2009模拟泛函试题

所以T有界,且|| T ||M.(2分)
又对en{0,, 0, 1, 0,, }X, || en||1,
|| T ||sup|| x ||1|| T x |||| T en|||| {0,, 0, an, 0,} || = | an|(5分)
所以|| T ||supn| an|M.
所以|| T ||M.(3分)
所以2A x, y0x, yH
所以A x0xH
所以A0.(5分)
4.证明无穷维赋范线性空间X的共轭空间X '也是无穷空间.
证设{ x1, x2,}是X中线性无关向量,
由Hnha-Banach定理
存在f1X ', f1(x1)0,
存在f2X ', f2(x2)0, f2(x1)0
存在f3X ', f3(x3)0, f3(x1)f3(x2)0
所以(T), (5分)
对[0, 1],定义线性算子T : XX,对xC [0, 1]
(T x) (t) x (t)t[0, 1]
由|| T x ||maxt[ 0, 1]| x (t) |
maxt[ 0, 1]| x (t) |
|| x ||
所以T有界.且
T (AI)(AI) TI
所以(A),
所以(A)[0, 1]. (5分)
令SB1A1B (XX),则
S TB1A1ABI, A B B1A1I (2分)
所以ST1,所以T是正则算子. (1分)
二.以下各题每题15分,共75分
1.设X是度量空间, {xn}是X中Cauchy列,证明若存在{xn}的收敛子列{xn k},则{xn}收敛.
证设xX, xn kx (k)
对任何> 0,存在K, k > K时,

k=1
于是由定理（1.18*）可知，∀x ∈ [a, b], ∞ ∑ ne−nx f (x) = n=1 (∞ ) ∞ ∑ ∑ −nx ′ − nx ′ (e ) = e = n=1 n=1 ( ) ′ ex − ex = = (ex ex − 1 −1)2 由[a,b]的任意性可知 f (x) = −ex , x ∈ (0, +∞) (ex − 1)2n→+∞ຫໍສະໝຸດ lim f (x) = 0
⇒ ≤ |x1 − − 于 是 ，∀ε > 0,取δ = ε3 ,当x1 , x2 ∈ (0, +∞)且|x1 − x2 | < δ 时 1 1 1 3 3 |x1 − x2 | ≤ δ3 = ε 故f (x) = x 3 在(0, +∞)上是一致连续的。□ (注：老师给的答案里面写的是(0, +∞)) ■P22-8证明f (x) =
由ε的任意性，有 inf (A + B ) ≤ inf A + inf B (4)
(3)(4)一起表明inf (A + B ) = inf A + inf B 。□ ■P15-8 对于点列{xn } ⊂ R，若 1 , n = 1, 2, · · · 2n 求证{xn }是Cauchy列。又若 |xn+1 − xn | ≤
0 0
■P50-5(见 例2.14)设X 是 一 度 量 空 间 ，x0 ∈ X ,证 明f (x) = ρ(x, x0 )是X 上的连续函数。 [证] 实际上，对x, y ∈ X ,由下式 |f (y ) − f (x)| = |ρ(y, x0 ) − ρ(x, x0 )| ≤ ρ(y, x) 即可证明f 是连续映射（函数）。□ ■P50-6设X 是一度量空间，F ⊂ X 是一个非空闭集， 对x ∈ X ,记作inf {ρ(x, y ) : y ∈ F } = ρ(x, F ),证明：对 任意r > 0，集合{x ∈ X : ρ(x, F ) < r}是开集。 [证] 要 证A = {x ∈ X : ρ(x, F ) < r}是 开 集 ， 只 需 证Ac = {x ∈ X : ρ(x, F ) ≥ r}是闭集。 设{xn } ⊂ Ac 且xn → x,下证x ∈ Ac ，由Ac 的定义可知 ∀y ∈ F, ρ(xn , y ) ≥ r 而且ρ(xn , x) → 0, n → +∞,于是对任意的y ∈ F ρ(x, y ) ≥ ρ(xn , y ) − ρ(xn , x) ≥ r − ρ(xn , x) 两边取极限得ρ(x, y ) ≥ r 由y 的任意性可知ρ(x, F ) ≥ r,即x ∈ Ac □ ■P58【 定 理2.14】 设A是 度 量 空 间X 中 的 一 个 紧 集，f 是定义在A上的一个连续函数，那么f 是有界 的，且上下确界可达。 [证] 先证f 有界。若不然，则存在xn ∈ A，使

2009年秋季学期《泛函分析》课程试卷B 卷（开卷考试）（适用专业：06级数学与应用数学 ）卷面总分100分一、填空题（本题共10分，每小题2分）1。

如果度量空间X 有一个可数的（ ），则称X 是可分空间。

2。

完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为（ ）。

3。

（X ，1d ），（Y ，2d ）是两个度量空间，如存在X 到Y 上的映射T ，满足（ ），则称（X ，1d ）和（Y ，2d ）等距同构。

4。

线性赋范空间[,]p L a b ，若[,]p f L a b ∈，则f 的范数p f =（ ）。

5。

(1)p l p <<+∞的共轭空间为（ ）。

二、判断题（本题共10分，每小题2分）1。

任何线性赋范空间的共轭空间是Banach 空间。

（ ）2。

设Y 是Hilbert 空间X 的闭子空间，则成立Y Y ⊥⊥=。

（ ）3。

若X 是非空的完备度量空间，则X 是第一纲集。

（ ）4。

算子的一致收敛可导出强收敛，强收敛可导出弱收敛。

（ ）5。

有界闭集一定是紧集。

（ ）三、证明题（本题共60分）1。

若(),()p q n n x x l y y l =∈=∈，用Holder 2。

设T 是线性赋范空间X 到线性赋范空间Y 的线性算子， 不等式证明Minkowski 不等式成立。

则T 为有界算子的充要条件为T 是X 上的连续算子。

3。

叙述并证明共鸣定理（一致有界性定理）。

4。

叙述并证明压缩映射定理。

5。

设X 是Hilbert 空间，f 是X 上的连续线性泛函，那么6。

设X 是内积空间，M 是X 中非空凸集，并且按X 中由 存在唯一的z X ∈，使对每个x X ∈，有(),f x x z =<>，并且内积导出的距离完备，那么对于每个x X ∈，存在唯一的f z =。

y M ∈，使得(,)x y d x M -=。

四、论述题（本题共20分）给出内积空间、线性赋范空间、度量空间的定义，并指出它们三者之间的关系。

泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα，　y x Ty Tx B.1≥-≤-αα，　y x Ty Tx C.10<<-≥-αα，　y x Ty Tx D.1≥-≥-αα，　y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。

2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。

3、1l 的共轭空间是（ ）。

4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。

5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。

三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。

( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。

( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。

( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。