一元线性回归,方差分析,显著性分析

方差分析与回归分析的原理方差分析和回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法，它们都用于研究变量之间的相互关系，但是基于不同的背景和目的，其原理和应用也有所不同。

首先，我们来了解一下方差分析。

方差分析是一种用于比较两个或多个群体均值差异的统计方法。

它基于对总体方差的分解来分析不同因素对群体之间差异的贡献程度。

具体来说，方差分析将总体方差分解为组内变异和组间变异两部分，然后通过计算F统计量来判断组间变异是否显著大于组内变异。

方差分析可以用于很多场景，比如医疗研究中分析不同药物对疾病治疗效果的差异、教育研究中比较不同教学方法对学生成绩的影响等。

在进行方差分析时，需要明确一个自变量（也称为因素或处理）和一个因变量（也称为响应变量）。

自变量是被研究者主动操作或选择的变量，而因变量是根据自变量的不同取值而发生变化的变量。

方差分析的基本原理是通过对不同组之间的变异进行比较，来判断组间是否存在统计显著差异。

方差分析的核心思想是使用F统计量来判断组间变异与组内变异的比例是否显著大于1。

通过计算F值并与临界值进行比较，可以得出结论是否存在显著差异。

如果F值大于临界值，则可以拒绝原假设，表明不同组之间存在显著差异；如果F值小于临界值，则接受原假设，认为组间差异不显著。

接下来，我们来了解一下回归分析。

回归分析是统计学中用于研究变量之间关系的一种方法。

它研究的是一个或多个自变量对因变量的影响程度和方向。

回归分析可以用于预测未来趋势、解释变量之间的关系、探究因果关系以及确定主要影响因素等。

回归分析分为线性回归和非线性回归两种。

线性回归是最常用的一种回归方法，它假设自变量与因变量之间存在线性关系。

以一元线性回归为例，我们假设因变量Y可以用一个自变量X的线性函数来表示，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是回归系数，ε是误差项，代表了未被自变量解释的因素。

通常，回归分析的目标是估计出回归系数的值，并利用这些系数来解释因变量与自变量之间的关系。

回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验的目的是对回归方程拟合优度的检验。

F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的方差S2，以确定他们的精密度是否有显著性差异。

回归方程显著性检验具体方法为：由于y的偏差是由两个因素造成的，一是x变化所引起反应在S回中，二是各种偶然因素干扰所致S残中。

将回归方程离差平方和S回同剩余离差平方和S残加以比较，应用F检验来分析两者之间的差别是否显著。

如果是显著的，两个变量之间存在线性关系；如果不显著，两个变量不存在线性相关关系。

n个观测值之间存在着差异，我们用观测值yi与其平均值的偏差平方和来表示这种差异程度，称其为总离差平方和，记为由于所以式中称为回归平方和，记为S回。

称为残差平方和，记为。

不难证明，最后一项。

因此S总＝S回＋S残上式表明，y的偏差是由两个因素造成的，一是x变化所引起，二是各种偶然因素干扰所致。

事实上，S回和S残可用下面更简单的关系式来计算。

具体检验可在方差分析表上进行。

这里要注意S回的自由度为1，S残的自由度为n－2，S总的自由度为n－1。

如果x与y有线性关系，则其中，F（1，n-2）表示第一自由度为1，第二自由度为n-2的分布。

在F表中显著性水平用表示，一般取0.10，0.05，0.01，1-表示检验的可靠程度。

在进行检验时，F值应大于F表中的临界值Fα。

若F<0.05(1,n-2)，则称x与y 没有明显的线性关系，若F0.05(1,n-2)<F<F0.01(1,n-2)，则称x与y有显著的线性关系；若F>F0.01(1,n-2)，则称x与y有十分显著的线性关系。

当x与y有显著的线性关系时，在表2-1-2的显著性栏中标以〝*〞；当x与y有十分显著的线性关系时，标以〝**〞。

方差分析与回归分析在统计学中，方差分析（ANOVA）和回归分析（Regression Analysis）都是常见的统计分析方法。

它们广泛应用于数据分析和实证研究中，有助于揭示变量之间的关系和影响。

本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较，让读者更好地理解它们的应用和区别。

一、方差分析方差分析是一种统计方法，用于比较两个或更多组别的均值是否存在显著差异。

它通过计算组内变异和组间变异的比值来判断不同组别间的差异是否具有统计显著性。

在方差分析中，通常有三种不同的情形：单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况。

例如，我们想要比较不同教育水平对收入的影响，可以将教育水平作为自变量分为高中、本科和研究生三个组别，然后进行方差分析来检验组别之间的收入差异是否显著。

双因素方差分析适用于有两个自变量的情况。

例如，我们想要比较不同教育水平和不同工作经验对收入的影响，可以将教育水平和工作经验作为自变量，进行方差分析来研究其对收入的影响程度和相互作用效应。

多因素方差分析适用于有多个自变量的情况。

例如，我们想要比较不同教育水平、工作经验和职位对收入的影响，可以将教育水平、工作经验和职位作为自变量，进行方差分析来探究它们对收入的联合影响。

方差分析的基本原理是计算组内变异和组间变异之间的比值，即F 值。

通过与临界F值比较，可以确定差异是否显著。

方差分析的结果通常会报告组间平均差异的显著性水平，以及可能存在的交互作用。

二、回归分析回归分析是一种统计方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

它通过建立一个数学模型来描述自变量对因变量的影响程度和方向。

回归分析分为简单线性回归和多元线性回归两种类型。

简单线性回归适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。

例如，我们想要研究体重与身高之间的关系，可以将身高作为自变量、体重作为因变量，通过拟合一条直线来描述二者之间的关系。

多元线性回归适用于有多个自变量和一个因变量的情况。

统计学中的方差分析与回归分析比较统计学是以搜集、整理、分析数据的方法为研究对象的一门学科，随着现代科技的不断进步，统计学在许多领域中都扮演着至关重要的角色。

在统计学的研究中，方差分析和回归分析都是两种常见的方法。

然而，这两种方法之间的区别是什么？它们各自的优缺点又是什么呢？本文将就这些问题进行探讨。

一、方差分析是什么？方差分析，也称为ANOVA (analysis of variance)，是一种用于分析各个因素对于某一变量影响力大小的方法。

在统计数据分析中，可能有多个自变量（影响因素），这时我们需要检验这些因素中哪些是显著的，即在该因素下所得的计算值与总计算值之间是否存在显著性差异。

因此，方差分析的基本思想是对总体方差进行分析，检验各个因素是否会对总体造成显著影响。

二、回归分析是什么？回归分析则是研究两个变量之间关系的一种方法。

一个自变量（independent variable）是已知的、独立的变量，一个因变量（dependent variable）是需要预测或解释的变量。

回归分析的主要目的是利用自变量对因变量进行预测，或者解释自变量与因变量之间的关系。

回归分析一般有两种，即简单线性回归和多元回归。

三、方差分析与回归分析的比较1. 适用范围方差分析适用于多个自变量之间的比较；回归分析则适用于对单个因变量的预测。

2. 关心的变量在方差分析中，我们关心的是各个自变量对总体造成的显著影响程度；在回归分析中，我们关心的是自变量与因变量之间的相关性。

3. 变量类型方差分析和回归分析处理的数据类型也不相同。

在方差分析中，自变量通常为分类变量（catogorical variable），而因变量通常为连续量（continuous variable）。

而在回归分析中，自变量和因变量都为连续量。

4. 独立性假设方差分析的独立性假设要求各组之间是相互独立、没有相关的，而回归分析的独立性假设要求各个观测或实验之间是独立的。

方差分析和回归分析方差分析和回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法。

它们分别用于比较多个样本之间的差异以及建立变量之间的函数关系。

本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较。

一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较多个样本均值是否存在差异的统计方法。

方差分析通过比较组间和组内的方差来判断样本均值是否存在显著差异。

方差分析需要满足一些基本假设，如正态分布假设和方差齐性假设。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析是指只有一个自变量（因素）对因变量产生影响的情况。

多因素方差分析则包含两个或两个以上自变量对因变量的影响，可以用于分析多个因素交互作用的效应。

方差分析的步骤包括建立假设、计算各组均值和方差、计算F值和判断显著性等。

通过方差分析可以得到组间显著性差异的结论，并进一步通过事后多重比较方法确定具体哪些组之间存在显著差异。

二、回归分析回归分析（Regression Analysis）是一种用于分析自变量和因变量之间关系的统计方法。

回归分析通过建立一种数学模型，描述自变量对因变量的影响程度和方向。

回归分析可用于预测、解释和探索自变量与因变量之间的关系。

回归分析可以分为线性回归和非线性回归。

线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系的情况，可以用一条直线进行拟合。

非线性回归则考虑了自变量和因变量之间的非线性关系，需要采用曲线或其他函数来进行拟合。

回归分析的步骤包括建立模型、估计参数、检验模型的显著性、预测等。

回归模型的好坏可以通过拟合优度、回归系数显著性以及残差分析等指标进行评估。

三、方差分析与回归分析的比较方差分析和回归分析都是常用的统计方法，但它们有一些区别。

主要区别包括：1. 目的不同：方差分析用于比较多个样本之间的差异，判断样本均值是否存在显著差异；回归分析则用于建立自变量和因变量之间的函数关系，预测和解释因变量。

2. 自变量个数不同：方差分析一般只有一个自变量（因素），用于比较不同组别之间的差异；回归分析可以包含一个或多个自变量，用于描述自变量对因变量的影响关系。

从统计学看线性回归（2）——⼀元线性回归⽅程的显著性检验⽬录1. σ2 的估计2. 回归⽅程的显著性检验 t 检验（回归系数的检验） F 检验（回归⽅程的检验） 相关系数的显著性检验 样本决定系数 三种检验的关系⼀、σ2 的估计 因为假设检验以及构造与回归模型有关的区间估计都需要σ2的估计量，所以先对σ2作估计。

通过残差平⽅和（误差平⽅和）（1）（⽤到和，其中）⼜∵（2）∴（3）其中为响应变量观测值的校正平⽅和。

残差平⽅和有n-2 个⾃由度，因为两个⾃由度与得到的估计值与相关。

（4）（公式（4）在《线性回归分析导论》附录C.3有证明）∴σ2的⽆偏估计量：（5）为残差均⽅，的平⽅根称为回归标准误差，与响应变量y 具有相同的单位。

因为σ2取决于残差平⽅和，所以任何对模型误差假设的违背或对模型形式的误设都可能严重破坏σ2的估计值的实⽤性。

因为由回归模型残差算得，称σ2的估计值是模型依赖的。

⼆、回归⽅程的显著性检验 ⽬的：检验是否真正描述了变量 y 与 x 之间的统计规律性。

假设：正态性假设（⽅便检验计算）1. t 检验 ⽤t 检验来检验回归系数的显著性。

采⽤的假设如下：原假设 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系）对⽴假设 H1：β1 ≠ 0 回归系数的显著性检验就是要检验⾃变量 x 对因变量 y 的影响程度是否显著。

下⾯我们分析接受和拒绝原假设的意义。

（1）接受 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系） 此时有两种情况，⼀种是⽆论 x 取值如何， y 都在⼀条⽔平线上下波动，即，如下图1，另⼀种情况为， x 与 y 之间存在关系，但不是线性关系，如图2。

图 1图 2 （2）拒绝 H0：β1 = 0 （x 对解释 y 的⽅差是有⽤的） 拒绝原假设也有两种情况，⼀种是直线模型就是合适的，如图 3，另⼀种情况为存在 x 对 y 的线性影响，也可通过 x 的⾼阶多项式得到更好的结果，如图 4。

第八章 方差分析与回归分析一、教材说明本章内容包括：方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归.主要讲述方差分析和一元线性回归两节内容.1、教学目的与教学要求(1)了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计，会解决简单的实际问题.（2）了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不相等场合的方法，会解决简单的实际问题.（3）熟练掌握Hartley 检验，Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方法，会解决简单的实际问题.（4）理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估计方法，熟练掌握回归方程的显著性检验.能用R 软件来进行回归分析，会解决简单的实际问题.2、本章的重点与难点本章的重点是平方和的分解，检验方法和参数估计、重复数相等与不相等场合的方法、检验方法的掌握，回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验，难点是检验方法和参数估计，重复数相等与不相等场合的方法. 实际问题的检验，回归方程的显著性检验.二、教学内容本章共分方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归等5节来讲述本章的基本内容.§8.1 方差分析教学目的：了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计,会解决简单的实际问题.教学重点：平方和的分解，检验方法和参数估计 教学难点：检验方法和参数估计教学内容：本节包括方差分析问题的提出,单因子方差分析的统计模型,平方和分解,检验方法,参数估计,重复数不等情形.8.1.1 问题的提出在实际工作中经常会遇到多个总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用方差分析方法.例8.1.18.1.2 单因子方差分析的统计模型在例8.1.1中，我们只考察一个因子，称为单因子试验.记因子为A ，设其有r 个水平，记为1r A ,,A ，在每一水平下考察的指标可看做一个总体，故有r 个总体，假定（1）每一总体均为正态总体，记为2i i N(,)μσ，i 1,2,,r =；（2）各总体方差相同，即222212r σσσσ====（3）每一总体中抽取的样本相互独立，即诸数据ij y 都相互独立 在这三个基本假定下，要检验的假设是012112::,,,rr H H μμμμμμ===↔⋯不全相等 （8.1.1）如果0H 成立，因子A 的r 个水平均值相同，称因子A 的r 个水平间没有显著差异，简称因子A 不显著；反之，若0H 不成立，因子A 的r 个水平均值不全相同，称因子A 的r 个水平间有显著差异，简称因子A 显著.在每一水平下各作m 次独立重复试验，若记第i 个水平下第j 次重复的实验结果为ij y ，得到r m ⨯个实验结果：ij y ,=1,2,,=1,2,,.i r j m在水平A i 下的实验结果ij y 与该水平下的均值i μ的差距ij ij =y -i εμ称为随机误差.于是有ij ij y =+i εμ， （8.1.2）该式称为实验结果ij y 的数据结构式.把三个假定用于数据结构式就得到单因子方差分析的统计模型：ij ij 2ij y =+,=1,2,,=1,2,,;(0,)i i r j m N εμεσ⎧⎪⎨⎪⎩诸相互独立，且都服从 （8.1.3） 称诸i μ的平均1=111=(++)=rr i i r r μμμμ∑为总均值，第i 水平下均值i μ与总均值的差=-i i a μμ称为因子A 的第i 水平的主效应，简称为A i 的主效应.则有=1=0,=+.ri i i i a a μμ∑统计模型（8.1.3）可改写为ij ij =12ijy =+a +,=1,2,,=1,2,,;=0;(0,)i r i i i r j m a N μεεσ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑诸相互独立，且都服从 假设（8.1.1）可改写为012112:=0:,,,0r r H a a a H a a a ===↔⋯不全为.8.1.3 平方和分解一 实验数据在单因子方差分析中可将实验数据列成如下表格形式因子水平 试验数据 和 平均1A 11y 12y 1m y 1T 1y2A 21y 22y 2m y 2T 2yr A r1y r2y rm y r T yr合计 T y 二 组内偏差与组间偏差ij ij y -=(y -)+(-)i i y y y y ，记=1i =1i =1=1111=,==m r r mi i j i i j j jm r n εεεεε∑∑∑∑，ij y -i y 称为组内偏差，-i y y 称为组间偏差.三 偏差平方和及其自由度 在统计学中，把k 个数据1,,k y y 分别对其均值1=(++)/k y y y k 的偏差平方和2=1=(-)ki i Q y y ∑称为k 个数据的偏差平方和，简称平方和.由于=1(-)=0kii y y ∑，说明在Q 中独立的偏差只有-1k 个，称为该平方和的自由度，记为f ，=-1.Q f k四 总平方和分解公式各ij y 间总的差异大小可用总偏差平方和T S 表示为211(),=-1r mT ij T i j S y y f n ===-∑∑. （8.1.3）仅由随机误差引起的数据间差异可用组内偏差平方和，也称误差偏差平方和，记为e S ，211(),=r(m-1)=n-r.r me ij e i i j S y yf ===-∑∑ （8.1.4）由效应不同引起的数据差异可用组间偏差平方和表示，也称为因子A 的偏差平方和，记为A S ，21(),=-1.rA A ii S myy f r ==-∑ （8.1.5）定理8.1.1 在上述符号下，总平方和T S 可分解为因子平方和.A S 与误差平方和e S 之和，其自由度也有相应分解公式：S =,=+.T A e T A e S S f f f + （8.1.6）称为总平方和分解式.8．1.4 检验方法为了度量一组数据的离散程度，称/Q MS Q f =为均方和.由均方和的概念，得到/A A A MS S f =，/e e e MS S f =，用/A e F MS MS =作为检验的统计量，为给出检验拒绝域，需要如下定理：定理8.1.2 在单因子方差分析模型及前述符号下，有（1）22~-),es n r χσ（从而2()=(-)e E S n r σ(2) 22=1()=(-1)+rA i i E S r maσ∑,若0H 成立，则有22~(1)AS r χσ-（3）A S 与e S 相互独立. 由定理8.1.2知/(,)A eA e F MS MS F f f = ，从而可得检验的拒绝域为1{(,)}A e W F F f f α-=≥.将上述结果列成表格，称为方差分析表来源 平方和 自由度 均方和 F 比因子 A S 1A f r =- /A A A MS S f = /A e F MS MS = 误差 e S -e f n r = /e e e MS S f = 总和 T S 1T f n =-若1(,)A e F F f f α->，则可以认为因子A 显著，即诸正态均值间有显著差异；若1<(,)A e F F f f α-，则说明因子A 不显著，即保留原假设0H . 常用偏差平方和的计算公式：2211rmT ij i j T S y n ===-∑∑2211r A i i T S T m n ==-∑e T A S S S =-例8.1.28.1.5 参数估计在检验结果为显著时，可进一步求出总均值μ，各主效应i a 和误差方差2σ的估计. 一 点估计总均值μ的估计为ˆy μ=； 各水平均值i μ的估计ˆ,1,2,,i i y i r μ==； 主效应i a 的估计ˆ,1,2,,i i ay y i r =-=误差方差2σ的估计2ˆ/e e e MS S f σ== 二 置信区间由定理8.1.2知 222~N(,/m),~),ei i e s y μσχσ（f 且两者独立，~t ),i i e f （由此给出A i 的水平均值i μ的1α-的置信区间是1/2ˆ()i e y t f ασ-±. 例8.1.3单因子试验的数据分析可以知道如下三个结果 因子A 是否显著 试验误差方差2σ的估计诸水平均值i μ的点估计与区间估计（此项在因子A 不显著时无需进行）8.1.6 重复数不等情形1. 数据设因子A 有r 个水平1r A ,,A ，并且第r 个水平i A 下重复进行i m 次试验，可得如下数据：因子水平 重复数 试验数据 和 平均1A 1m 11y 12y 11m y 1T 1y2A 2m 21y 22y 22m y 2T 2yr A r m r1y r2y r rm y r T ry合计 nTy2. 基本假定、平方和分解、方差分析和判断准则都和前面一样，只是因子A 的平方和A S 的计算公式略有不同：记1ri i n m ==∑，则221ri A i iT T S m n ==-∑ 3. 数据结构式及参数估计式基本同前，需要注意下面两点：（1）总均值11ri i i m n μμ==∑；（2）主效应约束条件为10ri ii m a==∑类似于8.1.8 有ij ij =12ijy =+a +,=1,2,,=1,2,,;=0;(0,)i r i i i i r j m m a N μεεσ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑诸相互独立，且都服从 4 各平方和的计算记1,=im i i ij i j i T T y y m ==∑，=11,=im r ij i j TT y y n ==∑∑则2211,=-1,im rT ij T i j T S y f n n ===-∑∑221,=-1,ri A A i iT T S f r m n ==-∑,=-e T A e S S S f n r =-.例8.1.4 略§8.2 多重比较教学目的：了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不相等场合的方法，能用R 软件来进行多重比较，会解决简单的实际问题。

线性回归与方差分析线性回归和方差分析是统计学中常用的两种数据分析方法。

虽然它们在数据处理和分析的角度有所不同，但都有助于我们理解变量之间的关系，从而做出科学的推断和预测。

本文将就线性回归和方差分析进行深入探讨。

一、线性回归线性回归是一种用于建立两个或多个变量之间关系的统计模型的方法。

它通过拟合最佳拟合直线，以便预测一个变量（因变量）与一个或多个其他变量（自变量）之间的关系。

对于简单线性回归，我们考虑一个自变量和一个因变量的情况。

我们使用最小二乘法来找到最佳拟合直线，以使预测值与实际观测值的误差平方和最小化。

最佳拟合直线可以通过回归方程来表示，其中自变量和系数之间存在线性关系。

例如，假设我们想研究身高与体重之间的关系。

我们可以收集一组数据，其中身高是自变量，体重是因变量。

通过拟合最佳拟合直线，我们可以预测给定身高的人的体重。

二、方差分析方差分析是一种用于比较三个或更多组之间差异的统计方法。

它将观测值的总变异分解为组内变异和组间变异，以确定组间的差异是否显著。

在方差分析中，我们将一组观测值分成几个组，并计算每个组的观测值的平均值。

然后，我们计算总平均值，以检查组间和组内的差异。

如果组间差异显著大于组内差异，我们可以得出结论认为不同组之间存在显著差异。

例如，假设我们想研究不同施肥处理对植物生长的影响。

我们将植物分成几个组，分别施用不同类型的肥料。

通过测量植物生长的指标（如高度或质量），我们可以使用方差分析来比较各组之间的差异。

三、线性回归与方差分析的联系尽管线性回归和方差分析是两种不同的统计方法，但它们在某些方面也存在联系。

首先，线性回归可以被视为方差分析的特例。

当我们只有一个自变量时，线性回归与方差分析的目标是相同的，即确定因变量与自变量之间的关系。

因此，我们可以将简单线性回归模型看作是方差分析的一种形式。

其次，线性回归和方差分析都涉及到模型建立和参数估计。

线性回归通过拟合回归方程来建立模型，并估计回归系数。

第二节 一元线性回归分析回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。

本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系。

回归分析的主要内容：1. 从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；2. 估计回归模型参数；3. 对确定的关系式进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出影响显著的变量。

一、一元线性回归模型：一元线性模型是指两个变量x 、y 之间的直线因果关系。

（一）理论回归模型：εββ++=x y 10理论回归模型中的参数是未知的，但是在观察中我们通常用样本观察值),(i i y x 估计参数值10,ββ，通常用10,b b 分别表示10,ββ的估计值，即称回归估计模型：x b b y10ˆ+= 二、模型参数估计：用最小二乘法估计10,b b ：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=∑∑∑∑∑xb y b x x n y x xy n b 10221)( 三．回归系数的含义（2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点，称为y 截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量（x ）每变动一个单位量时，因变量（y ）的平均变化量。

（3）回归系数b1的取值有正负号。

如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系，如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。

四．回归方程的评价与检验：当我们得到一个实际问题的经验回归方程后，还不能马上就进行分析与预测等应用，在应用之前还需要运用统计方法对回归方程进行评价与检验。

进行评价与检验主要是基于以下理由：第一，在利用样本数据估计回归模型时，首先是假设变量y 与x 之间存在着线性关系，但这种假设是否存在需要进行检验；第二，估计的回归方程是否真正描述了变量y 与x 之间的统计规律性，y 的变化是否通过模型中的解释变量去解释需要进行检验等。

一般进行检验的内容有：1.经济意义的检验：利用相关的经济学原理及我们所积累的丰富的经验，对所估计的回归方程的回归系数进行分析与判断，看其能否得到合理的解释。

一元线性回归分析的结果解释1.基本描述性统计量分析：上表是描述性统计量的结果，显示了变量y和x的均数(Mean)、标准差(Std. Deviation)和例数(N)。

2．相关系数分析：上表是相关系数的结果。

从表中可以看出，Pearson相关系数为0.749，单尾显著性检验的概率p值为0.003，小于0.05，所以体重和肺活量之间具有较强的相关性。

3．引入或剔除变量表分析：上表显示回归分析的方法以及变量被剔除或引入的信息。

表中显示回归方法是用强迫引入法引入变量x的。

对于一元线性回归问题，由于只有一个自变量，所以此表意义不大。

4．模型摘要分析：上表是模型摘要。

表中显示两变量的相关系数(R)为0.749，判定系数(R Square)为0.562，调整判定系数(Adjusted R Square)为0.518，估计值的标准误差(Std. Error of the Estimate)为0.28775。

5．方差分析表分析：上表是回归分析的方差分析表(ANOVA)。

从表中可以看出，回归的均方(Regression Mean Square)为1.061，剩余的均方(Residual Mean Square)为0.083，F检验统计量的观察值为12.817,相应的概率p 值为0.005，小于0.05，可以认为变量x和y之间存在线性关系。

6．回归系数分析：上表给出线性回归方程中的参数(Coefficients)和常数项(Constant)的估计值，其中常数项系数为0(注：若精确到小数点后6位，那么应该是0.000413)，回归系数为0.059，线性回归参数的标准误差(Std. Error)为0.016,标准化回归系数(Beta)为0.749，回归系数T检验的t统计量观察值为3.580，T检验的概率p值为0.005，小于0.05，所以可以认为回归系数有显著意义。

由此可得线性回归方程为：y=0.000413+0.059x7．回归诊断分析：上表是对全部观察单位进行回归诊断(CasewiseDiagnostics-all cases)的结果显示。