2020中考数学：各题型拿分方法

备战2020中考数学解题方法专题研究专题6 配方法专题【方法简介】配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．【真题演练】1. 用配方法解一元二次方程x 2﹣4x ﹣6＝0，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣2）2＝0B ．（x ﹣4）2＝22C ．（x ﹣2）2＝10D ．（x ﹣2）2＝8【解答】解：x 2﹣4x ﹣6＝0，移项得：x 2﹣4x ＝6，配方得：x 2﹣4x+4＝10，即（x ﹣2）2＝10．故选：C ．2. 用配方法解下列方程：(1)x 2＋3x －4＝0； (2)x(x ＋8)＝609.【解析】解：(1)由x 2＋3x －4＝0，得x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫322－4＝0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋322－254＝0，⎝⎛⎭⎫x ＋322＝254， ∴x ＋32＝±52，x ＝－32±52，∴x 1＝1，x 2＝－4.(2)原方程可化为x 2＋8x ＝609，∴x 2＋8x ＋42＝609＋42，即(x ＋4)2＝625，∴x ＋4＝±25，∴x 1＝21，x 2＝－29.3. 已知一元二次方程(x －3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，求△ABC 的周长．【解析】解：∵(x －3)2＝1，∴x －3＝±1，解得x 1＝4，x 2＝2.∵一元二次方程(x －3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，此时能构成三角形，∴△ABC 的周长为2＋4＋4＝10.4. 用配方法证明：不论x ，y 取何实数时，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值总不小于常数2. 证明：∵x 2＋y 2＋2x －4y ＋7＝(x ＋1)2＋(y －2)2＋2，又∵(x ＋1)2≥0，(y －2)2≥0，∴不论x ，y 取何实数时，x 2＋y 2＋2x －4y ＋7≥2.【名词释义】把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．【典例示例】例题1：有n个方程：x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0；…；x2＋2nx－8n2＝0.小静同学解第1个方程x2＋2x－8＝0的步骤为“①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0(用含n的式子表示方程的根)．【解析】：(1)⑤(2)x2＋2nx－8n2＝0，x2＋2nx＝8n2，x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2，(x＋n)2＝9n2，x＋n＝±3n，x＝－n±3n，∴x1＝－4n，x2＝2n.例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题完全平方公式a2±2ab+b2＝(a±b)2及(a±b)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x2+12x﹣4的最小值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x2+6x﹣2)＝2(x2+6x+9﹣9﹣2)＝2[(x+3)2﹣11]＝2(x+3)2﹣22因为无论x取什么数，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，当x＝﹣3时，2(x+3)2﹣22的最小值是﹣22，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22．解决问题：(1)请根据上面的解题思路探求：多项式x2+4x+5的最小值是多少，并写出此时x的值；(2)请根据上面的解题思路探求：多项式﹣3x2﹣6x+12的最大值是多少，并写出此时x的值．的值．【解析】（1）x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1，当x＝﹣2时，多项式x2+4x+5的最小值是1；（2）﹣3x2﹣6x+12＝﹣3(x2+2x+1)+3+12＝﹣3(x+1)2+15，当x＝﹣1时，多项式﹣3x2﹣6x+12的最大值是15．【归纳总结】关于配方法主要在以下几个方面进行运用，①配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用，在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

2020年中考数学压轴题十大题型(含详细答案)函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。

几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。

一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。

求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。

而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过树立点与数即坐标之间的对应干系，一方面可用代数方法研究几何图形的性子，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

关键是把握几种常用的数学思想方法。

一是运用函数与方程思想。

以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。

二是运用分类讨论的思想。

对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。

三是运用转化的数学的思想。

由已知向未知，由复杂向简单的转换。

中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。

因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。

初三数学总复习方法马上2020年就要到来了，除了高三学习在认真备考着高考，我们的初三学者也在奋力准备着中考。

对于查三的总复习不知道大家有没有自己的一套学习方法呢?接下来小编针对初三数学为大家整理了中考复习方法总结，希望初三学子们加油!初三数学中考复习方法之总结梳理复习的最后阶段，对于知识点的总结梳理，应重视教材，立足基础，在准确理解基本概念，掌握公式、法则、定理的实质及其基本运用的基础上，弄清概念之间的联系与区别。

对于题型的总结梳理，应摆脱盲目的题海战术，对重点习题进行归类，找出解题规律，要关注解题的思路、方法、技巧。

如方案设计题型中有一类试题，不改变图形面积把一个图形剪拼成另一个指定图形。

总结发现，这类题有三种类型，一类是剪切线的条数不限制进行拼接;一类是剪切线的条数有限制进行拼接;一类是给出若干小图形拼接成固定图形。

梳理了题型就可以进一步探索解题规律。

同时也可以换角度进行思考，如一个任意的三角形可以剪拼成平行四边形或矩形，最少需几条剪切线?联想到任意四边形可以剪拼成哪些特殊图形，任意梯形可以剪拼成哪些特殊图形等。

做题时，要注重发现题与题之间的内在联系，通过比较，发现规律，做到触类旁通。

初三数学中考复习方法之反思错题在备考期间，要想降低错误率，除了进行及时修正、全面扎实复习之外，非常关键的一个环节就是反思错题，具体做法是:将已复习过的内容进行会诊，找到最薄弱部分，特别是对月考、模拟试卷出现的错误要进行认真分析，也可以将试卷进行重新剪贴、分类对比，从中发现自己复习中存在的共性问题。

正确分析问题产生的原因，例如，是计算马虎，还是法则使用不当;是审题不仔细，还是对试题中已知条件或所求结论理解有误;是解题思路不对，还是定理应用出错等等，消除某个薄弱环节比做一百道题更重要。

应把这些做错的习题和不懂不会的习题当成再次锻炼自己的机会，找到了问题产生的原因，也就找到了解题的最佳途径。

事实上，如果考前及时发现问题，并且及时纠正，就会越快地提高数学能力。

2020年山西中考专题分析——2009-2019年山西省中考数学试题知识点分布及考查题型小结：解直角三角形应用题一、选择填空题题型分类讲解（1）考查次数：11年2考（2）考查题型：填空题/选择（3）考查难度：送分题（4）解决关键：①找Rt△;②求边长.（5）解决技巧：标记法（即再图中将题中所给条件做标记）1．（2017山西14题3分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764）2．（2013山西10题2分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．100m B ．50m C．50m D．m二、解答题题型分类讲解（1）考查次数：11年7考（2）考查题型：解答题（3）考查难度：中档题（4）考查特点：①结合贴近生活的实际问题进行考查，阅读量较大；②通常解Rt三角形与三角形相似结合考查；③通常需要作辅助线解决. （5）注意点：①做辅助线过程不能省（即过某点作对边的垂线段构造Rt△）；②作答必须要规范全面（单位不可省）；③用锐角三角函数求边长时注意：❶条件必须指明Rt△（或┴或90°）与角度；❷如果所给锐角是一般角，则用三角函数值求解；如果所给锐角是特殊角（30°/45°），则直接用30°Rt△（1:2：3）与45°△（1:1：2）三边关系求解；④注意题目对结果的要求（如果结果要求近似值，一般解决策略是最后一步再取近似值，这样可以更加接近准确值）.（6）解决技巧：①有图的要首先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清楚已知条件中各量之间的关系；②若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决．常用的作辅助线方法：作某边上的高.（7）常见图形类型及辅助线作法如下：①“背靠背”型三角形；②“母子”型三角形；3．（2019山西20题9分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是m．任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）4.（2018山西19题9分）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．练习1.(2018·吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度．数学活动方案活动时间：2018年4月2日活动地点：学校操场填表人：林平5．（2016山西21题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．6．（2014山西21题7分）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1＝1：2，钢缆BC的坡度i2＝1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）7．（2012山西21题9分）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A、B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A、B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）8．（2011山西24题7分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．9.（2009山西23题8分）有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为12米，迎水坡上DE的长为2米，∠BAD=135°，∠ADC=120°，求水深．（精确到0.1米，=1.41，=1.73）。

滨州市2020年初中学生学业水平考试数学试题（满分150分，考试用时120分钟）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题涂对得3分，满分36分．1．下列各式正确的是（）A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝52．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（）A．60°B．70°C．80°D．100°3．冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（）A．1.1×10﹣9米B．1.1×10﹣8米C．1.1×10﹣7米D．1.1×10﹣6米4．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（﹣5，4）C．（4，﹣5）D．（5，﹣4）5．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．127．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形8．已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4.4，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．1510．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定11．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共114分）二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．13．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．14．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为．15．若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为．16．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为．17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为．18．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为．19．观察下列各式：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，根据其中的规律可得a n＝（用含n的式子表示）．20．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、、4，则正方形ABCD的面积为．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．21．（10分）先化简，再求值：1﹣÷；其中x＝cos30°×，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1．22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．（1）求交点P的坐标；（2）求△PAB的面积；（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y＝﹣x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．23．（12分）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．24．（13分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？25．（13分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）求证：OA2＝DE•CE．26．（14分）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．答案与解析第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题涂对得3分，满分36分．1．下列各式正确的是（）A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5【知识考点】相反数；绝对值．【思路分析】根据绝对值的性质和相反数的定义对各选项分析判断即可．【解题过程】解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，∴选项A不符合题意；B、∵﹣（﹣5）＝5，∴选项B不符合题意；C、∵|﹣5|＝5，∴选项C不符合题意；D、∵﹣（﹣5）＝5，∴选项D符合题意．故选：D．【总结归纳】此题主要考查相反数的定义以及绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（）A．60°B．70°C．80°D．100°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．【解题过程】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分线，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故选：B．【总结归纳】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（）A．1.1×10﹣9米B．1.1×10﹣8米C．1.1×10﹣7米D．1.1×10﹣6米【知识考点】科学记数法—表示较小的数．【思路分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解题过程】解：110纳米＝110×10﹣9米＝1.1×10﹣7米．故选：C．【总结归纳】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（﹣5，4）C．（4，﹣5）D．（5，﹣4）【知识考点】点的坐标．【思路分析】直接利用点的坐标特点进而分析得出答案．【解题过程】解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，∴点M的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，即点M的坐标为：（5，﹣4）．故选：D．【总结归纳】此题主要考查了点的坐标，正确掌握第四象限点的坐标特点是解题关键．5．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解题过程】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；圆是轴对称图形，也是中心对称图形；则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．12【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．【思路分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．【解题过程】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线y＝上，∴四边形AEOD的面积为4，∵点B在双曲线线y＝上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为12，∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．7．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形【知识考点】命题与定理．【思路分析】利用正方形的判定依次判断，可求解．【解题过程】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故选项A不合题意；B、对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题，故选项B不合题意；C、对角线相等的菱形是正方形是真命题，故选项C不合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，故选项D符合题意；故选：D．【总结归纳】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4.4，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】先把数据由小到大排列为3，4，4，5，9，然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断．【解题过程】解：数据由小到大排列为3，4，4，5，9，它的平均数为＝5，数据的中位数为4，众数为4，数据的方差＝[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]＝4.4．所以A、B、C、D都正确．故选：D．【总结归纳】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，也考查了平均数，中位数和众数的定义．9．在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．15【知识考点】勾股定理；垂径定理．【思路分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．【解题过程】解：如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确得出CO的长是解题关键．10．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定【知识考点】根的判别式．【思路分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．【解题过程】解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程没有实数根，故选：B．【总结归纳】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．11．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【知识考点】二次函数图象与系数的关系．【思路分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解题过程】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴3a+c＞0，故④正确；⑤当x＝1时，y的值最小，此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，故选：A．【总结归纳】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．12．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（）A．B．C．D．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M＝A′N＝2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．【解题过程】解：∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，∴BE＝OF＝MG＝，∴OF：BE＝2：3，解得OF＝，∴OD＝﹣＝．故选：B．【总结归纳】考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，关键是得到矩形的宽和A′E的长．第Ⅱ卷（非选择题共114分）二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．13．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．【解题过程】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，解得：x≥5，故答案为：x≥5．【总结归纳】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式是解此题的关键．14．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为．【知识考点】等腰三角形的性质．【思路分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．【解题过程】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．故答案为：80°．【总结归纳】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．15．若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】当y＝2时，即y＝2x＝2，解得：x＝1，故该点的坐标为（1，2），将（1，2）代入反比例函数表达式y＝，即可求解．【解题过程】解：当y＝2时，即y＝2x＝2，解得：x＝1，故该点的坐标为（1，2），将（1，2）代入反比例函数表达式y＝并解得：k＝2，故答案为：y＝．【总结归纳】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是通过正比例函数确定交点的坐标，进而求解．16．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为．【知识考点】正方形的性质；圆周角定理；切线长定理；正多边形和圆；解直角三角形．【思路分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．【解题过程】解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，∴AE＝AB，EG＝BC；根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，∴sin∠MFG＝．故答案为：．【总结归纳】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为．【知识考点】三角形三边关系；列表法与树状图法．【思路分析】利用完全列举法展示所有可能的结果数，再利用三角形三边的关系得到组成三角形的结果数，然后根据概率公式计算．【解题过程】解：3，5，8，10，13，从中任取三根，所有情况为：3、5、8；3、5、10；3、5、13；3、8、10；3、8、13；3，10，13；5、8、10；5、8、13；5、10、13；8、10、13；共有10种等可能的结果数，其中可以组成三角形的结果数为4，所以可以组成三角形的概率＝＝．故答案为．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了三角形三边的关系．18．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为．【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．【解题过程】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，∵不等式组无解，∴2a≥2，解得a≥1，故答案为：a≥1．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．观察下列各式：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，根据其中的规律可得a n＝（用含n的式子表示）．【知识考点】列代数式；规律型：数字的变化类．【思路分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2﹣1，即第n项的分子是n2+（﹣1）n+1；依此即可求解．【解题过程】解：由分析可得a n＝．故答案为：．【总结归纳】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．20．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、、4，则正方形ABCD的面积为．【知识考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．【思路分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．【解题过程】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH ⊥PM于H．∵BP＝BM＝，∠PBM＝90°，∴PM＝PB＝2，∵PC＝4，PA＝CM＝2，∴PC2＝CM2+PM2，∴∠PMC＝90°，∵∠BPM＝∠BMP＝45°，∴∠CMB＝∠APB＝135°，∴∠APB+∠BPM＝180°，∴A，P，M共线，∵BH⊥PM，∴PH＝HM，∴BH＝PH＝HM＝1，∴AH＝2+1，∴AB2＝AH2+BH2＝（2+1）2+12＝14+4，∴正方形ABCD的面积为14+4．故答案为14+4．【总结归纳】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．21．（10分）先化简，再求值：1﹣÷；其中x＝cos30°×，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1．【知识考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再计算x，y的值，进而代入得出答案．【解题过程】解：原式＝1﹣÷＝1+•＝1+＝＝，∵x＝cos30°×＝×2＝3，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1＝1﹣3＝﹣2，∴原式＝＝0．【总结归纳】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．（1）求交点P的坐标；（2）求△PAB的面积；（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y＝﹣x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．【知识考点】一次函数的性质；两条直线相交或平行问题．【思路分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象求得即可．【解题过程】解：（1）由解得，∴P（2，﹣2）；（2）直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则﹣x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，解得x＝﹣2与x＝1，∴A（﹣2，0），B（1，0），∴AB＝3，∴S△PAB＝＝＝3；（3）如图所示：自变量x的取值范围是x＜2．【总结归纳】本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．23．（12分）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．【知识考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．【思路分析】（1）由ASA证△PBE≌△QDE即可；（2）由全等三角形的性质得出EP＝EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出EM＝EN，证出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQ⊥MN，即可得出结论．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABD是平行四边形，∴EB＝ED，AB∥CD，∴∠EBP＝∠EDQ，在△PBE和△QDE中，，∴△PBE≌△QDE（ASA）；（2）证明：如图所示：∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ，同理：△BME≌△DNE（ASA），∴EM＝EN，∴四边形PMQN是平行四边形，∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形．【总结归纳】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．24．（13分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？【知识考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【思路分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质可求解．【解题过程】解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；（2）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，解得：x1＝65，x2＝75，答：每千克水果售价为65元或75元；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，∴当m＝70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．【总结归纳】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．25．（13分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）求证：OA2＝DE•CE．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）连接OD，OE，证明△OAD≌△OED，得∠OAD＝∠OED＝90°，进而得CD 是切线；（2）过D作DF⊥BC于点F，得四边形ABFD为矩形，得DF＝20A，再证明CF＝CE﹣DE，进而根据勾股定理得结论．【解题过程】解：（1）连接OD，OE，如图1，在△OAD和△OED中，，∴△OAD≌△OED（SSS），∴∠OAD＝∠OED，∵AM是⊙O的切线，∴∠OAD＝90°，∴∠OED＝90°，∴直线CD是⊙O的切线；（2）过D作DF⊥BC于点F，如图2，则∠DFB＝∠RFC＝90°，∵AM、BN都是⊙O的切线，∴∠ABF＝∠BAD＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴DF＝AB＝2OA，AD＝BF，∵CD是⊙O的切线，∴DE＝DA，CE＝CB，∴CF＝CB﹣BF＝CE﹣DE，∵DE2＝CD2﹣CF2，∴4OA2＝（CE+DE）2﹣（CE﹣DE）2，即4OA2＝4DE•CE，∴OA2＝DE•CE．【总结归纳】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．26．（14分）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，m2﹣m﹣），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．【解题过程】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x ﹣2）2﹣1，∵抛物线经过B（0，﹣），∴﹣＝4a﹣1，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．（2）证明：∵P（m，n），∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣，∴P（m，m2﹣m﹣），∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+，∵F（2，1），∴PF＝＝，∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，∴d2＝PF2，∴PF＝d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF＝QH，∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为3，∴△DFQ的周长的最小值为2+3，此时Q（4，﹣）【总结归纳】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．。

重难点05 几何综合题【命题趋势】几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在．几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较重，题目数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置．只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动点问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大．所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题．【满分技巧】一．熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识．二．掌握分析问题的基本方法﹕分析法、综合法、“两头堵”法﹕1．分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所有的条件都已知为止即可．2．综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；3．“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略．三．注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化、类比、归纳等等．【限时检测】（建议用时：60分钟）1. (2019 湖南省郴州市)如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE 翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把△BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE△△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且△DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．【解析】（1）证明：由折叠的性质可知：△DAE＝△DA1E＝90°，△EBH＝△EB1H＝90°，△AED＝△A1ED，△BEH ＝△B1EH，△△DEA1+△HEB1＝90°．又△△HEB1+△EHB1＝90°，△△DEA1＝△EHB1，△△A1DE△△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：△直线MN是矩形ABCD的对称轴，△点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中△△A1DE△△A1DF（SAS），△DE＝DF，△FDA1＝△EDA1，又△△ADE△△A1DE，△ADF＝90°．△△ADE＝△EDA1＝△FDA1＝30°，△△EDF＝60°，△△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），△G'F＝GE，DG'＝DG，△GDG'＝60°，△△DGG'是等边三角形，△GG'＝DG，△DGG'＝60°，△△DGF＝150°，△△G'GF＝90°，△G'G2+GF2＝G'F2，△DG2+GF2＝GE2，2. (2019 江西省)在图1，2，3中，已知△ABCD，△ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且△EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，△CEF＝°；（2）如图2，连接AF．△填空：△F AD△EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；△求证：点F在△ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．【解析】（1）△四边形AEFG是菱形，△△AEF＝180°﹣△EAG＝60°，△△CEF＝△AEC﹣△AEF＝60°，故答案为：60°；（2）△△四边形ABCD是平行四边形，△△DAB＝180°﹣△ABC＝60°，△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△F AE＝60°，△△F AD＝△EAB，故答案为：＝；△作FM△BC于M，FN△BA交BA的延长线于N，则△FNB＝△FMB＝90°，△△NFM＝60°，又△AFE＝60°，△△AFN＝△EFM，△EF＝EA，△F AE＝60°，△△AEF为等边三角形，△F A＝FE，在△AFN和△EFM中，，△△AFN△△EFM（AAS）△FN＝FM，又FM△BC，FN△BA，△点F在△ABC的平分线上；（3）△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△AGF＝60°，△△FGE＝△AGE＝30°，△四边形AEGH为平行四边形，△GE△AH，△△GAH＝△AGE＝30°，△H＝△FGE＝30°，△△GAN＝90°，又△AGE＝30°，△GN＝2AN，△△DAB＝60°，△H＝30°，△△ADH＝30°，△AD＝AH＝GE，△四边形ABCD为平行四边形，△BC＝AD，△BC＝GE，△四边形ABEH为平行四边形，△HAE＝△EAB＝30°，△平行四边形ABEN为菱形，△AB＝AN＝NE，△GE＝3AB，△＝3．3. (2019 浙江省宁波市)如图1，△O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF△EC交AE于点F．（1）求证：BD＝BE．（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．（3）设＝x，tan△DAE＝y．△求y关于x的函数表达式；△如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．【解析】证明：（1）△△ABC是等边三角形，△△BAC＝△C＝60°，△△DEB＝△BAC＝60°，△D＝△C＝60°，△△DEB＝△D，△BD＝BE；（2）如图1，过点A作AG△BC于点G，△△ABC是等边三角形，AC＝6，△BG＝，△在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，△BF△EC，△BF△AG，△，△AF：EF＝3：2，△BE＝BG＝2，△EG＝BE+BG＝3+2＝5，在Rt△AEG中，AE＝；（3）△如图1，过点E作EH△AD于点H，△△EBD＝△ABC＝60°，△在Rt△BEH中，，△EH＝，BH＝，△，△BG＝xBE，△AB＝BC＝2BG＝2xBE，△AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，△在Rt△AHE中，tan△EAD＝，△y＝；△如图2，过点O作OM△BC于点M，设BE＝a，△，△CG＝BG＝xBE＝ax，△EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，△EM＝EC＝a+ax，△BM＝EM﹣BE＝ax﹣a，△BF△AG，△△EBF△△EGA，△，△AG＝，△BF＝，△△OFB的面积＝，△△AEC 的面积＝，△△AEC 的面积是△OFB 的面积的10倍，△，△2x 2﹣7x +6＝0，解得：， △，探究问题4. (2019 辽宁省沈阳市)思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作//CD AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是 米．思维探索：（2）在ABC ∆和ADE ∆中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE ∆的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．△如图2，当ADE ∆在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ； △如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； △当150α=︒时，若3BC =，DE l =，请直接写出2PC 的值．【解析】（1）解：//CD AB Q ，C B ∴∠=∠， 在ABP ∆和DCP ∆中，BP CPAPB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，()ABP DCP SAS ∴∆≅∆，DC AB ∴=． 200AB =Q 米． 200CD ∴=米，故答案为：200．（2）△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知()FBP EDP SAS ∴∆≅∆，PF PE ∴=，BF DE =，又AC BC =Q ，AE DE =，FC EC ∴=，又90ACB ∠=︒Q ，EFC ∴∆是等腰直角三角形，EP FP =Q ，PC PE ∴=，PC PE ⊥．△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥．理由如下：如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同△理，可知()FBP EDP SAS ∆≅∆， BF DE ∴=，12PE PF EF ==，DE AE =Q ， BF AE ∴=，Q 当90α=︒时，90EAC ∠=︒，//ED AC ∴，//EA BC //FB AC Q ，90FBC ∠=， CBF CAE ∴∠=∠，在FBC ∆和EAC ∆中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FBC EAC SAS ∴∆≅∆，CF CE ∴=，FCB ECA ∠=∠， 90ACB ∠=︒Q ， 90FCE ∴∠=︒，FCE ∴∆是等腰直角三角形， EP FP =Q ，CP EP ∴⊥，12CP EP EF ==．△如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH AC ⊥交CA 延长线于H 点， 当150α=︒时，由旋转旋转可知，150CAE ∠=︒，DE 与BC 所成夹角的锐角为30︒，150FBC EAC α∴∠=∠==︒，同△可得()FBP EDP SAS ∆≅∆，同△FCE ∆是等腰直角三角形，CP EP ⊥，CP EP ==， 在Rt AHE ∆中，30EAH ∠=︒，1AE DE ==，12HE ∴=，AH =，又3AC AB ==Q ，3AH ∴=，22210EC AH HE ∴=+=+2212PC EC ∴==．动点问题5. (2019 湖南省衡阳市)如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE△AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在△ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【解析】（1）△△ABC是等边三角形，△△B＝60°，△当BQ＝2BP时，△BPQ＝90°，△6+t＝2（6﹣t），△t＝3，△t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．△BF平分△ABC，BA＝BC，△BF△AC，AM＝CM＝3cm，△EF△BQ，△△EFM＝△FBC＝△ABC＝30°，△EF＝2EM，△t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK△BC交AC于K．△△ABC是等边三角形，△△B＝△A＝60°，△PK△BC，△△APK＝△B＝60°，△△A＝△APK＝△AKP＝60°，△△APK是等边三角形，△P A＝PK，△PE△AK，△AE＝EK，△AP＝CQ＝PK，△PKD＝△DCQ，△PDK＝△QDC，△△PKD△△QCD（AAS），△DK＝DC，△DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′△BM＝CM＝3，AB＝AC，△AM△BC，△AM＝＝3，△AB′≥AM﹣MB′，△AB′≥3﹣3，△AB′的最小值为3﹣3．6. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，△G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ△AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．△如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；△在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．【解析】（1）解：△P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；△当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，△0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH△AB于M，交CD于N，作GE△CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，△△GDC是等腰直角三角形，△DE＝CE，GE＝CD＝10，△GF＝GE+EF＝20，△GH＝20﹣x，由题意得：PQ△CD，△△GPQ△△GDC，△＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，△梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，△当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，△0≤x≤20，△10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，△10≤x≤20，二次函数图象开口向下，△当x＝20时，S最小，△﹣202+×20≥50，△a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．7. (2019 山东省济宁市)如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且△DMN＝△DAM，设AM＝x，DN ＝y．△写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；△是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图1中，△四边形ABCD是矩形，△AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，△△B＝△BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，△CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，△x＝3，△EC＝3．（2）△如图2中，△AD△CG，△＝，△＝，△CG＝6，△BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝＝8，在Rt△DCG中，DG＝＝10，△AD＝DG＝10，△△DAG＝△AGD，△△DMG＝△DMN+△NMG＝△DAM+△ADM，△DMN＝△DAM，△△ADM＝△NMG，△△ADM△△GMN，△＝，△＝，△y＝x2﹣x+10．当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．△存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，△△MDN＝△GMD，△DMN＝△DGM，△△DMN△△DGM，△＝，△MN＝DM，△DG＝GM＝10，△x＝AM＝8﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH△DG于H．△MN＝DN，△△MDN＝△DMN，△△DMN＝△DGM，△△MDG＝△MGD，△MD＝MG，△BH△DG，△DH＝GH＝5，由△GHM△△GBA，可得＝，△＝，△MG＝，△x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．8. (2019 山东省青岛市)已知：如图，在四边形ABCD中，AB△CD，△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE△AB，交BC于点E，过点Q作QF△AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在△BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE△OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在Rt△ABC中，△△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，△AC＝＝6（cm），△OD垂直平分线段AC，△OC＝OA＝3（cm），△DOC＝90°，△CD△AB，△△BAC＝△DCO，△△DOC＝△ACB，△△DOC△△BCA，△＝＝，△＝＝，△CD＝5（cm），OD＝4（cm），△PB＝t，PE△AB，易知：PE＝t，BE＝t，当点E在△BAC的平分线上时，△EP△AB，EC△AC，△PE＝EC，△t＝8﹣t，△t＝4．△当t为4秒时，点E在△BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．（3）存在．△S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），△t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．（4）存在．如图，连接OQ．△OE△OQ，△△EOC+△QOC＝90°，△△QOC+△QOG＝90°，△△EOC＝△QOG，△tan△EOC＝tan△QOG，△＝，△＝，整理得：5t2﹣66t+160＝0，解得t＝或10（舍弃）△当t＝秒时，OE△OQ．9. (2019 四川省绵阳市) 如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE=t，连接OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF=ODAD=22，∴AF=2t ，又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD= AF AG，∴AG · AE=AD · AF=42t ，又∵AE=OA+OE=2 2 +t，∴AG=42t22+t，∴EG=AE-AG=t2+822+t，当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD=FBAD=4-2t4，∵AF∥CD，∴FGDF=2t4+2t，∴4-2t4=2t4+2t，解得：t1=10 - 2 ，t2=10 + 2 （舍去），∴EG=EH=t2+822+t =(10-2)2+822+10-2= 310 - 5 2 ；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=t2+822+t，∵DE=EF，∠DEF=90°，∴∠DEO=∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，∴S△EFG=12EG · FK =t3+8t42+2t．10. (2019 四川省资阳市)在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C 的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF△BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，△若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；△当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．【解析】（1）△如图1中，△四边形EFGH是正方形，AB＝BC，△BE＝BG，AE＝CG，△BHE＝△BGH＝90°，△△AEH＝△CGH＝90°，△EH＝HG，△△AEH△△CGH（SAS），△AH＝CH．△如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×（8﹣t）2＝﹣t2+32t﹣32．综上所述，S＝．（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．△EH△BM，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，△EH△BK，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN＝8．在Rt△ABC中，AC＝＝10，△EF△AB，△＝，△＝，△EF＝（16﹣t），△EH△CN，△＝，△＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．11. (2019 天津市)在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，△ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（△）如图△，求点E的坐标；（△）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．△如图△，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；△当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【解析】（△）△点A（6，0），△OA＝6，△OD＝2，△AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，△四边形CODE是矩形，△DE△OC，△△AED＝△ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，△OD＝2，△点E的坐标为（2，4）；（△）△由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′△O′C′△OB，△△E′FM＝△ABO＝30°，△在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，△S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，△S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，△S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，△S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；△当S＝时，如图△所示：O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，△△AO'F＝90°，△AFO'＝△ABO＝30°，△O'F＝O'A＝（6﹣t）△S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），△t＝6﹣；当S＝5时，如图△所示：O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，△O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），△S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解得：t＝，△当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．12. (2019 四川省南充市)如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF 与BC 交于点M ，延长EM 交GF 于点H ，EF 与GB 交于点N ，连接CG.（1）求证：CD△CG ；（2）若tan△MEN=31，求EMMN 的值；（3）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在运动过程中，EM 的长能否为21？请说明理由.【解析】（1）证明：在正方形ABCD ，DEFG 中，DA=DC ，DE=DG ，△ADC=△EDG=△A=90°（1分）△△ADC -△EDC=△EDG -△EDC ，即△ADE=△CDG ，△△ADE△△CDG （SAS ）（2分）△△DCG=△A=90°，△CD△CG （3分）（2）解：△CD△CG ，DC△BC ，△G 、C 、M 三点共线△四边形DEFG 是正方形，△DG=DE ，△EDM=△GDM=45°，又△DM=DM△△EDM△△GDM ，△△DME=△DMG （4分）又△DMG=△NMF ，△△DME=△NMF ，又△△EDM=△NFM=45°△△DME△△FMN ，△DMFM ME MN =（5分） 又△DE△HF ，△DM FM ED HF =，又△ED=EF ，△EFHF ME MN =（6分） 在Rt△EFH 中，tan△HEF=31=EF HF ，△31=ME MN （7分） （3）设AE=x ，则BE=1-x ，CG=x ，设CM=y ，则BM=1-y ，EM=GM=x+y （8分）在Rt△BEM 中，222EM BM BE =+，△222)()1()1(y x y x +=-+-， 解得11+-=x x y （9分） △112++=+=x x y x EM ，若21=EM ，则21112=++x x ， 化简得：0122=+-x x ，△=-7＜0，△方程无解，故EM 长不可能为21. 13. (2019 浙江省台州市)如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP ＝FD ．（1）求的值；（2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM ＝EB ，连接MF ，求证：MF ＝PF ；（3）如图2，过点E 作EN △CD 于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ ＝AP ，连接BQ ，BN ．将△AQB 绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点Q '落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点B '是否落在线段BN 上，并说明理由．【解析】（1）设AP ＝FD ＝a ，△AF ＝2﹣a ，△四边形ABCD 是正方形，△AB △CD ，△△AFP △△DFC ，△，即，△AP＝FD＝﹣1，△AF＝AD﹣DF＝3﹣△＝（2）在CD上截取DH＝AF△AF＝DH，△P AF＝△D＝90°，AP＝FD，△△P AF△△HDF（SAS），△PF＝FH，△AD＝CD，AF＝DH，△FD＝CH＝AP＝﹣1，△点E是AB中点，△BE＝AE＝1＝EM，△PE＝P A+AE＝，△EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，△EC＝，△EC＝PE，CM＝﹣1，△AP△CD，△△P＝△PCD，△△ECP＝△PCD，且CM＝CH＝﹣1，CF＝CF，△△FCM△△FCH（S AS），△FM＝FH，△FM＝PF.（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，△EN△AB，AE＝BE△AQ＝BQ＝AP＝﹣1由旋转的性质可得AQ＝AQ'＝﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝﹣1，△点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）△直线BN解析式为：y＝x﹣2设点B'（x，x﹣2）△AB'＝＝2△x＝△点B'（，﹣）△点Q'（﹣1，0）△B'Q'＝≠﹣1△点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．。

中考新题型 实际应用型命题思路导航近年来，在全国各地的中考试卷中，都有一些密切联系实际的应用型题．强调“学习数学在于应用”这一导向已受到广泛的关注和肯定，为了有效地解答中考应用型题．应当对此进行深入的研究，从近几年的中考“应用问题”来看，始终贯穿着一条主线——将生产、生活实际问题转化为数学问题，数学问题的解答就可能是生产、生活实际问题的解答．一般地应用问题的解答包括三个环节：一是将生产、生活实际问题转化成纯数学问题；二是对数学问题作出解答，得出数学问题的解法；三是检验数学问题作出的解是否符合实际问题．在这三个环节中最关键的环节就是“如何将实际问题转化成数学问题”，我们认为解决这类问题的有效方法之一就是撇开试题中非本质的东西，抓住题目的本质要素，建立数学模型．典型例题解析例1 农作物栽植时在株距相等的条件下，一般选用菱形或正方形两种栽植方式，如图所示，试比较两种栽植方式的优劣．（a ） （b ）分析：可以从两种栽植方式的土地利用率，栽植密度，采光面积分析比较，并将问题转化为几何量的计算．解：（1）土地利用率设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝a ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′A ′＝a ，∴ S 菱形＝2S △ABC ＝2·243a ＝223a ，S 正方形＝a 2， ∴ 正方形菱形S S ＝23≈0.866． 即菱形种植方式的占地面积小，只占正方形种植方式的86．6%．（2）栽植密度显然：AD ＝23AB ≈0.866A ′B ′． 即正方形种植方式的7行，可改菱形种植方式的8行，大面积栽植时每行达数百棵，假设为300棵．正方形栽植方式的700行，可改为菱形栽植800行，即多栽植300×100＝30000棵．（3）采光面积作物生长中叶子的截面大体面圆形，充分长大后相邻两圆外切，因而阴影部分有面积减少，作物采光面积增大．图（a ）中阴影部分的面积S 1为：S 1＝2·21a ·23a －π22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝24π23a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 图（b ）中阴影部分面积S 2为：S 2＝a 2－π22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝24π1a ⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴ 12S S ＝224π234π1a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝π32π4--≈2.56， 即菱形种植方式作物采光面积比正方形种植方式作物采光面积大得多．综上所述，菱形种植方式较好．剖析：我国国土资源十分珍贵，特别是温室大棚寸土寸金，因此研究作物栽培方式具有现实意义，从而培养学生环保意识．例2 为了巩固1998年抗洪抢险的胜利成果，进一步增强长江大堤的防洪能力，经专家测算，长江某段堤坝（断面为如图所示的ABCD ）的水坡面还需加宽1米，沿背水面由原来的坡度1︰1改建成坡度为1︰3，即∠EFG ＝30°，已知坝高10米，堤长1000米（参考数据2＝1.41，3＝1.73）（1）求坝底增加的宽度（如图中AF 的长）；（2）若某工程队平均每天完成4500立方米的筑坝任务，问该工程队完成这一次任务至多要多少天？分析：该题以抗洪抢险为背景，立意于环境保护，科教兴国，是一道解直角三角形，梯形和工程问题的综合应用题，解答时应熟悉坡度概念，需要空间观念，会进行直角三角形、梯形中的有关计算从而求出所需土方数．解：（1）由DH ︰AH ＝1︰1，DH ＝10，得AH ＝10，故AB ＝AH －GH ＝9．又由Rt △EFG 中，FG ＝EG ·cot30°＝103；得AF ＝FG －AG ＝（103－9）米．（2）S 梯形AFED ＝21（AF ＋DE ）×EG ＝21×（103－9＋1）×10 ＝5（103－8）得V ＝5·（103－8）×1000＝（500003－40000）（m 3），则所需天数为：V ÷4500≈11（天），所以至多需要11天．例3 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品50件．生产一件A 产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元．（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来．（2）设生产A 、B 两种产品获总利润为y 元，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？分析：设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品（50－x ）件．安排生产方案的建模条件是：甲种原料用料不超过360千克，乙种原料用料不超过290千克，所以生产方案满足的数学模型是 ()⎩⎨⎧≤-+≤-+290)50(1033605049x x x x 而获得利润是由函数y ＝700x ＋1200（50－x ）所决定的，问题转化为上述函数在闭区间内的最值问题．解：（1）解不等式组：()⎩⎨⎧≤-+≤-+290)50(1033605049x x x x 解得30≤x ≤32．∵ x 为整数．∴ x 只取30，31，32．∵ A 、B 两种生产方案有三种：生产A 产品30件，B 产品20件；或者生产A 产品31件，B 种产品19件；或者生产A 产品32件，B 产品18件．（2）在每种确定的生产方案下所获利最大利润为y ＝700x ＋1200（50－x ）＝－500x ＋60000．因y 随x 的增大而减小，因此当x ＝30时，y 取得最大值，此时y ＝－500×30＋60000＝45000（元）．剖析：此题涉及利润、生产、决策等市场经济方面的应用题，富有时代气息，既考查了学生的构建函数、不等式数学模型解决实际问题的能力，也增强了学生的经济意识和决策意识．例4 我国为了缩小个人收入差异，采取了征缴个人所得税政策，某地规定：月收入不超过100元的不纳税；月收入超过1100元就必须纳税，纳税标准为：超过1100元的部分不多于500元的按超过部分5%纳税；超过1100元的部分多于500元而不多于2000元的，超过的500元按5%比例，超过部分中的其余部分按10%的比例纳税．若某人六月份缴纳个人所得税为85元．问此人六月份的收入为多少元．分析：由500×5%＝25，500×55＋（200－50）×10%＝175，25＜85＜175，故知此人收入超过1100元部分多于500元而不多于2000元，设此人六月份收入为x 元，于是可得方程：500×5%＋（x －1100－500）×10%＝85，解得x ＝2200（元）；所以此人六月份的收入为2200元．剖析：本题涉及收入与纳税，着重考查学生运用一元一次方程解决实际问题的能力，增强依法纳税意识．例5 （吉林省）某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米／时，运货汽车的速度为35千米／时，？”（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答．解：下面仅给出一例供评分时对照参考．补充部分：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇?解：经x 小时两车相遇．依题可得45x ＋35x ＝40，∴ x ＝21． 答：经半小时两车相遇．剖析：此题有多种解法．本文只给出一种解法，这种问题以及前面涉及的自编题均属于命题方式上为“开放题“，其解法、结论均不惟一．例6 （山西省）某市场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？解：设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获利y 1元；在月末出售可获利y 2元． 根据题意，得y 1＝15%＋10%（x ＋15%x ）＝0.265x ，y 2＝30%x －700＝0.3x －700．（1）当y 1＝y 2时，0.265x ＝0.3x －700，x ＝20000；（2）当y 1＜y 2时，0.265x ＜0.3x －700，x ＜20000；（3）当y 1＞y 2时，0.265x ＞0.3x －700，x ＞20000．答：当商场投资为20000元时，两种销售方式获利相同；当商场投资超过20000元时，第二种销售方式获利多；当商场投资不足20000元时，第一种销售方式获利较多．剖析：此类属于探索型试题，此类试题通过转换情景，让考生站在决策的高度解决问题，综合考查了学生运用所学知识综合解题的能力．例7 （1）据《北京日报》2000年5月16日报道：北京市人均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的81，世界人均占有量的321．问：全国人均水资源占有量有多少立方米？世界人均水资源占有量是多少立方米？（2）北京市一年漏掉的水，相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有6×105个水龙头、2×105个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a 立方米水；一个漏水马桶，一个月漏掉b 立方米水，那么一个月造成的水流失量至少是多少立方米？（用含a 、b 的代数式表示）（3）水源透支令人担忧，节约迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交消费22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为多少立方米．解：（1）300÷81＝2400，300÷321＝9600． 答：全国人均水资源占有量是2400立方米，世界人均水资源占有量是9600立方米． （2）一个月造成的流失量至少为（6×105a ＋2×105b ）立方米．（3）设北京市规定三口之家楼房每月标准用水为x 立方米，依题意，得1.3x ＋2.9（12－x ）＝22，解这个方程，得x ＝8．答：北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为8立方米．剖析：此类阅读理解试题结合社会上的一些热点或考生所熟悉的生活设置问题的场景，编拟新颖，使试题密切贴近生活，突出了时代感，此类问题通常伴有大量的阅读理解，因此解这种问题的关键在于认真审题，准确理解，将身边的生活问题转化成数学问题．中考真题演练1．（武汉市）今年入夏以来，湖北部分地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水，甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水：往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水48万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81万立方米．问：完成往甲地、乙地送水任务还各需多少天？2．（吉林省）一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，例如：存入一年期100元，到期储户纳税后所得利息的计算公式为：税后利息＝100×2.25%－100×2.25%×20%＝100×2.25%（1－20%）．已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？3．（云南省）在直径为AB 的平面内，．划出一块三角形区域．使三角形一边为AB ，顶点C 在半圆上，其他两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中，DE 在AB 上，如图的设计方案是使AC ＝8，BC ＝6，（1）求△ABC 中AB 上的高h ；（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另一种方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．4.（宁夏回族自治区）列方程解应用题:（1）某同学勤工俭学挣的100元钱，按活期存入银行，如果月息是0.15%，数月后本金与利息的和为100.9元，那么该同学的钱在银行存了几个月？（2）王老师把500元钱按一年定期存入银行，到期后，取出了300元捐给了灾区，剩下的200元和应得利息又全部按一年期存入，由于利息下调，第二次的年利率是第一年存款年利率的53，这样到期后可得利息15元，求第一次存款的年利率（144＝12）．5．（连云港市）有一座抛物线形拱桥，正常水位在桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米.（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （米）时，桥下水面的宽度为d （米），试求出将d 表示为h 的函数解析式；（3）设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超过多少米时就分影响过往船只在桥下顺利航行6．（北京市东城区）商场出售的A 型冰箱每台令售价2190元，每日耗电量为1千瓦·时，而B 型节能冰箱每台售价虽比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55千瓦·时，现将A 型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的101），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年．每年365天，每千瓦·时电0.40元计算）？7．（沈阳市）某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠、绿化家乡是全县人民的共同愿望．到1998年底，全县沙漠的绿化率已达30%，此后，政府计划在近几年内，每年将当年年初未绿化的沙漠面积的m%栽上树进行绿化，到2000年底，全县沙漠的绿化率已达43.3%，求m 值．已被绿化的沙漠总面积注：沙漠的绿化率＝被绿化的部分）原有沙漠总面积（含已8．（安徽省）目前，包括长江与黄河等七大流域在内，全国水土流失面积达到367万平方千米，其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4%，而长江流域的水土流失问题更为严重，它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米，问长江流域的水土流失面积是多少？（结果保留整数）9．（福州市）如图为某地的等高线示意图，图中a、b、c为等高线，海拔最低的一条为60米，等高距为10米，结合地理知识写出等高线a为________米，b为_________米，c 为_________米．10．（安徽省）我们知道，溶液的酸碱度由pH确定．当pH＞7时，溶液呈碱性，当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCL溶液加水稀释，那么在下列图象中，能反映HCL溶液的pH与所加水的体积（v）的变化关系的是（）A B C D11．（四川省）某种商品进价为a元，商店将价格提高30%作零售价销售．在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80%）的价格开展促销活动．这时一件该商品的售价为（）（A）a元（B）0.8a元（C）1.04a元（D）0.92a元12．（新疆乌鲁木齐）今年世界杯足球赛的积分方法如下：赢一场得3分，平一场得1分，输了一场得0分．某小组四个队进行单循环赛后，其中一队积7分．若该队赢了x场，平了y场，则（x，y）是（）（A）（1，4）（B）（2，1）（C）（0，7）（D）（3，1）13．（安微省）据报载，我省人均耕地已从1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩，平均每年约减少0.04亩．若不采取措施，继续按此速度减下去，若干年后我省将无地可耕．无地可耕的情况最早会发生在（）（A）2022年（B）2023年（C）2024年（D）2025年14．（北京市东城区）某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32．若提前购票，则给予不同程度的优惠．在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的52；零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?15．（北京市西城区）在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天燃气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天燃气表显示的读数，如下表[注：天燃气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天燃气的数量（单位：米3）]：小强的妈妈11月15日买了一张面值600元的天燃气使用卡，已知每立方米天燃气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗?为什么?16．（河北省）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少?17．（沈阳市）某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本．当这批书售出54时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）?若赔线，赔多少?若赚钱，赚多少?18．（哈尔滨市）哈市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元．“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指市内通话）．若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式的费用分别为1y 元和2y 元．（1）1y 、2y 与x 之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同?（3）若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式较合算? 19．（山东省）如图，是凸透镜成像的光路图，已知AB ⊥l ，l B A ⊥''，EO ⊥l ，它们的垂足分别是A 、A '、O ；BE ∥l ，f f OF O F AF ,211===为凸透镜的焦距．利用数学知识证明B A ''＝AB ．20．（山东省）如图表示近5年来某市的财政收入情况．图中x轴上1，2，…，5依次表示第1年，第2年，…，第5年，即1997年，1998年，…，2001年．可以看出，图中的折线近似于抛物线的一部分．（1）请你求出过A、C、D三点的二次函数的解析式；（2）分别求出当x=2和x=5时（1）中的二次函数的函数值；并分别与B、E两点的纵坐标相比较；（3）利用（1）中的二次函数的解析式预测今年该市的财政收入．21．（江西省）有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校．（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校．从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校?（2）若在王老师等人维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少?22．（长沙市）某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价xx 3 5 9 11y 18 14 6 2（1）在直角坐标系中①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为 P元，根据日销售规律：①试求日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数关系式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．试问日销售利润P是否存在最小值?若有，试求出，若无，请说明理由；②在直角坐标系中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．参考答案1．设完成往甲地送水任务还需x 天，完成往乙地送水任务还需y 天．根据题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅++⋅+=⋅++⋅+813512025180842512035180y x y x ，整理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++95405407520545y x y x解之是⎩⎨⎧==35y x ，经检验⎩⎨⎧==35y x 是原方程组的解．答：完成往甲地送水任务还需5天，完成往乙地送水任务还需3天．2．设存入x 元本金，根据题意，得：2.25%（1－20%）x ＝450． 解之得x ＝25000（元）． 3．（1）∵ C 点是半圆周上的点，∴ ∠ACB ＝90°，从而知△ABC 是直角三角形， ∴ AB ＝22BC AC +＝10，∵ 10h ＝48， ∴ h ＝4.8；（2）设NF ＝y ，∵ △CNF ∽△CAB ，∴ 108.48.4yx =-， ∴ y ＝10－1225x ，∴ S 矩形DEFN ＝1225x 2＋10x （0＜x ＜4.8）∴ 当x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1225210x ＝2.4时，S 矩形DEFN 的值最大，即此时水池DEFN 的面积最大．（3）在现设计方案中，欲判断大树是否位于水池边上，需求EB 的值． ∵ 当水池DEFN 的面积最大时，DN ＝2.4，∴ 此时F 是BC 的中点，在Rt △FEB 中，EF ＝2.4，BF ＝3．∴ EB ＝22EF BF -＝24.29-＝1.8∵ BM ＝1.85，∴ BM ＞EB ，从而在现设计方案中有BM ＞EB ，知大树必位于欲修建的水池边上，故应重新设计施工方案．∵ 当x ＝2.4时，DE ＝5，∴ AD ＝AB －（DE ＋BE ）＝3.2由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是将最大面积的水池建成使AC ＝6，图略（注，不要求作图） 4．（1）设该同学的钱在银行存了x 个月．根据题意，得100＋100×0.15%·x ＝100.9，解这个方程，得x ＝6． 答：略，（2）设第一次存款的年利率为x根据题意得［500（1＋x ）－300］·x 53＝15， 整理，得20x 2＋8x －1＝0 解得x ＝101＝10%，x ＝－105（不符合题意舍去） 答：第一次存款的年利率为10%． 5．（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，在正常水位时，B 点坐标为B （10，－4），将它代入解析式得：－4＝a ·102，∴ a ＝－251， ∴ 解析式为y ＝－251 x 2． （2）水位上升h （米）时，D 点的纵坐标为－（4－h ）．设D 点横坐标为x （x ＞0），则－（4－h ）＝－251x 2， 解得x ＝5h -4， ∴ d ＝2h ＝10h -4，（3）当桥下水面宽度为18米时，得18＝10h -4，2581＝4－h ， h ＝4－2581＝2519＝0.76． ∴ 桥下水深超过2.76米时就影响过往船只在桥下顺利航行． 6．设商场将A 型冰箱打x 折出售，消费者购买才合算． 依题意，有2190×10x＋365×10×1×0.4≤2190×（1＋10%）＋365×10×0.55×0.4 2190×⎪⎭⎫⎝⎛-1.110x ≤365×10×0.4×（0.55－1）解这个不等式得x ≤8,答：商场应将A 型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算． 7．依题意：（1－30%）（1－m%）＝（1－43.3%） 整理，得（－m%）2＝0.81，1－m%＝±0.9，m 1＝10，m 2＝190，m 2＝190不合题意，舍去，所以m ＝10． 答：m 的值为10．8．设长江流域的水土流失面积为x 万平方千米，根据题意得 x ＋（x －29）＝367×32.4%，解得x ≈74．答：长江流域的水土流失面积约是74万平方千米． 9．60，8010．C 11．C 12．B 13．D14．设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价． 五月份：团体票售出数为,523253a a =⨯票款收入为a a 524325312=⨯⨯（元）； 零售票售出票数为a a 613121=⨯，票款收入为a a 386116=⨯（元）．六月份：团体票所剩票数为a a 1543252=⨯，可收入a a 156415416=⨯（元）； 零售票所剩票数为a a 613121=⨯，可收入ax x a 6161=⨯（元）．依题意，得ax a a a 61156438524+=+．解这个方程，得x ＝19.2答：六月份零售票应按每张19.2元定价．15．小强家这一周平均每天用天燃气10立方米．由此估计小强家冬季取暖第一个月使用天燃气约为300立方米． ∵ 1.7×300＝510＜600，∴ 估计这张卡够小强家用一个月． 16．（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500―（55―50）×10＝450（千克）， 所以月销售利润为：（55－40）×450＝6750（元）．（2）当销售单价为每千克x 元时，月销售量为：[500―（x ―50）×10]千克， 而每千克的销售利润是：（x ―40）元， 所以月销售利润为：y ＝（x ―40）[500―（x ―50）×10]＝（x ―40）（1000－10x ）＝－10x 2＋1400x －40000（元），∴ y 与x 的函数解析式y ＝－10x 2＋1400x －40000． （3）要使月销售利润达到8000元，即y ＝8000， ∴ －10x 2＋1400x －40000＝8000，即：x 2－140x ＋4800＝0，解得x 1＝60，x 2＝80．当销售单价定为每千克60元时，月销售量为： 500―（60―50）×10＝400（千克）， 月销售成本为：40×400＝16000（元）；当销售单价定为每千克80元时，月销售量为： 500―（80―50）×10＝200（千克） 月销售成本为：40×200＝8000（元）；由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元， 所以销售单位应定为每千克80元．17．解法一：设第二次购书x 本，则第一次购书（x －10）本．由题意，得xx 1502110100=+-， 整理得x 2－110x+3000＝0，解得x 1＝50，x 2＝60． 经检验，x 1＝50，x 2＝60都是原方程的根．当x ＝50时，每本书的批发价为150÷50＝3（元），高于书的定价，不合题意，舍去．当x ＝60时，每本书的批发价为150÷60＝2.5（元），低于书的定价，符合题意．因此第二次购书60本．⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯218.2608.25460－150＝151.2－150＝1.2（元）答：该老板第二次售书赚了1.2元钱．解法二：设第一次购书的批发价为x 元，则第二次的批发价为（x ＋0.5）（元）．由题意，得5.015010100+=+x x ， 整理得2x 2－9x ＋10＝0，解得x 1＝2.5，x 2＝2． 经检验，x 1＝2.5，x 2＝2都是原方程的根．当x ＝2.5时，第二次的批发价为2.5＋0.5＝3（元）高于书的定价，不舍题意，舍去．当x ＝2时，第二次的批发价为2＋0.5＝2.5（元）低于书的定价，符合题意． 因此第二次购书：150÷（2＋0.5）x ＋60（本）．以下解法同解法一．解法三：设第一次购书x 本，则第二次购书（x ＋10）本．由题意，得1015021100+=+x x ， 整理得x 2－90 x ＋2000＝0，解得x 1＝40，x 2＝50． 经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的根．当x ＝40每本书的批发价为100÷40＝2.5（元）， 第二次的批发价为2.5＋0.5＝3（元），高于书的定价，不合题意，舍去． 当x ＝50时，每本书的比发价为100÷50＝2（元），第二次的比发价为2.0＋0.5＝2.5（元）低于书的定价，符合题意．因此第一次购书本．第二次购书50＋10＝60（本）．以下解法同解法一．18．y 1＝50＋0.4x （x ≥0的整数）．y 2＝0.6x （x ≥0的整数）． （2）若两种通讯费用相同，则50＋0.4x ＝0.6．∴ x ＝250． 答：一个月内通话250分钟，两种移动通讯费用相同． （3）当y 1＝200时，即200＝50＋0.4x ，则x ＝375（分）． 当y 2＝200时，即200＝0.6x 则x ＝33331（分）． ∴ “全球通”可通话375分钟，“神州行”可通话33331分钟． 答：选择“全球通”较合算． 19．∵ AB ⊥l ，EO ⊥l ，∴ AB ∥EO ，又∵ BE ∥l ，∴ 四边形AOEB 是矩形．∵ AF 1＝F 1O ＝OF 2＝f ， ∴ BE ＝AO ＝2f ， ∴ O F 2＝21BE ，即BE OF 2＝21．∵E B O O ''2＝BE OF 2＝21，即B 'O ＝BO ， 又∠B 'O A '＝∠BOA ，∴ Rt △B 'O A '≌Rt △BOA ， ∴ A 'B '＝AB ．20．（1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++54168.3396.2c b a c b a c b a ，解这个方程组，得a ＝0.2，b ＝－0.2，c ＝2.6，因此，所求二次函数的解析式为：y ＝0.2x 2－0.2x ＋2.6．（*）（2）由（*）式，当x ＝2时，y ＝3，此时所求函数值与B 点纵坐标的误差为0（亿元）． 当x ＝5时，y ＝6.6，此时所求函数值与E 点纵坐标的误差为0.3（亿元）（3）把x ＝6代入（*）式，得y ＝8.6，所以预测2002年该市的财政收入约为8.6亿元．21．（1）∵ 7336+＝19＞15， ∴ 王老师应选择绕道而行去学校． （2）设维持秩序时间为t ．则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-9336336t t ＝6，解之得t ＝3（分）． 答：维持好秩序的时间是3分钟．22．（1）①准确描出四点位置②猜测它是（3，18），（5，14）代入上式求得k ＝－2，b ＝24则有y ＝－2x+24时，（9，6），（11，2）代入知同样满足∴ 所求是y ＝－2x+24由实际意义知所求y ＝－2x+24（*） （0≤x ＜12和y ＝0（x ≥12）画出图象（2）①因为销售利润＝售出价－进货价， 则P ＝xy －2y将（1）中（*）式代入,则P ＝y （x －2）＝（24―2x ）（x ―2）＝－2x 2＋28x －48＝―2（x ―7）2＋50． 当x ＝7时，日销售利润获得最大值为50元．又当x ＞12时，即销售单价大于是2元时，此时无人购买，所以此时利润P ＝0（x ≥12）由实际意义知，当销售价x ＝0，即亏本卖出此时利润P ＝－48，即为最小值．②根据实际意义，有：0≤x＜2时亏本卖出当x＝2或x＝12时利润P＝0，当x＞12时，即高价卖出无人购买P＝0 故作出图象，知：x≥0，－48≤P≤50。

2020年中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）数1，0，−23，﹣2中最大的是（ ）A ．1B ．0C ．−23D ．﹣22．（4分）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（ ）A ．17×105B ．1.7×106C ．0.17×107D ．1.7×1073．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（4分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ）A ．47B ．37C ．27D ．17 5．（4分）如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，以CB ，CD 为边作▱BCDE ，则∠E 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°6．（4分）山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种．某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表：株数（株）79122花径（cm） 6.5 6.6 6.7 6.8这批“金心大红”花径的众数为（）A．6.5cm B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm7．（4分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．√2D．√38．（4分）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+150tanα）米C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+150sinα）米9．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2 10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ ＝15，则CR的长为（）A．14B．15C．8√3D．6√5二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：m2﹣25＝．12．（5分）不等式组{x−3＜0，x+42≥1的解为．13．（5分）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为．14．（5分）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg及以上的生猪有头．15．（5分）点P，Q，R在反比例函数y=kx（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为．16．（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为米，BC为米．三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）（1）计算：√4−|﹣2|+（√6）0﹣（﹣1）．（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．18．（8分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE．（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．19．（8分）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．（1）要评价这两家酒店7～12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量．（2）已知A，B两家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073（平方万元），0.54（平方万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由．20．（8分）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=√5MN．21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．22．（10分）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AĈ上一点，∠ADC＝∠G．（1）求证：∠1＝∠2．（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1=25，求⊙O的半径．23．（12分）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b．②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．24．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=245．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．2020年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）数1，0，−23，﹣2中最大的是（）A．1B．0C．−23D．﹣2【分析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案．【解答】解：﹣2＜−23＜0＜1，所以最大的是1．故选：A．【点评】本题考查了有理数大小比较的方法．（1）在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数．（3）两个正数中绝对值大的数大．（4）两个负数中绝对值大的反而小．2．（4分）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（）A．17×105B．1.7×106C．0.17×107D．1.7×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：1700000＝1.7×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据主视图的意义和画法进行判断即可．【解答】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项A 所表示的图形符合题意，故选：A ．【点评】考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．4．（4分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ）A ．47B ．37C ．27D ．17 【分析】根据概率公式求解．【解答】解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率=27．故选：C ．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．5．（4分）如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，以CB ，CD 为边作▱BCDE ，则∠E 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C ，再根据平行四边形的性质可求∠E ．【解答】解：∵在△ABC 中，∠A ＝40°，AB ＝AC ，∴∠C ＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴∠E ＝70°．故选：D ．【点评】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出∠C的度数．6．（4分）山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种．某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表：株数（株）79122花径（cm） 6.5 6.6 6.7 6.8这批“金心大红”花径的众数为（）A．6.5cm B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm【分析】根据表格中的数据，可以得到这组数据的中位数，本题得以解决．【解答】解：由表格中的数据可得，这批“金心大红”花径的众数为6.7，故选：C．【点评】本题考查众数，解答本题的关键是明确众数的含义，会求一组数据的众数．7．（4分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．√2D．√3【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO＝90°，∵OB＝1，∴BD=√3OB=√3，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练正确切线的性质定理是解题的关键．8．（4分）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+150tanα）米C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+150sinα）米【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC ＝CE+BE即可得出结论．【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE＝150，∴CE＝AD＝1.5，在△ABE中，∵tanα=BEAE=BE150，∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（m），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=−−122×(−3)=−2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ ＝15，则CR的长为（）A．14B．15C．8√3D．6√5【分析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP∽△HCQ，推出PCCQ =CECH=EP HQ =12，由PQ＝15，可得PC＝5，CQ＝10，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB＝CQ＝10，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题．【解答】解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．∵四边形ACDE，四边形BCJHD都是正方形，∴∠ACE＝∠BCH＝45°，∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝90°∴B，C，H共线，A，C，I共线，∵DE∥AI∥BH，∴∠CEP＝∠CHQ，∵∠ECP＝∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴PCCQ =CECH=EPHQ=12，∵PQ＝15，∴PC＝5，CQ＝10，∵EC：CH＝1：2，∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，∵PQ⊥CRCR⊥AB，∴CQ∥AB，∵AC∥BQ，CQ∥AB，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AB ＝CQ ＝10，∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴5a 2＝100，∴a ＝2√2（负根已经舍弃），∴AC ＝2√5，BC ＝4√5，∵12•AC •BC =12•AB •CJ ， ∴CJ =2√5×4√510=4， ∵JR ＝AF ＝AB ＝10，∴CR ＝CJ +JR ＝14，故选：A ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会踢脚线有辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：m 2﹣25＝ （m +5）（m ﹣5） ．【分析】直接利用平方差进行分解即可．【解答】解：原式＝（m ﹣5）（m +5），故答案为：（m ﹣5）（m +5）．【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）．12．（5分）不等式组{x −3＜0，x+42≥1的解为 ﹣2≤x ＜3 ． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【解答】解：{x −3＜0①x+42≥1②， 解①得x ＜3；解②得x ≥﹣2．故不等式组的解集为﹣2≤x ＜3．故答案为：﹣2≤x ＜3．【点评】考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．13．（5分）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为34π ． 【分析】根据弧长公式l =nπr 180，代入相应数值进行计算即可． 【解答】解：根据弧长公式：l =45⋅π×3180=34π， 故答案为：34π． 【点评】此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长公式．14．（5分）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg 及以上的生猪有 140 头．【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得质量在77.5kg 及以上的生猪数，本题得以解决．【解答】解：由直方图可得，质量在77.5kg 及以上的生猪：90+30+20＝140（头），故答案为：140．【点评】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（5分）点P ，Q ，R 在反比例函数y =k x （常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1+S 3＝27，则S 2的值为 275 ．【分析】设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （k 3a ，3a ），Q （k 2a ，2a ），R （k a ，a ），推出CP =3k 3a ，DQ =k 2a ，ER =k a ，推出OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF =23GA ，推出S 1=23S 3＝2S 2，根据S 1+S 3＝27，求出S 1，S 3，S 2即可．【解答】解：∵CD ＝DE ＝OE ，∴可以假设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （k 3a ，3a ），Q （k 2a ，2a ），R （k a ，a ）， ∴CP =3k 3a ，DQ =k 2a ，ER =k a ，∴OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF =23GA ，∴S 1=23S 3＝2S 2，∵S 1+S 3＝27，∴S 3=815，S 1=545，S 2=275， 故答案为275．【点评】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．16．（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD ，为了估测场地大小，在笔直的河岸l 上依次取点E ，F ，N ，使AE ⊥l ，BF ⊥l ，点N ，A ，B 在同一直线上．在F 点观测A 点后，沿FN 方向走到M 点，观测C 点发现∠1＝∠2．测得EF ＝15米，FM ＝2米，MN ＝8米，∠ANE ＝45°，则场地的边AB 为 15√2 米，BC 为 20√2 米．【分析】根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），于是得到AB＝AN﹣BN＝15√2（米）；过C作CH ⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AE⊥l，BF⊥l，∵∠ANE＝45°，∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，∴AE＝EN，BF＝FN，∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），∴AN＝25√2，BN＝10√2，∴AB＝AN﹣BN＝15√2（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，∴AE∥CH，∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，∴△AEF∽△CHM，∴CHHM =AEEF=2515=53，∴设MH＝3x，CH＝5x，∴CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，∴∠ABP+∠P AB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，∴∠P AB＝∠CBQ，∴△APB∽△BQC，∴APBQ =PBCQ，∴153x+2=155x−10，∴x＝6，∴BQ＝CQ＝20，∴BC＝20√2，故答案为：15√2，20√2．【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）（1）计算：√4−|﹣2|+（√6）0﹣（﹣1）．（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1+1＝2；（2）（x﹣1）2﹣x（x+7）＝x2﹣2x+1﹣x2﹣7x＝﹣9x+1．【点评】此题主要考查了实数运算以及完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（8分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE．（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE（AAS）；（2）∵△ABC≌△DCE，∴CE＝BC＝5，∵∠ACE＝90°，∴AE=√AC2+CE2=√25+144=13．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．19．（8分）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．（1）要评价这两家酒店7～12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量．（2）已知A，B两家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073（平方万元），0.54（平方万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由．【分析】（1）由要评价两家酒店月盈利的平均水平，即可得选择两家酒店月盈利的平均值，然后利用求平均数的方法求解即可求得答案；（2）平均数，盈利的方差反映酒店的经营业绩，A酒店的经营状况较好．【解答】解：（1）选择两家酒店月盈利的平均值；=2.5，x A=1+1.6+2.2+2.7+3.5+46=2.3；x B=2+3+1.7+1.8+1.7+3.66（2）平均数，方差反映酒店的经营业绩，A酒店的经营状况较好．理由：A酒店盈利的平均数为2.5，B酒店盈利的平均数为2.3．A酒店盈利的方差为1.073，B酒店盈利的方差为0.54，无论是盈利的平均数还是盈利的方差，都是A酒店比较大，故A酒店的经营状况较好．【点评】此题考查了折线统计图的知识．此题难度适中，注意掌握折线统计图表达的实际意义是解此题的关键．20．（8分）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=√5MN．【分析】（1）根据题意画出线段即可；（2）根据题意画出线段即可．【解答】解：（1）如图1，线段EF 和线段GH 即为所求；（2）如图2，线段MN 和线段PQ 即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．（10分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a ，b 的值．（2）若（5，y 1），（m ，y 2）是抛物线上不同的两点，且y 2＝12﹣y 1，求m 的值．【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1解方程组即可得到结论；（2）把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得到y 1＝6，于是得到y 1＝y 2，即可得到结论．【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1得，{−2=a +b +113=4a −2b +1， 解得：{a =1b =−4； （2）由（1）得函数解析式为y ＝x 2﹣4x +1，把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得，y 1＝6，∴y 2＝12﹣y 1＝6，∵y 1＝y 2，∴对称轴为x ＝2，∴m ＝4﹣5＝﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，正确的理解题意是解题的关键．22．（10分）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AĈ上一点，∠ADC＝∠G．（1）求证：∠1＝∠2．（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1=25，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2；（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠G，∴AĈ=AD̂，∵AB为⊙O的直径，∴BĈ=BD̂，∴∠1＝∠2；（2）如图，连接DF，∵AĈ=AD̂，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，∵点C，F关于DG对称，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，∵tan ∠1=25，∴EB ＝DE •tan ∠1＝2，∵∠1＝∠2，∴tan ∠2=25，∴AE =DE tan∠2=252，∴AB ＝AE +EB =292，∴⊙O 的半径为294．【点评】本题考查了圆周角定理、轴对称的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．23．（12分）某经销商3月份用18000元购进一批T 恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T 恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T 恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a 件，然后将b 件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①用含a 的代数式表示b ．②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．【分析】（1）根据4月份用39000元购进一批相同的T 恤衫，数量是3月份的2倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得4月份进了这批T 恤衫多少件；（2）①根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于a 、b 的方程，然后化简，即可用含a 的代数式表示b ；②根据题意，可以得到利润与a 的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可以得到a 的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值．【解答】解：（1）设3月份购进x 件T 恤衫，18000x +10=390002x ，解得，x ＝150，经检验，x ＝150是原分式方程的解，则2x ＝300，答：4月份进了这批T恤衫300件；（2）①每件T恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），（180﹣130）a+（180×0.8﹣130）（150﹣a）＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）化简，得b=150−a2；②设乙店的利润为w元，w＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）＝54a+36b﹣600＝54a+36×150−a2−600＝36a+2100，∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，∴a≤b，即a≤150−a2，解得，a≤50，∴当a＝50时，w取得最大值，此时w＝3900，答：乙店利润的最大值是3900元．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．24．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=245．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．【分析】（1）推出∠AED＝∠ABF，即可得出DE∥BF；（2）求出DE＝12，MN＝10，把y=245代入y=−65x+12，解得x＝6，即NQ＝6，得出QM＝4，由FQ＝QB，BM＝2FN，得出FN＝2，BM＝4，即可得出结果；（3）连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF＝EM，求出∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，∠MEB＝∠FBE ＝30°，得出∠EHB＝90°，DF＝EM＝BM＝4，MH＝2，EH＝6，由勾股定理得HB＝2√3，BE＝4√3，当DP＝DF时，求出BQ=223，即可得出BQ＞BE；②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y＝0，则x＝10；（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，则FQDP =CFCD，即可求出x=10 3；（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，则PEBQ =AEAB，求出AE＝6√3，AB＝10√3，即可得出x=143，由图可知，PQ不可能过点B．【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=12×180°＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x＝0，得y＝12，∴DE＝12，令y＝0，得x＝10，∴MN＝10，把y=245代入y=−65x+12，解得：x＝6，即NQ＝6，∴QM＝10﹣6＝4，∵Q是BF中点，∴FQ＝QB，∵BM＝2FN，∴FN+6＝4+2FN，解得：FN＝2，∴BM＝4，∴BF＝FN+MN+MB＝16；（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：∵FM＝2+10＝12＝DE，DE∥BF，∴四边形DFME是平行四边形，∴DF＝EM，∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，∴∠DEA＝30°，∴∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，∴∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，∴∠DFM＝∠DEM＝120°，∴∠MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠MEB＝∠FBE＝30°，∴∠EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4，∴MH=12BM＝2，∴EH＝4+2＝6，由勾股定理得：HB =√BM 2−MH 2=√42−22=2√3，∴BE =√EH 2−HB 2=√62+(2√3)2=4√3，当DP ＝DF 时，−65x +12＝4，解得：x =203，∴BQ ＝14﹣x ＝14−203=223， ∵223＞4√3，∴BQ ＞BE ；②（Ⅰ）当PQ 经过点D 时，如图3所示：y ＝0，则x ＝10；（Ⅱ）当PQ 经过点C 时，如图4所示：∵BF ＝16，∠FCB ＝90°，∠CBF ＝30°，∴CF =12BF ＝8，∴CD ＝8+4＝12，∵FQ ∥DP ，∴△CFQ ∽△CDP ，∴FQ DP =CF CD ， ∴2+x−65x+12=812，解得：x =103；（Ⅲ）当PQ 经过点A 时，如图5所示：∵PE ∥BQ ，∴△APE ∽△AQB ，∴PE BQ =AE AB ，由勾股定理得：AE =√DE 2−AD 2=√122−62=6√3，∴AB ＝6√3+4√3=10√3，∴12−(−65x+12)14−x=√310√3， 解得：x =143，由图可知，PQ 不可能过点B ；综上所述，当x ＝10或x =103或x =143时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．。

2020年山西中考专题分析——2009-2019年山西省中考数学试题知识点分布及考查题型小结：实际应用问题一、选择填空题题型分类讲解（一）列代数式问题（11年8考，近三年未考；考查特点：以考查图形规律探索为主） 类型一.实际应用问题中的列代数式问题 考查次数：11年1考（仅2017年考查） 考查题型：填空题/选择 考查难度：送分题解决关键：找准题中的等量关系1.（2017山西12题3分）某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为a 元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为 元．类型二.几何问题中的列代数式问题考查次数：11年1考（仅2009年考查） 考查题型：填空题/选择 考查难度：送分题解决关键：找准几何图形中的等量关系7．（2009山西7题3分）如图（1），把一个长为m ，宽为n 的长方形（m ＞n ）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）A ．B ．m ﹣nC ．D ．拓展训练：练习1.（2018•河北）用一根长为a （单位：cm ）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图的方式向外等距扩1（单位：cm ）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ）A 、4cmB 、8cm C、（a ＋4）cm D 、（a ＋8）cm类型三.代数式找规律问题中的列代数式问题 考查次数：11年1考（仅2013年考查） 考查题型：填空题/选择 考查难度：送分题解决关键：分别找对应部分的规律15．（2013山西15题3分）一组按规律排列的式子：a 2，，，，…，则第n 个式子是 （n 为正整数）．4.图形找规律问题中的列代数式问题考查次数：11年5考 考查题型：填空题/选择 考查难度：送分题考查形式：结合图形考查等差数列找规律问题（即考查固定增加图形）解决步骤：①找关系:找后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数之间的关系,一 般通过作差的形式进行观察;②找规律:若第一个图形所求元素个数为a,第二个图形所求元素个数比第一个图形所求元素个数多b,且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b,则第n 个图形所求元素个数为a+b(n-1);③验证:代入序号验证所求代数式.④注意：若结果有单位，则加括号原则：多加单不加（即多项式加括号， 单项式不加括号）13．（2016山西13题3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．12．（2015山西12题3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n 个图案有 个三角形（用含n 的代数式表示）16．（2012山西16题2分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 ．16．（2011山西16题3分）如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒…，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒 根（用含有n 的代数式表示）．17．（2009山西17题2分）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为 个．拓展训练：练习1.如图所示是用棋子摆成的“Y ”字图案，则第n 个图案中棋子的数量为 （用含n 的代数式表示）.（二）列方程问题：类型一.一元一次方程的应用问题 考查次数：11年3考 考查题型：填空题/选择 考查难度：送分题考查形式：①列一元一次方程问题②解一元一次方程问题考查模型：利息问题/销售（折扣）问题/几何图形面积体积问题解决关键：找准等量关系9．（2013山西9题2分）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%．若到期后取出得到本息（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确的是（ ）A ．x +3×4.25%x ＝33825B ．x +4.25%x ＝33825C ．3×4.25%x ＝33825D ．3（x +4.25x ）＝33825 10．（2011山西10题2分）“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．x （1+30%）×80%=2080B ．x •30%•80%=2080C ．2080×30%×80%=xD ．x •30%=2080×80%17.（2012山西17题2分）图1是边长为30cm 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm 3．类型二.一元二次方程的应用问题考查次数：11年2考 考查题型：填空题/选择 考查难度：送分题考查形式：①列一元二次方程问题②解一元儿次方程问题考查模型：增长率问题/几何图形面积体积问题 解决关键：找准等量关系13.（2019山西13题3分）如图，在一块长12m，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为．15．（2011山西15题3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力．2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为．类型三.分式方程的应用问题考查次数：11年1考考查题型：填空题/选择考查难度：送分题考查形式：列分式方程问题考查模型：行程问题/工程问题/销售问题解决关键：找准等量关系找等量关系技巧：列表格法7．（2016山西7题3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物，设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（）A ．B ．C ．D．类型四.一元一次不等式的应用问题考查次数：11年1考考查题型：填空题/选择考查难度：送分题考查形式：解一元一次不等式问题考查模型：行程问题/工程问题/销售问题解决关键：找准不等量关系找不等量关系技巧：找关键词（至多至少等等）13．（2018山西13题3分）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm．类型五.二次函数的应用问题考查次数：11年2考考查题型：填空题/选择考查难度：送分题考查形式：①列二次函数解析式问题②用二次函数解析式解决求边长问题考查模型：拱桥问题解决关键：建系（即根据题中条件建立恰当的平面直角坐标系，进而求其解析式）9.（2019山西9题3分）（求二次函数解析式问题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）A．y＝x 2 B．y＝﹣x2C．y＝x2 D．y＝﹣x218．（2013山西18题3分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m．二、解答题题型分类讲解（一）函数类的应用问题考查形式1.一次函数的应用问题：类型一.方案选择问题考查次数：11年3考考查题型：解答题考查形式：①求解析式（注意：解决步骤不可少：设→列→解→下）②给y的大小求x的范围（解决关键：列不等式，解不等式）③给y的值求x的值（解决关键：列一元一次方程，解一元一次方程）考查难度：中档题考查模型：方案选择问题（文字/图形）19.（2019山西19题8分）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．20．（2016山西20题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg﹣5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．24．（2013山西24题8分）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是 ．乙种收费的函数关系式是 ． （2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？类型二.一次函数求最值问题考查次数：11年1考（仅20010年考查） 考查题型：解答题考查形式：求一次函数解析式+最值 考查难度：中档题考查模型：方案设计问题解决步骤：①求解析式→即求出一次函数的解析式y=kx+b(k ≠0)②定增减性→即由k 的正负，确定所求一次函数解析式的增减性③定范围→即确定所求一次函数解析式中自变量x 的范围④求最值→即由一次函数的增减性和自变量的范围，求函数的最值例如:所求的解析式是y=2x+200，x 的范围是10≤x ≤20则求函数值的最大值过程解答如下： “∵2>0 ∴y=2x+200是增函数 ∵2010≤≤x∴当x 取到最大值20时，y 取到最大值240”24．（2010山西24题8分）（一元一次不等式组+一次函数求最值问题+方案选择问题）某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服．（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？ （2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？考查形式2.二次函数的应用问题：考查次数：11年1考（仅2009年考查） 考查题型：解答题考查形式：求二次函数解析式+最值 考查难度：中档题考查模型：销售（利润）问题 解决步骤：①求解析式→即求出二次函数的解析式（注意：所求二次函数解析式必须 要配成顶点式.）②定范围→即根据题中条件确定所求解析式中自变量x 的范围.③求最值→即由所求二次函数的解析性和自变量的范围，结合二次函数的草图求二次函数的最值.24．（2009山西24题8分）某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y 甲（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系y 甲=0.3x ；乙种水果的销售利润y 乙（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系y 乙=ax 2+bx （其中a ≠0，a ，b 为常数），且进货量x 为1吨时，销售利润y 乙为1.4万元；进货量x 为2吨时，销售利润y 乙为2.6万元．（1）求y 乙（万元）与x （吨）之间的函数关系式． （2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t 吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W （万元）与t （吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？（二）方程+不等式的应用问题考查次数：11年5考（仅2009年考查） 考查题型：解答题 考查难度：中档题考查模型：销售（利润）问题/行程问题/工程问题/几何图形面积问题考查形式.①一元一次方程②分式方程③分式方程+一元一次不等式④二元一次方程组+一元一次不等式 ⑤分式方程+一元二次方程解决关键：（1）列方程（一元一次方程/分式方程/一元二次方程/一元一次方程）问题①解决关键：找准等量关系②找等量关系方法：表格法（适用于：行程问题/工程问题/销售（利润）问题）③注意：分式方程必检验分式方程检验模板：检验：当x=a 时，原方程成立 ∴x=a 时，是原方程的解（2）列不等式（一元一次不等式）问题 ①解决关键：找准不等量关系②找不等量关系方法：找准关键词（之多至少等等） ③注意：x>a(当a 为分数时，必须说明“∵x 为正整数∴x 取某数（某数为所求范围内距离a 最近的整数”）例如:所解的不等式结果是x>1160，必须说明 “∵x 为正整数 ∴x 取6”24．（2012山西24题10分）（一元二次方程+销售问题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？20．（2018山西20题8分）（分式方程+行程问题）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．19．（2017山西19题7分）（二元一次方程组+一元一次不等式）“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一．2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列问题：（1）求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩．（2）2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？22．（2015山西22题7分）（二元一次方程组+一元一次不等式）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表：请解答下列问题：（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg？22．（2014山西22题9分）（分式方程+一元二次方程+工程问题+几何图形面积问题）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的 1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？。