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GFE ABCD P2006年全国初中数学联赛试卷1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )(A) 36 (B) 37 (C) 55 (D) 902、已知m ＝1＋2，n ＝1－2，且(7m 2－14m ＋a ) (3n 2－6n －7)＝8，则a 的值等于( )(A) －5 (B) 5 (C) －9 (D) 93、Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y ＝x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴. 若斜边上的高为h ，则( )(A) h ＜1 (B) h ＝1 (C) 1＜h ＜2 (D) h ＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( )(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO ，则QCQA的值为( )(A) 23－1 (B) 23 (C) 3＋2 (D) 3＋2二、填空题6、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，c －a ＝2005. 若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为___________.7、如图，面积为a b －c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则 a －c b的值等于________.8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米. 甲、乙两分分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9、已知0＜a ＜1，且满足[a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋ 29 30]＝18 ([x ]表示不超过x 的最大整数)，则[10a ]的值等于__________.10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码. 小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是_________.三、解答题 11、已知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数，且a ≤8，2－1＜x ＜3－1.(1)试写出一个满足条件x ； (2)求所有满足条件的x .12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b 求a 的取值范围.13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B. 过点A做PB的平行线，交⊙O于点C. 连结PC，交⊙O于点E；连结AE，延长AE交PB于点K. 求证：PE •AC＝CE •KB14、有2006个都不等于119的正整数a1，a2，…，a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1＋a2＋…＋a2006的最小值.参考答案（1）解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处． 故选C ．（2）解：由已知可得m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1．又(7m 2－14m ＋a )(3n 2－6n －7)＝8， 所以 (7＋a )(3－7)＝8，解得a ＝－9 故选C ．（3）解：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（|c|＜|a|），则点B 的坐标为 （－a ，a 2），由勾股定理，得AC 2＝(c －a ) 2＋(c 2－a 2) 2，BC 2＝(c ＋a ) 2＋(c 2－a 2) 2， AC 2＋BC 2＝AB 2， 所以 (a 2－c 2) 2＝a 2－c 2 .由于a 2＞c 2，所以a 2－c 2＝1，故斜边AB 上高h ＝a 2－c 2＝1 故选B ．（4）解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得(k ＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k ＋1)³360°． 因为这(k ＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34³(62－2)³180°＝34³60³180°，其余多边形有(k ＋1)－34＝k －33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k －33)³180°．所以(k ＋1)³360°≥34³60³180°＋(k －33)³180°，解得k ≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33³58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33³58＝2005（刀）． 故选B ．（5）解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO ＝m ，则QP ＝m ，QC ＝r ＋m ，QA ＝r －m ． 在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ²QC ＝QP ²QD 即 (r －m )(r ＋m )＝m ²QD ，所以 QD ＝r 2－m 2m ．连结DO ，由勾股定理，得QD 2＝DO 2＋QO 2， 即 ( r 2－m 2 m )2＝r 2＋m 2 ，解得m ＝33r所以，QC QA ＝r ＋mr －m ＝3＋13－1＝3＋2 故选D ．（第7题图）ABCD GFE （6）解：由a ＋b ＝2006，c －a ＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．（7）解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则m 2＝43， 由△ADG ∽△ABC ，可得x m＝32 m －x3 2m ，解得x ＝(23－3)m于是 ：x 2＝(23－3)m 2＝283－48， 由题意，a ＝28，b ＝3, c ＝48，，所以 a －c b＝－20 3．（8）解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了46³400x 50＝368x 米．于是368(x －1)＋800－400(x －1)＞400，所以，12.5≤x ＜13.5． 故x ＝13，此时 t ＝ 400³1350＝104．（9）解：因为0＜a ＋ 1 30 ＜a ＋230＜……＜a ＋29 30＜2，所以[a ＋130]，[a ＋230]，…，[a ＋ 29 30]等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以 [a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋11 30]＝0，[a ＋12 30]＋[a ＋13 30]……＋[a ＋29 30]＝1，所以 0＜a ＋ 11 30＜1 ，1≤a ＋12 30＜2．故18≤30a ＜19，于是6≤10a ＜ 19 3，所以 [10a ]＝6．（10）解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 2a 8bcdef ．根据题意，有81³abcdef ＝2a 8bcdef ．记x ＝b ³104＋c ³103＋d ³102＋e ³10＋f ，于是81³a ³105＋81x ＝208³105＋a ³106＋x 解得x ＝1250³(208－71a ) ．因为0≤x ＜105，所以0≤1250³(208－71a )＜105，故128 71＜a ≤208 71．因为a 为整数，所以a ＝2．于是x ＝1250³(208－71³2)＝82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．（11）解：（1）x＝12满足条件．（2）因为x＝ba，a，b为互质的正整数，且a≤8，所以2－1＜ba＜3－1，即(2－1)a＜b＜(3－1)a．当a＝1时，(2－1)³1＜b＜(3－1)³1，这样的正整数b不存在．当a＝2时，(2－1)³2＜b＜(3－1)³2，故b＝1，此时x＝12．当a＝3时，(2－1)³3＜b＜(3－1)³3，故b＝2，此时x＝23．当a＝4时，(2－1)³4＜b＜(3－1)³4，与a互质的正整数b不存在．当a＝5时，(2－1)³5＜b＜(3－1)³5，故b＝3，此时x＝35．当a＝6时，(2－1)³6＜b＜(3－1)³6，与a互质的正整数b不存在．当a＝7时，(2－1)³7＜b＜(3－1)³7，故b＝3，4，5此时x＝37，47，57．当a＝8时，(2－1)³8＜b＜(3－1)³8，故b＝5，此时x＝5 8 .所以，满足条件的所有分数为12，23，35，37，47，57，58.（12）解：由①－2³②得(b－c) 2＝24(a＋1)＞0，所以a＞－1．当a＞－1时，b2＋c2＝2a2＋16a＋14＝2(a＋1)(a＋7)＞0．又当a＝b时，由①，②得c2＝a2＋16a＋14，③ac＝a2－4a－5④将④两边平方，结合③得a2 ( a2＋16a＋14)＝(a2－4a－5) 2化简得24a3＋8a2－40a－25＝0，故(6a＋5)(4a2－2a－5)＝0，解得a＝－56，或a＝1±214．所以，a的取值范围为a＞－1且a≠－56，a≠1±214．（13）证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE ＝∠ACE ．又P A 是⊙O 所以∠KAP ＝∠ACE ，故∠KPE ＝∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ， 所以KP KA ＝KE KP，即 KP 2＝KE ²KA ． 由切割线定理得 KB 2＝KE ²KA 所以KP ＝KB ．因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是PE CE ＝KP AC 故 PE CE ＝KB AC， 即 PE ²AC ＝CE ²KB（14）解：设10个学生为S 1，S 2，…，S 10 ，n 个课外小组G 1，G 2，…，G n ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S 1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S 1恰好参加G 1，G 2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S 1没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数之和不小于3³10＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数不超过5n ， 故5n ≥30，所以n ≥6．下面构造一个例子说明n ＝6是可以的．G 1＝｛S 1，S 2，S 3，S 4，S 5｝，G 2＝｛S 1，S 2，S 6，S 7，S 8｝，G 3＝｛S 1，S 3，S 6，S 9，S 10｝， G 4＝｛S 2，S 4，S 7，S 9，S 10｝，G 5＝｛S 3，S 5，S 7，S 8，S 9｝，G 6＝｛S 4，S 5，S 6，S 8，S 10｝．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．。
2006年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点用S 、p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH 的面积和周长．设111,p p k S S k ==．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是（ ）A ．1k k 、均为常值．B ．k 为常值，1k 不为常值． C.k 不为常值，1k 为常值． D.1k k 、均不为常值．2．已知m 为实数，且ααcos sin 、是关于x 的方程0132=+-mx x 的两根．则4sin α+α4cos 的值为（ ） A.92． B.31 ． C.97 ． D.1．3．关于x 的方程a x x =-|1|2仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是（ ）A.a ＞0．B.a≥4．C.2＜a ＜4．D.0＜a ＜4． 4．设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是 ( )A.a c b >> ．B.b a c >> ．C.c b a >> ．D.c a b >> ．5．b a 、为有理数，且满足等式324163++⨯=+b a ,则b a +的值为 ( )A.2．B.4．C.6．D.8．6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为 ( )A ．2000．B ．2004．C ．2008．D ．2012．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于 ． 8．在等腰ABC Rt ∆中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝ ．9．使16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为 ．10．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足PO C PAB PBC PO A S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅.就称格点P 为“好点”．则正方形OABC 内部好点的个数为 ．注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知关于x 的一元二次方程0)994()32(222=++++++b a x b a x 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(b a ，有多少组?二、（本题满分25分）如图，D 为等腰△ABC 底边BC 的中点，E 、F 分别为AC 及其延长线上的点．已知∠EDF ＝90°．ED ＝DF ＝1，AD ＝5．求线段BC 的长．三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O1分别为△CEF 、△ABE 的外心．求证： (1)O 、E 、O1三点共线；(2).21ABC OBD ∠=∠ ．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同．三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O1分别为△CEF 、△ABE 的外心．(1)求证：O 、E 、01三点共线；(2)若,70o ABC =∠求OBD ∠的度数．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第二题相同．二、（本题满分25分）题目与（B ）卷第三题相同．三、（本题满分25分）设p 为正整数，且2≥p ．在平面直角坐标系中，点),0(p A 和点)0,(p B 的连线段通过1-p 个格点,),1,1(1 -p C )1,1(,).,(1---p C i p i C p i ．证明： (1)若p 为质数，则在原点O(0，0)与点),(i p i C i-的连线段)1,,2,1(.-=p i OC i 上除端点外无其他格点；(2)若在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(-=p i OC i 上除端点外无其他格点，则p 为质数． 2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ） A ．1. B ．31. C ．31-. D ．21. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） A ．－1. B ．1. C ．0. D ．2007.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形. B ．锐角三角形. C ．钝角三角形. D ）直角三角形.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）A ．30°.B ．45°.C ．60°.D ．75°.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为（ ）A ．91.B ．92.C ．94.D ．32. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）A ．101.B ．51.C ．103.D ．52. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333___ ． 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a = ． 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为 ．4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．第二试（A ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.第二试（B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. A B C D EF M N P第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数x a y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. 2008年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A. 5. B.7. C .9. D.11.2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ）A.185.B.4.C.215.D.245. 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）A.15.B.310.C.25.D.12. 4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）A.BM CN >.B.BM CN =.C.BM CN <.D.BM 和CN 的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ）A.39()8.B.49()8.C.59()8.D.98. 6． 已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）A.2008-.B.2008.C.1-.D.1.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．设51a -=，则5432322a a a a a a a +---+=-.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 .第二试（A ）一、（本题满分20分） 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ 恒成立.当乘积ab取最小值时，求,a b 的值.二、（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.三、（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+，求a ，b 的值.第二试（B ）一、（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式220ay xy bx -+≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ ,求()a b c +的值. 2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--=（ ）A.24.B. 25.C. 10. D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ ）A.103．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（ ）A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ） A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝（ ）23. C. 13. 6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=_ ____. 4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、DCB ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .三、（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=.第二试（B ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（B ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=.2010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.N A B3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则（ ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bxc +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB （ ）A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++=（ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PAPC ＝5，则PB ＝_____．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放______个球.第二试（A ）一、（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二、（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三、（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . N（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.第二试（B ）一、（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，，那么的大小关系是（）A. B. C. D.2．方程的整数解的组数为（）A．3. B．4. C．5. D．6.3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A． B． C． D．4．已知实数满足，则的最小值为（）A．. B．0. C．1. D．.5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为（）A．0. B．. C．. D．.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有（）A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数满足，则．2．使得是完全平方数的整数的个数为．3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．4．已知实数满足，，，则＝．第二试（A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.二、（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.三、（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的解析式.第二试（B）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.二、（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.三、（本题满分25分）题目与（A）卷第三题相同.第二试（C）一、（本题满分20分）题目与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（B）卷第二题相同.三、（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P ，与轴的正半轴交于A 、B（）两点，与轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.2011年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题:（本题满分42分，每小题7分） 1．如果a ，b ，c 是三个任意的数，那么2b a +，2c b +，2ac +这三个数一定（ ） A.都是整数. B.都不是整数. C.至多有两个整数. D.至少有一个整数. 2.关于x 的方程m x x =+-1||22恰好有3个不同的实数根，则实数m 的值等于（ ） A.1-. B.0. C.1. D.2.3.ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，若BD AB BC +=，︒=∠30C ，则B ∠的度数等于（ ）A. 45.B. 60.C. 75.D. 90.4.在1，2，3，…，100这100个数之间添上（99个）“+”号或“－”号，使算式的代数和为4150，则“－”号至少可添的个数是（ ）A.4.B.5.C.6.D.7.5.点P 是矩形ABCD 内部的一点，满足6=PA ，8=PB ，10=PC ，则PD 等于（ ） A.25. B.35. C.26. D.28.6.设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足c by ax =+，a cx bz =+，b az cy =+，则以a 、b 、c 为边长的三角形一定是（ ）A.锐角三角形.B.直角三角形.C.钝角三角形.D.形状不等确定. 二、填空题:（本题满分28分，每小题7分） 1.已知131+=a ，131-=b ，则baa b +的值为 . 2.如图，矩形ABCD 中，8=AB ，6=AD ，将BDC ∆沿BD 对折为BDE ∆，再将点B 对折与点A 重合，则折痕MN 的长度为 .3.若方程0132=+-x x 的两根也是方程024=+-q px x 的根，则()11q p +的个位数字是 ．4.在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，满足︒=∠20BAP ，︒=∠45PAQ ，则AQP ∠的度数为 .三、（本题满分20分）已知抛物线()02a c bx ax y ++=与直线()412k x k y --=．无论k 取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点，求抛物线的解析式.DM CBNE A四、（本题满分25分）如图，ABC ∆与ADE ∆都是等腰直角三角形，其中 90=∠=∠DAE BAC ，点M 是线段BE 的中点，求证：DC AM ⊥．五、（本题满分25分）已知a 为实数，若关于x 的方程0143||214442=-+-+a x x x x 有实数解，求实数a 的取值范围.2011年四川初中数学联赛决赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ） A ．42条. B ．54条. C ．66条. D ．78条.2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE＝15°，则∠BOE ＝（ ） A ．30°. B ．45°. C ．60°. D ．75°. 3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的根分别是（ ）A ．a ，b.B ．－a ，－b.C ．c ，d.D ．－c ，－d. 4．若不等式2133x x a -+-≤有解，则实数a 的最小值是（ ）A ．1.B ．2.C ．4.D ．6.5．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36.6．不定方程2225x y -=的正整数解（x ，y ）的组数是（ ） A ．0组. B ．2组. C ．4组. D ．无穷多组． 二、填空题:（本大题满分28分，每小题7分）1．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x=1对称，则y 的最小值是__________． 2．已知1a ，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．已知△ABC 中，AB，BC ＝6，CAM 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是_______________．4．一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手参赛，每位选手都与其余10n －1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n 的所有可能值是__________． 三、（本题满分20分）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，使得1212(3)(3)80x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．DM CBEAO EDCBA四、（本题满分25分）抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0<x 1<x 2．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△CAN 是等腰直角三角形， 且S △BMN =52S △AMN ．求该抛物线的解析式． 五、（本题满分25分）如图，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB>AC）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．△MDH 的外接圆交CM 于E ．求证：∠AEB ＝90°．2012年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题:（本题满分42分，每小题7分） 1．已知关于x 的方程3x+a=0的根比关于x 的方程5x －a=0的根大2，那么a 的值为（ ）A ．415-. B.415. C.41-. D.45. 2．设a a 312=+，b b 312=+且a ≠b ，则代数式2211ba +的值为（ ）A.5.B.7.C.9.D.11.3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOD=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 得距离为8cm.如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 到B 的方向移动，那么⊙P 与直线CD 相切所需的时间为（ ）秒A.6.B.8.C.10.D.6或10. 4．已知7=a,70=b,则9.4等于（ ）A.10b a +. B.10a b -. C.a b . D.10ab.5．已知0221≠+=+b ab a ，则b a 为（ ）A.－1.B.1.C.2.D.4.6．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC 交BD 于O,MON ∥AB,且MON 分别交AD 、BC 于M 、N ，则CDMNAB MN +等于（ A.1. B. 2. C.3. D.4.二、 填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．有一列数，按1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,2，…的规律排列，那么从左往右数，第2012个位置上的数是 .EHMDCBA2．若函数y=kx与函数y=2x的图象交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为 .3．如图，在平面上将△ABC绕点B旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′= .4．如图，大圆O的直径AB=12cm，分别以OA，OB为直径作圆1O和圆2O，并在圆O与圆1O和圆2O的空隙间作两个等圆圆3O和圆4O，这些圆相互内切或外切，则四边形1423OO O O的面积为 cm2.三、（本题满分20分）如图，一次函数y=－2x+8的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C.(1)若矩形ABOC的面积为4，求A点坐标；(2)若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值.四、（本题满分25分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB,过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为△ABC外接圆的直径.五、（本题满分25分）已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++azxyazxyzxyzyx2的所有各组解（x,y,z）都是由正实数组成的，其中a是参数.试求a的取值范围.一、2012年四川初中数学联赛决赛试题一、选择题：(每小题7分，共42分)1．若－3＜x＜－1，则化简2|1|x-+得( )A．1－x. B．－3＋x. C．3－x. D．3＋x.2．若抛物线y＝x2－4x＋m的顶点在x轴上，则m的值是( )A．0. B．1. C．2. D．4.3．菱形ABCD的边长为1，面积为79，则AC＋BD的值是( )A．43. B．169. C．83. D．329.4．在凸四边形ABCD中，AB＝2AD，BC＝1，∠ABC＝∠BCD＝60°，∠ADC＝90°，则AB的长度是( )A．. B．.C．2. D．3.5．一个活动小组，如果有5个13岁的成员退出，或者有5个17岁的人员加入(两种情况不同时发生)，其成员的平均年龄都增加1岁，则这个活动小组原有成员的人数是( ) A ．10. B ．12. C ．14. D ．16.6．一个正整数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”．比如：1、11、121都是回文数，而110则不是回文数，将所有“回文数”从小到大排成一列：1、2、…、9、11、22、…，则第2012个“回文数”是( )A ．1011101.B ．1013101.C ．1021201.D ．1030301. 二、填空题：(每小题7分，共28分)1．设1x 、2x 是方程x2－2x －m ＝0的两根，且122x x +＝0，则m 的值是＿＿＿＿＿． 2．在△ABC 中，∠ACB ＝45°，D 是AB 边上异于A 、B 两点的任意一点，△ABC 、△ADC 和△BDC 的外接圆圆心分别为O 、1O 、2O ，则∠12O OO 的度数等于＿＿＿＿．3．已知a ，b 为正实数，m 为正整数，且满足14,48,a b ab m +≤⎧⎨≥+⎩则m 的值是＿＿＿＿＿．4．在一次球类比赛中有8个队参赛，每两队要进行一场比赛，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．一个队要确保进入前四名(即积分至少要超过其他四个队)，则他的积分最少是＿＿＿＿＿＿．三、（本题满分20分）已知抛物线2y x =与直线(2)(21)y k x k =+--．(1)求证：无论k 为什么实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点；(2)设该抛物线与直线的两个不同的交点分别为A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，若1x ，2x 均为整数，求实数k 的值．四、（本题满分25分）如图，已知⊙A 与⊙B 相交于C 、D 两点，延长AC 交⊙B 于E ，延长BC 交⊙A 于F ．求证：C 是△DEF 的内心．五、（本题满分25分）将10，11，12，…，98，99这90个正整数写在黑板上，擦去其中的n 个数，可使黑板上剩下的所有数的乘积的个位数是1，求n 的最小值．二、 2013年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知10x ，则2x ，x ，1x的大小关系是（ ）A ．21x xx B ．21x x x C ．21x x x D ．21x x x2．如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连接BP ， 过P 作PQ ⊥BP ，PQ 交CD 于Q ，若AP ＝CQ ＝2，则正方形ABCD 的面积为A ．642B ．16C ．1282D ．323．若实数a ，b 满足2220ba b ，则a 的取值范围是（ ） A ． a ≤－1 B ：a ≥－1 C ：a ≤1 D ：a ≥14．如图，在四边形ABCD 中，∠B=135°，∠C=120°，，BC=33，CD=6，则AD 边的长为（）A ．B ．C ．D ．5．方程1137x y 的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．5 6．已知实数,,x y z 满足1x y z y z z x x y ，则222x y z y z z x x y 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．1D ．2二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）1．x 是正整数，○x 表示x 的正约数个数，则③×④÷⑥等于 ． 2．草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 ． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、DC 的中点，AM=4，AN=3，且角MAN=60°，则AB 的长是 ．4、小明将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入(1)n 个数，且平均值为30.75，假设这(1)n 个数输入无误，则漏输入的一个数是 ． 三、（本题满分20分） 解方程2|21|20x x ．四、（本题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD 中，CB CD ，求证：CA 2－CB 2＝AB ×AD ； 五、（本题满分25分） 已知二次函数2yaxbx c 和一次函数ybx ，其中a 、b 、c 满足a b c ，0a b c ．(a 、b 、c ∈R )．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A 、B ；（2）过（1）中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为A 1、B 1．求线段A1B 1的长的取值范围．2006年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．B 2．C 3．D 4．A 5． B 6．C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7．0 8．1129．8310．197第二试(A)一、（本题满分20分）解：由题可得二、（本题满分25分）三、（本题满分25分）解：第二试（B）一、（本题满分20分）题目与（A）卷第一题相同二、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同三、（本题满分25分）解：第二试（C）一、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同二、（本题满分20分）题目与（B）卷第三题相同三、（本题满分25分）解：2007年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.B2.C3.D4.C5.A6.B（解析：1.由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选B. 注：本题也可用特殊值法来判断.2． 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选C.3. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选D.4. 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选C.5． A.分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选A. 6．设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选B.） 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.1 2. 10034016- 3.4 4.7 （解析：1.∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2.由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以 =--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3.延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4．设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .）第二试 （A ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt + （5分） 由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥（10分） 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2m n m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分） 证明:设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.(5分)又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.(10分)∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM =(15分) 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC(20分)∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED. A B C D E FM N P∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.(25分)三、（本题满分25分）解：观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x （5分）因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1） 的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.（10分）设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.（25分） 第二试 （B ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.（5分）所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）（10分）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2m n m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m ⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）（5分）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.（10分）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分）当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数。
2006年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.【证明】 因为12-=nx y 与x y =的交点为002n x y ±==.显然有001x n x +=。
…（5分）若),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点，则001mmk x x =+. …（10分） 记001mm mk x x =+，则 101101()m m m m m k k x k nk k x +--=+-=-， (2)m ≥ （13.1） 由于1k n =是整数，22220020011()22k x x n x x =+=+-=-也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数m ，001mm m k x x =+是正整数. 现在对于任意正整数m ，取001m mk x x =+，使得12-=kx y 与x y =的交点为),(00m m y x . ………………… （20分）14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：（1） 当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；（2） 进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.【解】 （1） 首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。
2006年全国高中数学联合竞赛试题1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，则△ABC 一定为( )A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为( )A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x <<3. 已知集合{}50A x x a =-≤，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为( ) A. 20 B. 25 C. 30 D. 424. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为( )A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 5.设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( )A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为( )A ．200620061(108)2+B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108-二.填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为______.9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为_______. 10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_______.11.方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++= 的实数解的个数为12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 .三. 解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点.试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m m y x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.15. 设 2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n = ，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2006年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ）3. 已知集合{}5≤-=a x x A ，{}6>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】（ ）4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭ B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,⎡⎣ D. 【答】 （ ）5. 设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108-【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1． 答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．2． 答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⇒ ⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．3 答C ．解：5x －a ≤0⇒x ≤a 5；6x －b ＞0⇒x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 4．答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．5．答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 6． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k 以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k (－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(－82006)． 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．8. 填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2⇔(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤4⇔2a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． ⇔－25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． ⇔25|a |≤3－5a 2⇒|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 9．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2|⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．10． 填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n 2－4n ＋5，则{a n }的最大项是 （ ）A ．a 1B ．a 2C ．a 3D ．a 4 2．函数y ＝3 |log 3x |的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线y 2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有 （ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个4．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1＋x 2＞0，x 2＋x 3＞0，x 3＋x 1＞0，则（ ） A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条6．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010．若的最长边为1，则最短边的长为 （ ）A ．455B ．355C ．255D ．55二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．集合A ＝｛x |x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y |y ＝5m ，m ∈N ，0≤n ≤6｝则集合A ∪B的所有元素之和为__________________． 8．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ的值是__________________． 9．(x －3x 2)3的展开式中，x 5的系数为__________________．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，3x －y ≥0，x ＋3y －3≤0，则x 2＋y 2的最大值是__________________．11．等比数列{a n }的首项为a 1=2020，公比q ＝－12，设f (n )表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f (n )有最大值．12．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB 1＝4，AD 1＝3，则对角线AC 1的取值范围是______________________________．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x |log 12(3－x )≥－2｝，B ＝｛x |2ax －a ≥1｝，若A ∩B ＝ ，求实数a 的取值范围．14．椭圆x 29＋y 24＝1的有焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝∠P 3FP 4＝…＝∠P 24FP 1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EA C ．证明是直角．16．设p 是质数，且p 2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ．A B C D E2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n 2－4n ＋5，则{a n }的最大项是 （ ）A ．a 1B ．a 2C ．a 3D ．a 4 解：a n ＝1(n －2)2＋1，当n ＝2时，a n 取最大值，故选B ．2．函数y ＝3|log 3x |的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 解：由于|log 3x |≥0，故y ≥1，只有A 满足此条件，故选A ．3．已知抛物线y 2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有 （ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个解：作垂直于x 轴的焦点弦交抛物线于点P 1、P 2，则△P 1OF 、△P 2OF 是直角三角形．对于抛物线上异于O 、P 1、P 2的点Q ，显然∠QFO ≠90˚，∠QOF ≠90˚，从而若△QOF 为直角三角形，则只能是∠FQO ＝90˚．设点Q 坐标为(y 22p，y )(y ≠0，±p )，则有y 22p (y 22p －p2)＋y 2＝0， 由y ≠0得，y 22p ＋3p2＝0，此方程无实解，从而这样的点P 只能2个，选B ．4．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1＋x 2＞0，x 2＋x 3＞0，x 3＋x 1＞0，则（ ） A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3) 解：则x 1＞－x 2，知f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2) f (x 1)＋f (x 2)＜0； 同理，f (x 2)＋f (x 3)＜0，f (x 3)＋f (x 1)＜0； 所以，f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0．选B ．5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条解：首先，过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分线．故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系，则方程|x |＝|y |x Oy x O yx O y＝|z |共有8解，此8解共组成4条直线，故选C ．6．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010．若的最长边为1，则最短边的长为 （ ）A ．455B ．355C ．255D ．55解：作辅助图如右：取高CD ＝a ，则AD ＝2a ，BD ＝3a ， 最短边AC ＝5a ；由5a ＝1，得a ＝15，故选D ．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上． 7．集合A ＝｛x |x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y |y ＝5m ，m ∈N ，0≤n ≤6｝则集合A ∪B的所有元素之和为__________________．解：A ∩B ＝{15}；故所求和＝(3＋6＋…＋27)＋(0＋5＋…＋30)－15＝225． 8．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ的值是__________________． 解：已知即cos 2θ－sin 2θ＝23⇒cos 4θ＋sin 4θ－2cos 2θsin 2θ＝29； ① 又，cos 2θ＋sin 2θ＝1⇒ cos 4θ＋sin 4θ＋2cos 2θsin 2θ＝1． ② (①＋②)÷2： cos 4θ＋sin 4θ＝1118．9．(x －3x 2)3的展开式中，x 5的系数为__________________． 解：(x －3x 2)3＝x 3－3x 2×3x 2＋3x ×9x 4－27x 6．⇒x 5 的系数＝27．10．已知⎩⎨⎧y ≥0，3x －y ≥0，x ＋3y －3≤0，则x 2＋y 2的最大值是__________________．解：满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界．其中点(3，0)与原点距离最大，故(x 2＋y 2)max ＝9． 11．等比数列{a n }的首项为a 1=2020，公比q ＝－12，设f (n )表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f (n )有最大值．解：由于f (4k )＞0，f (4k ＋1)＞0，(k ∈N *)． f (4k )＝a 4k1 q 2k (4k－1)；f (4k ＋1)＝a 4k ＋11 q 2k (4k＋1)．故f (4k ＋1)f (4k )＝a 1q 4k ．于是f (12)＞f (13)，且当k ≥3时，f (4k ＋1)＜f (4k )；又f (12)f (9)＝a 31q 30，有f (9)＜f (12)；f (4k ＋4)f (4k )＝a 41q 2(8k ＋3)， 故f (8)＜f (12)，且k ≥3时，f (4k ＋4)＜f (4k )， 从而f (12)最大．12．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB 1＝4，AD 1＝3，则对角线AC 1的取值范围是______________________________．解：设长方体的三度分别为x ，y ，z ，对角线AC ＝d ．则可得x 2＋z 2＝16，y 2＋z 2＝9．d 2＝x 2＋y 2＋z 2＝25－z 2，ABDC 3a2aa但0＜z ＜3，从而16＜d 2＜25⇒4＜d ＜5⇒所求取值范围为(4，5)．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x |log 12(3－x )≥－2｝，B ＝｛x |2ax －a ≥1｝，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解：由log 12(3－x )≥－2⇒0＜3－x ≤4⇒－1≤x ＜3．由2ax －a≥1⇒(x －a )(x －3a )≤0． ① 当a ＞0时，解为a ＜x ＜3a ； ② 当a ＝0时，解为∅；③ 当a ＜0时，解为3a ＜x ＜a ．若A ∩B ≠∅，则当a ＜0时，有a ＞－1⇒－1＜a ＜0；当a ＞0时，有3a ＜3⇒0＜a ＜1． 所以，a 的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．14．椭圆x 29＋y 24＝1的有焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝∠P 3FP 4＝…＝∠P 24FP 1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．解法一：已知椭圆的a ＝3，b ＝2，c ＝5，e ＝53，p ＝b 2c ＝45．对于椭圆上任一点P ，|FP |＝r ，P 到准线的距离|PH |＝d ，FP 与Ox 正向夹角为θ，则有r cos θ＋d ＝p ，rd ＝e ．于是， d (1＋e cos θ)＝p ，⇒1d ＝1p (1＋e cos θ)．所以， S ＝i ＝1∑241d i ＝1p i ＝1∑24(1＋e cos θ)＝24p ＋e p i ＝1∑24cos θ＝24p ．故 S 2＝242p2＝180．解法二：设过焦点且斜率为k 的直线交椭圆于A 、B 两点．则有⎩⎨⎧y ＝k (x －c )， ①4x 2＋9y 2＝36． ②①代入②： 4x 2＋9k 2(x －5)2－36＝0．即， (4＋9 k 2)x 2－185xk 2＋45k 2－36＝0．所以， x 1＋x 2＝185k 24＋9k 2，x 1x 2＝45k 2－364＋9k 2．而点P 到准线距离d ＝a 2c －x ＝9－5x 5⇒1d ＝59－5x ，故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为59－5x 1＋59－5x 2＝5[18－5(x 1＋x 2)]81－95(x 1＋x 2)＋5x 1x 2＝5[18－5·185k 24＋9k 2]81－95·185k 24＋9k 2＋545k 2－364＋9k 2＝185(4＋9k 2)－905k 281(4＋9k 2)－810k 2＋225k 2－180 ＝725＋725k 2144＋144k2＝52． 而过焦点且倾斜角θ＝90˚时，两交点到准线的距离＝a 2c －c ＝45，故θ＝90˚及270˚的两个点到准线距离倒数和也＝52． 所以，S ＝12×52＝65；S 2＝180． 解法三：令⎩⎨⎧x ＝5＋t cos θ，y ＝t sin θ．代入椭圆方程得，t 2(4cos 2θ＋9sin 2θ)＋85t cos θ－16＝0．同上．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EA C ．证明是直角．证明一：延长AE 到F ，使EF ＝AE ，延长AD 到K ，使DK ＝A D ．连FK ，FB ．因FB ∥AC ⇒∠AFB ＝∠EAC ．又BD 垂直平分AK ，故∠AKB ＝∠BAD ，因∠BAD ＝∠EAC ，所以∠AKB ＝∠AF B ．所以A 、F 、K 、B 四点共圆． FK ∥BC ⇒∠FKA ＝90˚．故AF 为该圆直径．E 为此圆圆心．故EA ＝EB ＝EC ，即点C 在此圆上．此圆为△ABC 的外接圆，BC 为圆的直径． 所以∠BAC 为直角． 证明二：取△ABC 的外接圆，延长AE 交圆于点F ，连FB ，则∠CBF ＝∠CAF ＝∠BAD ， 但∠BAD ＋∠ABD ＝90˚，从而∠FBC ＋∠ABC ＝90˚，即∠ABF ＝90˚． 从而AF 为圆的直径．若E 不是圆心，则AF ⊥BC ，⇒AB ＝AC ．与已知矛盾．故E 为外心．从而∠BAC ＝90˚．证明三：作△ABC 的外接圆，作EF ⊥BC ，交外接圆于点F ，连AF ． 则EF 是BC 的垂直平分线，故F 为⌒BC 的中点，于是AF 是∠BAC的平分线．由∠BAD ＝∠EAC ，得∠DAF ＝∠EAF ．又，EF ∥AD ，故∠DAF ＝∠EF A ⇒∠EAF ＝∠EF A ．⇒EA ＝EF ．故AF 的垂直平分线经过点E ．由于△ABC 的外接圆圆心应是弦AF 、BC 的垂直平分线的交点，故E 为△ABC 的外心．从FED CB AA B C D E FK而△ABC 为直角三角形，得，∠BAC 为直角．证明四：取AC 中点F ，连DF 、EF ， 由EF ∥AB ⇒∠AEF ＝∠EAB ＝∠BAD ＋∠DAE ＝∠EAC ＋∠DAE ＝∠DAC ，由AD 为高，故∠DAC ＝∠ADF ，所以，∠ADF ＝∠AEF ⇒A 、D 、E 、F 四点共圆．于是有∠EF A ＝90˚，从而∠BAC ＝90˚，故证．证明五：以D 为原点，BC 所在直线为x 轴建立坐标系．设点A 、B 、C 的坐标分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (0，c )．设AB 到AD 的角为α，则tan α＝－ba ．k AC ＝－a c ，k AE ＝－2ab ＋c，⇒tan ∠EAC ＝－a c ＋2ab ＋c 1＋2a 2c (b ＋c )＝a (c －b )2a 2＋bc ＋c 2． 由tan ∠EAC ＝tan α⇒－ba ＝a (c －b )2a 2＋bc ＋c 2．化简得a 2＝－bc ．即|AD |2＝|DB |·|DC |．故△ABC 为直角三角形．证明六：设BC ＝a ，BD ＝p ，AD ＝h ，则tan B ＝hp ，tan ∠AEB ＝h 12a －p ＝2ha －2p ．∠BAE ＝∠DAC ⇒tan ∠BAE ＝tan ∠DAC ＝a －ph．在△ABE 中，有h p ＋2ha －2p ＋a －p h ＝h p ·2h a －2p ·a －p h ＝2h (a －p )p (a －2p )．即h 2(a －2p )＋2ph 2＋p (a －p )(a －2p )＝2h 2(a －2p )．⇒h 2＝p (a －p )．从而|AD |2＝|DB |·|DC |．故△ABC 为直角三角形．得证．证明七：设∠BAD ＝∠EAC ＝α，则AD ＝AB cos α＝AC sin C ， ① ∠BAE ＝∠DAC ＝90˚－C ．而S △BAE ＝S △CAE ⇒AB ·AE sin(90˚－C )＝AC ·AE sin α⇒AB cos C ＝AC sin α．②①×②：sin2α＝sin2C ⇒α＋C ＝90˚或α＝C ．若α＋C ＝90˚，则D 、E 重合，与AC ＞AB 矛盾，⇒α＝C ．则有∠BAC ＝90˚，得证．16．设p 是质数，且p 2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ．解 p ＝2时，p 2＋71＝75＝3×52，d (75)＝2×3＝6＜10，故p ＝2是本题的解；p ＝3时，p 2＋71＝80＝24×5，d (80)＝5×2＝10≤10，故p ＝3是本题的解； 若质数p ＞3，则p 2≡1(mod 8)⇒p 2＋71≡0(mod 8)，故23|p 2＋71； p 2≡1(mod 3)⇒ p 2＋71≡0(mod 3)，故3|p 2＋71．所以，p 2＋71＝2α×3β×t ．其中α、β∈N *，且α≥3．ahpABCEDFD E C B A当α＝3，β＝1，t若有大于3的质因子，则d(p2＋71)≥4×2×2，故t＝1．此时无质数p满足题意；当α＝4，β＝1，必有t＝1，此时有d(p2＋71)≥5×2＝10．此时无质数p满足题意；当α≥4，β≥1，且等号不同时成立时，d(p2＋71)＞10．综上可知，解为p＝2，3．。
2006年全国九年级义务教育初中中考数学联赛决赛试卷一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,用S ,P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；1S ,1P 分别表示四边形EFGH 的面积和周长,设1S K S =,11PK P =,则下面关于K ,1K 的说法正确的是( ) A.K ,1K 均为常值B.K 为常值,1K 不为常值C.K 不为常值,1K 为常值D.K ,1K 均不为常值 【解析】 B .如图,易知14AEH ABD S S =△△,14CFG CBD S S =△△,故14AEH CFG S S S +=△△.同理,14BEF DHG S S S +=△△.故112S S =,即K 2=为常值.又易知1P AC BD =+,特别的,若取邻边长分别为1、2的矩形,则1K =；再取邻边长分别为1、3的矩形,则1K ==故1K 不是常值.GHFEDCBA2.已知m 为实数,且sin α,cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根,则44sin cos αα+的值为( )A.29B.13C.79 D,1 【解析】 C .由根与系数的关系知1sin cos 3αα=,则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-⋅=.3.关于x 的方程21x a x =-仅有两个不同的实根,则实数a 的取值范围是( ) A.0a > B.4a ≥C.24a <<D.04a <<【解析】 D .当0a <时,无解；当0a =时,0x =,不合题意；当0a >时,方程化为21x a x =±-,整理得20x ax a -+=或20x ax a +-=.这两个方程的判别式分别为214a a =-△和224a a =+△.∵20>△,原方程仅有两个不同实根,所以2140a a =-<△,从而04a <<.4.设0b >,2220a ab c -+=,2bc a >,则实数a ,b ,c 的大小关系是( ) A.b c a >> B.c a b >> C.a b c >> D.b a c <<【解析】 A .由2bc a >及0b >,知0c >.由222ab a c =+及0b >,知0a >.由2220a ab c -+=,知()2220b c a b -=-≥,从而b c ≥.若b c =,由2220a ab c -+=知a b =,从而a b c ==与2bc a >矛盾,故b c >. 由22b bc a >>,知b a >；又由22222a c ab a +->,知c a >.5.设a ,b 为有理数,且满足等式a +则a b +的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 B .3==,所以3a +=+即()(310a b -+-. 由a 、b 为有理数,则3a =,1b =,即4a b +=.6.将满足条件“至少出现一个数字0,且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104,……,则这列数中的第158个数为( ). A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 【解析】 C .在正整数中,是4的倍数的特征为末两位数字是4的倍数,其中包含数字0的7种情形:00,04,08,20,40,60,80和包括数字0的18种情形.显然,满足条件的两位数仅有4个；满足条件的三位数共有9763⨯=个；满足条件千千位数字为1的四位数共有71018188⨯+⨯=个.因为46388155++=,则从小到大的第155个满足条件的数为1980.下面满足条件的数依次为2000,2004,2008.故这列数中的第158个数为2008.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.函数220062008y x x =-+的图象与x 轴交点的横坐标之和等于 . 【解析】 0.原方程可转化为求方程2200620080x x -+=的所有实根之和.若实数0x 为方程的根,则其相反数0x -也为该方程的根,所以,方程的所有实根之和为0,即与x 轴交点的横坐标之和为0.2.在等腰Rt ABC △中,1AC BC ==,M 是BC 的中点,CE AM ⊥于E 交AB 于F ,则MBF S =△ .【解析】 112.如图,作BG BC ⊥交CF 的延长线于点G ,易证Rt Rt ACM CBG △≌△.故BG CM =,12CBG ACM ABC S S S =-△△△.由易证BFM BFG △≌△,故BGF BMF CMF S S S ==△△△.从而1113612MBF CBG ABC S S S ===△△△.MGF ECBA3.x 取值为 .【解析】 83.在直角坐标系xOy 中,设()0,2A -,()8,4B ,(),0P x ,有PAPB则10PA PB AB +=≥.当且仅当A 、P 、B 三点共线时,上式等号成立.因此,当且仅当A 、P 、B 三点共线时,原式取最小值.此时,易知BCP AOP △∽△,有2CP BCPO AO==.从而,1833OP OC ==.故原式取最小值时,83x =.4.在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点坐标分别为()00O ，、()1000A ，、()100100B ，、()0100D ，.若正方形OABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足:POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,就称格点P 为“好点”,则正方形OABC 内部“好点”的个数为 .(注:所谓“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.) 【解析】 如图,过点P 分别作PD 、PE 、PF 、PG 垂直于点OA 、AB 、BC 、OC 于点D 、E 、F 、G .易知100PF PD +=,100PE PG +=.由POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,知PD PF PE PG ⋅=⋅,即()()100100PD PD PG PG -=-.化简为()()1000PD PG PD PG -+-=,故PD PG =或100PD PG +=,即PD PG =或PG PF =. 于是P 为对角线OB 上的点或P 为对角线AC 上的点.因此,当且仅当P 为对角线OB 或对角线AC 内部的格点时,点P 为好点.易知OB 内部有99个好点,AC 内部也有99个好点,又知对角线OB 与AC 的交点也为好点,于是满足条件的好点个数为99991197+-=个.三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)1.如图,D 为等腰ABC △底边BC 的中点,E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.又已知90EDF ∠=o ,1ED DF ==,5AD =.求线段BC 的长.DEC FBA【解析】 如图,过点E 作EG AD ⊥于点G ,过点F 作FH AD ⊥于点H ,则EDG DFH ∠=∠.故Rt Rt EDG DFH △≌△.设EG x =,DG y =,则DH x =,FH y =,且221x y +=.又Rt Rt AEG AFH △∽△,则EG AGFH AH=.即55x y y x -=+. 化简为()225x y y x +=-. 由上述两式解得35x =,45y =. 又因为Rt Rt AEG ACD △∽△,则CD EGAD AG=. 故35554755EG CD AD AG =⋅=⨯=-.所以,1027BC CD ==.FEDC B A2.在平行四边形ABCD 中,A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于E 、F ,点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心.⑴ 求证:O 、E 、1O 三点共线； ⑵ 求证:若70ABC ∠=o ,求OBD ∠的度数.【解析】 ⑴如图,连结OE 、OF 、1O A 、1O E .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以ABE ECF ∠=∠.又因为点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心,所以OE OF =,11O A O E =,122EOF ECF ABE AO E ∠=∠=∠=∠. 于是有1OEF O EA △∽△.故1OEF AEO ∠=∠,所以O 、E 、1O 三点共线.⑵连接OD 、OC .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以,CEF DAE BAF CFE ∠=∠=∠=∠. 故CE CF =.又因为点O 为CEF △的外心,所以OE OF OC ==. 则OCE OCF △≌△,有OEC OFC OCF ∠=∠=∠.故OEB OCD ∠=∠.又BAE EAD AEB ∠=∠=∠,则EB AB DC ==. 因此OCD OEB △≌△.所以,ODC OBE ∠=∠,OD OB =,ODC OBC ∠=∠,OBD ODB ∠=∠,OBD OBC CBD ∠=∠+∠ODC BDA =∠+∠ADC BDO =∠-∠ABC OBD =∠-∠.故12OBD ABC ∠=∠.DO 1O FEDCBA3.设p 为正整数,且2p ≥.在平面直角坐标系中,连结点()0A p ，和点()0B p ，的线段通过1p -个格点()111C p -，,…,()i C i p i -，,…,()111p C p --，. 证明:⑴ 若p 为索数,则在原点()00O ，与点()i C i p i -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点；⑵ 若在原点()00O ，与点()1i C i p -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点,则p 为索数.【解析】 ⑴用(),P a b 表示OAB △内的格点,a 、b 为正整数.假设结论不成立,则点P 位于某条线段1OC 内部(如图9).过点P 作PE OB ⊥于点E ,过点i C 作i C F OB ⊥于点F .由i OEP OFC △∽△,知b p ia i-=,其中11i p -≤≤. 易知1a i <≤,1b p i <-≤. 由b p ia i-=知()a b i ap +=,从而|i ap . 因为p 为质数,且11i p <-≤,则i 与p 互质.从而|i a ,故i a ≤,这与a i <矛盾. 所以,假设不成立,从而原结论成立. ⑵假设结论不成立,即p 为合数.故p xy =,其中x 、y ∈N ,且2,1x y p -≤≤.因为OAB △内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到1p -之间的任何整数,故必存在一格点(),P a b ,满足a b x +=,于是()a b y xy p +==,即ay by p +=.因此点(),ay by 必是()11,1C p -,()22,2C p -,…,()11,1p C p --中的一个点,设为(),i C i p i -.从而有ya i =,by p i =-,故b p ia i-=. 所以,点(),P a b 在线段i OC 内部,即在线段i OC 上除端点外还有其他格点,这与已知矛盾. 故原结论成立.。
2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21+=m ，21-=n ，且)763)(147(22--+-n n a m m =8，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >2 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132- （B ）32 （C ）23+ （D ）23+（第5题图）二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于 面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数， 且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值 等于 ．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a ，则[]a 10的值等于．([]x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知abx =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<<-x ． （1） 试写出一个满足条件的x ； （2） 求所有满足条件的x ．（第7题图）ABCD GFE12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ① 542--=a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．ABC14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
2006年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】 （ ） 2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答案】（ ）5. 设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答案】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l ：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为 .10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.11. 方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++=的实数解的个数为 .12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）15. 设2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .2006年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （考试时间：上午10：00—12：00）一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。
