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2020届高三数学12月月分析试卷一、填空题（每题5分，满分70分）1.已知全集{}1,0,2U =-，集合{1,0}A =-，则U C A =___________． 【答案】{}2 【解析】因为{}1,0A =-，所以{2}U A =ð2.若复数z 满足iz i =（i 为虚数单位），则z =______. 【答案】2 【解析】 【分析】首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可.【详解】1z ===--.2z ==.故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的化简和模长的计算，属于简单题.3.设向量()()2,6,1,a b m =-=-v v，若//a b v v ，则实数m 的值为__________．【答案】3 【解析】由向量平行的充要条件可得：261m-=-，求解关于实数m 的方程可得：3m =.4.0y -=为双曲线()22210y x b b-=>的一条渐近线，则b 的值为__________．【解析】由双曲线方程可得双曲线的渐近线满足：2220y x b-=，整理可得：y bx ±=，即：0bx y ±=，则双曲线的一条渐近线为：0bx y -=，结合题意可得：b =5.“15a =”是“直线()2120ax a y +-+=与直线()1330a x ay +++=垂直”的_________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）. 【答案】充分不必要 【解析】若两条直线垂直，则()()21310a a a a ++-=，解得：0a =或15a =，所以“15a =” 是“直线()2120ax a y +-+=与直线()1330a x ay +++=垂直”的充分不必要条件.6.函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()()2f x x ax a R =-∈，且()26f =，则a =______.【答案】5- 【解析】 【分析】由()y f x =是奇函数，()26f =得()26f -=-，然后建立方程求解即可 【详解】因为()y f x =是奇函数，()26f = 所以()()226f f -=-=-因为当0x <时，()()2f x x ax a R =-∈所以()2426f a -=+=-，解得5a =- 故答案为：5-【点睛】本题考查是函数的奇偶性，较简单.7.若圆锥底面半径为2，则其侧面积为__________． 【答案】6π 【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长即底面的周长：24l R ππ==扇形的半径为：3r ==,据此可得，侧面积为：14362S ππ=⨯⨯=.8.给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （3）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真命题的序号是___________________． 【答案】（1）（3） 【解析】逐一考查所给的命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面． 综上可得：真命题的序号是（1）（3）. 9.已知536ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值是__________．【答案】410+ 【解析】5,03632Q ，，ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合同角三角函数基本关系有：4sin 35πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，则：sin sin 33sin cos cos sin33334135252410ππααππππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=10.设数列{}n a 的首项11a =，且满足212121n n a a +-=+与2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为__________． 【答案】4082 【解析】【详解】考查数列的奇数项，结合递推关系有：()2121121n n a a +-+=+， 且112a +=，则数列{}211n a -+构成首项为2公比为2的等比数列， 令：112335471019,,,,11,111b a b a b a b a b a +++=+====+L ， 则：()1012319212204612b b b b ⨯-++++==-L ，即：135192036a a a a ++++=L ，而2462013519102046a a a a a a a a ++++=+++++=L L ， 据此可得：数列{}n a 的前20项和为4082.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 11.已知直线()()20y a x a =+> 与函数cos y x =的图像恰有四个公共点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44,D x y ,其中1234x x x x <<<,则441tan x x +=________． 【答案】2- 【解析】 【分析】因为直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,画出图像,可知符合条件时,点()44,D x y 为切点,此时4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则444cos sin 2x a x x -==+,进而求得441tan x x +的值 【详解】由题,直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,则画出图像如图所示,因为直线()()20y a x a =+>与函数cos y x =的图像恰有四个公共点,则()44,x y 是切点,即()2y a x =+与cos y x =-相切,且4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()442cos a x x +=-,所以44cos 2x a x -=+,因为()cos sin x x '-=,所以444cos sin 2x x x -=+,则4412tan x x --=,所以4412tan x x +=- 故答案为：2-【点睛】本题考查已知零点求参问题,考查导数几何意义的应用,考查数形结合思想 12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()(22:1261C x y -+-=和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为__________．【答案】17117a ≤≤【解析】原问题等价于以,A B 为圆心的圆与圆C 有两个交点， AB 中点坐标为()0,0，以,A B 为圆心的圆的半径()2212R a a =+-且圆C 的圆心为(1,26，半径为21R =， 两圆的圆心距为：1245d =+=， 结合1a >可得关于实数a 的不等式组：()()2222215215a a a a ⎧+-≤⎪⎨⎪+-≥⎩， 求解关于实数a 的不等式组可得实数a 的取值范围为17117a ≤≤+点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．13.等比数列{}n a 的首项为1，公比为2，前n 项的和为n S ，若()241log 174n m a S ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则14n m +的最小值为______. 【答案】52【解析】 【分析】先求出n a 和4m S ，代入()241log 174n m a S ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦可得410m n +=，然后将()144m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开运用基本不等式求解即可.【详解】因为等比数列{}n a 的首项为1，公比为2 所以12n n a -=，()4441122112m m mS⋅-==--因为()241log 174n m a S ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦所以()147411122244n m n m a S -+=⋅⋅=，即410m n += 因为()144441611725m n m n n m n m ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭当且仅当44m nn m=，即2m n ==时等号成立 所以14255102n m +≥=，即14n m +最小值为52故答案为：52【点睛】本题考查的知识点有：等比数列的通项公式和前n 项和公式、对数的运算及基本不等式的运用，较为综合.14.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围________.【答案】16ln 326m e +≤≤ 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性,可得02ln 6mx x ≤-≤ 对[]1,3x ∈ 恒成立,通过参变分离即得ln 2xm x≥且6ln 2xm x+≤对[]1,3x ∈ 恒成立,求得相应的最大值和最小值,从而得到m 的取值范围. 【详解】解:Q 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=()f x ∴ 为偶函数Q 对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立()f x ∴在[0,)+∞ 上单调递减,在(,0)-∞ 上单调递增由()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立 得()2ln 3(3)f mx x f --≥在[]1,3x ∈上恒成立32ln 33mx x ∴-≤--≤在[]1,3x ∈上恒成立,即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立此时ln 2x m x ≥且6ln 2xm x +≤对[]1,3x ∈ 恒成立 设ln ()x g x x =,则令1ln '()0xg x x-==,解得x e = ()g x ,'()g x 随x 的变化如下表∴ 当x e =时,max 1()g x e = 12m e∴≥设6ln ()x h x x +=,则当[]1,3x ∈时,25ln '()0xh x x--=<∴ ()h x 在[1,3] 上单调递减,即当3x = 时,min 6ln 3()(3)3h x h +==则6ln 36m +≤.综上所述, 16ln 326m e +≤≤ 故答案为:16ln 326m e +≤≤. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性在解抽象不等式得应用,考查了运用导数求最值的方法. 若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有()()12120f x f x x x -<-成立,说明()f x 在区间D 上为减函数;若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有()()12120f x f x x x ->-成立,说明()f x 在区间D 上为增函数.在解抽象不等式时,常常利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.对于含参不等式在某区间上恒成立时,常常采用参变分离的方法,通过求出分离参数后函数的最大值或者最小值,来确定参数的取值范围.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos a B A +=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为4，b =a c >，求a ，c . 【答案】（1）3B π=，（2）7,1a c ==【解析】 【分析】（1）由sin cos a B A +=得sin sin cos A B B A C +=，然后利用()sin sin C A B =+进行化简即可（2）由ABC ∆的面积为4得7ac =，然后再结合余弦定理求解即可.【详解】（1）因为sin cos a B A =所以sin sin cos A B B A C +=所以()sin sin cos cos cos A B B A A B A B B A =+=所以sin sin cos A B A B =因为sin 0A ≠，所以sin B B =，即tan B =因为()0,B π∈，所以3B π=（2）因为ABC ∆的面积为73所以173sin 24ac B =，得7ac = 因为43b =所以由余弦定理得：()222433a c ac a c ac =+-=+- 所以得8a c +=因为a c >，所以可解得7,1a c ==【点睛】本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型.16.如图，在三棱锥P ABC -中，,4,2PA PC BC AC ===．M 为BC 的中点，N 为AC 上一点，且//MN 平面,3PAB MN =．求证：（1）直线//AB 平面PMN ； （2）平面ABC ⊥平面PMN ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得//MN AB ，结合线面平行的判断定理可证得//AB 平面PMN ； (2)由题意利用线面垂直的判断定理可得AC ⊥平面PMN ，结合面面垂直的判断定理可得平面ABC ⊥平面PMN ．试题解析：（1）因为//MN 平面PAB ，MN ⊂平面ABC ， 平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以//MN AB ， 因为MN ⊂平面,PMN AB ⊄平面PMN ，所以//AB 平面PMN ；（2）因为M 为BC 的中点，//MN AB ，所以N 为AC 的中点， 因为4,2BC AC ==，所以2,1MC NC ==，由于3MN =，所以222MN NC MC +=，所以MN AC ⊥， 因为,PA PC AN CN ==，所以PN AC ⊥， 又,MN PN ⊂平面PMN ，MN PN N ⋂=， 所以AC ⊥平面PMN 因为AC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面PMN ．17.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ(弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少. 【答案】（1）见解析（2）337.5平方米 【解析】试题分析：（1）步道长为扇形周长2r r θ+，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式()2414001000224102r r r θθ⨯++≤⨯，利用基本不等式将不等式转化为关于S 的一元不等式，解得S 的范围，确定最大值为400.（2）由条件得2105r r θ+=，消θ得()110522S r r =-，由10522rθπ=-<及()2414001000224102r r r θθ⨯++≤⨯，解出45r ≥，根据二次函数最值取法得到当45r =时，S 最大337.5试题解析：解：（1）由题意，弧长AB 为r θ，扇形面积为212S r θ=， 由题意()2414001000224102r r r θθ⨯++≤⨯，即()2521200r r r θθ++≤，即2222r r r θθ+≥，所以221221200r r θθ+≤，所以22t r θ=，0t >，则2101200402t t t +≤⇒≤，所以当240r r θ==时，面积212S r θ=的最大值为400. （2）即105210522r r rθθπ+=⇒=-<，1052r r θ=-代入可得 ()215105251051200210567502r r r r r -+⨯≤⇒-+≥⇒≤或45r ≥，又()2222111051051051052222416S r r r r r r θ⎛⎫==-=-+=--+⎪⎝⎭， 当15105105221221522r r θπ≤=-≥-=>⎛⎫ ⎪⎝⎭，与2θπ<不符， ()S θ在[)45,+∞上单调，当45r =时，S 最大337.5平方米，此时13θ=.18.如图，已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点()2,0A -，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，12F F 、分别是椭圆的左、右焦点．过点A 作斜率为()0k k >的直线交椭圆E 于另一点B ，直线2BF 交椭圆E 于点C .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若12CF F ∆为等腰三角形，求点B 的坐标； （3）若1F C AB ⊥，求k 的值.【答案】（1）22143x y +=（2）833,55B ⎛ ⎝⎭（3）6k = 【解析】 试题分析：(1)由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组可得椭圆E 的标准方程：22143x y +=；(2)由题意可得点C 在x轴下方据此分类讨论有：(0,C ，联立直线BC的方程与椭圆方程可得8,55B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； (3)设直线AB的方程():2AB l y k x =+，联立直线方程与椭圆方程，可得2228612,3434k k Bk k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭利用几何关系1F C AB ⊥计算可得()281,8Ck k -- ，利用点C 在椭圆上得到关于实数k 的方程，解方程有：k =. 试题解析：（1）由题意得2222219144a a b cb⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆E 的标准方程：22143xy +=（2）∵12CF F ∆为等腰三角形，且0k >∴点C 在x 轴下方1︒ 若12F C F C =，则(0,C ；2︒ 若122F F CF =，则22CF =，∴(0,C ；3︒ 若112F C F F =，则12CF =，∴(0,C ； ∴(0,C∴直线BC 的方程)1y x =-，由)221143y x x y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴85B ⎛ ⎝⎭（3）设直线AB 的方程():2AB l y k x =+，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222341616120k x k x k +++-=∴221612234A B B k x x x k -⋅=-=+ ∴228634B k x k-+=+ ∴()212234B B ky k x k =+=+ ∴2228612,3434k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭若12k =，则∴31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴31,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵()11,0F -，∴134CF k =-，∴1F C 与AB 不垂直； ∴12k ≠，∵()21,0F ，21241,14BF CF k k k k k==--， ∴直线2BF 的方程()224:114BF k l y x k =--，直线1CF 的方程:()11:1CF l y x k=-+ 由()()2411411k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩解得2818x k y k ⎧=-⎨=-⎩ ∴()281,8C k k -- 又点C 在椭圆上得()()222818143k k --+=，即()()22241890k k -+=，即2124k = ∵0k >，∴12k =点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.已知数列{}{},n n a b 满足： *13,n n n b a a n N +=+∈.（1）若23,0n b n a a =+=，求1a 的值； （2）设1124,1,21n n n a b b a a +=+=-=，求证：数列{}n b 从第2项起成等比数列； （3）若数列{}n b 成等差数列，且1235b a a =-，试判断数列{}n a 是否成等差数列？并证明你的结论. 【答案】（1）14a =（2）见解析（3）见解析 【解析】试题分析：(1)由题意结合递推关系可得14a =；(2)由题意结合递推关系有：()()1123n n n n n b b b b b +++=+++，即*1243,n n b b n N ++=∈，结合2143b b =-，2407b =≠，可证得数列{}n b 成等比数列； (3)由1235b a a =-可得31220a al a -+=；由13n n n b a a +=+可得1122233,3n n n n n n b a a b a a ++++++=+=+，结合数列{}n b 成等差数列计算可得211n n n n a a a a +++-=-，则数列{}n a 成等差数列. 试题解析：（1）当1,2n =时，可得122331,32a a a a +=+=，又230a a +=， 从而可得14a =； （2）由1241,21a a =-=，可得112211343,77b a a b a b =+=-=-=， 所以2143b b =-； 又因为113,n n n n n n b a a a b b ++=+=+，所以()()1123n n n n n b b b b b +++=+++，即*1243,n n b b n N ++=∈，又2143b b =-，2407b =≠，所以*14,3n n b n N b +=-∈， 所以数列{}n b 成等比数列；（3）由1235b a a =-可得122335a a a a +=-，即31220a al a -+=； 由13n n n b a a +=+可得1122233,3n n n n n n b a a b a a ++++++=+=+，又因为数列{}n b 成等差数列，从而211n n n n b b b b +++-=-，即2120n n n b b b ++-+=， 从而()()()2123121232330n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++-+=+-+++=， 即()21321232n n n n n n a a a a a a +++++-+=-+ 所以()1213212320n n n n a a a a a a -++-+=-+=，故211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 成等差数列.20.已知函数()(),2xf x e exg x ax a =-=+，其中e 为自然对数的底数，a R ∈.（1）求证：()0f x ≥；（2）若存在0x R ∈，使()()00f x g x =，求a 的取值范围； （3）若对任意的()()(),1,x f x g x ∈-∞-≥恒成立，求a 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）2e a <-或 0a ≥（3）e 2-. 【解析】 试题分析：(1)由题意可得函数的最小值()10f =，所以()0f x ≥.(2)原问题等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围.分类讨论：①当0a ≥时，()F x 有零点.②当02e a -≤<时，()F x 无零点.③当2e a <-时，()F x 有零点.则a 的取值范围是2ea <-或0a ≥. (3)原问题即21x e ex a x -≥+.构造函数()()121x e ex G x x x -=<-+，其值域为A ，且()2e G x <-.结合导函数可得()G x 在(),1-∞-上为减函数，所以()()11G x G e e >-=--，. 记区间1,2e e B e ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，构造新函数()(),H x G x m m B =-∈，结合题意讨论可得a 的最小值为2e-.试题解析：（1）令()0xf x e e ='-=，得1x =，且当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得最小值. 因()10f =，所以()0f x ≥.（2）设()2xF x e ex ax a =---，题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围.①当0a ≥时，由()()130,10F x a F e e a -=-≤-=++>，所以()F x 有零点.②当02ea -≤<时， 若0x ≤，由20e a +≥，得()()20xF x e e a x a =-+->； 若0x >，由（1）知，()()210F x a x =-+>，所以()F x 无零点.③当2e a <-时，()010F a =->，又存在0102ax e a-=<+，()()00120F x e a x a <-+-=，所以()F x 有零点.综上，a 的取值范围是2ea <-或0a ≥. （3）由题意，()21xa x e ex +≤-，因为1x <-，所以21x e exa x -≥+.设()()121x e exG x x x -=<-+，其值域为A ，由于()20221221x xee e e ex e G x x x +-⎛⎫--=+=< ⎪++⎝⎭，所以()2eG x <-. 又()()22021x x xe e eG x x --=<+'，所以()G x 在(),1-∞-上为减函数，所以()()11G x G e e>-=--，.记区间1,2e e B e⎛⎫---= ⎪⎝⎭，则A B ⊆.① 设函数()(),H x G x m m B =-∈， 一方面，()110H e m e-=--<； 另一方面，()()12121xH x e ex m x x ⎡⎤=---⎣⎦+ ()()112121x e e m x m x ⎡⎤=--++-⎣⎦+， 存在512m e<-+，()5114010212xH e m m e m e⎛⎫⎡⎤=⋅--+> ⎪⎣⎦+⎝⎭++ 所以15,12x m e ⎛⎫∃∈-⎪+⎝⎭，使()10H x =，即()1G x m =，所以B A ⊆.②由①，②知，A B =， 从而2e a ≥-，即a 的最小值为2e -.。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合A＝{﹣2，0，1，2}，B＝{x|x﹣l＜0}，则A∩B＝．2．设z＝3+2i，i为虚数单位，则z2＝．3．为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从4名（含甲、乙两人）随机选2名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为．6．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为π，且它的图象过点（−π12，−√2），则φ的值为．7．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是双曲线x22p −y2p=1的一个焦点，则p＝．8．已知α为锐角，若2sin2α=sin(π2+2α)+1，则cosα＝．9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2m﹣1＝2019，a m＝3，其中m∈N*，则m＝．10．已知正实数x，y满足2x•4y＝（2x）y，则x+y的最小值为．11．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，其棱长为1，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的表面积为．12．由圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0外一点P （4，6）引直线l 交圆C 于A 、B 两点，则线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为 ．13．△ABC 中，BC ＝2，点O ，G 分别为△ABC 的外心、重心，若AO →⋅AG →=AB →⋅AC →，则△ABC 面积的最大值为 ．14．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)={√1−x 2，0≤x ≤1lnx x +12，x ＞1，若关于x的方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知向量m →=（cos B ，cos C ），n →=（4a ﹣b ，c ），且m →∥n →． （1）求cos C 的值；（2）若c =√3，△ABC 的面积S =√154，求a ，b 的值．16．（14分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1=√2AB ，D 是AB 的中点 （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）若点P 在线段BB 1上，且BP =14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD ．17．（14分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB＝90°），如图1所示，其中AE+EB＝30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．（16分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√22，点(1，√62)在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．①求证：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．19．（16分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2）①比较f（x1）+f（x2）与f（2）的大小；②若函数g（x）＝|f（x）|﹣|f（x1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．20．（16分）数列{a n}的数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，若数列{a n}满足：对任意正整数n，k，当n＞k时，S n+k+S n﹣k＝2（S n+S k）总成立，则称数列{a n}是“D（k）数列”（1）若{a n }是公比为2的等比数列，试判断{a n }是否为“D （2）”为数列？ （2）若{a n }是公差为d 的等差数列，且是“D （3）数列”，求实数d 的值； （3）若数列{a n }既是“D （2）”，又是“D （3）”，求证：数列{a n }为等差数列． 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A =[33c d ]，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1→=[11]，属于特征值1的一个特征向量为α2→=[3−2]，求矩阵 A ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin （π3−θ）=√32，椭圆C 的参数方程为{x =2cost y =√3sint （t 为参数）．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a +b +c ＝1，证明：（a +1）2+（b +1）2+(c +1)2≥163．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB =√2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ． （1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角A ﹣DF ﹣B 的大小．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点p （x 0，y 0）在曲线y ＝x 2（x ＞0）上．已知A （0，﹣1），P n （x 0n ，y 0n ），n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ． （1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{﹣2，0，1，2}，B ＝{x |x ﹣l ＜0}，则A ∩B ＝ {﹣2，0} ． 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【解答】解：∵集合A ＝{﹣2，0，1，2}， B ＝{x |x ﹣l ＜0}＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝{﹣2，0}． 故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设z ＝3+2i ，i 为虚数单位，则z 2＝ 5+12i ． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：z 2＝9﹣4+12i ＝5+12i ． 故答案为：5+12i ．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从4名（含甲、乙两人）随机选2名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是56．【分析】基本事件总数n =C 42=6，甲、乙两人中，至少有一人被选中包含的基本事件个数m =C 21C 21+C 22=5，由此能求出甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率．【解答】解：从4名（含甲、乙两人）随机选2名，基本事件总数n =C 42=6，甲、乙两人中，至少有一人被选中包含的基本事件个数：m =C 21C 21+C 22=5，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率p =m n =56． 故答案为：56．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．运行如图所示的伪代码，其结果为 17 ．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+1+3+5+7的值，所以S＝1+1+3+5+7＝17．故答案为：17．【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出循环得到的S，I的值是解题的关键，是基础题目．5．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为91.4．【分析】根据计分规则去掉一个最高分和一个最低分，计算余下5个数字的平均数．【解答】解：去掉一个最高分94和一个最低分86后，则该作品的平均分为：89+92+93+91+925=91.4．故答案是：91.4．【点评】本题主要考查了茎叶图以及平均数的计算问题，是基础题．6．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为π，且它的图象过点（−π12，−√2），则φ的值为−π12．【分析】根据最小正周期为π，利用周期公式即可求出ω的值，利用图象经过点（−π12，−√2），结合其范围即可求出φ的值．【解答】解：依题意可得：2πω=π，解得：ω＝2，…（2分）又图象过点（−π12，−√2）， 故2sin[2×（−π12）+φ]=−√2，解得：sin （φ−π6）=−√22，…（3分） 因为|φ|＜π2， 所以φ=−π12．… 故答案为：−π12． 【点评】本题主要考查了由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数周期公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题． 7．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 22p−y 2p=1的一个焦点，则p ＝ 12 ．【分析】利用抛物线与双曲线的焦点相同，列出关系式，求解即可． 【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 22p−y 2p=1的一个焦点，可得p2=√2p +p ，解得p ＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 8．已知α为锐角，若2sin2α=sin(π2+2α)+1，则cos α＝2√55．【分析】利用二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合α为锐角，即可求解cos α的值．【解答】解：∵2sin2α=sin(π2+2α)+1， ∴4sin αcos α＝cos2α+1＝2cos 2α， ∵α为锐角，cos α＞0， ∴2sin α＝cos α，可得tan α=12， ∴cos α=√11+tan 2α=√11+14=2√55． 故答案为：2√55． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2m ﹣1＝2019，a m ＝3，其中m ∈N *，则m ＝ 337 ． 【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出． 【解答】解：S 2m ﹣1＝2019＝（2m ﹣1）a m ，∴2m ﹣1=20193=673， 解得m ＝337． 故答案为：337．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知正实数x ，y 满足2x •4y ＝（2x ）y ，则x +y 的最小值为 3+2√2 ． 【分析】由题意得x +2y ＝xy ，则2x +1y=1，再利用“1”的代换即可得出．【解答】解：∵2x •4y ＝（2x ）y ， ∴x +2y ＝xy ， ∴2x +1y=1，∴x +y =(x +y)(2x +1y )=2+1+2yx +xy ≥3+2√2， 当且仅当2y x=xy即x =2+√2，y =√2+1时等号成立，故答案为：3+2√2．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查“1”的代换，属于基础题．11．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，其棱长为1，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的表面积为 18+12√2 ．【分析】由图可知：在Rt △ABC 中，AB ＝AC =√22．可得正方体的棱长a ＝AD ＝1+2×AC ，即可得出结论．【解答】解：由图可知：在Rt △ABC 中，AB ＝AC =√22． 正方体的棱长a ＝AD ＝1+2×√22=1+√2．∴此正方体的表面积＝6×(1+√2)2=18+12√2． 故答案为：18+12√2．【点评】本题考查了正方体的性质及其表面积、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．由圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0外一点P （4，6）引直线l 交圆C 于A 、B 两点，则线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为32．【分析】设M （x ，y ），求出圆心C 的坐标，利用MP →⋅CM →=0，即可得到点M 的轨迹方程；然后求解线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0，圆C 的方程可化为：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4， 所以圆心C （1，2），半径为2，设M （x ，y ），则CM →=（x ﹣1，y ﹣2），MP →=（4﹣x ，6﹣y ）， 则由条件知，MP →⋅CM →=0，故（x ﹣1）（4﹣x ）+（y ﹣2）（6﹣y ）＝0， 即（x −52）2+（y ﹣4）2=254． 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是（x −52）2+（y ﹣4）2=254；线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为：32．故答案为：32．【点评】本题主要考查了动点轨迹，以及直线与圆的位置关系，是中档题．13．△ABC 中，BC ＝2，点O ，G 分别为△ABC 的外心、重心，若AO →⋅AG →=AB →⋅AC →，则△ABC 面积的最大值为 √2 ．【分析】根据重心和外心满足的几何性质，将AO →⋅AG →=AB →⋅AC →进行转化，找到点A 满足的等量关系，然后求三角形ABC 的面积的最值．【解答】解：因为O ，G 是三角形ABC 的外心和重心，设M 为BC 的中点，∴MB →=−MC →． ∴AO →⋅AC →=12AC →2，AO →⋅AB →=12AB →2.AG →=23AM →=23×12(AB →+AC →)． ∴AO →⋅AG →=AO →⋅13(AB →+AC →)=13AO →⋅AB →+13AO →⋅AC →=16AB →2+16AC →2=AB →⋅AC →①，∵16(AB →2+AC →2)=16(AB →+AC →)2−13AB →⋅AC →=23AM →2−13AB →⋅AC →，将上式代入①式得AM →2=2AB →⋅AC →=2(MB →−MA →)⋅(MC →−MA →)=−2(MB →2−MA →2)， ∴MA →2=2MB →2=2，所以，A 点在以BC 的中点M 为圆心，半径为√2的圆上． 故当AM ⊥BC 时，△ABC 面积的最大为12×BC ×√2=12×2×√2=√2．故答案为：√2．【点评】本题考查平面向量的运算及应用，利用化归思想将题目中涉及到的向量转化为基底向量来表示，是本题的关键．同时考查学生利用转化思想来解题的能力和运算能力．有一定难度．14．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)={√1−x 2，0≤x ≤1lnx x +12，x ＞1，若关于x的方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 （1e+16，23）∪{1e+56} ．【分析】利用导数结合函数f （x ）的奇偶性，画出函数f （x ）在R 上的大致图象，解方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0得：f （x ）＝a +13 或f （x ）＝a −13，根据函数f （x ）的图象可知有3种情况，分别求出a 的取值范围，再取并集即可． 【解答】解：当0≤x ≤1时，f （x ）=√1−x 2，单调递减； 当x ＞1时，f （x ）=lnx x +12，则f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0得，x ＝e ，所以当x ∈（1，e ）时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 又f （e ）=1e +12＜1，且f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以函数f （x ）的大致图象，如图所示： 解方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0得 ：f （x ）＝a +13 或f （x ）＝a −13，因为关于x 的方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0 有4个不同的实数根，根据函数f （x ）的图象可知有3种情况：{1e +12＜a +13＜10≤a −13≤12或{a +13＞1a −13=1e +12或{a +13=1e +12a −13＜0， 解得：1e +16＜a ＜23或a =1e +56，故答案为：（1e+16，23）∪{1e+56}．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及利用导数研究函数的单调性，考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m→=（cos B，cos C），n→=（4a﹣b，c），且m→∥n→．（1）求cos C的值；（2）若c=√3，△ABC的面积S=√154，求a，b的值．【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sin C cos B＝（4sin A﹣sin B）cos C，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sin A＝4sin A cos C，结合sin A＞0，即可解得cos C的值．（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用三角形面积公式S= 12absinC=√154可解得ab＝2，结合余弦定理可求a2+b2＝4，从而解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵m∥n，∴c cos B＝（4a﹣b）cos C，…（2分）由正弦定理，得sin C cos B＝（4sin A﹣sin B）cos C，化简，得sin（B+C）＝4sin A cos C﹒…（4分）∵A+B+C＝π，∴sin A＝sin（B+C）﹒又∵A∈（0，π），∵sin A＞0，∴cosC=14．…（6分）（2）∵C∈（0，π），cosC=1 4，∴sinC=√1−cos2C=√1−116=√154．∵S=12absinC=√154，∴ab＝2﹒①…（9分）∵c=√3，由余弦定理得3=a2+b2−12 ab，∴a2+b2＝4，②…（12分）由①②，得a4﹣4a2+4＝0，从而a2＝2，a=±√2（舍负），∴b=√2，∴a=b=√2．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的应用，三角函数和的变换的应用，考查了化归和转化思想，属于中档题．16．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，AA1=√2AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=14BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB 的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）法一：设AB ＝x ，则证明△ABP ∽△ADA 1，可得AP ⊥A 1D ，又由线面垂直的性质可得CD ⊥AP ，从而可证AP ⊥平面A 1CD ；法二：由题意，取A 1B 1 的中点O ，连接OC 1，OD ，分别以OC 1，OA 1，OD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设OA 1＝a ，OC 1＝b ，由题意可得各点坐标，可求A 1C →=（b ，﹣a ，2√2a ），A 1D →=（0．﹣a ，2√2a ），AP →=（0，﹣2a ，−√2a2），由AP →•A 1C →=0，AP →•A 1D →=0，即可证明AP ⊥平面A 1CD ．【解答】证明：（1）如图，连接AC 1，设与CA 1 交于O 点，连接OD ∴直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，O 为AC 1 的中点， ∵D 是AB 的中点， ∴△ABC 1中，OD ∥BC 1， 又∵OD ⊂平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD ．（2）法一：由题意，设AB ＝x ，则BP =√24x ，AD =12x ，A 1A =√2x ，由于BPAD=AB AA 1=√22， ∴△ABP ∽△ADA 1，可得∠BAP ＝∠AA 1D ， ∵∠DA 1A +∠ADA 1＝90°，可得：AP ⊥A 1D ， 又∵CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，可得CD ⊥平面ABA 1B 1， ∴CD ⊥AP ， ∴AP ⊥平面A 1CD ．法二：由题意，取A 1B 1 的中点O ，连接OC 1，OD ，分别以OC 1， OA 1，OD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设OA 1＝a ，OC 1＝b ， 则：由题意可得各点坐标为：A 1（0，a ，0），C （b ，0，2√2a ）， D （0，0，2√2a ），P （0，﹣a ，3√2a2），A （0，a ，2√2a ）， 可得：A 1C →=（b ，﹣a ，2√2a ），A 1D →=（0．﹣a ，2√2a ）， AP →=（0，﹣2a ，−√2a2），所以：由AP →•A 1C →=0，可得：AP ⊥A 1C ，由AP →•A 1D →=0， 可得：AP ⊥A 1D ，又：A1C∩A1D＝A1，所以：AP⊥平面A1CD【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．17．（14分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB＝90°），如图1所示，其中AE+EB＝30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S 2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S 1，S 2， 方案①，设AE ＝x ，则S 1=12x （30﹣x ）≤12[x+(30−x)2]2=2252，当且仅当x ＝15时，取等号，方案②，设∠BAE ＝θ，则S 2＝100sin θ（1+cos θ），θ∈（0，π2），由S 2′＝100（2cos 2θ+cos θ﹣1）＝0得cos θ=12（cos θ＝﹣1舍去）， ∵θ∈（0，π2），∴θ=π3，当S 2′＞0，解得0＜x ＜π3，函数单调递增， 当S 2′＜0，解得π3＜x ＜π2，函数单调递减，∴当θ=π3时，（S 2）max ＝75√3， ∵2252＜75√3，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE =π3．【点评】本题考查了基本不等式和导数的基本应用，关键是求导，属于中档题．18．（16分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点(1，√62)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ①求证：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点在椭圆上，满足椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）①设直线PQ 的斜率为k ，则其方程设为y ＝kx （k ＞0），联立椭圆方程，求得P ，Q ，E 的坐标，求得直线QG 的方程，联立椭圆方程可得G 的坐标，进而得到PG 的斜率，结合两直线垂直的条件即可得证；②由①可得|PQ |，|PG |，由三角形的面积公式和换元法、对勾函数的单调性，计算可得所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得e =c a =√22，1a +32b=1， 又a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝c =√2，则椭圆的方程为x 24+y 22=1；（2）①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程设为y ＝kx （k ＞0），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4， 可得x ＝±√1+2k 2，记u =2√1+2k ，则P （u ，uk ），Q （﹣u ，﹣uk ），E （u ，0），于是直线QG 的斜率为12k ，方程为y =k2（x ﹣u ），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+k 2）x 2﹣2uk 2x +k 2u 2﹣8＝0，①， 设G （x 0，y 0），则﹣u 和x 0是方程①的解，故x 0=u(2+3k 2)2+k2，由此可得y 0=uk22+k2，从而PG 的斜率为uk 22+k 2−uk u(2+3k 2)2+k 2−u =−1k，所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①可得|PQ |＝2u √1+k 2，|PG |=2uk √1+k 22+k2，所以△PQG 的面积为S =12|PQ |•|PG |=8k(1+k 2)(1+2k 2)(2+k 2)=8(k+1k)1+2(k+1k)2， 设t ＝k +1k ，由k ＞0，可得t ≥2，当且仅当k ＝1时取得等号． 由S =8t 1+2t 2=82t+1t在[2，+∞）递减，可得t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，且为169，因此△PQG 的面积的最大值为169．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查两直线垂直的条件和三角形的面积公式，以及对勾函数的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题．19．（16分）设函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+ax （a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2） ①比较f （x 1）+f （x 2）与f （2）的大小；②若函数g （x ）＝|f （x ）|﹣|f （x 1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．【分析】（1）f ′（x ）＝3x 2﹣6x +a ＝3（x ﹣1）2+a ﹣3．对a 分类讨论即可得出单调性．（2）因为函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），由（1）可得：a ＜3．a ＝﹣3x 12+6x 1，a ＝﹣3x 22+6x 2．且x 1＝1−√3−a 3，x 2＝1+√3−a 3．x 1+x 2＝2，x 1x 2=13a ，可得0＜x 2＜2.0＜a ＜3．①函数f （x ）在[0，x 1]，[x 2，2]上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减．可得f （x 1）＞f （0）＝0，f （x 2）＜f （2）＝2a ﹣4．由f （x 1）+f （x 2）＝（x 1+x 2）[(x 1+x 2)2−3x 1x 2]﹣3[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+a （x 1+x 2），代入即可得出．大小关系．②函数g （x ）＝|f （x ）|﹣|f （x 1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点，可得y ＝|f （x ）|在区间[0，2]上只有唯一的最大值|f （x 1）|＝f （x 1）．故由{f(x 2)≥0f(x 1)＞f(2)，（由①知不成立，舍去）．或{f(x 2)＜0f(x 1)＞f(2)f(x 1)＞−f(x 2)，即{f(x 2)＜02a −4＞0．即可得出．【解答】解：（1）f ′（x ）＝3x 2﹣6x +a ＝3（x ﹣1）2+a ﹣3． a ≥3时，f ′（x ）≥0，∴函数f （x ）的单调增区间为R ，无减区间． a ＜3时，令f ′（x ）＞0，解得x ＜1−√3−a3，或x ＞1+√3−a3． ∴函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1−√3−a 3），（1+√3−a3，+∞）；函数f （x ）的单调减区间为（1−√3−a3，1+√3−a3）．综上可得：a ≥3时，函数f （x ）的单调增区间为R ，无减区间．a ＜3时，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1−√3−a3），（1+√3−a3，+∞）；函数f （x ）的单调减区间为（1−√3−a 3，1+√3−a3）． （2）因为函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），由（1）可得：a ＜3．a ＝﹣3x 12+6x 1，a ＝﹣3x 22+6x 2．且x 1＝1−√3−a 3，x 2＝1+√3−a 3．x 1+x 2＝2，x 1x 2=13a ，可得0＜x 2＜2．∴0＜a ＜3．①∵函数f （x ）在[0，x 1]，[x 2，2]上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减．∴f （x 1）＞f （0）＝0，f （x 2）＜f （2）＝2a ﹣4．由f （x 1）+f （x 2）=x 13−3x 12+ax 1+x 23−3x 22+ax 2＝（x 1+x 2）[(x 1+x 2)2−3x 1x 2]﹣3[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+a （x 1+x 2）＝2（4﹣3a ）﹣3（4﹣2a ）+2a ＝2a ﹣4＝f （2） ．即f （x 1）+f （x 2）＝f （2）．②函数g （x ）＝|f （x ）|﹣|f （x 1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点， ∴y ＝|f （x ）|在区间[0，2]上只有唯一的最大值|f （x 1）|＝f （x 1）．故由{f(x 2)≥0f(x 1)＞f(2)，（由①知不成立，舍去）．或{f(x 2)＜0f(x 1)＞f(2)f(x 1)＞−f(x 2)，即{f(x 2)＜02a −4＞0．由f （x 2）＝﹣2x 23+3x 22＜0，解得32＜x 2＜2，代入a ＝﹣3x 22+6x 2．得0＜a ＜94．由2a ﹣4＞0，解得a ＞2．∴2＜a ＜94．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）数列{a n }的数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，若数列{a n }满足：对任意正整数n ，k ，当n ＞k 时，S n +k +S n ﹣k ＝2（S n +S k ）总成立，则称数列{a n }是“D （k ）数列” （1）若{a n }是公比为2的等比数列，试判断{a n }是否为“D （2）”为数列？ （2）若{a n }是公差为d 的等差数列，且是“D （3）数列”，求实数d 的值； （3）若数列{a n }既是“D （2）”，又是“D （3）”，求证：数列{a n }为等差数列． 【分析】（1）求出通项公式，把K ＝2代入，然后举反例即可判断；（2）利用S n +3﹣S n ＝a n +3+a n +2+a n +1，S n ﹣S n ﹣2＝a n +a n ﹣1+a n ﹣2可得一个递推公式，又{a n }是公差为d 的等差数列，从而求出d ；（3）反复利用S n 之间的递推公式，求出a n 关系，从而得到证明． 【解答】解：（1）∵a 1＝1，q ＝2，∴S n =2n −1．假设{a n }是D （2）数列，则当n ＞2时，有S n +2+S n ﹣2＝2（S n +S 2）成立． 但当n ＝3时，S 5+S 1＝32，2（S 3+S 2）＝20，所以假设不成立， 于是，{a n }不是D （2）数列．（2）若{a n }是公差为d 的等差数列，又a 1＝1，则a n ＝1+（n ﹣1）d ， 若{a n }是“D （3）数列“，则∀n ＞3，S n +3+S n ﹣3＝2（S n +S 3）， 即a n +3+a n +2+a n +1﹣a n ﹣a n ﹣1﹣a n ﹣2＝2S 3， 所以9d ＝2（2+3d ），即d ＝2．（3）数列{a n }既是“D （2）”，又是“D （3）”， 则{∀n ＞2，S n+2+S n−2=2(S n +S 2)①∀n ＞3，S n+3+S n−3=2(S n +S 2)②，由②﹣①得，∀n ＞3，a n +3﹣a n ﹣2＝2a 3， 把n 变为n +1可得：∀n ＞3，S n +3+S n ﹣1＝2（S n +1+S 2）③ ∀n ＞4，S n +4+S n ﹣2＝2（S n +1+S 3）④ 由④﹣③得，∀n ＞4，a n +4﹣a n ﹣1＝2a 4． 又③﹣①得，∀n ＞3，a n +3+a n ﹣1＝2a n +1， 由④﹣②得，∀n ＞4，a n +4+a n ﹣2＝2a n +1，所以，a n ﹣1，a n +1，a n +3成等差数列，设公差为d 1；a n ﹣2，a n +1，a n +4成等差数列，设公差为d 2．因此a n +3＝a n +1+d 1，a n +4＝a n +1+d 2，所以a n +4﹣a n +3＝d 2﹣d 1＝a n ﹣1﹣a n ﹣2，对n ＞3恒成立． 即当n ≥2时，{a n }成等差数列，设公差为d ，由（1）和（2）中，分别取n ＝3，n ＝4得：{2a 2−4d =−24a 2−7d =−2，解得a 2＝3，d ＝2，又因为a 1＝1，所以{a n }为等差数列，首项a 1＝1，公差为2．【点评】本题考查了数列新定义问题，其本质还是等差等比数列判断与性质应用，考查了学生的逻辑推理以及转化和运算能力，属于较难问题．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A =[33c d ]，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1→=[11]，属于特征值1的一个特征向量为α2→=[3−2]，求矩阵 A ．【分析】根据特征值的定义可知A α＝λα，利用待定系数法建立四个等式关系，解二元一次方程组即可．【解答】解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为 α1=[11]可得 [33cd ] [11]=6 [11]，即 {3+3=6c +d =6；（4分）由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为 α2=[3−2]，可得[33cd ] [3−2]=[3−2]，即 {3×3−3×2=33c −2d =−2，（6分）解得 {c =2d =4，即矩阵 A =[3324]．（10分） 【点评】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin （π3−θ）=√32，椭圆C 的参数方程为{x =2costy =√3sint（t 为参数）．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【分析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出交点的坐标，进一步求出弦长． 【解答】解：直线l 的极坐标方程为ρsin （π3−θ）=√32，转换为直角坐标方程为y =√3x −√3．椭圆C 的参数方程为{x =2costy =√3sint （t 为参数）．转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1，进一步联立方程组{y =√3x −√3x 24+y 23=1，整理得x 24+(x −1)2=1，解得x 1=0，x 2=85， 所以A （0，−√3），B （85，3√35）， 所以|AB |=(0−85)2+(−√3−335)2=165．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a +b +c ＝1，证明：（a +1）2+（b +1）2+(c +1)2≥163． 【分析】利用柯西不等式，即可证明【解答】证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2]≥（a +1+b +1+c +1）2，∵a +b +c ＝1，∴（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥163，当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号， 问题得以证明【点评】本题考查了不等式的证明，属于基础题【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB =√2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ． （1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角A ﹣DF ﹣B 的大小．【分析】（1）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DF 与BE 所成角的余弦值．（2）求出平面ADF 的法向量和设平面BDF 的法向量，利用向量法能求出二面角A ﹣DF ﹣B 的大小．【解答】解：（1）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D （√2，0，0），F （√2，√2，1），E （0，0，1），B （0，√2，0），C （0，0，0）， 则DF →=（0，√2，1），BE →=（0，−√2，1），∴cos ＜DF →，BE →＞=−13×3=−13，∴异面直线DF 与BE 所成角的余弦值为13． （2）平面ADF 的法向量m →=CD →=(√2，0，0)， 设平面BDF 的法向量n →=（x ，y ，z ），由BF →=（√2，0，1），DF →=（0，√2，1），得：{n →⋅BF →=√2x +z =0n →⋅DF →=√2y +z =0，取x ＝1，得n →=（1，1，−√2）， 设二面角A ﹣DF ﹣B 的大小为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√24×2=12，θ=π3，∴二面角A ﹣DF ﹣B 的大小为π3．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点p （x 0，y 0）在曲线y ＝x 2（x ＞0）上．已知A （0，﹣1），P n （x 0n ，y 0n ），n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ． （1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得y 0+1x 0=x 02+1x 0=2，解方程可得P 1的坐标；（2）设k 1＝2p （p ∈N *），运用直线 的斜率公式，求得x 0，再求k n ，运用二项式定理，讨论n 为偶数或奇数，即可得证． 【解答】解：（1）由k 1＝2，可得y 0+1x 0=x 02+1x 0=2，解得x 0＝1，y 0＝1，则P 1（1，1）：（2）证明：设k 1＝2p （p ∈N *），即y 0+1x 0=x 02+1x 0=2p ，解得x 0＝p ±√p 2−1， 由y 0＝x 02，可得k n =y 0n +1x 0n=x 02n +1x 0n =x 0n+1x 0n ， 当x 0＝p 2−1时，k n ＝（p 2−1）n 1√n＝（p +√p 2−1）n +（p −√p 2−1）n ；同理当x 0＝p −√p 2−1时，k n ＝（p +√p 2−1）n +（p −√p 2−1）n ．①当n ＝2m （m ∈N *），k n ＝2∑ m k=0C n 2k pn ﹣2k（p 2﹣1）k ，即有k n 为偶数； ②当n ＝2m +1（m ∈N *），k n ＝2∑ m k=0C n 2k pn ﹣2k（p 2﹣1）k ，即有k n 为偶数．综上可得，k n 为偶数．【点评】本题考查二项式定理的运用，直线的斜率公式的运用，以及点满足抛物线的方程，考查分类讨论和化简整理的运算能力，属于难题．。
苏州市部分学校2020届高三（上）月考（一）数学试卷一、填空题（每题5分，潢分70分，将谷案填在谷题纸上）1．设集合A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{0，1，2}，则A ∪B ＝ ．2．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b ﹣1”的否命题为 ．3．已知角α的终边过点P （﹣8m ，﹣6sin30°），且cosα＝﹣45，则m 的值为 ．4．函数y A ，值域为B ，则A ∩B ＝ ．5．设函数f （x ）＝，则f （﹣2）+f （log 212）＝ ． 6．若命题“存在x ∈R ，ax 2+4x +a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是 ．7．已知sin （x ＋6π）＝14，则sin （56π－x ）＋cos （x －3π）＝ ． 8．已知直线y ＝a 与函数f （x ）＝3x 及g （x ）＝2•3x 的图象分别交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为 ．9．函数f （x ）＝2log )x 的最小值为 ．10．设函数'()f x 是奇函数f （x ）的导函数，f （1）＝0，当x ＞0时，x '()f x ﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 ．11．若sinβ＝3sin （2α﹣β），则2tan （α﹣β）+tanα的值为 ．12．已知函数f （x ）＝x 3+x +1，若对任意的x ，都有f （x 2+a ）+f （ax ）＞2，则实数a 的取值范围是 ．13．设二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）的导函数为'()f x ．对任意x ∈R ，不等式 f （x ）≥'()f x 恒成立，则222b ac +的最大值为 ． 14．设函数f （x ）＝e x（2x ﹣1）﹣ax +a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）＜0，则a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共10小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知命题p ：函数y ＝（a ﹣1）x 在R 上单调递增；命题q ：不等式x +|x ﹣3a |＞1的解集为R ，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．16．已知函数()4sin cos()3f x x x π=+（1）将f （x ）化简为f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）的形式，并求f （x ）最小正周期；（2）求f （x ）在区间［－4π，6π］上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．17．已知二次函数f （x ）＝mx 2﹣2x ﹣3，关于实数x 的不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，n ）（1）当a ＞0时，解关于x 的不等式：ax 2+n +1＞（m +1）x +2ax ；（2）是否存在实数a ∈（0，1），使得关于x 的函数y ＝f （a x ）﹣3ax +1（x ∈[1，2]）的最小值为﹣5？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．18．已知f （x ）为R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝ln （x +2）．（Ⅰ）当x ＜0时，求f （x ）的解析式；（Ⅱ）当m ∈R 时，试比较f （m ﹣1）与f （3﹣m ）的大小；（Ⅲ）求最小的整数m （m ≥﹣2），使得存在实数t ，对任意的x ∈[m ，10]，都有f （x +t ）≤2ln |x +3|．19．如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ∈（0，π）．（1）当θ＝23π时，求点P 距地面的高度PQ ； （2）试确定θ的值，使得∠MPN 取得最大值．20．已知函数f （x ）＝e x，g （x ）＝x ﹣m ，m ∈R ．（1）若曲线y ＝f （x ）与直线y ＝g （x ）相切，求实数m 的值；（2）记h （x ）＝f （x ）•g （x ），求h （x ）在[0，1]上的最大值；（3）当m ＝0时，试比较(2)f x e 与g （x ）的大小．21．在平面直角坐标系xOy 中，设点P （x ，5）在矩阵M ＝对应的变换下得到点Q（y ﹣2，y ），求．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：（θ为参数，θ∈R ），直线l ：（t 为参数，t ∈R ），求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值．23．（10分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交于BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝（Ⅰ）证明：D ′H ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B ﹣D ′A ﹣C 的正弦值．24．设集合S ＝{1，2，3，…，n }（n ∈N *，n ≥2），A ，B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对（A ，B ）的个数为P n ．（1）求P 2，P 3的值；（2）求P n 的表达式．参考答案一、填空题（每题5分，潢分70分，将谷案填在谷题纸上）1．{﹣1，0，1，2}；2．若a≤b，则2a≤2b﹣1；3．12；4．[0，2]；5．9；6．（2，+∞）；7．12；8．log32；9．－14；10．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；11．0；12．0＜a＜4；1314．[32e，1）；二、解答题（本大题共10小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）。
江苏省苏州市第二十七中学2020年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. (05年全国卷Ⅱ理)函数的反函数是（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：B2. 已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B由得，又，，则，，所以有，即，从而解得，又，所以，故选.3. 平面向量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=( )A．B．C．D．2参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据已知条件可求出，，又，从而能求出=．解：由得；所以根据已知条件可得：=．故选A．【点评】考查根据向量坐标求向量长度，数量积的计算公式，以及求向量长度的方法：．4. 设分别是椭圆的左右焦点,若在其右准线上存在点,使为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C5. 已知P为双曲线C：＝1上的点，点M满足| |＝1，且·＝0，则当取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为( )A. B. C．4 D．5参考答案：B6. 复数= （）A．21 B．-21 C．2 D．-2参考答案：A试题分析：，选．考点：复数的四则运算．7. （5分）（2015?陕西校级二模）已知=（cos40°，sin40°），=（cos80°，﹣sin80°），则?=（）A． 1 B． C．﹣ D．参考答案：C【考点】：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由平面向量的数量积公式，可得?=cos40°?cos80°﹣sin40°?sin80°，再由两角和的余弦公式，可得答案．解：∵=（cos40°，sin40°），=（cos80°，﹣sin80°），∴?=cos40°?cos80°﹣sin40°?sin80°=cos（40°+80°）=cos120°=﹣，故选：C【点评】：本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，平面向量的数量积公式，难度不大，属于基础题．8. 设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为（）参考答案：B9. 已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l 垂直于两底AB，CD”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”，又AD与BC相交．∴l⊥平面ABCD?l垂直于两底AB，CD，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”，又AD与BC相交．∴l⊥平面ABCD?l垂直于两底AB，CD，反之不成立．∴“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，CD”的充分不必要条件．故选：A．10. 高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为( A)36 (B)24 (C)18(D)12参考答案：【知识点】排列与组合；计数原理. J2 J1A解析：第一节从除甲、乙、丙以外的三人中任选一人上课，由3种方法；第二、三节从除上第一节课的教师和丙教师外的四名教师中，任选两名分别上第二、三节课，由种方法. 根据分步计数原理得不同的安排方案种数为种. 故选 A.【思路点拨】完成把六名教师中安排4人各上一节课这个事件，需分两步：第一步，安排上第一节课的教师；第二步，安排上第二、三节课的教师，(第四节丙教师上).求得完成每步方法数后，由分步计数原理得结论.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设a+b=2，b＞0，当+取得最小值时，a= ．参考答案：﹣2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意得+=+，（a＜2）；从而构造函数f（a）=+，（a＜2），从而作函数的图象辅助，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）=﹣=，从而确定函数的单调性及最值；同理确定当0＜a＜2时的单调性及最值，从而解得．【解答】解：∵a+b=2，b＞0，∴+=+，（a＜2）；设f（a）=+，（a＜2），作此函数的图象，如右图所示；利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）=﹣=，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时， +取得最小值；同理，当0＜a＜2时，得到当a=时，+取得最小值；．综合，则当a=﹣2时， +取得最小值；故答案为：﹣2．12. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：奖品收费(元／件)工厂则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元参考答案：试题分析：设在甲厂做一等奖奖品件，二等奖奖品件，则,组委会定做该工艺品的费用总和为，可行域为一个直角梯形内整数点（包含边界）,其中当直线过点时费用总和取最小值：考点：线性规划求最值13. 在的展开式中，常数项为．参考答案：﹣5【考点】二项式定理的应用．【分析】的展开式中的通项公式：T r+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．的通项公式：T k+1==（﹣1）k x r﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．进而得出．【解答】解：的展开式中的通项公式：T r+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．∵的通项公式：T k+1==（﹣1）k x r﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．∴常数项=1﹣×+×1=﹣5．故答案为：﹣5．14. 已知函数若实数m，则函数有（）个零点.参考答案：3略15. 如图，树顶离地面9米，树上另一点离地面3米，欲使小明从离地面1米处看两点的视角最大，则他应离此树_________米参考答案：416. 若，，，则大小关系为。
江苏省苏州市吴江区2020届高三下学期五月统考试题数 学 2020.5参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==−∑，其中11ni i x x n ==∑．柱体的体积公式: V = Sh , 其中S 是柱体的底面积, h 为高． 锥体的体积公式: V = 13Sh , 其中S 是锥体的底面积, h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A = {4, 2, 3, 4),集合B = {4, 5},则A ∩B = ▲ ． 2. 复数z =i (1+4i ), (其中i 为虚数单位的实部为 ▲ ． 3. 函数f (x )=ln x +1-x 的定义域为 ▲ ．4. 已知某地连续5天的最低气温(单位:摄氏度)依次是18, 21, 22, 24, 25,那么这组数据的方差 为 ▲ ．5. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡七千四百八十八人,南乡六干九百一十二人,凡三乡,发役三百人,而北乡需遣一百零八人;河北乡人数儿何?” 其意思为: “今有某地北面若干人, 西面有7488人, 南面有6912人, 这三面要征调300人, 而北面征调108人(用分层抽样的方法), 则北面共有 ▲ 人” ．6. 已知椭圆x 210-m ＋y 2m -2＝1的长轴在y 轴上, 若焦距为4, 则m = ▲ ．7. 如图是一个算法的程序框图, 当输入的值x 为8时, 则其输出的结果是 ▲ ．8. 已知知角α的顶点与坐标原点重合, 始边与x 轴的正半轴重合, 终边经过点P (－1, 2) ,则sin2α =▲ ．9. 已知函数f (x )＝log a （x 2＋a -x ）+b , 若 f (3)－f (－3) =－1, 则实数a 的值是 ▲ ．10.如图,正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1, E 为棱DD 1上的点, F 为AB 的中点, 则三棱锥B 1-BFE 的体积为 ▲ ． 11.已知x ，y 为正数, 且12+x ＋4y＝1, 则x + y 的最小值为 ▲ ． 12.如图所示, 平行四边形ABCD 中, AB = 2AD = 2, ∠BAD =60°, E 是DC 中点, 那么向量AC →与EB →所成角的余弦值等于 ▲ ．13.设ABC 的三边a ,b ,c ,所对的角分别为A ,B ,C . 若b +3a 2=c 2,则tan A 的最大值 ▲ ． 14.任意实数a ,b ,定义a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧ab ，ab ≥0，a b， ab ＜0，，设函数f (x )=ln x ⊕x ,正项数列{a n }是公比大于0的等比数列, 且a 1010=1, f (a 1)+f (a 2)+f (a 3) +…+f (a 2019)+f (a 2020)=－e , 则a 2020= ▲ ． 二、解答题:本大题共6小题, 共计90分, 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)△A B C 中的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知a = 2 , B =－π3 , AB →•AC →= 6.(1) 求边c 的值;(2) 求sin (A －C )的值.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AB =AC , BB 1=BC , 点P ,Q ,R 分别是棱BC ,CC 1,B 1C 1的中点. (1) 求证: A 1R //平面APQ ; (2) 求证: 直线B 1C ⊥平面APQ .17. (本小题满分14分)如图, 为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”, 现准备在河岸一侧建造一个观景台P , 已知射线AB , AC 为两边夹角为120°的公路(长度均超过3干米), 在两条公路AB ,AC 上分別设立游客上下点M , N , 从观景台P 到M , N 建造两条观光线路PM , PN , 测得AM = 3干米, AN = 3干米. (1) 求线段MN 的长度;(2) 若∠MPN = 60°, 求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值.18. (本小题满分16分)已知椭圆: x 2a 2＋y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为 22, 点N (2,0)为椭圆的右顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过点H (0, 2)的直线l 与椭圆交于A , B 两点, 直线NA 与直线NB 的斜率和为－13 ,求直线l 的方程.已知函数f(x)=e x +x2-x,g(x)=x2+ax+b, a,b∈R.(1) 当a=1时,求函数F(x)=f(x)－g(x)的单调区间;(2) 若曲线y=f(x)－g(x)在点(1, 0) 处的切线为: x+y-1=0, 求a , b的值;(3) 若f(x)≥g(x)恒成立, 求a+b的最大值.20. (本小题满分16分)记无穷数列{a n}的前n项a1, a2,…,a n的最大项为A n, 第n项之后的各项a n+1, a n+2…的最小项为B n, b n= A n－B n.(1)若数列{a n}的通项公式为a n = 2 n2－7n+6, 写出b1, b2, b3;(2)若数列{b n}的通项公式为b n=－2n, 判断{a n+1－a n}是否为等差数列, 若是,求出公差; 若不是,请说明理由;(3)若数列{b n}为公差大于零的等差数列, 求证: {a n+1－a n}是等差数列.江苏省苏州市吴江区2020届高三下学期五月统考试题数学附加题 2020.5【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4－2:矩阵与变换]21.在平面直角坐标系xOy 中, 直线x ＋y －2=0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2 对应的变换作用下得到的直线仍为x ＋y －2=0,求矩阵A .[选修4－4:极坐标与参数方程]22.在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ = π3(ρ∈R ).以极点为原点, 极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝1－2cos α，（α为参数). 求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标[选修4－5:不等式选讲]23.已知x ,y ,z 均为正数，且1x ＋1 ＋1y ＋1 ＋1z ＋1 ≤ 32 ，求证: x ＋4y ＋9z ≥0.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24. 如图,在三棱锥D －ABC 中, DA ⊥平面ABC , ∠CAB =90°, 且AC =AD =1, AB =2, E 为BD 的中点. (1) 求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； (2) 求二面角A －CE －B 的余弦值.25. 在自然数列1,2,3,…,n 中, 任取k 个元素位置保持不动, 将其余n －k 个元素变动位置, 得到不同的新数列. 由此产生的不同新数列的个数记为P n (k ). (1) 求P 3(1)； (2) 求∑k ＝04P 4 (k )；(3) 证明∑k ＝0n k P n (k ) = k ∑k ＝0n -1P n －1(k ), 并求出k P n (k )的值.苏州市吴江区2020届高三下学期五月统考试题数学参考答案及讲评 2020.5参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．柱体的体积公式: V = Sh , 其中S 是柱体的底面积, h 为高． 锥体的体积公式: V = 13 Sh , 其中S 是锥体的底面积, h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A = {4, 2, 3, 4),集合B = {4, 5},则A ∩B = ▲ ． 2. 复数z =i (1+4i ), (其中i 为虚数单位的实部为 ▲ ． 3. 函数f (x )=ln x +1-x 的定义域为 ▲ ．4. 已知某地连续5天的最低气温(单位:摄氏度)依次是18, 21, 22, 24, 25,那么这组数据的方差 为 ▲ ．5. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡七千四百八十八人,南乡六干九百一十二人,凡三乡,发役三百人,而北乡需遣一百零八人;河北乡人数儿何?” 其意思为: “今有某地北面若干人, 西面有7488人, 南面有6912人, 这三面要征调300人, 而北面征调108人(用分层抽样的方法), 则北面共有 ▲ 人” ．6. 已知椭圆x 210-m ＋y 2m -2＝1的长轴在y 轴上, 若焦距为4, 则m = ▲ ．7. 如图是一个算法的程序框图, 当输入的值x 为8时, 则其输出的结果是 ▲ ．8. 已知知角α的顶点与坐标原点重合, 始边与x 轴的正半轴重合, 终边经过点P (－1, 2) ,则sin2α =▲ ．9. 已知函数f (x )＝log a （x 2+a -x ）+b, 若 f (3)－f (－3) =－1, 则实数a 的值是 ▲ ．10.如图,正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1, E 为棱DD 1上的点, F 为AB 的中点, 则三棱锥B 1-BFE 的 体积为 ▲ ．填空题1～10参考答案：1.｛4｝2. －43.（0，1]4. 65. 81006. 87. 28. －459.7 10. 11211.已知x ，y 为正数, 且12+x ＋4y＝1, 则x + y 的最小值为 ▲ ．12.如图所示, 平行四边形ABCD 中, AB = 2AD = 2, ∠BAD =60°, E 是DC 中点, 那么向量AC →与EB →所 成角的余弦值等于 ▲ ．13.设ABC 的三边a ,b ,c ,所对的角分别为A ,B ,C . 若b +3a 2=c 2,则tan A 的最大值 ▲ ．14.任意实数a ,b ,定义a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧ab ，ab ≥0，a b ， ab ＜0，，设函数f (x )=ln x ⊕x ,正项数列{a n }是公比大于0的等比数列, 且a 1010=1, f (a 1)+f (a 2)+f (a 3) +…+f (a 2019)+f (a 2020)=－e , 则a 2020= ▲ ．二、解答题:本大题共6小题, 共计90分, 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)△A B C 中的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知a = 2 , B =－π3 , AB →•AC →= 6.(1) 求边c 的值; (2) 求sin (A －C )的值.16. (本小题满分14分)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AB =AC , BB 1=BC , 点P ,Q ,R 分别是棱BC ,CC 1,B 1C 1的中点. (1) 求证: A 1R //平面APQ ; (2) 求证: 直线B 1C ⊥平面APQ .17. (本小题满分14分)如图, 为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”, 现准备在河岸一侧建造一个观景台P, 已知射线AB, AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过3干米), 在两条公路AB,AC上分別设立游客上下点M, N, 从观景台P到M, N建造两条观光线路PM, PN, 测得AM = 3干米, AN = 3干米.(1) 求线段MN的长度;(2) 若∠MPN = 60°, 求两条观光线路PM与PN之和的最大值.18. (本小题满分16分)已知椭圆: x2a2＋y2b2=1 (a>b>0)的离心率为22, 点N(2,0)为椭圆的右顶点.(1) 求椭圆的方程;(2) 过点H(0, 2)的直线l与椭圆交于A, B两点, 直线NA与直线NB的斜率和为一13,求直线l的方程.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)=e x +x2-x,g(x)=x2+ax+b, a,b∈R.(1) 当a=1时,求函数F(x)=f(x)－g(x)的单调区间;(2) 若曲线y=f(x)－g(x)在点(1, 0) 处的切线为: x+y-1=0, 求a , b的值;(3) 若f(x)≥g(x)恒成立, 求a+b的最大值.20. (本小题满分16分)记无穷数列{a n}的前n项a1, a2,…,a n的最大项为A n, 第n项之后的各项a n+1, a n+2…的最小项为B n, b n= A n－B n.(1)若数列{a n}的通项公式为a n = 2 n2－7n+6, 写出b1, b2, b3;(2)若数列{b n}的通项公式为b n=－2n, 判断{a n+1－a n}是否为等差数列, 若是,求出公差; 若不是,请说明理由;(3)若数列{b n}为公差大于零的等差数列, 求证: {a n+1－a n}是等差数列.数学附加题参考答案 2020.5【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4－2:矩阵与变换]21.在平面直角坐标系xOy 中, 直线x ＋y －2=0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2 对应的变换作用下得到的直线仍 为x ＋y －2=0,求矩阵A .[选修4－4:极坐标与参数方程]22.在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ = π3(ρ∈R ).以极点为原点, 极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝1－2cos α，（α为参数). 求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标[选修4－5:不等式选讲]23.已知x,y,z均为正数，且1x＋1＋1y＋1＋1z＋1≤32，求证: x＋4y＋9z≥0.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24. 如图,在三棱锥D－ABC中, DA⊥平面ABC, ∠CAB=90°, 且AC=AD=1, AB=2, E为BD的中点.(1) 求异面直线AE与BC所成角的余弦值；(2) 求二面角A－CE－B的余弦值.25. 在自然数列1,2,3,…,n 中, 任取k 个元素位置保持不动, 将其余n －k 个元素变动位置, 得到不同的新数列. 由此产生的不同新数列的个数记为P n (k ). (1) 求P 3(1)； (2) 求∑k ＝04P 4 (k )；(3) 证明∑k ＝0nk P n (k ) = k ∑k ＝0n -1P n －1(k ), 并求出k P n (k )的值.。
2020届江苏省苏州市五校高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．已知{}1,0,1,2A =-，{}|02B x R x =∈≤<，则A B =I ______. 【答案】{}0,1【解析】根据两个集合直接求交集. 【详解】由已知可知{}0,1A B =I . 故答案为：{}0,1 【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2．若复数()341i z -=（i 为虚数），则复数z 的模z =______.【答案】15【解析】首先求复数134z i=-，再化简求模. 【详解】()()1343434343425i iz i i i ++===--+，341255i z +===.故答案为：15【点睛】本题考查复数的化简和求模，意在考查转化和化简计算，属于基础题型. 3．某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为n 的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么n =______. 【答案】40 【解析】由题意可知12240800n=，计算结果. 【详解】由题意可知12240800n=，解得：40n =. 故答案为：40 【点睛】本题考查分层抽样，意在考查基本公式和基本计算能力，属于简单题型. 4．函数y =______.【答案】{}2|x x ≤【解析】根据具体函数的形式，直接求定义域. 【详解】由题意可知20x -≥ 解得：2x ≤，∴函数的定义域是{}2|x x ≤.故答案为：{}2|x x ≤ 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型. 5． 如图所示的流程图的运行结果是______．【答案】20【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出【考点】循环结构流程图6．高三（5）班演讲兴趣小组有女生3人，男生2人，现从中任选2 名学生去参加校演讲比赛，则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是______.【答案】35【解析】首先求任选2人的方法种数，然后求满足条件的方法，最后用古典概型求概率.【详解】从5人中任选2名学生参加演讲比赛的有2510C=种方法，其中恰好为1名男生和1名女生的方法有11326C C=种方法，则恰好为1名男生和1名女生的概率63P==.105故答案为：35【点睛】本题考查组合数和古典概型的计算方法，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______.【解析】由已知可知12b a =，再表示c e a ==【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程是by x a=±若直线20x y +=是双曲线的一条渐近线， 则12b a -=- ，即12b a =，离心率2c a =====.【点睛】本题考查双曲线基本性质，属于简单题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.8．已知cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.【答案】10-【解析】首先根据角的范围求sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后化简为3sin 2sin 2444ππθθπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代入求值.【详解】0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，3,444ππθπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭又cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，sin 4πθ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，4sin 22sin cos 24445πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，23cos 22cos 1445ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 4444444ππππθθπθπθπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=43525210⎛⎫⎛⎫⨯---⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：10- 【点睛】本题考查三角恒等变换，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型. 9．设公比不为1的等比数列{}n a 满足1231a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为______.【答案】54【解析】由已知可知312321a a a a ==-，且4232a a a =+，求首项和公差，再求4S .【详解】由等比数列的性质可知312321a a a a ==-21a ∴=-，243,,a a a Q 成等差数列，4232a a a ∴=+，22222a q a a q =+，2210q q ∴--= ，解得：1q =（舍）或12q =-，212a a q∴== ， ()4414121121112a q S q⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭54=. 故答案为：54【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，意在考查基本公式，属于基础题型. 10．曲线()1f x =在点()4,3处的切线与直线10ax y -+=互相垂直，则实数a 的值为______. 【答案】-4【解析】首先求()4f '，由题意可知()41f a '⋅=-，求实数a 的值. 【详解】()f x '=，当4x =时，()144f '=， 由题意可知，114a =- ，解得：4a =-.故答案为：4- 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于简单题型，当求曲线在某点()00,x y 处的切线时，切线方程是()()000y y f x x x '-=-. 11．已知20a b >>，且1a b +=，则242a b b+-的最小值为______.【答案】14+【解析】由题意变形为()231a b a b b +=-+=，再变形为()242122122322323a b b a b b a b b a b b ⎛⎫+=+=+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】()242122122322323a b b a b b a b b a b b ⎛⎫+=+=+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭()1226212141423a b b a b b -=+++≥+=+- 当()122623a b b a b b-=-时等号成立， 且1a b += ，变形为2151220b b -+= ，20a b >>Q ，615b -∴=，915a +=. 故答案为：14+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据1a b +=，对原式进行变形()242122122322323a b b a b b a b b a b b ⎛⎫+=+=+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，然后再求最值. 12．已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a =________． 【答案】4【解析】试题分析：由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，根据直线与圆相交，所得弦长公式为AB =d =221,13d r ==-=3=，解得4a =【考点】直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式AB =.由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式d =.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.13．已知平面向量a r ，b r ，c r满足a =r 2b =r ，a r ，b r 的夹角等于6π，且()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r的取值范围是______.【答案】11,22⎤⎥⎣⎦【解析】首先由数量积公式变形为2cos cos 06a b c a b c πθ-++=r r r r r r ，并且整理为2cos 30c θ+=r23c c θ+=r r ，利用三角函数的有界性，求得c r 的取值范围. 【详解】()()()2a cbc a b c a b c -⋅-=⋅-⋅++r r r r r r r r r r ，2cos cos 06a b c a b c πθ=-++=r r r r r r ，a r Q ，2b =r ，a r ，b r 的夹角等于6π，cos 36a b a b π∴⋅==r r r r ，a b +===r r2cos 30c θ∴+=r ， 23c cθ+=r rcos 1θ≤Q ，23c c+∴≤r r整理为：230c +≤r ，解得：1122c ≤≤r .故答案为：⎣⎦【点睛】本题考查数量积的运算公式的综合应用，意在考查转化与化简和计算能力，属于中档题型，当变形为2cos 30c θ+=r 时，化简为23c cθ+=r r ，利用三角函数的有界性求模的范围.14．关于x 的方程1ln 2x a x +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______.【答案】11ln 22a -<<【解析】首先方程变形为1ln 2x x a =-，将方程有3个不同的实数解转化为函数ln y x =与12y x a =-有3个不同交点，利用数形结合求a 的取值范围. 【详解】原式变形为1ln 2x x a =-， 当函数ln y x =与12y x a =-有3个不同交点时，如图，满足条件的直线夹在如图的两条直线之间，一条是过()1,0的直线，此时12a =，此时与y 轴的交点是10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ， 另外一条是相切的直线，设切点()00,ln x x ，则0112x =，解得：02x =， 则切点是()2,ln 2，则1ln 222a =⨯-，解得1ln 2a =-，，此时与y 轴的交点是()0,ln 21-，1ln 212a ∴-<-<- 11ln 22a ∴-<<.故答案为：11ln 22a -<< 【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.二、解答题15．在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A A B =-=，角C 为钝角， 5.b =（1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.【答案】（1）{}101B ＝－，， （2）13c = 【解析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sinsin a Ab B=得到 a =利用余弦定理解出13c =。
江苏省苏州市学府中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，圆C：（x﹣a）2+y2=8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：D【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，圆C的圆心和半径，设OA=t，由，可得OB=5t，AB=4t，可得t=1，过C作CD⊥AB，且D为AB的中点，运用直角三角形的勾股定理和点到直线的距离公式，解得a，b，c，再由离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线Γ：的一条渐近线l的方程为y=x，圆C：（x﹣a）2+y2=8的圆心C（a，0），半径为r=2，由△ABC为等腰直角三角形，可得AB=r=4，设OA=t，由，可得OB=5t，AB=4t，可得t=1，过C作CD⊥AB，且D为AB的中点，OD=3，AB=4，AD=2，C到直线l的距离为CD=，在直角三角形OCD中，CD2=OC2﹣OD2，在直角三角形ACD中，CD2=AC2﹣AD2，即有a2﹣9=8﹣4，解得a=，即有CD=2=，解得b=，c===，e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查圆的垂径定理和直角三角形的勾股定理的运用，以及向量的共线，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2. 已知则等于（）A、 B、 C、 D、参考答案：D略3.（）A． B． C． D．参考答案：答案：C4. 函数的图象可由函数的图象（）A. 向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B. 向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到D. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到参考答案：D【分析】合并得：，利用平移、伸缩知识即可判断选项。
