[推荐学习]高中数学1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义同步训练新人教B版必修4

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习（含解析）新人教A版必修41．对于三角函数线，下列说法正确的是( )A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析当角的终边落在y轴上时，正切线不存在，但对任意角来说，正弦线、余弦线都存在．2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．y轴上 B．x轴上C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上答案 B解析由题意得|cosα|＝1，即cosα＝±1，角α终边在x轴上，故选B．A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1答案 C解析设1 rad角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，∵π4<1<π2，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1．4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a<c<b答案 C解析作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线，可知：b＝OM>0，a＝MP<0，c＝AT<0，且MP>AT．∴c<a<b．5．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A．sinα＋cosα B．tanα＋sinαC．cosα－tanα D．sinα－tanα答案 B解析如图，作出sinα，cosα，tanα的三角函数线．显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|．∵MP>0，AT<0，∴MP<－AT．∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0．6．已知MP，OM，AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则这三条线从小到大的排列顺序是________．答案OM<MP<AT解析如图，在单位圆中，∠POA＝75°>45°，由图可以看出OM<MP<AT．7．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)tan 4π3与tan 7π6；(2)cos 11π6与cos 5π3．解 (1)如图1所示，设点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，角4π3和角7π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，PO ，P ′O 的延长线与单位圆的过点A 的切线的交点分别为T ，T ′，则tan 4π3＝AT ，tan 7π6＝AT ′．由图可知AT >AT ′>0，所以tan 4π3>tan 7π6．(2)如图2所示，设角5π3和角11π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，过P ，P ′分别作x 轴的垂线，分别交x 轴于点M ，M ′，则cos 11π6＝OM ′，cos 5π3＝OM ．由图可知0<OM <OM ′，所以cos 5π3<cos 11π6．答案 0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π解析 由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π．9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12；(3)tan α≥－1． 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z ．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k ＋4π3，k ∈Z．(3)在单位圆过点A (1，0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，所以α的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π4＋k π≤α<π2＋k π，k ∈Z，如图．一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且方向相同，那么α的值为( ) A ．5π4或7π4 B ．π4或3π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4答案 C解析 因为角α的正弦线与余弦线长度相等，方向相同，所以角α的终边在第一或第三象限，且角α的终边是象限的角平分线，又0<α<2π，所以α＝π4或5π4，选C ．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 答案 D解析 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角． 3．如果π<θ<5π4，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ 答案 D解析 本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小．由于π<θ<5π4，如图所示，正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由此容易得到cos θ<sin θ<0<tan θ，故选D ．4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 C ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π答案 D解析 由图1知当sin α<32时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π．由图2知当cos α>12时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π． 5．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 解法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝120°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．解法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点， 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2．若α，β是第一象限角，又sin α>sin β， 则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2． ∵y 1>y 2，∴α>β．∴cos α<cos β．∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P 1′(x 1′，y 1′)，P 2′(x 2′，y 2′)，其中sin α＝y 1′，sin β＝y 2′，则tan α－tan β＝y 1′x 1′－y 2′x 2′＝x 2′y 1′－x 1′y 2′x 1′x 2′． 而y 1′>y 2′>0，x 2′<x 1′<0， ∴－x 2′>－x 1′>0，∴x 1′x 2′>0，x 2′y 1′－x 1′y 2′<0，即tan α<tan β．∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D ． 二、填空题6．若α是第一象限角，则sin2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．答案 2解析 由α是第一象限角，得2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2>0，cos α2的正负不确定；4k π<2α<π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin2α>0．故一定为正值的个数为2．7．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是________．答案π2，π 解析 由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈π4，5π4，使tan θ<sin θ的角θ∈π2，π∪3π2，2π，故θ的取值范围是π2，π．8．若函数f (x )的定义域是(－1，0)，则函数f (sin x )的定义域是________． 答案 －π＋2k π，－π2＋2k π∪－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析 f (x )的定义域为(－1，0)，则f (sin x )若有意义，需－1<sin x <0，利用三角函数线可知－π＋2k π<x <2k π，且x ≠－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)sin1和sin π3；(2)cos 4π7和cos 5π7；(3)tan 9π8和tan 9π7；(4)sin π5和tan π5．解 (1)sin1<sin π3．如图1所示，sin1＝MP <M ′P ′＝sin π3．(2)cos 4π7>cos 5π7．如图2所示，cos 4π7＝OM >OM ′＝cos 5π7．(3)tan 9π8<tan 9π7．如图3所示，tan 9π8＝AT <AT ′＝tan 9π7．(4)sin π5<tan π5．如图4所示，sin π5＝MP <AT ＝tan π5．10．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2． 当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2(k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2．。

1-2-0-1任意角的三角函数的定义一、选择题1．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或四象限，又tan α>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( ) A ．sin αtan α>0 B ．cos αtan α>0 C ．sin αcos α>0 D ．sin αcos α<0 [答案] C[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0，故选C. 3．cos1110°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32[答案] B[解析] cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝32. 4．已知P (2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于( ) A.32B.23C ．－32D ．－23[答案] C[解析] tan(2π＋θ)＝tan θ＝－32＝－32.5.cos 2201.2°可化为( ) A ．cos201.2° B ．－cos201.2° C ．sin201.2° D ．tan201.2°[答案] B[解析] ∵201.2°是第三象限角，∴cos201.2°<0， ∴cos 2201.2°＝|cos201.2°|＝－cos201.2°.6．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114C ．－4 D ．4[答案] C[解析] 由题意得cos α＝mm 2＋9＝－45，解得m ＝±4.又cos α＝－45<0，则α的终边在第二或三象限，则点P 在第二或三象限，所以m <0，则m ＝－4.7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由于点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ<0，sin θcos θ>0，所以有sin θ<0，cos θ<0，所以θ是第三象限角． 8．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值为( )A.104B.64C.24 D ．－104[答案] A[解析] ∵|OP |＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5＝24x 又因为α是第二象限角，∴x <0，得x ＝－ 3 ∴sin α＝5x 2＋5＝104，故选A.9．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12C ．－32D ．－33[答案] C[解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2， ∴sin α＝－32. 10．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是( )A ．{－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．R[答案] C[解析] ∵该函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π2，k ∈Z }，∴当x 是第一象限角时，y ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝1－1－1＝－1； 当x 是第三象限角时，y ＝－1－1＋1＝－1； 当x 是第四象限角时，y ＝－1＋1－1＝－1. 综上，函数的值域是{－1,3}． 二、填空题11．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第________象限角． [答案] 一或二[解析] 要使原式有意义，必须cos θ·tan θ>0，即需cos θ、tan θ同号，∴θ是第一或第二象限角．12．已知角θ的终边经过点(－32，12)，那么tan θ的值是________．[答案] －3313．已知角α的终边在直线y ＝x 上，则sin α＋cos α的值为_____． [答案] ±2[解析] 在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝x ， 当x >0时，r ＝x 2＋y 2＝2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝22＋22＝2，当x <0时，r ＝x 2＋y 2＝－2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－22－22＝－ 2.14．判断符号，填“>”或“<”： sin3·cos4·tan5________0. [答案] >[解析] π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3cos4tan5>0.三、解答题15．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，求实数a 的取值范围．[解析] ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上， ∵α终边过(3a －9，a ＋2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0a ＋2＞0，∴－2<a ≤3. 16．求下列各式的值： (1)sin25π3＋tan(－23π4)； (2)sin 1170°＋cos360°－tan 125°.[分析] 此类问题的解答应先将角改写成2k π＋α或k ·360°＋α(k ∈Z )的形式，再运用诱导公式(一)求值．[解析] (1)sin 25π3＋tan(－23π4)＝sin(8π＋π3)＋tan(－6π＋π4)＝sinπ3＋tan π4＝32＋1＝3＋22.(2)sin1170°＋cos360°－tan1125°＝sin(3×360°＋90°)＋cos(0°＋360°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.17．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上可知角α是第四象限的角． (2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.18．(2011～2012·黑龙江五校联考)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． [分析] 此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．[解析] (1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m＝5时，cosθ＝－64，tanθ＝－153；(3)当m＝－5时，cosθ＝－64，tanθ＝153.。

任意角的三角函数(一）(15分钟30分）一、选择题（每小题4分，共12分)1。

求值sin750°=( ）A。

- B. — C.D。

【解析】选C.sin 750°= sin（2×360°+ 30°)=sin 30°=。

2.(2015·晋江高一检测）如果角θ的终边经过点(，-1），那么cosθ的值是( ）A.—B。

- C. D.【解析】选C。

点（，-1）到原点的距离r==2，所以cosθ=.【延伸探究】将本题中点的坐标改为(—1，），求sinθ-cosθ。

【解析】点（-1,）到原点的距离r==2，所以sinθ=，cosθ=-,所以sinθ-cosθ=—=。

3.(2015·北京高一检测）已知α∈（0,2π)，且sinα<0，cosα〉0,则角α的取值范围是( ）A。

B.C. D.【解析】选D。

因为sinα〈0，cosα〉0，所以角α是第四象限角，又α∈(0，2π），所以α∈.二、填空题（每小题4分，共8分)4。

求值：cosπ+tan=______【解析】cosπ=cos=cos=,tan=tan=tan=，所以cosπ+tan=+.答案：+5.(2015·南通高一检测)若角135°的终边上有一点(—4，a），则a的值是________.【解析】因为角135°的终边与单位圆交点的坐标为，所以tan 135°==-1，又因为点(—4，a)在角135°的终边上，所以tan 135°=,所以=-1,所以a=4.答案：4【补偿训练】如果角α的终边过点P(2sin 30°，—2cos 30°）,则cosα的值等于________。

【解析】2sin 30°=1,—2cos 30°=—，所以r=2，所以cosα=.答案：三、解答题6.（10分)判断下列各式的符号.（1)sinα·cosα（其中α是第二象限角）。

2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。

第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22三角函数的定义及应用[典例] 设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A ．25 B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即－3a2＋4a2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)， 所以r ＝ 12＋－32＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.三角函数值符号的运用[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限．[答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限，∴x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴s in 120°cos 210°＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5. 6．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝ 25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋－62＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4. 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角． ∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限． (2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数的定义】1.任意角的三角函数定义2.三角函数的定义域：【知识点2 三角函数值的符号】第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【知识点3 诱导公式一】由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：【知识点4 单位圆的三角函数线定义】如图（1）PM表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM表示α角的余弦值，叫做余弦线.如图（2）AT表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.【考点1 三角函数的定义】【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．【答案】解：角α的终边上一点(1,)P m，所以0m>，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．A ．4B ．4±C ．3D ．3±【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．)【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【答案】解：角故选：C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【变式1-3】（2019春•牡丹江期末）角α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠，则2sin cos (αα-= )【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得结果． 【答案】解：α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠， 555a a =，22555a a =，555a a=-，2555a a=-故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 【考点2 利用象限角判断三角函数的符号】【例2】（2019春•湖北期中）下列命题成立的是( ) A ．若θ是第二象限角，则cos tan 0θθ< B ．若θ是第三象限角，则cos tan 0θθ> C ．若θ是第四象限角，则sin tan 0θθ< D ．若θ是第三象限角，则sin cos 0θθ>【分析】根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．【答案】解：若θ是第二象限角，则cos 0θ<，tan 0θ<，则cos tan 0θθ>，故A 错误， 若θ是第三象限角，则cos 0θ<，tan 0θ>，则cos tan 0θθ<，故B 错误， 若θ是第四象限角，则sin 0θ<，tan 0θ<，则sin tan 0θθ>，故C 错误， 若θ是第三象限角，则sin 0θ<，cos 0θ<，则sin cos 0θθ>，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键． 【变式2-1】（2019春•珠海期末）已知点(sin ,tan )M θθ在第三象限，则角θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集得答案． 【答案】解：由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角； 由②知，θ为第二或第四象限角． 则角θ在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．【变式2-2】（2019春•玉山县校级月考）若sin cos 0θθ<，则θ在( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【分析】判断三角函数的符号，然后判断角所在象限即可．【答案】解：sin cos 0θθ<，可知sin θ与cos θ异号，说明θ在第或第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，角所在象限，是基本知识的考查． 【变式2-3】（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为( )A．正B．负C．零D．不能确定【分析】由1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，由此可得答案．【答案】解：1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，<，tan40>．∴>，cos20sin10故选：B．【点睛】本题考查三角函数值的符号，是基础题．【考点3 利用诱导公式一判断三角函数的符号】【例3】（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可．【答案】解：A、因为156︒在第二象限，所以sin1560︒>，故A错误；︒=︒+︒=︒，且196︒在第三象限，D、因为tan556tan(360196)tan196所以tan5560︒>，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，及三角函数在各象限的符号的应用，属于基础题．【变式3-1】（2019秋•西陵区校级期末）下列三角函数值的符号判断错误的是() A．sin1650︒<︒>D．tan3100︒>B．cos2800︒>C．tan1700【分析】直接利用诱导公式化简，判断符号即可．【答案】解：sin1650︒=︒>，正确；︒>，正确；cos280cos800tan1700︒=-︒<，正确；︒>，错误；tan310tan500故选：C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数值的符号的判断，是基础题．【变式3-2】（2019春•武功县期中）下列值①sin(1000)-︒；④sin2是负值-︒；②cos(2200)-︒；③tan(10)的为()A．①B．②C．③D．④【分析】根据终边相同的角的三角函数值相同，利用三角函数符号判断方法，即可得出结论．【答案】解：①sin(1000)sin1000sin 2800-︒=-︒=-︒>； ②cos(2200)cos2200cos400-︒=︒=︒>； ③tan(10)tan100-︒=-︒<；综上，是负值的序号为③． 故选：C ．【点睛】本题考查了终边相同的角与三角函数符号判断问题，是基础题．【变式3-3】（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1- 000)︒；②cos(2- 200)︒；③tan(10)-；A ．①④B ．②③C ．③⑤D ．④⑤【分析】利用诱导公式分别对五个选项进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负． 【答案】解：①，sin(1000)sin(2360280)sin 280cos100-︒=-⨯︒-︒=-︒=︒>； ②，cos(2200)cos(636040)cos400-︒=-⨯︒-︒=︒>； ③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0π-=-+=-<；，πsin2cos3tan40∴<．∴其中符号为负的是：③⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，解题时应正确把握好函数值正负号的判定，是基础题． 【考点4 三角函数定义域】【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可【答案】解：要使函数有意义，需解得： （k ∈Z ）即2k π+≤x ≤2k π+π （k ∈Z ）故答案为Z ）【点睛】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法 可．【答案】解：函数【点睛】本题考查了函数的概念，三角函数的定义域，解三角函数的不等式，属于中档题． 【分析】由绝对值的特点得到sin α-和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k 的取值． 【答案】解：|sin |sin αα=-，sin 0α∴-， sin 0α∴，由正弦曲线可以得到[2k αππ∈-，2]k π，k Z ∈， 故答案为：[2k ππ-，2]k π，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．【变式4-3】求下列函数的定义域：（2）(2sin1)=-；y lg x【分析】利用函数的定义域以及三角函数线化简求解即可．【答案】解：（1）要使y＝有意义，可得cos x≥0，解得{x|﹣，k∈Z}；（2）要使y＝lg（2sin x﹣1）有意义，可得2sin x﹣1＞0，即：sin x，解得{x|，k∈Z}；（3）要使y＝有意义，可得sin x≠﹣1．所以函数的定义域为：{x|x＝﹣+2kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查三角函数的定义域的求法，三角函数线的应用，考查计算能力．【考点5 利用诱导公式一化简求值】【例5】（2019春•娄星区期中）求下列各式的值：（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒【分析】（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；【答案】（本题满分10分）（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒sin(336090)cos(43600)tan(536045)=⨯︒+︒+⨯︒+︒-⨯︒+︒ sin90cos0tan45=︒+︒-︒1=．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【变式5-1】求下列各式的值（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒．【分析】由特殊角的三角函数值即可计算得解．1(1)(1)=+-+-1=-．（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒ 08100=+⨯++ 8=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 【变式5-2】（2019春•船营区校级月考）计算下列各式的值： （1）sin(1395)cos1140cos(1020)sin750-︒︒+-︒︒； tan 4ππ； 【分析】（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （2）利用诱导公式即可计算得解．【答案】解：（1）原式sin(144045)cos(108060)cos(108060)sin(72030)=-︒+︒︒+︒+-︒+︒︒+︒ sin45cos60cos60sin30=︒︒+︒︒tan 4ππ )0【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题． 【变式5-3】（2019春•平罗县校级期中）求下列各式的值 )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)︒-︒-︒-︒-︒【分析】（1）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒-︒=-︒-︒25)sin cos tan 463πππ=+-【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 【考点6 利用三角函数线解不等式】【例6】（2019春•泗县校级月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：【分析】在单位圆中画出三角函数线． （1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．【答案】解：在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，，OA，OB分别为的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，∴的解集为{α|}；（2））∵在[0，2π）内，，OC，OD分别为的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，∴的解集为{α|}．【点睛】本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，训练了数形结合的解题思想方法，是中低档题．【变式6-1】求下列不等式的解集：【分析】作出单元圆，利用三角函数线进行求解即可．【答案】解：（1）正弦线大于0的角为x轴的上方，对应的角为2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ，2kπ+π），k∈Z．（2）余弦线小于0的角为y轴的左侧，对应的角为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（3）sin x＞对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（4）cos x≤﹣对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【点睛】本题主要考查三角不等式的求解，利用三角函数的三角函数线是解决本题的关键．【变式6-2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（2）tan x≥﹣1．【分析】根据三角函数线分别进行求解即可．【答案】解：（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sin x＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cos x＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sin x＞﹣且cos x＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sin x＞﹣且cos x＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tan x≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}【点睛】本题主要考查三角函数对应不等式的求解，利用三角函数线是解决本题的关键．【变式6-3】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．（3）tan x≥﹣1；【分析】作出单位圆，由三角函数值先求出角在[0，2π]内的取值范围，再由终边相同的角的概念加上周期，由此能求出满足条件的角x的集合．【答案】解：（1）由sin x，作出单位圆，如下图，∵sin x，∴，∴满足sin x≥的角x的集合为{x|2kπ+，k∈Z}．（2）由cos x≤，作出单位圆，如下图，∵cos x≤，∴，∴满足cos x≤的角x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．（3）由tan x≥﹣1，作出单位圆，如下图，∵tan x ≥﹣1，∴﹣≤x ＜， ∴满足tan x ≥﹣1的角x 的集合为{x |k π﹣，k ∈Z }． （4）由sin x ＞且cos x ＞，作出单位圆，如下图，∵sin x ＞且cos x ＞，∴，∴满足sin x ＞且cos x ＞x 的集合为{x |2k π+，k ∈Z }． 【点睛】本题考查角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意单位圆和三角函数线的合理运用．【考点7 利用三角函数线比较大小】【例7】比较下列各组数的大小：【分析】（1）根据余弦函数单调性的大小进行比较（2）利用三角函数的诱导公式以及作差法进行比较即可．704π<-cos(π∴-02πα<<则0sin(cos <cos(sin )α222ππ-<【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．【变式7-1】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：【分析】根据题意，依次作出各个角的三角函数值对应的三角函数线，进而比较大小即可得答案．【点睛】本题考查的知识点是三角函数线，三角函数值的大小比较，关键是掌握三角函数线的定义．【变式7-2】比较大小：可知：21AT AT >，可知：BD BC >，【点睛】本题考察了诱导公式的化简运用，正切线的画法，属于三角函数线的基础题目．【变式7-3】比较下列各组数的大小：【分析】根据三角函数线进行比较即可．）5 cos7π=在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则余弦线为OM，正弦线为MP，（2）在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则正切线为AT，正弦线为MP，则AT MP>，【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数线是解决本题的关键．。