因式分解提高培优

八年级因式分解应用及巩固1、要求：因式分解除了要掌握一提二用三完全基本方法以外，需要开动脑筋做因式分解的较难题目，这类题目需要基础扎实，考试定会助你一臂之力，当然，需要你的智慧和细心。

2、目录：1基础训练2简便计算3整除类4配全公式题型5化简求值6几何相关友情提示：做会这些神题，你的因式分解差不多无敌了！3、回顾：常见题型及技巧 1、一般提数字，8x －72= 2、提单个字母 x x -23、提多项式注意变号，）a （x －y ）+b （y －x ） 32612m n n m （－）－（－）4、提指数类–2x 2n -4x n5、首位是负号，－24x 3－12x 2+28x .6、公式类，分数较难，412+-x x 416x -()()b a b a +-+43 (x ＋y )2－18(x ＋y )＋817、分组分解因式：1．m 2(p －q)－p ＋q ；2、1222-++y xy x小结一句话：一提二用三完全。

注意：提空了就剩1来补位。

1的平方还是1，注意利用。

有负号先提负号。

1、基础训练 （步入江湖）（1）269x x ++； （2）2()4()4a b a b +-++． （3）221424a ab b ++；（4）8a b 2-16a 3b 3 （5）-15xy-5x 2； （6）-3a 3m -6a 2m +12am ．(7)4x 2-25y 2; 8、 3a ²-12 9、 =-x x 3 10、=++2422x x2、简便计算（暂露头角）在小学我们接触过简便计算，根据乘法的分配律及加减法的结合律，可以对算式进行简便计算。

很多计算题，我们可以把相同数字提公因式，或者根据相关公式变形，达到简便解题的目的。

请看例题。

例题1、9879879879871232644565251368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯例题2、（2+1）（22+1）(24+1)(28+1)(216+1) 练习：1、7.6199.8 4.3199.8 1.9199.8⨯+⨯-⨯2、2.186 1.237 1.237 1.186⨯-⨯3、（-2）21+（-2）20 4 、39×37-13×34=_ 5、9×10100-101016、9992＋9999、4.3×199.7+7.5×199.7-1.8×199.7 10、19981996199719972⨯-3、整除类 小有名气这类题目一般是需要通过化简给出的代数式，最后看能不能得到要被整除的数的倍数。

因式分解的多种方法考点培优练习 考点直击 1.因式分解的常见方法：(1)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.(2)运用公式法: a²−b²=(a +b )(a −b );a²±2ab +b²=(a ±b )²2.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解.3.分解因式时常见的思维误区：(1)提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.(2)提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉.(3)分解不彻底，如保留中括号形式、还能继续分解等.4.因式分解的特殊方法：分组分解法和十字相乘法.其中，形如 x²+px +q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且a+b 恰好等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 x²+px +q =x²+(a +b )x +ab =(x+a)(x+b)，这种因式分解的方法称为十字相乘法.例题精讲例 1 【例题讲解】因式分解： x³−1.∵x³−1为三次二项式，对于方程 x³−1=0,x =1是其1个解.∴ 我们可以猜想 x³−1可以分解成 (x −1)(x²+ax +b ),展开等式右边得 x³+(a −1)2 ²+(b −a )x −b.:x³−1=x³+(a −1)x²+(b −a )x −b 恒成立，∴ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 {a −1=0,b −a =0,−b =−1,解得 {a =1,b =1. ∴x³−1=(x −1)(x²+x +1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数对应相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若 x²−mx −12=(x +3)(x −4),则 m =;(2)若 x³+3x²−3x +k 有一个因式是. x +1,,求 k 的值;(3)请判断多项式 x⁴+x²+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积.若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘多项式的规律即可求得结论.举一反三1 (北京中考)因式分解：a²−4a+4−b².举一反三2 阅读下列材料：我们知道，多项式a²+6a+9可以写成( (a+3)²的形式，这就是将多项式a²+6a+9因式分解.当一个多项式(如a²+ 6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a²+6a+8=(a+3)²−1=(a+2)(a+4)请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：(1)x²-6x-27;(2)a²+3a-28;(3)x²-(2n+1)x+n²+n.举一反三3 下面是某同学对多项式( (x²−4x+2)(x²−4x+6)+4进行因式分解的过程：解：设x²−4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y²+8y+16 (第二步)=(y+4)² (第三步)=(x²−4x+4)² (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填字母).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”).如果否，直接写出最后的结果： .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x²−2x)(x²−2x+2)+1进行因式分解.例2 (吉林中考)在下列三个整式 x²+2xy,y²+2xy,x²中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.【思路点拨】本题为开放性试题，在第一步组合过程中，考虑下一步因式分解的适当方法，可以用提取公因式法或公式法.举一反三4 (湖北中考)给出三个多项式： X =2a²+3ab +b²,Y =3a²+3ab, Z =a²+ab.请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.举一反三5 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为 a (x +m )²+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 ax²+bx +c (a ≠0)的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x 2+9x −10=x 2+9x +(92)2−(92)2−10=(x +92)2−1214=(x +92+112)(x +92−112)=(x +10)(x −1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式 x²−7x +12进行因式分解；(2)用多项式的配方法将x²+6x−9化成a(x+m)²+n的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y 取任何实数时，多项式x²+y²−4x+2y+6的值总为正数.例3 阅读材料：若m²−2mn+2n²−8n+16=0,求m,n 的值.解:∵m²-2mn+2n²-8n+16=0,∴ (m²-2mn+n²)+(n²-8n+16)=0, ∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴(m−n)2=0,(n−4)2=0,∴n= 4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知x²+2xy+2y²+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知a−b=4,ab+c²−6c+13=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x，y的值，再求得2x+y的值;(2)根据a−b=4,ab+c²−6c+13=0,可以得到a，b，c 的值，再求得a+b+c的值.举一反三6 (南通中考)已知A=a+2,B=a²−a+5,C=a²+5a−19,其中a>2.(1) 求证: B−A>0,，并指出 A 与 B 的大小关系；(2)指出A与C哪个大?说明理由.举一反三7 (杭州中考)已知a,b,c 为. △ABC的三边，且满足a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,试判断△ABC的形状.过关检测基础夯实1.(自贡中考)把多项式a²−4a因式分解，结果正确的是 ( )A. a(a-4)B.(a+2)(a-2)C. a(a+2)(a-2)D.(a−2)²−42.(桂林中考)因式分解a²−4的结果是( )A.(a+2)(a-2)B.(a−2)²C.(a+2)²D. a(a-2)3.(中山中考)因式分解1−4x²−4y²+8xy，正确的分组是 ( )A.(1−4x²)+(8xy−4y²)B.(1−4x²−4y²)+8xyC.(1+8xy)−(4x²+4y²)D.1−(4x²+4y²−8xy)4.(潍坊中考)下列因式分解正确的是 ( )A.3ax²−6ax=3(ax²−2ax)B.x²+y²=(−x+y)(−x−y)C.a²+2ab−4b²=(a+2b)²D.−ax²+2ax−a=−a(x−1)²5.(聊城中考)因式分解:x(x—2)—x+ 2= .6.(漳州中考)若x²+4x+4=(x+2)(x+n),则n= .7.(湖州中考)因式分解：a³−9a.8.因式分解: a²−b²+a−b.9.(北京中考)因式分解：m²−n²+2m−2n.能力拓展10.(临沂中考)多项式mx²−m与多项式x²−2x+1的公因式是 ( )A. x-1B. x+1C.x²−1D.(x−1)²11.(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.x²+2x−1=(x−1)²B.(a+b)(a−b)=a²−b²C.x²+4x+4=(x+2)²D.ax²−a=a(x²−1)12.(兰州中考)因式分解: m³−6m²+ 9m= .13.(宜宾中考)因式分解：b²+c²+2bc− a²= .14.(常德中考)多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是 .15.(杭州中考)化简: (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²).16.(茂名中考)因式分解：9(a+b)²−(a−b)².17.(扬州中考)(1) 计算: √9−(−1)2+(−2012)0;(2)因式分解: m³n −9mn.18.(十堰中考)已知::a+b=3, ab=2,求下列各式的值：(1)a²b +ab²;(2)a²+b².19.(济南中考)请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a²,(x+y)²,1,9b².综合创新20.设正整数a,b,c>100,满足 c²−1=a²(b²−1),且a>1,则a/b 的最小值是 ( )A. 13B. 12 C. 2 D.3 21.求证：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33.x⁵+3x⁴y −5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y ⁵.【例题精讲】1.(1)1 (2) -5 ( (3)x⁴+x²+1=(x²+ x +1)(x²−x +1)解析： (1)∵(x +3)(x −4)=x²−x −12,∴--m=-1,∴m=1;(2) 设另一个因式为 (x²+ax +k ),(x +1)(x²+ax +k )= x³+ax²+kx +x²+ax +k =x³+(a + 1)x²+(a +k )x +k,∴x³+(a +1). x²+(a +k )x +k =x³+3x²−3x +k,∴a+1=3,a+k=-3,解得a=2,k=-5;(3)设多项式 x⁴+x²+1能分解成 ①(x²+1)(x²+ax +b )或( ②(x²+x + (1)(x²+ax +1),①(x²+1)(x²+ax + b)=x⁴+ax³+bx²+x²+ax +b =x⁴+ ax³+(b +1)x²+ax +b,∴a =0,b +1=1,b=1,由b+1=1得b=0≠1,矛盾; ②(x²+x +1)(x²+ax +1)=x⁴+(a + 1)x³+(a +2)x²+(a +1)x +1,∴a +1=0,a+2=1,解得a=-1.即. x⁴+x²+ 1=(x²+x +1)(x²−x +1).2.方法一:( (x²+2xy )+x²=2x²+2xy =2x(x+y)方法二：( (y²+2xy )+x²=(x +y )²方法三： (x²+2xy )−(y²+2xy )=x²− y²=(x +y )(x −y )方法四： (y²+2xy )−(x²+2xy )=y²− x²=(y +x )(y −x )3.(1)1 (2)3解析： (1):x 2+2xy +2y 2+2y +1=0,∴(x²+2xy +y²)+(y²+2y +1)=0, ∴(x +y )²+(y +1)²=0,∴x +y =0,y+1=0,解得x=1,y=-1,∴2x+y=2×1+(-1)=1;(2) ∵a-b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入( ab +c²−6c +13=0,得 b²+4b +c²−6c +13=0, ∴(b²+4b +4)+(c²−6c +9)=0,∴(b +2)²+(c-3)²=0,∴b+2=0,c-3=0,解得b=-2,c=3,∴a=b+4=-2+4=2,∴a+b+c=2-2+3=3.【举一反三】1. 原式: =(a²−4a +4)−b²=(a −2)²−b²=(a-2+b)(a-2-b).2.(1) 原式=x²--6x+9-36=(x-3)²-6²=(x-3-6)(x-3+6)=(x+3)(x-9)(2)原式 =a 2+3a +(32)2−(32)2−28= (a +32)2−1214=(a +32−112)(a +32+ 112)=(a −4)(a +7) (3) 原式 =x²− (2n +1)x +(n +12)2−(n +12)2+n 2+ n =[x −(n +12)]2−(12)2=(x −n − 12−12)(x −n −12+12)=(x −n −1)(x-n)3.(1) C (2) 否(x-2)⁴ (3) 原式= (x²−2x )²+2(x²−2x )+1=(x²−2x + 1)²=(x −1)⁴4.解答一: Y +Z =(3a²+3ab )+(a²+ab )= 4a²+4ab =4a (a +b )解答二： X −Z =(2a²+3ab +b²)−(a²+ ab)=a²+2ab +b²=(a +b )²解答三： Y −X =(3a²+3ab )−(2a²+ 3ab +b²)=a²−b²=(a +b )(a −b )(其他合理答案均可)5.(1) 原式 =x 2−7x +494−494+12= (x −72)2−14=(x −72+12)(x −72− 12)=(x −3)(x −4) (2) 原式 =x²+6x+9-18=(x+3)²-18,最小值为-18(3) 证明:. x²+y²−4x +2y +6=(x − 2)²+(y +1)²+1≥1>0,,则x,y 取任何实数时，多项式 x²+y²−4x +2y +6的值总为正数.6.(1) 证明: B −A =(a²−a +5)−(a + 2)=a²−2a +3=(a −1)²+2>0,所以B>A; ( (2)C −A =a²+5a −19−a −2=a²+4a-21=(a+7)(a--3),因为a>2,所以a+7>0,当2<a<3时,A>C;当a=3时,A=C;当a>3时,A<C.7.等腰三 角形或直角三 角形 解析： ∴a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,∴c²(a²−b²)= (a²+b²)(a²−b²),∴c²=a²+b²或 a²=b²，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.【过关检测】1. A2. A3. D4. D 解析:3ax²-6ax=3ax(x-2),A 错误; x²+y²无法因式分解，B 错误； a²+ 2ab −4b²无法因式分解，C 错误.5.(x--2)(x-1)6. 2 解析: ∴(x +2)(x +n )=x²+(n +2)x+2n,∴n+2=4,2n=4,解得n=2.7. a(a+3)(a-3)解析：原式 =a(a²−9)=a(a+3)(a-3).8.(a-b)(a+b+1)解析：原式 =(a²−b²)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).9.(m-n)(m+n+2) 解析:原式 =(m²−n²)+(2m--2n)=(m+n)(m--n)+2(m--n)=(m-n)(m+n+2).10. A 解析:mx²-m=m(x--1)(x+1), x²−2x +1=(x −1)²,多项式 mx²−m 与多项式 x²−2x +1的公因式是x-1.11. C 解析: x²+2x −1≠(x −1)²,, A 错误; a²−b²=(a +b )(a −b )不是因式分解，B 错误;( ax²−a =a (x²−1)=a (x +1)(x −1)，分解不完全，D 错误.12. m(m-3)² 解析:原式; =m(m²−6m + 9)=m (m −3)².13.(b+c+a)(b+c-a) 解析:原式=(b+ c)²−a²=(b+c+a)(b+c−a).14. x--2 解析: ∴ax²−4a=a(x²−4)=a(x+2)(x−2),x²−4x+4=(x−2)²,∴多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是x-2.15. 4a²b 解析:( (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²)=(a−b)(a+b).(a+b−a+b)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²+a²+b²)=4a²b.16.4(2a+b)(a+2b) 解析: 9(a+b)²−(a−b)²=[3(a+b)]²−(a−b)²=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b).17.(1) 3 (2) mn(m+3)(m-3)解析：(1)√9−(−1)2+(−2012)0=3−1+1=3;(2)m³n−9mn=mn(m²−9)=mn(m+3)(m-3).18.(1) 6 (2)5解析:( (1)a²b+ab²=ab(a+b)=2×3=;(2):(a+b)²=a²+2ab+b²,∴a²+( b²=(a+b)²−2ab=3²−2×2=5.19. 4a²--9b²=(2a+3b)(2a-3b) (x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1) (x+y)²−4a²=(x+y+2a)(x+y−2a)(x+y)²−9b²=(x+y+3b)(x+y−3b)4a²−(x+y)²=[2a+(x+y)][2a−(x+y)]=(2a+x+y)(2a−x−y)9b²−(x+y)²=[3b+(x+y)][3b−(x+y)]=(3b+x+y)(3b−x−y)1−(x+y)²=[1+(x+y)][1−(x+y)]=(1+x+y)(1-x--y)20. C 解析: ∴c²−1=a²(b²−1),正整数a，b,c>100,∴c²=a²(b²−1)+1=a²b²−a²+1<a²b²,∴c<ab,∴c≤ab--1, ∴a²b²−a²+1=c²≤(ab−1)²,化简得a2≥2ab,∴a≥2.b21. 证明:原式=(x⁵+3x⁴y)−(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)=x⁴(x+3y)−5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)=(x+ 3y)(x⁴−5x²y²+4y⁴)=(x+3y).(x²−4y²)(x²−y²)=(x+3y)(x−2y)(x+2y)(x+y)(x-y).当y=0时,原式=x⁵≠33;;当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y为互不相同的整数,而33 不可能分解为5个不同因数的积. ∴x⁵+3x⁴y−5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33.。

因式分解题一、选择题1．下列各题中，计算正确的有( )①3a 3·2a 3＝6a 3； ②4a 3·ba n ＝4a 3n b ； ③(4x m ＋1z 3) ·(－2x 2y z 2)＝－8x 2m ＋2yz 6； ④(－ab 3c 2)·(－4b c)·(－3ab 2)＝－12a 2b 6c 3．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．计算(0.5×105)3×(4×103)2的结果是( )A ．2×1013B ．0.5×1014C ．8×1021D ．2×10216．计算(－2)2004＋(－2)2005的结果是( )．A ．－22004B ．22004C ．－2D ．－220057．规定一种运算：a *b ＝ab ＋a ＋b ，则(－a )*(－b )＋a *b 的计算结果为 ( )A ．0B ．2aC ．2bD ．2ab8．(x 2－m x ＋1)(x －2)的积中x 的二次项系数为零，则m 的值是( )．A ．1B ．－1C ．－2D ．210．如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是( )A ．(x ＋y ＋z)2＝x 2＋y 2＋z 2＋2y ＋x z ＋y zB ．(x ＋y ＋z)2＝x 2＋y 2＋z ＋2xy ＋x z ＋2y zC ．(x ＋y ＋z)2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2x z ＋2y zD ．(x ＋y ＋z)2＝(x ＋y )2＋2x z ＋2y z 11.－6xyz ＋3xy 2－9x 2y 的公因式是（ ）A.－3x B ．3xz C ．3yz D ．－3xy12.把多项式（3a －4b ）（7a －8b ）＋（11a －12b ）（8b －7a ）分解因式的结果是（ ）A ．8（7a －8b ）（a －b ）B ．2（7a －8b ）2C ．8（7a －8b ）（b －a ）D ．－2（7a －8b ）13.把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为（ ）A ．（x －y ）（x －y －1）B ．（y －x ）（x －y －1）C ．（y －x ）（y －x －1）D ．（y －x ）（y －x ＋1）14.下列各个分解因式中正确的是（ ）A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2＋3c ）B ．（a －b ）3－（b －a ）2＝（a －b ）2（a －b ＋1）C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2＝（a －2b ）（11b －2a ）15.观察下列各式①2a ＋b 和a ＋b ，②5m （a －b ）和－a ＋b ，③3（a ＋b ）和－a －b ，④x 2－y 2和x 2和y 2。

因式分解提高训练——添项拆项法、待定系数法及运用一、知识梳理1、添项拆项法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。

但如果它们进行适当的添项或拆项后利用分组分解法又可以分解了，那么添项和拆项有没有标准？一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。

如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。

2、待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。

然后再把积乘出来。

用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。

二、典例精讲专题一：添项拆项法例题1、分解因式：（1）x3-3x+2 （2）x4+4 (3) 2x2+x-1变式训练：（1）x4+x2+1 (2)x4+64 (3)x4-7x-2专题二：待定系数法例3、 分解因式：6x 2+7xy+2y 2-8x-5y+2变式训练：用待定系数法分解 x 2+2xy-8y 2+2x+14y-3 的因式例4、已知多项式 x 4+x 3+6x 2+5x+5能被x 2+x+1整除，请分解前者的因式。

变式训练：已知x 2+2x+5是x 4+ax 2+b 的一个因式，则a+b=专题三：在实数范围内分解因式例5、在实数范围内分解因式（1）3-22 （2）3+10-6-15 （3） x 2-(3+2) x +6（4）4x 2－3 (5) x-21 x变式训练（在实数范围内分解因式）： (1)7+210 (2)9-220 (3)x 2-(2+7)x+14(4) 14-10-21+15 (5)a 4-6a 2+8课堂作业1、分解下列各式的因式①x 4+2534x 2+1 ②x 3+6x 2+11x+6 ③x 3+2x 2+2x+1④x 4+x 3-3x 2-4x-4 ⑤(1-a 2)(1-b 2)-4ab2、已知多项式x 4-3x 2+6x+8有一个因式是x 2-3x+4，把这个多项式分解因式.3、若多项式x 2-6x+5和多项式x 2+2x-k 有公因式，则k=4、如果a 、b 是整数，且是x 2-x-1是ax 3+bx 2+1的因式，则b=5、若2x 3-10x 2+mx-15能被x-5整除，则m=6、若3x 2-kx+4被3x-1除余3，则k=7、已知a 、b 、c 为实数，且多项式x 3+ax 2+bx+c 能被x 2+3x-4整除,①求4a+c ②求2a-2b-c 的值。

七年级下数学辅导七因式分解培优提高提一、填空题：〔每题 2 分，共 24 分〕1、把以下各式的公因式写在横线上：① 5x 225x 2 y =〔15y) ；②4x2 n6x 4n=23x 2n.2、填上适当的式子，使以下等式成立：〔1〕2xy 2 2y xy xy( ) ；〔〕nan 2a2nan( ) .x 2 a3、在括号前面填上“＋〞或“－〞号，使等式成立：〔1〕 ( y x)2( x y) 2；〔2〕(1x)(2 x)(x 1)( x2) 。

4、直接写出因式分解的结果：〔1〕 x2 y2y 2；〔2〕3a26a 3。

5、假设 a 2 b 22b 1 0，那么 a，b＝。

6、假设x2mx 16x 4 2，那么m=。

7、如果 x y 0, xy7 ,那么x2y xy2，x2y 2。

8、简便计算： 2 － 2. 9、已知a13 ，那么 2 1 的值是.10 、如果 2a+3a a a23-4a-6b= .11、假设x2mx n 是一个完全平方式，那么m、 n 的关12、正方形的面积是9x 2 6 xy y2〔x>0，y>0〕,利用分解因式，写出表示该的边长的代数式.二、选择题：〔每题 2 分，共 20 分〕1、以下各式从左到右的变形中，是因式分解的为〔〕A、x( a b) ax bxB、x21 y 2( x 1)( x 1)y 2C、 2 1 ( 1)( 1) 、x x x D ax bx c x(a b) c2、一个多项式分解因式的结果是(b32)( 2 b3 ) ，那么这个多项式是〔〕A、 6 4 、 6 、 6 、 6b B 4 b C b 4 D b 43、以下各式是完全平方式的是〔〕A、x2 x 1B、1 x2C、x xy 1D、x2 2x 144、把多项式m2(a 2) m(2 a) 分解因式等于〔〕A ( 2)( 2 )B ( a2m) C、m(a-2)(m-1)、a m m 2)(m D m(a-2)(m+1)5、9( a b) 212(a 2b2 ) 4( a b) 2因式分解的结果是〔〕A、(5a b) 2、 2 、、 2B (5a b)C (3a 2b)(3a 2b)D (5a 2b)6、以下多项式中，含有因式( y 1) 的多项式是〔〕A、y22xy 3x 2B、 ( y 1) 2( y 1) 2C 、( y1)2( y21) D、( y 1)22( y 1) 17、分解因式x4 1 得〔〕A、( 2 1)( 2 1) 2 2 、 2 、 3x x B、( x 1) ( x 1) C (x 1)( x 1)( x 1) D ( x 1)( x 1)8、多项式2x2bx c 分解因式为 2(x 3)( x 1) ，那么 b, c 的值为〔〕A、b3, c 1B、 b6, c 2C、b6, c4D、b4, c 69、a、b、c是△的三边，且 a2 b2 c2 ab ac bc，那么△的形状是〔〕ABC ABCA、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形〔 a>b〕。

第五讲 因式分解培优专题辅导初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有十字相乘法，分组分解法，换元法，拆项和添减项法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，求根公式法，余数定理法，长除法，除法等。

因式分解一些注意点：（1）必须分解到每个因式都不能 为止，即分解要彻底 ；（2）结果应该是 的形式，（3）如果结果有相同的因式，必须写成 的形式；（4）最后结果只有小括号；（5）最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）。

因式分解一般要遵循的步骤：“一提二用三分四查”即先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．一、因式分解的定义把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式 。

分解因式与整式乘法的关系：分解因式与整式乘法是 的恒等变形。

例1：下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?(1))11(22xx x x +=+; (2)3)1(4x 222+-=+-x x (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x(5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x二、因式分解的方法：（一）提公因式法：ab ＋ac ＝a (b ＋c)确定公因式的方法(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为 ;（2）字母公因式:应取多项式中各项字母为 .常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）例2、把下列各式分解因式（1）)a 1(-)1(--n a m =（2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----=（3）32)2()2(2x y b y x a -+-=（4）32)3(25)3(15a b b a b -+-=（二）、公式法乘法公式逆变形（1）平方差公式：22b a -=（2）完全平方公式：222b ab a ++= 222-b ab a +=例3．1、如果2592++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）A 15B 15±C 30D 30±2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +-- 例4 ：利用平方差公式进行因式分解： ))((22b a b a b a -+=-（1）12-x = （2）2294-b a += （3)22)(16z y x +- =（4)221164a b -= （5)22)2()2(b a b a --+ =（6)4348x - =（7）117218-+-n n x x =（8）4()()2223362a b a b +-- =例5：利用完全平方公式进行因式分解：完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- （1）442+-m m = （2）2269y xy x ++= （3)24x -9162+x = （4）36)(12)(2++-+b a b a =（5）225101x x -+-= （6）222212123m n m n m -+=（三）、***十字相乘法：对于二次项系数为1的二次三项式因式分解十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中例6：利用十字相乘法进行因式分解：（1）892++x x = （2）、x 2－5x －6=（2）、x 2－5x ＋6= （4）8652-+x x =（5）3x 2－11xy －14y 2 = （6）6(x+y)2 －7(x+y)－3=（四）、***分组分解法：把一个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分解.这种分解因式的方法叫分组分解法.（1）运用分组分解因式的关键是要能预见到分组之后能否进一步用其他方法（如提公因式法、公式法等）来分解，难点是恰当地分组.（2）分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而且适当的分组也没有固定的形式，但要掌运用分组分解法分解因式常用以下一些方法：①分组后能提取公因式； ②分组后能运用公式；③重新分组例7：运用分组分解法分解因式：（一）分组后能直接提公因式分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（三）分组后能直接运用公式:分解因式：ay ax y x +--22 2222c b ab a -+-（五）、配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。

因式分解精选经典培优习题1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ．4、分解因式：22635y y x xy x ++++5、分解因式91)72)(9)(52(2---+a a a6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy因式分解详细答案解析1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)解析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．解析： (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ． 解析：4、分解因式：22635y y x xy x ++++ 解析：5、分解因式 91)72)(9)(52(2---+a a a 解析：6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy 解析：。

教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 因式分解提高知识模块Ⅰ：提取公因式法1、 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

注意：（1）因式分解是多项式乘法的逆运算。

（2）因式分解的最终结果是几个多项式乘积的形式。

2、提公因式法：)(c b a ac ab +=+因式分解提高提取公因式是将一个多项式中的含有公共的因式提取出来的过程，重点是找出多项式中每一项都含有的公共因式。

提取公因式一定要将公因子提取干净。

最后要化成整式乘积的形式。

3、找公因式要注意：（1）系数取各项系数的最大公约数 ；（2）字母取各项中相同字母的最低次幂4、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

5、提公因式要注意：（1）当第一项的系数为负数时，首先要提出“-”号，多项式的各项都变号（2）多项式的每一项与公因式做除法，所得的商为这项的余因式（3）余因式中不能再有公因式，余因式的项数与原多项式的项数相等口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

【例1】 2213m m m m a x abx acx ax +++-+--【例2】a a b a b a ab b a ()()()-+---32222知识模块Ⅱ：公式法1、运用公式法：))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-2、注意：运用公式就是借助与平方差公式和完全平方公式进行因式分解的过程，这里面要求学生对于公式能够熟练的掌握，准确的记忆是快速解决此类问题的前提。

一、公因式法二、公式法三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .例5、分解因式：652++x x例6、分解因式：672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：221288b ab a --练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法。

因式分解精选经典培优习题1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ．4、分解因式：22635y y x xy x ++++5、分解因式91)72)(9)(52(2---+a a a6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy因式分解详细答案解析1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)解析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．解析： (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ． 解析：4、分解因式：22635y y x xy x ++++ 解析：5、分解因式 91)72)(9)(52(2---+a a a 解析：6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy 解析：。