下载文档原格式
初三高难度数学题
以下是一些初三数学难题，供您参考：
1. 设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE。
已知△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5。
求
∠APB的度数。
2. 设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA。
求证：∠PAB ＝∠PCB。
3. 设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD。
4. 平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且∠EAP＝∠FCP。
求证：△AEF是等腰三角形。
5. △ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，
∠DCA＝30度，∠EBA＝20度。
求∠BED的度数。
6. 已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4√3。
将线段AB绕点A旋转至AP处，若AP∥BC，求∠ABP的度数。
7. M为边BC下方一点，E为线段BM的中点，Q为线段CM重直平分线上一点，若∠AEQ＝90°，求∠CQM的度数。
8. 取BF的中点M，连接MN，根据三角形中位线定理得到点N在以M为圆心、半径是2的圆上，从而确定过圆心M的AN最大。
9. 若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为多少。
以上题目难度较大，需要学生具备扎实的数学基础和较高的思维能力才能解决。
建议学生从基础知识点入手，逐步提高难度和综合运用能力。
压轴题 经典难题（1）1、已知：如图，P 是正方形ABCD 点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）2、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）D 2 C 2B 2 A 2 D 1C 1 B 1 C B DA A 1A FG CE B O D A P C D BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC 求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难1、已知：△ABC 是正三角形，P求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二） 经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．FP DE CBAA PC BAC BPDEDA ACBPD经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初三数学超难试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴？A. x=-b/2aB. x=b/2aC. x=a/2bD. x=b/2c答案：A2. 已知等腰三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形的周长是多少？A. 12B. 15C. 18D. 21答案：B3. 在一次函数y=kx+b中，若k>0且b<0，则该函数的图像不经过哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：C4. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B5. 计算下列二次根式中，哪个是同类二次根式？A. √2和√8B. √3和√12C. √5和√20D. √6和√24答案：C6. 一个数的立方等于8，那么这个数是多少？A. 2B. -2C. 2和-2D. 以上都不对答案：C7. 一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，那么这个长方体的体积是多少？A. 24cm³B. 36cm³C. 48cm³D. 52cm³答案：A8. 已知一个角的余角是30°，那么这个角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：A9. 一个数的相反数是-5，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A10. 计算：(1/2)^-1的值是多少？A. 2B. -2C. 1/2D. -1/2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。
答案：±52. 一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。
答案：60°3. 一个正数的倒数是1/4，那么这个数是______。
答案：44. 一个三角形的内角和是______。
中考数学几何综合压轴题初三难题训练1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交 于点G ， H ，则-EF 的值是（）GHA.——B. 2C. . 3D. 222.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（）D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 .A. D.3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点,6Di到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线；(2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长.5. (2016岳阳中考)数学活动 旋转变换(1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求ABB 的大小；(2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆.(I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度；(3)如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将VABC 绕点 C 逆180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半与角 满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件下线段AB 的长度(结果用角或角 的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示)时针旋转2角度0° 2径作圆，问：角6. (2016成都中考)如图，在RtVABC中，ABC 90°，以CB为半径作eC，交AC于点D，交AC 的延长线于点E，连接BD , BE .(1)求证：VABD s VAEB ;AB 4(2)当一—时，求tanE ；BC 3BE父于点F .(3 )在(2 )的条件下，作BAC的平分线，与7. （2016苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s）（0 t 8）•3（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC时，t的值为.（2）如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3,在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由.8. （2015扬州中考）如图，已知 eO 的直径AB 12cm , AC 是eO 的弦，过点 延长线于点P ，连接BC •（1） 求证： PCA B ；（2） 已知 P 400 ,点Q 在优弧ABC 上，从点A 开始逆时针运动到点 重合），当VABQ 与VABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长.C 作eO 的切线交BA 的C 停止（点Q 与点C 不9. （ 2015大庆中考）如图， 四边形ABCD 内接于eO ,ADPBC P 为BD 上一点，APB BAD . (1) 证明：AB CD ;(2) 证明：DP BD AD BC ； (3) 证明：BD 2 AB 2 AD BC .10. （2015武汉中考）如图，AB是eO的直径，ABT 4^ , AT AB •（1）求证：AT是eO的切线；（2）连接OT交e O于点C，连接AC，求tan TAC的值.11. （2016随州中考）如图，AB是eO的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD OA交弦AB 于点E，连接BD，且DE DB •（1）判断BD与eO的位置关系，并说明理由；5(2)若CD 15 , BE 10 , ta nA -，求eO 的直径.1212. (2015德州中考)如图，eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60°•(1) 判断VABC的形状：；(2) 试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3) 当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.13. (2016淮安中考)问题背景：如图1，在四边形 ADBC 中， ACB形，所以CE . 2CD ，从而得出结论：AC BC . 2CD •(1) 简单应用：在图1中，若AC 2 , BC 2 2，则CD •(2) 如图3, AB 是eO 的直径，点 C 、D 在e 上，AD BD ，若AB 13, BC 12，求CD 的 长. (3) 拓展规律：如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD ，若 AC m , BC n m n ，求 CD 的长(用含m , n 的代数式表示)1(4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P 为AB 的中点，若点E 满足AE 1AC ,3CE CA ，点Q 为AE 的中点，则线段 PQ 与AC 的数量关系是.ADB 90° , A D BD ，探究线段 AC,BC,CD 之间的数量关系•小吴同学探究此问题的思路是：将 VBCD 绕点D ，逆时针旋转 90°到 VAED 处，点 B,C 分别落在点 A,E 处(如图2)，易证点 C,A,E 在同一条直线上，并且VCDE 是等腰直角三角li14. (2015宜昌中考)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC , BD相交于点E , F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作eO，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I , H两占八、、♦(1)求FDE的度数；(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；(3)当G为线段DC的中点时，(i)求证：FD FI ;(ii)设AC 2m, BD 2n，求eO的面积与菱形ABCD的面积之比.15. （2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C , D两点，CD 2 , DAB 30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q .（1）当点P运动到使Q , C两点重合时（如图1），求AP的长;（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使VCQD的面积为丄?（直接写出答案）21（3）当使VCQD的面积为丄，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD时（如图2）,2求AP的长.第11页（共29页）第12页(共29页)第一部分 1.C【解析】如图，连接 AC 、BD 、OF ,其中AC 与EF 交于点I . QAO 是EAF 的角平分线,OAF 60o 2 30o .QOA OF ,OFA OAF 30° ,COF 60° ,BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2竺3 3 .GH r作 DAB 1与 AB 1C 1的角平分线交于点 O ，过O 作OF AB 1 , 则 OAF 30° , AB 1O 4^ ,答案EF 3 o r 2 23r . QAO 2OI ,OI -r , CI 21 r r2 FI r sin60°GH CI 11 r , 22.B 【解析】设eO 的半径为r ,则 OF r ，第13页（共29页）故B i FOF 〔OA , 2 设B i Fx , 则AF ：丄3 x , 故 3 2 x 2 2 x 2 2x ,解得x3 -，负值舍去. 2 四边形AB iE D 的内切圆半径为宁-第二部分3. n 1二2 2 2 【解析】连接0C ，过C 点作CF OA 于F •Q 半径OA 2cm , C 为A B 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点, OD OE 1cm , OC 2cm , AOC 4^ •CF . 2 • 鸟白图形ACDS 扇形OACS VOCD 2 45 n 221 2 1 23601 n2 2 cm . 2 2Q S VODE 〔OD 2 1 OE cm 2 2S 阴影S 扇形OAB S 空白图形ACD S VODE90 n 221 2 1—n ------ —360 2 2 21 —n _! 12 cm . 2 2 2第三部分4. (1)如图，连接OB .第14页(共29页)QBD BC ,CAB BAD .Q EBD CAB ,BAD EBD .QAD 是eO 的直径，ABD 90o , OA BO .BAD ABO .EBD ABO .OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°.Q 点B 在e O 上，BE 是eO 的切线.(2)如图，设圆的半径为 R ，连接CD .QAD 为eO 的直径，ACCD 90° .QBC BD ,OB CD .OB PAC .QOA OD ,1 5 OF AC .2 2Q 四边形ACBD 是圆内接四边形,BDE ACB .Q DBE ACB ,VDBE s VCAB . DB DEAC BC .3DE 5 3 .DEQ OBE OFD 90 ,DF PBE .QR 0 ,R 3.QBE 是eO 的切线,5. (1)如图①中， QVA BC 是由VABC 旋转得到，ABC ABC 130°，CB CBCBB CBB ，Q BCB 50o ，CBB CB B 650，ABB ABC BB C 65° .(2 )(1)结论：直线 BB ，是e A 的切线. 理由：如图②中，150°,CB CB ,Q ABC ABC CBB CBB ,Q BCB 60° ,CBB CB B 60° ,ABB ABC BBC 90° .AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.(H) Q 在 RtVABB 中，Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3,AB AB 2 BB 2 34 .(3 )如图③中，当 180°时，直线BB ，是e A 的切线 理由：Q ABC ABC ,CB CB ,OF OB ODOEBE JDE AE * 2 3 3\5 5 3 115(3)解法一：在 RtVABC 中, -AC 2 BG -AB 2 11BG 即 5x BG 4x 3x ，解得BG 2 2 12 x . 590°.AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.在VCBB 中QCB CB n , BCB 2 ,BB 2 nsin ,在 RtVA BB 中,AB . BB 2 AB 2 ,m 2 4n 2si n 26. (1) QDE 为e C 的直径，DBE 90° . 又 Q ABC 90° ,DBE DBC 90° , CBE DBC 90° ,ABD CBE .又QCB CE ,CBE E , ABD E .又 Q BAD EAB ,VABD ^VAEB .(2 )由(1)知，VABD s VAEB 在 RtVDBE 中,BD 1 tanEBE 2CBB CBB ,Q BCB 2 ,CBB ABB CB B 180° 2-------------? 2ABC BBC90°180° 90°BD BE ABAEABQ - BC设 AB 4x ，贝U CE 在 RtVABC 中，AB CB 3x .5x ,AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x8xQAF 是 BAC 的平分线, BF AB 4x 1 FHEF 2BG BE 32 2 12 8FH BG一x x3 3 5 5 1又 Qta nE2EH 2FH 16 x ,5AM AE EM24 x ・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF 1 2 3即 224 x5e C 的半径是3xQAF 平分 BAC ， FE AE 8x 2AE 于 H , 【解析】解法二：如图 2过点A 作EB 延长线的垂线，垂足为点在 VBAE 中，有 1 2 3 E 180°90° 90° , 4 2 E 45 ,VGAF 为等腰直角三角形8.5 L ，AFeC 的半径是NG BN a ，CG 3 a ，4 NC BC 9 a，4BH 9a， 5AB 3a ， AC AG 3a ，tan NAC NG AG sin NAC 10105a ，4 15 a，4 13由( 2) 可知, AE 8x , tanEAG AE 于点M ， 解法三:AE 于点G ，FM BAC 的平分线,QAF 是AE 10 .在 RtVDBE 中,设 BP 4t ，则 PQ 3t , BQ 5t .Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD .CQ PQ 3t .QCQ 8 5t.3t 8 5t ，即 t 1.(2)如图，过点M 作ME BC 于点E .在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE2 10 QBH a,5 EH 18 a, 5 DE 9 a ,2 DC 9 a ,4 AD 3 a,2 又QAE DE3 a 2 9 a2 9a,10 106DC 3.1087. (1)【解析】由题意可VBPQ s VBCD .DH AE10 ,a在 RtVABD 中，AB 6cm , AD 8cm ,BD 10cm .由 BPQ BCD , QBP DBC ，得 VPBQ ^VCBD .PB PQ BQBC CD BD .Q PB 4t ,PQ 3t , BQ 5t .Q MQ MC ,1 1 QE CE —QC - 8 5t2 2Q VMEQ s VDCB , EQ BCMQ BD1 -8 5t 23t40t 49(3)如图1，设QM 所在直线交CD 于点F . ① Q VQCF s VBCD , CF CDCQ CB CF 68 5t 8E15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ，即点O 始终在QM 所在直线的左侧.②如图，设MQ与eO相切时，切点我G，连接OG ,OG BCOF BD，0.88吗3t 10，4丄4t3当t -时，正方形PQMN的边长为3解法一：连接MO并延长交PQ于点贝U VMOG s VMHQ ,OG MGHQ MQ，260.815HQ4，HQ241328PH13 °HK14 213HK HQ .点O不在PMQ的平分线上，当QM1与eO相切时，PM与eO【解析】解法二：连接OM , OP ,Q SVMPQ SVMOQ S VPOQ S VPOM ，则VOGF s VBCD ,534 , QF-,FG3 5 .H，过点H作HK PM于点K不相切.OQ，设点O到MP的距离为h ,1 4 0.8 1 344142 h 8 .2 2 152h7 20.8 .15当QM与eO相切时，PM与eO不相切QAB是eO的直径，ACB 1 2 90o,又PC是eO的切线，PCO PCA 1 90°,2 PCA.又OC OB .2 B,PCA B .(2) Q P 40°,AOC 50°.QAB 12，AO 6 .AOQ 130°时，VABQ与VABC的面积相等,优弧ABQ所对的圆心角为230°时，VABQ与VABC的面积相等,13n31803180当BOQ 50°时，即9. (1) Q AD PBC ,ADB DBC ,AB DC ,AB CD .(2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBBCD APD ,Q ADB CBD .VADPWDBC ,AD DPBD BC ，DP BD AD BC .QBD 2DE 2 BE 2, DE 2 CD 2 CE 2 ,2 BD 2CD 2 BE 2 CE 2AB 2 BE CE BE CEAB 2 AD BC.10. (1) QAB AT ,ATB B 45°.BAT 90° .AT 是eO 的切线.(2 )设eO 半径为r ，延长TO 交eO 于D ，连接AD .点Q 所经过的弧长 230 n 6 180 23 n3AAPD 180° , (3)如图，过点D 作DE BC 交BC 于E .QCD是直径，CAD BAT 90°.TAC OAD D . 又ATC DTA,VTAC s VTDA.TA TCTD AT .TA2TC TD , 即4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1r.tan TAC tan DACADTCAT.5 1 r2r51211. (1)连接OB .QOB OA, DE DB ,A OBA, DEB ABD.QCD OA,A AEC A DEB 90°,OBA ABD 90°,OB BD ,BD是eO的切线；(2)如图，过点D作DG BE于G .QDE DB,1EG -BE 5,2GDE A,VACE s VDGE,QVACE s VDGE12. (1)等边三角形(2) PA PB PC .证明：如图，在PC上截取PD PA，连接AD .PA AD , PAD 60o.Q BAC 60o,PAB DAC .Q APC 60o,VPAD是等边三角形.Q ACE DGE 90°, AEC GED ,tan EDG tanAEGDG5—，即DG 12 .12在RtVEDG 中，DE .DG2 EG213. QCD 15, DECE 2 .13 ,ACDGCEGE，AC CE DGGE245e O的直径2OA 4AD96QAB AC ,VPAB 也VDAC .PB DC .QPD DC PC ,PA PB PC .(3)当点P 为A B 的中点时，四边形 APBC 面积最大.理由如下：如图，过点 P 作PE AB ，垂足为E , 过点C 作CF AB ，垂足为F ，四边形APBC 面积最大. Qe O 的半径为1,其内接正三角形的边长AB 31S 四边形APBC 匚 2 32 3 . 13. (1) CD 3(2)连接 AC 、BD 、AD ,Q AB 是eO 的直径，ADB ACB 90° ,Q A D B D ,AD BD ,将VBCD 绕点D ，逆时针旋转90°到VAED 处，如图3 ,EADDBC , Q DBCDAC 180° , EADDAC 180° , E 、A 、C 三点共线，Q AB 13,BC 12,由勾股定理可求得： AC 5 ,Q BC AE ,CE AE AC 17,2 AB PE ，S VABC 1AB CF . 2S 四边形APBC 1 — AB PE 2 Q 当点P 为A B 的中点时, CF . PE CF PC , PC 为eO 直径, Q S VPABQ EDA CDB ,EDA ADC CDB ADC ,即 EDCADB 90° ,Q CD ED , VEDC 是等腰直角三角形，CE 2CD ,17近 CD 2(3)以AB 为直径作eO ,连接OD 并延长交eO 于点D 1 , 连接D 1A ，D 1B ， D 1C ，如图D 1C又Q 0D 是eO 的直径,DCD 1 90o ,Q AC m ， BC n由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB2 n22PQ = -^」AC • 614.( 1)QEF 为eO 的直径,FDE 90° .(2)四边形FACD 为平行四边形•理由如下:QABCD 为菱形，AB PCD , AC BD ,AEB 90° • 又 FDE 90o ,AC PFD •四边形FACD 为平行四边形.(3)(i )如图，连接GE •由(2)的证明过程可知： ACBC ■ 2D 1C ，ABm 2 2 Q D 1C 2 CD 2 2 D 1D 2CD m 2 n 2CD (4)Q 在RtVDEC 中，G 为CD 的中点,EG DG ,弧DG 弧EG ,1 2.又EF 为eO 的直径,FGE 90° ,FG EG .QG 为DC 中点，E 为AC 中点,GE 为VDAC 的中位线，EG PAD . FGADF l HDFHI 90o . 1 3 24 90o , 3 4 ,FD FI .(ii ) Q 菱形ABCD , AE CE m , BE DE nQ 四边形FACD 为平行四边形,FD AC 2m FIQ FD PAC , 3 8 .又34 7, 78 , EI EA m . 在 RtVFDE 中，FE 2 FD 2 DE 2 ,3m $ 2m $ n 2，解得，n 5m .2 3m9 2 1 S eo n 测，S 菱形ABCD — 2m 2n 2mn 2 4 2 S e O : S 菱形ABCD 9 n m 2:2 5m 2葺5. 4 4015. (1) QAB 是圆O 的切线，OBA 90o .2 5m 2 ,QRtVOBA中，CD 2, DAB 30°,OB 1 ,OB OC AC 1 .Q当点P , C运动到Q , C两点重合时,PC为圆O的切线，PCA 90°,Q DAB 30°, AC 1 ,AP -A/3•3(2)有4个位置使VCQD的面积为-•21【解析】由于CD的长度2，而S VCQD1, 故CD上的高的长度为-，从而如下图，我们可得到答案.2(3)过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点M •QNQCD是圆O的直径,CQD 90°• 易证VQCN s VDQN •QN CNDN QNQN2 CN DN .1x 2 x4解得X i 2 3, x22QCQ QD ,CNCNQN易证VPMC s VQNC .易得列空2 3MP QNCM 2 3 MP .在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1,2,3 MP . 3MP 1 ,MP 3 14 ，薦1AP2MP21 2.又QCB CE,3 E .。
九年级数学下册圆章节复习题（难）一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣13．如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（）A．B．C．2D．4．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB 的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．5．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大7．如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD，如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于（）A．70°B．64°C．52°D．51°8．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D 点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．89．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OP A最大时，P A的长等于（）A．B．C．3D．210．如图，P A是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB＝6cm，BC＝4cm，则⊙O的直径为（）A．cm B．cm C．13cm D．cm11．如图，△ABC的外接圆⊙O的直径BE交AC于点D，已知弧BC等于120°，，则关于x的一元二次方程根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的正实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的正实数根12．如图，在⊙O中，弦AB＝6，点C是AB所对优弧上一点，∠ABC＝120°，BC＝8，点P为AB上方一点，记△P AB的面积为S1，△AOB的面积为S2，且S1＝S2，则OP+PC的最小值为（）A．2B．C．D．1013．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折交半径AO的延长线于点D，延长BD交⊙O于点C，AC切所在的圆于点A，则tan∠C的值是（）A．B．C．2+D．1+14．如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA 为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（）A．B．6π﹣C．D．15．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（）A．B．C．D．与的大小关系无法比较二．填空题（共10小题）16．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是．17．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是．18．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝7，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．20．如图，在⊙O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若＝，则DP的长为．21．如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为．22．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点P为上任意一点（点P不与点A、点B重合），连结PB、PO，取BC的中点D，取OP的中点E，连结DE，若∠OED＝α，则∠PBC的度数为．（用含α的代数式表示）23．如图，AC，BC是⊙O的两条弦，M是的中点，作MF⊥AC，垂足为F，若BC＝，AC＝3，则AF＝．24．如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，则点P的坐标为．三．解答题（共10小题）26．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．（1）求直径AB的长．（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．27．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．29．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．30．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．31．如图，在△ABC中，CA＝CB，E是边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB于点D，连结ED．（1）判断△BDE的形状并证明．（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE＝CE＝3，求AF的长．32．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧BD的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD＝4，CA＝6，求AF的长．33．如图所示，在△ABC中，AB＝CB，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作⊙O的切线交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若AC＝16，⊙O的半径是5，求EF的长．34．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：EF⊥AC．（2）连结DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．35．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cos C＝时，求⊙O的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：∵F为的中点，∴＝，故①正确，∴∠FCM＝∠F AC，∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠F AC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴＝，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴的度数+的度数＝180°，∴的度数+的度数＝180°，∴+＝+＝+＝+，故④正确，故选：C．2．【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可，【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，∴∠OAT＝∠P AG＝30°，∴∠OAP＝∠TAG，＝＝∴＝，∴△OAP∽△TAG，∴＝＝，∵OP＝2，∴TG＝2，∵OG≤OT+GT，∴OG≤1+2，∴OG的最大值为1+2，故选：B．3．【分析】连接DP，根据直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF面积的最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值．【解答】解：如图，连接DP，∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB＝，∵过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，∴DE＝DF，PE⊥DE，∵PE＝PF，PD＝PD，∴△PED≌△PFD（SSS），∵⊙P的半径为，∴DE＝，当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×，∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，∴四边形PEDF面积的最小值为．故选：A．4．【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，AN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．5．【分析】如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．只要证明△EFB是等腰直角三角形，即可推出EF＝BF＝1，再利用勾股定理求出EC即可解决问题；【解答】解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．∵∠AOD＝∠BOE，∴＝，∴AD＝BE＝，∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝（360°﹣90°）＝135°，∴∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝1，在Rt△ECF中，EC＝＝＝，∵△OCE是等腰直角三角形，∴OC＝＝．故选：C．6．【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y﹣x 即可判断；【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y，∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣•（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y﹣x），∵PC∥DQ，∴＝，∴＝，∴a＝y﹣x，∴S阴＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝故选：B．7．【分析】连接OC．证明∠CAO＝∠OAB＝∠BAD，从而进一步求解．【解答】解：连接OC．则OC＝OB，AC＝AB，OA＝OA，△AOC≌△AOB．∴∠CAO＝∠BAO．∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB．∵BD＝OB，∴AB是线段OD的垂直平分线，OA＝AD．∴∠OAB＝∠DAB＝∠OAC＝×78°＝26°．∠ADO＝180°﹣∠ABD﹣∠DAB＝180°﹣90°﹣26°＝64°．故选：B．8．【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．9．【分析】当P A⊥OA时，∠OP A取得最大值，然后在直角三角形OP A中利用勾股定理求P A的值即可．【解答】解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴P A⊥OA时，∠OP A最大，在直角三角形OP A中，OA＝，OP＝3，∴P A＝＝．故选：B．10．【分析】连接PH，OH，根据切线的判定可得到HB是圆的切线，再根据切割线定理及勾股定理求得BP，PH的长，利用相似三角形的判定方法得到Rt△BPH∽Rt△HP A，根据相似比即可求得直径的长．【解答】解：连接PH，OH，∵H是的中点，∴∠HPC＝∠APH，∠AOH＝∠APC，∴OH∥BC，即OH⊥BH，∴HB是⊙O的切线；∵PB是⊙O的割线，HB＝6cm，BC＝4cm，∴HB2＝BC•BP，∴36＝4BP，∴BP＝9，∴PH＝＝＝；∵在Rt△BPH与Rt△HP A中，∠HPC＝∠APH，∴Rt△BPH∽Rt△HP A，∴＝，∴AP＝＝＝13cm；故选：C．11．【分析】BD为直径，连接CE，构成直角三角形．过O点作OF⊥BC．在Rt△CDF中，运用锐角三角函数求边长；在Rt△BCE中，因为弧BC等于120°，可求其两锐角分别为60°、30°，根据锐角三角函数可求BD、DE的长，代入判别式中，确定判别式的符号．【解答】解：过O点作OF⊥BC，垂足为点F，连接CE．在Rt△CDF中，．设CF＝2，则DF＝．已知弧BC等于120°，BE为直径，所以∠E＝60°，∠ECB＝90°，∠EBC＝30°．在Rt△BDF中，BD＝2DF＝2，BF＝3．在Rt△BCE中，BC＝BF+CF＝5，BE＝＝，DE＝BE﹣BD＝．∵△＝（BD）2﹣4•BD•DE＝（×2）2﹣4×2×＝36﹣32＝4＞0，又x1+x2＝BD＞0，x1•x2＝BD•DE＞0，∴方程有两个不相等的正实数根，故选D．12．【分析】如图，作OD⊥AB于D，作线段OD的中垂线m，作CH⊥AB交AB的延长线于H．由△P AB的面积为S1，△AOB的面积为S2，且S1＝S2，推出点P在直线m上运动，连接CD交直线m于P′，连接OP′，此时OP′+CP′的值最小，最小值＝线段CD的长．【解答】解：如图，作OD⊥AB于D，作线段OD的中垂线m，作CH⊥AB交AB的延长线于H．∵△P AB的面积为S1，△AOB的面积为S2，且S1＝S2，∴点P在直线m上运动，连接CD交直线m于P′，连接OP′，此时OP′+CP′的值最小，最小值＝线段CD的长．∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝3，∵∠ABC＝120°，∴∠CBH＝60°，∵BC＝8，∴BH＝BC＝4，HC＝4，在Rt△CDH中，CD＝＝＝，故选：B．13．【分析】作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．首先证明CH是⊙O的直径，△ACH，△BDH都是等腰直角三角形，再证明∠ACD＝∠CHB＝67.5即可解决问题；【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH＝90°，∴∠ABD＝∠ABH＝45°，∴∠AHC＝∠ABC＝45°，∴∠ACH＝∠AHC＝45°，∴AC＝AH，∵OC＝OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC＝DH，∴∠DCH＝∠DHC，∵BD＝BH，∴∠BDH＝∠BHD＝45°，∵∠BDH＝∠DCH+∠DHC，∴∠DCH＝22.5°，∴∠ACD＝∠CHB＝67.5°，设BD＝BH＝a，则CD＝DH＝a，∴tan∠ACB＝tan∠CHB＝＝＝1+，故选：D．14．【分析】如图，连接DF．解直角三角形求出CF、BF，∠FDC的度数，再根据S阴＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF）计算即可；【解答】解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝DF＝BC＝6，∴CF＝＝3，BF＝BC﹣CF＝3，∴tan∠FDC＝，∴∠FDC＝30°，∠ADF＝60°∴S阴＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF）＝﹣（18﹣﹣•3•3）＝π﹣，故选：A．15．【分析】可过O作半径OF⊥AB于E，由垂径定理可知＝，因此只需比较和的大小即可；易知AE＝AB＝CD，在Rt△AEF中，AF是斜边，AE是直角边，很显然AF＞AE，即AF＞CD，由此可判断出、的大小关系，即可得解．【解答】解：如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF；由垂径定理知：AE＝BE，＝；∴AE＝CD＝AB；在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD；∴＞，即＞2；故选：A．二．填空题（共10小题）16．【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【解答】解：如图，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，故答案为：﹣2．17．【分析】如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O 的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．【解答】解：如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．∵BE∥AC，∴∠EBC+∠C＝180°，∵∠EBC+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠EOD＝2∠EAD，∴∠EOD＝2∠C＝定值，∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，∵AB＝AC＝6，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ＝4，∴AJ＝＝＝2，∵OK⊥DE，∴EK＝DK，∵AB＝6，∴OE＝OD＝3，∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，∴sin∠EOK＝sin∠C＝，∴＝，∴EK＝，∴DE＝2，∴DE的最小值为2．故答案为2．18．【分析】如图，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．连接AD，OE，OF．设AM＝x，则BM＝5﹣x．根据CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，可得82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，解得x＝4，推出∠EAF＝60°，由A，E，D，F四点共圆，推出当⊙O的直径最小时，EF的长最小，根据垂线段最短可知：当AD与AN重合时，AD的值最小，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．连接AD，OE，OF．设AM＝x，则BM＝5﹣x．∵CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，解得x＝4，∴AM＝4，AC＝2AM，∴∠ACM＝30°，∠CAM＝60°，CM＝AM＝4，∵S△ABC＝•BC•AN＝•AB•CM，∴AN＝＝，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∴A，E，D，F四点共圆，∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，根据垂线段最短可知：当AD与AN重合时，AD的值最小，AD的最小值为，此时OE＝OF＝，EF＝2•OE•cos30°＝，∴EF的最小值为，故答案为．19．【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN＝AD＝1，∴BM≤BN+NM，∴BM≤1+，∴BM≤，∴BM的最大值为．20．【分析】如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．想办法用a表示PE，利用相交弦定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．∵PD∥CH，∴＝＝＝，∴CH＝3a，∵BD：AD＝2：3，∴BD：AD＝BD：BH，∴AD＝BH，∴BD＝AH，∴AH：AD＝2：3，∴CH∥DE，∴＝＝，∴DE＝a，∴PE＝a﹣2a＝a，∵BC＝10，BP：PC＝2：1，∴PB＝，PC＝，∵PB•PC＝PD•PE，∴5a2＝，∴a＝（负根已经舍弃），∴PD＝2a＝．故答案为．21．【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC＝DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB＝＝5，∴BA′＝＝，∵AC＝CA′，DE＝EA，∴EC＝DA′，∵DA′≤BD+BA′，∴DA′≤5+，∴DA′的最大值为5+，∴EC的最大值为，故答案为．22．【分析】根据圆内接等边三角形的性质表示∠EOD的度数，再根据四边形内角和表示出∠BED的度数，进而根据三角形内角和即可求解．【解答】解：如图：连接OD、OB，∵等边△ABC内接于⊙O，∴OD⊥BC，OD＝OB，∠OBD＝30°．∵E点是OP的中点，∴OE OP，∵OB＝OP，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE＝α，∴∠EOD＝180°﹣2α．因为四边形DOEB内角和为360°，∴∠BED＝360°﹣90°﹣60°﹣（180﹣2α）﹣α＝30°+α，∠EOB＝180°﹣30°﹣（30+2α）＝120﹣2α．∵OB＝OP，∴∠P＝∠OBP＝（180°﹣∠POB）＝（180﹣120+2α）＝30°+α．∴∠PBC＝∠OBP+∠OBC＝30°+α+30°＝60°+α．故答案为60°+α．23．【分析】如图，作直径MH，延长MF交⊙O于K，作HJ⊥AC于J，连接CK，AK，AH，设AC交HM于T，HM 交AB于R．首先证明BC＝HK＝，再证明Rt△HJA≌Rt△KFC（HL），推出AJ＝CF，求出AJ即可解决问题．【解答】解：如图，作直径MH，延长MF交⊙O于K，作HJ⊥AC于J，连接CK，AK，AH，设AC交HM于T，HM交AB于R．∵＝，HM是直径，∴HM⊥AB，∵MF⊥AC，∴∠ART＝∠MFT＝90°，∵∠MTF＝∠ATR，∴∠CAB＝∠FMT，∴＝，∴BC＝KH＝，∵MH是直径，∴∠MKH＝90°，∴∠MKH＝∠MFT，∴AC∥KH，∴∠CAK＝∠AKH，∴＝，∴AH＝CK，∵∠HJA＝∠KFC＝90°，HJ＝FK，∴Rt△HJA≌Rt△KFC（HL），∴AJ＝CF，∵四边形KHJF是矩形，∴KH＝FJ＝，∴AJ＝（AC﹣FJ）＝（3﹣），∴AF＝AJ+FJ＝．故答案为．24．【分析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．首先证明∠CAE＝∠CAH ＝45°，推出∠BOC＝90°，推出BC＝2，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，根据CH2+BH2＝BC2，构建方程求出x即可解决问题；【解答】解：如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故答案为6．25．【分析】根据已知条件得到抛物线的解析式，设抛物线的对称轴与x轴的交点为Q；假设存在符合条件的P点，且⊙P与直线DM的切点为E，连接PE；若⊙P同时经过A、B两点，根据圆和抛物线的对称性知圆心P必在抛物线的对称轴上；可设出⊙P的半径，易证得△DMQ是等腰直角三角形，则∠EDQ＝45°，可据此表示出PD的长；在Rt△APQ中，根据勾股定理可表示出PQ的长，由于PQ+PD＝DQ，可根据这个等量关系列出关于⊙P半径的方程，进而可求出P点的坐标．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，∴，∴，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；∴顶点D（1，4），对称轴为直线x＝1；∴直线CD的解析式为y＝x+3，∴直线CD与x轴的交点为M（﹣3，0）设抛物线的对称轴x＝1与x轴的交点为Q，⊙P与直线CD的切点为E，连接PE、P A；设PE＝P A＝m；∵在Rt△DMQ中，DQ＝MQ＝4，∴△MDQ是等腰直角三角形，∠DMQ＝45°；在Rt△PDE中，PE＝m，∠EDP＝∠MDQ＝45°，则PD＝m；在Rt△P AQ中，P A＝m，AQ＝AB＝2，则PQ＝；由于DQ＝DP+PQ＝4，或DQ＝PD﹣PQ，即：m+＝4，m﹣＝4解得m＝4﹣2；m＝4+2∴m＝8﹣2，或m＝8+2，4﹣m＝2﹣4或4﹣m＝﹣4﹣2；即P（1，2﹣4）或（1，﹣4﹣2）．三．解答题（共10小题）26．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB＝90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；（2）连接OD．利用（1）中求得AB＝4可以推知OA＝OD＝2；然后由角平分线的性质求得∠AOD＝90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AB2+62，∴AB＝4．（2）连接OD．∵AB＝4，∴OA＝OD＝2，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴S△AOD＝OA•OD＝•2•2＝6，∴S扇形△AOD＝•π•OD2＝•π•（2）2＝3π，∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6．27．【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP 的长；（2）根据S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB直接进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB＝BO，∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；（2）阴影部分面积为：S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．28．【分析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；（2）根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）相切，理由如下：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠CED＝90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC＝90°，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得AD＝＝4．∵S ACD＝AD•CD＝AC•DE，∴×4×3＝×5DE．∴DE＝．29．【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°．∴∠EDC＝30°．∴∠ODE＝90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB＝∠ADB＝90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴，．∵∠EDC＝30°，∴．∴FE＝FC﹣EC＝1．30．【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝，即HM：BH＝，得∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．【解答】解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．31．【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定证明即可；（2）利用等腰直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】（1）证明：△BDE是等腰直角三角形．∵AE是⊙O的直径∴∠ACB＝∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°．∵CA＝CB，∴∠B＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形．（2）过点F作FG⊥AC于点G，则△AFG是等腰直角三角形，且AG＝FG．∵OA＝OC，∴∠EAC＝∠FCG．∵BE＝CE＝3，∴AC＝BC＝2CE＝6，∴tan∠FCG＝tan∠EAC＝．∴CG＝2FG＝2AG．∴FG＝AG＝2，∴AF＝2．32．【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到∠EAB＝∠EAD，由于∠ACB＝2∠EAB，则∠ACB＝∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则∠DAC+∠ACB＝90°，所以∠DAC+∠DAB＝90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；（2）得出∠EAC＝∠AFD，进而利用勾股定理解答；【解答】（1）证明：连结AD，如图，∵E是的中点，∴∠DAB＝2∠EAB，∵∠ACB＝2∠EAB，∴∠ACB＝∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∴∠DAC+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠EAC+∠EAB＝90°，∠DAE+∠AFD＝90°，∠EAD＝∠EAB，∴∠EAC＝∠AFD，∴CF＝AC＝6，∴DF＝2，∵AD2＝AC2﹣CD2＝62﹣42＝20，∴33．【分析】（1）连接EO，由OE＝OC、AB＝CB知∠A＝∠OEC，从而得AB∥EO，根据EF⊥OE得EF⊥AB，即可得证；（2）连结BE，根据圆的直径和直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：连结OE．∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCA，∵AB＝CB，∴∠A＝∠OCA，∴∠A＝∠OEC，∴OE∥AB，∵EF是⊙O的切线，∴EF⊥OE，∴EF⊥AB．（2）连结BE．∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，又AB＝CB，AC＝16，∴AE＝EC＝AC＝8，∵AB＝CB＝2BO＝10，∴BE＝，又△ABE的面积＝△BEC的面积，即8×6＝10×EF，∴EF＝4.834．【分析】（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而得到EF⊥AC；（2）连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，则DE＝BD＝r，BE＝r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r表示出DF＝r，EF＝r，CE＝r，从而得到r+r＝2，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∵EF为切线，∴OE⊥EF，∴EF⊥AC；（2）解：连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，∵BD为直径，∴∠BED＝90°，在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，∴DE＝BD＝r，BE＝r，∵DF∥BC，∴∠EDF＝∠BED＝90°，∵∠C＝∠B＝30°，∴∠CEF＝60°，∴∠DFE＝∠CEF＝60°，在Rt△DEF中，DF＝r，∴EF＝2DF＝r，在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，而BC＝2，∴r+r＝2，解得r＝，即⊙O的半径长为．35．【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线．（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cos C＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽△ABE，所以，再证明cos∠AOM＝cos C＝，所以AO＝，从而可求出OM＝【解答】解：（1）连结OM．∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠2 又OM＝OB∴∠2＝∠3∴OM∥BC∵AE是BC边上的高线∴AE⊥BC，∴AM⊥OM∴AM是⊙O的切线（2）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，∴E是BC中点∴EC＝BE＝3∵cos C＝＝∴AC＝EC＝∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE ∴△AOM∽△ABE∴又∵∠ABC＝∠C∴∠AOM＝∠C在Rt△AOM中cos∠AOM＝cos C＝，∴∴AO＝AB＝+OB＝而AB＝AC＝∴＝∴OM＝∴⊙O的半径是。
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10等于：A. 25B. 27C. 29D. 312. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，若AB=8cm，则BC的长度为：A. 4√3 cmB. 8√3 cmC. 16√3 cmD. 4√6 cm3. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在区间[0, 3]上有极值，则f(x)的极大值点x为：A. 1B. 2C. 3D. 2或34. 已知函数y = log2(x - 1)的图像关于点(2, 1)对称，则该函数的图像上存在一个点P，使得点P到直线y = x的距离为：A. 1B. √2C. 2D. √35. 在直角坐标系中，点A(-3, 2)，点B(1, -4)，则线段AB的中点坐标为：A. (-1, -1)B. (-2, -1)C. (-1, -2)D. (0, -1)6. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，那么数列的前n项和S_n为：A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^n - 2D. 2^n + 27. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4相切，则k和b的关系为：A. k^2 + b^2 = 4B. k^2 + b^2 = 16C. k^2 + b^2 = 5D. k^2 + b^2 = 98. 在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=120°，则△ABC的外接圆半径R为：A. 2√3B. √3C. √2D. 29. 函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|的最小值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知函数y = e^x - x在x=0处取得极值，则该极值为：A. 1B. 0C. -1D. e二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a, b, c之间的关系为______。
初三下学期数学好题难题集锦一、分式：1、如果abc=1，求证++=1．2、已知+=，则+等于多少？3、一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．4、（2009•邵阳）已知M=、N=，用“+”或“﹣”连接M、N，有三种不同的形式，M+N、M﹣N、N﹣M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2．二、反比例函数：5、一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围．6、（2009•邵阳）如图是一个反比例函数图象的一部分，点A（1，10），B（10，1）是它的端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．7、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于_________．8、（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y 轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP 面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．9、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数y在第一象限的图象交于点c（1，6）、点D（3，x）．过点C作CE上y轴于E，过点D 作DF上X轴于F．（1）求m，n的值；（2）求直线AB的函数解析式．三、勾股定理：10、清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：=m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．11、（2009•温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A、第4张B、第5张C、第6张D、第7张12、（2009•茂名）如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是_________米．13、（2009•恩施州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X 垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．14、（2009•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2，求AB的长．四、四边形：15、（2008•佛山）如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．16、（2008•山西）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．17、（2008•资阳）如图，在△ABC中，∠A，∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的_________心；（2）求证：四边形DECF为菱形．18、（2008•哈尔滨）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+PQ；（2）若BC=6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x 的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长．19、（2008•常州）如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2，下底长为4，腰长为2，这样的纸片共有5张．打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形？分别画出它们的示意图，并写出它们的周长．20、（2008•常州）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．21、（2008•潍坊）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长．22、（2008•新疆）（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）（2）写出你的作法．23、（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．24、（2008•义乌市）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k ＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值．五、几何：25、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）26、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）27、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）28、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CEBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF29、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）30、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）31、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）32、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．33、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）34、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）35、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）36、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E37、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）38、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）39、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）40、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）41、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．42、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．43、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．44、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCB ACBPDEDCB A A CBPD五、数据的分析：45、（2005•南平）为了帮助贫困失学儿童，宿迁市团委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐赠给贫困失学儿童．某中学共有学生1200人，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图．（1）求该学校的人均存款数；（2）已知银行一年定期存款的年利率是2.25%（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供给1位失学儿童一年的基本费用，那么该学校一学年能够帮助多少位失学儿童？46、（2005•河北）如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．（1）请根据图中所提供的信息填写右表：（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，_________的体能测试成绩较好；②依据平均数与中位数比较甲和乙，_________的体能测试成绩较好．③依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．47、（2005•重庆）如图所示，A、B两个旅游点从2001年至2005年“五•一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求A、B两个旅游点从2001到2005年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系y=5﹣．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？答案与评分标准一、分式：1、如果abc=1，求证++=1．考点：分式的混合运算。
一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(x)的顶点坐标为（）A. (1, 0)B. (0, 1)C. (2, 0)D. (1, 2)答案：A解析：因为f(x)的图像关于直线x=1对称，所以f(1)是f(x)的最小值。
将x=1代入f(x)，得f(1) = 1^2 - 21 + 1 = 0。
所以顶点坐标为(1, 0)。
2. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则b的值为（）A. 0B. -1C. 1D. 无法确定答案：A解析：由等差数列的性质知，a+b+c=3b。
因为a+b+c=0，所以3b=0，解得b=0。
3. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：由勾股定理知，AB^2 = AC^2 + BC^2。
将AC=3，BC=4代入，得AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25。
所以AB=√25=5。
4. 若a、b、c是等比数列，且a+b+c=0，则b的值为（）A. 0B. -1C. 1D. 无法确定答案：D解析：由等比数列的性质知，a、b、c成等比数列，所以b^2 = ac。
因为a+b+c=0，所以a=-b-c。
将a=-b-c代入b^2 = ac，得b^2 = (-b-c)c。
化简得b^2 + bc -c^2 = 0。
因为a、b、c是等比数列，所以b≠0。
所以b^2 + bc - c^2 = 0有唯一解，即b的值无法确定。
5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=50，则第15项a15的值为（）A. 5B. 10C. 15D. 20解析：由等差数列的前n项和公式知，S5 = (a1 + a5) 5 / 2，S10 = (a1 + a10) 10 / 2。
因为S5=15，S10=50，所以(a1 + a5) 5 / 2 = 15，(a1 + a10) 10 /2 = 50。
一、选择题1．(0分)[ID ：11131]若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）都在反比例函数1y x =-的图象上，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1 C ．y 1＜y 3＜y 2 D ．y 3＜y 1＜y 22．(0分)[ID ：11122]如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ：DB ＝2：3，则下列结论中正确的（ ）A ．23DE BC = B ．25DE BC = C ．23AE AC = D ．25AEEC =3．(0分)[ID ：11118]已知线段a 、b ，求作线段x ，使22b x a =，正确的作法是（ ） A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：11115]在Rt ABC ∆中，90,2,1C AC BC ∠=︒==，则cos A 的值是( )A 25B 5C 5D ．125．(0分)[ID ：11108]若35x x y =+，则xy 等于 （ ）A ．32 B ．38 C ．23 D ．856．(0分)[ID ：11105]如图，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（3，4），顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=k x （x ＞0）的图象经过顶点B ，则反比例函数的表达式为（ ）A ．y=12xB ．y=24xC ．y=32xD ．y=40x7．(0分)[ID ：11103]如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x=-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．(0分)[ID ：11101]下列判断中，不正确的有（ ）A ．三边对应成比例的两个三角形相似B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似9．(0分)[ID ：11091]已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( ) A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．2:3 10．(0分)[ID ：11089]如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．411．(0分)[ID ：11082]如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ） A ．8米 B ．9米 C ．10米 D ．11米12．(0分)[ID：11074]在同一直角坐标系中，函数kyx=和y=kx﹣3的图象大致是（）A．B．C．D．13．(0分)[ID：11065]已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，错误的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d 14．(0分)[ID：11034]下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．(0分)[ID：11037]制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元二、填空题16．(0分)[ID：11202]如图，P（m，m）是反比例函数9yx=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．17．(0分)[ID：11199]已知反比例函数21kyx+=的图像经过点(2,1)-，那么k的值是__．18．(0分)[ID ：11185]如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．19．(0分)[ID ：11164]已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y =﹣4x图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为__________． 20．(0分)[ID ：11141]如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为__时，△ADP 和△ABC 相似．21．(0分)[ID ：11182]如图，若点 A 的坐标为 ()1,3 ，则 sin 1∠ =________.22．(0分)[ID ：11179]小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm ），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm ．23．(0分)[ID ：11176]已知CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos ∠ACD= ______ ．24．(0分)[ID ：11163]如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.25．(0分)[ID：11222]如果a c eb d f===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_____．三、解答题26．(0分)[ID：11276]如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．27．(0分)[ID：11271]如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：ACD ABE∽．（2）若将D，E连接起来，则AED与ABC能相似吗？说说你的理由．28．(0分)[ID：11259]已知锐角三角形ABC内接于⊙O（AB＞AC），AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、AE交于点F．（1）如图1，若⊙O直径为10，AC＝8，求BF的长；（2）如图2，连接OA，若OA＝F A，AC＝BF，求∠OAD的大小．29．(0分)[ID：11251]如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD.∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．(1)求证：△ABD∽△ACB；(2)求线段CD的长．30．(0分)[ID：11241]为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y 与x的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．C4．A5．A6．C7．D8．B9．A10．B11．C12．A13．B14．D15．C二、填空题16．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三17．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k的值【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以18．【解析】【分析】认真审题根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短分别求出PBOBOAAB的长度利用△PBM∽△ABO即可求出本题的答案【详解】解：如图过点P作PM⊥AB则：∠PMB=90°当PM⊥19．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y随x的增大而增大∵A（-4y1）B（-1y2）20．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似21．【解析】【分析】根据勾股定理可得OA的长根据正弦是对边比斜边可得答案【详解】如图由勾股定理得：OA==2sin∠1=故答案为22．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O连接OBOC交AB于D∴OC⊥ABBD=AB由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm23．【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B利用同角的余弦得结论解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高线∴CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠24．7【解析】设树的高度为m由相似可得解得所以树的高度为7m25．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．【详解】∵反比例函数y=﹣1x中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．2．B解析：B【解析】【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】∵AD：DB=2：3，∴ADAB=25．∵DE∥BC，∴DEBC=ADAB=25，A错误，B正确；AE AC =ADAB=25，C错误；AE EC =ADDB=23，D错误．故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a、b和2b，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x．【详解】解：由题意，22b xa =∴2a bb x =，∵线段x没法先作出，根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．故选C．4．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得22=5AC BC+∴cosA=255ACAB==，故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A解析：A【解析】【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y，再根据比例的基本性质转化成比例式即可得.【详解】根据比例的基本性质得：5x=3（x+y），即2x=3y，即得32xy=，故选A．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键. 6．C解析：C【解析】【分析】过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC ，AB ∥OC ，OA ∥BC ，求出∠AOM=∠BCN ，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM ≌△BCN ，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B 点的坐标，把B 的坐标代入y=kx 求出k 即可．【详解】过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，则∠AMO=∠BNC=90°，∵四边形AOCB 是菱形，∴OA=BC=AB=OC,AB ∥OC,OA ∥BC ，∴∠AOM=∠BCN ，∵A(3,4)，∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，即OC=OA=AB=BC=5，在△AOM 和△BCN 中AMO BNC AOM BCN OA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM ≌△BCN(AAS)，∴BN=AM=4，CN=OM=3，∴ON=5+3=8，即B 点的坐标是(8,4)，把B 的坐标代入y=kx 得：k=32，即y=32x， 故答案选C.【点睛】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.7．D解析：D【解析】因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 8．B解析：B【解析】【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；C 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．【详解】∵两个相似三角形的面积之比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的周长之比为2：3．故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．10．B解析：B【解析】【分析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC DC AC =,可求出AC 的长． 【详解】 解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB =∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC=42, 故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答． 11．C解析：C【解析】如图所示，AB ，CD 为树，且AB=13，CD=8，BD 为两树距离12米，过C 作CE ⊥AB 于E ，则CE=BD=8，AE=AB-CD=6，在直角三角形AEC 中，AC=10米，答：小鸟至少要飞10米．故选C ．12．A解析：A【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k ≠0，所以分k ＞0和k ＜0两种情况讨论．当两函数系数k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【详解】分两种情况讨论：①当k ＞0时，y =kx ﹣3与y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；②当k ＜0时，y =kx ﹣3与y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A 符合要求．故选A ．本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．13．B解析：B【解析】【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【详解】解：A、a：d=c：b⇒ab=cd，故正确；B、a：b=c：d⇒ad=bc，故错误；C、d：a=b：c⇒dc=ab，故正确；D、a：c=d：b⇒ab=cd，故正确．故选B．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．14．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．15．C解析：C【解析】【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．二、填空题16．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三解析：9332+．【解析】【详解】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△P AB是等边三角形，∴∠P AH=60°.∴根据锐角三角函数，得3∴OB3∴S△POB=12OB•PH933+.17．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k的值【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以解析：32 k=-【解析】【分析】将点的坐标代入，可以得到-1=212k+，然后解方程，便可以得到k的值．∵反比例函数y＝21kx+的图象经过点（2，-1），∴-1=21 2 k+∴k＝− 32；故答案为k＝−32．【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答18．【解析】【分析】认真审题根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短分别求出PBOBOAAB的长度利用△PBM∽△ABO即可求出本题的答案【详解】解：如图过点P作PM⊥AB则：∠PMB=90°当PM⊥解析：28 5【解析】【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB 的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，22345+=，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴PB PM AB AO=，即：754PM =，所以可得：PM=285．19．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y随x的增大而增大∵A（-4y1）B（-1y2）解析：y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解答本题．详解：∵反比例函数y=-4x，-4＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵A（-4，y1），B（-1，y2）是反比例函数y=-4x图象上的两个点，-4＜-1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．20．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似解析：4或9．【解析】当△ADP∽△ACB时，需有AP ADAB AC=，∴6128AP=，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有AP ADAC AB=，∴6812AP=，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．21．【解析】【分析】根据勾股定理可得OA的长根据正弦是对边比斜边可得答案【详解】如图由勾股定理得：OA==2sin∠1=故答案为【解析】【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．【详解】如图，由勾股定理，得：OA=22OB AB+=2．sin∠1=32ABOA=，故答案为32．22．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O连接OBOC交AB于D∴OC⊥ABBD=AB由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm解析：10【解析】【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD=12 AB，由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，∴r2=36+（r﹣2）2，∴r=10cm，故答案为10．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．23．【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B利用同角的余弦得结论解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高线∴CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠解析：4 5【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B，利用同角的余弦得结论．解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠ACD=∠B，∴cos∠ACD=cos∠B=BCAB=810=45，故答案为：4 5 .24．7【解析】设树的高度为m由相似可得解得所以树的高度为7m 解析：7【解析】设树的高度为x m，由相似可得6157262x+==，解得7x=，所以树的高度为7m25．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3解析：3【解析】∵a c eb d f===k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，故答案为：3.三、解答题26．(1)见解析 (2)△ABD∽△ACE【解析】分析：（1）由∠BAD=∠CAE易得∠BAC=∠DAE，这样结合∠ABC=∠ADE，即可得到△ABC∽△ADE．（2）由（1）中结论易得AB ACAD AE=，从而可得：AB ADAC AE=，这样结合∠BAD=∠CAE即可得到△ABD∽△ACE了．详解；（1）∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAC=∠DAE ，∵∠ABC=∠ADE ，∴△ABC ∽△ADE ．（2）△ABD ∽△ACE ，理由如下：由（1）可知△ABC ∽△ADE ， ∴AB AC AD AE =， ∴AB AD AC AE=， 又∵∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE ．点睛：这是一道考查“相似三角形的判定与性质的题目”，熟悉“相似三角形的判定定理和性质”是解答本题的关键.27．（1）见解析；（2）能，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；（2）根据第一问可得到AD ：AE=AC ：AB ，有一组公共角∠A ，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．【详解】()1证明：ACD ABE ∽．证明：∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，∴90ADC AEB ∠=∠=．∵A A ∠=∠，∴ACD ABE ∽．()2若将D ，E 连接起来，则AED 与ABC 能相似吗？说说你的理由．∵ACD ABE ∽，∴::AD AE AC AB =．∴AD:AC=AE:AB∵A A ∠=∠，∴AED ABC ∽．【点睛】 考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.28．（1）BF ＝6；（2）∠OAD ＝30°．【解析】【分析】（1）如图1中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ．利用勾股定理求出AM ，证明四边形AMBF 是平行四边形即可解决问题；（2）如图2中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ，设AD 交CM 于J ．证明AO ⊥CM ．推出∠OAD ＝∠BCM ，解直角三角形求出∠BCM 即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ．∵CM 是直径，∴∠CAM ＝∠CBM ＝90°，∵CM ＝10，AC ＝8，∴AM ＝22CM AC -＝22108-＝6，∵AD ⊥CB ，BE ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠MBC ＝90°，∠BEC ＝∠MAC ＝90°，∴AD ∥BM ，AM ∥BE ，∴四边形AMBF 是平行四边形，∴BF ＝AM ＝6．（2）如图2中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ，设AD 交CM 于J ．由（1）可知四边形AMBF 是平行四边形，∴AM ＝BF ，AF ＝BM∵AC ＝BF ，∴AC ＝AM ，∵∠MAC ＝90°，MO ＝OC ，∴AO ⊥CM ，∵AD ⊥BC ，∴∠AOJ ＝∠CDJ ＝90°，∵∠AJO ＝∠CJD ，∴∠DCJ ＝∠JAO ，∵AF ＝OA ，AF ＝BM ，∴OA ＝BM ，∴CM ＝2BM ，∵∠CBM ＝90°，∴sin ∠BCM ＝BM CM ＝12， ∴∠BCM ＝30°，∴∠OAD ＝∠BCM ＝30°．【点睛】 本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊四边形解决问题．29．（1）参见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD 长．【详解】（1）∵∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A （公共角），∴△ABD ∽△ACB ；（2）由（1）知：△ABD ∽△ACB ，∵相似三角形的对应线段成比例 ，∴AD AB =AB AC ，即46＝64+cD ，解得：CD ＝5．30．（1）()3084{?48(8)x x y x x≤≤=>；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．【解析】【分析】（1）药物燃烧时，设出y 与x 之间的解析式y=k 1x ，把点（8，6）代入即可，从图上读出x 的取值范围；药物燃烧后，设出y 与x 之间的解析式y=2k x，把点（8，6）代入即可； （2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x ；（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x ，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．【详解】解：（1）设药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y=k 1x （k 1＞0）代入（8，6）为6=8k 1∴k 1=34设药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为y=2k x （k 2＞0）代入（8，6）为6=2k 8， ∴k 2=48 ∴药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为3y x 4=（0≤x≤8）药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为48y x=（x ＞8） ∴()30x 84y 48(8)xx x ⎧≤≤⎪⎪⎨=⎪>⎪⎩ （2）结合实际，令48y x =中y≤1.6得x≥30 即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）把y=3代入3y x 4=，得：x=4 把y=3代入48y x =，得：x=16 ∵16﹣4=12所以这次消毒是有效的．【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．。
初三下册数学练习题及解析一、选择题1. 下列哪一个数是无理数？A. √16B. -√9C. -√25D. -√4解析：A选项：√16=4，是有理数；B选项：-√9=-3，是有理数；C选项：-√25=-5，是有理数；D选项：-√4=-2，是有理数。
因此，选项A、B、C、D都是有理数，答案为无理数，故选其他选项。
2. 若a:b=2:3，且a=8，则b等于多少？A. 9B. 10C. 12D. 18解析：由题目可得，a:b=2:3，又已知a=8，代入可得8:b=2:3，即8/b=2/3，求解可得b=12。
因此，答案选项C为正确答案。
3. 填空：已知2x+3=7，则x的值为__________。
解析：将已知条件代入方程，可得2x+3=7，解得2x=4，进一步解得x=2。
所以x的值为2。
二、解答题1. 解方程：3x+5=17。
解析：移项，将方程变形为3x=12，再将等式两边同时除以3，得到x=4。
所以方程的解为x=4。
2. 求下列各组数的最小公倍数和最大公约数：(1) 6和9(2) 12和18解析：(1) 6和9的最小公倍数是18，最大公约数是3。
(2) 12和18的最小公倍数是36，最大公约数是6。
3. 一桶可乐的容量为2升，小红喝了1/4升，小明喝了1/3升，还剩下多少升可乐？解析：一桶可乐的容量为2升，小红喝了1/4升，小明喝了1/3升，所以总共喝了1/4+1/3=7/12升。
剩下的可乐为2升-7/12升=17/12升，即1又5/12升。
4. 某个正整数a满足a除以3余2，且a除以5余3，求a的最小值。
解析：根据题意可设正整数a=3n+2，且a=5m+3。
经过计算可得n=7，m=2，因此a的最小值为3*7+2=23。
5. 甲、乙两人比赛，甲先走58米，然后双方以相同的速度走，到终点时甲比乙多走2米。
如果甲的速度是乙速度的4倍，求赛道的长度。
解析：设乙的速度为v，则甲的速度为4v。
根据题意可得，(58+2)/(4v-v)=58/v，解得v=5。
