高考数学一轮复习 第十二章 概率 12.2 古典概型与几何概型课件 理 北师大版

第五节古典概型与几何概型扇霾歳議■基础——在批注中理解透 (单纯识记无意楚，深刻理解提能力)1. 古典概型(1) 古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性.(2) 古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为 A ；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A) = m，求出事件A的概率.(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型(2) 几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.(3) 计算公式：构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积*几何概型应用中的关注点1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性［小题查验基础］、判断题(对的打“V” ，错的打“X” )(1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有 限.()(3) 掷一枚硬币两次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面”，这三个事件是等可能事件.()A 中基本事件构成集合 A ,所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为詈f .(答案：(1)X (2)X 二、选填题C. i解析：选D 一枚硬币连掷2次可能出现(正，正卜(反，反)、(正，反)、(反，正)四种 2 1情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P =4=-.2.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的, 超过2分钟的概率是()1.一枚硬币连掷2次, 只有 次出现正面的概率为()解析：选C 试验的全部结果构成的区域长度为 5,所求事件的区域长度为2,故所求2概率为P =-.53.已知四边形 ABCD 为长方形，AB = 2, BC = 1, O 为AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 0的距离大于1的概率为( n A・n nB _ n n D /I —n解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的 2 — nS 阴影2n面积比，即所求概率P = S—= -=1—nS 长方形ABCD 2 4 4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 (4)在古典概型中，如果事件 Dl则他候车时间不解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), 2 1(2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5),共 10 种，故所求概率P =命=5.5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为答案：5 在细解明规律(题目千变总有报，梳干理枝究其本)考点一古典概型［师生共研过关］［典例精析］(1)(2018全国卷n )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30= 7+ 23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )(2)(2019武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次， 得到的点数依次记为a 和b ,则方程ax 2 + bx + 1= 0有实数解的概率是()1 B.1［解析］(1)不超过30的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个 不同的数，共有C% = 45种情况，而和为30的有7+ 23,11 + 19,13+ 17这3种情况，所以所 3 1求概率P =—=—.45 15K a < 6, a € N *,⑵投掷骰子两次，所得的点数 a 和b 满足的关系为* 所以a 和b 的b < 6, b € N ,组合有36种.若方程ax 2+ bx + 1 = 0有实数解， 贝U △= b 2-4a >0，所以 b 2>4a.解析:A.7_ 36C. 19 36P = 1-56.1 1取1,2,3,4 ;当b= 5 时，a 可取1,2,3,4,5,6 ;当b= 6 时，a 可取1,2,3,4,5,6.1911满足条件的组合有19种，则方程ax2+ bx +1=0有实数解的概率P =两［答案］⑴c(2)C［解题技法］1.古典概型的概率求解步骤3.将A , B , C , D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“ A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是()(1)求出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A 包含的所有基本事件的个数m.⑶代入公式2.基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法 (3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题 中基本事件数的探求.(4)运用排列组合知识计算.1.(20佃益阳、 减函数的概率是( ［过关训练］湘潭调研)已知 a € { — 2,0,1,2,3}, b € {3,5}，则函数 f(x)= (a 2— 2)e x + b 为3A — A.103B.3 1 %若函数 f(x)= (a 2— 2)e x + b 为减函数，则 a 2— 2v 0, 又 a € { — 2,0,1,2,3},故只有a = 0, a = 1满足题意，又b € {3,5}，所以函数f(x)= (a 2— 2)e x + b 为减函数的概率是解析：选C2.从分别标有1,2,…，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是4 B.4C "57 D.7解析：选C 由题意得，所求概率 5 X 4X 2 5 P= 9X 8 = 9.f （x ）的图象与 x 轴有公共点的概率等于（2 A — A.15C .3［解析］11 D •亦•/ f(x) =— x 2+ mx + m 的图象与 x 轴有公共点，二 △= m 2+ 4m > 0,「. m < — 4或m >0,二在［—6,9］内取一个实数 m ，函数f （x ）的图象与 x 轴有公共点的概率 P = 琴貴严”故选D. ［答案］D类型（二）与面积有关的几何概型［例2］ （1）（2018潍坊模拟）如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形,2 C.23 DQ（2）（2019洛阳联考）如图，圆O : x 2 + y 2= n 内的正弦曲线 y = sin x 与 x 轴围成的区域记为 M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点 A ,则点 A 落在区域M 内的概率是（A. nn4 B.~3 nC . nnD . nn［解析］（1）设正六边形的中心为点 O , BD 与AC 交于点G , BC = 1,2 2 2BGC = 120° 在厶 BCG 中，由余弦定理得 1= BG + BG — 2BG cos 120°则 BG = CG ,/得 BG = ~33, 所1 1 \[3 V 3 "T 3 \[3 1以 S A BCG = 2XBG X BG X sin 120° = 寸 X 寸X 寸=材,因为 S 六边形 ABCDEF = S A BOC X 6 = ?1 1 %%解析：选B A , B , C , D 4名同学排成一排有 A 4= 24种排法.当A , C 之间是B 时, 4 + 2 1 D 时，有2种排法，所以所求概率P =吒-=£24 4考点二几何概型［全析考法过关［考法全析］类型（一）与长度有关的几何概型（2019濮阳模拟）在［—6,9］内任取一个实数 m ,设f （x ） = — x 2+ mx + m ,则函数有2X 2 = 4种排法，当A , C 之间是 [例1]x 1X 1 x Sin 60。

高考总复习：古典概型与几何概型【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。

3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。

如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P =)(。

所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n=求值。

5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。

利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。

知识点二、几何概型1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。

满足以上条件的试验称为几何概型。

2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。

3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。

所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。

1 15
关闭
解析
答案
-15考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混
(2)(2015辽宁鞍山一模)现有5双不同号码的鞋,从中任意取出4只, 则恰好只能配出一双的概率为 .
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4 2 1 总的基本事件数为C10 =210,恰有两只成双的取法是C1 ·C ·C 4 2· 5 C1 2 =120. 120 4 故从中任意取出 4 只 , 则恰好只能配出一双的概率 P= = . 4 210 7
关闭
7
解析
答案
-16考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混
考点2古典概型的交汇问题(多维探究) 类型一 古典概型与平面向量的交汇 例2连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向 π 量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈ ) 0, 的概率是( 2
5 A. 12 1 B. 2 7 C. 12 5 D. 6
1 C1 10 C 5
B C2 15
=
10×5 15×7
=
10 21
.
解析
关闭
答案
-7-
1 2 3 4 5
3.(2015河北保定一模)在边长为4的正方形ABCD内任取一点M, 则∠AMB>90°的概率为( )
π A. 8 π C. 4 π B.18 π D.14
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如图,正方形的边长为 4,图中白色区域是以 AB 为直径的半圆,当 M 落在半圆内时,∠AMB>90°,所以使∠AMB>90°的概率 P=
关闭
依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)共 有 6×6=36 个,其中满足直线 ax+by=0 与圆(x-2)2+y2=2 有公共点,即 2������ 满足 2 2 ≤ √2,a2≤b2 的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6), 共 6+5+4+3+2+1= 21 种,因此所求的概率等于

【分析】首先弄清基本事件的个数,而且每个基本事
件m 发生的概率是相等的,可以用古典概型概率公式P(A)=
n=
事件A包含的基本事件数 试验的基本事件总数
求解.
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【解析】 (1)先后抛掷两次骰子的基本事件总数如下表:
1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3
(3,1)
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弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解 决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问 题的关键.古典概型要求所有结果出现的可能性都相等， 强调所有结果中每一结果出现的概率都相同.
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把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为x. (1)求出x的可能取值情况（即全体基本事件）; (2)下列事件由哪些基本事件组成（用x的取值回答）:
①x的取值为2的倍数（记为事件A）； ②x的取值大于3（记为事件B）; ③x的取值不超过2(记为事件C); ④x的取值是质数(记为事件D). (3)判断上述事件是否为古典概型，并求其概率.
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(1) 1,2,3,4,5,6.
(2)①事件A为2,4,6.②事件B为4,5,6.③事件C为1,2.④事
学案2 古典概型与几何概型
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考点1 考点2 考点3 考点4
考纲解读
1.古典 概型
(1)理解古典概型及其概率计算公式.
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事 件发生的概率.
2.随机 数与几 何概型
(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. (2)了解几何概型的意义.