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立体几何的表面积和体积立体几何是数学的一个分支，研究物体在三维空间中的形状、大小等性质。
其中，表面积和体积是两个重要的概念。
表面积指的是物体表面所覆盖的面积，而体积则是物体所占据的空间大小。
本文将详细探讨立体几何中表面积和体积的计算方法及其应用。
一、表面积的计算方法表面积是指立体物体表面所覆盖的总面积。
不同形状的物体有不同的计算方法，下面将分别介绍常见几何体的表面积计算方法。
1. 立方体的表面积计算立方体是最简单的几何体之一，其六个面都是相等的正方形。
因此，立方体的表面积可以通过计算一个面的面积，并乘以六来得到。
设立方体的边长为a，则其表面积S可以表示为S = 6a^2。
2. 正方体的表面积计算正方体是特殊的立方体，其六个面也都是正方形。
同样地，正方体的表面积可以通过计算一个面的面积，并乘以六来得到。
设正方体的边长为a，则其表面积S = 6a^2。
3. 圆柱体的表面积计算圆柱体由一个长方形的侧面和两个圆形的底面组成。
要计算圆柱体的表面积，需要先计算侧面的面积，然后再加上两个底面的面积。
设圆柱体的底面半径为r，高为h，则侧面的面积可以表示为A = 2πrh，底面的面积表示为B = πr^2。
因此，圆柱体的表面积S = A + 2B = 2πrh + 2πr^2。
4. 球体的表面积计算球体是具有最大体积的几何形状，其表面积的计算稍微复杂一些。
设球体的半径为r，则球体的表面积S = 4πr^2。
二、体积的计算方法体积是指立体物体所占据的空间大小。
与表面积类似，不同几何体有不同的计算方法。
1. 立方体的体积计算立方体的体积可以通过计算边长的立方来得到，即V = a^3。
2. 正方体的体积计算正方体的体积与立方体的计算方法相同，也是通过计算边长的立方来得到。
设正方体的边长为a，则它的体积V = a^3。
3. 圆柱体的体积计算圆柱体的体积可以通过计算底面的面积，并乘以高来得到。
设圆柱体的底面半径为r，高为h，则它的体积V = πr^2h。
高考二轮专题复习【空间几何体】空间几
何体的表面积与体积
本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．规律总结：柱、锥、台、球体及其简单的组合体的表面积与体积问题是历年高考必考内容，把简单几何体的表面积、体积问题与三视图结合在一起是近几年的热点问题，而多面体与球的组合问题(特别是球的外接与内切问题)既是近几年的热点问题，又是难点问题．简单几何体的表面积与体积的考查，一般为中低档试题，但近年有加大难度的趋势；且创新力度较大，一般以选择题、填空题为主．。
空间几何体的表面积与体积计算在几何学中，表面积和体积是描述空间几何体特征的重要参数。
通过计算表面积和体积，我们可以更好地理解和比较不同几何体的性质。
本文将介绍一些常见几何体的表面积和体积计算方法，并提供实例进行说明。
立方体是最简单的立体几何体之一。
它的六个面都是正方形，具有相同的边长。
对于一个边长为a的立方体，其表面积计算公式为：表面积 = 6a²，体积计算公式为：体积 = a³。
例如，一个边长为5厘米的立方体，其表面积为6 × 5² = 150平方厘米，体积为5³ = 125立方厘米。
长方体与立方体相似，但它的六个面具有不同的长和宽。
对于一个长宽高分别为a、b、c的长方体，其表面积计算公式为：表面积 = 2ab+ 2ac + 2bc，体积计算公式为：体积= abc。
假设一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米，则它的表面积为2 × 3 × 4 + 2 × 3 ×5 + 2 × 4 × 5 = 94平方厘米，体积为3 × 4 × 5 = 60立方厘米。
圆柱体是一个基于圆形截面旋转而成的几何体。
它具有一个圆形底面和一个平行于底面的圆形顶面，并由一个连接两个底面的曲面侧边所构成。
对于一个底面半径为r、高度为h的圆柱体，其表面积计算公式为：表面积= 2πr² + 2πrh，体积计算公式为：体积= πr²h。
假设一个底面半径为2厘米、高度为6厘米的圆柱体，则它的表面积为2 × 3.14 × 2² + 2 × 3.14 × 2 × 6 = 100.48平方厘米，体积为3.14 × 2² × 6 = 75.36立方厘米。
球体是一个几何体，其表面由所有与球心距离相等的点组成。
几何体的表面积与体积计算一、立体几何体表面积的计算方法立体几何体是空间中具有一定形状的物体，它们的表面积和体积是我们在几何学中经常计算的重要内容。
下面将介绍几种常见的几何体表面积的计算方法。
1. 立方体的表面积计算公式立方体是一种六个面都是正方形的立体几何体。
它的表面积计算公式为S=6a^2，其中a表示正方形的边长。
2. 正方体的表面积计算公式正方体是一种六个面都是正方形的立体几何体，与立方体的区别在于正方体各个边的长度相等。
它的表面积计算公式与立方体相同，也是S=6a^2。
3. 长方体的表面积计算公式长方体是一种六个面都是矩形的立体几何体，它的表面积计算公式为S=2(ab+ac+bc)，其中a、b、c分别表示矩形的三条边长。
4. 圆柱体的表面积计算公式圆柱体是一种由一个矩形和两个圆所围成的几何体。
它的表面积计算公式为S=2πr^2+2πrh，其中r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高。
5. 圆锥体的表面积计算公式圆锥体是一种由一个圆和一个由圆所围成的锥面组成的几何体。
它的表面积计算公式为S=πr^2+πrl，其中r表示底面圆的半径，l表示从圆心到圆锥顶点的直线距离。
6. 球体的表面积计算公式球体是一种由无数个半径相等的小球所围成的几何体，它的表面积计算公式为S=4πr^2，其中r表示球体的半径。
二、立体几何体体积的计算方法除了表面积，立体几何体的体积也是我们经常需要计算的。
下面将介绍几种常见的几何体体积的计算方法。
1. 立方体的体积计算公式立方体的体积计算公式为V=a^3，其中a表示正方形的边长。
2. 正方体的体积计算公式正方体的体积计算公式与立方体相同，也是V=a^3。
3. 长方体的体积计算公式长方体的体积计算公式为V=abc，其中a、b、c分别表示矩形的三条边长。
4. 圆柱体的体积计算公式圆柱体的体积计算公式为V=πr^2h，其中r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高。
5. 圆锥体的体积计算公式圆锥体的体积计算公式为V=1/3πr^2h，其中r表示底面圆的半径，h表示圆锥体的高。
高中数学立体几何体的表面积与体积求解在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，涉及到的知识点包括立体的表面积与体积的求解。
本文将通过具体的例题来说明如何求解不同类型的立体几何体的表面积与体积，并提供一些解题技巧和指导。
一、长方体的表面积与体积求解长方体是最常见的立体几何体之一，它的六个面都是矩形。
我们可以通过求解长方体的表面积与体积来熟悉立体几何的计算方法。
例题1：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求它的表面积和体积。
解析：长方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于底面积乘以高。
根据题目给出的数据，我们可以计算得到该长方体的表面积和体积。
表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高) = 2(3×4 + 3×5 + 4×5) = 94cm²体积 = 长×宽×高 = 3×4×5 = 60cm³通过这个例题，我们可以看到求解长方体的表面积和体积的方法是比较简单的，只需要根据公式进行计算即可。
在实际应用中，我们可以通过测量长方体的边长来求解它的表面积和体积。
二、正方体的表面积与体积求解正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。
与长方体类似，我们也可以通过求解正方体的表面积与体积来加深对立体几何的理解。
例题2：一个正方体的边长为6cm，求它的表面积和体积。
解析：正方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于边长的立方。
根据题目给出的数据，我们可以计算得到该正方体的表面积和体积。
表面积 = 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 = 216cm²体积 = 边长的立方 = 6³ = 216cm³从这个例题中，我们可以看到正方体的表面积和体积是相等的，这是因为它的六个面都是正方形，所以每个面的面积都相等。
空间几何体的表面积及体积计算公式空间几何体是指在三维坐标系中存在的几何图形，包括立方体、圆锥体、圆柱体、球体等等。
对于这些几何体来说，求其表面积和体积是我们在学习空间几何时需要掌握的核心内容。
下面我们将详细介绍各种空间几何体的表面积及体积的计算公式。
一、立方体立方体是一种六个面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为立方体的边长。
二、正方体正方体是一种所有面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为正方体的边长。
三、圆锥体圆锥体是一种由一个圆锥顶点和一个底面为圆形的仿射锥面构成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= πr²+πrl体积= 1/3πr²h其中，r为底面圆半径，l为母线长度，h为圆锥体的高。
四、圆柱体圆柱体是一种由平行于固定轴的两个相等且共面的圆面和它们之间的圆柱面所围成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 2πrh+2πr²体积= πr²h其中，r为底面圆半径，h为圆柱体的高。
五、球体球体是一种由所有到球心的距离等于固定半径的点所组成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 4πr²体积= 4/3πr³其中，r为球体的半径。
以上就是五种常见空间几何体的表面积及体积计算公式，希望能够对大家在学习空间几何时有所帮助。
同时，我们也需要关注其实际应用，在工程建设和生活中经常会涉及到这些几何体的计算，因此深化这些知识点的学习，将对我们未来的发展产生积极的影响。
初中数学知识归纳空间几何体的表面积和体积的计算初中数学知识归纳：空间几何体的表面积和体积的计算在初中数学学习中，我们学习了许多与空间几何体有关的概念和计算方法。
其中，计算空间几何体的表面积和体积是最基本的技能之一。
本文将对空间几何体的表面积和体积的计算进行归纳总结。
1. 直方体的表面积和体积计算直方体是一种常见的空间几何体，它的六个面都是长方形。
我们可以通过以下公式计算直方体的表面积和体积：表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)体积 = 长 ×宽 ×高在计算过程中，需要注意长、宽、高的单位要保持一致。
例如，如果长宽高的单位是厘米，那么计算得出的表面积和体积也都应该用厘米作为单位。
2. 正方体的表面积和体积计算正方体是一种特殊的直方体，它的六个面都是正方形。
正方体的表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 ×边长^2体积 = 边长^3在计算正方体的表面积和体积时，需要注意边长的单位要保持一致。
3. 圆柱体的表面积和体积计算圆柱体是由一个圆面和一个矩形面组成的空间几何体。
我们可以通过以下公式计算圆柱体的表面积和体积：表面积= 2πr(r+h) + πr^2体积= πr^2h其中，r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高。
4. 球体的表面积和体积计算球体是一个完全由曲面构成的空间几何体，它的所有点到球心的距离都相等。
我们可以通过以下公式计算球体的表面积和体积：表面积= 4πr^2体积= (4/3)πr^3其中，r表示球体的半径。
5. 金字塔的表面积和体积计算金字塔是由一个多边形的底面和若干个三角形的侧面组成的空间几何体。
金字塔的表面积和体积计算公式如下：表面积 = 底面积 + (底边长×斜高)/2体积 = (底面积×高)/3在计算金字塔的表面积和体积时，需要注意底边长、高、斜高的单位要保持一致。
通过以上的归纳总结，我们可以掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法。
中考复习重点复习立体几何中的体积与表面积计算在中考复习中，立体几何是一个重要的考点，其中体积与表面积的计算是必须掌握的内容。
以下是关于立体几何中体积与表面积计算的复习重点。
一、体积的计算对于不同的几何体，计算体积的方法也不尽相同。
以下是几种常见几何体的体积计算方法。
1. 立方体的体积计算：立方体的体积等于一条边的立方，即体积 = 边长^3。
2. 直方体的体积计算：直方体的体积等于底面积乘以高度，即体积 = 底面积 ×高度。
3. 圆柱体的体积计算：圆柱体的体积等于底面积乘以高度，即体积 = 圆的面积 ×高度。
4. 圆锥体的体积计算：圆锥体的体积等于底面积乘以高度再除以3，即体积 = 圆的面积 ×高度 / 3。
5. 球体的体积计算：球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，即体积= 4/3πr^3。
二、表面积的计算与体积不同，表面积是指几何体各个面的总面积。
1. 立方体的表面积计算：立方体的表面积等于一条边的平方乘以6，即表面积= 6 ×边长^2。
2. 直方体的表面积计算：直方体的表面积等于长方体各个面的总面积，即表面积 = 2 ×（长×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高）。
3. 圆柱体的表面积计算：圆柱体的表面积等于圆柱的侧面积加上两个底面积，即表面积 =2πrh + 2πr^2。
4. 圆锥体的表面积计算：圆锥体的表面积等于圆锥的侧面积加上底面积，即表面积= πrl +πr^2。
5. 球体的表面积计算：球体的表面积等于4πr^2。
通过以上的复习重点，我们可以对立体几何中的体积与表面积计算有一个清晰的认识。
要注意根据不同的几何体选择相应的公式进行计算。
在复习过程中，可以通过做大量的练习题来加深对体积与表面积计算的理解和掌握。
祝你在中考中取得优异的成绩！。
立体几何体的表面积与体积计算立体几何体是指具有三个尺寸（长度、宽度和高度）的物体。
在几何学中，了解如何计算立体几何体的表面积和体积是非常重要的。
本文将介绍几种常见立体几何体的表面积和体积计算方法。
一、立方体的表面积与体积计算立方体是最简单的一种立体几何体，其所有边长相等。
要计算立方体的表面积，只需将六个面的面积相加。
假设一个立方体的边长为a，则其表面积S可以通过公式S = 6a^2求得。
另外，立方体的体积V可以通过公式V = a^3计算得到。
二、长方体的表面积与体积计算长方体是另一种常见的立体几何体，它拥有两个不同的边长和一个高度。
要计算长方体的表面积，可以将其面分为六个矩形，然后分别计算每个矩形的面积并相加。
假设长方体的长、宽、高分别为a、b和c，则其表面积S可以通过公式S = 2(ab + ac + bc)求得。
长方体的体积V可以通过公式V = abc计算得到。
三、圆柱体的表面积与体积计算圆柱体由一个圆柱体和两个平行于圆底的圆锥体组成。
要计算圆柱体的表面积，可以先计算圆柱的侧面积和两个底面积，然后相加。
假设圆柱体的半径为r，高度为h，则其侧面积Sl可以通过公式Sl = 2πrh 求得，底面积St可以通过公式St = πr^2求得。
因此，圆柱体的表面积S = 2πrh + 2πr^2。
圆柱体的体积V可以通过公式V = πr^2h计算得到。
四、金字塔的表面积与体积计算金字塔是由一个底面为多边形、侧面为三角形的立体几何体。
要计算金字塔的表面积，首先计算底面的面积，然后计算侧面的面积并相加。
假设金字塔的底面积为B，侧面的面积之和为Ss，则金字塔的表面积S = B + Ss。
金字塔的体积V可以通过公式V = (1/3)Bh计算得到，其中h为金字塔的高度。
五、球体的表面积与体积计算球体是唯一一个没有平面面积的立体几何体。
要计算球体的表面积，可以使用球体的半径r来计算。
球体的表面积S可以通过公式S =4πr^2求得。
专题限时集训(九)空间几何体表面积或体积的求解[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．(2016·石家庄二模)一个三棱锥的正视图和俯视图如图10-13所示，则该三棱锥的侧视图可能为()图10-13D[分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.]2．(2016·郑州一模)一个几何体的三视图如图10-14所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()图10-14 A.433B.53 3C.23D.83 3B [由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥P -ABCDE ，∴体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＋22×3＝533，故选B.]3．(2016·开封一模)在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为( )A.253πB.252πC.833πD.832πD [由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，∴x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝546，∴R 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π，故选D.]4．(2016·湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图10-15所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为( )图10-15A. 3B.2 3C.3 3D.4 3B[分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1截去四棱锥A-BEDC得到的，故其体积V＝34×22×3－13×1＋22×2×3＝23，故选B.]5．(2016·广州二模)如图10-16，网格纸上小正方形的边长为1，图10-16粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为() A．8＋82＋4 6B．8＋82＋2 6C.2＋22＋ 6D.12＋22＋64A [在正方体中还原出该四面体C -A 1EC 1如图所示，可求得该四面体的表面积为8＋82＋4 6.] 二、填空题 6．(2016·昆明一模)已知三棱锥P -ABC 的顶点P ，A ，B ，C 在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为________． 3＋22 [依题意，边长是3的等边△ABC 的外接圆半径r ＝12·3sin 60°＝1.∵球O 的表面积为36π＝4πR 2，∴球O 的半径R ＝3，∴球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝22，∴球面上的点P 到平面ABC 距离的最大值为R ＋d ＝3＋2 2.]7．(2016·山东省实验中学模拟)三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 14[如图，设S △ABD ＝S 1，S △P AB ＝S 2，E 到平面ABD 的距离为h 1，C 到平面P AB 的距离为h 2，则S 2＝2S 1，h 2＝2h 1，V 1＝13S 1h 1，V 2＝13S 2h 2，所以V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝14.] 8．(2016·海口二模)半径为2的球O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．16(π－2) [设内接正四棱柱底边长为a ，高为h ，那么16＝2a 2＋h 2≥22ah ，正四棱柱的侧面积S＝4ah≤162，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16(π－2)．]三、解答题9．(2016·合肥二模)如图10-17，P为正方形ABCD外一点，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2，E为PD的中点．图10-17(1)求证：P A⊥CE；(2)求四棱锥P-ABCD的表面积．[解](1)证明：取P A的中点F，连接EF，BF，则EF∥AD∥BC，即EF，BC共面．∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，又BC⊥AB且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥P A.3分∵PB＝AB，∴BF⊥P A，又BC∩BF＝B，∴P A⊥平面EFBC，∴P A⊥CE.6分(2)设四棱锥P-ABCD的表面积为S，∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC＝B，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，即△PCD为直角三角形，8分由(1)知BC⊥平面P AB，而AD∥BC，∴AD⊥平面P AB，故AD⊥P A，即△P AD也为直角三角形．S▱ABCD＝2×2＝4，S △PBC ＝S △P AB ＝S △PDA ＝12×2×2＝2，S △PCD ＝12×2×22＋22＝22，10分∴S 表＝S ▱ABCD ＋S △PBC ＋S △PDA ＋S △P AB ＋S △PCD＝10＋2 2.12分10．(2016·湖北七市模拟)如图10-18，一个侧棱长为l 的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1容器中盛有液体(不计容器厚度)．若液面恰好分别过棱AC ，BC ，B 1C 1，A 1C 1的中点D ，E ，F ，G .图10-18(1)求证：平面DEFG ∥平面ABB 1A 1；(2)当底面ABC 水平放置时，求液面的高．[解] (1)证明：因为D ，E 分别为棱AC ，BC 的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE ∥AB .又DE ⊄平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，所以DE ∥平面ABB 1A 1.同理DG ∥平面ABB 1A 1，又DE ∩DG ＝D ，所以平面DEFG ∥平面ABB 1A 1.6分(2)当直三棱柱ABC -A 1B 1C 1容器的侧面AA 1B 1B 水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABC -A 1B 1C 1容器的高，即侧棱长l ，当底面ABC 水平放置时，设液面的高为h ，△ABC 的面积为S ，则由已知条件可知，△CDE ∽△ABC ，且S △CDE ＝14S ，所以S 四边形ABED ＝34S .9分由于两种状态下液体体积相等，所以V 液体＝Sh ＝S 四边形ABED l ＝34Sl ，即h ＝34l .因此，当底面ABC 水平放置时，液面的高为34l .12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·沈阳一模)如图10-19，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为()图10-19A．三棱台 B.三棱柱C.四棱柱D.四棱锥B[根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．]2．(2016·重庆二模)某几何体的三视图如图10-20所示，则该几何体的体积为()图10-20A.23 B.43C.53 D.73B[根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2，高为1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2，高为1)，因此该几何体的体积为1 2×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43，选B.]3．(2016·唐山二模)某几何体的三视图如图10-21所示，则该几何体的体积为( )图10-21A ．6π＋4B.π＋4C.5π2D.2πD [由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为π×12×1＋12π×12×2＝2π，故选D.]4．(2016·江西上饶三模)从点P 出发的三条射线P A ，PB ，PC 两两成60°角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若OP ＝3，则球的体积为( )A.π3B.2π3C.4π3D.8π3C [设OP 交平面ABC 于O ′，由题得△ABC 和△P AB 为正三角形，所以O ′A ＝33AB ＝33AP .因为AO ′⊥PO ，OA ⊥P A ， 所以OP OA ＝AP AO ′，AO ′AB ＝33，AO ′AP ＝33， 所以OA ＝OP ·O ′A AP ＝3×33＝1， 即球的半径为1，所以其体积为43π×13＝43π.选C.]二、填空题5．(2016·广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为________.55π6 [由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1, 其高h ＝1，∴球半径为R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＝1＋14＝54，∴该球的体积V ＝43πR 3＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫543π＝55π6.]6．如图10-22，在三棱锥A -BCD 中，△ACD 与△BCD 都是边长为4的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的表面积为________．图10-22803π [取AB ，CD 的中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，BF ，由题意知AF ⊥BF ，AF ＝BF ＝23，EF ＝12AF 2＋BF 2＝6，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，所以OE ＋OF ＝ 6. 设外接球的半径为R ，连接OA ，OC ，则有R 2＝AE 2＋OE 2，R 2＝CF 2＋OF 2，所以AE 2＋OE 2＝CF 2＋OF 2，(6)2＋OE 2＝22＋OF 2，所以OF 2－OE 2＝2，又OE ＋OF ＝6，则OF 2＝83，R 2＝203，所以该三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝803π.]三、解答题7．如图10-23，矩形CDEF 和梯形ABCD 互相垂直，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝12CD ，BE ⊥DF .图10-23(1)若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ；(2)若AB ＝2，求四棱锥E -ABCD 的体积．[解] (1)证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点，因为M 为EA 中点，所以MN ∥AC.2分又因为AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .4分(2)取CD 中点为G ，连接BG ，EG ，平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD ，7分所以ED 的长即为四棱锥E -ABCD 的高.8分在梯形ABCD 中，AB ＝12CD ＝DG ，AB ∥DG ，所以四边形ABGD 是平行四边形，BG ∥AD ，所以BG ⊥平面CDEF . 又DF ⊂平面CDEF ，所以BG ⊥DF ，又BE ⊥DF ，BE ∩BG ＝B ， 所以DF ⊥平面BEG ，DF ⊥EG .10分注意到Rt △DEG ∽Rt △EFD ，所以DE 2＝DG ·EF ＝8，DE ＝22，所以V E -ABCD ＝13S 梯形ABCD ·ED ＝4 2.12分 8．如图10-24，在多面体ABCDM 中，△BCD 是等边三角形，△CMD 是等腰图10-24直角三角形，∠CMD ＝90°，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点，连接OM .(1)求证：OM ∥平面ABD ；(2)若AB ＝BC ＝2，求三棱锥A -BDM 的体积．[解] (1)证明：∵△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD ＝90°，点O 为CD 的中点，∴OM ⊥CD .1分∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD ∩平面BCD ＝CD ，OM ⊂平面CMD ， ∴OM ⊥平面BCD .2分∵AB ⊥平面BCD ，∴OM ∥AB .3分∵AB ⊂平面ABD ，OM ⊄平面ABD ，∴OM ∥平面ABD .4分(2)法一：由(1)知OM ∥平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离.5分过点O作OH⊥BD，垂足为点H.∵AB⊥平面BCD，OH⊂平面BCD，∴OH⊥AB.6分∵AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD＝B，∴OH⊥平面ABD.7分∵AB＝BC＝2，△BCD是等边三角形，∴BD＝2，OD＝1，OH＝OD·sin 60°＝32.9分∴V三棱锥A-BDM ＝V三棱锥M-ABD＝13×12×AB·BD·OH＝13×12×2×2×32＝33.11分∴三棱锥A-BDM的体积为33.12分法二：由(1)知OM∥平面ABD，∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分∵AB＝BC＝2，△BCD是等边三角形，∴BD＝2，OD＝1.6分连接OB，则OB⊥CD，OB＝BD·sin 60°＝ 3.7分∴V三棱锥A-BDM ＝V三棱锥M-ABD＝V三棱锥O-ABD＝V三棱锥A-BDO＝13×12×OD·OB·AB＝13×12×1×3×2＝33.11分∴三棱锥A-BDM的体积为33.12分。
