2015年丹东市高三总复习质量测试(一)理科数学

科目：数学（供理科考生使用）（试题卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试题卷上规定的位置，核准条形码上的信息与本人相符并完全正确后将条形码粘贴在答题卡上相应位置。

2．考生在答题卡上要按要求答卷，考生必须在答题卡上各题目规定答题区域内答题，超出答题区域书写的答案无效。

第I 卷和第II 卷均不能答在本试题卷上，在试题卷上答题无效。

3．答选考题时，考生须先用2B 铅笔在答题卡上按照要求把所选题目对应的题号涂黑，再用黑色水签字笔按照题目要求作答。

答题内容与所选题号不符，答题无效。

作答的选考题号未涂，答题无效。

选考题多答，按考生在答题卡上答题位置最前的题计分。

4．考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回。

5．本试题卷共6页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。

姓 名准考证号2013届高三总复习质量测试（一）数学（供理科考生使用）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）题～第（24）题为选考题，其它题为必考题．第I 卷1至3页，第II 卷3至6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． （1）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B =U ð（A ）{1,2,4}（B ）{2,3,4}（C ）{0,2,4}（D ）{0,2,3,4}（2）已知i 为虚数单位，若复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z 的虚部等于（A ）2 （B ）3（C ）2i （D ）3i（3）设tan tan αβ、是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+=（A ）3-（B ）3（C ）1-（D ）1（4）已知一个锥体的主视图和左视图如右图所示，下列选项中，不可 能是该锥体的俯视图的是（A ）（B ）（C ）（D ）（5）在等差数列{}n a 中，4816a a +=，则3510a a a ++=（A ）16 （B ）20 （C ）24 （D ）32（6）设(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （A ）x 和y 正相关（B ）x 和y 的相关系数在1-到0之间 （C ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同（7）若双曲线2221(0)36x y a a -=>的顶点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 （A ）3（B（C ）2（D（8）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：(4)()f x f x +=--，且02x <≤时，2()log (3)f x x =+，则(11)f =（A ）2（B ）2- （C ）1 （D ）1-（9）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，则甲、乙分在同一组的概率是 （A ）521（B ）542（C ）821（D ）421（10）直线0x y t ++=与圆222x y +=相交于M N 、两点，已知O 是坐标原点，若||||OM ON MN +≤u u u u r u u u r u u u u r，则实数t 的取值范围是（A）(,)-∞+∞U （B ）[2,2]- （C）[2,2]-U （D）[（11）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（A ）5（B ）52（C ）32（D ）178（12）定义一种运算符号“→”，两个实数,a b 的“a b →”运算原理如图所示，若()(0)(2)f x x x x =→⋅-→，则()y f x =在[2,2]x ∈-时的最小值是（A ）8-（B ）14-（C ）2- （D ）6-第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置． （13）已知向量(1,2)=a ，(,4)x =-b ，若向量a 与b 共线，则x = ； （14）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则42S S = ；（15）利用计算机随机在[0，4]上先后取两个数分别记为x ,y ，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(3,)x x y --，则P 点在第一象限的概率是 ；（16）在三棱锥P ABC -中，90BAC ∠=o，1AB =，AC =，PB PC ==平面ABC ⊥平面PBC ，若点P A B C 、、、都在同一球面上，则该球的半径 等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知函数21()coscos (0)2f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π．（I ）求ω值及()f x 的单调递增区间；（II ）在△ABC 中，a b c 、、分别是三个内角C B A 、、所对边，若1a =，b =()22A f =，求B 的大小．（18）（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取20名同学的成绩（百分制）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（I ）求分数在[70,80）内的频率，补全这个频率分布直方图，并从频率分布直方图中， 估计本次考试的平均分；（II ）若从20名学生中随机抽取2人，抽 到的学生成绩在[40,70）记0分，在[70,100]记 1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的 分布列和数学期望．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，底面ABCD 直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，22AD BC ==，CD =，平面PAD ⊥底面ABCD ，若M 为AD 的中点．（I ）求证：BM ⊥面PAD ； （II ）在线段PC 上是否存在点E ， 使二面角E BM C --等于30o，若存 在，求PEEC的值，若不存在，请说明 理由．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)2，其离心率12e =．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过坐标原点O 作不与坐标轴重合的直线l 交椭圆C 于P Q 、两点，过P 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接QD 并延长交椭圆C 于点E ，试判断随着l 的转动，直线PE 与l 的斜率的乘积是否为定值？说明理由．（21）（本小题满分12分）已知0a >，()g x 是函数1()()ln x f x x a x ax-=-+的导函数． （I ）当1a =时，求函数()g x 的单调递减区间；（II ）当1a >时，求证：函数()g x 在[1,)x ∈+∞是单调递增函数；（III ）若存在0[1,)x ∈+∞，使得不等式0()0f x <成立，求实数a 的取值范围．ABCDPME请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，90C ∠=o，ABC ∠平分线BE 交AC 于点E ，点D 在AB 上，90DEB ∠=o ．（I ）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；（II ）若AD =6AE =，求△BDE 的面积．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，两坐标系取相同的长度单位，将曲线5cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上每一点的横坐标变为原来的15（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C ；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin()4πρα-=（I ）求曲线C 的普通方程；（II ）设直线l 与曲线C 交于A B 、两点，与x 轴交于点P ，求||||PA PB ⋅的值．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知2()|2|f x x x =-+，2()||()g x x x a a a =--+∈R ． （I ）解不等式()4f x ≤；（II ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．丹东市2013届高三总复习质量测试（一）数学（理科）试题参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

2015年辽宁省丹东市高三总复习质量测试（一）数学（理）试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页．其中第II 卷第(22)题～第(24)题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）在复平面内，复数11z i=-所对应的点在 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合{|2}A x x =≥，2{|2}B x x m =≤，且A B ⊆R ð，那么m 的值可以是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）（3）已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若()x ⊥b a c +，则实数x =（A ）311-（B ）113-（C ）12（D ）35（4）下列结论中正确的是（A ）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0（B ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ(0)σ>，若ξ位于区域(0,1)的概率为0.4，则ξ位于区域(1,)+∞内的概率为0.6（C ）从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样（C ）0 （D ）1（6）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60︒的扇形，则该几何体的侧面积为（A ）10123π+ （B ）1063π+（C ）122π+（D ）64π+（7）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于 （A）1)m （B）1)m （C）1)m（D）1)m（8）设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为（A ）5（B ）8（C ）10（D ）12（9）在平面直角坐标系中，点(3,)M m 在角α的终边上，点(2,4)N m 在角4πα+的终边上，则m = （A ）6-或1（B ）1-或6（C ）6（D ）1（10）如图所示，函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象，已知12,(,)3x x ππ∈，且12()()f x f x =，则12()f x x +=（A ）1-（B）（C ）12正视图侧视图俯视图30 ° A B75° 60m（D （11）经过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于,M N 两点，若O 是坐标原点，△OMN 的面积是223a ，则该双曲线的离心率是（A ）2（B （C ）2（D ）2（12）关于函数2()(ln )f x x x a a =-+，给出以下4个结论：①0,0,()0a x f x ∃>∀>≥； ②0,0,()0a x f x ∃>∃>≤； ③0,0,()0a x f x ∀>∀>≥； ④0,0,()0a x f x ∀>∃>≤．其中正确结论的个数是 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ．（14）已知()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，若2()()log (12)x f x g x +=+，则(1)f = ．（15）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点是F ，点(0,2)M ，线段MF 与C 的交点是N ，过N 作C 准线的垂线，垂足是Q ，若90MQF ∠=，则p = ．（16）四面体ABCD 的体积是16，△ABC 是斜边2AB =的等腰直角三角形，若点A ，B ，C ，D D 与AB 中点的距离是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+． （I ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （II ）求{}n a 的通项公式．（18）（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，D 为11AC 中点．（I ）求证：1BC ∥平面1AB D ； （II ）求二面角11A AB D --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（I ）估计这100名学生数学成绩的中位数；（II ）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望EX ．（20）（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y ab a b +=>>的右焦点为2(1,0)F ，点H 在椭圆上． （I ）求椭圆的方程；)A BCDA 1B 1C 1（II ）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点，求证：△2PF Q 的周长是定值．（21）（本小题满分12分）已知1x =是函数()1(1)ln()f x x kx =+-的极值点，e 自然对数底数． （I ）求k 值，并讨论()f x 的单调性；（II ）是否存在(1,)m ∈+∞，使得当a m >时，不等式()ln()ln x a x a x ae a ++<对任意正实数x 都成立？请说明理由．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知A ，B ，C ，D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，D 为切点，AC ∥DE ，AC 与BD 相交于H 点．（I ）求证：BD 平分∠ABC ；（II ）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos()604πρθ--+=．（I ）求C 的参数方程；（II ）若点(,)P x y 在曲线C 上，求x y +的最大值和最小值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|1|||1(0)ax ax a a -+-≥>． （I ）当1a =时，求此不等式的解集；（II ）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．2015年丹东市高三总复习质量测试（一）数学（理科）试题参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

2014——2015学年度上学期丹东五校协作体高三期末考试数学试题（理科）时间：120分钟 分值：150分 命题、校对：宽甸一中高三数学组 一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁U A)=B（ ）.A {}3 .B {}4,5 .C {}4,56， .D {}0,1,2 2.若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 （ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α= （ ）.A 43 .B 34 .C 34- .D 34±4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 （ ） .A 3 .B 4 .C 5 .D 65.某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）.Aπ .B π .Cπ .Dπ（第4题图） （第5题图）6.设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是 （ ）主视图左视图俯视图.A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .D 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知2201sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，x 的一次项系数为（ ） .A 6316-.B 6316 .C 638- .D 6388. 抛物线22y px =F ，点A 是两曲线交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）.A.B .C 1+ .D 19. 若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a = （ ）.A 2- .B 12.C 1 .D 210.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，若()12f ->-，()1732a f a+-=-，则实数a 的取值范围为 （ ） .A 3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .B ()2,1- .C 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ()3,1,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11.平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）.A .B 3π .C .D 2π 12.过抛物线()240y x p =>的焦点作两条互相垂直的弦AB CD 、，则11AB CD+= .A 2 .B 4 .C 12 .D 14（ ）二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=___________.14. 已知(,)M x y为由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩，所确定的平面区域上的动点，若点)A，则z OM OA =⋅的最大值为___________.15.已知点G 为ABC △的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM xAB = ,AN y AC = ,x y R ∈，则11x y +=___________.16.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 1sin sin b Ca c A B=-++，且5,5b CA CB =⋅=-，则ABC △的面积是___________.三、解答题：（共6小题，共70分）17. （12分）已知数列{}n a 满足0n a ≠,113a =，()1122,n n n n a a a a n n N *---=⋅≥∈.（1）求证：1n a ⎛⎫⎪⎝⎭是等差数列；（2）证明：2221214n a a a ++⋅⋅⋅+<. 18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.(1)求证：1C B ABC ⊥平面；(2)设1CE CC λ= (0≤λ≤1)，且平面1AB E 与1BB E 所 成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值.19.（本小题满分12分）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如下表所示：(1)根据表中数据，求物理分y 对数学分x 的回归方程：(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X 表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X . （ 附：回归方程ˆˆˆybx a =+中，121()()ˆ()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-） 20.(本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率．．之积等于13-. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN △的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分） 设函数()()()1ln 1f x ax a x =-++，其中0a >.（1）当0x >时，证明不等式()ln 11xx x x<+<+； （2）设()f x 的最小值为()g a ，证明()10g a a-<<.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E . （1）求证：EBD CBD ∠=∠； （2）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.23．（本小题满分10分）选修4—4已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. (1)写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；(2)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211OAOB+的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()41f x x ≥--； （2）若()1f x ≤的解集为[]0,2，()110,02a m n m n+=>>，求证：24m n +≥. 2014——2015学年度上学期丹东五校协作体高三期末考试数学试题（理科）参考答案及评分标准一、 选择题：1.B2.A3.B4.B5.D6.C7.A8.D9.C 10.D 11.A 12.D 二、 填空题：13. 1414. 4 15. 3 16.三、 解答题： 17.证明：（1）112n n n n a a a a ---=⋅()2n ≥∴1112n n a a --=()2n ≥ ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列. ………………6分（2）由（1）知：()131221nn n a =+-⋅=+ 121n a n ∴=+ …………8分 ()222114421n a n nn ∴=<++ ()11114141n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴22212n a a a ++⋅⋅⋅+11111111141242341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111412231n n ⎛⎫<-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1111414n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ . ………………12分 18. 解：（1）因为侧面AB ⊥11BB C C ,1BC ⊂侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥, ………………2分在1BCC △中, 1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理得：2222211112cos 12212cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1BC 故22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥, ………………4分 而1,BCAB B BC ABC =∴⊥平面………………6分 （2）由（1）可知，1,,AB BC BC 两两垂直.以B 为原点，1,,BC BA BC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则1(0,0,0),(0,1,0),(B A B -，(1,0,0)C,1C .所以1(CC =-,所以()CE λ=-,(1)E λ∴-则1(1,1,3),(1,AE AB λλ=--=--. 设平面1AB E 的法向量为(),y,z n x =，则由1n AE n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,得100n AE nAB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1-)00x y z x y λ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩（，令z =，则333333,,(,2222x y n λλλλλλ--==∴=----是平面1AB E 的一个法向量.AB ⊥侧面11BB C C ,(0,1,0)BA =是平面1BEB 的一个法向量，cos ,n BA n BA n BA⋅〈〉==∴两边平方并化简得22-5+3=0λλ，所以λ=1或32λ=（舍去） ………………12分19.解：（1）8991939597935x ++++==，8789899293905y ++++== ………………2分()()()252222214202440ii x x =∴-=-+-+++=∑，()()()()()()()51432101224330iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑30ˆˆˆ0.75,20.2540ba y bx ∴===-=. 所以，物理分y 对数学分x 的回归方程为ˆ0.7520.25yx =+; ………………6分 （2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2()2224106C P X C ===;()112224213C C P X C ===;()2224126C P X C === …………9分故X 的分布列为()0121636E X ∴=⨯+⨯+⨯= ………………12分20.解：（1）点P 的轨迹方程为()22341x y x +=≠± ………………5分 （2）设点P 的坐标为()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,y M N y ，则直线AP 的方程为()001111y y x x --=++， 直线BP 的方程为()001111y y x x ++=--. 令3x =，得0000004323,y 11M N y x y x y x x +--+==+-， 于是PMN △的面积()()20002031y 321PMNM N x y x S y x x +-=--=-△，………………8分 直线AB 的方程为0x y +=，AB =，点P 到直线AB 的距离d于是PAB △的面积PAB S △0012AB d x y =⋅=+， ……………10分 当PAB S △PMN S =△时，得()2000002031x y x x y x +-+=-，又000x y +≠，所以()220031x x -=-，解得053x =，因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得PAB △与PMN △的面积相等，此时点P 的坐标为5,3⎛ ⎝ ……………12分21.证明：（1）设()()ln 1,(0,)1xx x x xϕ=+-∈+∞+， 则()()()2211111xx x x x ϕ'=-=+++， 当0x >时，()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,+∞上是增函数； ………2分∴当0x >时，()()00x ϕϕ>=，即()ln 101xx x+->+， ∴()ln 11xx x<++成立， ……………4分 同理可证()ln 1x x +<， 所以，()ln 11xx x x<+<+. ……………6分 （2）由已知得函数()f x 的定义域为()1,-+∞，且()()101ax f x a x -'=>+，令()0,f x '=得1x .a= ……………8分 当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以，()f x 的最小值()()1111ln 1g a f a a a ⎛⎫⎛⎫==-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分将1x a =代入()ln 11xx x x<+<+，得111ln 11a a a ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ 即()1111ln 11a a a ⎛⎫<++<+ ⎪⎝⎭； 所以()1111ln 10a a a ⎛⎫-<-++< ⎪⎝⎭，即()10g a a -<<……………12分22. （1）∵BE 为圆O 的切线∠EBD =∠BAD ………………2分 又∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD =∠CAD ∴∠EBD =∠CAD ………………4分 又∵∠CBD =∠CAD ∴∠EBD =∠CBD ………………5分 （2）在△EBD 和△EAB 中，∠E =∠E ，∠EBD =∠EAB∴△EBD ∽△EAB ………………7分∴BE BDAE AB= ∴AB •BE =AE •BD ………………9分又∵AD 平分∠BAC ∴BD =DC 故AB •BE =AE •DC ………………10分23.解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= ………3分曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-= ……………5分 （2）在直角坐标系下，()10,1M ，()22,0M ，线段PQ 是圆()2211x y +-=的一条直径∴90POQ ∠= 由OP OQ ⊥ 得OA OB ⊥EDOACB,A B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中，有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭22211cos sin ,4θθρ∴=+ 22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=即221154OA OB+=. ……………10分 24. 解：（1）当a=2时，不等式为214x x -+-≥，不等式的解集为17,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； ……………5分 （2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2，∴1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得a=1,所以()1110,02m n m n +=>>所以112(2)42m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭. ……………10分。

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2n n n ∀∈N 2，＞B ．2n n n ∃∈N 2，≤C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()33-， B ．33()66-， C ．2222()33-， D ．2323()33-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A ．3[)21,e-B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【考点】概率． 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，，220012x y -=，所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<，解得0y <<，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为AC AC ，的形式．【考点】向量运算． 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选D ．【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第7次，0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C ．【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()e (21)xg'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当12x >-，()0,g'x >所以当12x =-时，12min [()]2e g x -=-．当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3e g a a --=-≥--，解得312ea ≤<，故选D ．【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．【考点】带参函数．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则222(4)2,a a -=+解得32a =±， 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x的最大值．【考点】线性规划问题．16.【答案】【解析】如下图所示：延长BACD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =，2BC =，sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<，而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是．【提示】如图所示，延长BACD ，交于点，设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BDAC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由∠ABC=120°，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，∴EG EG AC =⊥，在Rt EBG △中，可得BE，故DF =在Rt FDG △中，可得FG =在直角梯形BDEF 中，由2BD =，BE，2DF =，可得2EF =， ∴222EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵ACFG G =，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得0,A （，(E，2F ⎛- ⎝⎭，C ，∴AE =，1,CF ⎛=- ⎝⎭．故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-，所以直线AE 与CF ．【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，求得AE F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．19.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y的预报值576.6y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值20.12z x =x +--，∴13.66.8,2=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决．（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）由题设可得)Ma ，()N a -，或()M a-，)N a ．∵12yx '=，故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=，故24x y =在x =-处的导数值为，C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．∴12124,4x x k x x a +==-．∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．【提示】（Ⅰ）求出C在)a 处的切线方程，故24x y =在x =-即可求出方程．（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34a =- （Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点．(ⅱ)若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出．【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =x = ∴60ACB ∠=．【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x的方程2x =，解方程可得x 值，可得所求角度．【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积111sin 45=22⨯．【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而求出2C MN △的面积．【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）(2)+∞，【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22(1)3a +， 由题设得22(1)63a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。

说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）A（2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）C （12）D（11）题引申：如果把题中的“0a b >>”改成“0,0a b >>”，答案是2 （12）题①②④是正确的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）20- （14）12 （15 （16三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17）（本小题满分12分）解：（I ）由2122n n n a a a ++=-+得1211122222n n n n n n n n n b b a a a a a a a +++++-=-+=-+-+=，∴{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； …………（6分） （II ）由（I ）得21n b n =-，于是121n n a a n +-=-，当2n ≥时，213211[()()()]n n n a a a a a a a a -=-+-++-+[(13(23)]1n =+++-+2(1)1n =-+而11a =，∴{}n a 的通项公式2(1)1n a n =-+．…………（12分）【注意】“累加”法，不要忘记验证1n =情形．（18）（本小题满分12分）（I ）证明：如图，连结A 1B 与AB 1交于E ，连结DE ，则E 为A 1B 的中点，∴BC 1∥DE ，DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ，∴1BC ∥平面1AB D ；…………（6分） （II ）方法1：过D 作DF ⊥A 1B 1于F ，由正三棱柱的性质，AA 1⊥DF ，∴DF ⊥平面ABB 1A 1，连结EF ，DE ，∴DE ⊥AB 1，∴可得EF ⊥AB 1，则∠DEF 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角，…………（8分） 在正三角形A 1B 1C 1中，∵D 是A 1C 1的中点，∴111B D A B =又在直角三角形AA 1D 中，∵AD ＝AA 21＋A 1D 2∴AD ＝B 1D，可求得DF =，∵△B 1FE ∽△B 1AA 1，得EF =∴cos ∠DEF ＝22，即二面角A 1－AB 1－D 的余弦值为22．…………（12分）方法2：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,1,0)A -，1(0,1B ，1(C，1(0,1A -，1(2D -， ∴1AB ＝（0，1，1BD，－32,0），设n 1＝（x ，y ，z ）是平面AB 1D 的一个法向量，则可得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1＝0n 1·B 1D ＝0，即20,30.2y x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩．∴n 1＝（－3，1，－2）．1(,2)2D - ，又平面ABB 1A 1的一个法向量n 2＝OC0,0），设n 1与n 2的夹角是θ，则 cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝22， 又可知二面角A 1－AB 1－D 是锐角，∴二面角A 1－AB 1－D 的余弦值为22． …………（12分） （19）（本小题满分12分） 解：（I ）∵140.0520.40.30.70.523⨯+⨯+⨯=>，0.70.50.2-=， ∴这100名学生数学成绩的中位数是0.21301012540.33-⨯=⨯； …………（6分） （II ）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯= ∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140）的人数为0.210020⨯=人，X 可取0,1,2，021********(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===， X 分布列X0 1 2 P 38874087 329 ∴3840320128787293EX =⨯+⨯+⨯=． …………（12分）【引申】本题还可以这样设问：根据题中的数据，分析比较这个班级的语文成绩数学成绩． 可以从以下几个方面选择回答：①由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的中无数，比较其大小，写出一个统计结论； ②比较语文成绩数学成绩130或140以上人数的多少，写出一个统计结论； ③由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的众数（或从形成单峰处），比较其大小，写出一个统计结论；④由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的平均分，比较其大小，写出一个统计结论； ⑤由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的方差，写比较其大小，出一个统计结论．（20）（本小题满分12分）解：（I ）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是1(1,0)F-，2(1,0)F ，1c =，∵H 在椭圆上， ∴1226a HF HF =+=，3a =，b = 椭圆的方程是22198x y +=； …………（6分）（II ）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=，2PF === ∵103x <<，∴1233x PF =-， 在圆中，M 是切点，∴113PM x ====， ∴211113333PF PM x x +=-+=， 同理23QF QM +=，∴22336F P F Q PQ ++=+=， 因此△2PF Q 的周长是定值6． …………（12分） 方法2：设PQ 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922x x m kx y ，得072918)98(222=-+++m kmx x k 设),(),,(2211y x Q y x P ，则2219818k km x x +-=+，222198729k m x x +-=， ∴||1||212x x k PQ -+=2122124)(1x x x x k --+=== ∵PQ 与圆822=+y x=，即2122k m +=，∴26||89kmPQ k =-+，∵2PF ===∵103x <<，∴1233x PF =-，同理2221(9)333x QF x =-=-， ∴12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQ k k k +++=--=+-=+++， 因此△2PF Q 的周长是定值6．…………（12分）（21）（本小题满分12分） 解：（I ）1()ln()xf x kx x-'=-+，由题意(1)0f '=，得1k =， …………（2分）此时()1(1)ln f x x x =+-，定义域是(0,)+∞， 令1()()ln x g x f x x x -'==-+，21()x g x x+'=- ∵()0g x '<，∴()g x 在(0,)+∞是减函数，且(1)0g =，因此当(0,1)x ∈时，()()0f x g x '=>，当(1,)x ∈+∞时，()()0f x g x '=<， ∴()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数； …………（6分）（II ）不等式()ln()ln xa x a x ae a ++<可以化为()ln()ln a x a a x a x a ae e+++<，设ln ()xx xh x e =，则()()h a x h a +<， 即判断是否存在(0,1)m ∈，使()h x 在(,)m +∞是减函数， …………（8分）∵)1(1)ln (()x x x x x f h x e e+-=='，∵22212()0e f e e -=<，(1)10f =>，()20f e e =-<， ∴()h x '在(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，分别设为1x 和2x ，列表：x1(0,)x 1x12(,)x x 2x2(,)x +∞()h x '-+-()h x极小极大∴()h x 在12(,)x x 是增函数，在2(,)x +∞是减函数， ∵2x (1,)∈+∞，∴不存在这样的m 值．…………（12分）【注意】“当a m >时，不等式()()h a x h a +<对任意正实数x 都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，说明()h x 在(,)m +∞是减函数．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（I ）C 的极坐标方程化为24cos 4sin 60ρρθρθ--+=，∴C 的直角坐标方程是224460x y x y +--+=， 即22(2)(2)2x y -+-=，C的参数方程是22x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，ϕ是参数；…………（5分）（II）由22x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ是参数）得到42sin()4x y πϕ+=++∴x y +的最大值是6，最小值是2． …………（10分）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（I ）当1a =时，此不等式为112x -≥，解得1322x x ≤≥或， ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞；…………（5分）（II ）∵11ax ax a a -+-≥-，∴原不等式解集为R 等价于11a -≥，∵0a >，∴2a ≥，．…………（10分）∴实数a的取值范围为[2,)。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(A )32-(B )32 (C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 (5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：=1 上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 (7)设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC =-(8)函数f （x ）=cos （ωx+ϕ）的部分图像如图所示， 则f (x )的单调递减区间为A ．（k π﹣，k π+，），k ∈z B ．（2k π﹣，2k π+），k ∈z C ．（k ﹣，k+），k ∈zD ． （，2k+），k ∈z(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝(A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20π，则r ＝(A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ,其中a 1,若存在 唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ . (14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ______________________ .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ______________________ .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，2243n n n a a S +=+ (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设 11n n n b a a +=，求数列}的前n 项和.(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC ＝120°E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()i ii w w yy =--∑46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑A B C F E D(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点.(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- .(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若OA= CE ，求∠ACB 的大小．(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I ）理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2015年全国统一高考数学总复习试卷（理科）（3）一、等差数列、等比数列的基本公式和基本性质1．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．2．（5分）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．二、数列的通项公式与递推公式3．（5分）设{a n}满足：a1=2，a n+1=S n+n，n∈N*，求数列{a n}的通项公式．4．（20分）已知数列{a n}满足：a1=1，n∈N*．（1）若a n=2a n+n+1，求数列的通项a n．+1=2a n+4n+2，求数列的通项a n．（2）若a n+1=，求数列的通项a n．（3）若a n+1（4）若a n=a n2+2a n，求数列的通项a n．+1三、数列求和5．（24分）设函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n（x∈R，n∈N*），且对一切正整数n都有f（1）=n2成立（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和P n；（3）求证：f（）＜1（4）设数列{}的前n项和为R n，求证：R n≤﹣．四、数列与数学归纳法6．（9分）数列{a n}中，前n项和为S n，a1≠a2，S n=pna n．（1）求p的值；（2）确定数列{a n}是否为等差数列或等比数列．五、数列与函数综合题7．（15分）已知数列{a n}满足：a n+1=f（a n），n∈N*．（1）f（x）=x﹣sinx，0＜a1＜1，求证：0＜a n+1＜a n＜1；（2）f（x）=x3﹣x2++，试确定一个首项a1，使得数列{a n}为单调数列，并证明你的结论；（3）f（x）=（x2+3），a1＞0，若对一切n∈N*，都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．六、数列与不等式综合题8．（5分）n∈N*，证明不等式：++…+＞﹣．9．（13分）数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2，n∈N*．（1）求证：a n＜1；（2）求证：数列{a n}递增；（3）求证：++…+＜3．七、数列中的自主定义问题10．（20分）若数列{x n}满足对任意的m∈N*（m≤n），都有{x n}的前m项和等于前m项积（前1项和及前1项积均等于首项x1），则称数列{x n}为“和谐数列”．（1）已知数列{a n}是首项a1=2的“和谐数列”，求a3的值；（2）设数列{a n}是项数不少于3的递增的正整数数列，证明{a n}不是“和谐数列”；（3）若数列{}是“和谐数列”，且0＜a1＜1；①试求a n与a n的递推关系；+1②证明对任意的n∈N*，都有0＜a n＜1成立．八、均值不等式11．（10分）（1）若正数a，b满足a≥4，ab=a+b+3，则ab的取值范围是多少？（2）已知a＞0，b＞0，4a+b=1，求+的最小值．九、线性规划12．（10分）设不等式组表示的平面区域为W（1）若k=2，M（x，y）为区域W内的动点，求x+2y的最大值；（2）区域W内部的整点的个数有多少？（整点是指横、纵坐标都是整数的点）．2015年全国统一高考数学总复习试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、等差数列、等比数列的基本公式和基本性质1．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．2．（5分）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意分析出f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，然后由等比数列前n项和公式求之即可．【解答】解：由题意知，f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，所以f（n）==．故选：D．【点评】本题考查等比数列的定义及前n项和公式．二、数列的通项公式与递推公式3．（5分）设{a n}满足：a1=2，a n+1=S n+n，n∈N*，求数列{a n}的通项公式．【分析】由已知数列递推式可得a n=S n﹣1+（n﹣1）（n≥2），与原递推式作差后构造等比数列{a n+1}，然后由等比数列的通项公式求得数列{a n}的通项公式．=S n+n，得【解答】解：由a n+1a n=S n﹣1+（n﹣1）（n≥2），两式作差可得a n﹣a n=a n+1，+1即a n=2a n+1（n≥2），+1∴a n+1=2（a n+1）（n≥2），+1∴数列{a n+1}从第二项起，构成公比为2的等比数列，∵a1=2，∴a2=a1+1=3，则a2+1=4．∴，．∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．4．（20分）已知数列{a n}满足：a1=1，n∈N*．（1）若a n=2a n+n+1，求数列的通项a n．+1=2a n+4n+2，求数列的通项a n．（2）若a n+1=，求数列的通项a n．（3）若a n+1=a n2+2a n，求数列的通项a n．（4）若a n+1+n+3=2（a n+n+2），则数列{a n+n+2}是以【分析】（1）由原递推式变形可得a n+1a1+1+2=4为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求数列的通项a n；（2）把已知递推式两边同时除以2n+1，然后分别取n=1、2、…、n﹣1，再利用累加法，分组后由等比数列的前n项和即可求得答案；（3）把已知递推式两边取倒数，然后构造等比数列{}，求其通项公式后可得数列的通项a n；+1）=2lg（a n+1），（4）由已知递推式可得，两边取对数得lg（a n+1可得数列{lg（a n+1）}是以lg2为首项，以2为公比的等比数列，求其通项公式后可得数列的通项a n．【解答】解：a1=1，=2a n+n+1，得a n+1+n+3=2（a n+n+2），（1）由a n+1∴数列{a n+n+2}是以a1+1+2=4为首项，以2为公比的等比数列，则a n+n+2=4×2n﹣1=2n+1，∴；（2）由a n=2a n+4n+2，得，+1∴，，，…，累加得：==，∴；（3）由a n=，得，+1即，∵，∴数列{}构成以2为首项，以﹣6为公比的等比数列，则，∴，则；（4）由a n=a n2+2a n，得，+1两边取对数得lg（a n+1）=2lg（a n+1），+1∵lg（a1+1）=lg2≠0，∴数列{lg（a n+1）}是以lg2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴，则．【点评】本题考查数列递推式，训练了由数列递推式构造等比数列求数列的通项公式，考查了累积法求数列的通项公式，属中档题．三、数列求和5．（24分）设函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n（x∈R，n∈N*），且对一切正整数n都有f（1）=n2成立（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和P n；（3）求证：f（）＜1（4）设数列{}的前n项和为R n，求证：R n≤﹣．【分析】（1）设数列{a n}的前n项和为S n，由于对一切正整数n都有f（1）=n2成立，可得S n=n2，利用递推式即可得出．（2）利用“裂项求和”即可得出；（3）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；（4）当n=1时，经过验证成立；当n≥2时，==．利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：设数列{a n}的前n项和为S n，∵对一切正整数n都有f（1）=n2成立，∴S n=a1+a2+…+a n=n2，当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时上式成立，∴a n=2n﹣1．（2）解：由（1）可得：==，∴数列{}的前n项和P n=+…+==．（3）证明：=+++…+，=++…++，∴=+…+﹣=﹣﹣=，∴=1﹣＜1．（4）证明：当n=1时，=1=，当n≥2时，==．∴R n＜1+=＜，综上可得：R n≤﹣．【点评】本题考查了递推式、“裂项求和”、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、数列与数学归纳法6．（9分）数列{a n}中，前n项和为S n，a1≠a2，S n=pna n．（1）求p的值；（2）确定数列{a n}是否为等差数列或等比数列．【分析】（1）由题设条件知若p=1时，a1=a2，与已知矛盾，故p≠1，则a1=0．n=2时，（2p﹣1）a2=0，则p=；（2）由题设条件知．则，…，．由此可知{a n}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列．【解答】解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1．则a1=0．当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p﹣1）a2=0．∵a1≠a2，故p=；（2）由已知S n=na n，a1=0．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=na n﹣（n﹣1）a n﹣1．∴．则，…，．∴=n﹣1．则a n=（n﹣1）a2，∴a n﹣a n﹣1=a2．故{a n}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列．【点评】本题考查数列递推式，训练了由S n求a n的问题，体现了运动变化的思想方法，属中档题．五、数列与函数综合题7．（15分）已知数列{a n}满足：a n+1=f（a n），n∈N*．（1）f（x）=x﹣sinx，0＜a1＜1，求证：0＜a n+1＜a n＜1；（2）f（x）=x3﹣x2++，试确定一个首项a1，使得数列{a n}为单调数列，并证明你的结论；（3）f（x）=（x2+3），a1＞0，若对一切n∈N*，都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．【分析】（1）求导f′（x）=1﹣cosx≥0，从而可得函数f（x）是增函数，从而利用数学归纳法证明；（2）当a1=0时，可得数列{a n}为单调递增数列，再利用（1）中的方法证明即可；（3）结合（1），根据f（x）=（x2+3）在（0，+∞）上是增函数，从而只需使a2＞a1，从而解得．【解答】证明：（1）∵f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数f（x）是增函数，当n=1时，∵0＜a1＜1，∴a2=f（a1）=a1﹣sina1＜a1，∴0＜a2＜a1，假设n=k时命题成立，即0＜a k＜a k＜1；+1当设n=k+1时，∵函数f（x）是增函数，即f（0）＜f（a k）＜f（a k）＜1；+1＜a k+1＜1；即0＜a k+2综上所述，0＜a n＜a n＜1．+1（2）当a1=0时，可得数列{a n}为单调递增数列，证明如下：∵f（x）=x3﹣x2++，∴f′（x）=3x2﹣2x+，∵△=4﹣4×3×＜0，∴函数f（x）是增函数，当n=1时，a1=0，a2=，故a1＜a2，假设当n=k时，a k＜a k+1；当n=k+1时，∵函数f（x）是增函数，∴f（a k）＜f（a k+1），＜a k+2；即a k+1＞a n．综上所述，对一切n∈N*，都有a n+1故数列{a n}为单调递增数列．（3）∵f（x）=（x2+3）在（0，+∞）上是增函数，∴若使对一切n∈N*，都有a n＞a n，+1只需使a2＞a1，∵a2=（a12+3），∴a2﹣a1=（a12+3）﹣a1=，∴a1＜1或a1＞3，又∵a1＞0，∴0＜a1＜1或a1＞3．【点评】本题考查了导数的综合应用及数列的应用，同时考查了数学归纳法的应用．六、数列与不等式综合题8．（5分）n∈N*，证明不等式：++…+＞﹣．【分析】根据不等式的特点，利用放缩法进行证明即可．【解答】证明：==﹣，故++…+=﹣（++…+），故++…+＞﹣．则等价为++…+＜，∴要证明原不等式成立，只需要证明上述不等式成立即可．∵﹣＜﹣2（﹣），∴++…+＜2（﹣+﹣+…+﹣）=2（﹣）＜，故原不等式成立．【点评】本题主要考查不等式的证明，根据不等式的关系，利用放缩法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．9．（13分）数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2，n∈N*．（1）求证：a n＜1；（2）求证：数列{a n}递增；（3）求证：++…+＜3．【分析】（1）由题意得a n+1=，令f（x）=，故a n+1=f（a n），从而利用数学归纳法证明；（2）由（1）知a n+1=f（a n），且f（x）=在（0，+∞）上单调递增，从而利用数学归纳法证明；（3）由题意可判断1+a k＞，（k=2，3，…，n），从而可得（1+a2）（1+a3）…（1+a n）＞，从而求等比数列前n项和即可．【解答】证明：（1）∵a n+12+a n+1﹣1=a n2，∴a n+1=，令f（x）=，故a n+1=f（a n），易知f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=1；下面利用数学归纳法证明：①∵a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2，∴a1=0，a2=，②假设当n=k时，a k＜1，当n=k+1时，a n+1=f（a n）＜f（1）=1，故当n=k+1时结论也成立，故a n＜1；=f（a n），（2）由（1）知，a n+1且f（x）=在（0，+∞）上单调递增，易知a1＜a2＜1，假设a k＜a k+1＜1，则f（a k）＜f（a k+1）＜f（1）=1，＜a k+2＜1，即a k+1故数列{a n}递增；（3）∵a1=0，a2=，∴1+a2＞，＜a k＜1，又∵a k﹣1∴1+a k＞，（k=2，3，…，n），∴（1+a2）（1+a3）…（1+a n）＞，故++…+＜1+++…+=3（1﹣）＜3．【点评】本题考查了数列的应用及数学归纳法的应用，同时考查了放缩法的应用．七、数列中的自主定义问题10．（20分）若数列{x n}满足对任意的m∈N*（m≤n），都有{x n}的前m项和等于前m项积（前1项和及前1项积均等于首项x1），则称数列{x n}为“和谐数列”．（1）已知数列{a n}是首项a1=2的“和谐数列”，求a3的值；（2）设数列{a n}是项数不少于3的递增的正整数数列，证明{a n}不是“和谐数列”；（3）若数列{}是“和谐数列”，且0＜a1＜1；①试求a n与a n的递推关系；+1②证明对任意的n∈N*，都有0＜a n＜1成立．【分析】（1）由新定义，先求a2，再求a3；（2）运用反证法证明，假设{a n}是“和谐数列”，结合递增数列，即可得证；（3）①讨论n=1，n＞1，运用“和谐数列”的定义，结合下标变换作差相减即可得到；②运用数学归纳法证明，注意运用二次函数的值域的求法，即可得证．【解答】解：（1）由数列{a n}是首项a1=2的“和谐数列”，可得a1+a2=a1a2，即有2+a2=2a2，解得a2=2，再由a1+a2+a3=a1a2a3，即为2+2+a3=4a3，解得a3=；（2）证明：假设{a n}是“和谐数列”，即有1≤a1＜a2＜a3＜…＜a k（k≥3），即a1+a2+a3+…+a k=a1a2a3…a k（k≥3），若a1=1，则1+a2＞a2=1•a2矛盾；若a1≥2，则2≤a1＜a2＜a3＜…＜a k（k≥3），由a1，a2，a3，…，a k为正整数，即有a1≥2，a2≥3，a3≥4，…，a k﹣1≥k，即有a1a2a3…a k≥2•3•4…k•a k=k!•a k≥ka k＞a1+a2+a3+…+a k对于k≥3成立，矛盾．综上可得，{a n}不是“和谐数列”；（3）①当n=1时，可得+=，即有a2=1﹣a1；当n＞1时，可得++…+=•…，将n换为n+1可得，++…++=•…•，=a1a2…a n，两式相减可得1﹣a n+1即有1﹣a n=a1a2…a n﹣1，=a n（1﹣a n）=a n﹣a n2，两式相除可得1﹣a n+1即为a n=﹣a n（1﹣a n）+1；+1=；综上可得，a n+1②证明：运用数学归纳法证明对任意的n∈N*，都有0＜a n＜1成立．当n=1时，0＜a1＜1，a2=1﹣a1，即有0＜a2＜1；假设n=k时，（k≥2），有0＜a k＜1，=a k2﹣a k+1=（a k﹣）2+，当n=k+1时，由a k+1由0＜a k＜1，可得≤（a k﹣）2+＜1，即有0＜a k+1＜1．即对n=k+1也成立．故对任意的n∈N*，都有0＜a n＜1成立．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查反证法和数学归纳法的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．八、均值不等式11．（10分）（1）若正数a，b满足a≥4，ab=a+b+3，则ab的取值范围是多少？（2）已知a＞0，b＞0，4a+b=1，求+的最小值．【分析】（1）将a的最小值代入求出b的值，从而求出ab的取值范围；（2）把+看成（+）×1的形式，把“1”换成4a+b，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）若正数a，b满足a≥4，ab=a+b+3，则a=4时：b=，此时ab=，故ab的取值范围是[，+∞）；（2）∵+=（+）×（4a+b）=4+++1≥5+2=9，等号成立的条件为=．所以+的最小值为9．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决（2）题的关键是“1”的代换．九、线性规划12．（10分）设不等式组表示的平面区域为W（1）若k=2，M（x，y）为区域W内的动点，求x+2y的最大值；（2）区域W内部的整点的个数有多少？（整点是指横、纵坐标都是整数的点）．【分析】（1）把k=2代入不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得x+2y的最大值；（2）由题意可知，当k=0时可行域为直线；当k≠0时，通过把可行域变形，得到正方形区域求整点个数．【解答】解：（1）当k=2时，不等式组为，对应的平面区域如图，联立，解得B（6，4），令z=x+2y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6+2×4=14．∴x+2y的最大值为14；（2）由题意，当k=0时，原不等式化为，即y=0，平面区域为直线y=0，区域W内部的整点的个数有无数个；当k≠0时，不等式组表示的平面区域W如图，，，则BC长度为4．当OC过整点个数分别为1、2、3、4、5时，区域W内部的整点的个数分别为：21、22、23、24、25．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，（2）中改变可行域形状求整点是该题的难点，属于难题．。

2015年高考理科数学试卷全国卷11．设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）3-（B ）3 （C ）12- （D ）123．设命题p ：2,2nn N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）（A ）2,2nn N n ∀∈> （B ）2,2nn N n ∃∈≤（C ）2,2nn N n ∀∈≤ （D ）2,=2nn N n ∃∈4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.3125．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<u u u u r u u u u r，则0y 的取值范围是（ ）（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（23-，23）6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r （B ）1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r （D ）4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r8．函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A）13 (,),44 kk k Zππ-+∈（B）13(2,2),44k k k Zππ-+∈（C）13(,),44k k k Z-+∈（D）13(2,2),44k k k Z-+∈9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）（A）5 （B）6 （C）7 （D）810．25()x x y++的展开式中，52x y的系数为（）（A）10 （B）20 （C）30 （D）6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）（A）1 （B）2 （C）4 （D）812．设函数()f x=(21)xe x ax a--+,其中a1，若存在唯一的整数x，使得()f x 0，则a的取值范围是（）（A）[-32e，1）（B）[-32e，34）（C）[32e，34）（D）[32e，1）13．若函数f（x）=2ln()x x a x+为偶函数，则a=14．一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .15．若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 .16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .17．（本小题满分12分）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 18．如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x ry u rw u r821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()iii w w yy =--∑46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =，w u r =1881i i w =∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数. 22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交于E.（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是的切线；（Ⅱ）若3OA CE =，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）>1的解集；（Ⅱ）若f （x ）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由11z i z +=-得，11i z i-+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3.【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C. 考点：本题主要考查特称命题的否定 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5.【答案】A【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF •u u u u r u u u u r = 0000(3,)(3,)x y x y --•- =2220003310x y y +-=-<，解得033y <<，故选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 7.【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=1433AB AC -+u u ur u u u r ，故选A. 考点：平面向量的线性运算 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质9.【答案】C【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=12=0.5,S=S-m=0.5,2mm ==0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m=0.25,2mm ==0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环， 执行第3次，S=S-m=0.125,2mm ==0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,2mm ==0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m=0.03125,2mm ==0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0.015625,2mm ==0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,2mm ==0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.考点：本题注意考查程序框图 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 12.【答案】D【解析】设()g x =(21)xe x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)xg x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 考点：函数的奇偶性 14.【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 15.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法16.【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得AB 的取值-）.考点：正余弦定理；数形结合思想17.【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和.试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{nb }前n项和为12nb b b +++L =1111111[()()()]235572123n n -+-++-++L =11646n -+. 考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得 由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，又∵AE ⊥EC ，∴EG ⊥AC ，在Rt △EBG 中，可得，故DF=2.在Rt △FDG 中，可得FG=2在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，DF=2可得EF=2， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ，∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，，0），E （），F （－1,0，2），C （00），∴AE u u u r =（1），CF uuu r =（-1，，2） (10)分故cos ,||||AE CF AE CF AE CF ⋅<>==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以直线AE 与CF. 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19.【答案】（Ⅰ）y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）$100.6y =+46.24【解析】 试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w =先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.（Ⅱ）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于$81821()()()iii ii w w yy dw w ==--=-∑∑=108.8=6816， ∴$cy dw =-$=563-68×6.8=100.6. ∴y 关于w 的线性回归方程为$100.668y w =+，∴y 关于x 的回归方程为$100.6y =+（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值 $100.6y =+，576.60.24966.32z=⨯-=$. （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.620.12zx x =+-=-+$，=13.6=6.82，即46.24x =时，z $取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得)M a ，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x =，C 在,)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=.故24x y =在x =-处的到数值为，C 在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=.（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力21..【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究()h x 的零点个数，若零点不容易求解，则对a 再分类讨论.试题解析：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==. 因此，当34a =时，x 轴是曲线()y f x =的切线. （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点.当x =1时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.（ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.（ⅱ）若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增，故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14.①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.②若f =0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想22.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC ，OE=OB ，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE=1,由OA =得，AB=AE=x ，由勾股定理得BE ，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE =⋅，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ，连结OE ，∠OBE=∠OEB ，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线.（Ⅱ）设CE=1，AE=x ,由已知得AB=BE ，由射影定理可得，2AE CE BE =⋅，∴2x =，解得x考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】 试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN V的面积. 试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ|MN|=1ρ－2ρ因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 11sin 452⨯=12. 考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f （x ）>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f （x ）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1， 等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式f （x ）>1的解集为2{|2}3x x <<.（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法。

2018年丹东市高三总复习质量测试（一）理科数学命题：宋润生 李维斌 朱玉国 审核：宋润生 本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知U =R ，{|2}M x x =≤，{|11}N x x =-≤≤，则U M N = A ．{|1x x <-或12}x <≤ B ．{|12}x x <≤ C ．{|1x x ≤-或12}x ≤≤D ．{|12}x x ≤≤2．若复数2(2)(2)i z x x x =+-++为纯虚数，则实数x =A ． 1B ．2-C ．1或2-D ．1-或23．从3名男生和2名女生共5名同学中抽取2名同学，若抽到了1名女同学，则另1名女同学也被抽到的概率为 A ．110B ．18C ．17D ．124．我国古代数学名着《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为A ．1031B ．2031 C ．54D 5 体的体积为A ．43B ．2512C ．83D ．1036．如果甲去旅游，那么乙、丙和丁将一起去．据此，下列结论正确的是 A ．如果甲没去旅游，那么乙、丙、丁三人中至少有一人没去．B ．如果乙、丙、丁都去旅游，那么甲也去．C ．如果丙没去旅游，那么甲和丁不会都去．D ．如果丁没去旅游，那么乙和丙不会都去．7．执行右面的程序框图，若输入a 5=，b 2=，则输出的i = A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8个单位后，便得到函数cos y xω=的图象，则A ．2B C D ．529．设3sin ,0()1,0x x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，则函数()f x A ．有极值B ．有零点C ．是奇函数D ．是增函数10．设F 为抛物线C ：22(0)y pxp =>的焦点，直线230x y p --=交C 于A ，B两点，O为坐标原点，若△FAB 的面积为，则p =A B C ．2 D ．4 11．a 等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，若直线AB 与a 成角为60︒，则AB 与b 成角为 A ．60︒B ．30︒C ．90︒D ．45︒12．已知a ，b ，c 是平面向量，其中||=a ，||3=b ，且a 与b 的夹角为45︒，若(2)(23)0-⋅-=c a bc ，则||-b c 的最大值为A1-B．3-C D 1分。