高二数学二面角专项练习题及参考答案

综合法求二面角一、知识梳理：二面角的相关概念1.定义：从一条直线出发的所组成的图形.(立体图形)2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的；(2)两个半平面叫做二面角的.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是(2)二面角的平面角α的取值范围是；平面角是直角的二面角叫做.二、牛刀小试：1.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小__.三、经典例题例1在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V－AB－C的大小.方法总结：定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.方法总结：三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.四、课堂反馈1. 如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且P A＝AC，则二面角P－BC－A的大小为()A.60°B.30°C.45°D.15°2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1－BD－C的大小为________.3.如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC ＝60°，那么这个二面角大小是________.五、课后作业1、如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.2、如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.3、求正四面体（棱长均相等的三棱锥）的侧面与底面所成二面角的大小.综合法求二面角（教师版）一、知识梳理：二面角的相关概念1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二、牛刀小试：1.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案D2.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________.答案60°解析过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.三、经典例题例1在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V－AB－C的大小.解取AB的中点D，连接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD＝3，同理CD⊥AB，CD＝3，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.方法总结：定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.(1)证明∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC，又AB ∩AC ＝A ，AB ，AC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，SA ∩AB ＝A ，SA ，AB ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SAB .(2)解 取SB 的中点D ，连接AD ，则AD ⊥SB ，垂足为点D ，由(1)知平面SBC ⊥平面SAB ，平面SBC ∩平面SAB ＝SB ，AD ⊂平面SAB ， ∴AD ⊥平面SBC .作AE ⊥SC ，垂足为点E ，连接DE ， 则DE ⊥SC ，则∠AED 为二面角A －SC －B 的平面角.设SA ＝AB ＝2，则SB ＝BC ＝22，AD ＝2，AC ＝23，SC ＝4. 由题意得AE ＝3，Rt △ADE 中，sin ∠AED ＝AD AE ＝23＝63，∴二面角A －SC －B 的平面角的正弦值为63.方法总结：三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.四、课堂反馈1. 如图，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A ，B )且P A ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为 ( )A.60°B.30°C.45°D.15° 答案 C解析 由条件得P A ⊥BC ，AC ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角.在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C.2.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1－BD －C 的大小为________.答案 30°解析 如图，取BD 的中点O ，连结OC ，OC 1， ∵AB ＝AD ＝23，∴CO ⊥BD ，CO ＝ 6. ∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B ，∴C 1O ⊥BD . ∴∠C 1OC 为二面角C 1－BD －C 的平面角. tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33.∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1－BD －C 的大小为30°.3.如图所示，将等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是________.答案 90°解析 由题意知，∠B ′DC 即为此二面角的平面角， 设AB ＝AC ＝1，连结CB ′， 则△AB ′C 为等边三角形， ∴B ′C ＝1，又B ′D ＝CD ＝22， ∴在△B ′DC 中，B ′D 2＋CD 2＝B ′C 2， ∴B ′D ⊥CD ，∴∠B ′DC ＝90°， 即此二面角的大小为90°.五、课后作业1、如图，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的大小； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小. 解 (1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵AB ⊥平面BC ′，OC ⊂平面BC ′， ∴OC ⊥AB ，又OC ⊥BO ，AB ∩BO ＝B ，AB ，BO ⊂平面ABO ， ∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角为30°. (2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE .∵平面BC ′⊥平面ABCD ，平面BC ′∩平面ABCD ＝BC ，OE ⊂平面BC ′， ∴OE ⊥平面ABCD ，∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角. 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.即AO 与平面ABCD 所成角的正切值为55. (3)由(1)可知OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成的角为90°.2、如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.答案34解析 如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB ，OC ，则OC ⊥l ，则∠ACO 为二面角α－l －β的平面角，∠ABC 为AB 与l 所成的角.设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ.由图象得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.。

高中二面角经典例题
高中二面角是几何中的一个重要概念，掌握二面角的概念和计算方法对于理解空间几何和解题都具有重要意义。

下面介绍一些经典的高中二面角例题，供大家练习和参考。

1.已知四面体ABCD中，AB=3，AC=4，AD=5，BC=6，CD=8，BD=7，求角ABC和角BAD的二面角。

2.已知直角棱锥ABCDE，以AD为底面对角线，EA为高，
AB=AC=AD=10，BC=BD=CD=5，求角EAB和角EAC的二面角。

3.已知正四面体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，求角A和角A1的二面角。

4.已知正方体ABCDA1B1C1D1E1F1E，F在平面ABC上，以AF为底面对角线，求角FA1B1和角FA1C1的二面角。

5.已知正八面体ABCDEFGH，以AB为底面对角线，求角E和角H 的二面角。

以上这些例题都是比较典型的高中二面角例题，需要运用几何相关知识和计算方法进行解答。

希望同学们能够认真学习和练习，掌握二面角的概念和计算方法，提高几何解题能力。

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1、如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1 =4,点 D 是 AB 的中点C1B1A1CBDA（1）求证：AC BC 1 ；（2）求证：AC 1 //平面 CDB 1 ； （3）求二面角 B-DC-B1 的余弦值．2、如图，在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，AA1=2, AD = 3, E 为 CD 中点，三棱 锥 A1-AB1E 的体积是 6. (1) 设 P 是棱 BB1 的中点，证明：CP//平面 AEB1; (2) 求 AB 的长； (3)求二面角 B—AB1-E 的余弦值.试卷第 1 页，总 3 页3、如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，，，，， 为 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面平面 ；（3）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.4、如图所示，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥平面 ABC，AA1=3． （Ⅰ）求证：A1B∥平面 B1DC； （Ⅱ）求二面角 D﹣B1C﹣C1 的余弦值．试卷第 2 页，总 3 页5 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PA⊥ 底 面 ABCD, 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过 AD 的平面分别交 PB,PC 于 M,N 两点.(1)求证:MN∥BC; (2)若 M,N 分别为 PB,PC 的中点, ①求证:PB⊥DN; ②求二面角 P-DN-A 的余弦值.6、如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 是棱 AB 的中点，BC 1, AA1 3 ．AD CBA1 C1B1（1）求证： BC1 // 平面 A1DC ； （2）求二面角 D A1C A 的平面角的正弦值．试卷第 3 页，总 3 页1、【答案】（1）AC BC 1 ；参考答案（2）AC //平面 CDB ；113 34 （3）二面角 B-DC-B1 的余弦值为 34试题分析：（1）考虑到第三问要求二面角的大小，故需要在空间直角坐标系中用法向量 的方法求解，因此可提前建系，（1）（2）问也可方便证明，因为是直三棱柱可以以 C 为 坐标原点，直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量证明 AC • BC1 0 即可得证；（2）要证明线面平行，必须证明线线平行；（3）分别求出平面 BDC 和平面 DCB1 的法向量，求出法向量的夹角的余弦值即为二面角 B-DC-B1 的余弦 值（注意值的正负判断） 试题解析：因为直三棱柱的底面三边长分别为 3、4、5 所以 AC, BC,CC1 两两垂直，以 C 为坐标原 点，直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（1）因为 AC 3,0,0, BC1 0, 4, 4 ，所以 AC • BC1 0 ，即 AC BC1（2）设CB1C1BE,则E 0, 2,2,故DE 3 2, 0,2 ,AC13, 0,4所以DE1 2AC1,即DE//AC1因为 DE 平面 CDB1 , AC1 平面 CDB1 ,所以 AC 1 //平面 CDB 1（3）可求得平面 CDB1 的一个法向量为 n1 4,3,3 ，取平面 CDB 的一个法向量为n2 0,0,1 ，则 cosn1, n2 3 343 3434 ，由图可知，二面角 B-DC-B1 的余弦值为 34考点：1.直线与平面平行的判定及性质；2.利用空间直角坐标系求二面角的求法；答案第 1 页，总 9 页2、【答案】3、【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3） . 试题分析：本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、 二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，作答案第 2 页，总 9 页出辅助线 MN，N 为 中点，在 中，利用中位线得到，且，结合已知条件，可证出四边形 ABMN 为平行四边形，所以，利用线面平行的判定，得 ∥平面 ；第二问，利用面面垂直的性质，判断 面 ，再利用已知的边长，可证出，则利用线面垂直的判定得 平面 BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面 ；第三问，可以利用传统几何法证明二面角的平面角，也可以利用向量法 建立空间直角坐标系，求出平面 BEC 和平面 ADEF 的法向量，利用夹角公式计算即可.（1）证明：取 中点 ，连结．在△ 中， 分别为 的中点，所以 ∥ ，且．由已知 ∥ ，，所以∥ ，且．所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ．又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ∥平面 ．4 分（2）证明：在正方形 中，．又因为平面平面 ，且平面平面，所以 平面 ．所以．6 分在直角梯形 中，， ，可得．答案第 3 页，总 9 页在△ 中，，所以．7 分所以 平面 ．8 分又因为 平面 ，所以平面平面 ．9 分（3）（方法一）延长 和 交于 ．在平面内过 作于 ,连结 ．由平面∥，，平面平面 = ，得，于是．又， 平面 ，所以，于是 就是平面 与平面 平面角.12 分所成锐二面角的平面 ，由，得.又，于是有.在中，.所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．14 分答案第 4 页，总 9 页（方法二）由（2）知 平面 ，且．以 为原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系．易得.平面 的一个法向量为的一个法向量，因为，所以所以为平面 的一个法向量．１２分设平面 与平面 所成锐二面角为 ．.设为平面，令 ，得．则．所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为． 【考点】中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角. 4、【答案】 证明：（1）连结 BC1，B1C，交于点 O，连结 OD， ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点， ∴OD∥A1B， ∵A1B？平面 B1DC，OD？平面 B1DC， ∴A1B∥平面 B1DC． （2）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥平面 ABC，AA1=3． ∴以 D 为原点，DC1 为 x 轴，DB1 为 y 轴，过 D 作平面 A1B1C1 的垂线为 z 轴，建立空间直 角坐标系， 则 D（0，0，0），B1（0， ，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），答案第 5 页，总 9 页=（﹣1， ，﹣3）， =（﹣1，0，﹣3）， 设平面 B1DC 的法向量 =（x，y，z），=（0，0，﹣3），则，取 z=1，得 =（﹣3，0，1），设平面 B1CC1 的法向量 =（a，b，c），则，取 b=1，得 =（），设二面角 D﹣B1C﹣C1 的平面角为 θ，则 cosθ===．∴二面角 D﹣B1C﹣C1 的余弦值为．5、【答案】（1）见解析；（2）见解析， 试题分析：（1）先证明 BC∥平面 ADNM，再证明 MN∥BC.（2）①先证明 PB⊥平面 ADNM， 再证明 PB⊥DN.②以 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴,建立 空间直角坐标系 A-xyz,利用向量法求二面角 P-DN-A 的余弦值. 【详解】 (1)证明因为底面 ABCD 为直角梯形,所以 BC∥AD.因为 BC 平面ADNM, AD 平面ADNM ,所以 BC∥平面 ADNM. 因为 BC 平面 PBC,平面 PBC∩平面 ADNM=MN,所以 MN∥BC. (2)①证明因为 M,N 分别为 PB,PC 的中点,PA=AB,所以 PB⊥MA. 因为∠BAD=90°,所以 DA⊥AB.答案第 6 页，总 9 页因为 PA⊥底面 ABCD,所以 DA⊥PA. 因为 PA∩AB=A,所以 DA⊥平面 PAB. 所以 PB⊥DA. 因为 AM∩DA=A,所以 PB⊥平面 ADNM. 因为 DN 平面 ADNM,所以 PB⊥DN.②如图,以 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴,建立空间直角 坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由①知,PB⊥平面 ADNM,所以平面 ADNM 的法向量为 =(-2,0,2). 设平面 PDN 的法向量为 n=(x,y,z),因为 =(2,1,-2), =(0,2,-2),所以令 z=2,则 y=2,x=1. 所以 n=(1,2,2),所以 cos<n, >=.所以二面角 P-DN-A 的余弦值为 . 【点睛】 (1)本题主要考查二面角的向量求法，考查空间线面位置关系的证明，意在考查学生对 该知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式（其中 分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“ ” 号）.6、【答案】（1）证明见解析；（2） 2 13 ． 13答案第 7 页，总 9 页试题分析：（1）连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG ，利用四边形11ACC A 是平行四边形，进而证明出DG ∥1BC ，即可利用线面平行的判定定理，证得//1BC 平面DC A 1；（2）分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求解平面1DA C 和平面1A CA 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角1DAC A的平面角的余弦值，进而求解其正弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG ． 在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形，∴1AG GC =． ∵AD DB =，∴DG ∥1BC ．∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC ． （2）过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作OE BC ⊥交11B C 于E ．因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C ．分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为11,3BCAA ，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点．则()0,0,0O ，B 0，0） （Ⅰ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则10,0.n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∵3(,0,CD =，11(A C =-⎪⎩，得平面1A DC 的一个法向量为(3,1,n =-1BC =（10）1BC ·n =0∴∴1BC ∥平面1A DC ．（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为(13,0,n =设二面角1D AC A 的大小为θ，则16,n n <>∵()0,θπ∈，213sin 13DEDFEDF 考点：直线与平面平行的判定与证明；二面角的求解．。

期末复习专项训练（四）—立体几何—二面角大题21．如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是菱形，平面ABCD ⋂平面BEDF BD =． （1）证明：AE BD ⊥；（2）若AB BE =，且平面ABCD ⊥平面BEDF ，求平面ADE 与平面CDF 所成的二面角的正弦值．2．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，2AD AB ==，作BE CD ⊥，E 为垂足，将CBE ∆沿BE 折到PBE ∆位置，如图2所示． （1）证明：平面PBE ⊥平面PDE ；（2）当四棱锥P ABED -体积最大时，平面PBE 与平面PAD 所成角的余弦值为，求此时四棱锥P ABED -的体积．3．图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90D ∠=︒，2AB =，3DC =，AD 2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =2． （Ⅰ）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱1DC 上是否存在点P ，使得二面角1P EB C --的平面角为45︒？若存在，求线段1C P 的长度；若不存在，请说明理由．4．如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且2AD CD ==，4BC =，2PA =．（1）求证：AB PC ⊥；（2）点M 在线段PD 上，二面角M AC D --，求三棱锥M ACB -体积．5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2AD AB =，且PA ⊥平面ABCD ，E 为线段BC 上一点，且平面PDE 将四棱锥P ABCD -分成体积比为3:1的两部分． （1）求证：平面PDE ⊥平面PAE ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PE A --的大小．6．如图，四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，且3B π∠=，现沿着AC 将ABC ∆折到EAC∆的位置，使得平面EAC ⊥平面ACD ，M ，N 是线段EC ，ED 上的两个动点（不含端点），且EM ENEC EDλ==． （1）证明：//MN 平面EAB ；（2）求直线EC 与平面EAD 所成的角的正弦值；（3）设平面AMN 与平面EAD 所成锐二面角为θ，当cos θ=λ的值．期末复习专项训练（四）—立体几何—二面角大题2答案解析1．如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是菱形，平面ABCD ⋂平面BEDF BD =． （1）证明：AE BD ⊥；（2）若AB BE =，且平面ABCD ⊥平面BEDF ，求平面ADE 与平面CDF 所成的二面角的正弦值．（1）证明：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接OE ， 四边形ABCD 为正方形，BD OA ∴⊥，且O 为BD 的中点． 又四边形BEDF 为菱形，BD OE ∴⊥， OAOE O =，OA ，OE ⊂平面OAE ，BD ∴⊥平面OAE ，又AE ⊂平面OAE ，BD AE ∴⊥．（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设2AB =，则BD =，OE ，则(2A ，0，0)，(0D ，0，0)，(0C ，2，0)． 由（1）得OE BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面BEDF ，平面ABCD ⋂平面BEDF BD =，OE ∴⊥平面ABCD ，故E ，同理(1,1,F ，(2DA =，0，0)，(1DE =，1，(0DC =，2，0)，(1DF =，1，，令(0m =1)-，(2,0,1)n =， 因为0m DA ⋅=，0m DE ⋅=， 所以m 为平面DAE 的法向量， 因为0n DC ⋅=，0n DF ⋅=， 所以n 为平面DCF 的法向量，设平面ADE 与平面CDF 所成的二面角为θ，(0,)θπ∈，||11|cos |||||33m n m n θ⋅===⋅⋅，sin θ=．2．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，2AD AB ==，作BE CD ⊥，E 为垂足，将CBE ∆沿BE 折到PBE ∆位置，如图2所示． （1）证明：平面PBE ⊥平面PDE ；此时四棱锥P ABED -的体积．（1）证明：在图中，因为BE CE ⊥，BE DE ⊥， 所以在图2中有，BE PE ⊥，BE DE ⊥， 又因DEPE E =，所以BE ⊥平面PDE ，因BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面PDE ．（2）解：当四棱锥P ABED -体积最大时，平面PBE ⊥平面ABED ，又平面PBE 与平面ABED 的交线为BE ，所以PE BE ⊥，PE DE ⊥，PE BE ⊥，DEBE E =，所以PE ⊥平面ABED ．又BE ED ⊥，以E 为坐标原点，分别以ED ，EB ，EP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，设PE a =，(2D ，0，0)，(0P ，0，)a ，(2A ，2，0)， 则(2PD =，0，)a -，(2PA =，2，)a -． 设平面PAD 的法向量为(n x =，y ，)z ，由00n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x az x y az -=⎧⎨+-=⎩．取2z =，得(n a =，0，2)，取平面PBE 的法向量为(2ED =，0，0)，由面PBE 与平面PAD ，n ED n ED ⋅=⨯，即=4a =，此时P ABED -的体积为11622433⨯⨯⨯=．，2CE ED =，（Ⅰ）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱1DC 上是否存在点P ，使得二面角1P EB C --的平面角为45︒？若存在，求线段1C P 的长度；若不存在，请说明理由．（Ⅰ）证明：连接AE ， 由题意可得，2AE =，因为//CE BA ，CE BA AE ==， 则四边形ABCE 为菱形， 连接AC 交BE 于点F ， 则CF BE ⊥，在Rt ACD ∆中，AC =所以AF CF ==因为1AC =，则22211AF C F AC +=， 所以1C F AF ⊥， 又1C F BE ⊥，且BEAF F =，故1C F ⊥平面ABED ， 又1C F ⊂平面1BC E ， 故平面1BC E ⊥平面ABED ；（Ⅱ）解：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0),(0,1,0)D A B E，133,0),22F C ， 所以131(,,3),(3,0,0)22BC DA =--=，133(22DC =， 设平面1AC D 的法向量为(,,)n x y z =， 则100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0302x y=++=， 令z=0x =，2y =-， 故(0,2,n =-， 所以111||4|cos ,|||||43BCn BC n BC n ⋅<>===+ 故直线1BC 与平面1AC D； （Ⅲ）解：假设在棱1DC 上存在点P ，使得二面角1P EB C --的平面角为45︒，133(,),(0,1)22DP kDC k k ==∈，则3,)2P k ， 所以(1,0)BE =--，3(,1,)22PE k =--， 因为AE ⊥平面1C BE ，所以平面1C BE 的一个法向量为(1,3,0)t =-， 设平面PBE 的法向量为(,,)m a b c =，则00m BE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3(1)02b k b +=⎨+--=⎪⎩， 可取(3,3m k k =--，所以|||cos ,|||||13t m t m t m ⋅<>===+，解得13k =，此时11226||||33C P DC ==4．如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且2AD CD ==，4BC =，2PA =．（1）求证：AB PC ⊥；（1）证明：因为四边形ABCD 是直角梯形，2AD CD ==，4BC =，所以AC =AB == 所以ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥， 又PAAC A =，PA ，AC ⊂平面PAC ，故AB ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ， 则AB PC ⊥；（2）解：过点A 作AE BC ⊥于点E ，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设(0M ，a ，2)(02)a a -<， 所以(0,,2),(2,2,0)AM a a AC =-=， 设平面CAM 的法向量为(,,)n x y z =， 则00AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220(2)0x y ay a z +=⎧⎨+-=⎩，令z a =-，则2x a =-，2y a =-， 故(2,2,)n a a a =---，又平面DAC 的法向量为(0,0,2)AP =， 所以|||cos ,|||||2(AP n AP n AP n ⋅<>==⨯，又二面角M AC D --，= 解得1a =，故11144213323M ABC ABC V S a -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=．5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2AD AB =，且PA ⊥平面ABCD ，E 为线段BC 上一点，且平面PDE 将四棱锥P ABCD -分成体积比为3:1的两部分． （1）求证：平面PDE ⊥平面PAE ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PE A --的大小．（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以:3:1P ABDE P CDE V V --=，即:3:1CDE ABDE S S ∆=梯形， 所以E 为BC 的中点， 由2AD AB =，得AB BE =， 又底面ABCD 是矩形， 所以45AEB ∠=︒， 同理45DEC ∠=︒，所以90DEA ∠=︒，所以DE AE ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ， 所以PA DE ⊥，且AE PA A =，所以DE ⊥平面PAE ， 由于DE ⊂平面PDE ， 所以平面PDE ⊥平面PAE ；（2）依题意，建立空间直角坐标系如图所示， 不妨设1AB =，因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PBA ∠即为PB 与平面ABCD 所成的角， 故45PBA ∠=︒， 所以1PA AB ==，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(1E ，1，0)，(0P ，0，1)， 由（1）可知，平面PAE 的一个法向量(1,1,0)DE =-， 设(,,)m x y z =是平面PBE 的一个法向量， 则因为(1,1,1)PE =-，(0,1,0)BE =， 所以00x y z y +-=⎧⎨=⎩，令1101x x y z =⎧⎪=⇒=⎨⎪=⎩，所以(1,0,1)m =，故||1|cos ,|2||||1m DE m DE m DE ⋅<>===， 所以二面角B PE A --的大小为60︒．π的位置，使得平面EAC ⊥平面ACD ，M ，N 是线段EC ，ED 上的两个动点（不含端点），（1）证明：//MN 平面EAB ；（2）求直线EC 与平面EAD 所成的角的正弦值；（1）证明：四边形ABCD 是菱形，所以//AB CD ，因为EM EN EC EDλ==，所以//MN CD ， 所以//MN AB ，因为NM ⊂/平面EAB ，AB ⊂平面EAB ，所以//MN 平面EAB ；（2）解：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，因为四边形ABCD 是菱形，3B π∠=，所以AC BD ⊥，平面EAC ⊥平面ACD ，EO AC ⊥，所以OE ⊥平面ACD ，所以OE OC ⊥， 所以OC 、OD 、OE 两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0A ，1-，0)，(D 0，0)，(0E ，0，(0C ，1，0)，(3AD =-1，0，0)，(0AE =，1，设平面EAD 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则00n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则y =，1z =-，所以平面EAD 的一个法向量为(1n =1)-， 又(0EC =，1，， 设直线EC 与平面EAD 所成的角为θ，所以2sin cos ,n EC θ=<>== （3）解：由（2）知(0M ，λ)，(N ，0)， 所以(0AM =，1λ+)，(3AN =-，1)-， 设平面AMN 的一个法向量为(m a =，b ，)c ， 则00m AM m AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(1))0)0b c a b c λ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，令b =1a =-，11c λλ+=-， 所以平面AMN 的一个法向量为(1m =-1)1λλ+-， 所以cos m <，2n>=平面AMN 与平面EAD 所成锐二面角为θ，cos θ==， 整理得29610λλ-+=，解得13λ=．。

3.2.4二面角及其度量一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定[答案] C[解析] 二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D 、E 分别是点A 在PC 、PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A —PC —B 的平面角B ．∠AED 是二面角A —PB —C 的平面角C ．∠DAE 是二面角B —P A —C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A —PC —B 的平面角[答案] B[解析] 由二面角定义及三垂线定理知选B.3．如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180°[答案] B[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →，从而MN 与AE 所成的角为90°.4．如图所示，在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12a ，则二面角B －AD －C 的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C5．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A —BC —D 的平面角的余弦值是( )A.12B.22C.33D.55 [答案] C6．正四棱锥P —ABCD 的两相对侧面P AB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为( ) A.π4B.π3C.π2D.2π3[答案] D7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A —BD —P 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°[答案] A8．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33 D.233 [答案] D[解析] 如右图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O —xyz ，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 9．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12， ∴二面角P —CD —E 为30°.10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12即〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题11．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a 2，则二面角B —AD —C 的大小为________．[答案] 60°12．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P —BC —A 的大小为________．[答案] 90°13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 和截面C 1BD 所成的二面角大小的余弦值为________．[答案] 1314．在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB 与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.[答案] 23三、解答题15．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)，因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0. 所以⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－12.于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)， 所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos66. 16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是棱CC 1上的一点，CP＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为33819.[解析] 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)．∴AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)，又AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0， ∴AC →是平面BDD 1B 1的一个法向量．设AP 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22×2＋m 2＝33819，∴m ＝13. 17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C －C 1的大小．[解析] 如图，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)，设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→＝(－2,0,0)，∴n ·A 1B 1→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)，设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n |·|BM →|＝12，解得θ＝π3， ∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3. 18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角A —PC —D 的大小．[解析] (1)如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,4)，∴AP →＝(0,0,4)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)，∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，又CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，∴⎩⎨⎧ －23x －4y ＝0，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433，y ＝2，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－433，2，1 平面PAC 的法向量取为m ＝BD →＝(－23，2,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝39331. ∴二面角A —PC —D 的大小为arccos 39331.。

03《空间角——二面角》课后练习一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12B.23C.33D.222．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为( ) A.55B.33 C.255D.63二、填空题 3． 若已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________． 4． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为__________．三、解答题5．如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B －AD －E 的大小．6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点． (1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．03《空间角——二面角》课后练习答案一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12B.23C.33D.22解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)， E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0，1，0)， ∴A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1，2，2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， ∴ cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.答案 B2．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为( ) A.55B.33C.255D.63解析 取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D ⎝⎛⎭⎫32，0，0.∴OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴ cos 〈n ，OA →〉＝55，∴ sin 〈n ，OA →〉＝255. 答案 C二、填空题3． 若已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________．解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝22，∴〈m ，n 〉＝π4.∴两平面所成二面角的大小为π4或3π4.答案π4或3π44． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为__________．解析 不妨设PM ＝ a ，PN ＝b ，如图，作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ， ∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°， ∴PE ＝22a ，PF ＝22b ， ∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22a ×b cos 45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0. ∴EM →⊥FN →，∴二面角α－AB －β的大小为90°. 答案 90° 三、解答题5． 如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2. (1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B －AD －E 的大小．解析 (1)证明 在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC ， 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，DC ∩AC ＝C ，从而DE ⊥平面ACD .(2)解 以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x 轴，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0，0，0)，E (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，2，2)，B (1，1，0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，可算得AD →＝(0，－2，－2)，AE →＝(1，－2，－2)，DB →＝(1，1，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0，可取m ＝(0，1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33·2＝32，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B －AD －E 的大小是π6.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点． (1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．解析 (1)证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)， 可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)． 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以BE ⊥DC .(2)解 向量BD →＝(－1，2，0)，PB →＝(1，0，－2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量，于是有 cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)解 向量BC →＝(1，2，0)，CP →＝(－2，－2，2)，AC →＝(2，2，0)，AB →＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF → ＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λ CP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由 BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝（23,21,21-）.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则： cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角， 所以其余弦值为31010.。

高二数学二面角专项练习题及参考答案班级_____________姓名_____________一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。

三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，求B-PC-D 的大小。

四、投影面积法:一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/SS .例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下： [基础练习]1． 二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )A 5B 20C 210 D225 4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26， 则弧度数为3的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ，则有（ ） A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθC S △ABC =S △A1B1C1·sinθD S △ABC =S △A1B1C1·cosθ7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足，A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M 所成角为β，二面角M-l-N 的 大小为γ，则有 （ ）A.sinα=sinβsinγB.sinβ=sinαsinγC.sinγ=sinαsinβ D 以上都不对AB C DAB M NP l C1A1B1D8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。

高二数学二面角练习题一、选择题1. 已知线段a与线段b相交，如图所示，则∠AOB为（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角2. 已知线段a与线段b垂直，如图所示，则∠AOB为（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角3. 已知直线l与平面P相交，且∠AOC=90°，如图所示，则∠BOC 为（）A. 钝角B. 直角C. 锐角D. 平角4. 已知∠AOC=63°，∠BOD=127°，则∠BOC为（）A. 54°B. 63°C. 90°D. 117°二、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A(-2, 3)与点B(4, -1)确定的直线l的斜率为______。

2. 已知点A(3, 5)，则点A关于x轴的对称点为（）。

3. 已知线段AB的长度为8，线段CD的长度为4，且AB与CD相交于点O，若∠AOC=70°，则∠DOB为______。

三、解答题1. 如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知∠AOB=115°，求∠COD的度数。

2. 已知A、B、C三个点在平面直角坐标系中的坐标分别为A(2, 4)，B(-1, 1)，C(-3, -2)，求∠ABC的度数。

3. 在平面直角坐标系中，点A(5, 3)与点B(-3, 7)确定的直线l与x轴交于点P，求∠APB的度数。

四、综合题如图所示，点O为正方形ABCD中心，点M为边AD上的动点，且∠MOD=60°，连接OM并延长交BC于点N。

1. 证明：三角形OND是等边三角形。

2. 若边AD的长度为2，求三角形MNO的周长。

示意图：```B ________ C| || O || |A ________ D```答案：一、选择题1. C. 钝角2. B. 直角3. B. 直角4. D. 平角二、填空题1. 斜率为-2/3。

2. （3, -5）。

3. 40°。

面面垂直与二面角一．选择题（共12小题）1．如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（）A．1B．2C．3D．42．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是（）A．平面BCE⊥平面ABNB．MC⊥ANC．平面CMN⊥平面AMND．平面BDE∥平面AMN3．下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ4．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论中正确的个数为（）①DC1⊥D1P ②平面D1A1P⊥平面A1AP③∠APD1的最大值为90°④AP+PD1的最小值为⑤C1P与平面A1B1B所成角正弦值的取值范围是[，]A．1B．2C．3D．45．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面ABC1D1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=2，AC=3，BD=4，CD=，则该二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1，则二面角C﹣B1D﹣C1的大小的余弦值为（）A．B．C．D．10．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．7C．2D．911．如图，M，N是圆锥底面圆O上不同两点，且M，N，O不共线，设AN与底面所成角为α，二面角A﹣MN﹣O的平面角为β，ON与平面AMN所成角为γ，则（）A．β＞α＞γB．β＞γ＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β12．如图，P是△ABC边AB上一点，将△ACP沿CP折成直二面角A'﹣CP﹣B，要使|A'B|最短，则CP是（）A．△ABC中AB边上的中线B．△ABC中AB边上的高线C．△ABC中∠ACB的平分线D．要视△ABC的具体情况而定二．解答题（共18小题）13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，E，M分别是AD，PD的中点，PB=2．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点P到平面ACM的距离．14．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB=BC，D为线段AC的中点，E为线段PC 上一点．〔Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．15．如图，BD是圆O的直径，C是圆周上不同于B，D的任意一点，AB⊥平面BCD，E为AB 的中点．（1）求证：OE∥平面ACD；（2）求证：平面ACD⊥平面ABC．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为CC1的中点．（1）求证：平面AA1CC1⊥平面BDB1D1；（2）求直线BE与平面ACC1A1所成角的余弦值．17．如图1，梯形ABCD满足：AB∥CD，AD⊥AB，AD=DC=2AB=2，E是BA延长线上一点，AE=2．现将△EDA沿直线DA翻折，记翻折后的点E为点P．若PC=2，M为PC的中点，如图2．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PBD；（Ⅱ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．18．已知三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等腰直角三角形，且BC⊥CD，BC=4，AD⊥平面BCD，AD=2．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC（Ⅱ）若E为AB的中点，求点A到平面CDE的距离．19．如图（1）在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB∥CD，CD=2AB=2AD=4，E为CD中点，现将△CEB沿BE折起，使得AC=4，得到如图（2）几何体，记线段CB的中点为F．（1）求证：平面CED⊥平面ABED（2）求点F到平面ACD的距离．20．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面ACF．21．如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=2，点Q为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面AQC1⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求点B到平面AQC1的距离．22．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是4，D是CC1的中点，求：（1）三棱锥D﹣ABC的体积；（2）二面角D﹣AB﹣C的大小．23．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．24．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC，AA1与底面ABC所成的角为，点D在棱AA1上，且AD=，AB=2．（1）求证：OD⊥平面BB1C1C；（2）求二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦值．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥CD；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值．26．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC=2AB，∠ABC=60°，PA=PB，点M为AB 的中点．（Ⅰ）在棱PD上作点N，使得AN∥平面PMC（Ⅱ）若PB⊥AC，且直线PC与平面PAB所成的角是45°，求二面角M﹣PC﹣A的余弦值27．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分别为A1C1、BC的中点AB=BC=2，C1F⊥AB．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）若直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，求二面角A﹣BE﹣C的平面角的正弦值．28．已知PA⊥菱形ABCD所在平面，PA=，G为线段PC的中点，E为线段PD上一点，且=2．（1）求证：BG∥平面AEC；（2）若AB=2，∠ADC=60°，求二面角G﹣AE﹣C的余弦值．29．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=．（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，3=，求二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值．30．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是边长为的正方形，，PC=4，点E为PA中点，AC与BD交于点O．（Ⅰ）求证：OE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的余弦值．参考答案一．选择题（共12小题）1．解：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB=2：3：4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故选：B．2．解：分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．∵BC⊥平面ABN，BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；连接PB，则PB∥MC，显然PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC．∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC为二面角A﹣MN﹣C的平面角，∵AF=CF=，AC=，∴AF2+CF2≠AC2，即∠AFC≠，∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；∵DE∥AN，MN∥BD，∴平面BDE∥平面AMN，故D正确．故选：C．3．解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选：B．4．解：对于①，∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，①正确对于②，∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴②正确；对于③，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴③错；对于④，将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴④不正确．对于⑤，C1P与平面A1B1B所成角正弦值为，∵，∴C1P与平面A1B1B所成角正弦值的取值范围是[，]，故⑤正确．故选：C．5．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，D（0，0，0），E（1，2，1），A（2，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（1，2，1），=（0，2，0），=（﹣2，2，2），设平面ABC1D1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设DE与平面ABC1D1所成角为θ，则sinθ===，∴DE与平面ABC1D1所成角的正弦值为．故选：D．6．解：由已知可得：，，，∴=+2=32+22+42+2×3×4cos＜，＞=，∴cos＜＞=﹣，即＜＞=120°，∴二面角的大小为60°，故选：C．7．解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα==，则二面角等于60°，故选：C．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：以A为坐标原点，、的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．设底面边长为2a，侧棱长为2b，则A（0，0，0），C（0，2a，0），D（0，a，0），B（a，a，0），C1（0，2a，2b），B1（a，a，2b）．=（），=（﹣，a，2b），=（，0，0），=（0，a，2b），由AB1⊥BC1，得•=2a2﹣4b2=0，即2b2=a2．设=（x，y，z）为平面DBC1的一个法向量，则•=0，•=0．即，又2b2=a2，令z=1，解得=（0，﹣，1）．同理可求得平面CBC1的一个法向量为=（1，，0）．设平面DBC1与平面CBC1所成的角为θ，则cos θ==，解得θ=45°．∴平面DBC1与平面CBC1所成的角为45°．故选：B．9．解：建立空间直角坐标系，如图所示；长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1，∴A（0，0，0），C（2，，0），D（0，，0），B1（2，0，1），C1（2，，1）；∴=（﹣2，，﹣1），=（﹣2，0，0），=（0，，0）；设平面CB1D的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1得=（0，1，）；同理，设平面C1B1D的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1，则=（1，0，﹣2）；∴cos＜，＞===﹣，∴二面角C﹣B1D﹣C1的余弦值为﹣cos＜，＞=．故选：A．10．解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴，．∵，∴=+++2+2+2═62+42+82+2×6×8cos120°=68，∴CD=2故选：C．11．解：连接OA，OM，取MN的中点H，连接OH，AH，过O作OD⊥AH，垂足为D，连接ND，由AO⊥底面，可得∠ANO=α，由OH⊥MN，AO⊥底面，由三垂线定理可得MN⊥AH，可得∠AHO=β，由OD⊥AH，MN⊥平面AHO，可得OD⊥MN，OD⊥平面AMN，可得∠OND=γ，且α，β，γ均为锐角，则sinα=，sinβ=＞=sinα，即β＞α；=•=＞1，即有β＞γ，tanα=，tanγ=，设AO=h，ON=r，OH=d，可得OD=，DN=，则tanα=，tanγ=，tan2α﹣tan2γ=＞0，可得tanα＞tanγ，即有α＞γ，即为β＞α＞γ．故选：A．12．解：如图所示，作A′E⊥CP，垂足为E．∵直二面角A'﹣CP﹣B，∴A′E⊥平面BCP．时AC=b，BC=a，∠ACB=α．设∠ACP=θ．则A′E=bsinθ，CE=bcosθ．BE2=b2cos2θ+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ），∴A′B2=（A′E）2+BE2=b2sin2θ+b2cos2θ+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ）=b2+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ），∵cosθcos（α﹣θ）=cosθ（cosαcosθ+sinαsinθ）=cosαcos2θ+sinαsin2θ=c osα+sinαsin2θ=+cos（α﹣2θ）．∴A′B2=b2+a2﹣abcosα﹣abcos（α﹣2θ），当且仅当cos（α﹣2θ）=1时，即α=2θ时，即CP为∠ACB的平分线时，|A'B|最短．故选：C．二．解答题（共18小题）13．（Ⅰ）证明：由题意知，正△PAD边长为2，∵E为AD的中点，∴PE⊥AD，PE=，在正方形ABCD中，E为AD的中点，边长为2，则BE=，在△PBE中，BE2+PE2=8=PB2，∴PE⊥BE，又BE∩AD=E，∴PE⊥平面ABCD，∵PE⊂P平面ABCDM，∴平面PBE⊥平面ABCD；（Ⅱ）由题意知V P﹣ACM=V C﹣APM，△PAD为等边三角形，则AM=，∴S△APM=，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥AD．∴CD⊥平面PAD，故CD为三棱锥C﹣PAB的高，∴CD⊥PD，在正方形ABCD中，AC=2，则在△ACM中，满足8=AC2=AM2+CM2，∴△ACM为直角三角形，∴AM⊥MC，∴S△ACM=|AM|•|CM|=，设点P到平面ACM的距离为d，由V P﹣ACM=V C﹣APM，得×d×S△ACM=×CD×S△APM，解得d=14．证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC=B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB=BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．15．．证明：（1）∵BD是圆O的直径，E为AB的中点，∴OE∥AD，∵OE⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OE∥平面ACD．（2）∵BD是圆O的直径，∴BC⊥DC，∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵AB∩BC=B，∴平面ACD⊥平面ABC．16．证明：（1）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AA1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，又由正方形ABCD，可知AC⊥BD，AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，又BD⊂平面BDD1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BDD1B1．（6分）解：（2）记AC与BD交点为O，连接OE，∵BD⊥平面ACC1A1，∴∠OEB即为直线BE与平面ACC1A1所成角，设正方体棱长AB=2，则OB=，BE=，OE=，则有cos=，直线BE与平面ACC1A1所成角的余弦值为．（12分）17．（Ⅰ）证明：在△ADE中，AD=AE=2，得DE=2，即PD=．在△PDC中，DC=2，PC=2，可得PC2=PD2+DC2，∴∠CDP=90°，即CD⊥PD．又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD．取PD中点N，则MN是△PCD的中位线，∴MN∥CD，MN=．又AB∥CD，AB=，∴AB∥MN，AB=MN，即四边形ABMN为平行四边形．又AN是等腰直角三角形PAD斜边PD的中线，∴PD⊥AN，又CD⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，AB⊥PD．∴PD⊥平面ABM，又PD⊂平面PBD，∴平面ABM⊥平面PBD；（Ⅱ）解：在△MNB中，作MH⊥NB于H，则MH⊥平面PBD，由已知可得MN=1，MB=，又NB=，∴，即点M到平面PDB的距离为．又由于M是PC的中点，∴点C到平面PBD的距离h=．求得BC=，设直线BC与平面PBD所成的角为θ，则s inθ=．18．（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC，又∵BC⊥CD，CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．…（5分）（Ⅱ）解：由已知可得，取CD中点为F，连结EF，∵，∴△ECD为等腰三角形，∴，，…（8分）由（Ⅰ）知BC⊥平面ACD，∴E到平面ACD的距离为：，∴S△ACD=4，…（10分）设A到平面CED的距离为d，有，解得，∴A到平面CDE的距离是．…（12分）19．（1）证明：由条件可知BA=DE，BA∥DE，∠BAD=90°，∴四边形ABED为正方形，∴BE⊥EC，BE⊥ED，EC⊥ED=E，⇒BE⊥平面DEC．又BE⊂平面ABCD，所以平面CED⊥平面ABCD．（2）AD∥BE，∴AD⊥平面DEC，∴∠ADC=90°，∴∠CED=120°，△CED为等腰三角形．过点E作EM⊥CD，∴M为CD中点⇒ME=1 ∴ME⊥CD，ME⊥AD⇒ME⊥平ACD．又F为BC的中点，∴．20．证明：（1）设BD与AC交于点O，连接OE、OH．∵O、H分别为AC，BC中点，∴OH∥AB，OH=AB，∴EF∥AB，EF=AB，∴OH=EF，OH∥EF，∴四边形OEFH为平行四边形，∴FH∥OE，又∴FH⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴FH∥平面BDE．（2）∵EF∥AB，EF⊥FB，AB∩FB=B，∴EF⊥平面ABF，∵FB⊂平面ABF，∴AB⊥FB，∵AB⊥BC，BC∩FB=B，∴AB⊥平面BCF，∵FH⊂BCF，∴AB⊥FH，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，∴FH⊥平面ABCD，又FH∥OE，∴OE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴OE⊥AC，∵AC⊥BD，AC∩BD=O，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACF，∴平面BDE⊥平面ACF．21．解：（I）证明：由题意知，AB=AC，Q为BC的中点，∴AQ⊥BC；由B1B⊥平面ABC，得B1B⊥AQ；∵BC，B1B⊂平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，∴AQ⊥平面B1BCC1，又∵AQ⊂平面AC1Q，∴平面AC1Q⊥平面B1BCC1；……（6分）（II）设点B到平面AQC1的距离为d，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABQ，∴CC1为三棱锥C1﹣ABQ的高；由（I）知，AQ⊥平面B1BCC1，则AQ⊥QC1，∴；∴，；又，∴，即，解得．……（12分）22．解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，且底面边长和侧棱长都是4，D是CC1的中点，∴，三棱锥D﹣ABC的高为DC=2．∴三棱锥D﹣ABC的体积V=；（2）取AB中点G，连接DG，CG，则AB⊥平面DGC，∴∠DGC为二面角D﹣AB﹣C的平面角，在Rt△DCG中，DC=2，CG=，∴tan∠DGC=，则．即二面角D﹣AB﹣C的大小为．23．证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．∴AB⊥AD，AB⊥PD，又AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=DP=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），=（﹣2，0，2），=（0，2，0），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣AB﹣D的大小为θ，则cosθ===，θ=45°，∴二面角P﹣AB﹣D的大小为45°．24．（1）证明：连接AO，∵A1O⊥底面ABC，AO，BC⊂底面ABC，∴BC⊥A1O，A1O⊥AO，且AA1与底面ABC 所成的角为∠A1AO，即．在等边三角形ABC中，易求得AO=．在△AOD中，由余弦定理，得，∴OD2+AD2=3=OA2，即OD⊥AA1．又∵AA1∥BB1，∴OD⊥BB1．∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，又∵BC⊥A1O，AO∩A1O=O，∴BC⊥平面AA1O，又∵OD⊂平面AA1O，∴OD⊥BC，又BC∩BB1=B，∴OD⊥平面BB1C1C．（2）如下图所示，以O为原点，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则故由（1）可知，∴可得点D的坐标为，∴平面BB1C1C的一个法向量是．设平面A1B1C的法向量=（x，y，z），由得，令，则y=3，z=﹣1，则，∴，易知所求的二面角为钝二面角，∴二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦角值是．25．解：（1）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF，即可得EF∥CD…（5分）（2）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，E（﹣1，，），F（﹣，0，），，，设平面AFE的法向量为=（x，y，z），则有⇒，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为．∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，cos==∴锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值为．．…（12分）26．解：（Ⅰ）：点N为PD中点．下证：取PD中点N，PC中点Q，连结AN，QN，MQ，在△PCD中，N，Q分别是所在边PD，PC的中点，则NQ∥CD且．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为点M为AB中点，AB=CD，所以NQ∥AM且NQ=AM．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以四边形AMQN是平行四边形，所以AN∥MQ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又因为AN⊄平面PMC，MQ⊂平面PMC，所以AN∥平面PMC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）在△ABC中，BC=2AB，∠ABC=60°，设AB=a，则BC=2a，由余弦定理有：，则BC2=AB2+AC2，由勾股定理的逆定理可得：AC⊥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）又因为PB⊥AC，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB．因为PM⊂平面PAB，所以AC⊥PM．因为PA=PB，点M为线段AB的中点，所以PM⊥AB，因此PM，AB，AC两两垂直．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）以A为原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系．因为直线PC与平面PAB的所成角是45°，所以∠CPA=45°，所以Rt△CAP是等腰直角三角形，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）则A（0，0，0），，，，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设平面PMC的一个法向量为=（x，y，z），则即得，同理可得，平面PAC的一个法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由图可得所求二面角的平面角为锐角，所以二面角M﹣PC﹣A的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）27．（1）证明：在直三棱柱中，CC1⊥AB，又C1F⊥AB，且CC1∩C1F=C1，∴AB⊥平面B1BCC1，又∵AB⊂平面EBA，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）解：由（1）可知，AB⊥BC，以B点为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立坐标系．设AA1=a，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），B1（0，0，a），C1（2，0，a），A1（0，2，a），E （1，1，a），F（1，0，0）．直线FC1的方向向量，平面ACC1A1的法向量．可知||=，∴a=2．，，，设平面ABE的法向量，由，取z=﹣1，可得．设平面CBE的法向量，由，取z=﹣1，可得．记二面角A﹣BE﹣C的平面角为θ，∴|cosθ|=||=，则sin．故二面角A﹣BE﹣C的平面角的正弦值为．28．（1）证明：取PE的中点F，连接GF，BF，∵G为PC的中点，∴GF∥CE，∴GF∥平面AEC．连接BD交AC与点O，连接OE．∵E为DF的中点，∴BF∥OE，∴BF∥平面AEC．∵BF∩GF=F，∴平面BGF∥平面AEC．又BG⊄平面BGF，∴BG∥平面AEC；（2）解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，0，0），P（﹣1，0，），D（0，，0），E（，，），G（0，0，2），∴=（，，），=（2，0，0），=（1，0，），设平面AEC的法向量为，则，∴，即，不妨设得=（0，，），设平面AEG的法向量为，则，∴，即，不妨设z2=1得=（，0，1），∴=．由图可知，二面角G﹣AE﹣C为锐角，则二面角G﹣AE﹣C的余弦值为．29．证明：（1）∵AD=1，CD=2，AC=，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且AD⊥DC，同理∵ED=1，CD=2，EC=，∴ED2+CD2=EC2，∴△EDC为直角三角形，且ED⊥DC，又四边形ADEF是正方形，∴AD⊥DE，又∵AB∥DC，∴DA⊥AB．在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，∴四边形ABHD是正方形，∴∠ADB=45°．在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．BC=，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD．∴BD⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC，因为BD∩ED=D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD．∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD．解：（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，D（0，0，0），E（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0）．令M（0，y0，z0），则=（0，y0，z0﹣1），=（0，2，﹣1），∵3=，∴（0，3y0，3z0﹣3a）=（0，2，﹣1），∴M（0，，）．=（1，1，0），=（0，），∵BC⊥平面EBD，∴=（﹣1，1，0）是平面EBD的一个法向量．设平面MBD的法向量为=（x，y，z）．则．令y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos＜＞===，∴二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值为．30．证明：（I）底面四边形ABCD是边长为的正方形，，PC=4，在△PBC中，∵PB2=PC2+BC2，∴PC⊥BC，同理可得BC⊥CD，而BC∩CD=C，BC、CD⊂平面ABCD，∴PC⊥平面ABCD，在△PAC中，由题意知O、E分别为AC、PA中点，则OE∥PC，而PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．解：（II）由（I）知：OE⊥平面ABCD，故可建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（﹣1，0，4），∴=（﹣2，0，4），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，0），设、=（a，b，c）分别为平面PAB和平面PAD的一个法向量，则，，∴，，不妨设z=c=1，则=（2，2，1），=（2，﹣2，1），∴cos＜＞===，由图知二面角B﹣PA﹣D为钝二面角，∴二面角的B﹣PA﹣D的余弦值为﹣．。

二面角练习题二面角是几何学中一个重要的概念，它与我们日常生活息息相关。

在几何学中，二面角是指两个平面的交线所形成的角度。

它不仅仅是一个数学概念，更是我们在空间中观察和测量角度的基本工具。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用二面角的概念。

练习题一：已知一平面上有一条直线AB，另一平面上有一条直线CD，两平面相交于O点，求∠AOC和∠BOD的关系。

解析：根据二面角的定义，我们可以知道∠AOC和∠BOD的和为180度。

这是因为当两个平面相交时，它们所形成的二面角的度数之和为180度。

所以，∠AOC和∠BOD是互补角。

练习题二：在空间直角坐标系中，已知直线l1的方程为x+y+z=1，直线l2的方程为x-y+z=3，求直线l1和直线l2的二面角。

解析：为了求解这个问题，我们需要先找到直线l1和直线l2的方向向量。

直线l1的方向向量可以通过求解方程组x+y+z=1得到，即(1,1,1)。

同样地，直线l2的方向向量可以通过求解方程组x-y+z=3得到，即(1,-1,1)。

然后，我们可以通过计算这两个向量的夹角来求解二面角。

使用向量的点积公式可以得到cosθ = (1,1,1)·(1,-1,1) / |(1,1,1)||(1,-1,1)| = 1/√3。

因此，θ = arccos(1/√3)。

这就是直线l1和直线l2的二面角。

练习题三：在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为2x+y+z=4，平面P的方程为x-2y+3z=6，求直线l和平面P的二面角。

解析：为了求解这个问题，我们首先需要找到直线l的方向向量。

由于直线l的方程为2x+y+z=4，我们可以得到方向向量为(2,1,1)。

然后，我们可以通过计算这个方向向量与平面P的法向量的夹角来求解二面角。

平面P的法向量可以通过平面的方程x-2y+3z=6得到，即(1,-2,3)。

使用向量的点积公式可以得到cosθ = (2,1,1)·(1,-2,3) / |(2,1,1)||(1,-2,3)| = 9/√30。