吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十四)

课时作业24解三角形应用举例［授课提示：对应学生用书第218页］一、选择题1. （2018-武汉三中月考）如图，两座灯塔力和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔/在观察站南偏 西40。

方向上，灯塔〃在观察站南偏东60。

方向上，则灯塔/在灯塔〃的（）A. 北偏东10。

方向上B. 北偏西10。

方向上C ・南偏东80。

方向上D.南偏西80。

方向上解析：由条件及题图可知，ZA = ZABC=40°f 因为ZBCD=60。

,所以ZCBD = 30。

，所以ZDB4 = 10。

,因此灯塔/在灯塔B 南偏西80。

方向上.答案：D2•如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km, 速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30。

，经过1 min 后乂看到山顶 的俯角为75。

，则山顶的海拔高度为（精确到0」km ）（）A. 11.4 kmC ・ 6.5 kmD ・ 5.6 km解析:AB = 1 000X 1 000X 60— ，・ AB ・ ano-50000 ••5C_sin45o ，sin30— 3^2 •I 航线离山顶 〃 学°Xsin75°al 1.4 km.・・・山高为18-11.4=6.6 km. 答案：B3.某船开始看见灯塔在南偏东30。

方向，后来船沿南偏东60。

的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A. 5 kmB. 10 kmC ・ 5、/3 kmD ・ 5y ［2 km解析：作出示意图（如图），点/为该船开始的位置，点3为灯塔的位置，点 C 为该船后来的位置，所以在△ ABC 中，有Z 必C=60。

一30。

= 30。

，5=120°, AC=15,北东ill. B.由正弦定理，得sinl20° = sin30°'15X*即BC=p~=5羽，即这时船与灯塔的距离是5筋km.2答案：C4.在四边形ABCD中，Z5=ZC= 120°, /B=4, BC=CD=2,则该四边形的面积等于（）A. 7^3B. 6^3C.5^3D.V3解析：如图，取中点G,连接QG,则DG//BC, ZAGD=\20°・分别过C作QG的垂线，可求得BE=CF=书,DG=4, 所以四边形面积s=S^AGD + S四边形G〃cQ=*GXDGXsinl20o+*X（DG + BC）X BE=5y[3.答案：C5.如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15。

吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习基础知识课时作业(二)一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( B)A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( D)A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.3．下列命题中为真命题的是( A)A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( A) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P 在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．5．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]解析：由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.6．“1<x <2”是“x <2”成立的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“1<x <2”可以推得“x <2”，即满足充分性，但“x <2”得不出“1<x <2”，所以为充分不必要条件．7．若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α； 而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…，故选A.8．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( B )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”． 若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2. 对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1. 对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1. 对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B. 二、填空题9．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填 “真”或“假”) 解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2≤0”，它是假命题． 答案：假10．“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a＝1表示椭圆”的________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 11．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2D ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．(2013·山西高考考前适应性训练)给出下面几个命题： ①“若x >2，则x >3”的否命题；②“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x在定义域内单调递增”的否定；③“π是函数y ＝sin x 的一个周期”或“2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期”； ④“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的必要条件． 其中真命题的序号是________．解析：①的否命题为：若x ≤2，则x ≤3，这是个真命题；②的否定为：∃a ∈(0，＋∞)使得函数y ＝a x在定义域上是减函数；因为a ∈(0,1)时，函数y ＝a x在定义域上是减函数，因此这个命题是真命题；③或连接的命题只要有一个为真则连接命题为真，其中2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期为真，因此这个是真命题；④x 2＋y 2＝0可得：x ＝0且y ＝0，即：xy＝0；而xy ＝0，可得：x 2＋y 2≥0；因此x 2＋y 2＝0是xy ＝0的充分条件，不是必要条件．答案：①②③三、解答题13．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －5)x是R 上的减函数；命题q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：p ：∵函数f (x )＝(2a －5)x是R 上的减函数 ∴0<2a －5<1，故有52<a <3.q ：由x 2－ax ＋x <0得ax >x 2＋2，∵1<x <2， 且a >x 2＋2x ＝x ＋2x在x ∈(1,2)时恒成立，又x ＋2x∈[22，3]，∴a ≥3.p ∨q 是真命题，故p 真或q 真，所以有52<a <3或a ≥3.所以a 的取值范围是a >52.[热点预测]14．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.。

吉林省延吉市金牌教育中心高中数学 第一章 三角函数上基础训练B 组 新人教A 版必修41．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ）A ．34B ．34-C ．34±D ．32．函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是（ ）A ．{}3,1,0,1-B ．{}3,0,1-C ．{}3,1-D ．{}1,1-3．若α为第二象限角，那么α2sin ，2cosα，α2cos 1，2cos1α中，其值必为正的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan （ ）．A ．21m m- B ．21m m--C ．21m m-±D ． m m 21-±5．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ）．A ．2B ．2-C ．2-或2D ．06．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）．A ．231+-B ．231+- C ．231- D ．231+ 二、填空题1．若23cos -=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角，x =_____。

2．若角α与角β的终边互为反向延长线，则α与β的关系是___________。

3．设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第 象限的角。

4．与02002-终边相同的最大负角是_______________。

5．化简：00000360sin 270cos 180sin 90cos 0tan r q p x m ---+=____________。

三、解答题1．已知,9090,90900<<-<<-βα求2βα-的范围。

2．已知⎩⎨⎧>--<=,1,1)1(1,cos )(x x f x x x f π求)34()31(f f +的值。

高考数学一轮复习 平面向量的数量积课时作业24 文 北师大版一、选择题1．如果a ＝(2x －2，－3)与b ＝(x ＋1，x ＋4)互相垂直，则实数x 等于( ) A.12 B.72 C.12或72D.72或－2 解析：由(2x －2)(x ＋1)－3(x ＋4)＝0，得x ＝72或x ＝－2.答案：D2．(2011年湖南慈利一中高三第二次月考)函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6解析：如图，A (2,0)，B (3,1)，(OA →＋OB →)·AB →＝－(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6，选A.答案：A3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)，T ＝2π2＝π.答案：B4．在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是( )①AB →－AC →＝BC → ②AB →＋BC →＋CA →＝0 ③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形 ④若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④解析：在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →>0，则∠B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误． 答案：C5．(2010年山东高考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析：对于A ，若a ，b 共线，则mq －np ＝0，所以a ⊙b ＝mq －np ＝0，故A 正确；对于B ，因为a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，故B 错误．同理可知C 、D 正确．答案：B6．(2010年全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：如图，设∠APO ＝θ，PA →·PB →＝|PA →|2·cos2θ＝|PA →|2·(1－2sin 2θ)＝(|OP |2－1)(1－2·1|OP |2)＝|OP |2＋2|OP |2－3≥22－3，当且仅当|OP |2＝2|OP |2，即|OP |＝42时，“＝”成立． 答案：D 二、填空题7．(2010年天津高考)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.解析：∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →＝AB →＋3(BA →＋AD →)＝(1－3)AB →＋ 3 AD →. ∴AC →·AD →＝[(1－3)AB →＋ 3 AD →]·AD → ＝(1－3)AB →·AD →＋ 3 AD 2→＝ 3 AD 2→＝ 3. 答案： 38．(2010年辽宁高考)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ⇒cos θ＝a ·b|a ||b |，则S ＝12|a ||b |sin θ＝12|a ||b |1－a ·b |a ||b |2＝12|a |2|b |2－a ·b 2.答案：12|a |2|b |2－a ·b29．[2011·浙江卷] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：由题意得：|α||β|sinθ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈[π/6，5π/6]答案： [π/6，5π/6]三、解答题10．(2011年天津第七十四中学高三第二次月考数学试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(sin A ，cos B )，n ＝(cos A ，sin B )．(1)若m ∥n ，求角C ；(2)若m ⊥n ，B ＝15°，a ＝6＋2，求边c 的大小． 解：(1)由m ∥n ⇒sin A sin B －cos A cos B ＝0⇒cos(A ＋B )＝0， 因为0<A ＋B <180°，所以A ＋B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝90°.(2)由m ⊥n ⇒sin A cos A ＋sin B cos B ＝0⇒sin2A ＋sin2B ＝0，已知B ＝15°，所以sin2A ＋sin30°＝0，sin2A ＝－12，因为0<2A <360°－2B ＝330°，所以2A ＝210°，A ＝105°，C ＝180°－15°－105°＝60°.根据正弦定理a sin A ＝c sin C ⇒6＋2sin105°＝csin60°⇒c ＝6＋2sin60°sin105°，因为sin105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， 所以c ＝6＋2×326＋24＝2 3.11．已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)． (1)求|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin2θ的值． 解：(1)∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． ∵|AC →|＝|BC →|， ∴2sin θ－12＋cos 2θ＝2sin θ2＋cos θ－12.化简得2sin θ＝cos θ.∵cos θ≠0(若cos θ＝0，则sin θ＝±1，上式不成立)． ∴tan θ＝12.(2)∵OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)．∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1. ∴sin θ＋cos θ＝12.∴(sin θ＋cos θ)2＝14.∴sin2θ＝－34.12．(2011年豫南九校联考)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))．(1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．解：(1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，若点A 、B 、C 不能构成三角形，则这三点共线．∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，故知3(1－m )＝2－m ，∴实数m ＝12时，满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且①∠A 为直角，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74. ②∠B 为直角，BC →＝(－1－m ，－m )，则AB →⊥BC →， ∴3(－1－m )＋(－m )＝0，解得m ＝－34.③∠C 为直角，则BC →⊥AC →，∴(2－m )(－1－m )＋(1－m )(－m )＝0，解得m ＝1±52.综上所述，m ＝74或m ＝－34或m ＝1±52.。

吉林省延吉市金牌教育中心高中数学 第一章 三角函数基础训练A 组 新人教A版必修4金牌教研中心高中数学训练题根据最新课程标准，参考独家内部资料，精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。

欢迎使用本资料!（数学4必修）第一章 三角函数（上） [基础训练A 组] 一、选择题1．设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-； ③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 3．02120sin 等于（ ）A ．23±B ．23C ．23-D ．214．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ）A.43-B.34-C.43D.34 5．若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在 二、填空题子曰：学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．2．设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是_____________________________。

3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________。

4．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 。

吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十)一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( C )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈RC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈RD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R解析：函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的图象，故选C.2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( D )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析：函数的最大值为4，最小值为0，∴A ＝2，k ＝2，由最小正周期为π2得ω＝4，又因x ＝π3是其一条对称轴，∴43π＋φ＝π2＋k π，φ＝k π－56π，k ∈Z ，所以选D.3．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( A )解析：把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数y ＝cos x ＋1，然后向左平移1个单位得到y ＝cos(x ＋1)＋1再向下平移1个单位得到函数y ＝cos(x ＋1)其对应的图象为A.4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( A )A ．－23B ．－12 C.23 D.12解析：由图象知T ＝23π，ω＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝A sinθ＝-23.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－A sin θ＝23，选A.5．已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的最小正周期为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位所得图象的函数解析式为( B )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋13 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －13解析：函数f (x )周期T ＝2πω＝2，得ω＝π，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝A sin π6＝1，∴A ＝2.∴f (x )＝2sin πx ，将f (x )图象向左平移13个单位所得图象解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.6．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( A )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：因为要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的图象向左平移π12个单位得到y ＝sin 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，故选A.7．已知函数f (x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，则下列结论中正确的是( D ) A ．函数y ＝f (x )·g (x )的最小正周期为2π B ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位后得g (x )的图象D ．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位后得g (x )的图象解析：f (x )＝sin(x －π)＝－sin x ，g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ， f (x )·g (x )＝12sin2x ，T ＝π最大值为12，A 、B 均不正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos x ≠g (x )，故C错．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x ，故D 正确，选D.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0) 的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f (x )的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13；⑤f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x . 其中正确的是( C )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤解析：由图可知：A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4⇒T ＝π，∴ω＝2,2×712π＋φ＝2k π＋3π2，φ＝2k π＋π3，k ∈Z .f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⇒f (0)＝3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，对称轴为直线x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，所以②、③不正确；因为f (x )的图象关于直线x ＝13π12对称，且f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，12π11－13π12＝π11×12>13π12－14π13＝π13×12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13，即④正确；设[x ，f (x )]为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上任意一点，其关于对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，－f x 还在函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ＝－f (x )⇒f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，故⑤正确，综上所述，①④⑤正确，选C.解法二：判断出①正确，②不正确之后，选C. 二、填空题9.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如右图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析：从图可看出周期T ＝π2，∴πω＝π2，ω＝2 又f (x )＝A tan(2x ＋φ) x ＝38π时，A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0，|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.取x ＝0，A tan π4＝1， ∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3.答案： 310．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3(x >0)的图象与x 轴的交点从左到右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，…，则数列{x n }的前4项和为________．解析：令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3＝0，则π3x ＋π3＝k π， ∴x ＝3k －1(k ∈N *)，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 答案：2611．点A (x ，y )在单位圆上从A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周，则经过时间t 后，y 关于t 的函数解析式为________．解析：由题意知∠xOA 0＝π3，点A 每秒旋转2π12＝π6，所以t 秒旋转π6t ，∠A 0OA ＝π6t ，∠xOA ＝π6t ＋π3，则y ＝sin ∠xOA ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3.答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3三、解答题12.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π.且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)若f (x )>22，求x 的取值范围． 解：(1)周期T ＝2πω，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4 2k π＋π12<2x <2k π＋712π，k π＋π24<x <k π＋724π，k ∈Z ，∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π24<x <k π＋724π，k ∈Z .13．已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为ω>0，根据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin(2x )，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3. [热点预测]14．(1)定义区间[a ，b ]的长度为b －a .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的一个长度最大的单调递减区间，则( D )A ．ω＝8，φ＝π2B ．ω＝8，φ＝－π2C ．ω＝4，φ＝π2D ．ω＝4，φ＝－π2(2)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( D )A ．－32B ．－62C. 3 D ．－ 3解析：(1)若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个长度最大的单调减区间，则函数f (x )的周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝π2，∴ω＝4，且函数f (x )在x ＝π4时取得最大值．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ()π＋φ＝1，∴φ＝－π2，故选D.(2)f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数得φ＝π2，△EFG 为边长为2的等边三角形，所以T＝4，∴ω＝π2，A ＝3，∴f (x )＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，∴f (1)＝－ 3. 答案：(1)D (2)D。

吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十四)一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x， 令f ′(x )>0，解得x >2.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，解得a <－3或a >6.3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( C ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析：不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，f ′x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，f ′x ≤0.可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( C )解析：令y ＝xf ′(x )＝0结合上图可得f ′(x )零点为x 1＝－1，x 2＝1，故f (x )极点在x 1＝－1，x 2＝1处取得，B 、D 排除；另一方面结合图象可知x >0，f ′(x )>0的解集为(1，＋∞)，x >0，f ′(x )<0的解集为(0,1)；x <0，f ′(x )>0的解集为(－∞，－1)，x <0，f ′(x )<0解为(－1,0)故f (x )在(－∞，－1)增函数，在(－1,1)减函数，在(1，＋∞)增函数，由此可知选择C.5．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( D )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x )的草图如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′0<0，f ′1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，解得0<b <12.故选D.6．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝exx， f (2)＝e28，则x >0时，f (x )( D ) A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意[x 2f (x )]′＝ex x ，令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e xx，且f (x )＝gxx 2，因此f ′(x )＝xg ′x －2g x x 3＝e x－2g x x3.令h (x )＝e x －2g (x )，则h ′(x )＝e x－2g ′(x )＝e －2e x x＝exx －2x，所以x >2时，h ′(x )>0；0<x <2时，h ′(x )<0.从而有h (x )≥h (2)＝0，即f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )是单调递增的，f (x )无极大值也无极小值．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝－2或x ＝2， 列表得：x －3 (－3，－2)－2 (－2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x )＋ 0 － 0 ＋ f (x )17单调递 增↗极大 值24单调递 减↘极小 值－8单调递 增↗－1可知M ＝24，m ＝－8，∴M －m ＝32. 答案：328．设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)·(x ＋1)．令f ′(x )>0，即(e x －1)(x ＋1)>0，解得x ∈(－∞，－1)或x ∈(0，＋∞)．所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1]和[0，＋∞)．答案：(－∞，－1]和[0，＋∞)9．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，c ＝6.答案：6 三、解答题10．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1, f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞), f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时， f (x )＝x －2ln x, f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1, f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1, f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时， f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时， f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时， f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．11．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解：(1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间[－2，2]上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.12．已知函数f (x )＝12e 2x－ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，函数g (x )＝(x －m )f (x )－14e 2x ＋x 2＋x 在区间(0，＋∞)上为增函数，求整数m 的最大值．解：(1)定义域为(－∞，＋∞), f ′(x )＝e 2x－a ，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝ln a 2，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 2时， f ′(x )<0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a 2，＋∞时f ′(x )>0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 2为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a 2，＋∞为增函数．(2)当a ＝1时，g (x )＝(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 2x －x －14e 2x ＋x 2＋x ，若g (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，则g ′(x )＝(x －m )(e 2x－1)＋x ＋1≥0在(0，＋∞)恒成立，即m ≤x ＋1e 2x －1＋x 在(0，＋∞)恒成立．令h (x )＝x ＋1e 2x －1＋x ，x ∈(0，＋∞)；h ′(x )＝e 2x e 2x －2x －3e 2x －12，x ∈(0，＋∞)； 令L (x )＝e 2x－2x －3，可知L ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －4<0，L (1)＝e 2－5>0，又当x ∈(0，＋∞)时L ′(x )＝2e 2x－2>0，所以函数L (x )＝e 2x－2x －3在x ∈(0，＋∞)只有一个零点，设为α，即e 2α＝2α＋3，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1；由上可知当x ∈(0，α)时L (x )<0，即h ′(x )<0； 当x ∈(α，＋∞)时L (x )>0，即h ′(x )>0， 所以h (x )＝x ＋1e 2x－1＋x ，x ∈(0，＋∞)，有最小值h (α)＝α＋1e 2α－1＋α， 把e 2α＝2α＋3代入上式可得h (α)＝12＋α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以h (α)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，又m ≤h (x )恒成立，所以m ≤h (α)，又因为m 为整数， 所以m ≤1，所以整数m 的最大值为1. [热点预测]13．已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )图象在点⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围；(3)在(1)的条件下，过点P (1，－4)作函数F (x )＝x 2[f (x )＋3ln x －3]图象的切线，试问这样的切线有几条？并求出这些切线方程．解：(1)由题可知f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1.故f (x )＝x －2x－3ln x ，∴f ′(x )＝x －1x －2x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝2. 于是可得下表：x 32⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 2 (2,3) 3 f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘1－3ln 2↗于是可得：f (x )min ＝f (2)＝1－3ln 2. (2)∵f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x2(x >0) 由题可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1、x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0x 1＋x 2＝3a >0x 1x 2＝2a >0解得0<a <98.(3)由(1)知f (x )＝x －2x－3ln x ，故F (x )＝x 3－3x 2－2x (x >0)，F ′(x )＝3x 2－6x －2(x >0) 设切点为T (x 0，y 0)，由于点P 在函数F (x )的图象上， ①当切点T 不与点P (1，－4)重合，即当x 0≠1时， 由于切线过点P (1，－4)，则y 0＋4x 0－1＝3x 20－6x 0－2 所以x 30－3x 20－2x 0＋4＝(x 0－1)(3x 20－6x 0－2)， 化简得x 30－3x 20＋3x 0－1＝0， 即(x 0－1)3＝0，解得x 0＝1(舍去)．②当切点T 与点P (1，－4)重合，即x 0＝1时，则切线的斜率k ＝F ′(1)＝－5，于是切线方程为5x ＋y －1＝0. 综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为5x ＋y －1＝0.。

吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十五)一、选择题1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( B ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析：如图，根据向量加法的几何意义BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PA →＋PC →＝0.2．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，且a ＝2b ，则|b |＝( A ) A.13 B.23C ．1D ．2 解析：∵a ＝2b ，|a ＋b |＝1，∴|3b |＝1，|b |＝13.3．如图，在△ABC 中，BD ＝2DC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( C ) A.23a ＋13b B.23a －13b C.13a ＋23b D.13a －23b 解析：由题可得AD →＝AC →＋CD →，AD →＝AB →＋BD →，又BD →＝2DC →，所以3AD →＝2AC →＋AB →，即AD →＝13a＋23b ，选C. 4．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：①式的等价式是AB →－BC →＝DA →－CD →，左边＝AB →＋CB →，右边＝DA →＋DC →，不一定相等；②式的等价式是AC →－BC →＝AD →－BD →，AC →＋CB →＝AD →＋DB →＝AB →成立；③式的等价式是AC →－DC →＝AB →＋BD →，AD →＝AD →成立．5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( D )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λλ＝－1.6．如右图，在△ABC 中，AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( B )A.19B.13 C ．1 D ．3解析：∵AN →＝12NC →，∴AC →＝3AN →，由AP →＝mAB →＋29AC →得AP →＝mAB →＋23AN →，由B 、P 、N 三点共线得m ＋23＝1，∴m ＝13.7．已知向量a ，b 不共线，设向量AB →＝a －k b ，CB →＝2a ＋b ，CD →＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为( B )A ．10B ．2C ．－2D ．－10解析：CB →－CD →＝DB →＝(2a ＋b )－(3a －b )＝－a ＋2b若A 、B 、D 三点共线，则∃实数λ使AB →＝λDB →，即a －k b ＝λ(－a ＋2b )即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝1－k ＝2λ，∴k ＝2，故选B.8．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a ，b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( D )A ．[0， 2 ]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]解析：由已知向量p 是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p |max ＝2，当这两个单位向量反向时，|p |min ＝0.二、填空题9．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.解析：|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.答案：210．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →.∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形 三、解答题11．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上？ 解：设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b ，m ∈R ，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫23m －1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0m3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．12．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)∵m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1， ∴OP →＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)． ∴BP →＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R . ∴BP →与BA →共线， 又BP →，BA →有公共点B . ∴A ，P ，B 三点共线．(2)∵A ，P ，B 三点共线，∴BP →与BA →共线， ∴存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． ∴OP →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又∵OP →＝mOA →＋nOB →，∴mOA →＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线．由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1.[热点预测]13．(1)已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2PD →＝(1－λ)PA →＋CB →，其中λ∈R ，则P 点一定在( C )A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部(2)已知△ABC 的面积为12，P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB →＋2PC →＝3AB →，则△ABP 的面积为( C )A ．3B ．4C ．6D ．9(3)在△ABC 中，∠B ＝60°，O 为△ABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且OP →＝xOA →＋yOC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．解析：(1)2PD →＝PA →＋PB →＝(1－λ)PA →＋CB →⇒PB →－CB →＝－λPA →⇒PC →＝λAP →，易得P 、A 、C 三点共线，故选C.(2)如图．取AC 的中点为D . AB →＝AP →＋PB →代入PA →＋PB →＋2PC →＝3AB →得PA →＋PC →＝AB →＝2PD →， ∴PD 綊12AB .∴P 到AB 的距离为AB 边上高的一半 ∴S △ABP ＝12S △ABC ＝6.(3)如图，∠B ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵|OA →|＝|OP →|＝|OC →|.∴当P 为劣弧AC 中点时x ＝y ＝1，x ＋y ＝2，当P 向A (或C )靠近时x ＋y 减小，当P 与A (或C )重合时x ＝1(y ＝0)此时x＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[1,2]．答案：(1)C (2)C (3)[1,2]。

课时作业24 平面向量的概念及其线性运算［基础达标]一、选择题1．若m∥n，n∥k,则向量m与向量k( ）A．共线B．不共线C．共线且同向 D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k,故A，B,C选项都不正确，故D正确．答案:D2．［2020·通州模拟]已知在△ABC中，D是BC的中点,那么下列各式中正确的是（）A.错误!＋错误!＝错误! B。

错误!＝错误!错误!＋错误!C.错误!－错误!＝错误! D．2错误!＋错误!＝错误!解析:A错，应为错误!＋错误!＝2错误!；B错，应为错误!错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!；C错，应为错误!＝错误!＋错误!；D正确，2错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!，故选D。

答案:D3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a－b可表示为( ）A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析:向量a－b是以b的终点为始点，a的终点为终点的向量．由图形知，a－b＝e－3e2。

1答案：C4．[2019·江西南昌二中期末]已知向量错误!＝a ＋3b ，错误!＝5a ＋3b ，CD ，→＝－3a ＋3b ，则（ ）A ．A ,B ,C 三点共线 B ．A ，B ,D 三点共线C ．A ，C ,D 三点共线 D ．B ，C ,D 三点共线解析：∵错误!＝－3a ＋3b ，错误!＝5a ＋3b ，∴错误!＝错误!＋错误!＝2a ＋6b ，又错误!＝a ＋3b ,∴错误!＝错误!错误!，∴错误!∥错误!，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B 项．答案：B5．［2020·北京八十中学月考]已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，错误!＝n i ＋j ，m ≠1.若A ,B ,D 三点共线，则mn ＝（ ）A 。

错误!B ．2C ．1D ．－3解析：∵A ，B ，D 三点共线，∴错误!∥错误!，设错误!＝λ错误!，则错误!∴mn ＝1.故选C 项．答案：C二、填空题6．给出下列命题：①若a ＝b ,b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点,则错误!＝错误!是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝｜b ｜且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是________．解析:①正确．∵a ＝b ，∴a ,b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同,故a ＝c .②正确．∵错误!＝错误!，∴｜错误!|＝｜错误!|且错误!∥错误!，又A，B,C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形,则错误!∥错误!且|错误!｜＝|错误!|，因此，错误!＝错误!.③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a｜＝|b｜，也不能得到a＝b，故｜a｜＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件,而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.答案：①②7．［2020·广西南宁联考]设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行,则实数λ＝________.解析:∵向量λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝μ(a＋2b）(μ∈R)，∴错误!∴λ＝μ＝错误!.答案:错误!8．已知平面上不共线的四点O，A,B，C.若错误!－3错误!＋2错误!＝0。