【推荐下载】高考数学构造函数模型解决数列综合题与应用题

十、构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。

在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。

历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。

数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。

近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。

构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。

但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。

再现性题组 1、求证： 31091022≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a（构造图形、复数）4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。

（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当ca b 111+=时取等号。

智才艺州攀枝花市创界学校高考数学专题复习构建数学模型解数列综合题和应用性问题 高考要求纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联络，而且还与三角、立体几何亲密相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题这就要求同学们除纯熟运用有关概念式外，还要擅长观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以进步解数列题的速度 重难点归纳 1解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的根底知识,又要有良好的思维才能和分析、解决问题的才能；解容许用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题 2纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关 (1)事理关需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读才能 (2)文理关需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系 (3)事理关在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索才能，认定或者构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的根底知识和较强的数理才能 典型题例示范讲解例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进展生态环境建立，并以此开展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建立对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41 (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？此题主要考察建立函数关系式、数列求和、不等式等根底知识；考察综合运用数学知识解决实际问题的才能，此题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型 知识依托此题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点 错解分析(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项〞混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏向 技巧与方法正确审题、深入挖掘数量关系，建立数量模型是此题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧 解(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，… 第n 年投入为800×(1－51)n －1万元， 所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1 =∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］ 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…， 第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元 所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1 =∑=n k 1400×(45)k －1=1600×［(45)n －1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0，令x =(54)n ，代入上式得5x 2－7x +2＞0 解此不等式，得x ＜52，或者x ＞1(舍去) 即(54)n ＜52，由此得n ≥5 ∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入例2S n =1+3121++…+n1,(n ∈N *)，设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式 f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立 此题主要考察应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的才能 知识依托此题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙 错解分析此题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理 技巧与方法解决此题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2 解∵S n =1+3121++…+n1(n ∈N *) ∴f (n +1)＞f (n )∴f (n )是关于n 的增函数∴f (n )min =f (2)=209321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立 只要209＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2成立即可 由⎩⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2 此时设［log m (m －1)］2=t 那么t ＞0于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1 由此得0＜［log m (m －1)］2＜1 解得m ＞251+且m ≠2 例3二次函数y =f (x )在x =22+t 处获得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0 (1)求y =f (x )的表达式；(2)假设任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ； (3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n 解(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1 ∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1 (2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入得(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1， 上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0， 解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =tt 1+［1－(t +1]n ) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2， 又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，那么12111)1)nn nnn nr r q tr r q t++++⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩ ① ②②÷①得q=nnrr1+=t+1，代入①得r n=2)1(21+++tt n∴S n=π(r12+r22+…+r n2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt ttqqr n［(t+1)2n－1］学生稳固练习1二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,d n,…,那么lim∞→n(d1+d2+…+d n)的值是()A1 B2 C3 D42在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，假设1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，那么△OP1P2的面积是_________3从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，那么容器中有纯酒精_________升4据2000年3月5日九届人大五次会议政府工作报告“2021年国内消费总值到达95933亿元，比上年增长73%，〞假设“十·五〞期间(2021年~2021年)每年的国内消费总值都按此年增长率增长，那么到“十·五〞末我国国内年消费总值约为_________亿元5数列{a n}满足条件a1=1,a2=r(r＞0),且{a n a n+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设b n=a2n－1+a2n(n=1,2,…)(1)求出使不等式a n a n+1+a n+1a n+2＞a n+2a n+3(n∈N*)成立的q的取值范围；(2)求b n和nn S1lim∞→，其中S n=b1+b2+…+b n；(3)设r=2192－1，q=21，求数列{nnbb212loglog+}的最大项和最小项的值6某公司全年的利润为b元，其中一局部作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下首先将职工按工作业绩(工作业绩均不一样)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金nb元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余局部作为公司开展基金(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原那么的实际意义；(3)开展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n P n (b ) 7据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾到达74×108吨，占地5624平方公里，假设环保部门每年回收或者处理1吨旧物资，那么相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，方案以后每年递增20%的回收量，试问(1)2021年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2021年可节约开采矿石多少吨(准确到万吨)？(3)从1996年至2021年可节约多少平方公里土地？ 8点的序列A n (x n ，0),n ∈N ,其中x 1=0,x 2=a (a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，…(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1,a 2,a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；(3)求lim ∞→n x n参考答案: 1解析当a =n 时y =n (n +1)x 2－(2n +1)x +1 由｜x 1－x 2｜=a∆，得d n =)1(1+n n ， ∴d 1+d 2+…+d n 1111223(1)n n =+++⋅⋅+ 答案A 2解析由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3 又由1，y 1,y 2,8依次成等比数列，得y 12=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4,∴P 1(2,2),P 2(3,4)∴21),2,2(OP ==(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP OP 答案1 3解析第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－ab )升， 第二次有纯酒精a (1－a b )－b a a b a )1(-，即a (1－ab )2升， 故第n 次有纯酒精a (1－ab )n 升 答案a (1－ab )n 4解析从2021年到2021年每年的国内消费总值构成以95933为首项，以73%为公比的等比数列，∴a 5=95933(1+73%)4≈120000(亿元) 答案120000 5解(1)由题意得rq n －1+rq n ＞rq n +1由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得q 2－q －1＜0，解得251-＜q ＜251+,因q ＞0,故0＜q ＜251+; (2)∵0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a q a q a a a a a b b q a a a a a a nn n n n n n n n n n n n n n n b 1=1+r ≠0，所以{b n }是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(1+r )q n -1当q =1时，S n =n (1+r ),110;lim lim (1)n n nS n r →∞→∞==+nn n b b C 212log log +=记,从上式可知， 当n －202＞0，即n ≥21(n ∈N *)时，C n 随n 的增大而减小，故1＜C n ≤C 21=1+8.0112.20211+=-=225 ①当n －202＜0，即n ≤20(n ∈N *)时，C n 也随n 的增大而减小， 故1＞C n ≥C 20=1+2.0112.20201-=-=－4 ②综合①②两式知，对任意的自然数n 有C 20≤C n ≤C 21,故{C n }的最大项C 21=225，最小项C 20=－4 6解(1)第1位职工的奖金a 1=nb ， 第2位职工的奖金a 2=n 1(1－n1)b ， 第3位职工的奖金a 3=n 1(1－n1)2b ，…， 第k 位职工的奖金a k =n 1(1－n 1)k －1b ; (2)a k －a k +1=21n(1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案表达了“按劳分配〞或者“不吃大锅饭〞的原那么 (3)设f k (b )表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，那么f 1(b )=(1－n 1)b ,f 2(b )=(1－n 1)2b ,…,f k (b )=(1－n1)k b 得P n (b )=f n (b )=(1－n 1)n b , 故eb b P n n =∞→)(lim 7解设a n 表示第n 年的废旧物资回收量，S n 表示前n 年废旧物资回收总量，那么数列{a n }是以10为首项，1+20%为公比的等比数列(1)a 6=10(1+20%)5=10×5=2832≈25(万吨) (2)S 6=2.016.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+=9992≈9(万吨) ∴从1996年到2000年一共节约开采矿石20×993≈1986(万吨)(3〕由于从1996年到2021年一共减少工业废弃垃圾4×9=39(万吨)， ∴从1996年到2021年一共节约 84104.7102.3974.562⨯⨯⨯≈3平方公里 8解(1)当n ≥3时，x n =221--+n n x x ; 由此推测a n =(－21)n -1a (n ∈N ) 证法一因为a 1=a ＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2) 所以a n =(－21)n -1a 证法二用数学归纳法证明 (ⅰ)当n =1时，a 1=x 2－x 1=a =(－21)0a ,公式成立； (ⅱ)假设当n =k 时，公式成立，即a k =(－21)k －1a 成立 那么当n =k +1时，a k +1=x k +2－x k +1=k k k k k k a x x x x x 21)(212111-=--=-++++ 据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式a n =(－21)n -1a 成立 (3)当n ≥3时，有x n =(x n －x n －1)+(x n －1－x n －2)+…+(x 2－x 1)+x 1=a n －1+a n －2+…+a 1, 由(2)知{a n }是公比为－21的等比数列，所以32)21(1lim 1=--=∞→a x n n a 课前后备注。

高考数学 构造函数模型解决数列综合题与应用题高考要求:纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. 重难点归纳:1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关:(1)事理关:需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. (3)事理关:在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力. 典型题例示范讲解:例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41:(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型.知识依托:本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析:(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解:(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为:a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=nk 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n］ 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×(1+41)，…， 第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元. 所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑=nk 1400×(45)k －1=1600×［(45)n－1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即1600×［(45)n－1］－4000×［1－(54)n］＞0， 令x =(54)n ，代入上式得:5x 2－7x +2＞0. 解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜52，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.例2已知S n =1+3121++…+n1,(n ∈N *)，设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式:f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立.命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析:本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法:解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为.函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2解:∵S n =1+3121++…+n1 (n ∈N *)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又∴f (n +1)＞f (n )∴f (n )是关于n 的增函数∴f (n ).min =f (2)=209321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立只要209＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2成立即可由⎩⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2此时设［log m (m －1)］2=t :则t ＞0于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1.由此得0＜［log m (m －1)］2＜1 .解得m ＞251+且m ≠2. 例3 已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t .(t ＞0),f (1)=0.(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .解:(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1.∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1.(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得:(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1， 上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得:⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0， 解得a n =t1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，则12111)1)n n n n n n r r q t r r q t ++++⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩ ① ②②÷①得q =n n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n－1］.学生巩固练习:1.已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞→n .(d 1+d 2+…+d n )的值是( )A 1.B 2C 3D 42.在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________3.从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升.4.据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_______亿元.5.已知数列{a n }满足条件:a 1=1,a 2=r (r ＞0),且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,…).(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *)成立的q 的取值范围；(2)求b n 和nn S 1lim∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；(3)设r =219.2－1，q =21，求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值.6.某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金nb元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n P n (b ).7.据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问:(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？8.已知点的序列A n (x n ，0),n ∈N ,其中x 1=0,x 2=a (a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1,a 2,a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明； (3)求lim ∞→n x n .参考答案:1.解析:当a =n 时y =n (n +1)x 2－(2n +1)x +1,由｜x 1－x 2｜=a∆，得d n =)1(1+n n ，∴d 1+d 2+…+d n 1111223(1)n n =+++⋅⋅+1111111122311n n n =-+-++-=-++ 121()(1)1lim lim 1n n n d d d n →∞→∞∴+++=-=+ 答案:A2.解析:由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得:2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3.又由1，y 1,y 2,8依次成等比数列，得y 12=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4, ∴P 1(2,2),P 2(3,4).∴21),2,2(OP OP ==(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP12121212cos sin1010||||5OP OP POP POP OP OP ∴===∴=⨯ 12121211||||sin 512210OP P S OP OP POP ∆∴==⨯⨯=. 答案:13.解析:第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－ab)升， 第二次有纯酒精a (1－a b )－b a a b a )1(-，即a (1－ab )2升， 故第n 次有纯酒精a (1－ab )n升. 答案:a (1－ab )n4.解析:从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a 5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 答案:1200005.解:(1)由题意得rq n －1+rq n ＞rq n +1.由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得:q 2－q －1＜0，解得251-＜q ＜251+,因q ＞0,故0＜q ＜251+; (2)∵0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a qa q a a a a ab b q a a a a a a nn n n n n n n n n n n n n n n .b 1=1+r ≠0，所以{b n }是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(1+r )q n -1.当q =1时，S n =n (1+r ),.110;limlim (1)n n nS n r →∞→∞==+(1)(1)01,,1n n r q q S q +-<<=-当时111;lim lim (1)(1)1nn n n q qS r q r →∞→∞--==+-+ (1)(1)1,,1n n r q q S q +->=-当时110,lim lim (1)(1)nn n n qS r q →∞→∞-==+- 1, (01)11lim 0, (1)n n qq r S q →∞-⎧<<⎪=+⎨⎪≥⎩所以1(3)(2),(1)n n b r q -=+由有.2.2011log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n q n r q n r q r q r b b n n n n nn n b b C 212log log +=记,从上式可知，当n －20.2＞0，即n ≥21(n ∈N *)时，C n 随n 的增大而减小，故1＜C n ≤C 21=1+8.0112.20211+=-=2.25 ① 当n －20.2＜0，即n ≤20(n ∈N *)时，C n 也随n 的增大而减小，故1＞C n ≥C 20=1+2.0112.20201-=-=－4 ② 综合①②两式知，对任意的自然数n 有C 20≤C n ≤C 21, 故{C n }的最大项C 21=2.25，最小项C 20=－4.6.解:(1)第1位职工的奖金a 1=nb，第2位职工的奖金a 2=n 1(1－n 1)b ，第3位职工的奖金a 3=n 1(1－n 1)2b ，…，第k 位职工的奖金a k =n 1.(1－n1)k －1b ;(2)a k －a k +1=21n(1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设f k (b )表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f 1(b )=(1－n 1)b ,f 2(b )=(1－n 1)2b ,…,f k (b )=(1－n 1)k b .得P n (b )=f n (b )=(1－n 1)nb ,故ebb P n n =∞→)(lim . 7.解:设a n 表示第n 年的废旧物资回收量，S n 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{a n }是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)(2)S 6=2.016.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+=99.2992≈99.3(万吨)∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)， ∴从1996年到2001年共节约:84104.7102.3974.562⨯⨯⨯≈3.平方公里.8.解:(1)当n ≥3时，x n =221--+n n x x ; aa x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=由此推测a n =(－21)n -1a (n ∈N ) 证法一:因为a 1=a ＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a .(n ≥2)所以a n =(－21)n -1a .证法二:用数学归纳法证明:(ⅰ)当n =1时，a 1=x 2－x 1=a =(－21)0a ,公式成立；(ⅱ)假设当n =k 时，公式成立，即a k =(－21)k －1a 成立.那么当n =k +1时，a k +1=x k +2－x k +1=k k k k k k a x x x x x 21)(212111-=--=-++++.)21()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式a n =(－21)n -1a 成立.(3)当n ≥3时，有x n =(x n －x n －1)+(x n －1－x n －2)+…+(x 2－x 1)+x 1=a n －1+a n －2+…+a 1,由(2)知{a n }是公比为－21的等比数列，所以12lim 131()2n n a x a →∞==--。

压轴题型02构造法在函数中的应用近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．○热○点○题○型1构造法解决高考函数对称与周期性问题○热○点○题○型2主元构造法○热○点○题○型3分离参数构造法○热○点○题○型4局部构造法○热○点○题○型5换元构造法○热○点○题○型6特征构造法○热○点○题○型7放缩构造法一、单选题1．若正数x满足532-+=，则x的取值范围是（）.x x xA x<B x<<C ．x <D ．x >2．设函数()f x =若曲线sin 22y x =+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[0，21]e e -+B ．[0，21]e e +-C ．[0，21]e e --D ．[0，21]e e ++3．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线1和2构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C ，2C 的焦点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线1C 上，过点P 作x 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ，若124==PF PQ ，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．6树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．272πcmB ．2162πcmC ．2216πcmD ．2288πcm 【答案】C【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.【详解】不妨设正方体的边长为2a ，球О的半径为R ，则圆柱的底面半径为a ，因为正方体的体对角线即为球О直径，故223R a =，利用勾股定理得：222263a R a +==，解得18a =，球的表面积为2ππ44318216πS R ==⨯⨯=，故选：C.5．若函数()()有两个零点，则实数的取值范围是（）A ．()1,2B ．()0,2C ．()1,+∞D ．(),2-∞【答案】A【分析】将函数()()ln 2f x x a x a =+-+有两个零点的问题转化为函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象交点个数问题，结合导数的几何意义，数形结合，即可求解.【详解】由()()ln 2f x x a x a =+-+有两个零点，即()ln 20x a x a +-+=有两个正根，即函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象有2个交点，直线(2)y a x a =--可变为(1)20a x x y -++-=，令=1x -，则=2y -，即直线(2)y a x a =--过定点(1,2)P --，当该直线与ln y x =相切时，设切点为00(,)x y ，则1y x'=，则000ln 211x x x +=+，即001ln 10x x -+=，令1g()ln 1,(0)x x x x=-+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，故1g()ln 1,(0)x x x x=-+>有唯一零点1x =，故01x =，即(2)y a x a =--与曲线ln y x =相切时，切点为(1,0)，则切线斜率为1，要使函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象有2个交点，需满足021a <-<，即(1,2)a ∈，故选：A【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.6．已知()f x 是定义域为R 的函数，()220f x +为奇函数，()221f x +为偶函数，当10x -≤<时，()f x =()()()60y f x a x a =-+>有5个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．11,73⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,124⎛ ⎝⎭C ．⎝⎭D ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭当直线()2y a x =-与圆()()22910x y y -+=≥相切时，271aa +()2y a x =-与圆()()22510x y y -+=≥相切时，2311a a =+，解得32124a <<．故选：B ．【点睛】通过函数的奇偶性挖掘周期性与函数图像的对称性，从而能作出整个函数的大致图像，将函数零点转化为方程的根，再转化为两个函数图像交点的横坐标．交点的个数时注意数形结合思想的应用，动中蕴静，变化中抓住不变，抓住临界状态，利用直线与圆相切，借助点到直线的距离公式得到参数的临界值，从而求出参数的取值范围，考生综合分析问题和解决问题的能力要求比较高．二、填空题7．已知函数21()(1)1x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，如果不等式1(1)()(x f x m m -->-对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围_______________.5⎛⎫①ln52<；②lnπ>③11<；④3ln2e>其中真命题序号为__________.9．设函数4()log ,0f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()2g 23x fx a f x =-++恰好有四个零点，则实数a 的取值范围是____________.令()f x t =，函数()()()()2g 23x fx a fx =-++恰好有四个零点．则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，设()2230t a t -++=的两根为12,t t ，因为123t t =，所以两根均大于0，且方程的一根在区间(]0,1内，另一根在区间()2+∞，内．令()()223g t t a t =-++所以()()()()2Δ2120001020a g g g ⎧=+->⎪>⎪⎨≤⎪⎪<⎩，解得：2a ≥，综上：实数a 的取值范围为[)2,.∞+故答案为：[)2,.∞+【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.三、解答题10．已知正数a b 、满足1a b +=，求M =的最小值.11．已知函数在处的切线方程为(1).求()f x 的解析式；(2).若对任意的0x >，均有()10f x kx -+≥求实数k 的范围；(3).设12x x ，为两个正数，求证:()()()121212f x f x x x f x x +++>+。

高考构造函数十三种题型精讲精练目录一、十三种题型精讲【题型一】利用x n f（x）构造型【题型二】利用f（x）/x n构造型【题型三】利用e nx f（x）构造型【题型四】用f（x）/e nx构造型【题型五】利用sin x与f（x）构造型【题型六】利用cos x与f（x）构造型【题型七】复杂型：e n与af（x）+bg(x)等构造型【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【题型九】复杂型：与ln（kx+b）结合型【题型十】复杂型：基础型添加因式型【题型十一】复杂型：二次构造【题型十二】综合构造【题型十三】技巧计算型构造二、最新模拟试题精练【题型一】利用x n f （x ）构造型【典例分析】函数()f x 是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为A. B.C.D.【详解】设，则，由已知当时，，是增函数，不等式等价于，所以020165x <+<，解得.方法技巧：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：，，()()x g x e f x =，，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式.【提分秘籍】基本规律1.x ()+()0 0g x =x f x f x f x '>< 对于（），构造（）（），2.k x ()k ()0 0g x =x f x f x f x '+>< 对于（），构造（）（）【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是A.B.C.D.【分析】构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性.【详解】设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增.又()f x 是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即.故选C.2.已知()f x的定义域为，为()f x 的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A. B. C.D.【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.【详解】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.3.设函数()f x在R 上可导，其导函数为，且.则下列不等式在R 上恒成立的是（）A.()0f x ≥ B.()0f x ≤ C.D.【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答.【详解】依题意，令函数，则，因，于是得时，时，从而有在上单调递减，在上单调递增，因此得：，而，即f (x )不恒为0，所以()0f x ≥恒成立.故选：A【题型二】利用f （x ）/x n 构造型【典例分析】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则A.B.C.D.【详解】令，，，∵，，∴，，∴函数在上单调递增，∴，即，，令，，，∵，，，∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D.【提分秘籍】基本规律1.()-()0 0f x x f x f x g x x '><= （）对于（），构造（），2.()-()0 0k f x x f x kf x g x x '><= （）对于（），构造（）【变式演练】1.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）A. B.C.D.【分析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数，利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当时，即，，当时，即，.【详解】构造函数，，当时，，故，在上单调递增，又为偶函数，21y x =为偶函数，所以为偶函数，在单调递减.，则(3)1f =，；，当时，即，，所以；当时，即，，所以.综上所述，.故选：A2.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型三】利用e nx f （x ）构造型【典例分析】已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是A.B.C.D.【分析】构造函数，结合导函数，判定的单调性，得对称轴，对选项判断即可.【详解】构造函数，计算导函数得到=，由>0，得当，>0当时，<0.所以在单调递增，在单调递减，而，所以关于对称，故，得到，故选：D.【提分秘籍】基本规律1.()()0 0x f x f x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（），2.()()0 0kx f x kf x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（）【变式演练】1.已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【分析】构造函数，根据，结合题意可知函数是偶函数，且在上是增函数，由此根据结论，构造出的不等式即可.【详解】由题意：不等式可化为：，两边同乘以得：，令，易知该函数为偶函数，因为，，所以所以在上是单调增函数，又因为为偶函数，故，解得：.故选：B.2.设函数()f x的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【分析】构造函数，通过求导判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】令，则，因为，所以，化简可得，即，所以函数在上单调递增，因为，化简得，因为，，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：A3.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型四】用f（x）/e nx构造型【典例分析】已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A.B.C.D.【分析】通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】因为.所以<0，即构造函数，所以，即在R 上为单调递减函数所以，化简得.同理，化简得所以选D【提分秘籍】基本规律1.()-()0 0x f x f x f x g x e '><=（）对于（），构造（），2.()-()0 0kx f x f x kf x g x e '><=（）对于（），构造（）【变式演练】1.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A.B.C.D.【分析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由即可求解集.【详解】由，而知：在上单调减，而，即，又知：，∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，∴在上单调增，即，可得，综上，有，故选：A2.已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A.B.C.D.【分析】通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】因为.所以<0，即构造函数，所以，即在R 上为单调递减函数所以，化简得.同理，化简得所以选D3.已知定义在上的可导函数()f x满足：，则与的大小关系是A.B.C.D.不确定【详解】令()()x g x e f x =，则，所以函数在上单调递减.因为，所以，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造()()x g x e f x =，构造，构造等【分析】构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.【详解】构造函数，由在上恒有，，在上为增函数，又由，为偶函数，，，，，故A 错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，，，，故B 正确；，，，，故C 错误；，，，，故D 错误.故选：B.2.已知偶函数()f x是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【分析】构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在(0,1]上单调递减，由可得，列出不等式即可求解.【详解】令，，则当时，，所以函数是定义在上的偶函数.当时，，所以函数在上单调递增，在(0,1]上单调递减.又，，所以由，可得，即，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：C.3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】令，易得是定义在上的偶函数，因为，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.【详解】令，∵是定义在上的奇函数，∴是定义在上的偶函数.当时，，由，得，∴，则在上单调递减.将化为，即，则.又是定义在上的偶函数.∴在上单调递增，且.当时，，将化为，即，则.综上，所求不等式的解集为.故选：B【题型六】利用cos x与f（x）构造型【典例分析】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B【提分秘籍】基本规律1.cos ()-sin ()0 0cos x f x x f x g x f x x '><= 对于（），构造（）（），2.cos ()sin ()0 0cos f x x f x x f x g x x'+><= （）对于（），构造（）3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型【变式演练】1.已知偶函数()f x 的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（）A. B.C.D.【分析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设，则，当时，因为，则有，所以在上单调递减，又因为()f x 在上是偶函数，可得，所以是偶函数，由，可得，即，即又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.2.已知函数()f x的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是A.()f x 是增函数B.()f x 是减函数C.()f x 有极大值D.()f x 有极小值【分析】对化简可得，即为，设函数，研究函数的性质，从而得到的单调性与极值，从而得到答案.【详解】设函数因为化简可得，即为，故，因为所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以，所以当时，，当时，，，当时，，，，，故恒成立；当时，，，，，故恒成立；所以在上恒成立，故在上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减.所以选A.【题型七】复杂型：e n与af（x）+bg(x)等构造型【典例分析】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B.-∞， D.C.()0【分析】根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.【详解】设，所以，因为，所以，所以在上单调递减，且，又因为等价于，所以解集为，故选：C.【提分秘籍】基本规律()()()-() 0x g x e f x k f x f x k =-⎡⎤⎣⎦'><对于（），构造【变式演练】1.函数()f x是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________.【分析】构造函数，由题知得到在的最小值为0，得到在单增，在上，等价于，利用单调性可解.【详解】构造函数，在上，等价于，，，得，在上单增，在上单减，在上，恒成立，又，则又在上，等价于，即，则不等式的解集为故答案为：2.函数()f x是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（）A.B.C.D.【分析】设，则，，故，即，解不等式得到答案.【详解】设，则，，故，故，即，，即，，故.故选：.3.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A. B.C. D.【分析】构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.【详解】设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【典例分析】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【详解】由题意设，则，当时，，当时，，则在上递增，函数的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C.【提分秘籍】基本规律授课时，可以让学生写出y=kx+b与y=f(x)的加、减、乘、除各种【变式演练】1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数，对任意实数，都有，则，所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.2.已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】构造函数，由已知，所以在上单调递增，利用二倍角余弦公式化简变形，有，即，利用单调性即可求解.【详解】令，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，不等式，即，所以，即，所以，又，所以，故选：D.3.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为.得，，的解集为，故选B.【题型九】复杂型：与ln （kx +b ）结合型【典例分析】设函数()f x 是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数()f x 及其导函数满足，则函数()f xA.既有极大值又有极小值B.有极大值，无极小值C.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值【分析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数()f x 在处存在导数即可求出的值并求出函数()f x 的解析式，然后通过求导即可判断出函数()f x 的极值.【详解】由题意可知，，即，所以，令，则，因为函数()f x 在处存在导数，所以为定值，，，所以，令，当时，，构建函数，则有，所以函数在上单调递增，当，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以当时函数必有一解，令这一解为，，则当时，当时，综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.【提分秘籍】基本规律1.()()l ()ln x 0 xn x f 0x f f g x x x '+><= （）对于（），构造2.授课时，可以让学生写出y =ln （kx +b ）与y =f (x )的加、减、乘、除各种结果【变式演练】1..已知()f x是定义在上的奇函数，是()f x 的导函数，且满足：则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（）A.B.C.D.【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出()f x 在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令，，则，在上单调递减，而，因此，由得，而，则，由得，而，则，又(1)0f <，于是得在上，，而()f x 是上的奇函数，则在上，，由(1)()0x f x -⋅<得：或，即或，解得或，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为.故选：D2.设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（）A. B.C.D.【分析】由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小.【详解】由题意，在上的函数恒成立，若，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B3.已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（）A. B.C.D.【分析】根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上单调递减，分析的特殊值，结合函数单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，进而将不等式变形转化，解得的取值范围，即可得到答案.【详解】令，则，因为当时有成立，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，所以，又，所以，当时，()(1)0g x g <=，所以，又，所以，在是连续的函数，且，所以(1)0f <，时，，又由()f x 为奇函数，时，，所以或，解得或，则的取值范围是.故选：B.【题型十】复杂型：基础型添加因式型【典例分析】已知函数()f x 的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.【详解】由题意得，则，由，解得：，故，（2），当时，，，，在上恒成立，即()f x 在上单调递增，又，故()f x 为上的偶函数，其图象关于轴对称，()f x 在上单调递减，故，故，故选：C.【提分秘籍】基本规律在本专题一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度【变式演练】1.定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是A. B.C.D.【详解】设，则，故函数在上递减，所以，所以，即，故选择A.2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不等式的解集为（）A.B.C. D.【分析】构造新函数，利用已知不等式可得的单调性，从而可解不等式.【详解】涉及函数定义域为，设，则，∵，∴，∴在上单调递增，不等式可化为，即，所以，，又，得，∴原不等式的解为.故选：A.3.已知函数()f x为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】由，构造函数，求导，可得在R上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集.【详解】由题意知，，则构造函数，则，所以在R是单调递减.又因为，则.所求不等式可变形为，即，又在R是单调递减，所以，故选A【题型十一】复杂型：二次构造【典例分析】已知是函数()f x的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m 的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解.【详解】因为，所以，即，亦即，又，所以，即有.原不等式可等价于，即，解得的取值范围是.故选：A.【提分秘籍】基本规律二次构造：n f x r(x)g x r(x)=x e ,sin ,cos nx x x ⨯÷±（）（），其中，等授课时，可以适当的借助例题，分析这类题的结构特征.【变式演练】1.已知定义域为的函数()f x满足（为函数()f x 的导函数），则不等式的解集为（）A. B.(0,1]C.D.【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由，当时，可得，即，即，构造函数，所以函数递增，则，此时，即满足；当时，可得，由函数递增，则，此时或，即满足；当时，，即满足.综上，.故选：C.2.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，又因为，，，且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C3.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【分析】采用构造函数法，同乘得，变形得，即，由此可得表达式，将求出具体解析式，再结合导数研究增减性，画出大致图象，即可求解.【详解】依题意，，故，则，即，故，令，则，解得，故，故；令，则，当时，，当，，故，故当时，，当时，；作出函数的大致图象如图所示；观察可知，与有2个交点，即函数有2个零点，故选：B.【题型十二】综合构造【典例分析】f x的导函数为，且成立，则下列各式一定义在上的连续函数()定成立的是（）A. B.C.()0f π> D.【分析】设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A ，B ，C ，将2x π=代入条件可得，可判断选项D.【详解】由题可得，所以，设则，所以在上单调递减，且由可得，所以，()0f π>，所以选项A ､B 错误，选项C 正确.把2x π=代入，可得，所以选项D 错误，故选：C.【提分秘籍】基本规律结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者f （x ）+r （x ）（r （x ）为常见函数）可以借助本小节授课，培养这类观察和构造的思维【变式演练】1.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【分析】先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果.【详解】由可得，即，所以（其中为常数），因此，，由可得，故.显然，是上的偶函数.当时，，所以，在上是增函数.故故选：C.2.定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【分析】构造函数，分析出函数为奇函数，利用导数分析出函数在上为增函数，由此可得出该函数在上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误.【详解】令，，，所以，，，所以，函数为上的奇函数，，当时，，即，，所以，在上单调递增，由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增.对于A 选项，，则，即，A 选项错误；对于B 选项，，，即，B 选项正确；对于C 选项，，，即，C 选项错误；对于D 选项，，，即，D 选项错误.故选：B.3.已知函数()f x 的定义域为R ，且是偶函数，（为()f x 的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.【分析】设函数，求得时，()0p x '>，得到当时，()0f x '>，得到函数()f x的单调性，把任意的，恒成立，转化为，即可求解.【详解】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.设函数，则，当时，()0p x '>，函数在上单调递增，可得当时，，所以当时，()0f x '>，f x在上单调递增，在上单调递减.所以函数()设函数，则当时，因为，所以由对任意的，恒成立，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.【题型十三】技巧计算型构造【典例分析】f x的导函数为，若，且，则定义在上的函数()A. B.C. D.【分析】由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求【详解】因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即.故选C【提分秘籍】基本规律授课时，可以让学生写出y =kx +b 与y =f (x )的加、减、乘、除各种【变式演练】1.已知()f x是定义在上的奇函数，记()f x 的导函数为，当时，满足.若使不等式成立，则实数的最小值为A.B.C.D.【分析】由题意构造函数，借助单调性问题转化为e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，变量分离求最值即可.【详解】由是定义在上的奇函数，当时，满足.可设故为上的增函数，又∴e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，∴a ≥x 3﹣3x +3﹣，令g （x ）=x 3﹣3x +3﹣，g ′（x ）=3x 2﹣3+=（x ﹣1）（3x +3+），故当x ∈（﹣2，1）时，g ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，故g （x ）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min （x ）=g （1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选D.2.定义在上的函数()f x 满足：是()f x 的导函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集.【详解】设，则，又由，则，所以，所以函数为单调递增函数，又由，所以，由不等式，即，即，所以不等式的解集为，故选A.3.已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[op −′(p]tan −op <0，则（）A.oln 32)sin(l 32)一定小于0.6oln 52)sin(l 52)B.oln 32)sin(l 32)一定大于0.6oln 52)sin(l 52)C.oln 32)sin(l 32)可能大于0.6oln 52)sin(l 52)D.oln 32)sin(l 32)可能等于0.6oln 52)sin(l 52)【解析】∵[op −′(p]tan −op <0∴[op −′(p]sincos −op <0，即opsin −′(psin <opcos ⇒opsin <′opsin ′即opsin ′−opsin >0，设op =opsin，则′(p=opsin=−，即函数op =opsin在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，而0<ln 32<ln 52<2，所以)sin ln32<)sin ln 52⇒)sin 32<)sin 52⇒oln 32)sin ln<35oln 52)sin A二、最新模拟试题精练1.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0f x f x <'<，则（）A.()()()()e 21,2e 1f f f f >>B.()()()()e 21,2e 1f f f f ><C.()()()()e 21,2e 1f f f f <>D.()()()()e 21,2e 1f f f f <<【分析】根据题意以及选项对比可知，本题需要构造()e ()x h x f x =和()()e xf xg x =，求导后判断其单调性得出(2)(1)h h <和(2)(1)g g >的结论代入化简即可.【详解】由题意可知，函数()f x 在R 上单调递减.()()0f x f x '+<,()()0f x f x '->.构造()e ()x h x f x =，定义域为R ，则()()()e ()e e [()]0x x xh x f x f x f x f x '''=+=+<，所以()h x 在R上单调递减，所以(2)(1)h h <，即2e (2)e (1),e (2)(1)f f f f <<，故A,B 错误.构造()()e x f x g x =，定义域为R ，则()()()()2e e ()0(e )e x x x xf x f x f x f xg x ''⋅-⋅-'==>，所以()g x 在R 上单调递增，所以(2)(1)g g >，即2(2)(1),(2)e (1)e ef f f f >>，故B,D 错误.故选:C【方法点评】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.2.定义在()0,∞+上的函数()y f x =有不等式()()()23f x xf x f x '<<恒成立，其中()y f x '=为函数()y f x =的导函数，则（）A.()()24161f f << B.()()2481f f << C.()()2341f f << D.()()2241f f <<【分析】根据已知条件可以得到()()2f xg x x=，()()3f x h x x=在(0,+∞)上的单调性，从而分别得到()()()()21,21g g h h ><,进而得到结论.【详解】()()2f x xf x '<，即()()20f x x f x '⋅->，因为()y f x =定义在()0,∞+上，∴()()220f x x xf x '⋅->，令()()2f xg x x =则()()241f f >，()()()242g 0f x x xf x x x '⋅-'=>，则函数()g x 在()0,∞+上单调递增.由()()21g g >得，()()222121f f >即，()24(1)f f >；同理令()()3f x h x x =，()()()()()3264330f x x x f x f x x f x h x xx''⋅-⋅-'==<，则函数()h x 在()0,∞+上单调递减.由()()21h g <得，()()332121f f <，即()()281f f <.综上，()()2481f f <<.故选：B.【方法点评】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和单调性在比较大小中的应用，涉及根据已知导函数满足的关系构造可判定导数正负的函数，是难题.()()20f x x f x '⋅->，从中间是减号，联想到除法的求导法则，从系数2，联想到要有2x 的导数产。

高考构造函数十三种题型精讲精练目录一、十三种题型精讲【题型一】 利用x f （x ）构造型 【题型二】 利用f （x ）/x 构造型 【题型三】 利用e f （x ）构造型 【题型四】 用f （x ）/e 构造型 【题型五】 利用sin x 与f （x ）构造型 【题型六】 利用cos x 与f （x ）构造型【题型七】 复杂型：e 与af （x ）+bg (x )等构造型 【题型八】 复杂型：（kx +b ）与f （x ）型 【题型九】 复杂型：与ln （kx +b ）结合型 【题型十】 复杂型：基础型添加因式型 【题型十一】 复杂型：二次构造 【题型十二】 综合构造 【题型十三】 技巧计算型构造二、最新模拟试题精练n n nx nx n【题型一】 利用x f （x ）构造型 【典例分析】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 A.B.C.D.【详解】 设，则，由已知当时，，是增函数，不等式等价于，所以，解得.方法技巧：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：，，，，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式.【提分秘籍】基本规律1.，2.【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是A.B.C.D.n ()fx 020165x <+<()()x g x e f x =x ()+()0 0g x =x f x f x f x '>< 对于（），构造（）（）k x ()k ()0 0g x =x f x f x f x '+>< 对于（），构造（）（）【分析】 构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性.【详解】 设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增.又是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即.故选C.2.已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）A.B.C.D.【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.【详解】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减. 又因为，所以， 所以，解得或（舍）. 所以不等式的解集是.故选：B.()fx ()fx ()fx3.设函数在R 上可导，其导函数为，且.则下列不等式在R 上恒成立的是（ ） A. B.C.D.【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答.【详解】 依题意，令函数，则，因，于是得时，时，从而有在上单调递减，在上单调递增，因此得：，而，即f (x )不恒为0，所以恒成立.故选：A【题型二】 利用f （x ）/x 构造型 【典例分析】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则 A.B.C.D.【详解】 令，，， ∵，，∴，，()fx ()0f x ≥()0f x≤()0f x ≥n∴函数在上单调递增，∴，即，，令，，， ∵，，， ∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D.【提分秘籍】基本规律1.，2.【变式演练】1.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）A. B.C.D.【分析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数， 利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当时，即，，当时，即，.【详解】 构造函数 ，，当时，，故，在上单调递增，()-()0 0f x x f x f x g x x '><= （）对于（），构造（）()-()0 0k f x x f x kf x g x x '><= （）对于（），构造（）又为偶函数， 为偶函数，所以为偶函数，在单调递减.，则，；， 当 时，即，，所以 ；当时，即，，所以.综上所述，.故选：A2.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】 由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】 因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.21y x=(3)1f=【题型三】 利用e f （x ）构造型 【典例分析】已知函数在上 可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是A.B.C.D.【分析】 构造函数，结合导函数，判定的单调性，得对称轴，对选项判断即可. 【详解】 构造函数，计算导函数得到=，由>0，得当，>0当时，<0.所以在单调递增，在单调递减，而，所以关于对称，故，得到，故选：D.【提分秘籍】基本规律1.，2.【变式演练】1.已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（ ）nx ()()0 0x f x f x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（）()()0 0kx f x kf x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（）A. B. C. D.【分析】 构造函数，根据，结合题意可知函数是偶函数，且在上是增函数，由此根据结论，构造出的不等式即可. 【详解】 由题意：不等式可化为：，两边同乘以得：，令，易知该函数为偶函数，因为，，所以所以在上是单调增函数，又因为为偶函数，故，解得：.故选：B.2.设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）A. B.C.D.【分析】 构造函数，通过求导判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】 令，则，因为，所以，化简可得， 即，所以函数在上单调递增，因为，化简得，()fx因为，，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：A3.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】 由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】 因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型四】 用f （x ）/e 构造型 【典例分析】已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A. B. C.nxD.【分析】 通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】 因为.所以<0，即构造函数 ，所以，即在R 上为单调递减函数 所以 ，化简得.同理，化简得所以选D【提分秘籍】基本规律1.，2.【变式演练】1.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】 由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由 即可求解集.【详解】()-()0 0x f x f x f x g x e '><=（）对于（），构造（）()-()0 0kx f x f x kf x g x e '><=（）对于（），构造（）由，而知：在上单调减， 而，即，又知：，∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，∴在上单调增，即，可得，综上，有，故选：A 2.已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A. B. C. D.【分析】 通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】 因为.所以<0，即构造函数 ，所以，即在R 上为单调递减函数 所以 ，化简得.同理，化简得所以选D3.已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是A.B.C.D.不确定【详解】令，则，所以函数在上单调递减.()fx ()()x g x e f x因为，所以，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等()()x g x e f x【分析】 构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.【详解】构造函数，由在上恒有，，在上为增函数，又由，为偶函数，，，，，故A 错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，，，，故B 正确；，，，，故C 错误；，，，，故D 错误.故选：B.2.已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）A. B.C.D.()fx构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在上单调递减，由可得，列出不等式即可求解.【详解】 令，，则当时，，所以函数是定义在上的偶函数.当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减. 又，，所以由，可得，即，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：C.3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】 令，易得是定义在上的偶函数，因为，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.(0,1](0,1]令，∵是定义在上的奇函数，∴是定义在上的偶函数.当时，，由，得，∴，则在上单调递减.将化为，即，则.又是定义在上的偶函数.∴在上单调递增，且.当时，，将化为，即，则.综上，所求不等式的解集为.故选：B【题型六】利用cos x与f（x）构造型【典例分析】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】 由题意，函数满足， 令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B【提分秘籍】基本规律1.，2.3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型【变式演练】1.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】cos ()-sin ()0 0cos x f x x f x g x f x x '><= 对于（），构造（）（）cos ()sin ()0 0cos f x x f x x f x g x x'+><= （）对于（），构造（）()f x由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】 由题意，设，则，当时，因为，则有，所以在上单调递减， 又因为在上是偶函数，可得，所以是偶函数，由，可得，即，即又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.2.已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是 A.是增函数 B.是减函数 C.有极大值 D.有极小值【分析】 对化简可得，即为，设函数，研究函数的性质，从而得到的单调性与极值，从而得到答案.【详解】 设函数因为化简可得，即为，故，因为()fx ()f x ()f x ()f x ()f x ()fx所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以，所以当时，，当时，，，当时，，，，， 故恒成立；当时，，，，， 故恒成立；所以在上恒成立，故在上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减.所以选A.【题型七】 复杂型：e 与af （x ）+bg (x )等构造型 【典例分析】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A.B.C. D.【分析】根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.【详解】 设，所以， 因为，所以，n ()0-∞，所以在上单调递减，且，又因为等价于，所以解集为，故选：C.【提分秘籍】基本规律【变式演练】1.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________.【分析】 构造函数，由题知得到在的最小值为0，得到在单增，在上，等价于，利用单调性可解.【详解】 构造函数，在上，等价于，，，得，在上单增，在上单减，在上，恒成立，又，则又在上，等价于，即，则不等式的解集为故答案为：2.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（ ） A.B.C.D.()()()-() 0x g x e f x k f x f x k =-⎡⎤⎣⎦'><对于（），构造()fx ()fx【分析】设，则，，故，即，解不等式得到答案.【详解】设，则，，故，故，即，，即，，故.故选：.3.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A. B.C. D.【分析】构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.【详解】设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【典例分析】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【详解】由题意设，则，当时，，当时，，则在上递增，函数的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C.【提分秘籍】基本规律授课时，可以让学生写出y=kx+b与y=f(x)的加、减、乘、除各种【变式演练】1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数，对任意实数，都有，则，所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.2.已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】构造函数，由已知，所以在上单调递增，利用二倍角余弦公式化简变形，有，即，利用单调性即可求解.【详解】令，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，不等式，即，所以，即，所以，又，所以，故选：D.3.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为.得，，的解集为，故选B.【题型九】 复杂型：与ln （kx +b ）结合型 【典例分析】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数A.既有极大值又有极小值B.有极大值 ，无极小值C.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值 【分析】 本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值. 【详解】 由题意可知，，即，所以，令，则，因为函数在处存在导数，所以为定值，，，所以，令，当时，， 构建函数，则有，所以函数在上单调递增，当，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以当时函数必有一解，令这一解为，，则当时，()f x ()f x ()f x ()fx ()f x ()f x ()fx当时，综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.【提分秘籍】基本规律 1. 2.授课时，可以让学生写出y =ln （kx +b ）与y =f (x )的加、减、乘、除各种结果【变式演练】1..已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足：则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可. 【详解】 令，，则，在上单调递减，而，因此，由得，而，则，由得，而，则，又，于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，，由得：或，即或，解得或，所以不等式的解集为.()()l ()ln x 0 xn x f 0x f f g x x x '+><= （）对于（），构造()f x ()f x (1)()0x f x -⋅<()fx (1)0f <()fx (1)()0x f x -⋅<(1)()0x f x -⋅<故选：D2.设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（）A. B.C. D.【分析】由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小.【详解】由题意，在上的函数恒成立，若，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B3.已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【分析】根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上单调递减，分析的特殊值，结合函数单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，进而将不等式变形转化，解得的取值范围，即可得到答案. 【详解】 令，则，因为当时有成立，所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，又，所以， 当时，，所以，又，所以，在是连续的函数， 且，所以，时，，又由为奇函数，时，，所以或，解得或，则的取值范围是.故选：B.【题型十】 复杂型：基础型添加因式型 【典例分析】已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ） A.B.C.D.【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，()(1)0g x g <=(1)0f <()fx ()fx结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式. 【详解】 由题意得，则，由，解得：，故，（2），当时，，，，在上恒成立，即在上单调递增，又，故为上的偶函数， 其图象关于轴对称，在上单调递减，故，故，故选：C.【提分秘籍】基本规律在本专题一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度【变式演练】1.定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是A. B. C.D.【详解】 设，则，故函数在上递减，所以，所以，即，故选择A.2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不()fx ()f x ()fx等式的解集为（ ） A. B.C.D.【分析】 构造新函数，利用已知不等式可得的单调性，从而可解不等式.【详解】 涉及函数定义域为，设，则，∵，∴，∴在上单调递增，不等式可化为，即，所以，，又，得，∴原不等式的解为.故选：A.3.已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为 A. B.C.D.【分析】 由，构造函数，求导，可得在R 上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集. 【详解】 由题意知，，则构造函数，则，所以在R 是单调递减.又因为，则()fx.所求不等式可变形为，即，又在R 是单调递减，所以，故选A【题型十一】 复杂型：二次构造 【典例分析】已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m 的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解. 【详解】 因为，所以，即，亦即 ，又，所以，即有.原不等式可等价于，()fx即，解得的取值范围是.故选：A.【提分秘籍】基本规律二次构造： 授课时，可以适当的借助例题，分析这类题的结构特征.【变式演练】1.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.【分析】 构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集. 【详解】 由，当时，可得，即，即，构造函数，所以函数递增，则，此时，即满足；当时，可得， 由函数递增，则，此时或，即满足； 当时，，即满足.综上，.故选： C.n f x r(x)g x r(x)=x e ,sin ,cos nx x x ⨯÷±（）（），其中，等()f x ()fx(0,1]2.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，又因为，，，且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C3.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【分析】采用构造函数法，同乘得，变形得，即，由此可得表达式，将求出具体解析式，再结合导数研究增减性，画出大致图象，即可求解.【详解】依题意，，故，则，即，故，令，则，解得，故， 故；令，则，当时，，当，，故，故当时，，当时，；作出函数的大致图象如图所示；观察可知，与有2个交点，即函数有2个零点，故选：B.【题型十二】 综合构造 【典例分析】定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（ ） A.B.C. D.【分析】 设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A ，B ， C ， 将代入条件可得，可判断选项D.()fx ()0f π>2x π=【详解】 由题可得，所以，设则，所以在上单调递减，且由可得，所以，，所以选项A ､B 错误，选项C 正确. 把代入，可得，所以选项D 错误，故选：C.【提分秘籍】基本规律结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者f （x ）+r （x ）（r （x ）为常见函数）可以借助本小节授课，培养这类观察和构造的思维【变式演练】1.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）A.B.C.D.【分析】 先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果. 【详解】()0f π>2x π=由可得，即，所以（其中为常数），因此，，由可得，故.显然，是上的偶函数.当时，，所以，在上是增函数. 故故选：C.2.定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【分析】构造函数，分析出函数为奇函数，利用导数分析出函数在上为增函数，由此可得出该函数在上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误.【详解】令，，，所以，，，所以，函数为上的奇函数，，当时，，即，，所以，在上单调递增，由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增.对于A 选项，，则，即，A 选项错误； 对于B 选项，，，即，B 选项正确；对于C 选项，，，即，C 选项错误；对于D 选项，，，即，D 选项错误.故选：B.3.已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C.D.【分析】 设函数，求得时，，得到当时，，得到函数的单调性，把任意的，恒成立，转化为，即可求解.【详解】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.设函数，则，当时，，函数在上单调递增，可得当时，，所以当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.()f x R ()fx ()0p x '>()0f x '>()fx ()0p x '>()0f x '>()fx设函数，则当时，因为，所以由对任意的，恒成立，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.【题型十三】 技巧计算型构造 【典例分析】定义在上的函数的导函数为，若，且，则A. B. C.D.【分析】 由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求【详解】 因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即.故选C【提分秘籍】基本规律()fx授课时，可以让学生写出y =kx +b 与y =f (x )的加、减、乘、除各种【变式演练】1.已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足.若使不等式成立，则实数的最小值为A.B.C.D.【分析】 由题意构造函数，借助单调性问题转化为e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，变量分离求最值即可. 【详解】 由是定义在上的奇函数， 当时，满足.可设故为上的增函数， 又∴e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，∴a ≥x 3﹣3x +3﹣，令g （x ）=x 3﹣3x +3﹣，g ′（x ）=3x 2﹣3+=（x ﹣1）（3x +3+），故当x ∈（﹣2，1）时，g ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，故g （x ）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； 故g min （x ）=g （1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选D. 2.定义在上的函数满足：是的导函数， 则不等式的解集为A. B.C.D.【分析】()fx ()fx ()f x ()fx设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集.【详解】 设，则，又由，则，所以，所以函数为单调递增函数， 又由，所以，由不等式，即，即，所以不等式的解集为，故选A.3.已知函数在上处处可导，若[f(x)−f ′(x)]tan x−f(x)<0，则（ ）A.f(ln 32)sin (ln 32)一定小于0.6f(ln 52)sin (ln 52) B.f(ln 32)sin (ln 32)一定大于0.6f(ln 52)sin (ln 52) C.f(ln 32)sin (ln 32)可能大于0.6f(ln 52)sin (ln 52) D.f(ln 32)sin (ln 32)可能等于0.6f(ln 52)sin (ln 52) 【解析】∵[f(x)−f ′(x)]tan x−f(x)<0∴[f(x)−f ′(x)]sin xcos x −f(x)<0，即f(x)sin x−f ′(x)sin x <f(x)cos x⇒f(x)sin x <f ′(x)sin x +f(x)cos x =(f(x)sin x )′即(f(x)sin x )′−f(x)sin x >0，设g(x)=f(x)sin x e x，则g ′(x)=f(x)sin x e x=(f(x)sin x )′e x −e x (f(x)sin x )(e x )2=(f(x)sin x )′−f(x)sin xe x>0，即函数g(x)=f(x)sin x e x在上单调递增，而0<ln 32<ln 52<π2，所以f(ln 32)sin (ln 32)eln 32<f(ln 52)sin (ln 52)eln 52⇒f(ln 32)sin (ln 32)32<f(ln 52)sin (ln 52)52⇒f(ln 32)sin(ln 32)<35f(ln 52)sin (ln 52)选A()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭二、最新模拟试题精练1. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【分析】根据题意以及选项对比可知，本题需要构造和，求导后判断其单调性得出和的结论代入化简即可. 【详解】由题意可知，函数在上单调递减.,.构造，定义域为，则，所以在上单调递减，所以，即，故A,B 错误.构造，定义域为，则，所以在上单调递增，所以，即，故B,D 错误. 故选:C【方法点评】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解R ()f x ()f x '()()0f x f x <'<()()()()e 21,2e 1f f f f >>()()()()e 21,2e 1f f f f ><()()()()e 21,2e 1f f f f <>()()()()e 21,2e 1f f f f <<()e ()x h x f x =()()e xf xg x =(2)(1)h h <(2)(1)g g >()f x R ()()0f x f x '+<()()0f x f x '->()e ()x h x f x =R ()()()e ()e e [()]0x x xh x f x f x f x f x '''=+=+<()h x R (2)(1)h h <2e (2)e (1),e (2)(1)f f f f <<()()e x f x g x =R ()()()()2e e ()0(e )ex x x xf x f x f x f xg x ''⋅-⋅-'==>()g x R (2)(1)g g >2(2)(1),(2)e (1)e ef f f f >>2. 定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（）A. B. C. D. 【分析】根据已知条件可以得到，在(0,+∞)上的单调性，从而分别得到,进而得到结论.【详解】，即，因为定义在上，，令则，，则函数在上单调递增. 由得，即，；同理令，， 则函数在上单调递减. 由得，，即. 综上，. 故选：B.【方法点评】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和单调性在比较大小中的应用，()0,∞+()y f x =()()()23f x xf x f x '<<()y f x '=()y f x =()()24161f f <<()()2481f f <<()()2341f f <<()()2241f f <<()()2f x g x x =()()3f x h x x=()()()()21,21g g h h ><()()2f x xf x '<()()20f x x f x '⋅->()y f x =()0,∞+∴()()220f x x xf x '⋅->()()2f x g x x=()()241f f >()()()242g 0f x x xf x x x '⋅-'=>()g x ()0,∞+()()21g g >()()222121f f >()24(1)f f >()()3f x h x x =()()()()()3264330f x x x f x f x x f x h x x x ''⋅-⋅-'==<()h x ()0,∞+()()21hg <()()332121f f <()()281f f <()()2481f f <<，从中间是减号，联想到除法的求导法则，从系数2，联想到要有的导数产生，综合需要两边同乘以，得到，进而得到得到函数，同样道理得到的单调性，这是解决本题的关键和难点.3. 已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B.C.D.【分析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可. 【详解】由，可得， 即，令， 则. 令，， 所以在上是单调递减函数.不等式，等价于，即，， ()()20f x x f x '⋅->2x x ()()220f x x xf x '⋅->()()2f x g x x =()()()242g 0f x x xf x x x '⋅-'=>()()3f x h x x =()f x ()1,+∞()f x '()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦()1,x ∈+∞()14525f =()()233210x f x x ++>+()1,2(),2-∞()2,3-()2,2-()()2g x G x x =+()G x ()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦()()()2222x f x xf x x f x x '+<+()()()222x f x x f x x '<+()()2g x x f x =()()()()()2022g x g x g x x g x x x '-+'<-=++()()2g x G x x =+()()()()()()22022g x g x x g x G x x x ''+-⎛⎫'==< ⎪++⎝⎭()G x 1∞+（，）()()233210x f x x ++>+()()23325x f x x ++>+()()3325g x G x x ++=>+()()()52555277g f G ===。

近几年高考数学客观压轴题，多以导数为工具采用构造函数比较大小或求参数取值范围的形式出题，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结，并举例说明．类型一导数型构造函数(多角度探究)角度1利用f(x)与x n构造(1)对于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，构造函数F(x)＝x n f(x)；(2)对于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，构造函数F(x)＝f(x)x n.例1函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且3f(x)＋xf′(x)<0，则不等式(x＋2024)3f(x＋2024)＋8f(－2)<0的解集为()A．(－2026，－2024)B．(－∞，－2026)C．(－2024，－2023)D．(－∞，－2020)答案A解析依题意，有[x3f(x)]′＝x2[3f(x)＋xf′(x)]<0，故y＝x3f(x)在(－∞，0)上是减函数，原不等式化为(x＋2024)3f(x＋2024)<(－2)3f(－2)，即0>x＋2024>－2，所以原不等式的解集为(－2026，－2024)．故选A.题目已知中出现含f(x)，f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新函数，然后再逆用单调性等解决问题．1．设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F(x)＝f(x)x，则F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，由当x<0时，xf′(x)－f(x)>0可得当x<0时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．又f(x)为偶函数，g(x)＝x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F(x)的图象(图略)，根据函数F(x)的图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．角度2利用f(x)与e nx构造(1)对于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常构造函数F(x)＝e nx f(x)；(2)对于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常构造函数F(x)＝f(x)e nx.例2(2023·湖北武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x)－f′(x)>0，f(0)＝1，则关于x的不等式f(x)>e x的解集为()A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <1}D ．{x |x >1}答案B解析由f (x )>e x ⇒f (x )e x >1，设g (x )＝f (x )e x ⇒g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0⇒g (x )单调递减，且g (0)＝1，所以由f (x )e x>1⇒g (x )>1＝g (0)⇒x <0.故选B.若不等式满足“f ′(x )－nf (x )>0”的形式，优先构造函数F (x )＝f (x )e nx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可，注意所求问题的转化．2．(2024·湖北襄阳第五中学高三上学期月考)设f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，f (x )－f ′(x )＋2e x <0(e 为自然对数的底数)，且f (2)＝4e 2，则不等式f (x )>2x e x 的解集为________．答案(2，＋∞)解析设g (x )＝f (x )e x －2x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x －2＝f ′(x )－f (x )－2e x ex ，因为f (x )－f ′(x )＋2e x <0，所以g ′(x )>0，函数g (x )在R 上单调递增，又f (2)＝4e 2，所以g (2)＝f (2)e2－4＝0，由f (x )>2x e x ，可得f (x )ex －2x >0，即g (x )>0＝g (2)，又函数g (x )在R 上单调递增，所以x >2，即不等式f (x )>2x e x 的解集为(2，＋∞)．角度3利用f (x )与sin x ，cos x 构造由于sin x ，cos x 的导函数存在一定的特殊性，且它们之间可以相互转化，因此，要解由f (x )，f ′(x )，sin x ，cos x 构成的不等式，常用的构造方法如下：(1)对于f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(2)对于f ′(x )sin x －f (x )cos x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(3)对于f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )cos x；(4)对于f ′(x )cos x －f (x )sin x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )cos x .例3f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f ′(x )>f (x )tan x 成立，则()A ．3B ．3f (1)C ．6D ．2答案A解析由f ′(x )>f (x )tan x ，得f ′(x )cos x －f (x )sin x >0，构造函数F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x－f (x )sin x >0，故F (x )，则cos π6<cos π3＝即3故选A.若不等式满足或通过变形后满足“f ′(x )cos x －f (x )sin x >0”的形式时，优先考虑构造函数F (x )＝f(x )cos x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可，注意所求问题的转化．3．(2023·重庆市九龙坡区高三二模)已知偶函数f (x )－π2，f ′(x )，当0≤x <π2时，有f ′(x )cos x ＋f (x )·sin x >0成立，则关于x 的不等式f (x )>2x 的解集为________．答案－π2，－解析构造函数g (x )＝f (x )cos x ，0≤x <π2，g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(cos x )′cos 2x ＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x>0，所以函数g (x )＝f (x )cos x 在0，因为函数f (x )为偶函数，所以函数g (x )＝f (x )cos x 也为偶函数，且函数g (x )＝f (x )cos x 在0，所以函数g (x )＝f (x )cos x 在－π2，，因为x －π2，所以cos x >0，关于x 的不等式f (x )>2x 可变为f (x )cos x >cos π3也即g (x )>所以g(|x |)>|>π3，－π2<x <π2，解得π3<x <π2或－π2<x <－π3.－π2，类型二同构法构造函数例4(2023·重庆万州纯阳中学模拟)若0<x 1<x 2<1，则下列结论正确的是()A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2答案C解析令h (x )＝e x－ln x ，则h ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x，令φ(x )＝x e x －1，所以当0<x <1时，φ′(x )＝(x ＋1)e x >0，所以φ(x )在(0，1)上单调递增，又φ(0)＝－1，φ(1)＝e －1>0，所以∃x 0∈(0，1)，使得φ(x 0)＝0，即当x ∈(0，x 0)时，φ(x )<0，h ′(x )<0，当x ∈(x 0，1)时，φ(x )>0，h ′(x )>0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，1)上单调递增，故e x 2－ln x 2与e x 1－ln x 1的大小关系无法判断，故A ，B 均错误；令f (x )＝e xx ，则当0<x <1时，f ′(x )＝(x －1)e x x 2<0，故f (x )在(0，1)上单调递减，若0<x 1<x 2<1，则f (x 1)>f (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，所以x 2e x 1>x 1e x 2，故C 正确，D 错误．故选C.根据条件或结论特征构造具体函数，一般具有相似结构，利用这一特征构造具体函数，利用该函数单调性寻求突破口，在根据特征构造函数时，需要较强的观察力和联想力，灵活地针对不同特征构造出相应函数，这也需要我们平时注意积累，掌握一些常见函数模型．4．已知a ＝2e ，b ＝ln (3e)3，c ＝ln 5＋15，则()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c答案A解析因为a ＝2e ＝ln e ＋1e ，b ＝ln 3＋13，所以设f (x )＝ln x ＋1x，x ∈(1，＋∞)．因为f ′(x )＝－ln xx 2<0，所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数，又e<3<5，所以a >b >c .故选A.5．已知变量x 1，x 2∈(0，m )(m >0)，且x 1<x 2，若x x 21<x x12恒成立，则m 的最大值为()A ．eB ．eC ．1e D ．1答案A解析x x 21<x x12，即x 2ln x 1<x 1ln x 2，化为ln x 1x 1<ln x 2x 2，故f (x )＝ln xx在(0，m )上为增函数，又由f ′(x )＝1－ln xx 2>0，得0<x <e ，故m 的最大值为e.故选A.。

高考数学 构造函数模型解决数列综合题与应用题高考要求:纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. 重难点归纳:1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关:(1)事理关:需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. (3)事理关:在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力. 典型题例示范讲解:例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41:(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型.知识依托:本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析:(1)问、实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解:(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为:800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=nk 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n］第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×(1+41)，…， 第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元. 所以，n 年内的旅游业总收入为400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑=nk 1400×(45)k －1=1600×［(45)n－1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此－＞0，即1600×［(45)n－1］－4000×［1－(54)n］＞0， 令(54)n ，代入上式得:5x 2－72＞0. 解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜52，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.例2已知13121+…+n1,(n ∈N *)，设f (n )21－1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式:f (n )＞［(m －1)］2－2011［(m －1)m ］2恒成立.命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析:本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法:解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为.函数f (n )的最小值大于［(m －1)］2－2011［(m －1)m ］2解:∵13121+…+n1 (n ∈N *)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又∴f (1)＞f (n )∴f (n )是关于n 的增函数∴f (n )(2)=209321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f (n )＞［(m －1)］2－2011［(m －1)m ］2恒成立只要209＞［(m －1)］2－2011［(m －1)m ］2成立即可由⎩⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2此时设［(m －1)］2:则t ＞0于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1.由此得0＜［(m －1)］2＜1.解得m ＞251+且m ≠2. 例3 已知二次函数(x )在22+t 处取得最小值－42t .(t ＞0)(1)=0.(1)求(x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示和；(3)设圆的方程为(x －)2+(y －)22，圆与1外切(1,2,3,…);{}是各项都是正数的等比数列，记为前n 个圆的面积之和，求、.解:(1)设f (x )(x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得1.∴f (x )2－(2)1.(2)将f (x )=(x －1)［x －(1)］代入已知得:(x －1)［x －(1)］g (x )1， 上式对任意的x ∈R 都成立，取1和1分别代入上式得:⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0， 解得t1［(1)1－1］，t t 1+［1－(1]n ) (3)由于圆的方程为(x －)2+(y －)22， 又由(2)知1，故圆的圆心在直线1上，又圆与圆1相切，故有1=2｜1－｜=2(1)1设{}的公比为q ，则12111)1)n n n n n n r r q t r r q t ++++⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩ ① ②②÷①得n n r r 1+1，代入①得2)1(21+++t t n∴π(r1222+ (2))=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(1)2n－1］.学生巩固练习:1.已知二次函数(1)x 2－(21)1，当1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 12，…,…,则lim ∞→n .(d 12+…)的值是( )A 1.B 2C 3D 42.在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△1P 2的面积是3.从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精升.4.据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为亿元.5.已知数列{}满足条件1=12(r ＞0),且{1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，设2n －12n (1,2,…).(1)求出使不等式112＞23(n ∈N *)成立的q 的取值范围；(2)求和nn S 1lim∞→，其中12+…；(3)设219.2－1，21，求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值.6.某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金nb元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设(1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 23，并用k 、n 和b 表示(不必证明)； (2)证明＞1(1,2,…－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关，记为(b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n (b ).7.据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问:(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？8.已知点的序列(，0)∈N ,其中x 1=02(a ＞0)3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，是线段－2－1的中点，….(1)写出与－1、－2之间关系式(n ≥3);(2)设1－，计算a 123，由此推测数列{}的通项公式，并加以证明；(3)求lim ∞→n .参考答案:1.解析:当时(1)x 2－(21)1,由｜x 1－x 2｜=a∆，得)1(1+n n ，∴d 12+ (11)11223(1)n n =+++⋅⋅+1111111122311n n n =-+-++-=-++ 121()(1)1lim lim 1n n n d d d n →∞→∞∴+++=-=+ 答案2.解析:由112,4依次成等差数列得:2x 12+112=5解得x 1=22=3.又由1，y 12,8依次成等比数列，得y 1221y 2=8,解得y 1=22=4, ∴P 1(2,2)2(3,4).∴21),2,2(OP ==(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP12121212cos sin1010||||5OP OP POP POP OP OP ∴===∴=⨯ 12121211||||sin 512210OP P S OP OP POP ∆∴==⨯⨯=. 答案:13.解析:第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－ab)升， 第二次有纯酒精a (1－a b )－b a a b a )1(-，即a (1－ab )2升， 故第n 次有纯酒精a (1－ab )n升. 答案(1－ab )n4.解析:从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a 5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 答案:1200005.解:(1)由题意得－1＞1.由题设r ＞0＞0,故从上式可得2－q －1＜0，解得251-＜q ＜251+,因q ＞0,故0＜q ＜251+; (2)∵0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a qa q a a a a ab b q a a a a a a nn n n n n n n n n n n n n n n .b 1=1≠0，所以{}是首项为1，公比为q 的等比数列，从而(1)1.当1时，(1),.110;limlim (1)n n nS n r →∞→∞==+(1)(1)01,,1n n r q q S q +-<<=-当时111;lim lim (1)(1)1nn n n q qS r q r →∞→∞--==+-+ (1)(1)1,,1n n r q q S q +->=-当时110,lim lim (1)(1)nn n n qS r q →∞→∞-==+- 1, (01)11lim 0, (1)n n qq r S q →∞-⎧<<⎪=+⎨⎪≥⎩所以1(3)(2),(1)n n b r q -=+由有.2.2011log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n q n r q n r q r q r b b n n n n nn n b b C 212log log +=记,从上式可知，当n －20.2＞0，即n ≥21(n ∈N *)时，随n 的增大而减小，故1＜≤C 21=18.0112.20211+=- 2.25 ① 当n －20.2＜0，即n ≤20(n ∈N *)时，也随n 的增大而减小，故1＞≥C 20=12.0112.20201-=-－4 ② 综合①②两式知，对任意的自然数n 有C 20≤≤C 21, 故{}的最大项C 21=2.25，最小项C 20=－4.6.解:(1)第1位职工的奖金a 1=nb，第2位职工的奖金a 2=n 1(1－n 1)b ，第3位职工的奖金a 3=n 1(1－n 1)2b ，…，第k 位职工的奖金n 1.(1－n1)k －1b ;(2)－1=21n(1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设(b )表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f 1(b )=(1－n 1)2(b )=(1－n 1)2b ,…(b )=(1－n 1).得(b )(b )=(1－n 1),故ebb P n n =∞→)(lim . 7.解:设表示第n 年的废旧物资回收量，表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)(2)S 62.016.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+99.2992≈99.3(万吨)∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)， ∴从1996年到2001年共节约:84104.7102.3974.562⨯⨯⨯≈3.平方公里.8.解:(1)当n ≥3时，221--+n n x x ; aa x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=由此推测(－21)1a (n ∈N ) 证法一:因为a 1＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a .(n ≥2)所以(－21)1a .证法二:用数学归纳法证明:(ⅰ)当1时，a 12－x 1(－21)0a ,公式成立；(ⅱ)假设当时，公式成立，即(－21)k －1a 成立.那么当1时，12－1=k k k k k k a x x x x x 21)(212111-=--=-++++.)21()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式(－21)1a 成立.(3)当n ≥3时，有(－－1)+(－1－－2)+…+(x 2－x 1)1－1－2+…1,由(2)知{}是公比为－21的等比数列，所以12lim 131()2n n a x a →∞==--。

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析1.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新墙所用材料最省时，堆料场的长和宽的比为()A．1B．2C．D．【答案】B【解析】设宽为x，长为kx，则kx2＝512，用料为y＝(k＋2)x＝(＋2)x＝2(＋x)≥4＝64(当且仅当x＝16时取“＝”)，所以k＝＝2.2.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是() A．[4,8]B．[6,10]C．[4%,8%]D．[6%,100%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30－R)×160×R%≥128，整理得R2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．3.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00【答案】C【解析】当x∈[0,4]时，设y＝kx，1＝80，∴y＝80x.把(4,320)代入，得k1x＋b.当x∈[4,20]时，设y＝k2把(4,320)，(20,0)代入得解得∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝由y≥240，得或解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.4.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15—0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【答案】（1）340(万元)（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元【解析】解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－(30＋)＝x－－30，∴P＝－[(150－x)＋]＋120.∵0<x<150，∴150－x>0，由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，＝－20＋120＝100.当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．5.[2014·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元【答案】B【解析】由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝，显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.6.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元（2）当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．【解析】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16，设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，g(x)在上是增函数，∴当x＝10时（此时），g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296×＋12 960＝38 882元．∴当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．7.为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【答案】(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.【解析】（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值. （2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：2分，.∵，在上为增函数，可求得. 5分∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损． 7分（2）设平均处理成本为 9分11分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元． 14分【考点】函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.8.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D，且f（x ＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f （x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，则，即为上的8高调函数；当时，函数的图象如图所示，若为上的8高调函数，则，解得且.综上.【考点】1.新定义题；2.函数图像.9.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)．【答案】当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．【解析】由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r ＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．10.要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？【答案】半圆直径与矩形的高的比为2∶1【解析】设半圆直径为2R,矩形的高为a，则2a＋2R＋πR＝L(定值)，S＝2Ra＋πR2＝－R2＋LR，当R＝时S最大，此时＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线．11.已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．【答案】1331【解析】1000×(1＋10%)3＝1331.12.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【答案】（1）不符合（2）a的值为1.【解析】审题引导：正确理解三个条件：①要求模型函数在[2，10]上是增函数；②要满足y≥恒成立；③要满足y的最大值小于8.规范解答：解：(1)函数y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x＝10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x＝3时，y＝，即y≥不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2)对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0.∴f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得0＜x<4，∴g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．∴a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，∴a≤2ln2.(12分)综上所述，a的取值范围为[4ln2－2，2ln2]，∴满足条件的整数a的值为1.(14分)13.用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．【答案】10【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V最大．14.某同学从A地跑步到B地，随路程的增加速度减小．若以y表示该同学离B地的距离，x表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)【答案】③【解析】由于y表示该同学离B地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.15.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【答案】6 10000【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则M=lgA-lgA=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y,9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102.所以==10000.16.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时,才能开车(精确到1小时).【答案】5【解析】设x小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,则有0.3·()x≤0.09,即()x≤0.3,估算或取对数计算得至少5小时后,可以开车.17.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【答案】(1) 国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损(2) 当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.【解析】(1)该项目不会获利.当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5000,所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:=①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240.②当x∈[144,500]时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.18.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．【答案】（1）L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．（2）当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．所以①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；Lmax②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，＝L 2＝43，Lmax所以Q(a)＝故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．19.设y＝f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝h＋A sin (ω＋φ)的图象，写出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是______．【答案】y＝5.0＋2.5sin t.【解析】由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝，所以ω＝，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A＝2.5.所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin＝7.5，所以sin ＝cos φ＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，故y＝5.0＋2.5sin t20.某镇政府为了更好地服务于农民，派调查组到某村考察．据了解，该村有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3 (a＞0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．【答案】（1）0＜x≤50（2）5【解析】(1)由题意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.(2)从事蔬菜加工的农民总年收入为3x万元，从事蔬菜种植的农民的总年收入为3(100－x)(1＋2x%)万元．根据题意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成立．因为0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5，当且仅当x＝50时取等号，所以a的最大值为5.21.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．【答案】30【解析】本题要列出总费用与的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用，当且仅当，即时等号成立.【考点】函数的应用与基本不等式.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

导数和数列不等式的综合问题解决技巧之构造函数法1．已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．【解析】曲线是圆心为，半径为的圆，切线 （Ⅰ，解得，又，联立可解得，（Ⅱ先证：，证法一：利用数学归纳法当时，，命题成立，假设时，命题成立，即则当时，∵，．22:20(1,2,)nC x nx y n -+== (1,0)P -n C (0)n n k k >n l (,)n n n P x y {}{}n n x y 与13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅<< 222:()n C x n y n -+=(,0)n n :(1)n n l y k x =+n =2221n n k n =+2220n n n x nx y -+=(1)n n n y k x =+,1n n n x y n ==+=n n x y =13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅< 1n =112x =<n k =13521k x x x x -⋅⋅⋅⋅<1n k =+135212121k k k x x x x x x -++⋅⋅⋅⋅<=2222416161483k k k k ++=>++<=∴当时，命题成立，故成立．，不妨设，令，则在上恒成立，故在上单调递减，从而综上，成立．2．设函数表示的导函数．（I）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；（Ⅲ）当k为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式对一切正整数均成立，并比较与的大小．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又，1n k=+13521nx x x x-⋅⋅⋅⋅<==121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-nnnnnnnnnnn xxnnnnnxxxx+-=+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-1112112125331212432112531<t=()f t t t=()10f t t'=<t∈()f t t t=t∈()(0)0f t t t f=<=<13521nnnxx x x xy-⋅⋅⋅⋅<<2()2(1)ln(),()kf x x x k N f x*'=--∈()f x()y f x=na2111,()3n n na a f a a+'==-2na()12nb f n n'=-{}n b n n S()111n bnb e++>n20091S-2009ln212[(1)]()22(1)kkxy f x xx x--''==--=当k 为奇数时，，即的单调递增区间为．当k 为偶函数时，由，得，即的单调递增区间为，综上所述：当k 为奇数时，的单调递增区间为，当k 为偶数时，的单调递增区间为（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知， 所以根据题设条件有 ∴{}是以2为公比的等比数列， ∴（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，由已知要证两边取对数，即证事实上：设则因此得不等式…………………………………………①构造函数下面证明在上恒大于0．∴在上单调递增，即∴ ∴即成立．由得即当时，122(1)()x f x x+'=(0,),()0(0,)x f x '∈+∞∴>+∞ 在恒成立.()f x '(0,)+∞0222(1)2(1)(1)()x x x f x x x-+-'==(0,),0,10,x x x ∈+∞>+>又()0f x '>10,1x x -> ∴>()f x (1,)+∞()f x (0,)+∞()f x (1,).+∞22(1)()x f x x -'=22(1)().n n na f a a -'=2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+21n a +221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=-12(),f x x'=+11111(),1.223n n b f n n S n n'∴=-= =+++⋅⋅⋅+111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭11ln 1,1n n ⎛⎫+>⎪+⎝⎭11,t n +=1(1),1n t t =>-1ln 1(1)t t t >->1()ln 1(1),g t t t t=+->()g t (1,)+∞211()0,g t t t'=->()g t (1,)+∞()(1)0,g t g >=1ln 1,t t >-11ln 1,1n n ⎛⎫+>⎪+⎝⎭111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭()111n b n b e ++>11ln,1n n n +>+111231ln ln ln ln(1),23112n n n n+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++11ln(1),n S n +-<+2008n =20091S -<2009.ln3．已知，函数． （Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，设数列的前项和为，求证：解：（Ⅰ）的定义域为，，由得．当时，，递减；当时，，递增．所以不是定义域上的单调函数．（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立．即 ．（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数，又当时，，，即．令则，当时，从而函数在上是递增函数，所以有即得综上有：令时，不等式也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得即即 0a >1()ln xf x x ax-=+()f x [)1,+∞a 1a =1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S 111()(2)n n nS f n S n N n n---<-<∈*≥且()f x ()0,+∞21()ax f x ax-'=()0f x '=1x a =1(,)x a a∈()0f x '<()f x 1(,)x a∈+∞()0f x '>()f x ()y f x =()f x x ∈[1,)+∞()0f x '≥1a x≥1max,[1,)a x x ⎧⎫≥∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥1a =1()ln xf x x x-=+[1,)+∞111()ln ln ,n n nf n n n n n n----=+-= 1x >()(1)f x f >1ln 0x x x -∴+>1ln 1x x >-()1ln ,g x x x =--1()1g x x'=-(1,)x ∈+∞()0.g x '>()g x [1,)+∞()(1)0,g x g >=1ln .x x ->11ln 1,(1).x x x x-<<->111ln .1x x x x +∴<<+1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且111ln .1x x x x+∴<<+1112311...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++--11111...ln 1. (2321)n n n +++<<+++-111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且4．设函数．（是自然对数的底数）（Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列满足：，且①求证：；②比较与的大小．解：（Ⅰ）， 令当时，在上是增函数当时，在上是减函数从而注意到函数在上是增函数，从而 从而 综上可知：有两个零点．（Ⅱ）因为即， 所以①下面用数学归纳法证明． 当时，，不等式成立．假设时， 那么 即 这表明时，不等式成立． 所以对， ②因为，考虑函数，从而在上是增函数所以，即5．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，=2．71828…）和任意正整()(1),()xf x e xg x e =-=e ()()()H x f x g x =-{}n a 1(0,1)a ∈1()(),,n n f a g a n N *+=∈01n a <<n a 1(1)n e a +-()(1)xH x e e '=--0()0,ln(1)H x x e '= =-0(,)x x -∞()0,H x '> ()H x 0(,)x x -∞0(,)x x +∞()0,H x '< ()H x 0(,)x x +∞0max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x H x H e x ee e e ==-+-=---+()ln 1k t t t t =-+[)1,+∞()(1)0,11k t k e ≥=->又0()0H x >()H x 1()(),n nf ag a +=1(1)1n an e a e +-+=11(1)1n a n a e e +=--(0,1)n a ∈1n =1(0,1)a ∈n k =(0,1)k a ∈11(1)1k a k a e e +=--1011k k a a e e e e << ∴<-<- 10(1)11k a e e ∴<-<-1(0,1)k a +∈1n k =+n N *∈(0,1)n a ∈1(1)1na n n n e a a ea +--=--()1(01)x p x e x x =-- <<()10x p x e '=->()p x (0,1)()(0)0p x p >=1(1)0n n e a a +-->1(1)n ne a a +->{}n a n S n n N *∈2,,n n n a S a {}n a {}n b n n T 2ln n n nxb a =(1,](x e e ∈e数，总有；（3）在正数数列中，．求数列中的最大项．解：由已知：对于，总有成立 (1) (2)（1）—（2）得 均为正数，数列是公差为1的等差数列又时，，解得，（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有（3）解：由已知，，易得猜想时，是递减数列令，则当时，，则，即 在内为单调递减函数，由知时，是递减数列，即是递减数列又，数列中的最大项为n 2n T <{}n c 11(),()n n n a c n N +*+=∈{}n c n N *∈22n n n S a a =+21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥22112n n n n n a a a a a --∴=+--111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-1,n n a a - 11(2)nn a a n -∴-=≥∴{}n a 1n =21112S a a =+11a =()n a n n N *∴=∈ (]1,x e ∈n 22ln 1n n n x b a n=≤222111111...1...121223(1)n T n n n∴≤+++<++++⋅⋅-⋅1111111(1() (22)2231n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭22112a c c ==⇒=33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==55445a c c ==⇒=12234,......c c c c c <>>>2n ≥{}n c ln ()x f x x =221ln 1ln ()x xxx f x x x ⋅--'==∴3x ≥ln 1x >1ln 0x -<()0f x '<∴()f x [)3,+∞11n n na c ++=ln(1)ln 1n n c n +=+2n ∴≥{}ln n c {}n c 12c c <∴{}n c 2c =6．已知（1）求函数的极值点；（2）若函数在上有零点，求的最小值；（3）证明：当时，有成立；（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．解：（1）由题意，的定义域为 ,函数的单调递增区间为和，的单调递减区间为，所以为的极大值点，为的极小值点，（2）在上的最小值为且，在上没有零点，函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，易验证当时均有所以函数在上有零点，即函数在上有零点，的最大值为 （3）证明：当时，不等式即为：构造函数则所以函数在上是减函数，因而时，23()ln 2,().8f x x xg x x =++=()()2()F x f x g x =-⋅()()2()F x f x g x =-⋅),()te t Z ⎡+∞∈⎣t 0x >[]1()1()g x g x e +<1(1)()()g n n b g n n N *+=∈{}n b ()n m b b m n =≠e 23()ln 228F x x x x =++-(0,)+∞(32)(2)()4x x F x x --'=∴()F x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦[)2,+∞()F x 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦23x =()F x 2x =()F x ()F x 2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭(2)F 23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∴()F x ),te ⎡+∞⎣()F x 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦23t e <()0F t ≤121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭2,t t Z ≤∈()0,tF e <()F x )1,()t e e t Z -⎡∈⎣()F x ),()te t Z ⎡+∞∈⎣t ∴2-0x >[]1()1()g x g x e+<11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+<()ln(1)(0),h x x x x =+->1()10,11x h x x x-'=-=<++()h x (0,)+∞0x >()(0)0,h x h <=即：时，成立，所以当时，成立；（4）因为令，得，因此，当时，有所以当时，，即 又通过比较的大小知：，因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项，即．7．在数列中，（I ）求证：数列为等差数列；（II ）若m 为正整数，当时，求证：．解：（I ）由变形得：故数列是以为首项，1为公差的等差数列 （II ）（法一）由（I ）得令当0x >ln(1)x x +<0x >[]1()1()g x g x e +<1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1)n n n n n n n n n n n b n n e n n b nb n n n n n ++++++++++++===⋅+<<23(1)1n n+<2330n n -->4n ≥(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<4n ≥1n n b b +>456...b b b >>>1234b b b b 、、、1234b b b b <<<11,b =1n ≠111,n n b n+=≠{}n b 23b b 、11113964283528,35b b b b ====>={}n b 28b b ={}n a 12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈}2{n na 2n m ≤≤1231(1)(n m n n m m n a m⋅--+≤1122+++=n n n a a 122,1221111=-+=++++nnn n n n n n a a a a 即}2{nn a 121=a nn n a 2⋅=mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即mn m nn m n f n m n f 1)23()()1(,23()1()(+⋅-=+⋅+-=则mn m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时mm m n m 11)32()211(32()11(⋅-+≥⋅-+=又则为递减数列．当m=n 时，递减数列．要证：时，故原不等式成立．（法二）由（I ）得令上单调递减．∴也即证，故原不等式成立．23221211)211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m mm 1)23(211>-+∴)(,1)1()(n f n f n f 则>+)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴mm m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n而即证49221212212122122)1(1211)11(22010=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m m m C m C C m m m m m nn n a 2⋅=mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m xm x 则],2[)(0)(',11,2m x f x f mx m m x 在即<∴<+-∴≤≤ mm m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max -≤--==∴2故只需证时而2,11(149≥+≤m mm 49221212212122122)1(121111(22210=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m m m C m C C m m m m m。