第十四章基础训练14轴对称(精品整套资料)(人教新课标初二上)

13．1轴对称13．1.1轴对称学习目标：1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．预习阅读教材，完成预习内容．知识探究11．如果________沿一直线折叠，________的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的________．2．把________沿着某一条直线折叠，如果它能够与另________重合，那么就说__________关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．自学反馈11．如图所示的图案中，是轴对称图形的有____________．2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．角B．等边三角形 C．线段 D．直角梯形3．下图中哪两个图形放在一起可以组成轴对称图形________．4．轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？点拨：区别为轴对称是指两个图形能沿对称轴折叠后重合，而轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合．联系是都有对称轴、对称点和两部分完全重合的特性．阅读教材，了解轴对称及轴对称图形的性质，学生独立完成下列问题：知识探究21．经过线段________并且________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；2．成轴对称的两个图形________；3．如果两个图形关于某条直线对称，那么________是任何一对对应点所连线段的__________；4．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的__________．自学反馈2如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点．(1)将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，则有△ABC≌_______，PA=_______，∠MPA=________=________度．(2)MN与线段AA′的关系为________________．活动1小组讨论例1.下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出轴对称图形的对称轴．①等边三角形②正方形③圆④菱形⑤平行四边形解：①②③④是轴对称图形；⑤不是轴对称图形．①等边三角形的对称轴为三条中线所在的直线；②正方形的对称轴为两条对角线所在的直线和两组对边中点所在的直线；③圆的对称轴为过圆心的直线；④菱形的对称轴为两条对角线所在的直线．例2.指出下边哪组图形是轴对称的，并指出对称轴．①任意两个半径相等的圆；②正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；③长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形．解：①两圆心所在的直线和连接两圆心的线段的中垂线；②把正方形分成两个三角形的那条对角线所在的直线；③不是轴对称．例3.如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB=2cm，∠C=95°，则AE=2cm，∠D=95°．课堂小结1．可用折叠法判断是否为轴对称图形．2．多角度、多方法思考对称轴的条数．3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定学习目标：理解线段垂直平分线的性质和判定，并会运用它们解决线段相关问题。

14.1 整式的乘法一．选择题1．下列式子运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2•x3＝x5D．x4+x＝x4 2．计算a•a2结果正确的是（）A．a B．a2C．a3D．a43．计算下列代数式，结果为x5的是（）A．x2+x3B．x•x5C．x6﹣x D．2x5﹣x5 4．下列运算正确的是（）A．（a3）4＝a12B．a3•a4＝a12C．a2+a2＝a4D．（ab）2＝ab2 5．下列计算正确的是（）A．x•x＝2x B．x+x＝2x C．（x3）3＝x6D．（2x）2＝2x2 6．计算：（﹣x2y）3＝（）A．﹣2x6y3B．x6y3C．﹣x6y3D．﹣x5y4 7．下列运算，正确的是（）A．a（﹣a）＝﹣a2B．（a2）3＝a5C．2a﹣a＝1 D．a2+a＝3a 8．以下计算正确的是（）A．（﹣2ab2）3＝8a3b6B．3ab+2b＝5abC．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m39．计算6x•（3﹣2x）的结果，与下列哪一个式子相同（）A．﹣12x2+18x B．﹣12x2+3 C．16x D．6x10．计算（2x﹣3）（3x+4）的结果，与下列哪一个式子相同？（）A．﹣7x+4 B．﹣7x﹣12 C．6x2﹣12 D．6x2﹣x﹣12 11．计算（x+1）（x+2）的结果为（）A．x2+2 B．x2+3x+2 C．x2+3x+3 D．x2+2x+2 12．计算（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x）的结果，与下列哪一个式子相同？（）A．﹣x2+2 B．x3+4C．x3﹣4x+4 D．x3﹣2x2﹣2x+4二．填空题13．若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝．14．若a2n＝5，b2n＝16，则（ab）n＝．15．已知x2+2x＝﹣1，则代数式5+x（x+2）的值为．16．计算：（﹣2a）•（a3﹣1）＝．17．已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝．18．计算（x﹣1）（x+2）的结果是．三．解答题19．计算（x+y）（x2﹣xy+y2）20．先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x＝．21．小刚同学计算一道整式乘法：（2x+a）（3x﹣2），由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx+10．（1）求a，b的值；（2）计算这道整式乘法的正确结果．22．计算：（1）[（﹣3a2b3）3]2；（2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3；（3）（﹣0.5×3）199×（2×）200；（4）5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5）．参考答案一．选择题1．解：A、2x+3x＝5x，故此选项错误；B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此选项错误；C、x2•x3＝x5，正确；D、x4+x，无法合并，故此选项错误．故选：C．2．解：a•a2＝a1+2＝a3．故选：C．3．解：A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；B、x•x5＝x6，故选项B不合题意；C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；D、2x5﹣x5＝x5，故选项D符合题意．故选：D．4．解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；B、a3•a4＝a7，故原题计算错误；C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；故选：A．5．解：A．x•x＝x2，故本选项不合题意；B．x+x＝2x，故本选项符合题意；C．（x3）3＝x9，故本选项不合题意；D．（2x）2＝4x2，故本选项不合题意．故选：B．6．解：（﹣x2y）3＝＝．故选：C．7．解：A、a（﹣a）＝﹣a2，原计算正确，故此选项符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、2a﹣a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2与a不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：A．8．解：（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，A错误；3ab+2b不能合并同类项，B错误；（﹣x2）（﹣2x）3＝8x5，C错误；故选：D．9．解：6x•（3﹣2x）＝18x﹣12x2，故选：A．10．解：由多项式乘法运算法则得（2x﹣3）（3x+4）＝6x2+8x﹣9x﹣12＝6x2﹣x﹣12．故选：D．11．解：原式＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2，故选：B．12．解：（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x），＝（2x2﹣4）（x﹣1），＝x3﹣2x2﹣2x+4．故选：D．二．填空题13．解：∵2x＝3，2y＝5，∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．故答案为：15．14．解：∵a2n＝5，b2n＝16，∴（a n）2＝5，（b n）2＝16，∴，∴，故答案为：．15．解：∵x2+2x＝﹣1，∴5+x（x+2）＝5+x2+2x＝5﹣1＝4．故答案为：4．16．解：（﹣2a）•（a3﹣1），＝（﹣2a）•（a3）+（﹣1）•（﹣2a），＝﹣a4+2a．17．解：当ab＝a+b+1时，原式＝ab﹣a﹣b+1＝a+b+1﹣a﹣b+1＝2，故答案为：2．18．解：（x﹣1）（x+2）＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2．故答案为：x2+x﹣2．三．解答题19．解：（x+y）（x2﹣xy+y2），＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，＝x3+y3．故答案为：x3+y3．20．解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，＝x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1＝﹣5x+1当x＝时，原式＝﹣5×+1＝﹣．21．解：（1）由题意得（2x﹣a）（3x﹣2）＝6x2+（﹣4﹣3a）x+2a＝6x2+bx+10，∴﹣4﹣3a＝b，2a＝10，解得：a＝5，∴b＝﹣19；（2）（2x+5）（3x﹣2）＝6x2﹣4x+15x﹣10＝6x2+11x﹣10．22．解：（1）1）[（﹣3a2b3）3]2＝（﹣3a2b3）6＝729a12b18；（2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3＝64x6y12﹣27x6y12＝37x6y12；（3）（﹣0.5×3）199×（2×）200＝（﹣）199×（2×）200＝（﹣×2×）199×（2×）＝﹣1×＝﹣；（4）5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5）＝5y2﹣3y2﹣y+6y+2﹣2y2+10y﹣2y+10＝13y+12．14.2 乘法公式一．选择题1．下列代数式不是完全平方式的是（）A．112mn+49m2+64n2B．4m2+20mn+25n2C．m2n2+2mn+4 D．m2+16m+642．若（x+m）2＝x2+kx+16，则m的值为（）A．4 B．±4 C．8 D．±8 3．如果代数式x2+mx+36是一个完全平方式，那么m的值为（）A．6 B．﹣12 C．±12 D．±6 4．下列式子中，计算正确的是（）A．m2+m2＝m4B．（m+2）2＝m2+4C．（2mn2）3＝6m3n6D．（m4）2＝m85．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（﹣2a3）3＝﹣6a6C．a3÷a＝a2D．（a+b）2＝a2+b26．下列运算正确的是（）A．（﹣2a）2＝﹣4a2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（﹣a+2）（a+2）＝a2﹣4 D．（a5）2＝a107．若x2﹣kx+81是完全平方式，则k的值应是（）A．16 B．9或﹣9 C．﹣18 D．18或﹣18 8．如果x2﹣6x+N是一个完全平方式，那么N是（）A．11 B．9 C．﹣11 D．﹣99．如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a．延长CB至点E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD．连结并延长DB，交FE的延长线于点G，连结CF，AG．《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，则的值为（）A．B．2 C．D．210．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A类16块，B类48块，小明用这些地砖刚好拼成一个正方形（无缝且不重叠），那么小明所用C类地砖（）块．A．36 B．24 C．12 D．611．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（）A．①②③④B．①③C．①④D．①③④12．若25x2+kxy+4y2是完全平方公式，则k的值为（）A．10或﹣20 B．﹣20 或20 C．5或﹣5 D．10或﹣10 13．若2m﹣n＝2，4m2﹣n2＝12，则﹣﹣的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣914．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个长方形的两边长（x＞y），观察图案及以下关系式：①x﹣y＝n；②xy＝；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2＝．其中正确的关系式有（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④15．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）二．解答题16．在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号卡片，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片，这些卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙），根据已有的学习经验，解决下列问题：【发现】图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的大正方形，那么图中阴影部分的边长为．【探究】用两种不同的方法，求图1中阴影部分面积：方法1：S阴影＝；方法2：S阴影＝；你能得到的等式是．【应用】计算4.3212+8.642×0.679+0.6792．17．（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：．方法2：．（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：．（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b ＝10，ab＝24，求阴影部分的面积．18．同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我们可以得出下列结论：ab＝[a+b）2﹣（a2+b2）]①（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5，（1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值；（2）求（6m﹣4039）2的值．19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．（请选择“A”、“B”、“C”）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：．20．计算（1）3﹣9+3﹣4；（2）﹣++；（3）（﹣）（+）+（﹣1）2．21．阅读材料：规定若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“风月同天数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“风月同天数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．（1）判断：7“风月同天数”（填“是”或“不是”）；（2）已知N＝x2﹣y2+6x﹣4y+k（x，y是正整数，k是常数，且x+1＞y），要使N是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（3）对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“岂无衣数”．若m既是“岂无衣数”，又是“风月同天数”，请求出m的所有平方差分解．22．阅读学习：数学中有很多恒等式可以用面积来得到．如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，把图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式：（a+b）2＝；（2）根据（1）的结论，若（x+y）2＝10，（x﹣y）2＝2，求下列各式的值；①xy；②x2+y2．参考答案一．选择题1．解：A、原式＝（7m+8n）2，故本选项不符合题意．B、原式＝（2m+5n）2，故本选项不符合题意．C、该代数式不是完全平方式，故本选项符合题意．D、原式＝（m+8）2，故本选项不符合题意．故选：C．2．解：∵（x+m）2＝x2+kx+16＝（x±4）2，∴m＝±4．故选：B．3．解：∵x2+mx+36是一个完全平方式，∴x2+mx+36＝（x±6）2，∴m＝±12，故选：C．4．解：A、原式＝2m2，不符合题意；B、原式＝m2+4m+4，不符合题意；C、原式＝8m3n6，不符合题意；D、原式＝m8，符合题意．故选：D．5．解：A．结果是a5，故本选项不符合题意；B．结果是﹣8a9，故本选项不符合题意；C．结果是a2，故本选项符合题意；D．结果是a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；故选：C．6．解：A．结果是4a2，故本选项不符合题意；B．结果是a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意；C．结果是4﹣a2，故本选项不符合题意；D．结果是a10，故本选项符合题意；故选：D．7．解：∵x2﹣kx+81是完全平方式，81＝92，∴k＝±2×1×9＝±18．故选：D．8．解：∵x2﹣6x+N＝x2﹣2•x•3+N是一个完全平方式，∴N＝32＝9．故选：B．9．解：∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a；∴AC＝a，CB＝a；∴AD＝DB＝a；∵BE＝b，BE垂直于FG；∴BG＝b；∴AG2＝AD2+DG2；∴AG2＝（a）2+（a+b）2＝2a2+2a2+2b2+4ab＝4a2+4ab+2b2；∴CF2＝（a+b）2+a2＝2a2+2ab+b2；∴AG2＝2CF2；∴AG＝CF；∴则的值为．故选：A．10．解：∵16m2+48mn+36n2＝（4m+6n）2，∴（4m+6n）2＝16m2+48mn+36n2，∴A类16块，B类48块，C类36块刚好拼成一个边长为（4m+6n）的正方形．故选：A．11．解：图①，左边图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故①可以验证平方差公式；图②，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故②可以验证平方差公式；图③，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故③可以验证平方差公式；图④，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故④可以验证平方差公式．∴正确的有①②③④．故选：A．12．解：∵25x2+kxy+4y2是完全平方公式，∴k＝±2×5×2＝±20，故选：B．13．解：∵4m2﹣n2＝12，∴（2m+n）（2m﹣n）＝12，∵2m﹣n＝2，∴2（2m+n）＝12，∴2m+n＝6，∴﹣﹣＝﹣×（2m+n）＝﹣×6＝﹣1，故选：A．14．解：由图形可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此①正确；于是有：mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，因此③正确；＝＝＝2xy，因此②不正确；＝＝＝x2+y2，因此④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．15．解：图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m ﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），故选：D．二．解答题16．【发现】（a+b）；【探究】方法1：（a+b）2，方法2：a2+2ab+b2，因此可得（a+b）2＝a2+2ab+b2；【应用】4.3212+8.642×0.679+0.6792＝4.3212+2×4.321×0.679+0.6792＝（4.321+0.679）2＝52＝25．故答案为：【发现】（a+b）；【探究】（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2，【应用】25．17．解：（1）方法1：a2+b2，方法2：（a+b）2﹣2ab；故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）两种方法计算面积相等，故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）∵a+b＝10，ab＝24，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣48＝52；S阴影＝a2+b2﹣a2﹣（a+b）×b＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝（52﹣24）＝14．18．解：（1）设3m﹣2020＝x，2019﹣3m＝y，∴x2+y2＝5且x+y＝﹣1，∴（3m﹣2020）（2019﹣3m）＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]＝﹣2；（2）（6m﹣4039）2＝[（3m﹣2020）﹣（2019﹣3m）]2＝（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2﹣2（2019﹣3m）（3m﹣2020）＝x2+y2﹣2xy＝5+4＝9．19．解：（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，∴12＝4（x﹣2y），即：x﹣2y＝3；②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+），＝××××××…××，＝×，＝．20．解：（1）原式＝12﹣3+9﹣＝9+8；（2）原式＝2+5+2＝9；（3）原式＝5﹣2+3﹣2+1＝7﹣2．21．解：（1）∵7＝42﹣32，∴7是“风月同天数”，故答案为：是；（2）∵N是“风月同天数”，∵x+1＞y，∴x+3＞y+2，∴N＝x2﹣y2+6x﹣4y+9﹣4＝（x+3）2﹣（y+2）2，∵N＝x2﹣y2+6x﹣4y+k＝（x+3）2﹣（y+2）2，∴k＝5；（3）设百位数字是x，则个位数字是x+7，∴x＝1或x＝2，当x＝1时，这个三位数是178，∴m＝178＝2×89，此时m不是“风月同天数”；当x＝2时，这个三位数是279，∴m＝279＝3×93＝9×31，∴m＝482﹣452＝202﹣112＝1402﹣1392，∴48与45是m的平方差分解；20与11是m的平方差分解；140与139是m的平方差分解．22．解：（1）由图3可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．故答案为：（a﹣b）2+4ab；（2）①根据（1）的结论，得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∵（x+y）2＝10，（x﹣y）2＝2，∴2＝10﹣4xy，∴xy＝2；②∵（x+y）2＝x2+2xy+y2．（x+y）2＝10，（x﹣y）2＝2，xy＝2，∴10＝x2+2×2+y2，∴x2+y2＝10﹣4，∴x2+y2＝6．14.3《因式分解》一．选择题.1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是( )A.(x+2)(x-2)=x2-4B.x2+4x+4=x(x+4)+4C.ax2-4a=a(x2-4)D.x2+3-4x=(x-1)(x-3)2.分解因式-4x2y+2xy2-2xy的结果是 ( )A.-2xy(2x-y+1)B.2xy(-2x+y)C.2xy(-2xy+y-1)D.-2xy(2x+y-1)3.下列因式分解正确的是( )A.x2-xy+x=x(x-y)B.ax2-9=a(x+3)(x-3)C.x2-2x+4=(x-1)2+3D.a3+2a2b+ab2=a(a+b)24.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式正确的是 ( )A.(a-2)(m2+m)B.m(a-2)(m+1)C.m(a-2)(m-1)D.(2-a)(m2+m)5.代数式(a-3b)2-4(a-3b)c+4c2可以写成 ( )A.(a-3b+3c)2B.(a-3b-2c)2C.(a+3b+2c)2D.(a+3b-2c)26. 若a为实数，则a2(a2-1)-a2+1的值( )A.非正数B.恒为正数C.恒为负数D.非负数7.多项式①4x2-x;②(x-1)2-4(x-1);③1-x2;④-4x2-1+4x,分解因式后,结果中含有相同因式的是( )A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③8.若x2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有( )A.2个B.3个C.4个D.6个二．填空题.9.因式分解:mn2-9m=____.10. 若ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是_ ___.11.如图,长宽分别为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则a3b+ab3的值为____.12. 已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)·(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b)，其中a，b均为整数，则a+3b=____.13. 多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是__.14. 若9x2+kxy+4y2是完全平方式，则k=__.三．解答题.15. 已知m+n=3，求2m2+4mn+2n2-6的值.16.分解因式:(a-b)2-4(a-b-1).17. 若|x-m|+=0，把多项式x2n-y2m分解因式(用m，n表示).18.(1)化简:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2;(2)利用(1)题的结论,且a=2 018x+2 019,b=2 018x+2 020,c=2 018x+2 021,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.19.请阅读以下材料,并解决相应的问题:材料一:换元法是数学中的重要方法,利用换元法可以从形式上简化式子,在解某些特殊方程时,使用换元法常常可以达到转化与化归的目的,例如在求解一元四次方程x4-2x2+1=0时,令x2=t,则原方程可变为t2-2t+1=0,解得t=1,从而得到原方程的解为x=±1.材料二:杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列.如图为杨辉三角形:(1)利用换元法解方程:(x2+3x-1)2+2(x2+3x-1)=3;(2)在杨辉三角形中,按照由上至下、从左到右的顺序观察,设a n是第n行的第2个数(其中n≥4),b n是第n行的第3个数,c n是第(n-1)行的第3个数.请利用换元法因式分解:4(b n-a n)·c n+1.《因式分解》知识点复习能力提升专题练(解析版)一．选择题.1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是( D)A.(x+2)(x-2)=x2-4B.x2+4x+4=x(x+4)+4C.ax2-4a=a(x2-4)D.x2+3-4x=(x-1)(x-3)2.分解因式-4x2y+2xy2-2xy的结果是 ( A)A.-2xy(2x-y+1)B.2xy(-2x+y)C.2xy(-2xy+y-1)D.-2xy(2x+y-1)3.下列因式分解正确的是( D)A.x2-xy+x=x(x-y)B.ax2-9=a(x+3)(x-3)C.x2-2x+4=(x-1)2+3D.a3+2a2b+ab2=a(a+b)24.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式正确的是 ( C)A.(a-2)(m2+m)B.m(a-2)(m+1)C.m(a-2)(m-1)D.(2-a)(m2+m)5.代数式(a-3b)2-4(a-3b)c+4c2可以写成 ( B)A.(a-3b+3c)2B.(a-3b-2c)2C.(a+3b+2c)2D.(a+3b-2c)26. 若a为实数，则a2(a2-1)-a2+1的值( D)A.非正数B.恒为正数C.恒为负数D.非负数7.多项式①4x2-x;②(x-1)2-4(x-1);③1-x2;④-4x2-1+4x,分解因式后,结果中含有相同因式的是( D)A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③8.若x2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有( D)A.2个B.3个C.4个D.6个二．填空题.9.因式分解:mn2-9m=__m(n-3)(n+3)__.10. 若ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是_ 15___.11.如图,长宽分别为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则a3b+ab3的值为__290__.12. 已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)·(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b)，其中a，b均为整数，则a+3b=__-31___.13. 多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是-4x414. 若9x2+kxy+4y2是完全平方式，则k=__±12 .三．解答题.15. 已知m+n=3，求2m2+4mn+2n2-6的值.【解析】2m2+4mn+2n2-6=2(m+n)2-6.∵m+n=3，∴2(m+n)2-6=2×32-6=12.16.分解因式:(a-b)2-4(a-b-1).【解析】原式=(a-b)2-4(a-b)+4=(a-b-2)2.17. 若|x-m|+=0，把多项式x2n-y2m分解因式(用m，n表示). 【解析】由|x-m|+=0，可得x=m，y=n，x2n-y2m=m2n-n2m=mn(m-n).18.(1)化简:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2;(2)利用(1)题的结论,且a=2 018x+2 019,b=2 018x+2 020,c=2 018x+2 021,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.【解析】(1)原式=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2=2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc.(2)原式=(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2],∵a=2 018x+2 019,b=2 018x+2 020,c=2 018x+2 021,∴原式=×[(-1)2+(-1)2+22]=3.19.请阅读以下材料,并解决相应的问题:材料一:换元法是数学中的重要方法,利用换元法可以从形式上简化式子,在解某些特殊方程时,使用换元法常常可以达到转化与化归的目的,例如在求解一元四次方程x4-2x2+1=0时,令x2=t,则原方程可变为t2-2t+1=0,解得t=1,从而得到原方程的解为x=±1.材料二:杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列.如图为杨辉三角形:(1)利用换元法解方程:(x2+3x-1)2+2(x2+3x-1)=3;(2)在杨辉三角形中,按照由上至下、从左到右的顺序观察,设a n是第n行的第2个数(其中n≥4),b n是第n行的第3个数,c n是第(n-1)行的第3个数.请利用换元法因式分解:4(b n-a n)·c n+1.【解析】(1)令t=x2+3x-1,则原方程变为:t2+2t=3,解得:t=1或者t=-3,当t=1时,x2+3x-1=1,解得:x=或x=,当t=-3时x2+3x-1=-3,解得:x=-1或x=-2,∴方程的解为:x=或x=或x=-1或x=-2.(2)根据杨辉三角形的特点得出:a n=n-1,b n=,c n=,∴4(b n-a n)·c n+1=(n-1)(n-4)(n-2)(n-3)+1=(n2-5n+4)(n2-5n+6)+1=(n2-5n+4)2+2(n2-5n+4)+1=(n2-5n+5)2.。

人教版八年级上册数学《轴对称》章节复习专题提升练习考点一：轴对称图形的识别及轴对称的性质1.如图,图形中的轴对称图形是 ( )2.如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E 处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是( )A.AD=BDB.AE=ACC.ED+EB=DBD.AE+CB=AB3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AB′C′与△ABC关于直线EF对称,∠CAF=10°,连接BB′,则∠ABB′的度数是( )A.30°B.35°C.40°D.45°4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,AD是斜边BC上的中线,将△ACD 沿AD对折,使点C落在点F处,线段DF与AB相交于点E,则∠BED等于( )A.120°B.108°C.72°D.36°5.若点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称,则m+n的值是 ( )A.-5B.-3C.3D.1考点二：线段的垂直平分线的性质1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,以大于AB 的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD 的度数是( )A.20°B.30°C.45°D.60°2.如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,垂足为D,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C= 度.3.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上.(2)∠BEC=3∠ABE.知识点三：等腰三角形的性质和判定1. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( )A.60°B.65°C.75°D.80°2.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= .3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为.4.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数.(2)求证:FB=FE.5.已知: △ABC 为等边三角形,点E为射线AC上一点,点D为射线CB上一点, AD=DE.(1)如图1,当E在AC的延长线上且 CE=CD 时,AD是△ABC 的中线吗?请说明理由.(2)如图2,当E在AC的延长线上时, AB+BD 等于AE吗?请说明理由.(3)如图3,当D在线段CB的延长线上,E在线段AC上时,请直接写出AB,BD,AE 的数量关系.人教版八年级上册数学《轴对称》章节复习专题提升练习（答案版）考点一：轴对称图形的识别及轴对称的性质1.如图,图形中的轴对称图形是 ( B)2.如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E 处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是( D)A.AD=BDB.AE=ACC.ED+EB=DBD.AE+CB=AB3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AB′C′与△ABC关于直线EF对称,∠CAF=10°,连接BB′,则∠ABB′的度数是( C)A.30°B.35°C.40°D.45°4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,AD是斜边BC上的中线,将△ACD 沿AD对折,使点C落在点F处,线段DF与AB相交于点E,则∠BED等于( B)A.120°B.108°C.72°D.36°5.若点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称,则m+n的值是 ( D)A.-5B.-3C.3D.1考点二：线段的垂直平分线的性质1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,以大于AB 的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD 的度数是( B)A.20°B.30°C.45°D.60°2.如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,垂足为D,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C= 24 度.3.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上.(2)∠BEC=3∠ABE.【解析】(1)连接DE,CD是AB边上的高,∠ADC=∠BDC=90°,BE是AC边上的中线,∴AE=CE,∴DE=CE,∵BD=CE,∴BD=DE,点D在BE的垂直平分线上.(2)∵DE=AE,∴∠A=∠ADE,∵BD=DE,∴∠DBE=∠DEB,∴∠A=∠ADE=2∠ABE,∵∠BEC=∠A+∠ABE,∴∠BEC=3∠ABE.知识点三：等腰三角形的性质和判定1. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( D )A.60°B.65°C.75°D.80°2.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= 或.3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为9 .4.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数.(2)求证:FB=FE.【解析】(1)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∵∠C=36°,∴∠ABC=36°,∵BD=CD,AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-36°=54°.(2)∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=∠ABC,∵EF∥BC,∴∠FEB=∠CBE,∴∠FBE=∠FEB,∴FB=FE.5.已知: △ABC 为等边三角形,点E为射线AC上一点,点D为射线CB上一点, AD=DE.(1)如图1,当E在AC的延长线上且 CE=CD 时,AD是△ABC 的中线吗?请说明理由.(2)如图2,当E在AC的延长线上时, AB+BD 等于AE吗?请说明理由.(3)如图3,当D在线段CB的延长线上,E在线段AC上时,请直接写出AB,BD,AE 的数量关系.【解析】(1)是,理由如下: ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACD=60°,∵CE=CD,∴∠CDE=∠E,∵∠ACD=∠E+∠CDE,∴∠E=30°,∵AD=DE,∴∠DAC=∠E=30°,∴∠DAC= ∠BAC,即AD平分∠BAC,又∵△ABC为等边三角形,∴AD是△ABC的中线.(2) AB+BD=AE ,理由如下:如图2,在AB上取BH=BD,连接DH,∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACD=∠B=60°,AB=AC,∴∠DCE=120°,△BDH是等边三角形,∴DH=BD,∠DHB=60°,∴∠AHD=120°,∠DHB=∠CAB,∴∠DCE=∠AHD,DH∥AC,∵AD=DE,∴∠E=∠DAC,∵DH∥AC,∴∠ADH=∠DAC,∴∠ADH=∠E,∴△ADH≌△DEC,∴DH=CE,∴CE=BD,∴AB+BD=AC+CE=AE.(3)AE=AB-BD.。

初中精品数学精选精讲
B两村庄要建一个加油站，要求到
油站的位置P。

（二）等腰三角形
、周长为13，边长为整数的等腰三角形共有
、等腰三角形一腰上中线把这个三角形的周长分为
、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（
顶角 B.
第1题第2题第3题
、已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且BE、AF交于点D，则∠、如图，点P是等边△ABC内一点，点P到三边的距离分别为PG，等边△ABC的高为
、如图，∠BAC＝30°，（五）角平分线
、在Rt△ABC中，∠
CD=CF.
、在△ABC中，∠
10cm，求AB+AC.
、已知AB=AC,DE垂直平分EBC的度数
、已知在△ABC中，
、在△ABC中，∠C=90
、将△ABC沿着AD对折，顶点
、B为直线MN外两点，且在②｜PA-PB｜最大.。

E D C AB M NF 第十四章基础训练14轴对称（精品整套资料）（人教新课标初二上）14.1 轴对称◇课标点击◇1.什么是轴对称？什么是轴对称图形？它们之间有什么区不？ 有一个图形沿着某一条直线折叠，假如它能够与另一个图形重合，那么就讲这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．假如一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那个图形就叫做轴对称图形，这条直线确实是它的对称轴．轴对称是两个图形之间的关系，轴对称图形是一个图形具有的特点. 2.图形的轴对称有哪些性质？图形的轴对称要紧有以下两条性质：⑴假如两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．⑵轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有专门形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，同时成轴对称．3.线段的垂直平分线有什么性质？线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线能够看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． ◇同步训练1◇ 【基础达标】1.选择题:⑴以下讲法错误的选项是．．．．．．( ) A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B.轴对称图形至少有一条对称轴 C.全等三角形一定能关于某条直线对称 D.角是关于它的平分线对称的图形 ⑵以下图形中，是．轴对称图形的为( ) ⑶以下图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是( )2.填空题:⑴观看右上图中的两个图案，是轴对称图形的为________，它有_____条对称轴．⑵如右以下图，△ABC 与△AED 关于直线l 对称，假设AB=2cm ，∠C=95°，那么AE= ，∠D= 度．⑶坐标平面内，点A 和B 关于x 轴对称，假设点A 到x 轴的距离是3cm ，那么点B 到x•轴的距离是__________． 3.以下图中的图形差不多上轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．4.如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称．BC 与DE 的交点F 在直线MN 上. ⑴指出两个三角形中的对称点； ⑵指出图中相等的线段和角；DCABEDCABED CAB⑶图中还有对称的三角形吗？5.如图，把一张纸片对折后，用笔尖在纸上扎出图⑶所示的图案，将纸打开后铺平，观看你所得的图案.位于折痕两侧的部分有什么关系？与同伴交流你的方法．【能力巩固】6.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。

新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料【巩固练习】一.选择题1. （2016•北京）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．（2015•威海模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（）A．13 B．12 C．15 D．203. 以下叙述中不正确的是（）A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等4．下列条件①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E, 且AB＝BC，则下列结论中错误．．的是（）A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BE＝ED6. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.下列说法中不正确的是（ ）A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称C.若△ABC ≌△111C B A ,则这两个三角形一定关于一条直线对称D.直线MN 是线段AB 的垂直平分线，若P 点使PA ＝PB ，则点P 在MN 上，若11P A PB ，则1P 不在MN 上8．如图所示,Rt △ABC 中，∠C ＝90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B ＝30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC ＝AE ＝BEB ．AD ＝BDC ．CD ＝DE D ．AC ＝BD二.填空题9. 如图，O 是 △ABC 内一点，且 OA ＝OB ＝OC ，若∠OBA ＝20°,∠OCB ＝30°，则∠OAC ＝_________.10. 如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，∠C 的度数为_________.11. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 是CB 上一点，且DA ＝DB ＝4，∠B ＝15°,则AC 的长为 ．12.（2014•宝应县二模）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=60cm，DE=2cm，则BC= cm．13. 点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠CEG＝．14．一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是______．15.（2016·厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________.16. 三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝_______．三.解答题17.（2015春•宜春期末）已知，在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（1，4）和（3，0），点Q是y轴上的一个动点，且M、N、Q三点不在同一直线上，当△MNQ的周长最小时，求点Q的坐标．18. 如图，上午9时，一条渔船从A 出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B 处，从A 、B 处望小岛C ，测得∠NAC ＝15°，∠NBC ＝30°.若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？19．如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，•且AB ＝AE ，AC ＝AD ，求证∠DBC ＝12∠DAB ．20．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ，BD ＝CE ，M 是AC 边的中点，求证△DEM 是等腰三角形．C BADM【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】A 、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．2. 【答案】B；【解析】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=ED，同理DF=CF，∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12．故选B．3. 【答案】C；【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形．4. 【答案】B；【解析】②④均能判定三角形为等边三角形.5. 【答案】C；【解析】因为BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，所以∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，故B、D成立，由等腰三角形三线合一的性质知A成立.6. 【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.7. 【答案】C；【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.8. 【答案】D；【解析】由角平分线的性质结合∠B＝30°，可知A、B、C均成立.二.填空题9. 【答案】40°；【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC＝180220302︒-⨯︒+︒（）＝40°.10.【答案】30°；【解析】证△BDE≌△CDE，∠ABD＝∠DBE＝∠C＝30°.11.【答案】2；【解析】∠ADC＝30°，122AC AD==.12.【答案】62；【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=60，DE=2，∴DM=58，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=29，∴BN=31，∴BC=2BN=62，故答案为62．13.【答案】40°；【解析】∠BDE ＝18080502︒-︒=︒，∠BED ＝∠DEG ＝180°－50°－60°＝70°，所以∠CEG ＝40°.14.【答案】 W 5236499【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可，因此该车的牌照号码为：W 5236499.15.【答案】16或8；【解析】∵BD 是等腰△ABC 的中线，可设AD=CD=x ，则AB=AC=2x ，根据题意可分两种情况：①AB+AD=15，即315x =，解得5x =，此时BC=21516-=；②AB+AD=21，即321x =，解得7x =，此时BC=1578-=；经验证，这两种情况都是成立的.∴这个三角形的底边长为8或16.16.【答案】50°；【解析】∠C ＝40°，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，∠2＝50°.三.解答题17.【解析】解：作点N 关于y 轴的对称点N′，连接MN′交y 轴于点Q ，则此时△MNQ 的周长最小，理由：∵点N 的坐标是（3，0），∴点N′的坐标是（﹣3，0），过点M 作MD⊥x 轴，垂足为点D∵点M 的坐标是（1，4）∴N′D=MD=4∴∠MN′D=45°，∴N′O=OQ=3，即点Q 的坐标是（0，3）．18.【解析】解：该渔船继续向正北航行有触礁危险作CD ⊥AB 于D ，由题意AB ＝24，∵∠NAC ＝15°，∠NBC ＝30°∴∠ACB ＝15°，AB ＝BC ＝24在直角三角形BCD 中，DC ＝12BC ＝12， ∵12＜12.3，∴该渔船继续向正北航行有触礁危险.19.【解析】证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAE ＝∠CAB在△DAE 和△CAB 中，,,,AD AC DAE CAB AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAE ≌△CAB （SAS ），∴∠BDA ＝∠ACB ，又∵∠AED ＝∠CEB ，∴∠ADE ＋∠AED ＝∠ACB ＋∠CEB ，∵∠DAE ＝180°－（∠ADE ＋∠AED ），∠DBC ＝180°－（∠ACB ＋∠CEB ）， ∴∠DAE ＝∠DBC ，∵∠DAE ＝12∠DAB ， ∴∠DBC ＝12∠DAB ． 20．【解析】证明：连接BM ，∵AB ＝BC ，AM ＝MC ，∴BM ⊥AC ，且∠ABM ＝∠CBM ＝12∠ABC ＝45°， ∵AB ＝BC ，所以∠A ＝∠C ＝1802ABC ︒-∠＝45°，∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，∵BD＝CE，AB＝BC，∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，在△ADM和△BEM中，,45,,AD BEA EBMAM BM=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADM≌△BEM（SAS），∴DM＝EM，∴△DEM是等腰三角形．。

八年级数学上册：第十四章整式的乘法与因式分解基础过关满分120分时间100分钟一．选择题（每题3分，共计30分）1．（2019 •郑州期末）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（2a）3＝6a3C．a9÷a3＝a3D．（﹣2a）2•a3＝4a5【答案】D【解答】A、a2+a2＝2a2，不符合题意；B、（2a）3＝8a3，不符合题意；C、a9÷a3＝a6，不符合题意；D、（﹣2a）2•a3＝4a5，符合题意；故选：D．2．（2020•卫辉市期末）已知3a＝1，3b＝2，则3a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．27【答案】B【解答】∵3a×3b＝3a+b∴3a+b＝3a×3b＝1×2＝2故选：B．3．（2019 •贵池区期中）计算（23）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019的结果是（）A．23 B．32C．−23D．−32【答案】D【解答】（23）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019＝（23）2017×（32）2018×（﹣1）=(23×32)2017×32×(−1)=12017×(−32)=1×(−32)=−32． 故选：D ．4．计算（x ﹣2）x＝1，则x 的值是（ ） A ．3B ．1C ．0D ．3或0【答案】D【解答】∵（x ﹣2）x＝1，当x ﹣2＝1时，得x ＝3，原式可以化简为：13＝1， 当次数x ＝0时，原式可化简为（﹣2）0＝1， 当底数为﹣1时，次数为1，得幂为﹣1，故舍去． 故选：D ．5．（2020•河东区期末）若（x ﹣2）（x +3）＝x 2+ax +b ，则a ，b 的值分别为（ ） A ．a ＝5，b ＝﹣6 B ．a ＝5，b ＝6 C ．a ＝1，b ＝6 D ．a ＝1，b ＝﹣6 【答案】D【解答】已知等式整理得：x 2+x ﹣6＝x 2+ax +b ， 则a ＝1，b ＝﹣6， 故选：D ．6．（2019•新蔡县期中）如果一个三角形的底边长为2x 2y +xy ﹣y 2，底边上的高为6xy ，那么这个三角形的面积为（ ）A ．6x 3y 2+3x 2y 2﹣3xy 3B ．6x 2y 2+3xy ﹣3xy 2C ．6x 2y 2+3x 2y 2﹣y 2D ．6x 2y +3x 2y 2【答案】A【解答】三角形的面积为：12×（2x 2y +xy ﹣y 2）×6xy ＝6x 3y 2+3x 2y 2﹣3xy 3． 故选：A ．7．（2020•广安期末）如果代数式（x ﹣2）（x 2+mx +1）的展开式不含x 2项，那么m 的值为（ ） A ．2B ．12 C ．﹣2 D ．−12【答案】A【解答】（x﹣2）（x2+mx+1）＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，因为不含x2项，所以m﹣2＝0，解得：m＝2，故选：A．8．（2020•息县期末）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6【答案】A【解答】∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．9．（2020•北碚区模拟）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解答】移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．9．（2019•北京期末）10如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b【答案】A【解答】由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．二．填空题（每题3分，共计15分）11．（2020•新乡期末）分解因式（2a﹣1）2+8a＝．【答案】（2a+1）2【解答】原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，故答案为：（2a+1）2．12．（2020•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝．【答案】-1【解答】2020×2018﹣20192＝（2019+1）（2019﹣1）﹣20192＝20192﹣12﹣20192＝﹣1故答案为：﹣1．13．（2020•偃师市期末）如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为．【答案】23【解答】（x﹣2）（x2+3mx﹣m）＝x3+3mx2﹣mx﹣2x2﹣6mx+2m＝x 3+（3m ﹣2）x 2﹣7mx +2m ∵乘积中不含x 2项， ∴3m ﹣2＝0， 解得m =23． 故答案为：23．14．（2020•魏都区期中）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x +a ）（3x +b ），由于甲抄错了第一个多项式中a 的符号，得到的结果为6x 2+11x ﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果为2x 2﹣9x +10，则a ＝ ；b ＝ ． 【答案】﹣5，﹣2【解答】∵甲抄错了第一个多项式中a 的符号∴甲计算的式子是（2x ﹣a ）（3x +b ）＝6x 2+（2b ﹣3a ）x +ab ＝6x 2+11x ﹣10 ∴2b ﹣3a ＝11①∵乙漏抄了第二个多项式中x 的系数∴乙计算的式子是（2x +a ）（x +b ）＝2x 2+（2b +a ）x +ab ＝2x 2﹣9x +10 ∴2b +a ＝﹣9②由①②得：a ＝﹣5，b ＝﹣2 故答案为：﹣5，﹣2．15．（2020•伊犁州期末）对于实数a ，b ，c ，d ，规定一种运算|a aa a |=ad ﹣bc ，如|102(−2)|=1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当|(a +1)(a +2)(a −3)(a −1)|=27时，则x ＝ 22 ．【答案】22【解答】∵|(a +1)(a +2)(a −3)(a −1)|=27，∴（x +1）（x ﹣1）﹣（x +2）（x ﹣3）＝27， ∴x 2﹣1﹣（x 2﹣x ﹣6）＝27， ∴x 2﹣1﹣x 2+x +6＝27， ∴x ＝22； 故答案为：22． 三．解答题（共75分）16．（8分）（2020中原区月考）因式分解：（1）4（a ﹣b ）2﹣16（a +b ）2；（2）（a ﹣b ）2+3（a ﹣b ）（a +b ）﹣10（a +b ）2． 解：（1）原式＝4[（a ﹣b ）2﹣4（a +b ）2] ＝4[（a ﹣b ）+2（a +b ）][（a ﹣b ）﹣2（a +b ）] ＝4（3a +b ）（﹣a ﹣3b ） ＝﹣4（3a +b ）（a +3b ）；（2）原式＝[（a ﹣b ）﹣2（a +b ）][（a ﹣b ）+5（a +b ）] ＝（﹣a ﹣3b ）（6a +4b ） ＝﹣2（a +3b ）（3a +2b ）．17．（9分）（2020 •新泰市期中）已知多项式（x 2+px +q ）（x 2﹣3x +2）的结果中不含x 3项和x 2项，求p 和q 的值． 解：∵（x 2+px +q ）（x 2﹣3x +2）＝x 4﹣3x 3+2x 2+px 3﹣3px 2+2px +qx 2﹣3qx +2q ＝x 4﹣（3﹣p ）x 3+（2﹣3p +q ）x 2+2px ﹣3qx +2q由多项式（x 2+px +q ）（x 2﹣3x +2）的结果中不含x 3项和x 2项， ∴3﹣p ＝0，2﹣3p +q ＝0， 解得：p ＝3，q ＝7．18．（9分）（2019•普兰店区期末）已知：a +b ＝5，ab ＝4． （1）求a 2+b 2的值；（2）若a ＞b ，求a ﹣b 的值； （3）若a ＞b ，分别求出a 和b 的值． 解：（1）∵a +b ＝5，ab ＝4，∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝52﹣2×4＝17； （2）∵（a ﹣b ）2＝a 2+b 2﹣2ab ＝17﹣8＝9， ∴a ﹣b ＝±3， 又∵a ＞b ， ∴a ﹣b ＝3；（3）由（2）得a ﹣b ＝3， 解方程组{a +a =5a −a =3，解得{a =4a =1． 19．（9分）（2020•兰考县期中）有两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x ，宽为2y 的长方形．（1）用代数式表示正方形与长方形的面积之差，并化简结果； （2）若x ≠y ，试说明正方形与长方形面积哪个大． 解：（1）长方形的周长为2（2x +2y ）＝4（x +y ）．∵两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x ，宽为2y 的长方形． ∴正方形的边长为x +y ，∴正方形与长方形的面积之差为（x +y ）2﹣4xy ＝（x ﹣y ）2．答：正方形与长方形的面积之差为（x ﹣y ）2． （2）∵x ≠y ， ∴（x ﹣y ）2＞0，∴正方形的面积大于长方形面积．20．（9分）（2018•镇平县期中）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板．一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形．问大正方形的面积是多少？解：设小正方形的边长为x ，依题意得 1+x +2＝4+5﹣x ， 解得x ＝3，∴大正方形的边长为6厘米， ∴大正方形的面积是36平方厘米， 答：大正方形的面积是36平方厘米．21．（10分）（2020•兰考县期末）阅读：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．解：因为a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，①所以c 2（a 2﹣b 2）＝（a 2﹣b 2）（a 2+b 2）．② 所以c 2＝a 2+b 2． ③ 所以△ABC 是直角三角形．④ 请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第 步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为 ； （2）请你将正确的解答过程写下来．解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a 2﹣b 2＝0的可能； （2）正确的写法为：c 2（a 2﹣b 2）＝（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）， 移项得：c 2（a 2﹣b 2）﹣（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）＝0， 因式分解得：（a 2﹣b 2）[c 2﹣（a 2+b 2）]＝0，则当a 2﹣b 2＝0时，a ＝b ；当a 2﹣b 2≠0时，a 2+b 2＝c 2； 所以△ABC 是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 故答案为：③，忽略了a 2﹣b 2＝0的可能．22．（10分）（2020•连山区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2﹣4x +m 有一个因式是（x +3），求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为（x +n ），得x 2﹣4x +m ＝（x +3）（x +n ）则x 2﹣4x +m ＝x 2+（n +3）x +3n ∴{a +3=−4a =3a． 解得：n ＝﹣7，m ＝﹣21∴另一个因式为（x ﹣7），m 的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是（2x ﹣5），求另一个因式以及k 的值． 解：设另一个因式为（x +a ），得 2x 2+3x ﹣k ＝（2x ﹣5）（x +a ） 则2x 2+3x ﹣k ＝2x 2+（2a ﹣5）x ﹣5a∴{2a −5=3−5a =−a解得：a ＝4，k ＝20故另一个因式为（x +4），k 的值为2023．（11分）（2020 •江阴市期中）从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）A ．a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2B ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）C ．a 2+ab ＝a （a +b ）（2）若x 2﹣9y 2＝12，x +3y ＝4，求x ﹣3y 的值； （3）计算：（1−122）（1−132）（1−142） (1)120192）（1−120202）解：（1）∵边长为a 的正方形面积是a 2，边长为b 的正方形面积是b 2，剩余部分面积为a 2﹣b 2；图（2）长方形面积为（a +b ）（a ﹣b ）； ∴验证的等式是a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ） 故答案为：B ．（2）∵x 2﹣9y 2＝（x +3y ）（x ﹣3y ）＝12，且x +3y ＝4 ∴x ﹣3y ＝3（3）（1−122）（1−132）（1−142） (1)120192）（1−120202）＝（1+12）（1−12）（1+13）（1−13）…（1+12020）（1−12020） =32×12×43×23×54×34×⋯×20212020×20192020 =12×20212020 =20214040。

轴对称1.轴对称图形：如果沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；注：轴对称图形是“一个图形”例题：画出下列图形的对称轴。

2.轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形的对应点叫做对称点；注：轴对称是指“两个图形”3.轴对称的性质：a：关于某直线对称的两个图形是全等形；b：对称点的连线被对称轴垂直平分；c：轴对称的两个图形，它们的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。

例题：如图，最大圆直径为4cm，则图中阴影部分的面积之和为（）。

(A) 8πcm(B) 4πcm (C) 2πcm(D) πcm4.垂直平分线的定义以及性质：定义：垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线或中垂线；性质：a：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；b：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

注：线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线。

练一练：用直尺和圆规作已知线段的中垂线。

5.角平分线的定义及性质：定义：从角的顶点出发并且平分这个角的射线称为这个角的角平分线性质：a：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；b：到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。

注：角是轴对称图形，它的对称轴是它的角平分线。

练一练：用直尺和圆规作已知角的角平分线。

6.轴对称变换（做轴对称图形）：定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换；利用坐标表示轴对称：利用平面直角坐标系中与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴与y轴对称的图形。

（由点到线，到面）注：点（x，y）关于x轴对称的点是（x，－y），关于y轴对称的点是（－x，y）。

7.等腰三角形：（1）等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两边叫腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；（2）等腰三角形的性质：a：两腰相等；b：两底角相等（性质一：等边对等角）；c：顶角平分线，底边上的中线，高三线重合（性质二：三线合一）；d：对称性；（3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（“等角对等边”）；（4）等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；注：等边三角形是一种特殊的等腰三角形（5）等边三角形的性质：a：等边三角形的三个内角相等，并且每个角都等于60度；b：等边三角形每一条边上都是三线合一；（6）等边三角形的判定：a：三个角都相等的三角形是等便三角形；b：有一个角是60度的等腰三角形是等便三角形。

人教版2020年秋季八年级上册第11-14章阶段复习训练题一．选择题1．三角形的三边长可以是（）A．2，11，13B．5，12，7C．5，5，11D．5，12，132．下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（﹣a4）3＝a12C．（2y2）3＝6y6D．a12÷a2＝a10 3．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．PM2.5是指大气中直径小于等于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．0.25×10﹣5B．2.5×10﹣5C．2.5×10﹣6D．2.5×10﹣75．如图，△ABO≌△DCO，∠D＝80°，∠DOC＝70°，则∠B＝（）A．35°B．30°C．25°D．20°6．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300°7．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+168．已知a m＝2，a n＝3，则a m+2n的值为（）A．11B．18C．38D．129．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a10．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（）A．5B．6C．7D．8二．填空题11．计算：x（2x﹣3）＝．12．计算：（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）＝．13．分解因式：9m2﹣n2＝．14．若x2+mx+16＝（x+n）2，则常数m＝．15．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是．16．已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为度．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．三．解答题18．计算：（1）a（a+b）﹣b（a﹣b）（2）（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y219．分解因式：（1）5x2+10x+5 （2）4a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）20．如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．21．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．（1）若AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，求△BCE的周长；（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．23．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）请在图中作出与△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．（3）求出△ABC的面积．24．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD 交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE＝BD；（2）如图2，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．25．已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数；（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①∠AEB的度数为°；②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为．（直接写出答案，不需要说明理由）26．如图，△ABC是边长为9的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）若∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）当点P，Q运动时，线段PD与线段QD是否相等？请说明理由；（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A.2，11，13中，2+11＝13，不合题意；B.5，12，7中，5+7＝12，不合题意；C.5，5，11中，5+5＜11，不合题意；D.5，12，13中，5+12＞13，能组成三角形；故选：D．2．解：A．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；B．（﹣a4）3＝﹣a12，故本选项不合题意；C．（2y2）3＝8y6，故本选项不合题意；D．a12÷a2＝a10，正确，故本选项符合题意．故选：D．3．解：A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误．故选：B．4．解：0.000 002 5＝2.5×10﹣6；故选：C．5．解：∵∠D＝80°，∠DOC＝70°，∴∠C＝180°﹣∠D﹣∠DOC＝30°，∵△ABO≌△DCO，∴∠B＝∠C＝30°，故选：B．6．解：∵等边三角形的顶角为60°，∴两底角和＝180°﹣60°＝120°；∴∠α+∠β＝360°﹣120°＝240°；故选：C．7．解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；故选：C．8．解：∵a m＝2，a n＝3，∴a m+2n＝a m•a2n＝a m•（a n）2＝2×32＝2×9＝18．故选：B．9．解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）；故选：A．10．解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC＝∠DBO，∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，∴DB＝DO，OE＝EC，∵DE＝DO+OE，∴DE＝BD+CE＝5．故选：A．二．填空题11．解：x（2x﹣3）＝2x2﹣3x，故答案为：2x2﹣3x．12．解；原式＝6x4÷（﹣2x2）﹣8x3÷（﹣2x2）＝﹣3x2+4x，故答案为：﹣3x2+4x．13．解：原式＝（3m）2﹣n2＝（3m+n）（3m﹣n），故答案为：（3m+n）（3m﹣n）．14．解：∵x2+mx+16＝（x+n）2，∴m＝±8．故答案为：±8．15．解：由题意知，分两种情况：（1）当这个80°的角为顶角时，则底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°；（2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°．故答案为：50°或80°．16．解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．故答案为：36．17．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，∴BQ＝＝，即PC+PQ的最小值是．故答案为：．三．解答题18．解：（1）原式＝a2+ab﹣ab+b2＝a2+b2；（2）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2，＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2，＝﹣4xy+3y2．19．解：（1）5x2+10x+5＝5（x2+2x+1）＝5（x+1）2；（2）4a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）＝（x﹣y）（4a2﹣9b2）＝（x﹣y）（2a+3b）（2a﹣3b）．20．证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．21．（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE＝∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴CB﹣EC＝EF﹣EC，∴EB＝CF，∵BF＝13，EC＝5，∴EB＝＝4，∴CB＝4+5＝9．22．解：（1）∵DE垂直平分AB∴EA＝EB，∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+EA+CE＝BC+AC＝16（cm）；（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．23．解：（1）如图所示：（2）由图可得，点A'的坐标为（﹣3，﹣1），点B'的坐标为（4，﹣2），点C'的坐标为（﹣1，﹣5）．（3）△ABC的面积＝7×4﹣×4×2﹣×1×7﹣×5×3＝28﹣4﹣3.5﹣7.5＝13．24．解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，DC＝EC，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，（2）∵AC＝DC，∴AC＝CD＝EC＝CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC∴∠DOM＝90°，∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM＝CN，∴DM＝AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE＝AB，AO＝DO，∴△AOB≌△DOE（HL）25．解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°；（3）①如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝180﹣45＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，故答案为：90；②如图2，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，∴CM＝DM＝EM，∴DE＝DM+EM＝2CM，∵△ACD≌△BCE（已证），∴BE＝AD，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM，故答案为：AE＝BE+2CM．26．解：（1）∵△ABC是边长为9的等边三角形，∴∠ACB＝60°，又∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，设AP＝x，则PC＝9﹣x，QB＝x，∴QC＝9+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝QC，即，解得x＝3，∴当∠BQD＝30°时AP＝3；（2）线段PD与线段QD相等，证明：如图，过P作PF∥QC，则∠AFP＝∠APF＝60°＝∠A，∠DQB＝∠DPF，∴△AFP是等边三角形，∴AP＝PF，∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP，∴BQ＝PF，在△DBQ和△DFP中，，∴△DBQ≌△DFP（AAS），∴QD＝PD；（3）线段ED的长不变，由（2）知△DBQ≌△DFP，∴BD＝DF，∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，∴AE＝EF，∴DE＝DF+EF＝BF+F A＝AB＝为定值，即DE的长不变．。

人教版八年级上册数学第十四章练习题汇
总
人教版八年级上册数学第十四章练习题汇总
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精品小编为大家提供的八年级上册数学第十四章练习题就到这里了，愿大家都能在学期努力，丰富自己，锻炼自己。

八年级上学期数学期中考轴对称练习题
初二上册数学整式的乘法专项练习（新人教版）。

第十四章 整式的乘法与因式分解得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．(盐城中考)计算(－x 2y )2的结果是(A )A ．x 4y 2B ．－x 4y 2C ．x 2y 2D ．－x 2y 22．(葫芦岛中考)下列运算正确的是(D )A ．x 2·x 2＝x 6B ．x 4＋x 4＝2x 8C ．－2(x 3)2＝4x 6D ．xy 4÷(－xy )＝－y 33．(泰安中考)计算(－2)0＋9÷(－3)的结果是(B )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－44．多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是(A )A ．x －1B ．x ＋1C ．x 2－1D ．(x －1)25．如图，阴影部分是边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，嘉嘉(图①)和琪琪(图②)分别给出了各自的割拼方法，其中能够验证平方差公式的是(C )A.嘉嘉B ．琪琪C ．都能D ．都不能6．若a ＞0且a x ＝2，a y ＝3，则a x －2y 的值为(D )A ．13B ．－13C ．23D ．297．已知(x －2 019)2＋(x －2 021)2＝34，则(x －2 020)2的值是(D )A ．4B ．8C ．12D ．168．已知2a －b ＝3，那么12a 2－8ab ＋b 2－12a ＋3的值为(B )A ．9B ．12C ．15D ．189．分解因式x 2＋ax ＋b ，甲看错了a 的值，分解的结果是(x ＋6)(x －1)，乙看错了b 的值，分解的结果是(x －2)(x ＋1)，那么x 2＋ax ＋b 分解因式的正确结果为(B )A ．(x －2)(x ＋3)B ．(x ＋2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)D ．(x ＋2)(x ＋3)10．图①是一个长为2a ，宽为2b (a >b )的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②所示方式拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是(C )A.abB ．(a ＋b )2C ．(a －b )2D ．a 2－b 2二、填空题(每小题3分，共24分)11．计算(－2x 3y 2)3·4xy 2＝－32x 10y 8．12．一个长方形的面积是xy 2－x 2y ，且长为xy ，则这个长方形的宽为y －x ．13．(东营中考)因式分解：x (x －3)－x ＋3＝(x －1)(x －3)．14．多项式x 2＋mx ＋5分解因式是(x ＋5)(x ＋n )，则m ＝6，n ＝1．15．如图， 在正方形ABCD 和EFGC 中，左、右两个正方形的边长分别为a ，b ，用代数式表示阴影部分三角形AEG 的面积为12b 2． 第15题图 第17题图 第18题图16．观察下列等式：12－02＝1，22－12＝3，32－22＝5，42－32＝7，……用含n (n ≥1且n 为正整数)的等式表示这种规律为__n 2－(n －1)2＝2n －1__．17．如图，长方形ABCD 的周长为8，分别以长方形的一条长和一条宽向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为10，则长方形ABCD 的面积是3．18．如图所示是一块正方形铁皮，边长为a ，如果一边截去6，另一边截去5，则下面式子中正确地表示所剩长方形(阴影部分)铁皮的面积的有①③④．(填序号)①(a －5)(a －6)；②a 2－5a ＋6(a －5)；③a 2－6a －5(a －6)；④a 2－11a ＋30.三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)(－3a 2bc )2·(－2ab 2)3；解：原式＝9a 4b 2c 2·(－8a 3b 6)＝－72a 7b 8c 2(2)(无锡中考)(a －b )2－a (a －2b ).解：原式＝a 2－2ab ＋b 2－a 2＋2ab ＝b 220．(12分)分解因式：（1）2x 2y －8xy ＋8y ；解：原式＝2y （x －2）2(2)(2x ＋y )2－(x ＋2y )2； 解：原式＝3(x ＋y )(x －y ) (3)(y 2－1)2＋6(1－y 2)＋9.解：原式＝(y ＋2)2(y －2)221．(8分)化简求值：(1)(宜昌中考)x (x ＋1)＋(2＋x )(2－x )，其中x ＝6 －4；解：原式＝x 2＋x ＋4－x 2＝x ＋4，当x ＝ 6 －4时，原式＝ 6 －4＋4＝ 6(2)(2m ＋1)(2m －1)－(m －1)2＋(2m )3÷(－8m )，其中m (m ＋1)＝2.解：原式＝4m 2－1－(m 2－2m ＋1)＋8m 3÷(－8m)＝4m 2－1－m 2＋2m －1－m 2＝2m 2＋2m －2＝2(m 2＋m －1)，∵m(m ＋1)＝2，∴m 2＋m ＝2，则原式＝2×(2－1)＝222．(8分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，满足a 2＋b 2＝12a ＋8b －52，且△ABC 是等腰三角形，求c 的值．解：∵a 2＋b 2＝12a ＋8b －52，∴a 2＋b 2－12a －8b ＋52＝0，∴(a 2－12a ＋36)＋(b 2－8b ＋16)＝0，∴(a －6)2＋(b －4)2＝0，∴a ＝6，b ＝4.∵△ABC 是等腰三角形，∴c ＝4或c ＝6，且符合三角形的三边关系23．(8分)如图是某环保工程所需要的一种圆柱形空心混凝土管道，它的内径长为d ，外径长为D ，长为l .设它的实体部分体积为V 立方米．(1)用含D ，d 的式子表示V ；(2)当它的内径d ＝45 cm ，外径D ＝75 cm ，长l ＝3 m 时，利用分解因式的知识求浇制一节这样的管道大约需要多少立方米的混凝土？(其中π取3)解：(1)V ＝l ·[π·⎝⎛⎭⎫D 2 2－π·⎝⎛⎭⎫d 2 2]＝πl 4()D 2－d 2 (2)当d ＝45 cm ，D ＝75 cm ，l ＝3 m 时，V ＝πl 4 ()D 2－d 2 ＝πl 4(D ＋d )·(D －d )＝3×34×(75＋45)×(75－45)×10－4＝0.81(立方米)答：浇制一节这样的管道大约需要0.81立方米的混凝土24．(10分)如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于__m－n__；(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：①__(m－n)2__，②__(m＋n)2－4mn__；(3)观察图②，请你写出代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系．根据(3)题中的等量关系，解决下列问题：若a＋b＝7，ab＝5，求(a－b)2的值．解：(3)(m－n)2＝(m＋n)2－4mn，∵a＋b＝7，ab＝5，∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝72－4×5＝2925．(12分)(枣庄中考)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)＝p q.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝3 4.(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得“吉祥数”中，求F(t)的最大值．解：(1)证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2(n为正整数)，∵|n－n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝nn＝1(2)设交换t的个位上的数与十位上的数所得到的新数为t′，则t′＝10y＋x，∵t是“吉祥数”，∴t ′－t ＝(10y ＋x )－(10x ＋y )＝9(y －x )＝36，∴y ＝x ＋4.∵1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数，∴满足“吉祥数”的有15，26，37，48，59(3)F (15)＝35 ，F (26)＝213 ，F (37)＝137 ，F (48)＝68 ＝34 ，F (59)＝159， ∵34 ＞35 ＞213 ＞137 ＞159， ∴所有“吉祥数”中，F (t )的最大值为34。

专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE 的长．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，CE AB ⊥，BD 与CE 交于点O ，且BE CD =．下列说法错误的是（）A ．BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点EB ．3BDC ABD ∠=∠C ．当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形D ．当E 为AB 中点时，34BOC AEC S S =△△【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．。

人教版八年级上第十四章整理与复习练习题一、选择题（共4小题；共20分）1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是A. B.C. D.2. 分解因式，结果正确的是A. B.C. D.3. 多项式分解因式的正确结果是A. B.C. D.4. 已知，则的值为B. C. D.二、填空题（共3小题；共15分）5. 根据，，，的规律，则可以得出的结果可以表示为．6. 当时，代数式，则当时，代数式的值为．7. 如图是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及其系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出的展开式共有项，第二项的系数是，的展开式共有项，各项的系数和是．三、解答题（共3小题；共39分）8. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有，，，这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得，．（2）若，且，，均为正整数，求的值．9. 因式分解：．10. 分解因式：答案第一部分1. D2. D 【解析】3. D4. C 【解析】，，，．第二部分5.【解析】6.7. ，，，【解析】的展开式有项；的展开式有项；的展开式有项；故的展开式共有项．由题中规律得的展开式中第二项的系数为，的展开式中第二项的系数为，故的展开式中第二项的系数为．的展开式中各项的系数和为；的展开式中各项的系数和为；的展开式中各项的系数和为；故的展开式中各项的系数和为．第三部分8. （1）；（2）由题意，得，且，为正整数，或或．或．9. ．10. 设，则原式．。

轴对称例1.如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？解：不是。

有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。

例2. 如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（）A.AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△ADC≌△BDC可得到③和④。

解：D例3. 写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。

（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。

例4.（2007年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：例5. 如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。

解：（1）画出点A关于直线l的对称点A'；（2）画出点B关于直线l的对称点B'：（3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

例6.要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？解：设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。

（1）作点B关于直线l的对称点，（2）连结，交直线l于点C，点C就是所求的水泵站的位置。

（如图所示）1. 下列说法错误的是（）A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B. 全等的两个三角形一定关于某直线对称C. 轴对称图形的对称轴至少有一条D. 线段是轴对称图形2. 轴对称图形的对称轴是（）A. 直线B. 线段C. 射线D. 以上都有可能3. 下面各组点关于y轴对称的是（）A. （0，10）与（0，－10）B. （－3，－2）与（3，－2）C. （－3，－2）与（3，2）D. （－3，－2）与（－3，2）*4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 一条线段B. 两条相交直线C. 有公共端点的两条相等的线段D. 有公共端点的两条不相等的线段5. （2007年河南）如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（）A. 30°B. 50°C. 90°D. 100°6. （2008年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是（）*7. （2008年武汉）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF ＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是（）A. 150°B. 300°C. 210°D. 330°**8. （2008年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）。

人教版数学八年级上册轴对称解答题单元测试与练习（word解析版）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.【详解】解：定理证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∵直线n是边AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OA＝OB∵OH⊥AB，∴AH＝BH；（2）如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，∴DE＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.2．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】解： (1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y xy xααβ=+⎧⎨=-+⎩①②-②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α∴+y xy xααβ=+⎧⎨=+⎩①②-①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y xy xαβα-++=⎧⎨++=⎩①②-①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．3．已知：AD是ABC∆的高，且BD CD=.（1）如图1，求证：BAD CAD∠=∠；（2）如图2，点E在AD上，连接BE，将ABE∆沿BE折叠得到'A BE∆，'A B与AC相交于点F，若BE=BC，求BFC∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF，过点C作CG EF⊥，交EF的延长线于点G，若10BF=，6EG=，求线段CF的长.图1. 图2. 图3.【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF .【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长.【详解】解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD =AB AC ∴=BAD CAD ∴∠=∠；图1（2）解：在图2中，连接CEED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=图2（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=在Rt EFM ∆中，906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=-同理12FN EF m ==，2124CF FG m ==- 在Rt BEM ∆和Rt CEN ∆中，EM EN =，BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴∆≅∆ BM CN ∴=BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+解得1m = 8CF ∴=图3故答案为（1）见解析，（2）BFC ∠= 60（3）8CF =.【点睛】本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.4．问题探究：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．（1）证明：AD=BE ；（2）求∠AEB 的度数．问题变式：（3）如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．（Ⅰ）请求出∠AEB 的度数；（Ⅱ）判断线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM ，理由见详解.【解析】【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；（3）（Ⅰ）如图2，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB ，即∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC=180-45=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，故答案为：90°；（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，∴CM=DM=EM ，∴DE=DM+EM=2CM ，∵△ACD ≌△BCE （已证），∴BE=AD ，∴AE=AD+DE=BE+2CM ，故答案为：AE=BE+2CM ．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．已知△ABC ．（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD OE 、求证：OD OE =；（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ∆≅∆,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.【详解】解：（1）如图，就是所要求作的图形；（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥AB ，OG 垂直平分BC ，∴OH=OG ，CG=BG ，∵OB=OB,∴OBH OBG∆≅∆,∴BH=BG，∵BE=CD，∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，在OEH∆和ODG∆中,90OH OGOHE OGDEH DG=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴OEH ODG∆≅∆,∴OE=OD．（3）ABC∠与EOF∠的数量关系是2180ABC EOF∠+∠=，理由如下；如图 ，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，由(2)可知，因为 CD=BE，所以OEH ODG∆≅∆且OE=OD，∴EOH DOG∠=∠,180ABC HOG∠+∠=,∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG∠=∠+∠=∠+∠=∠,∴180ABC EOD∠+∠=,∵△BEF的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC∴DF=EF,在△OEF和△OGF中,OE ODEF FDOF OF=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴OEF OGF∆≅∆,∴EOF DOF∠=∠,∴2EOD EOF∠=∠,∴2180ABC EOF∠+∠=.【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.6．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等腰ADE ，且满足90DAE ∠=︒，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与CF 之间的数量关系.图1发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.图2拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.备用图【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．【详解】解：（1）BC CF =.∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠. ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（2）BC CF =.证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠. ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（3）BCF 是等腰直角三角形.提示：如图，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B BFC ∴∠+∠=︒，45BFC ∴∠=︒，B BFC ∴∠=∠， BCF ∴是等腰三角形，90BCF ∠=︒， BCF ∴是等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．7．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．叫做这个三角形的三分线.（1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案.【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）①当AD=AE 时，如图4，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠ADE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x ，解得：x=20；②当AD=DE 时，如图5，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠DAE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴这种情况不存在.∴x 所有可能的值为20或40.故答案是：20或40图4 图5【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.8．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ∆，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .（1）若10AC =，求HI 的长度；（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.【答案】（1）HI =5；(2)见解析.【解析】【分析】（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ∆是等边三角形得到AH=PH ， 再证明PFI BGI ∆≅∆得到PI=BI ，于是可得HI =12AB ，即可求解； （2）延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，就可以得出BE=BQ ，得出△BEQ 是等边三角形，就可以得出BE=QE ，得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论．【详解】解：如图1，作FP ∥BC 交AB 于点P ，∵ABC ∆是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,∵FP∥BC,∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,∴∠APF=∠A=60°,∴APF ∆是等边三角形,∴PF=AF,∵FH AB ⊥，∴AH=PH,∵AF=BG,∴PF=BG,∴在PFI ∆和BGI ∆中，PIF BIG PFI BGI PF BG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴PFI BGI ∆≅∆,∴PI=BI,∴PI+PH=BI+AH=12AB, ∴HI=PI+PH =12AB= 1102⨯=5； (2)如图2，延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠B=60°．∵AE=BD ，DQ=AB ，∴AE+AB=BD+DQ ，∴BE=BQ ．∵∠B=60°，∴△BEQ 为等边三角形，∴∠B=∠Q=60°，BE=QE ．∵DQ=AB ，∴BC=DQ ．∴在△BCE和△QDE中，BC DQB QBE QE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△QDE（SAS），∴EC=ED．∴∠ECD=∠EDC.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.9．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，∴∠C=90°-23°=67°，∵MN垂直平分AB，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠ABC=23°，∴∠ADC=2∠ABC=46°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，∴∠DAC=∠C，∴△DAC是等腰三角形，同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，∵点O是三角形垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD=22.5°，∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，∴∠PBQ=2∠C，∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，解得：∠C=40°.②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴180°-4∠C+∠C=120°，解得：∠C=20°，③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBQ=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=120°，解得：∠C=100°.④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，∴∠APB=12（180°-30°）=75°，∵BP=BQ，PQ=CQ，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠BQP=2∠C，∴∠PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBC=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=75°，解得：∠C=40°.⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，∴∠C=25°；⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，∴12∠C+∠C=30°，解得：∠C=20°.综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.10．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4【解析】【分析】（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质解答；（3）根据等腰直角三角形的性质计算．【详解】解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，∴PC＝1cm，∴AB＝PC，∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，在△ABP和△PCD中，B CBAP CPDAB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△PCD，∴BP＝CD＝4cm；（2）PB＝PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP ＝∠EDP ．∵DP ⊥AP ，∴∠DPA ＝∠DPE ＝90°，在△DPA 和△DPE 中，ADP EDP DP DPDPA DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DPA ≌△DPE （ASA ），∴PA ＝PE ．∵AB ⊥BP ，CM ⊥CP ，∴∠ABP ＝∠ECP ＝Rt ∠．在△APB 和△EPC 中，ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△APB ≌△EPC （AAS ），∴PB ＝PC ；（3）∵△PDC 是等腰三角形，∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°，又∵DP ⊥AP ，∴∠APB ＝45°，∴BP ＝AB ＝1cm ，∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ，∴CD ＝CP ＝4cm ，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.。

八年级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解基础测试卷时间:60分钟满分:100分一、选择题(每小题4分，共32分)1.计算a12÷a4(a≠0)的结果是（）A. a3B. a-8C. a8D. a-32.在下列运算中，计算正确的是（）A.a2+a2=a4B.a3·a2=a5C.a6÷a2=a3D.(a3)2=a53.计算(x-2)(x+2)的结果为（）A.x2+2B.x2-4C.x2+3x+4D.x2+2x+24若a m＝8，a n＝16，则a m+n（）A.24B.32C.64D.1285.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6b，那么另一个因式是（）A.1-3x-4yB.-1-3x-4yC.1+3x-4yD.-1-3x+46.下列各式中，与(a-2)2相等的是（）A.a2-4B.a2-4a+4C.a2-4a-4D.a2+4a+47.若5-+yx+(xy-3)2＝0，则x+y的值为（）A.19B.31C.27D.238.如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可拼剪成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为m，则另一边长为（）A.2m+6 B.2m2+9m+9 C.3m+6 D.2m2+9m+6二、填空题(每小题4分，共16分)9.计算4y·(-2xy2)的结果等于.10.分解因式:2a3-8a＝.11.计算(6x3y-2xy2)÷2xy的结果是.12.若多项式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= .三、解答题(本大题共6小题，共52分)13.(6分)计算:(1)a5·a6; (2)5(a3)6-9(a9)2+4(a2)9;(3)[3(m+n)2]3・[-2(m+n)3]2.14.(8分)计算:(1)(-21x)・(8x3-7x+4)(2)(x-3y)(2x+3y) (3)498×50215.(8分)先化简，再求值:(x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy，其中x＝(3-π)0，y＝2.16.(8分)因式分解:(1)(x+2)(x+4)+x2-4；(2)(a2+1)2-4(a2+1)+4.17.(10分)观察下列关于自然数的等式:32-4×12＝5①，52-4×22＝9②，72-4×32＝13③，……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式:92-4× 2=.(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)并验证其正确性.18.(12分)先阅读下面的内容，再解决问题，例题:若m2+2mn+2n2-6n+9＝0，求m和n的值.解:∵m2+2mn+2n2-6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2-6n+9＝0，∴(m+n)2+(n-3)2=0∴m+n=0,n-3=0,∴m=-3,n=3问题:(1)若x2+2y2-2xy-4y+4＝0，求xy的值(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b-41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围.参考答案一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.B 7.A 8.C8.C【解析】依题意得剩余部分为(2m+3)2-(m+3)2＝4m2+12m+9-m2-6m-9＝3m2+6m，而拼成的长方形的一边长为m，，另一边长是(3m2+6m)÷m=3m+6.二、9.-8xy310.2a(a+2)(a-2) 11.3x2-y 12.10三、13.解:(1)原式＝a5+6＝a11 (2分)(2)原式＝5a18-9a18+4a18＝0 (4分)(3)原式＝27(m+n)6·4(m+n)6＝108(m+n)12. (6分)14.解:(1)-4x4+27x2-2x (2分)(2)2x2-3xy-9y2(5分)(3)原式＝(500-2)×(500+2)＝5002-22=250000-4＝249996. (8分)15.解:原式＝x2-y2-x2-xy+2xy＝xy-y2(4分)当x＝(3-π)0＝1，y＝2时，原式＝xy-y2＝1×2-4=2-4=-2 (8分)16.解:(1)原式＝(x+2)(x+4)+(x+2)(x-2)=(x+2)(2x+2)＝2(x+2)(x+1) (4分)(2)原式＝(a2+1-2)2＝(a2-1)2＝(a+1)2(a-1)2(8分)17.解:(1)4 17 (4分)(2)第n个等式为(2n+1)2-4n2＝4n+1. (6分)左边＝(2n+1)2-4n2＝4n2+4n+1-4n2=4n+1，右边＝4n+1.左边＝右边∴(2n+1)2-4n2=4n+1 (10分)18.解:(1)x2+2y2-2xy-4y+4=x2-2xy+y2+y2-4y+4=(x-y)2+(y-2)2＝0，(3分)∴x-y=0,y-2=0c 解得x＝2，y＝2，∴x y＝22＝4. (6分)(2)∵a2+b2=10a+8b-41,∴a2-10a+25+b2-8b+16＝0，即(a-5)2+(b-4)2＝0，(8分)∴a-5＝0.b-4＝0，解得a＝5，b＝4 (10分)∵c是△ABC中最长的边∴5≤c<9 (12分)。