第四讲------三角形中辅助线的常见的添加方法

全等三角形辅助线添加方法全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。

要证明两个三角形全等，我们通常使用SAS（两边和夹角），ASA（两角和边），SSS（三边）等条件来进行证明。

为了证明这些条件，我们可以添加一些辅助线来简化问题。

以下是几种常见的全等三角形辅助线添加方法：1.中位线法中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点及对边中点来添加中位线。

这样，原来的两个三角形就分解成了两个平行四边形，从而简化了证明过程。

2.高线法高线是从一个顶点垂直于对边的线段。

在证明两个三角形全等时，可以添加一条高线，从而将一个三角形分解成两个直角三角形。

这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。

3.角平分线法角平分线是从一个角的顶点分别平分两个相邻边的线段。

在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点和相邻边的角平分线来添加辅助线。

这样，原来的两个三角形就分解成了两个高度相等的直角三角形。

4.旁切线法旁切线是从一个角的顶点切线到对边的线段。

在证明两个三角形全等时，可以添加一条旁切线，从而将一个三角形分解成两个全等的直角三角形。

这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。

5.等腰三角形法等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。

在证明两个三角形全等时，如果我们发现其中一个三角形是等腰三角形，可以添加一条辅助线，将该等腰三角形分成两个全等的直角三角形。

这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。

通过添加这些辅助线，我们可以改变问题的形式，简化证明过程，并帮助我们找到更多的全等条件。

但是需要注意的是，辅助线的添加要符合几何图形的性质，不能改变原有图形的形状和大小。

总之，在证明两个三角形全等时，辅助线的添加是一个常用的方法，可以帮助我们简化证明过程，找到更多的全等条件，提高证明的效率和准确性。

需要根据具体问题来选择合适的辅助线添加方法，灵活运用几何定理和性质来进行证明。

DC B AEDFCBA全等三角形及其辅助线作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”（或构造平行线的X 型全等）．2) 遇到角平分线，一是可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，二是在角的两边上截取相同的线段，构成全等。

利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，也是运用了角的对称性。

3) 截长法与补短法，具体做法是在较长线段上截取一条线段与特定线段相等，使剩下的线段与另一条线段相等；或者是将两条较短线段中的一条延长，使这两条线段的和等于较长的线段。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等题目．4) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．也可以将两腰分拆到两个三角形中，证明这两个三角形全等。

特殊的应用有等边三角形与等腰直角三角形。

5) 此外，还有旋转、折叠等情况。

(一)、中点线段倍长问题（中线倍长或者倍长中线）：1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.2、如图△ABC 中，点D 是BC 边中点，过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。

当AE=AF 时，求证BE=CF 。

3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.4、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB AA BC D E F5 如图，AB=AC ，AD=AE ，M 为BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。

求证：AM ⊥DC 。

应用：1、以△ABC 以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，且∠BAD=∠CAE-90°，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当△ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt △ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ° (0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）角平分线与轴对称1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠C=2∠B ，求证:AB=AC+CD.2、 如图，直线l 1∥l 2，直线m 与直线l 1 、l 2交于A 、B 两点。

初中数学三角形中14种辅助线添加方法在三角形中，常用的辅助线有中线、高线、中垂线、角平分线等。

下面是三角形中14种辅助线添加方法：1. 三角形中线的添加方法：在三角形的每个顶点上作一条连接对边中点的线段，则这些线段交于一点，且该点到三角形各顶点的距离相等，即为三角形的重心。

2. 三角形中垂线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂足分别为A、B、C，则三个垂足所在直线相交于一点，为三角形的垂心。

3. 三角形高线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂线所在直线与所对边的交点称为底部端点，连接三个底部端点，则构成一个矩形，其中两个对角线分别为三角形的两个高。

4. 角平分线的添加方法：从角的顶点向其对边作角平分线，将角平分为两个相等的角，且角平分线上的任意一点到两侧边的距离相等。

5. 外接圆的添加方法：三角形三边的中垂线交于一点，则以该点为圆心，三角形三个顶点分别为圆上的三个点的圆称为三角形的外接圆。

6. 内切圆的添加方法：三角形三条边所在直线的交点为内心，以内心为圆心，作内切圆，该圆与三角形的三边相切。

7. 垂直平分线的添加方法：从线段的中点向垂直于该线段的方向作一条线段，则该线段垂直于原线段且平分其长度。

8. 外角平分线的添加方法：从三角形的一顶点作一条射线，使其不在所在直线内，将相邻两个角的外部划分成两个大小相等的角，则这条射线为该顶点所对的角的外角平分线。

9. 旁切圆的添加方法：以三角形的某一边为半径，在其外侧作一条与该边平行的直线，使其与另外两边所在直线相交，其交点则为旁切圆心。

10. 中位线的添加方法：连接三角形任意两个顶点，则连接这两个顶点的中点的线段称为三角形的中位线，三角形三条中位线交于一点，即为三角形重心。

11. 等腰三角形的中线、高线和垂心重合。

12. 等边三角形的中线、高线、垂心和外心重合。

13. 直角三角形的垂心落在斜边上，且斜边上的高线与斜边垂直。

14. 任意三角形的外心到三个顶点的距离相等。

三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。

全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。

下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。

一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。

它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。

我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。

倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。

如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。

我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。

可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。

在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。

看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。

五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。

初中数学三角形辅助线技巧
在解决初中数学中的三角形问题时，添加辅助线是一种常见的策略。

以下是一些常见的三角形辅助线添加技巧：
1. 中点连线：如果已知三角形的一个中点，可以通过连接这个中点到其他顶点来找到新的等腰三角形或平行四边形，从而简化问题。

2. 平行线：通过作平行线，可以构造新的平行四边形或相似三角形，从而利用这些图形的性质来解决问题。

3. 延长线：在某些情况下，延长线可以帮助我们找到新的角或线段，从而利用这些信息解决问题。

4. 作高：在直角三角形中，可以通过作高来找到新的线段或角，从而找到解决问题的线索。

5. 作角平分线：角平分线可以将一个角分为两个相等的角，从而帮助我们找到新的等腰三角形或平行线。

6. 构造全等三角形：通过添加辅助线，可以构造两个或多个全等的三角形，从而利用全等三角形的性质解决问题。

7. 倍长中线：在已知中点的情况下，可以通过倍长中线来找到新的等腰三角形或平行四边形。

8. 构造相似三角形：通过添加辅助线，可以构造两个相似的三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。

以上技巧并非一成不变，需要根据具体的问题和条件灵活运用。

在解决三角形问题时，多思考、多实践是提高解题能力的关键。

第四讲-------常用的辅助线的方法知识点一：三角形问题添加辅助线方法1）、方法1：三角形中线--------------中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

2）、方法2：含有平分线------------构造全等三角形。

常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

3）、方法3：证明两线段相等，可通过构成全等三角形；利用关于平分线段的一些定理；转化到同一三角形中，证明角相等；4）、方法4：证明一条线段与另一条线段之和等于第三条线段-----------常采用截长法或补短法。

截长法是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

三角形中作辅助线的常用方法举例 一．倍长中线1：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF ＝2AD 。

二、截长补短法作辅助线。

在△ABC 中，ABCD EF25 图证：AB＝AC＋CD。

三、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC练习如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

A BC DE17图O四、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图8-1：AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。

练习题已知： 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ． 求证： EF ∥BC ，EF ＝21（AD ＋BC ）．五、取线段中点构造全等三角形。

例如：如图11-1：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。

A BCD 18 图1234二 由角平分线想到的辅助线 一般方法可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添。

三角形问题常见辅助线添加学生版三角形问题常见辅助线添加方法专题三角形问题常见辅助线添加方法1、等腰三角形利用“三线合一”的性质解题2、倍长中线：使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3、角平分线五种添加辅助线4、垂直平分线连接线段两端5、用截长或补短法：遇到有线段和差问题的6、图形补全法：有一个60°或120°角，把该角添线后构成等边三角形7、角度数为30°、60°的作垂线法，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线8、计算数值法：遇到等腰直角三角形、正方形，计算边长与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二边或二角，从而为证明全等创造边、角条件9、利用翻折，构造全等三角形10、引平行线构造全等三角形11、作连线构造等腰三角形找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC，CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求证：CD=AD+BC。

思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。

求证： CD=AD+BC。

思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。

初中数学各类几何题辅助线添加技巧►三角形中常见辅助线的添加1.与角平分线有关的（1）可向两边作垂线。

（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2.与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3.与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°►四边形中常见辅助线的添加特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。

下面介绍一些辅助线的添加方法。

1.和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形（2）利用两组对边平行构造平行四边形（3）利用对角线互相平分构造平行四边形2.与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.3.和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.（1）作菱形的高（2）连结菱形的对角线4.与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线5.与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形（4）延长两腰构成三角形（5）作两腰的平行线等►圆中常见辅助线的添加1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

初中数学辅助线的添加浅谈李集二中人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

全等三角形的辅助线的常见添法一、前言全等三角形是初中数学中一个重要的概念，其性质和应用十分广泛。

在解决全等三角形相关问题时，辅助线的运用是非常常见的方法之一。

本文将介绍几种常见的全等三角形辅助线添法。

二、中线中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。

在全等三角形的证明中，经常使用到中线。

1. 作平移假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。

可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作平移使得BC重合于EF，即可证明ABC和DEF完全重合。

2. 作垂线假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。

可以在BC上取一点M，在EF上作MN垂直于EF，并延长至交于P，则BP=FP，CP=EP，因此可以通过SAS（边-角-边）准则证明ABC和DEF完全重合。

三、高线高线是从一个顶点向对边所在直线作垂线所得到的线段。

在证明两个直角三角形相似时常用到高线。

1. 作垂心假设有两个直角三角形ABC和DEF，需要证明它们相似。

可以在ABC 中作垂心H，连接AH、BH、CH，并在DEF中作DH垂直于EF，延长至交于K，则AK=DK，因此可以通过AA（角-角）准则证明ABC 和DEF相似。

2. 作中线假设有两个三角形ABC和DEF，其中BC=EF，需要证明它们相似。

可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作垂线PH 垂直于MN且交于O，则PO为MN的中线。

由于BM=FN，BO=EO（因为PH平分MN），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。

四、角平分线角平分线是从一个顶点出发将角分成两个相等的角所得到的线段。

在证明两个三角形相似时常用到角平分线。

1. 作等腰三角形假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC=∠EDF且AC=DF，需要证明它们相似。

可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，并连接AN、BM以及CN与AM的交点为P，则AP=PN（因为AP是∠BAC 的平分线），BP=PM（因为BP是∠ABM的平分线），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。

三角形中作辅助线的常用方法举例常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ，在△AMN 中，AM ＋AN ＞ MD ＋DE ＋NE;（1）在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ； （2）在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ； （3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC（法二：）如图1-2， 延长BD 交 AC 于F ，延长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：AB ＋AF ＞ BD ＋DG ＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）GF ＋FC ＞GE ＋CE （同上） (2)DG ＋GE ＞DE （同上） (3)AB C D E N M 11-图A B C D EF G 21-图由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

全等三角形添加辅助线的方法全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。

在解决几何问题中，我们经常需要证明或利用全等三角形的性质。

为了更方便地使用全等三角形，我们可以使用辅助线来帮助我们找到全等三角形。

接下来，我将详细介绍几种添加辅助线的方法。

1.中点连线法：在一个三角形中，我们可以通过连接两个边的中点来构造一个平行边。

如果两个三角形的对应边都是平行的，并且两个三角形的第三边相等，那么这两个三角形是全等的。

因此，通过画出中点连线，我们可以找到两个全等的三角形。

例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过连接边AB和AC的中点D和E来构造一个平行四边形DCBE。

然后，我们可以继续连接BE和CD，并连接AD和CE，这样就构成了两个全等三角形ADE和CDE。

通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。

2.高度法：对于一个三角形ABC，我们可以通过作其高来构造两个全等的三角形。

三角形ABC的高是指从顶点到对边的垂直线段。

如果两个三角形的高相等，并且它们的底边相等，那么这两个三角形是全等的。

因此，通过作两个三角形的高，我们可以找到两个全等的三角形。

例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过作高AD和高BE来构造两个全等的三角形ABD和ACE。

通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。

3.角平分线法：对于一个三角形ABC，我们可以通过作角平分线来构造两个全等的三角形。

三角形ABC的角平分线是指从角的顶点到对边的线段，将角分为两个相等的角。

如果两个三角形的相应角相等，并且它们的底边相等，那么这两个三角形是全等的。

因此，通过作两个三角形的角平分线，我们可以找到两个全等的三角形。

例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过作角平分线AD和角平分线BE来构造两个全等的三角形ADC和BEC。

通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。

4.相似三角形法：对于两个相似的三角形ABC和DEF，如果它们的对应边比例相等，那么它们是全等的。

三角形全等添加辅助线的5种常用方法三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是咼频出现。

全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目, 不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。

下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。

一、等腰三角形三线合一法当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。

它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。

我们来看一个例题：证明:延长BA, CE交于点Xl、倍长中线法遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。

倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。

如图所示，点D为△ABC边BC的中点•延长AD至点E,使得DE = AD，并连接BE,贝UAADC 也zEDB (SAS)我们来看一个例题:三、遇角平分线作双垂线法在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。

可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。

在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。

看看在具体题目中怎么操作吧!例 3；已知，如SLAC 平分ZBAD, CD=CB, AB>AD, 求证畫ZB+ZADC=18O0・AC证明：作CE丄AB于E,CF丄AD于F. TAC 平分 ZBADr ACE=CF.在 RtACBE 和RtACDF 中,％心RtACBE^RtACDF (HL),二ZB二ZCDF,VZCDF+ZADC=180° , A ZB+ZATC=180°四、作平行线法在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。

例4如ffl, A ABC中,是朋上一点,F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若EB=CF.求证當DE=DF.五、截长补短法题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系例6；如图甲.AD/BC.点E 在线段AB 上.ZADE 二ZCDE, ZDCE=ZECB,求证：CRAMBU证明：在CD 上截取CF-BC.如图乙(T - < Ji在厶 FCE^ABCE 中 - netCE CLAAFCE^ABCE(SAS), .\Z2=Z1- 又VAD/7BC,AZADC+ZBCD^180° , :.ZXE+ZCDE=90<>, /- Z2+Z3=90* , •\ ZUZ4=90° . :. Z3=Z14 LH 3)1加十 z5 = Z4A AFDE^AADli (ASA) , ADF-DAr 又 VCD=DF+CF, <\CD=AD+BC O D D{。

三角形全等添加辅助线的技巧和方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊三角形全等添加辅助线的那些超棒技巧和方法。

比如说，当遇到两个看起来不太好直接证明全等的三角形时，咱就可以巧妙地加条辅助线呀！就好像走在迷宫里突然找到了一条捷径一样。

比如在一个三角形里，有一条边特别长，而另一个三角形里对应的边较短，这时候怎么办呢？咱就在长边上截取一段，让它和短边一样长，这不就多了个等量关系嘛！
还有哦，要是两个三角形有共同的边或者角，那辅助线简直就是开启全等大门的钥匙呀！像有两个三角形，它们有一条公共边，但是其他条件不好用，这时候把公共边延长或者作垂线，哇塞，全等的条件可能一下子就冒出来啦！比如说小明和小红一起做数学题，小明就被一道题难住了，后来小红提醒他加个辅助线，结果一下子就豁然开朗了，这不就像是在黑暗中找到了明灯嘛！
总之呀，三角形全等添加辅助线真的太神奇啦，只要你掌握了这些技巧和方法，那些原本难搞的题目就会变得轻而易举啦！。

三角形中14种辅助线添加方法三角形是几何学中的基本图形之一，是由三条边和三个内角组成的闭合图形。

在解决三角形相关问题时，为了更好地理解和分析三角形的性质，可以通过添加辅助线来辅助我们的思考。

添加辅助线的方法有很多种，下面将介绍三角形中的14种常见的辅助线添加方法。

1.中垂线：通过三角形的三个顶点与对边的中点相连的线段。

中垂线可以相互垂直且交于同一点，称为三角形的垂心。

2.角平分线：从三角形的一个内角的顶点出发，将这个内角平分成两个相等的角的直线。

三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心。

3.高线：从三角形的顶点到对边的垂线，与对边垂足构成的线段。

三角形的三条高线交于一点，称为三角形的垂心。

4.中线：三角形两个顶点的中点连线。

三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心。

5.对角线：连接三角形两个不相邻的顶点的线段。

6.垂直平分线：连接三角形一边的中点与该边上的顶点的直线，且与相对边垂直。

7.旁切线：从三角形的一个顶点开始，与对边相切于三角形外接圆的线段。

8.中辅线：连接三角形两个边的中点的直线。

9.内外角平分线：从三角形顶点开始，将相邻内角或外角平分成两个相等的角的直线。

10.黄金分割线：三角形的一条内角平分线与对边上适当位置的点相连接形成的线段，使得线段的两侧比例相等。

11.斜边中线：从三角形两个锐角的顶点开始，与斜边的中点相连的直线。

12.顶点角平分线：连接三角形一个顶点与另外两个相邻顶点的内角平分线。

13.倍长边线：将三角形中两个边的一部分向外延伸，与第三条边相交的直线。

14.平行线：与三角形的其中一边平行的线段。

以上是三角形中的14种常见的辅助线添加方法，通过添加辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质，解决三角形相关的问题。

在实际运用中，我们可以根据具体情况选择适合的辅助线添加方法，以便更好地解决问题。

相似三角形添加辅助线的方法举例1.垂直角辅助线：当三角形中存在垂直角时，我们可以通过添加一条垂直角辅助线来将问题简化。

例如，在一个直角三角形中，我们可以通过从直角顶点到斜边的任意一点画一条垂直辅助线，这样可以将原问题转化为两个相似的直角三角形的求解。

2.中位线辅助线：在一个任意三角形中，我们可以通过连接每个顶点与对边中点的线段来得到三条中位线。

这些中位线的交点被称为三角形的重心。

通过画三角形重心与其他顶点的连线，可以将原问题转化为多个相似的三角形的求解。

3.等角辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加等角辅助线来帮助我们得到一些相等的角度。

例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一个等角辅助线使得两个直角形成的角相等，那么我们可以推断这两个三角形相似。

4.比例辅助线：当我们需要求解相似三角形的长边与短边的比例时，可以利用比例辅助线。

例如，在两个相似三角形中，我们可以通过添加比例辅助线，将两个相似三角形分割成若干个相似的小三角形，并且利用小三角形的边长比例来求解长边与短边的比例关系。

5.平行辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加平行辅助线来帮助我们得到一些对应边平行的关系。

例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一条边使得它与另一个直角三角形的对边平行，那么我们可以推断这两个三角形相似。

以上是一些常见的相似三角形添加辅助线的方法，它们可以帮助我们更好地理解问题、简化问题以及找到解决问题的方法。

在实际解题过程中，根据问题的不同，我们可以选择适合的辅助线方法来解决问题。