学情很有必要二、说学情本节课的授课对象是七年级的学生，该年级段的学生具有活泼、好动的特点，对新的知识内容好奇心较强易于接受。

但是，这个时期的学生认识问题不能全面周到，所以在教学中我会注意引导和启发学生，并有意识的去培养他们的数学表达能力和归纳能力。

根据对教材的结构和内容分析，结合着学生的认知结构及其心理特征，我制定了以下三维教学目标三、说教学目标1.知识与技能目标：掌握一元一次方程的概念及解的概念，懂得判断所给方程是否为一元一次方程。

会根据数量关系或简单问题情境列一元一次方程。

2.过程与方法目标：通过根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程，提高学生获取信息、分析问题、处理问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：经历和体验列方程解决实际问题的过程，进一步体会从算式到方程是数学的进步，感受数学与生活的密切联系，促进数学的应用意识，激发学习数学的激情。

基于以上分析，本节课的重点难点就显而易见了，重点是XX，难点是XX四、说教学重难点重点：一元一次方程的概念，根据等量关系正确列出方程。

难点：准确把握一元一次方程的概念在教学过程中运用合理、有效的教学手段有利于突出重点、突破难点并实现预设的教学目标，根据这一理念我谈谈我采用的教学方法五、说教学方法本节课利用多媒体教学平台，在概念教学设计中，注意遵循人们认识事物的规律，从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深。