高二数学上学期期中试题 理6

2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为　﹣=1　．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为　+1　．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为　2　．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

【高二】安微省池州市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题试卷说明：第一学期中考大二数学笔记：1。

在答题纸的指定位置填写你的姓名、班级、考试号和其他信息。

2.请在答题纸上正确填写答案。

选择题：这道大题有10道小题，每道小题5分，共计50分。

每个小问题中给出的四个选项中只有一个符合问题的要求。

假设点B是点a（3，4，-2）在平面上的投影，它等于（）B.c.5d 2。

以下是四个命题：① 如果“”是一个错误命题，那么它们都是错误命题；② 命题“如果，那么”的无命题是“如果，那么”；③ 对“任意”命题的否定是“存在”；④ 中，是不正确命题个数为a.4b 3c的充要条件。

2d。

13.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，从抛物线上的点到焦点的距离为4，那么（）a.4b的值。

-2c。

4或-4d。

12或-2为焦点，顶点为焦点的椭圆标准方程为（）a.b.c.d.5，已知空间四边形的对角线为，分别为边的中点，点在线段上，矢量为（）a.b.c.d.6。

方程表示的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线7。

立方体abcd-a1b1c1d1中直线与平面之间的夹角的余弦为（）a.b.c.d.8。

它是椭圆的两个焦点，穿过并垂直于椭圆长轴的直线在两点处与椭圆相交。

如果是等边三角形，椭圆的偏心率为（）a.b.c.d.9，抛物线上最靠近直线的点的坐标为（）a.b.c.d.10，椭圆的左焦点和右焦点分别为，弦AB穿过。

如果椭圆的内切周长为，则a点和B点的坐标分别为和（a.B.c.d.）2。

填空：在这个大问题中有5个小问题，每个小问题有5分，总共25分在答案的相应部分填写答案并满足约束条件：；的值范围是12。

在已知的平行六面体中，轴上的偏心率为2，即左右焦点。

P是双曲线上的一个点，那么双曲线的标准方程是___14。

在直角坐标系中，让a（-2,3），B（3，-2）沿轴将直角坐标平面折叠成大小的二面角。

2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】D【分析】直接利用两条直线平行的充要条件进行求解即可． 【详解】解：因为直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，所以1(1)201(1)10a a ⨯--=⎧⎨⨯--⨯≠⎩，解得12a =-．故选：D ．2．若a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b > B ．11a b> C ．22a b > D ．ln ln a b >【答案】C【分析】利用特殊值1a =-，4b =-判断选项A ，利用作差法判断选项B ，利用指数函数的单调性判断选项C ，利用对数的定义判断选项D ，【详解】解：因为a b >，若1a =-，4b =-，则22a b <，故选项A 错误； 因为11b a a b ab--=，当0ab >时，11a b <，故选项B 错误；因为2x y =在R 上为增函数，若a b >，则22a b >，故选项C 正确； 若0a b >>，则lna 和lnb 无意义，故选项D 错误． 故选：C ．3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数应为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B【分析】由分层抽样的概念求解，【详解】设从高二学生中抽取的人数为x ，则7=210270x ，得9x =， 故选：B4．有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中()1,2,3,i i y x c i n =+=，c 为非零常数，则这两组样本数据（ ）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．标准差不相同D ．极差相同【答案】D【分析】由各个统计量的概念判断， 【详解】对于A ，设12,,,n x x x 的平均数为x ，则12,,,n y y y 的平均数为x c +，对于B ，设12,,,n x x x 的中位数为m ，则12,,,n y y y 的中位数为m c +，对于C ，由方差与标准差的计算公式，可得12σσ=， 对于D ，max min max min x x y y -=-，两组样本数据极差相同 故选：D5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ） A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特点，判断选项. 【详解】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，②中1000户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜采用分层抽样. 故选：C6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào ）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为A ．6B ．21C ．27D ．54【答案】C【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.7．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==.故选：D.8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,m αβα⊂，则//m β. D ．若//m β，m α⊂，则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α，B 选项两条直线位置关系不能确定，C 选项正确，D 选项两个平面相交也能满足//m β，m α⊂.【详解】A 选项，当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α，所以该选项不正确；B 选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；C 选项，根据面面平行的性质，说法正确；D 选项，当两个平面相交，m α⊂且平行于交线，也满足//m β，m α⊂，所以不能推出面面平行. 故选：C【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.9．在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.75【答案】A【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.【详解】20组数据中，都不含1,2,3,4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989； 故三只豚鼠都没被感染的概率为：50.2520=. 故选：A .10．若正数x ，y 满足32x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．25C ．5D ．252【答案】D【分析】由基本不等式求解， 【详解】由题意得3132x y xy y x+=+=，则 31123()131323625(34)2222y xx y x y x y +++++=≥=，当且仅当123y x x y =即55,24x y ==时等号成立， 故选：D11．在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）的概率是（ ）A ．23B ．34C 3D 2【答案】A【分析】根据()()()=ΩS A P A S 计算即可． 【详解】解：记此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）为事件A ， 此点取自梯形ABCD 为事件Ω， 在Rt CEB △中，·sin b c CEB =∠，·cos a c CEB =∠，()22222232?sin cos ?sin 302a b c c CEB CEB c c c ∴+=+∠⋅∠=+︒=， 212△=⋅DCE S c ，()221324梯形=⋅+=ABCD S a b c ，()()()22122334∴===Ωc S A P A S c ．故选：A ．12．若,x y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A ．1x y +≥B ．2x y +≥C ．221x y +≤D ．222x y +≤【答案】D【分析】由基本不等式求解，【详解】由题意得222x y xy ≤+，即222221x x y y -++≤，得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时等号成立，故C 错误，而0,1x y ==-时满足题意，故A ，B 错误， 故选：D二、填空题13．若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．从甲、乙等5名同学中随机选3名组成校庆志愿小分队，则甲、乙都不入选的概率为 ________. 【答案】110##0.1 【分析】由组合数与古典概型求解，【详解】由题意得甲、乙都不入选的概率为3511C 10p ==， 故答案为：11015．某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表：若x 与y 之间是线性关系，且根据上表可得回归直线方程ˆ68y x =+，现发现表中有一个数据模糊看不清，该数据是___________. 【答案】31【分析】根据回归方程过样本中心点可得答案. 【详解】设表中模糊不清数据为m ，由表知6345109: 4.5,44m x y ++++===， 代人回归方程ˆ68yx =+中，得1096 4.584m+=⨯+，解得31.m = 故答案为：31.16．在三棱锥ABCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________. 【答案】【分析】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,可证明AM DM ⊥，通过几何关系可得到外接球的半径为OB =【详解】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,则,E F 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，AM BC ⊥，DM BC ⊥， 因为平面ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AM ⊂平面,ABC 所以AM ⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得//DM OE ，所以四边形OEMF 是平行四边形， 因为AM BC ⊥，DM BC ⊥，AMDM M =，,AM DM ⊂平面ADM ，所以BC ⊥平面ADM ，又OM ⊂平面ADM ，所以OM BC ⊥， 因为AM ⊥平面BCD ，DM ⊂平面BCD ， 所以AM DM ⊥， ∵3633AM DM === ∴133EM FM AM ==∴四边形OEMF 为正方形，∴6OM = 在直角三角形OMB 中，球半径()22226315OB OM BM =++∴外接球体积为341520153ππ⨯=，故答案为：2015π三、解答题17．求下列不等式的解集： (1)2450x x -++<； (2)5131x x +<+. 【答案】(1){|1x x <-或5}x > (2){|11}x x -<<【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解， （2）移项，通分后化简求解，【详解】（1）由2450x x -++<，得2450x x --> 解得1x <-或5x >.所以不等式的解集为{|1x x <-或5}x >； （2）由5131x x +<+，可得2201x x -<+， 等价于(1)(1)0x x -+<，解得11x -<<， 所以不等式的解集为{|11}x x -<<．18．某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x （单位：元）及该月对应的用户数量y （单位：万人），得到如下数据表格：已知x 与y 线性相关.(1)求y 关于x 的线性回归方程55211135,41.7i i i i i x x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；(2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(1,2,,)i i x y i n =，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =- 【答案】(1)0.320.06y x =- (2)3.14万人【分析】（1）根据已知数据，先求得,x y ，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程； （2）利用回归方程估计.【详解】（1）解：由()13456755x =⨯++++=()11 1.1 1.5 1.9 2.2 1.54.5y =⨯++++=有241.755 1.54ˆ0.32, 1.540.3250.0613555ba -⨯⨯===-⨯=--⨯， 故y 关于x 的线性回归方程为0.320.06y x =-；（2）解：由（1）知回归方程为0.320.06y x =-，当10x =时，0.32100.06 3.14y =⨯-=， 所以预测该月的用户数量为3.14万人.19．已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：该保险公司这种保险的赔付规定如下：将所抽样本的频率视为概率．（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付()2.5 1.5a a a ++元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付()2.5 1.50.5a a a a +++元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值．【答案】（1）1.035a ；（2）0.945a .【分析】（1）得出保费0.9a ，a ，1.5a ，2.5a ，4a 对应的概率，即可得出本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）先计算出每个赔偿金额对应的概率，然后按照平均值的计算公式得出本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；【详解】（1）由题意可得保费（元）0.9a a 1.5a 2.5a4a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人保费的平均值的估计值为0.90.70.2 1.50.06 2.50.0340.01 1.035⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a a（2）由题意可得赔偿金额（元）0 2.5a4a5a 5.5a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a00.7 2.50.240.0650.03 5.50.010.94520．某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参x i=全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：加此次测试的学生的分数(1,2,3,,200)i[45，55)，[55，65)，⋯，[85，95]，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x；x i=的方差2s，并判断此次得分为52分和94分的两名(2)试估计这200名学生的分数(1,2,3,,200)i同学的成绩是否进入到了[2,2]x s x s -+范围内？（参考公式：2211()n i i i s f x x n ==-∑，其中i f 为各组频数；参考数据：12911.4)≈【答案】(1)m 0.024=，75(2)129，进入【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出m 的值，再根据平均数的定义可求出x ；（2）利用方差公式求出方差2s ，然后计算出[2,2]x s x s -+，再判断即可.【详解】（1）(0.0060.014++m 0.0360.020)101++⨯=．∴m 0.024=.∴该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：500.06600.14700.24800.36900.275⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.（2）2211()n i i i s f x x n ==-∑ 222220.06(5075)0.14(6075)0.24(7075)0.36(8075)0.2(9075)=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-129=．∴s 12911.4=≈，∴252.2,297.8x s x s -=+=．∴得分为52分的同学的成绩没有进入到[52.2，97.8]内，得分为94分的同学的成绩进入到了[52.2，97.8]内．21．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 中点．(1)求证：DE ⊥平面PCB ；(2)求二面角E BD P --的余弦值．【答案】(1)证明见解析6【分析】（1）根据条件先证BC ⊥平面PCD ，得到BC ⊥DE ，再由DE ⊥PC ，即可证明DE ⊥平面PCB .（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE ，平面PDB 的法向量，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明:PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又∵正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，又∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE ，∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，DE ⊥PC ，PC BC ＝C ，且PC ⊂面PCB ，BC ⊂面PCB∴DE ⊥平面PCB（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,1,1,D P B E则()()2,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则220000x y n DB y z n DE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩， 令1z =，得到1,1y x =-=，()1,1,1n ∴=-又()()0,2,0,2,0,0C A ，则()2,2,0AC =-，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为()1,1,0m =-，设二面角E BD P --的平面角为α，则1cos cos ,m n α+=<>== 所以二面角E BD P -- 22．已知函数()2()22f x ax a x =-++，a R ∈(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集；(2)若存在0m >使关于x 的方程(21)xf -11m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(,4-∞--【分析】(1)对a 进行讨论，分别求出其解集即可；（2）先令11t m m =++ 由0m >，则可得3t ≥，再将关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-= 有两个不同正根，结合根与系数的关系，即可求解.【详解】（1）当a<0时，不等式的解集为或2{|1}x x a≤≤； 当0a =时，不等式的解集为 {|1}x x ≤；当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a ≤或1}x ≥； （2）当 0m > 时，令 1113s m m =++≥=，当且仅当1m =时取等号，设 |21|x t -=，则原方程可化为2()(2)20g t at a t s =-++-=.由题意知()0g t =在(0,1)有两个不等的实根.因为(0)20g s =-<，(1)0g s =-<，固有()()224200201a a s a aa ⎧⎪∆=+-->⎪<⎨⎪+⎪<<⎩解得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.。

市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）命题人：袁芹芹一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知向量a =(-1,1,-1)，b =(2, 0,-3)，则a b 等于（ ） A.2 B. -4 C. -5 D.12.不等式021≥+-xx的解集为（ ）A ．]1,2[-B ．]1,2(-C ．),1()2,(+∞--∞D ．),1(]2,(+∞--∞ 3. 下列命题中是假命题的是（ ） A ．若a > 0，则2a>1 B ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0 C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列4．已知{}n a 是等比数列，1414,2a a ==,则公比q 等于 （ ）A ．21-B ．-2C ． 2D ．215. 命题“任意x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是 （ ） A ．任意x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．存在x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0 6. 如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －c D ．－a ＋b ＋c7. 若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b >8. 若命题))((q p ⌝∨⌝为真命题，则p ，q 的真假状况为（ ）A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假 9. 已知变量x ，y 满足条件，则目标函数z=2x+y( )A ．有最小值3，最大值9B ．有最小值9，无最大值C ．有最小值8，无最大值D ．有最小值3，最大值810．已知数列{}n a 的前n 项和12+=+n n S n ，则3=a （ ）A. 321 B. 281 C. 241 D. 20111. 设2910n a n n =-++，则数列{}n a 前n 项和最大值时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9或10D ．4或512. 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 ( )．A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知0,0,0>>>n y x ，41,x y +=则yx 41+的最小值为 ． 14. 若不等式22214x a x ax ->++对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________ 15.在数列{}n a 中，11a =，13(1)n n a S n +=≥，则数列{a n }的通项公式。

四川省成都市郫都区2019-2020学年度上期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.直线x+y-1=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A. B. C. D.3.双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A. 1B.C.D. 24.下列说法正确的是（）A. 命题“3能被2整除”是真命题B. 命题“,”的否定是“,”C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D. 命题“若a、b都是偶数,则是偶数”的逆否命题是假命题5.已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.直线l1：x+ay+6=0与l2：（a-2）x+3y+2a=0平行，则a的值等于（）A. 或3B. 1或3C.D.7.设m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γA. 和B. 和C. 和D. 和8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（）A. B. C. D.9.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 1B. 3C. 6D. 210.已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（）A. 1条B. 2 条C. 3 条D. 4 条11.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A. B. C. D.12.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知x、y满足不等式组，则z=3x+y的最大值为______．14.体积为4π的球的内接正方体的棱长为______．15.椭圆+=1与双曲线-=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2= ______ ．16.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．19.已知在等比数列{a n}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和S n．20.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．21.已知动点M（x，y）满足：．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设过点N（-1，0）的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设直线x+y-1=0的倾斜角为α．直线x+y-1=0化为．∴tanα=-．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C．把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，由双曲线的方程为，可得焦点坐标为（-2，0）（2，0），渐近线的方程为y=±x；结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为d==，故选：C．根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案．本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可．4.【答案】C【解析】解：对于A，3不能被2整除，∴“3能被2整除”是假命题，A错误；对于B，“∃x0∈R，x02-x0-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2-x-1≥0”，∴B错误；对于C，47不是7的倍数，49是7的倍数，∴“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题，C正确；对于D，“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，∴D错误．故选：C．A，3不能被2整除，判断A是假命题；B，写出命题的否定，即可判断B是假命题；C，由47不是7的倍数，49是7的倍数，利用复合命题的真假性判断即可；D，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可．本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/q故选：B．利用量平面平行的定义推出a与b没有公共点；a与b没有公共点时推不出α∥β，举一个反例即可．利用充要条件定义得选项．本题考查两个平面平行的定义：两平面无公共点；充要条件的判断．6.【答案】D【解析】解：因为两条直线平行，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：a=-1，故选：D．直接利用两直线平行的充要条件，列出方程求解，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．7.【答案】D【解析】解：由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：∵m⊥α，n∥α，∴m⊥n，故①正确；∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故②不正确；∵m∥α，n∥α，∴m与n相交、平行或异面，故③不正确；∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，∵m⊥α，∴m⊥γ，故④正确．故选：D．由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：m⊥α，n∥α⇒m⊥n；α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β或α与β相交；m∥α，n∥α⇒m与n相交、平行或异面，故③不正确；α∥β，β∥γ⇒α∥γ，由m⊥α，知m⊥γ．本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.【答案】A【解析】解：如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴k=±．故选：A．直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上的虚线部分，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2.故选D．10.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，即（x+1）2+（y-2）2=4，其圆心为（-1，2），半径r1=2，圆C2：（x-3）2+（y+1）2=1，其圆心为（3，-1），半径r2=1，则有|C1C2|==5＞r1+r2，两圆外离，有4条公切线；故选：D．根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案．本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小.【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y-4=0的距离为：d==，此时r=，∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=.故选A.12.【答案】A【解析】解：椭圆的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F1F2|•|y0|，又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A．由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】9【解析】解：作出x、y满足不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中A（2，3），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（2，3）=9．故答案为：9．作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=3时，求出z=3x+y取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：设球的半径为R，正方体的棱长a，则=4，∴R3=，∴R=，则由正方体的性质可知，正方体的体对角线=2R=2，∴a=2，故答案为：2．先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意设焦点F2（2，0）、F1（-2，0），∴3+b2=4，求得b2=1，双曲线-=1，即双曲线-y2=1．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，可得|PF1|=+，|PF2|=-，且|F1F2|=4．再由余弦定理可得cos∠F1PF2=即=，故答案为：．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求得|PF1|和|PF2|的值，根据|F1F2|=4，利用余弦定理可得cos∠F1PF2的值．本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程，余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y-2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，得，得m＜-3，即q：m＜-3．（2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根则，解得-2＜m＜-1，即p：-2＜m＜-1．因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，，解得-2＜m＜-1；当p为假，q为真时，，解得m＜-3．综上，-2＜m＜-1或m＜-3．【解析】（1）根据双曲线的标准方程进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可．本题主要考查复合命题的真假应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】解：（Ⅰ）由2cos A cos C（tan A tan C-1）=1得：2cos A cos C（-1）=1，∴2（sin A sin C-cos A cos C）=1，即cos（A+C）=-，∴cos B=-cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=，b=，∴-2ac-3=ac，即ac=，∴S△ABC=ac sin B=××=．【解析】（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cos B的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cos B，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cos B的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则a n=a1q n-1=2n，n∈N*；（Ⅱ）=+2log22n-1=+2n-1，则数列{b n}的前n项和S n=（++…+）+（1+3+…+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2．【解析】（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A-BDEF=2×=2×=．【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.【答案】解：（1）由已知，动点M到点P（-1，0），Q（1，0）的距离之和为2，且|PQ|＜2，所以动点M的轨迹为椭圆，而a=，c=1，所以b=1，所以，动点M的轨迹E的方程：+y2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，-y1），由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x+1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=-，x1x2=，直线BC的方程为：y-y2=（x-x2），所以y=x-，令y=0，则x====-2，所以直BC与x轴交于定点D（-2，0）．【解析】（1）分别求出a，b，c的值，求出M的轨迹方程即可；（2）输出直线l的方程为：y=k（x+1），联立直线和椭圆的方程，根据根与系数的关系，求出定点D的坐标即可．本题考查了求椭圆的轨迹方程问题，考查直线和椭圆的关系以及韦达定理的应用，是一道中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，e==，a2-b2=c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，S△OAB=××=；②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-，x1x2=，由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=•=•=•=•=•≤•=2，当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，和基本不等式的运用，属于中档题．。

绝密★启用前银川二中2022-2023学年第一学期高二年级期中考试理 科 数 学 试 题命题：米永强 李丽 审核：任晓勇注意事项：1. 本试卷共22道题，满分150分。

考试时间为120分钟。

2. 答案写在答题卡上的指定位置。

考试结束后，交回答题卡。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知命题:R,25x p x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．R,25x x ∀∉>B ．R,25x x ∀∈≤C ．00R,25xx ∃∈> D ．00R,25xx ∃∈≤2. 已知等差数列}{n a 的公差为d ，则“0>d ”是“数列}{n a 为单调递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列{}n a 满足13512a a a ++=，10111224a a a ++=，则{}n a 的前13项的和为（ ）A ．12B ．36C ．78D ．1564. 若a b >，0ab ≠，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22b a > B ．bc ac > C ．ba 11> D ．c b c a +>+5. 命题“若1a b +>，则,a b 中至少有一个大于1”的否命题为（ ）A ．若,a b 中至少有一个大于1，则1a b +>B ．若1a b +≤，则,a b 都不大于1C ．若1a b +≤，则,a b 中至少有一个大于1D ．若1a b +≤，则,a b 中至多有一个大于16. 滕王阁始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小华同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12m ，在它们的地面上的点M 处（B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A ，滕王阁顶部C 的仰角分别为15︒和60︒，在楼顶A 处测得阁顶部C 的仰角为30，则小华估算滕王阁的高度为（1.732≈，精确到1m ）A ．42mB ．45mC ．51mD ．57m7. 已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（ ） A ．54B ．54-C ．45D ．54-或548. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789(a a a ++= )A ．144B ．81C ．45D ．639. 若命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．[)1,+∞ 10. 已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值（ ）A． B． CD11. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即()()()()()()121,123,F F F n F n F n n n *===-+-≥∈N ，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列}{n b ，则54321b b b b +++ 的值为 ( )A ．72B ．71C ．73D ．7412. 已知数列}{n a 的前n 项和为，n S 且满足，)(333221*∈=+++N n n a a a n n 若对于任意的 ]1,0[∈x ，不等式21)1(222+-++--<a a x a x S n 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )A .),3[]1,(+∞--∞ B. ),3]1,(+∞--∞（C . ),1[]2,(+∞--∞ D. ),12,(+∞--∞（）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知实数,x y 满足约束条件2027020x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则34z x y =+的最大值是__________.14. 在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边．若c b a ,,成等比数列，且c b a c a )(22-=-，则A 的大小是___________.15. 写出一个同时满足下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________． ①{}n a 是无穷数列； ②{}n a 是单调递减数列； ③20n a -<<.16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1222,(1)2n n n a a a -+=+-=，则60S =_________.三、解答题：本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设命题p :实数x 满足32≤<x ，命题q :实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0>a .(1)若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在①3213a a a b ++=，②133=S 这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知等差数列}{n a 的各项均为正数，32=a ，且3,1,532++a a a 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)已知正项等比数列}{n b 的前n 项和为n S ，11a b =，_________，求n S ．（注：如果选择两个条件并分别作答，只按第一个解答计分.）19.（本小题满分12分）ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知0cos 3sin =+B a A b ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2=BD ．(1)求B ；(2)若3=a ，求b ．20.（本小题满分12分）已知函数）（0,3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ．(1)若2)1(=f ，且1,0->>b a ，求141++b a 的最小值； (2)若a b -=，解关于x 的不等式1)(≤x f .21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，当2n ≥时，11n n n n S S S S --=-. (1)求n S ；(2)设数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()292nn T n λ≤+⋅恒成立，求λ的取值范围.22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*322n n a S n n N =+∈.(1)证明：数列{}1n a +为等比数列； (2)设()31log 1n n b a +=+，证明：222121111nb b b ++⋅⋅⋅+<.。

2023-2024~1高二年级期中数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为（）A.4-B.4C.-D.【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出cos α，tan α；【详解】解：因为1sin 3α=，22sin cos 1αα+=，所以22cos 3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3α=-，所以1sin 3tan cos 43ααα===-故选：A2.已知0,0a b >>且22ab a b =+，则8a b +的最小值为（）A. B.10C.9D.272【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由22ab a b =+可得，1112a b+=，所以()1185592882a b ab b a b a b a +=⎛⎫+=++≥⎪⎭++= ⎝，当且仅当82b a a b =，即33,4a b ==时取得等号，所以8a b +的最小值为9，故选:C.3.函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（）A.AC BE⊥ B.//EF 平面ABCDC.直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D.异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】根据线线垂直、线面平行、线面角、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，连接BD ，根据正方体的性质可知1,AC BC AC BB ⊥⊥，而11,,BC BB B BC BB =⊂ 平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，所以AC BE ⊥，故A 正确.对于B ，因为11//B D BD ，11B D ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以11//B D 平面ABCD ，又E ､F 在直线11D B 上运动，//EF ∴平面ABCD ，故B 正确.对于C ，直线AB 与平面BEF 所成的角即为直线AB 与平面11BB D D 所成的角，故为定值，故C 正确.对于D ，设11111,AC BD O A C B D O == ，当点E 在1D 处，F 为11D B 的中点时，由于1111//,O D OB O D OB =，所以四边形11OBO D 是平行四边形，所以11//BO OD ，所以异面直线,AE BF 所成的角是1OD A ∠，由于AC ⊥平面11BB D D ，1OD ⊂平面11BB D D ，所以1AC OD ⊥，所以1122a 236t n OA OD A OD ∠===.当E 在上底面的中心，F 在1B 的位置时，同理可得1OO A ∠是异面直线,AE BF 所成的角，且1222tan 12OO A ∠==.故D 不正确.故选：D5.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n 层的圆球总数为n a ，容易发现：11a =，23a =，36a =，则105a a -=（）A.45B.40C.35D.30【答案】B 【解析】【分析】根据题意，归纳推理，第n 层的圆球总数个数表达式，再将10n =，5，代入求解即可．【详解】当1n =时，第1层的圆球总数为11a =，当2n =时，第2层的圆球总数为2123a =+=，当3n =时，第3层的圆球总数为31236a =++=，..．所以第n 层的圆球总数为()112 (2)n n n n a +=+++=，当5n =时，()5155152a +⨯==，当10n =时，()1051100512a⨯==+，故10540a a -=．故选：B ．6.已知焦点为12,F F 的双曲线C点P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为（）A.2B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由双曲线定义可得24PF a =，16PF a =，应用余弦定理及已知有122cos 3PF F ∠=，最后由三角形面积公式列方程求a ，即得实轴长.【详解】设220PF m =>，则13PF m =，故212m a PF PF =-=（a 为双曲线参数），所以24PF a =，16PF a =，故22222121212212||||||524cos 2||||48PF PF F F a c PF F PF PF a +--∠==，而c a =c =，则2212252202cos 483a a PF F a -∠==，12(0,π)PF F ∠∈，所以12sin 3PF F ∠=，故1212121sin 2PF F PF PF S PF F =∠= ，则22234a a ⨯=⇒=，故长轴长2a =故选：B7.已知ABC 的三个顶点都在抛物线26x y =上，且F 为抛物线的焦点，若1()3AF AB AC =+，则||||||++= AF BF CF （）A.12 B.10C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出||||||AF BF CF ++的值.【详解】由26x y =，得3p =.设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，有1213131()23y y y y y -=-+-，即12392y y y ++=.由抛物线的定义可得:1233||||||392pAF BF CF y y y p ++=+++== .故选：C8.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点12,F F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M在第一象限．1121,3NF MN F F MF =≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A.612B.2]-C.1]D.1]2-【答案】D 【解析】【分析】由题可知四边形12MF NF 为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得2222||2||20MF a MF b -+=，结合已知条件有)()2221Δ420a MF aa b ⎧>≥⎪⎨=->⎪⎩，进而即得.【详解】因为过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且12MN F F =，所以四边形12MF NF 为矩形，由椭圆的对称性知：12NF MF =，而21||||2MF MF a +=，所以22221||||4MF MF c +=，则222222||4||44MF a MF a c -+=且M 在第一象限，整理得2222||2||20MF a MF b -+=，所以()22Δ420a b=->，所以222||2MF a a b =-又22121132NF MF MF MF MF a MF ==≥-2||(31)a MF a >≥，所以)()2222231Δ420a a a b aa b ⎧>-≥-⎪⎨=->⎪⎩，整理得2221432c e a<=≤-，所以2312e <≤-.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（）A.若1＜t ＜5，则C 为椭圆B.若t ＜1．则C 为双曲线C.若C 为双曲线，则焦距为4D.若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x yt t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-<，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0=t 时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为，所以不正确.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，关于数列{}n a ，下列命题中正确的是（）A.若1n n a a +=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B.若()2*=+∈n S An Bn n N（A ，B 为常数），则{}na 是等差数列C.若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，则()*232,,--∈n n n n n S S S S S n N 也成等比数列【答案】BC 【解析】【分析】对于A ：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC ：根据n a 与n S 之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D ：根据等比数列的和项性质分析判断.【详解】对于选项A:因为1*()+∈=n n n a a N ，即10n n a a +-=，可知数列{}n a 是等差数列，当0n a =时，数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于选项B ：因为2n S An Bn =+，当1n =时，11a S A B ==+；当2n ≥时，()()()221112-⎡⎤==+---+-=+-⎣⎦n n n a S An Bn A n B n An B S A ；可知1n =时，符合上式，综上所述：2=+-n a An B A ，可得()122--=≥n n a a A n ，所以数列{}n a 是等差数列，故B 正确；对于选项C:因为()11nn S =--，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，112(1)n n n n a S S --=-=⨯-；可知1n =时，符合上式，综上所述：12(1)n n a -=⨯-，可得112(1)12(1)+-⨯-⨯==--nn n n a a ，所以数列{}n a 是等比数列，故C 正确；对于选项D:当数列{}n a 是等比数列时，取()1nn a =-，则2110S =-+=，此时显然2S ，42S S -，64S S -不是等比数列，故D 错误；故选：BC.11.（多选）已知抛物线22y px =()0p >的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若(),2M m 是线段AB 的中点，则（）A.4p = B.抛物线的方程为216y x =C.直线l 的方程为24y x =- D.=10AB 【答案】ACD 【解析】【分析】由焦点到准线的距离可求得4p =，则可判断A 正确，B 错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线l 的斜率，从而求得l 的方程，可判断C 正确；()1212284y y x x +=+-=，所以126x x +=从而12410AB AF BF x x =+=++=判断D 正确.【详解】因为焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知4p =，故A 正确故抛物线的方程为28y x =，焦点()2,0F ，故B 错误则2118y x =，2228y x =．又(),2M m 是AB 的中点，则124y y +=，所以22121288y y x x -=-，即12121282y y x x y y -==-+，所以直线l 的方程为24y x =-．故C 正确由()1212284y y x x +=+-=126x x ⇒+=，得12410AB AF BF x x =+=++=．故D 正确故选：ACD ．12.已知点(1,2)M ，点P 是双曲线C ：221916x y-=左支上的动点，2F 为其右焦点，N 是圆D ：22(5)1x y ++=的动点，直线OP 交双曲线右支于Q （O 为坐标原点），则（）A.28PF ≥B.过点M 作与双曲线C 仅有一个公共点的直线恰有2条C.||||PM PN -的最小值为5- D.若2DPF △的内切圆E 与圆D 外切，则圆E 的半径为32【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A 正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和,PM PN 的位置关系可判断C ，最后根据焦点三角形2DPF △的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为3-可求其半径.【详解】如下图所示：由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===，所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知28PF a c ≥+=，故A 正确；对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，联立直线l 和双曲线C 的方程得：222(169)18(2)9(420)0k x k k x k k -----+=；①当21690k -=时，即43k =±，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，所以直线l 和双曲线C 仅有一个公共点，此时直线l 与双曲线的渐近线43y x =±平行，即此时有两条直线42(1)3y x -=±-与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；②当21690k -≠时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，该方程仅有一个实数根，所以[]22218(2)36(169)(420)0k k k k k ∆=-+--+=，整理得2250k k --=，即1414k ±=，此时直线为双曲线的切线，分别为1412(1)4y x ±-=-，所以过点M 可作两条切线；综上可知，过点M 可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B 错误；对于C ，由双曲线定义可知，26PF PD -=，2225PM PF MF PF ≥-=-2,,P M F 三点共线时等号成立；1PN PD DN PD ≤+=+，当且仅当,,P D N 三点共线时等号成立；所以，215PM PN PF PD -≥--=-C 正确；对于D ，如图所示，分别设2DPF △的内切圆与三边切点为,,A G H ，又因为22,,PG PH DG DA F A F H ===，所以22226PF PD F H GD F A DA a -=-=-==，又因为A 在x 轴上，0()5,D -，2(5,0)F ，不妨设(,0)A t ,由26F A DA -=，得5(5)6t t --+=，即3t =-；所以(3,0)A -即为双曲线的左端点，又因为2EA DF ⊥，所以圆心E 在左端点A 的正上方，即圆心横坐标为3-，设(3,)E r -，则圆E 的半径为r ，由于圆D 与圆E 外切，1r =+，解得32r =；所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 满足(2,1)a = ，(1,2)b y y =-+ ，且a b ⊥ ，则||a b -= ________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求得参数y ，然后由模的坐标表示求解．【详解】∵a b ⊥ ，∴2(1)20a b y y ⋅=-++= ，解得4y =，即(3,6)b =- ，∴||(5,5)a b -=-==故答案为：14.已知实数x ，y 满足直线l 的方程230x y ++=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将问题转化求点(0,1)到直线l ：230x y ++=上点的距离最小值，即可得结果.(0,1)到直线l：230x y++=上点的距离，所以其最小值为d15.已知F为椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF垂直平分线与椭圆C 的一个交点，若3cos7MOF∠=，则椭圆C的离心率为______．【答案】23【解析】【分析】设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭，在MOE△中，不妨设32cOE==，利用勾股定理和椭圆中222a bc=+，求出9a=，则可得出离心率.【详解】解：设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222241cya b+=，即222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭.设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则MOE△为直角三角形，由于3cos7MOF∠=，所以在MOE△中，不妨设32cOE==，则7OM=，6c=.由勾股定理可得||ME y===即2221404cba⎛⎫-=⎪⎝⎭，得229140ba⎛⎫-=⎪⎝⎭，又222223636a b c b a -==⇒=-，所以42853240a a -+=，解得281a =或22436a c =<=（舍去），故9a =，椭圆C 的离心率6293c e a ===.故答案为：23.16.斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列{}n a 满足121,1a a ==，()*123,N n n n a a a n n --=+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，则222122023202320242a a a a a +++= _____．【答案】12##0.5【解析】【分析】由题设递推关系得到21211----=-+n n n n n a a a a a ，利用裂项相消法运算求解.【详解】因为()*123,Nn n n a a a n n --=+≥∈，则12--=-+n n n a a a ，可得21211----=-+n n n n n a a a a a ，则()()()22221220231122323342022202320232024a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+-++-++⋅⋅⋅+-+ 202320242023202411=-+=a a a a ，所以2221220232023202420232024202320241222a a a a a a a a a +++== .故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在锐角ABC 中，,,a b c 是角,,A B C的对边，cos cos()C B A C -=-.（1）求角A 的度数；（2）若a =，且ABC的面积是b c +.【答案】(1)3π；（2）【解析】【详解】试题分析:（1）根据三角形内角关系及诱导公式将B 转化()cos cos B A C =-+，再根据两角和与差余弦公式展开化简,合并，约分得sin 2A =，最后根据三角形内角范围及特殊角对应函数值得角A 的度数；（2）先选用面积公式：1sin 2ABC S bc A ∆=，得12bc =，再根据余弦定理得2224b c +=，最后根据()2222b c b c bc +=++求b c +的值.试题解析:（1）在ABC 中，A B C π++=，那么由()cos cos C B A C -=-，可得()()()cos cos cos cos 2sin sin sin C A C B A C A C A C C =-+=--+=，≠0得3sin 2A =，则在锐角ABC 中，π.3A =（2）由（1）知3A π=，且1sin 2ABC S bc A == ，得12bc =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，那么()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，则()22348b c a bc +=+=，可得b c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.已知公比为q 的正项等比数列{}n a ，且12a =，416a =，n n b na =．（1）求3b 的值；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）324b =；（2）1(1)22n n T n +=-+.【解析】【分析】（1）先利用已知条件求公比和n a ，再计算3a ，3b 即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）正项等比数列{}n a 中，12a =，416a =，故3418a q a ==，即2q =，故2n n a =，3328a ==，33324b a ==；（2）由2n n a =知，2n n b n =⋅123122232...2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅①又23412122232 (2)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅②由①-②得，1231112(21)222...222(1)2221n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=⋅=---1(1)22n n T n +∴=-+所以数列{}n b 的前n 项和1(1)22n n T n +=-+.【点睛】本题考查了数列通项公式和错位相减法求和，属于中档题.19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是3．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）1h =．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据AB ⊥平面ADE ，结合AD AF ⊥，利用线面垂直以及面面垂直判定定理，可得结果.（Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系，不要弄错符号.试题解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ，所以AB AD ⊥，又AD AF ⊥，AB AF A = ，所以AD ⊥平面ABFE ，AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图设正四棱锥P ABCD -的高为h ，2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,,1P h -，()2,2,0AF = ，()2,0,2AC = ，()1,,1AP h =- ．设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =r，则1111220,{220,m AF x y m AC x z ⋅=+=⋅=+=取11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1m =-- ．设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =r ，则22222220,{0,n AF x y n AP x hy z ⋅=+=⋅=-+= 取21x =，则21y =-，21z h =--，所以()1,1,1n h =--- ．二面角C AF P --的余弦值是3，所以22cos ,3m n m n m n ⋅===⋅ ，解得1h =．点睛：本题主要考查了直线与平面，平面与平面垂直的证明，注意条件的合理转化，和用向量解立体几何时法向量的求解和应用.20.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，点()02,A y 为抛物线上一点，且4AF =.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求m 的值.【答案】（1）28y x=（2）8-【解析】【分析】（1）根据抛物线过点0(2,)A y ，且4AF =，利用抛物线的定义求解；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x =+⎧⎨=⎩，根据OP OQ ⊥，由0OP OQ ⋅= ，结合韦达定理求解.【小问1详解】由抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且4AF =，得2442p p +=∴=所以抛物线方程为28y x =；【小问2详解】由不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，所以()22Δ28464320m m m =--=->，所以2m <，所以2121282,x x m x x m+=-=因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅= ，则2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++=，222(82)0m m m m ∴+-+=，即280m m +=，解得0m =或8m =-，又当0m =时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O 重合，不符合题意，故舍去；所以实数m 的值为8-.21.已知数列{}n a 满足()*11122n n a a n N a +==-∈，．（1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对任意的*N n ∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．【答案】（1）证明见解析，1+=n n a n ；（2）存在，m 的最小值为3【解析】【分析】（1）结合递推关系可证得b n +1－b n =1，且b 1＝1，可证数列{b n }为等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式；（2）结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭求和有111213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭，再结合条件可得()134m m +≥，即求．【小问1详解】证明：∵1111111111112111n n n n n n n n n a b b a a a a a a ++-=-=-==-------，又由a 1＝2，得b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以b n ＝1+(n －1)×1＝n ，由11n n b a =-，得1+=n n a n．【小问2详解】∵221n n a c n n==+，()2411222n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111111212133242212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=+--< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +≥，即212(3)(4)0m m m m +-=-+≥解得m ≥3或m ≤-4．又m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线2:(4)2h y x =-直线相切．（1）求椭圆的方程C ；（2）已知直线:8l x =，过右焦点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 交于,A B 两点，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ．①求证：直线BD 过定点E ，并求出定点E 的坐标；②点O 为坐标原点，求OBD 面积的最大值．【答案】（1）2211612x y +=；（2）①证明见解析，()50，；②15.【解析】【分析】（1）根据题意可得28a =b =，2216bc =+，解得，即a ，b ，c ，进而可得椭圆的方程．（2）①由题意得(2,0)F ，设直线:2()AB x my m =+∈R ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(8,)D y ，联立直线AB 与椭圆的方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，且12123()my y y y =+，写出直线BD 方程，再令0y =，即可得出答案．②由①可得判别式△0>，211||||2OBD OED OEB S S S OE y y =+=⋅-，令1t =，化简结合函数单调性即可得出答案．【详解】（1）椭圆的长轴长为8，4a ∴=左焦点(,0)c -到直线hb=2216=b c + 又2b c ∴==∴椭圆的方程:C 2211612x y +=（2）由对称性，若直线BD 过定点E ，则该定点E 必在x 轴上，①由题得()20F ，，设直线2()AB x my m =+∈R ：，设11221()()(8)A x y B x y D y ，，，，，联立方程22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)12360m y my++-=，（*）所以有1221234my y m -+=+，1223634y y m -=+，且12123()my y y y =+，因为2128BD yy k x -=-，所以直线BD 的方程为()211288yy y y x x --=--0y =，得()()1212121212121866888y x ymy myy y x y y y y y y ---=-=-=----（**）将12123()my y y y =+，代入（**），则121213()68835yyy x y y +-=-=-=-故直线BD 过定点()50，，即定点E 为()50，．②在（*）中，222144436(34)1444(1)m m m ∆=+⨯+=⨯+，所以122||34y y m -=+又直线BD 过定点()50E ，故，212215||||223434OBD OED OEB S S S OE y y m m =+=⋅⋅-=⋅=++△△△令1t =≥，则260601313OBD t S t t t==++ 在[1)t ∈+∞，上单调递减，故当1t =，0m =时，max ()15OBD S = ．。

合肥2023~2024学年度高二年级第一学期期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章、第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若0AB <，0BC >，则直线0Ax By C --=不经过．．．的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解.【详解】由0Ax By C --=，得A C y x B B=-，又0AB <，0BC >，则直线的斜率0AB <，在y 轴上的截距0CB-<，所以直线0Ax By C --=经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选：A2.若点()1,1P 在圆22:20C x y x y k +---=的外部，则实数k 的取值范围是（）A.(),1-∞- B.5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D.41,5⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由方程表示圆可得54k >-，再由点在圆外即可得1k <-，求得实数k 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【详解】易知圆C 可化为()2215124x y k ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，可得504k +>，即54k >-；又()1,1P 在圆C 外部，可得11120k +--->，解得1k <-；可得514k -<<-.故选：B.3.已知O ，A ，B ，C 为空间中不共面的四点，且()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，若P ，A ，B ，C 四点共面，则函数()()[]()2311,2f x x x x λμ=-+-∈-的最小值是（）A.2 B.1 C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值.【详解】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以存在,R x y ∈，使得AP xAB yAC =+，故()()OP O x OB OA A A y OC O --=-+,整理得()1OP OA x y OA xOB yOC -=--++ ，又()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，所以113x yx y λμ+=+⎧⎪⎨--=⎪⎩，所以23λμ+=，所以()()222112f x x x x =--=--，当1x =时，函数取最小值，且最小值为2-.故选:D.4.已知()1,2,1A 是平面α内一点，()1,1,1n =--是平面α的法向量，若点()2,0,3P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为（）A.2 B.233C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.【详解】由题意得()1,2,2AP =- ，故点P 到平面α的距离n AP d n⋅===故选：C.5.已知点()1,3A -，()3,1B ，直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点，则实数m 的取值范围为（）A.(][)1,5,∞-⋃-+∞B.[]5,1-C.(][),15,-∞-⋃+∞ D.[]1,5-【答案】C 【解析】【分析】先求出直线l 的定点，再求出,PA PB k k ，数形结合，得出结果.【详解】如图由题意知直线l 过定点()0,2P -，易求PA 的斜率()32510PA k --==---，PB 的斜率()12130PB k --==-，直线l 的斜率l k m =-，所以1m -≥或5m -≤-，即1m ≤-或5m ≥故选：C.6.已知圆22:8120C x y x +-+=，点P 在圆C 上，点()6,0A ，M 为AP 的中点，O 为坐标原点，则tan MOA ∠的最大值为（）A.12B.12C.4D.3【答案】A 【解析】【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得M 的轨迹方程为()2251x y -+=，即可根据相切求解最值.【详解】由题意知圆C 的方程为()2244x y -+=，设()00,P x y ，(),M x y ，则006,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,所以0026,2,x x y y =-⎧⎨=⎩,又P 在圆C 上，所以()220044x y -+=，即()()2221024x y -+=，即M 的轨迹方程为()2251x y -+=.如图所示，当OM 与圆()2251x y -+=相切时，tan MOA ∠取得最大值，此时OM ==，tan 12MOA ∠=，所以tan MOA ∠的最大值为612.故选:A7.如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（）A.2B.3C.15D.16【答案】D【解析】【分析】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，求得11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，211,,333CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据线线角的向量公式即可求解.【详解】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1D ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,1,1BD =-- ，()1,0,0CB = ，所以1211,,3333CF CB BF CB BD ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭.设直线DE 与CF 所成角的大小为θ，则1cos cos ,6DE CF DE CF DE CF θ⋅===.故选：D.8.已知圆()()22:349C x y -+-=和两点(),0A t ，()(),00B t t ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则实数t 的取值范围是（）A.()2,8 B.()2,+∞ C.()3,+∞ D.()1,3【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知，圆C 与圆()2220:O x y t t +=>的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得2t >.【详解】圆()()22:349C x y -+-=的圆心()3,4C ，半径为3r =，因为圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则90APB ∠>︒，所以圆C 与圆()2220:O x y tt +=>的位置关系为相交、内切或内含，所以可得3OC t <+，又因为5OC ==，所以53t <+，即2t >.即实数t 的取值范围是()2,+∞.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，AP a = ，AB b = ，AD c = ，若PE ED = ，2CF FP =，则（）A.1122BE a b c=-+ B.221333BF a b c=-+C.212333DF a b c=+- D.111636EF a b c=-+ 【答案】BC 【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出BE 、BF、DE 、EF 关于{},,a b c 的表达式.【详解】对于A 选项，()()1122BE PE PB PD PB AD AP AB AP =-=-=---11112222AP AB AD a b =-+=-+，故A 错误；对于B 选项，()2233BF BC CF AD CP AD AP AC =+=+=+-()22212213333333AD AP AB AD AP AB AD a b c =+--=-+=-+，故B 正确；对于C 选项，()()221212333333DF BF BD BF AD AB b c b a b c =-=--=-+--=+-，故C 正确；对于D 选项，2211111133322636EF BF BE a b a b c a b c ⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.10.已知直线1:30l ax y a +-=，直线()2:2160l x a y +--=，则（）A.当3a =时，1l 与2l 的交点为()3,0B.直线1l 恒过点()3,0C.若12l l ⊥，则13a = D.存在a ∈R ，使12l l ∥【答案】ABC 【解析】【分析】将3a =代入解得两直线交点坐标为()3,0可判断A ；令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩可判断B ，由直线垂直的条件可判断C ，由直线平行的条件可判断D.【详解】对于A ，当3a =时，直线1:390l x y +-=，直线2:2260l x y +-=，联立390,2260,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩所以两直线的交点为()3,0，故A 正确；对于B ，直线()1:30l x a y -+=，令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()3,0，故B 正确；对于C ：若12l l ⊥，则()2110a a ⨯+⨯-=，解得13a =，故C 正确；对于D ，假设存在a ∈R ，使12l l ∥，则()120a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =时，1:260l x y +-=，2:260l x y +-=，两直线重合，舍去，当1a =-时，直线1:30l x y --=，直线2:2260l x y --=，两直线重合，舍去，所以不存在a ∈R ，使12l l ∥，故D 错误.故选：ABC.11.已知x 、y 满足226210x y x y +-++=，则（）A.22x y +3- B.1y x +的最大值为47C.2x y +的最小值为1-D.5【答案】BCD【分析】利用距离的几何意义结合圆的几何性质可判断AD 选项；设1yk x =+，可知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出k 的取值范围，可判断B 选项；设2x y t +=，可知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出t 的取值范围，可判断C 选项.【详解】方程226210x y x y +-++=可变形为()()22319x y -++=，则方程226210x y x y +-++=表示的曲线是以()3,1C -为圆心，以3为半径的圆，对于A 选项，设点(),P x y ，则22xy +表示圆C 上的点P 到原点O 的距离的平方，因为()()2203019-++>，则原点O 在圆C 外，所以，min333OP OC =-==，当且仅当P 为线段OC与圆C 的交点时，OP 取最小值，所以，22xy+的最小值为)2319=-A 错误；对于B 选项，设1yk x =+，则0kx y k -+=，由题意知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，3≤，即27880k k +-≤，解得4477k ---+≤≤，即1y x +的最大值为6247-，故B 正确；对于C 选项，设2x y t +=，即20x y t +-=，由题意知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，3≤，解得11t -≤≤+，故2x y +的最小值为1-，故C 正确；因为()()22319x y -++=，3+=+表示点P 到点()0,3M 的距离，因为()()2203319-++>，所以，min33532MP MC =-==-=，当且仅当点P 为线段MC 与圆C 的交点时，MP 取最小值，的最小值为325+=，故D 正确.故选：BCD.12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为3，2AB =，空间中一点P 满足[]()1,0,1AP xAB y AA x y =+∈，则（）A.若12x =，则三棱锥1P AAC -的体积为定值B.若12y =，则点P 的轨迹长度为3C.若1x y +=，则1PB 的最小值为13D.若x y =，则点P 到BC 的距离的最小值为32【答案】ACD 【解析】【分析】A ：做出图像，由已知和选项找到点P 的位置，判断P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值可求出；B ：作图找到点P 位置，判断轨迹长度即可；C ：由向量共线得到P 的位置，再点到直线的距离求1PB 最小值；D ：建系，用空间向量关系求出P 到BC 的距离，再用二次函数的性质求出最值.【详解】对A，若12x =，分别作棱AB ，11A B 的中点D ，E ，连接DE ，则P 在线段DE 上，易知DE ∥平面1AA C ，故点P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值，所以三棱锥1P AAC -的体积为定值，故A 正确；若12y =，分别作1AA ，1BB 的中点M ，N ，则点P 的轨迹为线段MN ，易知2MN AB ==，故B 错误；若1x y +=，则1A ，P ，B 三点共线，即点P 在线段1A B 上，易求点1B 到1A B 的距离为13，故1PB 的最小值为13，故C 正确；若x y =，则点P 在线段1AB 上，易证DB ，DC ，DE 两两垂直，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()C ，()11,0,3A -，()11,0,3B ，所以()2,0,0AB =，()0AC = ，()BC =- ，()10,0,3AA = ，()()12,0,3AP x AB AA x x =+= ，所以()22,0,3BP AP AB x x =-=- ，所以1cos ,x BP BC BP-= ，所以点P 到BC的距离d ====所以当14x =时，min 32d =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是___________.【答案】2y x =或240x y +-=【解析】【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()1,2求得k 的值，当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()1,2求解.【详解】①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点()1,2，所以2k =，所以直线l 的方程为2y x =；②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，则直线l 的方程为12x y a a +=，又因为直线l 过点()1,2，所以1212a a +=，解得：2a =，所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述：直线l 的方程为2y x =或240x y +-=，故答案为：2y x =或240x y +-=．14.已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a ______.【答案】1【解析】【分析】设出圆的一般方程，带入A ，B ，C 坐标，求出圆的方程，再带入点()2,D a 求出答案.【详解】设过A ，B ，C 的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，()2240D E F +->，则255052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩，解得6215D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以过A ，B ，C 的圆的方程为2262150x y x y ++--=，又点D 在此圆上，所以24122150a a ++--=，即2210a a -+=，所以1a =，故答案为：115.如图，已知二面角l αβ--的大小为60 ，A α∈，B β∈，,CD l ∈，,AC l BD l ⊥⊥且2==AC BD ，4CD =，则AB =______.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到AB AC CD DB =++ ，利用()22AB AC CD DB =++ ，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角l αβ--的大小为60 ，所以AC 与DB 的夹角为120 ，又因为AB AC CD DB =++，所以()22222222AB AC CD DB AC CD DB AC CD CD DB DB AC=++=+++⋅+⋅+⋅ 1416400222202⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AB =故答案为：16.在ABC 中，顶点()2,3A ，点B 在直线:310l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC 周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线:310l x y -+=同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.【详解】设A 关于直线l 的对称点为P ，关于x 轴的对称点为Q ，PQ 与l 的交点即为B ，与x 轴的交点即为C .如图，,P Q 两点之间线段最短可知，PQ 的长即为ABC 周长的最小值.设(),P x y ，则331,223310,22y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得2,519,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即219,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 关于x 轴的对称点为()2,3Q -，故ABC周长的最小值为PQ ==故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .（1）求边AC 上的高所在直线的方程；（2）求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）4320x y +-=（2）7130x y +-=【解析】【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程，（2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率.【小问1详解】设AC 边上的高所在直线的斜率为k ，直线AC 的斜率()523314AC k -==--，所以1AC k k ⋅=-，所以43k =-，故所求直线方程为()4223y x +=--，即4320x y +-=.【小问2详解】由题意得()22345AB =-+=，22435AC =+=，所以5AB AC ==，则ABC 为等腰三角形，BC 的中点为53,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()32125712AD k -==---，由等腰三角形的性质知，AD 为BAC ∠的平分线，故所求直线方程为()1217y x -=-+，即7130x y +-=.18.已知圆()()22:119C x y -+-=.（1）直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.【答案】（1）2x =-或4380x y ++=（2）【解析】【分析】（1）分类讨论直线1l 的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.【小问1详解】由题意得()1,1C ，圆C 的半径3r =，当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，由直线1l 与圆C相切，得3=，解得43k =-，所以直线1l 的方程为4380x y ++=；当直线1l 的斜率不存在时，直线1l 的方程为2x =-，显然与圆C 相切；综上，直线1l 的方程为2x =-或4380x y ++=.【小问2详解】由题意得圆心C 到直线2l的距离1d =，所以2EF ==点P 到直线2l 的距离的最大值为314r d +=+=，则PEF !的面积的最大值()max 11422S EF r d =⨯⨯+=⨯=.19.不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.（1）求楔形体的表面积；（2）求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.【答案】（1）10+（2）26【解析】【分析】（1）由题意可知求出楔形体侧面等腰梯形的高即可求出表面积为10+（2）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量即可求出平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.【小问1详解】易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3=，所以该楔形体的表面积为()11133413102⨯+⨯+⨯+=+【小问2详解】以点D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()3,0,0A，()3,3,0B，()1,2,3P，()1,1,3Q，()2,2,3N，则()2,2,3AP=-，()2,1,3AQ=-，()1,1,3BN=--，()2,2,3BQ=--.设平面APQ的法向量为()1111,,n x y z=，平面BNQ的法向量为()2222,,n x y z=，则111111112230230AP n x y zAQ n x y z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得10y=，令12z=，则13x=，，所以平面APQ的一个法向量为()13,0,2n=，同理得22221222302230BN n x y zBQ n x y z⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，解得20z=，令21x=，则21y=-；即平面BNQ的一个法向量为()21,1,0n=-.设平面APQ与平面BNQ的夹角为θ，则1212cos26n nn nθ⋅===，所以平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.20.已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.（1）求圆C 的方程；（2）设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()22134x y -+-=（2）存在定点()3,3D -满足条件【解析】【分析】（1）先求MN 的中垂线所在直线方程，根据圆的性质求圆心和半径，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意可得()121220kx x kt x x -+=，联立方程，利用韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意得MN 的中点E 的坐标为()0,2，直线MN 的斜率为1-，因为CE MN ⊥，所以直线CE 的斜率为1，所以直线CE 的方程为2y x -=，即2y x =+，解方程组2250y x x y =+⎧⎨+-=⎩得13x y =⎧⎨=⎩，故()1,3C ，所以圆C 的半径2r CM ===，所以圆C 的方程为()()22134x y -+-=.【小问2详解】由()()223134y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()221230k x x +--=，可得()241210k ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221x x k +=+，12231x x k =-+.（*）设(),3D t ，则113AD y k x t -=-，223BD y k x t -=-（AD k ，BD k 分别为直线AD ，BD 的斜率）.因为直线AD ，BD 的倾斜角互补，所以0AD BD k k +=，即1212330y y x t x t--+=--，即()()()()1221330y x t y x t --+--=，即()121220kx x kt x x -+=，将（*）式代入得2262011k kt k k --=++，整理得()2301k t k+=+对任意实数k 恒成立，故30t +=，解得3t =-，故点D 的坐标为()3,3-.所以在直线3y =上存在定点()3,3D -满足条件..21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等边三角形，顶点P 在底面上的射影在正方形ABCD 外部，设点E ，F 分别为PA ，BC 的中点，连接BE ，PF.（1）证明：//BE 平面PDF ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为3，设点G 为棱PB 上的一个动点（不含端点），求直线AG 与平面PCD 所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）223.【解析】【分析】（1）取AD 的中点M ，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理即得.（2）利用给定体积求出锥体的高，以点M 为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，如图，由E 为PA 的中点，得//EM PD ，而EM ⊄平面PDF ，PD ⊂平面PDF ，则//EM 平面PDF ，又//MD BF ，且MD BF =，即四边形BMDF 为平行四边形，则//MB DF ，又MB ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，于是//MB 平面PDF ，显然MB EM M = ，,MB EM ⊂平面BEM ，因此平面//BEM 平面PDF ，又BE ⊂平面BEM ，所以//BE 平面PDF .【小问2详解】连接MF ，设该四棱锥的高为h ，则体积为21233h ⨯⨯=，h =，连接PM ，则,PM AD FM AD ⊥⊥，,,FM PM M FM PM ⋂=⊂平面PMF ，于是AD ⊥平面PMF ，而AD ⊂平面ABCD ，则平面PMF ⊥平面ABCD ，在平面PMF 内过M 作Mz FM ⊥，而平面PMF 平面ABCD FM =，从而Mz ⊥平面ABCD ，显然,,MA MF Mz 两两垂直，以点M 为坐标原点，直线,,MA MF Mz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Mxyz ，则PM =，(0,P -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，则(1,3,PB = ，(1,3,PC =- ，()0,2,0DC = ，设()01PG PB λλ=<< ，则(),3,PG λλ=，点)(),31G λλλ--，)()1,31AG λλλ=--- ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则3020n PC x y n DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1z =，得()n = ，设直线AG 与平面PCD 所成的角为θ，则sin cos ,3n AG n AG n AG θ⋅=〈〉=== 令1t λ-=，则1t λ=-，且01t <<，因此sin 333θ===，所以当23t =，即13λ=时，sin θ取得最大值，且最大值为3.22.已知点()4,0E -，()1,0F -，动点P 满足2PEPF =，设动点P 的轨迹为曲线C ，过曲线C 与x 轴的负半轴的交点D 作两条直线分别交曲线C 于点,A B （异于D ），且直线AD ，BD 的斜率之积为13-.（1）求曲线C 的方程；（2）证明：直线AB 过定点.【答案】（1）224x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据2PE PF =设点代入即可得到曲线C 的方程；（2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到AB 方程，进而得到AB 过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到AB 过该定点即可.【小问1详解】设(),P x y ，由2PE PF =，得2PE PF ==，两边平方并化简，得曲线C 的方程为224x y +=.【小问2详解】由（1）得()2,0D -，设直线AD 、BD 的斜率分别为1k ，()212k k k >，如图所示，当AB 不垂直于x 轴时，设()1:2AD y k x =+，联立()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得()222211114440k x k x k +++-=，解得2x =-（舍）或2121221k x k -+=+，当2121221k x k -+=+时，21112211224211k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211224,11k k A k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理得2222222224,11k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，所以AB 的斜率()()()()()()122222122112222222121221221244414111222221121111AB k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++==---+--+-++()()()()1221122121124414k k k k k k k k k k k k ---==+-+，因为1213k k =-，代入可得()1243AB k k k =-+，故AB 的方程为()2112211214224131k k y x k k k k ⎛⎫--=-- ⎪+++⎝⎭，即()()()()()()()2211112222121121211218148412443133131k k k k k y x x k k k k k k k k k k k -++=-++=-++++++++，()()()()1212124441,333x x k k k k k k =-+=--+++故AB 过定点()1,0；当AB x ⊥轴时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以0012001223y y k k x x -=⋅=-++，即()220032y x =+，又因为2222000044x y y x +=⇒=-，代入可得20020x x +-=，解得01x =或02x =-（舍），所以((,1,A B（或((1,,1,A B ），所以AB 的方程为1x =，过点()1,0.综上，直线AB 过定点()1,0T。