分式解题中的常见错误归类例析-

分式解题中常见错误归类例析分式是在整式运算、多项式因式分解、一元一次方程的解法基础上学习的。

分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更加灵活；因而更容易出现这样或那样的错误，为了引起同行的注意，特将分式解题中常见的错误归类例析如下：一、分式概念不清例1在下面的有理式中，只有一个分式的是---------------------------------------------------（）A 308-x B a y x -C a a 23D nm 2-错解1：显然B 式可化为B A 的形式，即yay x -，且B 中含有字母y ，所以选B ，错解2：显然A 、B 都是整式，C aa 23经过同底数的幂相除化为a 3也是整式，故选B ；评析：两种错误解法，一个病根，就是把B 、C 两式化简后用分式定义判定结果所致，判断一个代数式属于哪一类，不能因为y ay x a y x -=-，就把a y x -叫做分式，也不能a a 23能够化成a 3而叫整式；正解：因为不经过运算，aa 23就是B A 的形式，且B 中含有字母a ，所以选B ；例2．当2=x 时，下面分式的值为零的只有一个是----------------------------------------（）A 22211--x x B x x 242--C x x --2105D 2+x x 错解：因为将2=x 代入B 的分子，其分式的值为零，故选B ；评析：错解认为“只要分子的值为零，”而忽略了“分母不为零”，事实上取2=x 时，分式本身已经没有意义；正解：因为将2=x 分别代入A ，发现分母不为零，分子为零，故选A ；例3．当x 为何值时，分式12--x x 的值为负？错解：因为无论x 取何值，2x -都是负数，而且当1≠x 时，分母01≠-x ，所以，当1≠x 时，分式的值为负。

评析：错解只注意到分母不为零，而忽略了0=x 时，02=-x 的特殊情况；正解：因为除0外，无论x 取什么数，2x -都是负数，又需01≠-x ，则只需1≠x ，所以，当x 不等于0和1外，分式的值为负；二、基本知识含混例4，不改变分式的值，把分式b a b a 31214131-+的分子、分母中的各项系数都化为整数；错解：=-+b a b a 114131b a b a b a b a 23346)11(12)4131(-+=⨯-⨯+评析：错解的分子、分母所乘的不是同一个数，而是两个不同的数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了；正解：=-+b a b a 31214131b a b a b a 3412)3121(12)4131(-+=⨯-⨯+例5．a 为何值时，分式34222++--a a a a 无意义？错解：因为32)1)(3()1)(2(34222+-=+++-=++--a a a a a a a a a a 评析：错解把公因式1+a 约取了，这等于把分子、分母同时除以一个等于零的整式，扩大了分母的取值范围，即放宽了分式成立的条件。

分式运算中的常见错误剖析作者：赵军来源：《初中生之友·中旬刊》2009年第03期在学习分式时，一不小心我们就会犯一些错误，下面列举一些常见的错误并分析其原因，希望对大家的学习有所帮助。

一、错用分式的基本性质例1化简：。

错解原式==。

错因此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质。

正解原式= =。

二、错在颠倒运算顺序例2计算：÷（a－）。

错解原式=÷a－÷=－(a+1)= －a－1。

错因按照分式的运算顺序，应先算括号，后算除法，但在实际解题过程中很多同学容易错解成用去除以括号内的各项。

正解原式= ÷= ×=。

三、错在计算去分母例3计算：a－1－。

错解原式=(a-1)(a+1)－a2=a2－1－a2=－1。

错因上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等式代换，不能去分母。

正解原式=－==－。

四、错在以偏概全错解由x+1≠0，得x≠－1。

∴ x≠－1时，原分式有意义。

错因只考虑的分母，未注意整个分式的分母1－，犯了以偏概全的错误。

正解由x+1≠0，得x≠－1，由1－≠0，得x≠0。

∴当x≠－1且x≠0时，原分式有意义。

五、错在约分例5当x为何值时，分式有意义？错解原式==。

∵ x-2≠0 ∴ x≠2。

∴ x≠2时，分式有意义。

错因由于约去了分子、分母的公因式（x-1），扩大了未知数的取值范围。

正解由x2－3x+2≠0，得x－1x－2≠0，即x≠1且x≠2。

∴当x≠1且x≠2时，分式有意义。

六、错在字母取值太随意例6先化简代数式（+）÷，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值。

错解原式=［+］÷=×=×=。

当a=0时，=0。

错因选取一个使原式有意义的a值代入求值时，一定要注意使原代数式有意义，不能只图运算方便，比如我们熟悉的a=0，1均不能取，因为a=0时，=0作为分母时，原代数式没有意义。

正解取a=2，则原式==2。

分式方程常见误区警示解分式方程的过程中，以及对分式方程的增根的理解方面，常出现这样或那样的错误．现举例剖析，希望对同学们有所帮助．警示一、不要漏了验根例1、解方程23+x ＋22-x =482-x ． 错解：方程两边同乘以（x ＋2）（x －2），得3（x －2）＋2（x ＋2）=8．解这个方程，得x =2．所以原方程的解是x =2． 错因：分式方程是通过去分母转化为整式方程求解的，解的过程中有可能产生增根，因此必须进行检验．正解：方程两边同乘以（x ＋2）（x －2），得3（x －2）＋2（x ＋2）=8．解这个方程，得x =2．检验：当x =2时，（x ＋2）（x －2）=（2＋2）（2－2）=0．所以x =2是增根，原方程无解．警示二、去分母，当分子是多项式时，不要漏了括号例2 、解方程122-x －11-x =0． 错解：方程两边同乘以（x ＋1）（x －1），得2－x ＋1=0．解这个方程，得x =3．经检验：x =3是原分式方程所化成的整式方程2－x ＋1=0的根．所以原方程的解是x =3． 错因：此解法错误的原因是不理解分数线的作用，分数线既有除号作用，又有括号作用，当分子是多项式时，去分母必须加括号，并且对所求根检验时应代入原方程而不能代入“所转化”成的整式方程．正解：方程两边同乘以（x ＋1）（x －1），得2－（x ＋1）=0．解这个方程，得x =1． 经检验x =1是原方程的增根，所以原方程无解．警示三、去分母时，不要漏乘不含分母的项例3 、解方程5-x x －x-54=9． 错解：方程两边同乘以x －5，得x ＋4=9．即x =5．检验：当x =5时，x －5=0，所以方程无解．错因：错误的原因是去分母时，漏乘了不含分母的项9，造成所得方程与原方程的解不同．正解：方程两边同乘以x －5，得x ＋4=9（x －5）．解这个方程，得x =849．经检验x =849是原方程的解．警示四、方程的两边不能同除以含有未知数的整式，造成失根例4、解方程32+-x x =32--x x ． 错解：方程两边同除以x －2，得31+x =31-x ．去分母，得x －3=x ＋3，所以原方程无解．错因：方程两边同除以x －2，相当于默认了x －2的值不等于零，而实际上x =2是原方程的解，上述变形形造成了失根．正解：方程两边同乘以（x ＋3）（x －3），得（x －2）（x ＋3）=（x －2）（x －3）．去括号，得2x ＋x －6=2x －5x ＋6．解这个方程，得x =2．所以原方程的解是x =2．警示五：不要漏了增根例5 、当a 为何值时，关于x 的方程21-+x x －3+x x =()()32+-+x x a x 的解为负数？ 错解：去分母得35-=a x ，解得53-=a x ．令53-=a x ＜0，得到a ＜3，即当a ＜3时，原方程的解为负数．错因：若x 的取值使得原分式方程中的分母为零，即为增根．因此还必须考虑分式方程中的分式有意义的前提x ≠0且x ≠－3，即53-a ≠2且53-a ≠－3． 正解：当a ＜3且12-≠a 时，原方程的解为负数．警示六：不要混淆增根与无解例6、若分式方程1-x x +1-x m =1+x x 无解，求m 的值。

分式运算常见错误示例一、概念记不准例 1 下列哪些是分式 ? 哪些是整式 ?① x 2 1② 13 ③3 a4错解：①，③是分式 ,②是整式 . ①在代数式x21中, 因为在分母中含有字母,所以是分式 ; ②在代数式13 中,因为它是二项式 , a属于整式；3是分式 . 4错解分析：分式的定义就是形如A, 其中 A 和 B 都为整式 ,分母 B B中要含有字母，① x21中的分母是常数 ,而不是字母 ; ②1 3 中a的1是分式 ,加 3 后,仍然属于分式 ; ③把分式和分数混淆了 . a正解：①, ③是整式 ,②是分式.二、直接将分式约分例2 x为何值时 , 分式x23x9有意义 ?错解 :x3x31x29x 3x3x 3. 要使分式有意义 , 必须满足x+3≠0,即x≠-3.错解分析 : 错误的原因是将x-3 约去 , 相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式 , 无意中扩大了字母的取值范围 , 当x=3 时, 分式无意义的条件漏掉了 .正解 : 要使分式有意义 , 必须满足x2 -9 ≠0, 解得x≠± 3. ∴当x≠±3 时,分式x23有意义 . x9三、误以为分子为零时 , 分式的值就为零例 3当 x 为何值时 , 分式x22x 4的值为零 ?错解 : 由题意 , 得| x | - 2=0, 解得 x =±2. ∴当 x =±2 时,分式x2的值为零 .2x 4错解分析 : 分式值为零的条件是分子为零而分母不为零. 本题当x =-2 时, 分母 2x +4=2×(-2)+4=0, 分式无意义 , 应舍去 .正解 : 由题意 , 得 | x | - 2=0, 解得 x =±2. 当 x =2 时, 分母 2x +4≠0; 当 x =-2 时, 分母 2x +4=2×(-2)+4=0, 分式无意义 . ∴当 x =2 时, 分式x2的值为零 .2x 4四、分式通分与解方程去分母混淆例 4化简 x 2- x -2.x2错解 : 原式 =x 2 - x ( x -2) - 2( x -2) = x 2 - x 2 +2x -2 x +4=4.错解分析 : 上述错误在于进行了去分母的运算 , 当成了解方程 ,而本题是分式的加减运算 , 必须保持分式的值不变 .正解 : x2- x -2=x 2-( x +2)=x2-x2 x 2 = x 2(x 2 4) =x 2x2 x 2x2 x 24.x 2五、颠倒运算顺序例 5 计算 a ÷b × 1 .b错解 : a ÷b × 1= a ÷1=a .b错解分析 : 乘法和除法是同级运算 , 应按从左到右的顺序进行 .错解颠倒了运算顺序 , 造成运算错误 .正解 : a ÷b × 1 = a × 1 = a.b bb b 2六、化简不彻底例 6计算2 1.x 24 2x4错解 : 原式 =21=4 x 2x 2 x 2 2 x 22 x 2 x 2 2 x 2 x 2=4 x 2=x 2.2 x 2x 2 2 x 2x 2错解分析 : 上面计算的结果 , 分子、分母还有公因式 ( x -2) 可约分 ,应继续化简 .正解 : 原式 =21=4x 2x 2 x 22 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2=4 x 2 =x 2=1.2 x 2 x 22 x 2 x 22 x 2七、忽视“分母等于零无意义”致错1. 错在只考虑了其中的一个分母例 7 x 为何值时 ,分式1有意义 ?11x1错解：当 x + 1 ≠ 0, 得 x ≠ - 1. 所以当 x ≠ - 1时, 原分式有意义 .错解分析：上述解法中只考虑了分式1 中的分母 , 没有注意整个分1.x1式的大分母 1x 1正解：由 x + 1 ≠ 0, 得 x ≠ - 1.1由1x 1≠ 0, 得 x ≠ 0 ，因此， 当 x ≠0 且 x ≠ - 1 时, 原分式有意义 .2.错在没有把方程的两个解带到分母中去检验例 8 先化简 ,再求值 :x 2x x21,其中 x 满足 x2- 3x + 2=x1x22x10.错解： x2xx2x 21= x( x1)(x1)( x1)= x .x 12x 1x 1( x 1)2∵x 2- 3 x+ 2= 0,∴( x- 2) (x- 1) = 0.∴x= 1或 x= 2，原式=1 或 2.错解分析：只要把本题中的 x=1代入到 (x - 1)2中可知 , 分母等于 0,所以原式无意义 . 故原式只能等于 2.正解：x 2x x 21x(x1) (x1)(x 1)x ，·22x 1·(x 1)2x 1 x x 1由x2-3 x+2=0，解得 x1=2, x2=1，当x=2时， x+1≠0，x2-2 x+1≠0，当x=1时， x2-2 x+1=0，故x 只能取2，则原式 =x=2.3.错在没有考虑除式也不能为零例 9先化简1x,再选择一个恰当的 x 值代入并求值.11x2x1错解：11x=x 1 1 ( x 1)( x 1)= x+ 1.x 1x2x1x1∵ x- 1≠0, x 2- 1≠0,∴x ≠±1.当取 x= 0时代入 x+1,原式= 1.错解分析： 本题若取 x = 0,则除式 x 颠倒到分母上时 , 分式就变得无意义了 , 显然是不正确的 , 所以 x ≠- 1, 0, 1.其他值代入均可求.正解： 11 x 2x = x ·(x 1)(x 1)x 1,x 11 x 1x∵ x -1 ≠0, x 2-1 ≠0,x为除数不为 0，即 x ≠0,x 21∴x ≠± 1 且 x ≠0,当取 x =2 时,原式 =x +1=2+1=3.4. 错在“且”与“或”的混用例 10 x 为何值时 , 分式1有意义 ?( x 2)( x 3)错解：要使分式有意义 , x 必须满足分母不等于零 ,即( x - 2) ( x -3) ≠0, 所以 x ≠2 或 x ≠3.错解分析：“且”与“或”是两个完全不同的联结词 , 两件事情至少一件发生用“或”，两件事情同时发生用“且” .正解：要使分式有意义 , x 必须满足 ( x - 2) ( x - 3) ≠0, 所以 x ≠2 且 x ≠3.八、忽视分数线具有双重作用例 11 化简：x 2 1xx1错解： 原式 = x 2x 1 x 2 (x 1)(x 1) 2 x 1 .x11x 1x 1错解分析：分数线具有除号和括号的双重作用 ,在添分数线时 , 如果分数线前面是负号 , 那么所添各项都要变号 .正解：原式 =x2x 1x2( x1)( x 1) 1 .x 11x1x 1。

分式运算常见错误分析王保力同学们处理分式运算的常见思维误区有： ①混合运算时运算顺序容易出错；②化为同分母分式后，分子的符号容易出错；③同分母的分式相加减容易漏掉分母，与解方程的去分母相混淆； ④除式的分子和分母不颠倒位置，直接和被除式相约分； ⑤该变的符号没变或忽略符号等。

下面举例说明： 例1. 计算：x x x ÷1·错解：原式=÷=x x 1错因：上述解法是先算乘法后算除法，属于运算顺序错误。

事实上，对于不含括号的乘除混合运算，应从左往右依次计算，或将除法转化为乘法后，再依次计算。

正解：原式==x x x x ··3。

例2. （2006年·深圳市）化简：29132m mm --+=_____________。

错解：原式=+---+-233333m m m m m m ()()()()=--+-=-+-=+233333313m m m m m m m m ()()()()错因：上述解法错误的原因是忽略了“分数线具有括号的作用”。

分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略。

正解：原式=+---+-233333m m m m m m ()()()()=--+-=++-=-233333313m m m m m m m m ()()()()()例3. （2006年·温州市）计算：11212x x++-。

错解：原式=-+-++-x x x x x 111211()()()()=-+=+x x 121错因：上述解法将分式的通分与解方程的去分母相混淆。

同分母的分式相加减，分母不变，而不是消去分母。

正解：原式=-+-++-x x x x x 111211()()()()=-++-=++-=-x x x x x x x 121111111()()()()例4. （2006年·河南省）先化简，再求值：x x x x xx 113922-⎛⎝⎫⎭⎪++-·()，其中x =1005。

分式方程典型易错点及典型例题分析一、错用分式得基本性质例１化简错解:原式分析:分式得基本性质就是“分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式,分式得值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式得基本性质.正解:原式二、错在颠倒运算顺序例2计算错解:原式分析:乘除就是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误、正解:原式三、错在约分例1 当为何值时,分式有意义?［错解]原式。

由得、∴时,分式有意义、［解析］上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母得公因式,扩大了未知数得取值范围,而导致错误。

［正解］由得且。

∴当且,分式有意义、四、错在以偏概全例2 为何值时,分式有意义?［错解]当,得、∴当,原分式有意义.［解析］上述解法中只考虑得分母,没有注意整个分母,犯了以偏概全得错误。

［正解］,得,由,得.∴当且时,原分式有意义、五、错在计算去分母例3 计算、[错解]原式=。

［解析］上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算就是等值代换,不能去分母,、[正解］原式。

六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时,分式得值为零.［错解］由,得。

∴当或时,原分式得值为零。

［解析］当时,分式得分母,分式无意义,谈不上有值存在,出错得原因就是忽视了分母不能为零得条件。

［正解］由由,得.由,得且。

∴当时,原分式得值为零.典例分析类型一:分式及其基本性质ﻫ1、当x为任意实数时,下列分式一定有意义得就是()ﻫA、Ｂ、C、Ｄ.２。

若分式得值等于零,则ｘ=＿___＿__;3 ﻫ、求分式得最简公分母。

【变式１】(１)已知分式得值就是零,那么x得值就是( )A。

-1B、0 C.1D、±１ﻫ(2)当x_＿______时,分式没有意义、ﻫ【变式２】下列各式从左到右得变形正确得就是()ﻫ A、 B. C. D.类型二:分式得运算技巧(一) 通分约分４、化简分式:【变式１】顺次相加法计算:【变式2】整体通分法计算:(二)裂项或拆项或分组运算ﻫ５。

分式方程解法易错点分析一、去分母时常数漏乘公分母【例1】解方程23132--=--xx x . 错解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2，解这个方程，得x=5.错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验.正解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.二、去分母时，分子是多项式不加括号【例2】解方程011132=+--x x 错解：方程化为011)1)(1(3=+--+x x x ， 方程两边同乘以（x ＋1）（x －1），得3-x-1=0，解得x=2.所以方程的解为x=2.错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x －1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.正解：方程两边都乘以（x ＋1）（x －1），得3-（x －1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.三、方程两边同除可能为零的整式【例3】解方程323423+-=--x x x x .错解：方程两边都除以3x-2，得3141+=-x x ， 所以x+3=x-4，所以3=-4，即方程无解.错解分析：错解的原因是在没有强调（3x-2）是否等于0的条件下，方程两边同除以（3x-2），结果导致方程无解．正解：方程两边都乘以（x-4）（x+3），得（3x-2）（x+3）=（3x-2）（x-4），所以（3x-2）（x+3）－（3x-2）（x-4）=0．即（3x-2）（x+3－x ＋4）=0．所以7（3x-2）=0．解得x=32. 检验：当x=32时，原方程的左边=右边=0，所以x=32是原方程的解 四、忽视“双重”验根【例4】解方程627132+=++x x x 错解 去分母，得4x ＋1=7．程的根． 错解分析：这里求出方程的根之后，又经过检验，似乎没有问题．但只母的过程中，把方程两边都乘以最简公分母2(x ＋3)，没有将2(x ＋3)与1相乘，因而所得的方程与原方程不同解了．那么，为什么“检验”没有发现呢？这是因为这种验根方法必须以解题过程没有错误为前提，否则，即使将求得的未知数的值代入所乘的整式，整式的值不为零，也不能断定未知数的这个值是原方程的根．正确解法去分母，得4x＋2x＋6=7．说明解分式方程时要注意的是：检验未知数的值是不是原方程的根，不仅要检验是否有增根(代入公分母)，而且要代入原方程，检验原方程两边的值是否相等．。

分式错解剖析.一、忽视分数线的括号作用例1 计算: 222+--a a a 错解: 原式=1222+--a a a =2)2)(2(22--+--a a a a a =2)4(22---a a a =2422-+-a a a . 剖析:把整式-a+2化为分母为1的式子时,忽视了分数线的括号作用.正解: 原式=)2(22---a a a =1222---a a a =2)2(22---a a a =24422--+-a a a a =2462--+-a a a =2462-+--a a a . 二、分式通分与解方程中去分母相混淆例2 计算: xx x +---12132. 错解:原式=)1)(1()1(2)1)(1(3-+---+-x x x x x x =x-3-2(x-1) =x-3-2x+2=-x-1.剖析:错解在于把分式的通分与解方程中的去分母相混淆,导致分式相加减时出现“分母不要，分子相加减”的错误.正解: 原式=)1)(1()1(2)1)(1(3-+---+-x x x x x x =)1)(1(223-++--x x x x = )1)(1(1-+--x x x =11--x . 三、运算顺序混乱例3 计算: ab b a b a 32231⋅÷-. 错解:原式=1÷-b a b =b a b -. 剖析: 错误在于没有按分式混合运算的顺序进行计算.正解: 原式=a b a b b a 32321⨯⨯-=a b 32321⨯-=a b 941-=ab a 949-. 四、臆造分配律例4 计算:)(b ab a b -÷. 错解:原式=b a b a b a b ÷-÷=a a a 111-=-. 剖析:乘法对加法的分配律是a(b+c)=ab+ac,但除法没有相应的分配律,而错解凭空臆造并运用了“除法分配律”.正解:原式=aa b a a b a ab b a b -=-⨯=-÷11)1(. 五、半途而废例5 计算:mm -+-329122. 错解:原式=32)3)(3(12---+m m m =)3)(3(62)3)(3()3(212-++-=-++-m m m m m m . 剖析:分式运算的结果应化为最简分式,而错解中的分子与分母仍然有公因式(m-3),必须进行约分化简.正解: 原式=32)3)(3()3(2)3)(3(62+-=-+--=-++-m m m m m m m .。

分式运算中的常见错误
为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在，本文归纳小结几种错误原因如下，供同学们学习时参考．
一、忽视隐含条件
错解：当|x|－1＝0，即x=±1时，上述分式的值为零．
分析：由于x=1时，分母2x2－x－1=0，因此分式无意义．故正确答案为：x=－1．
二、轻易约分
由x－6=0得x＝6，∴当x=6时分式没有意义．
分析：讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．误解的原因是轻易的约掉分子、分母中的公因式（x+1），相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的允许值范围．正确答案：x＝6或x=－1．
三、忽视符号的意义
四、违背乘除运算法则
五、除法错用乘法分配律
六、去掉分母通分
错解：原式=x3－（x－1）（x2+x+1）=x3－（x3－1）＝1．
分析：本题错在通分时没有保留分母，而是消去了分母．正确答案为：1
x1七、结果不是最简分式
分析：本题错在分式化简的结果不是最简分式，应在分式2a 4(a 1)(a 2)(a 3)
----的分子分母约去相同的因式（a －2），。