2019-2020学年度高考数学考点解读 命题热点突破专题06函数与方程﹑函数模型及其应用文

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考点9 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1.（2018·四川高考理科·Ｔ10）设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,]e B.1[,-11]e -， C.[1,1]e + D.1[-1,1]e e -+【解题指南】本题综合考查了函数的图象以及转化化归能力,本题中的f(f(y 0))=y 0是解题的突破口. 【解析】选A. 由于曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，可知[]00,1y ∈，并且由00(())f f y y =可得00()f y y =（推导过程可以用反证法证明），即0y =，整理得0200y e a y y -=-，结合二者的图象以及[]00,1y ∈，可得a 的取值范围是[1,]e ，故选A.2. （2018·四川高考文科·Ｔ10）设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）。

若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（ ）A.[1,]eB.[1,1]e +C.[,1]e e +D.[0,1]【解题指南】根据题意，分析的关键是存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，将这一条件进行转化为()f b b =，进行求解即可.【解析】选A ，由题[]0,1b ∈，并且由(())f f b b =可得()f b b =（推导过程可以用反证法证明），即b =，整理得2b e a b b -=-，结合二者的图象以及[]0,1b ∈，可以分析a 的取值范围是[1,]e ，故选A.3.(2018·天津高考理科·T7)函数f(x)=2x|log 0.5x|-1的零点个数为 ( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用数形结合的方法求解,图象交点的个数即为零点的个数.【解析】选 B.函数f(x)=2x |log 0.5x|-1的零点即2x|log 0.5x|-1=0的解,即0.51|log |()2=x x 的解,作出函数g(x)=|log 0.5x|和函数1()()2=x h x 的图象,由图象可知,两函数共有两个交点,故函数f(x)=2x|log 0.5x|-1有2个零点. 4. （2018·重庆高考理科·Ｔ6）若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)两个零点分别位于区间 ( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解题指南】直接根据零点存在定理求出函数零点所在的区间.【解析】选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即函数的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 5.（2018·江西高考文科·Ｔ10）如图.已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图像大致为【解题指南】借助弧长与圆心角的关系，得出函数关系式，再选择图像. 【解析】选B.因为圆弧长为x ，半径为1，所以圆心角的弧度数为x ，由题意得xcos1t 2=-，根据二倍角公式得2cosx 2(1t)1=--，即2y 2(1t)1=--，化简得2y 2t 4t 1=-+，结合二次函数图像知B 正确. 二、填空题6.(2018·江苏高考数·T11)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时,f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 .【解题指南】画出x>0时,f(x)的图象,根据函数的奇偶性,画出整个定义R 上函数的图象;画出y=x 的图象,结合图象求解.【解析】 因为f(x)是定义在R 上的奇函数,故图象关于原点对称.又当x>0时,f(x)=x 2-4x,故图象如图.由图可得当x ∈(-5,0)∪(5,+∞)时不等式f(x)>x 成立. 【答案】(-5,0)∪(5,+∞)7. （2018·湖北高考文科·T17）在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.【解题指南】(Ⅰ)理解新概念.(Ⅱ)可以再取长方形S=2,N=0,L=6,待定系数法求出a,b,c 的值,再代入求值.【解析】（I ）由图可知：四边形DEFG 对应的S=3,N=1,L=6 （II ）分别将S=1,N=0,L=4;S=2,N=0,L=6;S=3,N=1,L=6代入,由此得041163062a b c a b c a b c ⋅+⋅+=⎧⎪⋅+⋅+=⎨⎪⋅+⋅+=⎩，解得1121a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩所以若某格点对应的N=71，L=18，则S=171118(1)792⨯+⨯+-=. 【答案】3，1，6；798.（2018·上海高考理科·T14）对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解析】根据反函数定义知，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．【答案】2 三、解答题9.（2018·上海高考理科·T20）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解析】(1)生产该产品2小时的利润为100×2=200由题意得,200≥3000,解得x ≥3或x ≤-.又因为1≤x ≤10,所以3≤x ≤10.(2)生产900千克该产品,所用时间是小时,获得的利润为100·=90000,1≤x ≤10,记f(x)=-++5,1≤x ≤10,则f(x)=-3++5,当且仅当x=6时,f(x)取到最大值f(6)=.最大利润为90000×=457 500(元).因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457500元.10.（2018·上海高考文科·T20）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得的利润是100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 315元. （1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ⎪⎭⎫⎝⎛-+2315x x 元； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【解析】(1)生产a 千克该产品,所用的时间是小时,所获得的利润为100·.所以,生产a 千克该产品所获得的利润为100a元.(2)生产900千克该产品,所用的时间是小时,获得的利润为90000,1≤x≤10.记f(x)=-++5,1≤x≤10,则f(x)=-3++5,当且仅当x=6时,f(x)取到最大值f(6)= .获得最大利润90000×=457500(元).因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457500元.关闭Word文档返回原板块。

2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列六函数与导数函数与导数作为高中阶段数学的核心内容，是历年高考考查力度最大的主线之一，是高考考查主要思想方法和能力、考查核心素养的主要载体．对函数和导数主要考查函数的概念与表示，函数的奇偶性、单调性、周期性、极大（小）值、最大（小）值；考察幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质、函数的应用，以及函数研究方法的迁移（研究其它函数（组合、复合）的图象与性质）；考查导数的概念、导数的几何意义、导数的运算以及导数的应用，考查利用导数方法研究函数的单调性、极大（小）值、最大（小）值、函数的零点，研究方程和不等式的解的情况等．高考对函数与导数的考查难度、题量都相对稳定，一般是两道选择题和一道解答题，或者一道选择题一道填空题和一道解答题，共3道题，分值为22分．其中一选择题为容易题或中等难度题，一选择题或填空题为难题，一解答题为难题．选择题一般位于中间四道题和后三道题的位置，填空题一般在后两题的位置，解答题稳定在第21题的位置．对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，重“基础性、综合性、应用性、创新性”，突出“四基、四能、三会、六素养”，与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等都进行深入的考查．随着高中课程与高考的综合改革，2018年高考发生微小变化，2018年，理科全国Ⅰ卷（理科）依旧是2小1大，但全国Ⅱ卷Ⅲ卷（理科）以及全国Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷（文科）都是3小1大．近五年本部分考查情况如下表：表一：全国Ⅰ卷（理科）函数与导数考查情况一、存在的问题及原因分析（一）缺乏运用特殊值法、排除法解题意识选择题的考查是由选择题的特殊性决定的，从已知研究未知的角度来看，部分问题只能从较少的信息来判断，无法完全严格地推理，所以选择题考查选择能力，而不是完全推理论证的能力，因此特值法看似投机取巧，实则应当是解决选择题必要的手段，区别于大题完整演绎推理的过程，从命题角度来看，一道题既可以作为选择题，又可以作为大题，则没有体现选择题的考查功效，让不同层次学生作答是高考想要得到的目的，算理比较熟的同学应当快速得出结果，而不能完整推理出来的学生也可以凭借任意与存在的关系加以排除和选择．【例1-1】（2018年全国卷Ⅱ理3、文3）函数2()x xe ef x x --= 的图象大致为【解析】法一：计算(1)0f -<，排除A ，D ，又(3)2f >，排除C ，故选择B ． 法二：容易发现()()f x f x -=-，函数为奇函数，再由特殊值选择B ．法三：x x y e e -=-是奇函数，2y x =是偶函数，两式相除，在公共定义域上为奇函数，再由特殊值选择B ． 法四：奇函数判断同上，又221(0)x x x e e e x x x--->>，分子增长速度远快于分母． 【例1-2】（2018年全国卷Ⅲ理7、文9）函数的图像大致为法一：(1)20f =>，1()2(0)2f f >=，故选择D ．法二：函数为偶函数，y ＇22(21)x x =--，所以函数在(0,1)上有极值点，结合(0)2f =，选D ．【评析】第一题，同学代特值可以选出结果，对函数性质熟悉的同学也需要代值判断，本题不适合求导判断单调性．422y x x =-++第二题相对靠后，代特值可以选出结果，本题也适合用求导方法得出函数基本的单调性．两个题目都是在基本初等函数函数的基础上重新组合出新的函数，略高于课本，又可以研究，考查学生识图能力．决定函数的走势，性质为首、特殊点为关键．对于基础较好的同学可以适当记忆课后习题出现的函数性质，双曲正余弦函数、多项式函数都源自课后习题．另外，对于基本函数加减乘除后产生的新函数的性质适当归纳，达到分解函数的目的，而非研究单调性一定是求导，第一题就说明了这一点，考查用求导方法研究函数性质的重点在第21题．本题易错的主要原因：看到函数单调性立即求导，研究函数性质通常是先研究奇偶性（周期性）从而减少讨论范围，同时题目设置的e 的值要能够准确计算出来后，再估值．（二）对含参问题基本策略选择不当含参问题是研究新的函数模型经常遇到的问题，也是考查学生分类讨论与分清参变量关系的重要手段，含参问题的破解基本点应该是对任意的成立，即恒成立，所以可以采取特值先求出符合的参数值或范围，在严格论证其充分性，而对于小题考查函数的零点问题，则需要考虑数形结合的思想，严格地零点定理应当是大题考查的重点，需要论证明确．【例2-1】（2018年全国卷Ⅰ理5）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A ．B ．C ．D ．法一：由()()f x f x -=-得到1a =，由(0)1f '=，得到选项为D ．法二：多项式函数为奇函数，则偶数次项为零，得到1a =，同法一．法三：由(1)(1)f f -=-得到1a =，下同法一．【例2-2】（2018年全国卷Ⅰ理9）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）法一：()0g x =由两个解，则()y f x =与32()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++y x a =--的图像有两个交点，如图，当截距1a -≤时，即1a ≥-时符合，故选择C ． 法二：特值法，1a =-时，(0)0g =，(1)0g =，又()y g x =在(,0]-∞和(0,)+∞均为增函数，从而排除B ，D ，0a =时，(0)0g >，(1)0g >，当x →-∞，0x →时，()y g x =→-∞，由零点定理知存在两个零点，符合，故选择C ．法三：直接法，只需(0)0g ≥即可，注意到()y g x =在(,0]-∞和(0,)+∞均为增函数，当x →-∞时，()y g x =→-∞，对于任意的a ，()y g x =在(0,)+∞上的值域为R ．【评析】已知函数奇偶性求参数，在定义域确定的情况下，特值法是比较行之有效的方法，在研究带有参数的新函数，从必要条件转化为充分条件是重要的方法，对于基本初等函数的加减乘除运算的单调性需要熟知，小题目考查函数零点定理，可以采取数形结合的思想，转化为两个函数图象的交点个数问题，而当发现特值法没有简便运算步骤的话，则本题出题者希望的是整体推理的过程．（三）未能深入领会函数性质的应用高中阶段函数的性质围绕着单调性，奇偶性（对称性），周期性展开，周期性的背景是三角函数，当涉及到求函数值或函数不等式问题，都可以抽象为函数性质的考查，基本顺序是先讨论对称性，再讨论单调性，最终利用性质求解是关键．【例3-1】（2018年全国卷Ⅲ理11、文12）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A ．B ．0C ．2D ．50【解析】由(1)(1)f x f x +=-得到()y f x =关于直线1x =对称，又()y f x =关于(0,0)中心对称，所以函数的周期为4，计算得到(4)(0)0,(3)(1)(1)2,f f f f f ===-=-=-(2)(0)f f =，则(1)f f f f +++=，原式120(1)(2)2f f =⨯++=，选C ．【例3-2】（2018年全国卷Ⅲ文16）已知函数())1f x x =+，()4f a =，则()______f a -=【解析】由()())1)12ln12f a f a a a +-=+++=+=，得到()2f a -=-()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-【评析】本题易错的主要原因：第一小题学生无法关联出两个对称性可以得到周期性的结论，从求多个函数值的问题中发现函数的周期性来简化求和，同时抽象函数赋值法求值的基本思想和意识不够，抽象函数以具体函数呈现能挖掘更多的性质，具有多个对称性质的函数应该要求学生联想到三角函数模型，由此自然会想到周期性，以及一个周期内的函数值，本题可以在程度较好的学生中提出如何发现新的对称中心，以及如何证明．第二小题构造奇函数的意识，注意到()()1g x f x =-是函数，利用()()0g a g a +-=得到结果，学生遇到对数型函数应该联想到加减运算可以转化为真数的乘除，所以两式相加发现结果，或者学生熟悉分子有理化的运算，则可以发现二者之间关系．总之看到自变量互为相反数应该可以考虑到函数的奇偶性．（四）导数的综合运用能力较弱导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，历届高考，对导数的应用的考查都非常突出，主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与图象、曲线相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性；已知函数的单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）数形结合思想的应用．【例4】（2018年全国卷Ⅰ理21）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：． 【解析】（1）的定义域为，. （i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii ）若，令得，或. 当时，； 1()ln f x x a x x=-+()f x ()f x 12,x x ()()12122f x f x a x x -<--()f x (0,)+∞22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-2a ≤()0f x '≤2a =1x =()0f x '=()f x (0,)+∞2a >()0f x '=x=x=)x ∈+∞U ()0f x '<当时，. 所以在单调递减， 在单调递增. （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于， 所以等价于. 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，所以，即. 【评析】第（Ⅰ）问分类讨论思想是函数导数重点考察对象，实际问题中的函数通常含有参数有待确定，所以研究未知函数问题，通常在不同情况相应结论也要改变，二次含参讨论是重点内容，要综合考虑到定义域，首相系数，判别式，根的大小比较等，估算能力是重要的一环，这是体现选拔性的一步，在求完导数未同分之前，先判断0a ≤时，导函数为负，减少讨论步骤是关键；第（Ⅱ）问极值点可求，但是注意到根与系数的关系121x x ⋅=，进而将双变量问题转化为单变量，同时要考虑到自变量的范围，再由不等式的等价转化得到第一问函数的特殊类型，题目迎刃而解．二、解决问题的思考与对策（一）培养利用“特殊值法”解题的能力对“特殊值法”还要掌握选值的技巧，当一次取值不能达到目标时，可以考虑多次取值、x ∈()0f x '>()fx )+∞()22a a -+()f x 2a >()f x 12,x x 210x ax -+=121x x =12x x <21x >12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----1212()()2f x f x a x x -<--22212ln 0x x x -+<1()2ln g x x x x=-+()g x (0,)+∞(1)0g =(1,)x ∈+∞()0g x <22212ln 0x x x -+<1212()()2f x f x a x x -<--混合选取，看能否达到目标．特殊值法可以让一般问题特殊化，抽象问题具体化，从而大大减少计算量．在复习过程中，可以精选不同类型，有意识地强化“特殊值法”的解题能力.【例5】（2018年全国卷Ⅲ文7）下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于1x =对称的是（ ）A .ln(1)y x =-B .ln(2)y x =-C .ln(1)y x =+D .ln(2)y x =+（二）函数与方程的思想重在转化，提高转化与化归的意识如2016年全国卷Ⅰ(理8、文8)与全国卷Ⅲ（理6）和2017年全国卷都考查了指数、对数、幂的运算及性质.对函数基础知识的教学要回归课本，深化函数基本概念、公式及基本图像性质的理解．【例6】（2018年天津卷理14）已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .（三）提高利用函数性质解题的意识，具体函数抽象化，抽象函数具体化．数形结合思想将抽象逻辑思维与直观形象思维有效地结合起来，使得复杂问题简单化，抽象问题形象化，利于发现解题策略，优化解题过程．给出具体函数，我们要抽象出解题需要的函数的性质，给出抽象函数，我们能够找到具体模型与之对应，或者作示意图．【例7】(2016年全国卷Ⅱ文12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mii x =∑（ ） (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m（四）重视函数导数的工具作用以三角函数为背景考查导数、不等式，注重知识的交汇，体现函数导数的工具作用．【例8】(2018年全国卷Ⅰ卷理16)已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值为 ．【解析一】()()1cos 1cos 222cos 2cos 2)('+-=+=x x x x x f ，令0)('=x f ，则21cos =x ，或1cos -=x ，所以当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈21,1cos x ，()x f 为减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21cos x 增函数，所以()min 12f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭【解析二】()()()()()223222sin sin 24sin 1cos 41cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+ ()()()()1111081cos 1cos 1cos 1cos 333x x x x =-+++()()()()41111cos 1cos 1cos 1cos 33310864x x x x ⎛⎫-++++++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≤,所以()f x ,当3x π=-时, ()f x =. 所以()f x的最小值是. 【解析三】()()()()()223222sin sin 24sin 1cos 41cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+，令[]1,1,cos -∈=t t x ，则函数化为()()()311t t t g +-=，再利用导数进行求解． 【评析】本题以三角函数为背景，看似与三角函数问题，但用三角函数的知识求解就遇到困难，要求学生灵活运用其他知识解决，求函数最值常见的求解方法：（1）利用基本不等式；（2）利用导数方法；（3）数形结合；（4）换元法等等进行转化，考查了学生转化与化归、数形结合等数学思想．类似的问题还有：（2013年全国1卷理15）设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.（2016年全国III 卷文21）设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．（五）加强函数导数解答题的答题策略教学2018年全国卷Ⅰ21题函数为()ln ()h x g x +的比较容易研究的对数型函数问题，在导函数极值点问题上，涉及到“设而不求”，转化为根与系数的关系，考查问题以函数导数为载体，考查转化与化归思想；2018年全国Ⅱ卷21题与2018年全国Ⅲ卷21题都出现了()x e g x +和()ln h x x 等相对不容易研究的指对数函数型问题，对于第二问都作了一步关键的等价变形，原因是ln x 通常与多项式函数或者分式函数相加减比较容易研究， x e 通常与多项式函数或者分式函数相乘除比较好处理，这给我们的复习迎考提供了指导方向．【例9-1】已知函数2()()()xf x ax x a e a R -=++∈. （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.【分析】函数是x e 与多项式乘除的形式，函数求导研究起来不困难，第一问基础题，第二问双参数问题，先把较容易分析的参数a 看成主元，第一步求关于a 的函数的最大值，转化为单参数问题，构造函数分类讨论，函数相对复杂，直接求导，研究导函数分子，再讨论，得出结果．【例9-2】设函数2()ln (1)f x x x ax b x =-+-，()x g x e ex =-.（1）当0b =时，函数()f x 由两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在(1,)+∞时，其图像上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围.【分析】第一问，已知导函数由两个零点，可以考虑零点存在性定理，也可以选择参变量分离转化为两个函数图像的交点；导函数大于零恒成立问题，考虑到有两个超越，由二阶导数研究一阶导数，再推得函数的性质．（六）开展函数部分的微专题教学复习过程中，应对函数部分高考的高频考点问题——单调性、最值、切线、零点问题、恒成立问题、不等式证明、含量词的命题等，尤其是三角函数型函数，开展微专题教学，以提升学生对利用导数研究函数的图象与性质的认识．【例10】（2018年4月省质检理21）已知函数2()(21)2xf x ax ax e =++-.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）若17a <-，求证：当0x ≥时，()0f x <. 第一问，含参二次讨论，第二问双变量转化为单变量，利用转化回归思想求得．三、典型问题剖析导数是研究函数的工具，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间，从最近几年全国（省市）高考数学试题来看，对函数与导数的考查可以说是全方位的. 从考查要求来讲，它不仅有对基础知识、基本技能的考查，更有对数学思想、数学本质的考查. 具体而言，试题往往融函数、导数、不等式、方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性、极值、最值、切线、方程的根、函数零点、参数的范围等问题，这类题难度大，综合性强．解题中需要用到函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、转化与化归思想，利用“设而不求”、“先猜后证”、“放缩法(如1x e x ≥+，ln 1x x ≤-，x e ex ≥，1ln x ex-≥等)”、“构造法”等手段，解决恒成立求参、函数零点、不等式证明、带量词的命题等热点问题．典型问题一：函数导数的几何意义考点1 ：求切线方程【例11】(2016年全国卷Ⅱ)已知f (x )为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是______. 解析：法一：因为11'()33f x x x -=+=+-，()'12f ∴-=，()'12f ∴=-，故切线方程为210x y ++=法二：当0x >时，()()ln 3f x f x x x =-=-，()()1'3,'12f x f x∴=-∴=-，故切线方程为210x y ++= 【评析】本题主要考查导数的概念，导数的几何意义，函数的奇偶性等基础知识，解题的关键是熟知偶函数的导数为奇函数或者求解分段函数的解析式．考点2 ：求参数的值【例12】(2015年全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝_____.法一：由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，所以a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程y ＝2x －1，设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,y 0)．因为y ′＝2ax ＋(a ＋2)x ，由⎩⎨⎧-=++==++12)2(22)2(2002000x x a ax y a ax ，解得0128x a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩【点评】本题主要考查函数导数的定义及几何意义，解题的关键在于熟知求二次函数切线的多种方法．考点3：切线的应用【例13】(2017合肥模拟)点P 是曲线x 2-y -ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x -2的最小距离为_______．解析：点P 是曲线y ＝x 2-ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x -2平行时，点P到直线y ＝x -2的距离最小．直线y ＝x -2的斜率为1，令y ＝x 2-ln x ，得y ′＝2x-1x＝1，解得x ＝1或12x =-(舍去)，故曲线y ＝x 2-ln x 上和直线y ＝x -2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)． 因为点(1,1)到直线y ＝x -2的距离等于2，所以点P 到直线y ＝x -2的最小距离为 2.【点评】本题主要考查函数的导数几何意义，点线距离公式，解题的关键在于对数形结合的深刻领会及应用以及学生的几何直观思维．典型问题二：利用导数研究函数单调性考点1：利用导数求函数单调性【例14-1】(2017年江苏卷)已知函数x x e e x x x f 12)(3-+-=，其中e 是自然对数的底数．若0)()1(2≤+-a f a f ，则实数a 的取值范围是________.【解析】依题意可知()()0f x f x -+=，所以()f x 为奇函数，则2(1)()0f a f a -+≤可化为2()(1)f a f a ≤-，且2221()3232230x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥，则函数()f x 在R 上单调递增，则21a a ≤-，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围是1[1,]2-【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、函数导数以及一元二次不等式的求解等基础知识，解题的关键在于能灵活运用基本不等式，进而通过导数的正负确定函数的单调性．【例14-2】（2015年全国卷Ⅱ）设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数,0)1(=-f ,当0>x 时, 0)(-)('<x f x xf ,则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是( )A.(－∞,－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1,＋∞)C.(－∞,－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1,＋∞)解析 构造函数)0()()(≠=x x x f x F ，则0)()(')('2<-=xx f x xf x F ，所以则当0>x 时，)(x F 在),0(+∞上单调递减，又因为)(x f 为奇函数且x y =也为奇函数，所以)(x F 为偶函数，则)(x F 在)0,(-∞上单调递增．由0)1()1(0)1(==-⇒=-F F f ，当0>x 时，100)(0)(<<⇒>⇒>x x F x f ，当0<x 时， 10)(0)(-<⇒<⇒>x x F x f ，故使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是(－∞,－1)∪(0,1)，故选A ．【点评】本题主要考查导数公式、导数的几何意义、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证以及构造能力．解题关键在于熟知函数导数的求导法则，用转化与化归的思想来解抽象不等式．考点2： 讨论含参函数的单调性【例15】(节选自2018年全国卷I)已知函数x a x xx f ln 1)(+-=.讨论)(x f 的单调性. 【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-. (ⅰ)若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.(ⅱ)若2a >，令()0f x '=得，x =或x =当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>.所以()f x 在，)+∞单调递减，在单调递增.【点评】本题主要考查函数的导数、函数的单调性等基础知识，解题的关键在于能对含参问题进行灵活讨论，本质是对含参二次方程根的分布情况，可借助数形结合的方法确定分类讨论的标准．考点3：根据单调性逆向求参数【例16】(2017成都诊断)已知函数x ax x g x x f 221)(,ln )(2+==． （1）若函数)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）若函数)()()(x g x f x h -=在]4,1[上单调递减区间，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由0,221ln )(2>--=x x ax x x h ，则21)('--=ax xx h 因为函数)(x h 在),0(+∞存在单调递减区间，所以不等式021<--ax x 在),0(+∞有解，即x x a 212->有解，设xx x G 21)(2-=，则需min )(x G a >． 又1)11(21)(22--=-=x x x x G ，所以1-)(min =x G ， 所以1->a ，故实数a 的取值范围是),1(+∞-．(2)由)(x h 在]4,1[上单调递减，即021)('≤--=ax x x h 在]4,1[恒成立，即x x a 212->恒成立，设xx x G 21)(2-=，则需max )(x G a >．又]4,1[,1)11(21)(22∈--=-=x x x x x G ，显然]1,41[1∈x ， 所以167)4()(max -==G x G ，故167-≥a ． 当167-=a 时，x x x x x x x x x h 16)4)(47(161632721671)('2--=+-=-+= 因为]4,1[∈x ，所以016)4)(47()('≤--=xx x x h 恒成立，当且仅当4=x 时等号成立 所以)(x h 在]4,1[上单调递减，故实数a 的取值范围为),167[+∞-． 【点评】本题主要是以函数导数与单调性的关系为背景，考查对含参问题的逆向探究，解题的关键是转化与化归以及参数分离解题方法的灵活运用．典型问题三：利用导数研究函数的极值考点1：已知函数求极值【例17-1】(2017年山东卷)已知函数x x x f cos 2)(2+=，)22sin (cos )(-+-=x x x e x g x ，其中e 是自然对数的底数．(Ⅰ)求曲线)(x f y =在点))(,(ππf 处的切线方程；(Ⅱ)令)()()(x af x g x h -=，讨论)(x h 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解析】(I)略(II))cos 2()22sin (cos )()()(2x x a x x x e x af x g x h x ++-+-=-=))(sin (2)sin 22()2cos sin ()22sin (cos )('a e x x x x a x x e x x x e x h x x x --=--+--+-+-=令x x x u sin )(-=，则0cos 1)('≥-=x x u ，所以函数)(x u 在R 上单调递增因为0)0(=u ，所以0>x 时，0)(>x u ；0<x 时，0)(<x u①0≤a 时，0>-a e x ，所以0>x 时，0)('>x h ，函数)(x h 在),0(+∞单调递增；0<x 时，0)('<x h ，函数)(x h 在)0,(-∞单调递增；所以0=x 时，函数)(x h 取得极小值，a h 21)0(--=．②0>a 时，令0))(sin (2)('=--=a e x x x h x ．解得0,ln 21==x a x ．(i)10<<a 时，)ln ,(a x -∞∈时，0)(',0ln ><-x h e e a x ，函数)(x h 单调递增；)ln 0(,a x ∈时，0)(',0ln <>-x h e e a x ，函数)(x h 单调递减；),0(+∞∈x 时，0)(',0ln ><-x h e e a x ，函数)(x h 单调递增；所以0=x 时，函数)(x h 取得极小值，a h 21)0(--=．a x ln =时，函数)(x h 取得极大值，]2)cos(ln )sin(ln ln 2[ln )(ln 2+++--=a a a a a a h ．(ii)1=a 时，0ln =a 时，0)(',>∈x h R x ，函数)(x h 单调递增；(iii)1>a 时，0ln >a 时，0)(',0),0,(ln ><--∞∈x h e e x a x ，函数)(x h 单调递增；)ln ,0(a x ∈时，0)(',0ln <<-x h e e a x ，函数)(x h 单调递减；),(ln +∞∈a x 时，0)(',0ln >>-x h e e a x ，函数)(x h 单调递增；所以0=x 时，函数)(x h 取得极小值，a h 21)0(--=．a x ln =时，函数)(x h 取得极大值，]2)cos(ln )sin(ln ln 2[ln )(ln 2+++--=a a a a a a h ．所以0=x 时，函数)(x h 取得极大值，a h 21)0(--=．a x ln =时，函数)(x h 取得极小值，]2)cos(ln )sin(ln ln 2[ln )(ln 2+++--=a a a a a a h ．综上所述（略）【点评】本题主要考查对函数导数、函数单调性、函数极值等基础知识．考查了函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想，解题的关键在于能灵活对含参问题进行分类讨论以及数形结合解题方法的灵活运用．【例17-2】(2018泉州模拟)已知函数()1xa f x x e =-+(e 为自然对数的底数) (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值；(2)求函数()f x 的极值.【解析】(1)函数()1x a f x x e =-+的导数()1x a f x e '=-,因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，得(1)10a f e'=-=，解得a e =． (2)由导数()1xa f x e '=-， ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，即()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 没有极值； ②当0a >时，令()0f x '=得ln x a =，当'()0f x <，则ln x a <；当()0f x '>，则ln x a >，即()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln )a +∞，上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )ln f a a =，无极大值．综上，当0a ≤时，()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值(ln )ln f a a =，无极大值．【点评】本题主要考查对函数导数、函数单调性、函数极值等基础知识，解题的关键在于灵活掌握对含参问题的分类讨论技巧．考点2：根据函数极值(点)逆向求参数【例18-1】(2018年全国卷III)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ． 【解析】(1)当时，，． 设函数，则． 当时，；当时，．故当时，，当且仅当时，，从而，且仅当时，．所以在单调递增．又，故当时，；当时，．0a =()(2)ln(1)2f x x x x =++-()ln(1)1x f x x x '=+-+()()ln(1)1x g x f x x x'==+-+2()(1)x g x x '=+10x -<<()0g x '<0x >()0g x '>1x >-()(0)0g x g ≥=0x =()0g x =()0f x '≥0x =()0f x '=()f x (1,)-+∞(0)0f =10x -<<()0f x <0x >()0f x >(2)(i)若，由(1)知，当时，，这与是的极大值点矛盾．(ii)若，设函数． 由于当时，，故与符号相同． 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点．． 如果，则当，且时，，故不是的极大值点． 如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点． 如果，则．则当时，；当时，．所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，． 【点评】本题第一问不等式证明问题考查了考生转化与化归的思想方法，能够体现考生的数学能力和思维水平．第二问起点低，问题看似常规，但落点高，实际解答过程对考生的逻辑思维与运算求解能力提出了很高的要求．【例18-2. (1)当0>a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若)(x f 在),0(+∞上存在极值点，且极值大于24ln +，求a 的取值范围.0a ≥0x >()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=0x =()f x 0a <22()2()ln(1)22f x x h x x x ax x ax==+-++++||min{x <220x ax ++>()h x ()f x (0)(0)0h f ==0x =()f x 0x =()h x 2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++610a +>6104a x a +<<-||min{x <()0h x '>0x =()h x 610a +<224610a x ax a +++=10x <1(,0)x x∈||min{x <()0h x '<0x =()h x 610a +=322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--(1,0)x ∈-()0h x '>(0,1)x ∈()0h x '<0x =()h x 0x =()f x 16a =-【解析】的定义域为),0()0,(+∞-∞ ,因为0>a ，所以0)('>x f 恒成立，即)(x f 在),0(),0,(+∞-∞单调递增．(2)由(1)可知,当0≥a 时,即)(x f 在),0(),0,(+∞-∞单调递增,函数无极值点．当0<a 时，因为)(x f 在),0(+∞上存在极值点 设a e x x g x +=2)(，则0)2()('>+=x xe x g x在),0(+∞上恒成立,即)(x g 在),0(+∞上单调递增,所以0)0()(<=>a g x g ． 设极值点为0x ，则极值为 由0)(0=x g 得020x e x a -=，所以令,x e x x h )1()(+=，则0)2()('>+=xe x x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增．而所以2ln 0>x ．令x e x x 2)(-=φ，则x e x x x )2()('2+-=φ，显然2ln 0>x 时，0)2()('2<+-=x e x x x φ，即x e x x 2)(-=φ单调递减，所以2ln 2)2(ln 22ln 2-=-<e a ，故a 的取值范围为)2ln 2,(2--∞．【点评】本题主要以指数函数为背景，考查导数在研究函数极值方面的应用，根据函数极值的性质逆向求参数的范围．考查分类与整合思想、转化与化归思想、函数与方程思想等．解题的关键是对参数的取值进行分类讨论．解题的关键在设而不求的思想的方法，找到0x 与a 的关系式，进而将)(0x f 完全表示成关于0x 的函数．考点3：函数的极值(点)的性质考查【例19-1】(2018年全国卷I 理21)已知函数x a x xx f ln 1)(+-=.(1)讨论)(x f 的单调性；(2)若)(x f 存在两个极值点21,x x ，证明：2)()(2121-<--a x x x f x f【解析】(2)证明：由(1)知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2>a .由于f (x )的两个极值点21,x x 满足012=+-ax x ，所以121=x x ，不妨设21x x <，则12>x .由于21ln 2ln ln 11)()(2222121212121---=--+--=--x x x a x x x x a x x x x x f x f所以2)()(2121-<--a x x x f x f 等价于02ln 2122<+-x x .设函数2ln 21)(+-=x xx g ，由(1)知，)(x g 在),0(+∞上单调递减． 又0)1(=g ，从而当),1(+∞∈x 时，0)(<x g .所以02ln 2122<+-x x ，即2)()(2121-<--a x x x f x f . 【点评】本题考查的题型比较常见，第一问考查含参函数单调性的分类讨论问题，第二问结合第一问的结果，考查对双变量问题的处理以及韦达定理的应用，是比较常见的多变量转化为单变量的处理方式，最后构造函数证明不等式成立．【例19-2】(2017湖北四地七校联考)已知函数x ax xx f +-=221ln)(， (I)讨论函数)(x f 的极值点的个数；(II)若f(x)有两个极值点21,x x ，证明：2ln 43)()(21->+x f x f ． 【解析】(I)由x ax x x ax xx f +--=+-=222ln 21ln)(， 得)0(12121)('22>-+-=+--=x xx ax ax x x f ，。

坐标系与参数方程1．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝2B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2解析 先将极坐标化成直角坐标表示，⎝⎛⎭⎪⎫2，π2化为(0，2)，过(0，2)且平行于x 轴的直线为y ＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D. 答案 D2．在直角坐标系xOy 中，已知点C (－3，－3)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－5π6.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 3．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________． 答案 2312．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2，23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋（3）2＝2. 答案 213．在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 曲线C 1的直角坐标方程为x ＋2y －2a ＝0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2， 若曲线C 1，C 2有公共点，则有圆心到直线的距离|2－2a |1＋22≤2，即|a －1|≤5， ∴1－5≤a ≤1＋5，即实数a 的取值范围是[1－5，1＋5]． 答案 [1－5，1＋5]14．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，曲线C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．15．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，则yx 的取值范围是________．解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝1， 圆心为(－2，0)，半径为1. 设yx＝k ，则直线y ＝kx ，即kx －y ＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝1，即|2k |＝k 2＋1，平方得4k 2＝k 2＋1，k 2＝13，解得k ＝±33，由图形知k 的取值范围是－33≤k ≤33， 即y x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)将C 1的方程化为普通方程；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π3，求曲线C 1与C 2的交点的极坐标．解 (1)C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)设C 1的圆心为A ，∵原点O 在圆上， 设C 1与C 2相交于O ，B ，取线段OB 的中点C ， ∵直线OB 倾斜角为π3，OA ＝2，∴OC ＝1，从而OB ＝2，∴O ，B 的极坐标分别为O (0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.17．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |的值．18．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 解 (1)y 2＝2ax ，y ＝x －2.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝2ax ，得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， 即a 2＋3a －4＝0.解得a ＝1或a ＝－4(舍去)． 19．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin αy ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)． (1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．解 (1)由x ＝3cos α＋sin α得x 2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1， 所以曲线M 可化为y ＝x 2－1，x ∈[－2,2]，由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 可化为x ＋y ＝t .(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点(2,3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t ，y ＝x 2－1，得x 2＋x －1－t ＝0，由Δ＝1＋4(1＋t )＝0，解得t ＝－54.即|OP ||OQ |的取值范围是[2,3]．。

专题一：函数与不等式以函数为主，函数与不等式综合考察。

1、函数和导数部分，高频考点11个。

选择题喜欢考察的知识点是二次函数、指数函数、对数函数、函数图像的识别及函数的零点;填空题考察分段函数、函数的奇偶性和单调性。

导数的几何意义、定积分及其应用，相对较难，选择题、填空题和解答题的第一部分都会涉及。

2、不等式、推理与证明部分，高频考点5个。

这部分的考察，主要以选择题为主。

不等式3个，考察的是其性质、解法和综合运用;简单的线性规划1个;合情推理和演绎推理1个。

专题二：数列通项公式是数列考察高频内容。

1、数列部分，这部分共有4个高频考点，不但涉及数列的概念、表示，而且有等差数列、等比数列的概念及运算，最后会有数列的综合运用。

前三个考点会以选择题为考察形式，较为容易。

最后一个考点考察有一定难度，且易出解答题。

专题三：解析几何整合考点该专题分为三个部分，即三角函数，平面向量，解三角形和解析几何1、三角函数及解三角函数，高频考点有5个。

这5个点全以选择题为主进行考察，但难度不低。

三角函数给值求值、辅助角公式运用、三角函数周期识图及性质都是考察内容。

解三角形每年都会有一道填空题或解答题，考生们一定要掌握这个知识点。

2、平面向量、数系扩充与复数，高频考点有3个，平面向量的线性运算、响亮的模、和数量积、复数的概念及运算。

近五年，这些考点以填空题为主，难度相对比较容易。

3、平面解析几何，高频考点8个，即圆的方程、椭圆的几何性质及方程、直线与圆的位置关系、双曲线、抛物线和轨迹方程。

其中，直线与圆的位置关系是本章难点，2016年出了一道填空题。

椭圆的性质和双曲线的几何性质也是考察重点，填空题、解答题这两年都有涉及。

专题四：立体几何立体几何1、几何部分，高频考点5个，三视图、线面平行和二角面、线线、线面垂直的判定属于相对较容易的部分，异面直线所成的角属于难点，近几年出过填空题。

其他考点多解答题。

专题五：概率统计部分1、集合与常用逻辑用语，高频考点有4个。

2019-2020学年高考数学复习讲义 第二讲 函数一、知识扩展1. 函数方程：含有未知函数的等式.1) 函数方程的解法：代换法；待定余数法；迭代法；柯西法.2) 柯西方程：一个定义在有理数集上的实值函数)(x f 对一切有理数y x ,，都有)()()(y f x f y x f +=+.则,)(cx x f =这里)1(f c =.2. 凸函数与琴生不等式：1) 设)(x f 为定义在),(b a 内的函数，对21,x x ∀，都有2)()(22121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫⎝⎛+. 则称)(x f 为),(b a 内的下凸函数. （一般凸函数指下凸函数）2) 如何判断下凸函数若)(x f g =中，)(0)(x f g x f =⇒≥''为下凸.（若)(x f g =中，)(0)(x f g x f =⇒≤''为上凹.）3) 对),(b a 内的凸函数)(x f ，有n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ . （不等号反向，得到凹函数及凹函数的琴生不等式）.3. 一元三次方程的韦达定理：设一元三次方程)0(023≠=+++a d cx bx ax 的三个根分别为321,,x x x ，则有 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++a d x x x a c x x x x x x a b x x x 321313221321.用))()((32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++待定系数法即可得到.4. 0)(012211=+++++=----a x a x a b a x a x f n n n n n n . 整系数多项式的根.1) 首项系数为1的整系数多项式有理根必是整数根. 2) 整系数多项式的整数根，必是常数项0a 的 约 数.二、例题解析（一）函数性质例1：（2010上海交大）函数323211)(x x x x x f +-+++=()R x ∈的反函数为例2：（2008北京大学）书籍函数.1965319653)(22+-++-=x x x x x f求：)50()3()2()1(f f f f ++++例3：（2007江苏数学竞赛） 已知2002120021)(-++-+-+++++++=x x x x x x x f )(R x ∈，且)1()23(3-=+-a f a a f . 则a 的值有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个例4：（学生完成，2007江西联赛）设xx x f -+=11)(，又记)()(1x f x f =. (),,2,1,)()(1 ==+k x f f x f k k 则=)(2007x fA. x x -+11B. 11+-x xC. xD. x1- 练习：1. 求函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值.2. 设R y x ∈,，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(2013)1(1)1(2013)1(33y y x x ，求?=+y x（二）函数与方程例5：（2009复旦大学）定义在R 上的函数)(x f )1(≠x 满足x x x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛-++4015120022)( 则=)2004(f例6：（2010上海交大）若函数.1)0().()()()(='+=+++f y x f y x xy y f x f求)(x f 的解析式.练习：4. 解方程：()()0113124)32(1569)13(22=++-++++--x x x x x x . 例7：（2006上海交大）设9≥k ，解关于x 的方程02792223=++++k x k kx x .（三）函数与不等式例8：（2010南开大学）求证：6sin 3x x -> ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx例9：（2009清华）设+∈=+>>N n y x y x .1,0,0.求证：121-≥+n n n y x .（四）函数、多项式与方程例10：（2008上海交大）设023=+++c bx ax x 的三个根分别为c b a ,,，且c b a ,,是不全为 0的有理数，求c b a ,,的值.例11（2014华约）4. （1）证明()()y f g x =的反函数为()11();y g f x --=（2）1()(),()(),F x f x G x f x -=-=若()G x 的反函数是(),F x 证明：()f x 为奇函数.例12（2014北约）8. 已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足了()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根，如果已知()0f x =有两个不同的实根，求证：()0g x =没有实根.。

【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解 第6讲 函数图像识别辨析专项突破高考定位函数图象作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已经成为各省市高考命题的一个热点。

在高考中经常以几类初等函数的图象为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。

考点解析（1）知图选式的方法 （2）知式选图的方法（3）同一坐标系中辨析不同函数图像的方法（4）解决需要我们利用图像所提供的信息来分析解决问题这类题目的常用方法 定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题;定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题;函数模型法，也就是由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题. 题型解析类型一、由解析式判定图像例1-1（含参型）．（2022·全国·高三专题练习）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3loga f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠， 即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间⎛ ⎝⎭上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为增函数，0g =，则()g x 存在极小值3g a =-=⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B. 知式选图的方法（1）从函数的定义域，判断图像左右的位置;从函数的值域，判断图像上下的位置; （2）从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断图像的变化趋势; （3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性; （4）从函数的周期性，判断图像的循环往复; （5）从函数的极值点判断函数图像的拐点.练．（2021•重庆模拟）函数()(kx f x e lnx k =⋅为常数）的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：令()0kx f x e lnx =⋅=，解得1x =，即函数()f x 有且只有一个零点，故D 不可能，()(1)kxe f x kxlnx x'=+，令y xlnx =，则1y lnx '=+，令0y '>，则1x e>，即函数y 在1(e，)+∞上单调递增，令0y '<，则1x e<，即函数y 在1(0,)e上单调递减，∴当1x e =时，y 取得最小值，为1e -，即1[xlnx e∈-，)+∞，且0x →时，0xlnx →，x →+∞时，xlnx →+∞，故当0k e 剟时，()0f x '…，()f x 单调递增，选项A 可能，当k e >时，()f x '存在两个零点1x ，2x ，且12101x x e<<<<，()f x ∴在1(0,)x 和2(x ，)+∞上单调递增，在1(x ，2)x 上单调递减，选项B 可能，当0k <时，()f x '存在唯一零点0x ，且01x >，()f x ∴在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减，选项C 可能，故选：ABC ． 练．函数()mf x x x=-（其中m ∈R ）的图像不可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】易见,0(),0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，① 当0m =时()=f x x ()0x ≠，图像如A 选项；②当0m >时，0x >时()m f x x x =-，易见,my x y x==-在()0,+?递增，得()f x 在()0,+?递增； 0x <时()m f x x x =--，令x t -=，得(),0mf t t t t=+>为对勾函数， 所以()f t在)+∞递增，(递减，所以根据复合函数单调性得()f x在(,-∞递减，()递增，图像为D ； ③当0m <时，0x <时()m f x x x =--，易见,my x y x=-=-在(),0-?递减，故()f x 在(),0-?递减；0x >时()m m f x x x x x-=-=+为对勾函数， 所以()f x在(递减，)+∞递增，图像为B. 因此，图像不可能是C. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用对勾函数单调性来判断函数的图像，属于中档题.例1-2（原导混合型）（2021·重庆市南坪中学校高二月考）函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误，故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. .同一坐标系中辨析不同函数图像的方法解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图像是正确的，然后再验证另一个函数图像是否符合要求，逐项进行验证排查.练．函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得0ac bc >⎧⎨<⎩， 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求； 若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．类型二、由图像判定解析式例2-1（2019·甘肃·兰州五十一中高一期中）若函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可以为（）A ．21()xf x x+=B ．()2ln 2()x f x x+=C ．33()xf x x+= D ．ln ()x f x x=【答案】A 【分析】根据函数图象的基本特征，利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案． 【详解】选项B 根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B 排除； 选项C 根据图象x 趋向于-∞，函数值为负，与C 矛盾故排除； 选项D 函数图象在第三象限，0x <，与D 的定义域矛盾，故排除； 由此可得只有选项A 正确； 故选:A. 【点睛】本题考查函数图象判断解析式，此类问题主要利用排除法，排除的依据为函数的基本要素和基本性质，如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等，属于中等题. 例2-2．函数y =f (x )的图象如图所示，则函数y =f (x )的解析式可能为（）A ．ln 1xy x =+ B ．cos 1xy x =+ C ．1xe y x =+D ．1x y x =+【答案】C【分析】结合函数的图象，从函数的定义域，0x =和0x >时判断.【详解】由()y f x =图象得函数的定义域为{}1,x x x ≠-∈R ∣，排除A ；由()00f >，排除D ；由0x >时,()0f x >，排除B ．故选：C.例2-3（2020·浙江·台州市黄岩中学高三月考）某函数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（）A ．sin 2sin 2xxy e =B ．cos2cos 2xxy e =C ．cos2cos 2xx y e =D ．cos cos xxy e =【答案】C 【分析】利用函数值恒大于等于0，排除选项A 、B 、D ，则答案可得.【详解】当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而A 选项中，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 2sin 20xxy e=<，故排除A ；当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而B 选项中，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2cos20x xy e =<，故排除B ；当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而D 选项中，当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos cos 0x xy e =<，故排除D ； 因此，C 选项正确； 故选：C . 【点睛】本题考查由函数图象判断函数的解析式，考查运算求解能力、数形结合思想，体现了数学运算的核心素养，破解此类问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点排除不适合的选项，从而得出合适的选项.本题属于中等题.例2-4（2019·全国·高三月考（理））已知函数()y f x =图象如下，则函数解析式可以为（）A ．()()()sin 2ln 1f x x x π=+B ．()()2sin 222xxx x f x π-=-C ．()()()sin 222x x f x x π-=-D ．()()()sin 222x x f x x π-=+【答案】C 【分析】根据图象可知函数()y f x =为偶函数，且定义域为R ，然后分析各选项中各函数的定义域与奇偶性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的定义域为R ，且为偶函数.对于A 选项，()()()sin 2ln 1f x x x π=+的定义域为{|0}x x ≠，不合乎题意； 对于B 选项，令220xx--≠，得0x ≠，则函数()()2sin 222xxx x f x π-=-的定义域不为R ，不合乎题意；对于C 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=-的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=--=-=，该函数为偶函数，合乎题意； 对于D 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=+的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=-+=-+=-，该函数为奇函数，不合乎题意. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法求解，考查推理能力，属于中等题. 总结：知图选式的方法（1）从图像的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域 （2）从图像的变化趋势，观察函数的单调性;（3）从图像的对称性方面，观察函数的奇偶性; （4）从图像的循环往复，观察函数的周期性.类型三、读图提取性质求参例3-1．若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B 【分析】 令()0f x =得到1ln x n m=，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断. 【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m =，由图象知1l 0n x mn =>， 当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C ，故选：B练．已知常数a 、b 、R c ∈，函数()2bx cf x x a+=-的图象如图所示，则a 、b 、c 的大小关系用“<”可以表示为_______.【答案】b c a <<【解析】若0a <，则函数()f x 的定义域为R ，不合乎题意， 若0a =，则函数()2bx cf x x +=的定义域为{}0x x ≠，不合乎题意，若0a >，则函数()2bx cf x x+=的定义域为{x x ≠，合乎题意. 由图可知()00c f a==-，可得0c =，则()2bx f x x a =-，当0x <<20x a -<，则20x x a <-，则()20bxf x x a=>-，所以0b <. 因此，b c a <<. 故答案为：b c a <<.例3-2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()()4cos xx f ex ωϕ+=（0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则ωϕ=（）A ．12B ．1C ．2D ．2π【答案】C 【分析】由函数零点代入解析式待定系数ϕ、ω. 【详解】由图象可知，由(0)0f =得cos 0ϕ=，又0ϕπ<<，解得2ϕπ=.则()4cos 4sin 2x xx x ee f x πωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-， 法一：由(1)0f =得sin 0ω=，解得()k k Z ωπ=∈， 又当(0,1)x ∈，(0,)x ωω∈时，恒有()0f x <， 即sin 0x ω>恒成立，故0ωπ<≤，1k ∴=，即ωπ=，则2ωϕ=. 法二：由sin 0x ω=，解得()k x k Z πω=∈，故两相邻零点的距离为πω，由图象可知1πω=，则ωπ=，则2ωϕ=. 故选：C. 【点睛】已知函数图象待定解析式，一是从函数的特征点入手，代入点的坐标从而待定系数，如函数的零点、极值点、与纵轴的交点、已知横纵坐标的点等等；二是从函数的特征量入手，找到等量(不等量)关系待定系数(范围)，如函数的周期、对称轴、切线斜率、图象上两点间的距离、相关直线所成角等等. 练．已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则a ω可取A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而x y a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈． 因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．类型四、实际情景提取图像例4-1．如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】依题意，正ABC 的高为1，则其边长BC =，如图，连接OF ，OG ，过O 作ON ⊥l 1于N ，交l 于点M ，过E 作EH ⊥l 1于H ，因OF =1，弧FG 的长为x (0)x π<<，则F O G x ∠=，又12////l l l ，即有1122FON FOG x ∠=∠=，于是得cos cos 2xOM OF FON =⋅∠=，1cos 2x EH MN ON OM ==-=-，2cos )sin 6032EH xEB ==-，因此，2cos )22x xy EB BC CD EB BC =++=+=-=，即()2xf x=，0πx<<，显然()f x在(0,)π上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，而2312432fππ⎛⎫==<=⎪⎝⎭⎭，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数()y f x=的图像大致是选项D.故选：D练．已知P是圆22(1)1x y-+=上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为θ，若||OP d=，则函数()d fθ=的大致图象是A．B．C．D．【答案】D【解析】π2cos,[0,)2π2cos,(,π)2dθθθθ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩，所以对应图象是D练。

算法、复数1．已知z ＝1＋2i ，则复数2iz －2的虚部是( ) A ．25 B ．－25 C ．25i D ．－25i 【解析】2i z －2＝2i －1＋2i ＝－1－－1＋－1－＝45－25i ，该复数的虚部为－25.故选B ． 【答案】B2．若复数z ＝1＋2i ，则4iz z －－1等于( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 【解析】4iz z －－1＝4i＋－－1＝i.故选C ． 【答案】C3．已知z (3＋i)＝－3i(i 是虚数单位)，那么复数z 对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【解析】z ＝－3i3＋i ＝－33－3＋3－＝－3－3i 4＝－34－3i 4，z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－34位于复平面内的第三象限．故选C ． 【答案】C4．下列推理是演绎推理的是( )A ．由于f (x )＝c cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 都成立，推断f (x )＝c cos x 为奇函数B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列{a n }的前n 项和的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质【解析】由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 和D 为类比推理，故选A ．【答案】A5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A ．8B ．17C ．29D ．836．用反证法证明命题：“已知a ，b 是自然数，若a ＋b ≥3，则a ，b 中至少有一个不小于2”．提出的假设应该是( )A ．a ，b 至少有两个不小于2B ．a ，b 至少有一个不小于2C ．a ，b 都小于2D ．a ，b 至少有一个小于2【解析】根据反证法可知提出的假设为“a ，b 都小于2”．故选C ． 【答案】C7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．56B ．54C ．36D ．648．执行如图所示的程序框图，那么输出的S 值是( )A ．12 B ．－1 C ．2008 D ．2【解析】模拟程序的运行，可知S ＝2，k ＝0；S ＝－1，k ＝1；S ＝12，k ＝2；S ＝2，k ＝3；…，可见S 的值每3个一循环，易知k ＝2008对应的S 值是第2009个，又2009＝3×669＋2，∴输出的S 值是－1，故选B ． 【答案】B9．如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i <34，n ＝n ＋3C ．i >34，n ＝n ＋3D ．i ≥34，n ＝n ＋3【解析】算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，∴终止程序运行的i 值为35，∴判断框内(1)处应为i >34，故选C ． 【答案】C10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【解析】由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯． 【答案】B11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S 的值为1，则判断框内为( )A ．i >6?B ．i >5?C ．i ≥3?D ．i ≥4?12．祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④【解析】设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h 2，则截面圆的面积为π(R －h2)2；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D ． 【答案】D13．给出30个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这30个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可分别填入( )A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？和p ＝p ＋iD ．i ≤30？和p ＝p ＋i 【答案】D.【解析】由题意，本题求30个数的和，故在判断框中应填“i ≤30？”，由于②处是要计算下一个加数，由规律知应填“p ＝p ＋i ”，故选D. 14．下图的程序框图是把k 进制数a (共有n 位数)化为十进制数b 的程序框图，在该框图中若输入a ＝2 134，k ＝5，n ＝4，则输出b 的值为( )A ．290B ．294C ．266D ．274 【答案】B.【解析】由题意得，模拟执行程序框图，可得程序框图的功能．当输入a ＝2 134，k ＝5，n ＝4时，计算并输出b ＝4×50＋3×51＋1×52＋2×53＝294，故选B.15．已知复数z 1＝k 2－4＋(k 2－5k ＋6)i ，z 2＝3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )．若z 1<z 2，则k 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2或3 D ．不存在 【答案】C.【解析】由z 1<z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2－4<3k ，k 2－5k ＋6＝0，解得k ＝2或k ＝3.故选C.16．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－i D ．4＋i 【答案】A.【解析】由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋（3）2＋i ＝2＋i ，所以z ＝2－i.故选A.17．现定义e i θ＝cos θ＋isin θ，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对e i θ都适用，若a ＝C 50cos 5θ－C 52cos 3θsin 2θ＋C 54cos θsin 4θ，b ＝C 51cos 4θsin θ－C 53cos 2θsin3θ＋C 55sin 5θ，那么复数a ＋b i 等于( ) A ．cos 5θ＋isin 5θ B ．cos 5θ－isin 5θ C ．sin 5θ＋icos 5θ D ．sin 5θ－icos 5θ 【答案】A.【解析】a ＋b i ＝C 50cos 5θ－C 52cos 3θsin 2θ＋C 54cos θsin 4θ＋ iC 51cos 4θsin θ－iC 53cos 2θsin 3θ＋iC 55sin 5θ ＝C 50cos 5θ＋i 2C 52cos 3θsin 2θ＋i 4C 54cos θsin 4θ ＋iC 51cos 4θsin θ＋i 3C 53cos 2θsin 3θ＋i 5C 55sin 5θ ＝()cos θ＋isin θ5＝cos 5θ＋isin 5θ，选A.18．执行如图所示的程序框图，若输出的y 值满足y ≤12，则输入的x 值的取值范围是____________．【答案】(]－∞，－1∪(]0，2.【解析】由程序框图可知对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，当x ≤0时，y ＝2x， 令y ≤12，即2x≤12，解得x ≤－1； 当x >0时，y ＝log 2x ， 令y ≤12，即log 2x ≤12，解得0<x ≤2， 综上所述，输入的x 值的取值范围是(－∞，－1]∪(0，2]．19．执行右图所示流程框图，若输入x ＝10，则输出y 的值为____________．【答案】－5420．运行如图的程序框图，若输出的y 随着输入的x 的增大而减小，则a 的取值范围是____________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 【解析】由程序框图可知，当x <2时，输出y ＝(a －2)x ；当x ≥2时，输出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1.因为，输出的y 随着输入的x 的增大而减小，即输出的分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x <2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥2为减函数，所以a －2<0且(a －2)×2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得138≤a <2，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2.21．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．【解析】∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a ＝－2.【答案】－222．如图是一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________． 【解析】前15行共有＋2＝120(个)数，故所求的数为a 122＝12×122－1＝1243.【答案】124323．执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为________．【解析】如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6. 【答案】624．“求方程⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x ＝1的解”，有如下解题思路：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2，类比上述解题思路，可得不等式x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2的解集是________．【解析】因为x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2，所以x 6＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)，所以(x 2)3＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)．令f (x )＝x 3＋x ，所以不等式可转化为f (x 2)>f (x ＋2)．因为f (x )在R 上单调递增，所以x 2>x ＋2，解得x <－1或x >2.故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)。