5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(2)教案

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
33 5 4、 sin( ) ， cos ， 0 65 13 2 ，求 sin 的值 2
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第五章 三角比
练习一
ex1 、 已知 tan 2，求 sin( 2

3
ex 2、 若为第三象限角且 sin
43 3 sin( 2 ) 10 24 3
)．

ex 3、 已知 tan(

4
，求 tan ． 25 2 4
tan 3 4 cot 2 3 x
) 2，求 cot 2． 2
x ex 4、 已知 sin x : cos 4 : 5，求 tan ． 2 4 x 5 21 tan 4 2 4 3 ex 5、 若 sin , cos , 求是第几象限角？ 2 5 2 5 是第三象限的角
练习二
2 4 1 1、求值： cos cos cos ． 7 7 7 8 3 6 2、已知 sin A cos A ， A ，求 tan A． 2 13 4 2 3 A 2 5 3、在 ABC 中，已知 cos A ，求 sin ． 5 2 5 3 4、已知 sin ，且 Ⅱ，判断 2所在象限． 5 2 Ⅳ 1 5、若 ，且 sin 2 ，求 cos sin ． 4 2 4 3 2

3.2.2半角的正弦余弦和正切（－）教学目标1知识目标：会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简2能力目标：会灵活运用公式进行推导变形3情感目标灵活运用公式化繁为简（二）教学重点，难点重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明难点是用公式求值（三）教学方法引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习二倍角公式，提出问题，并引出新课让学生默写二倍角公式，让学生思考二倍角公式的实质？学生练习求sin1200Cos1200tan1200。

老师提出问题学生思考a可看作哪个角的2倍角？怎样用二倍角公式写出sinacosatana？学生默写以旧引新，注意创设问题的情景，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动公式的推导公式sin2α,cos2α,tan2α的推导，老师启发学生思考有时常用a的三角函数表示2α的三角函数，比如sin2α，cos2α可以用a的哪个三角函数怎样表示？学生推出结论得到cos2α=1cos2α+±sin2α=1cos2α-±tan2α=1cos1cosαα-±+通过设疑使学生学会分析问题，掌握公式的推导过程公式的理解（1）公式有何特点？如何记忆？(2)公式有何用途？老师：公式有何特点？如何记忆？学生回答：老师补充：（1）可以把a看作二倍角来记(2)公式用cosa表示出cos2αsin2αtan2α的三角函数公式前的符号取决于2α所在象限（3）公式可以用来化简，证明，求值引导学生观察，分析，记忆培养学生能力。

强调注意事项。

根据公式特点分析应用公式的应用例1求sin150Cos150,tan150练习：习题3－2 A1练习B，1得规律用根式求值时一般处理办法如下①如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号②如果给出a的具体范围时，则先求出2α所在范围，然后再根据2α所在范围选用符号③如给出的角时某一象限的角时，则根据下表决定符号sin2αcos2αtan2α第一象限第一，三象限＋，－＋，－+第二象限第一，三象限＋，－＋，－+第三象限第二，四象限＋，－－,＋－第四象限第二，四象限＋，－－,＋－通过练习使学生进一步理解公式及其应用，明确公式的用法公式补充例2求证tan2α＝sin1cosαα+＝1cossinαα-老师引导学生证明得到结论。

授课主题二倍角教学目标1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．3．正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明．4．理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用．教学内容1．二倍角的正弦、余弦、正切公式在公式sin()α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中，令β＝α，得到sin 2α＝2sin αcos α，这就是二倍角的正弦公式；在公式cos()α＋β＝cos αcos β－sin αsin β中，令β＝α，得到cos 2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；在公式tan()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中，令β＝α，得到tan 2α＝2tan α1－tan2α，这就是二倍角的正切公式．注意: tan 2α＝2tan α1－tan2α这个公式，因为要使tan 2α，tan α有意义，即2α≠π2＋kπ且α≠π2＋kπ(k∈Z)还有1－tan2α≠0即tan α≠±1从而推出α≠π4＋kπ(k∈Z)综上所述α≠π4＋kπ2且α≠π2＋kπ(k∈Z)而公式S2α、C2α中，角α可以是任意角．2．二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角，α3是α6的二倍角等等．又如α＝2×α2，α2＝2×α4，…，α2n＝2×α2n＋1等等．(2)当α＝kπ＋π2()k∈Z时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sinπ3≠2sinπ6.(4)公式的逆用变形:升幂公式：1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2，1±sin 2α＝()sin α±cos α2.降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.3．公式汇总二倍角公式:sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2，1±sin 2α＝()sin α±cos α2. 降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.半角公式:sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.根号前的正负号，由角α2所在象限确定．题型一 二倍角公式的简单应用例1 已知tan α2＝2，求：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值．分析：本题考查二倍角公式以及弦化切方法的简单应用． 解析：(1)∵tan α2＝2，∴ tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×21－4＝－43，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－43＋11＋43＝－17. (2)由(1)知， tan α＝－43，∴6sin α＋cos α3sin α－2cos α＝6tan α＋13tan α－2＝6⎝⎛⎭⎫－43＋13⎝⎛⎭⎫－43－2＝76.点评：二倍角是两个角间的相对关系.2x 是x 的二倍角x 是x 2的二倍角.x 2是x4的二倍角．巩 固 (1)已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求sin 2α，cos 2α，tan 2α之值．(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan xtan 2x 的值为________． 解析：(1)∵cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132＝－513， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－1213＝120169，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－5132＝119169， tan 2α＝sin 2αcos 2α＝120119.(2) 49题型二 利用二倍角公式化简与求值 例2 已知sin θ＋cos θ＝22，0＜θ＜3π4，求sin 2θ，cos 2θ的值． 解析：∵0＜sin θ＋cos θ＝22＜1，且0＜θ＜3π4， ∴π2＜θ＜3π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 将sin θ＋cos θ＝22，两边平方得sin 2θ＝－12， ∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32. 点评：注意利用(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ的关系解题．巩 固 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解析：方法一 (1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 方法二 由题意得22cos x ＋22sin x ＝210，即cos x ＋sin x ＝15. 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45或sin x ＝－35.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.题型三 利用二倍角公式化简与证明例3 已知tan 2β＝tan 2α＋1cos 2α.求证：cos 2α－2cos 2β＝1.分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它们的关系． 证明：∵1＋tan 2β＝1＋tan 2α＋1cos 2α，∴1cos 2β＝2cos 2α，∴cos 2α＝2cos 2β， ∴1＋cos 2α2＝1＋cos 2β， ∴1＋cos 2α＝2＋2cos 2β， ∴cos 2α－2cos 2β＝1.点评： 有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左右两边的三角函数式的区别与联系，灵活使用条件变形即可得证． 巩 固 求证：()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1sin 2x＝tan x 2.分析：本题考查利用二倍角公式证明．①直接利用二倍角公式将原式化为x2的三角函数形式；②首先看分母，利用“1”与三角函数的关系，将已知条件化简后再向右边靠近．证明：证法一()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1sin 2x＝⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2sin 2x＝4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos x 2－sin x 2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 2sin 2x＝4sin 2x 2cos x 2sin x cos x ＝sin 2x 2sin x 2cos x 2＝sinx2cos x 2＝tan x2. 证法二()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1sin 2x＝()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1()sin x ＋cos x 2－1＝()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1()sin x ＋cos x ＋1()sin x ＋cos x －1＝sin x －cos x ＋1sin x ＋cos x ＋1＝2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 22sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2＝sinx 2cosx 2＝tan x2.点评： 无条件的等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．不论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明的突破口．题型四 二倍角公式与其他知识的综合问题例4 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan α与tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，求α＋β. 分析：本题考查三角函数公式在方程中的应用问题．利用韦达定理求得根与系数的关系代入求解是常用方法之一．解析：由韦达定理有⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴－π<α＋β<0， ∴α＋β＝－2π3.巩 固 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，当截取的矩形的长和宽与半圆的半径之比为多少时，所截矩形的面积最大？解析：如右图所示，设∠AOB ＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为R ，则面积最大的矩形ABCD 必内接于半圆O ，且两边长分别为|AB |＝R sin θ， |DA |＝2|OA |＝2R cos θ. 则这个矩形的面积为S 矩形ABCD ＝|AB |·|DA |＝R sin θ·2R cos θ＝R 2sin 2θ.所以，当sin 2θ＝1(θ为锐角)，即θ＝45°时，矩形ABCD 的面积取得最大值R 2. 即当这个矩形的长和宽与半圆的半径的比是2∶1∶2时，所截矩形的面积最大． 题型五 倍角公式的变形与应用例5 已知cos α＝－35，且180°<α<270°，求tan α2的值．分析：本题可直接利用公式tan α2＝±1－cos α1＋cos α来解，也可由cos α＝－35解出sin α，再根据公式tan α2＝1－cos αsin α或tan α2＝sin α1＋cos α求解．对第一种解法，要注意符号的选择．解析：方法一 ∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°，即角α2是第二象限角，∴tan α2<0，故tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 方法二 ∵180°<α<270°，即角α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， 故tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－35－45＝－2.或tan α2＝sin α1＋cos α＝－451－35＝－2.点评：两种解法有异曲同工之妙，用半角公式来解题，尤其要注意角的取值范围对符号的影响．第二种解法实际也对符号进行了确定，只不过转移至sin α了．巩 固 已知3π2<α<2π，试化简1＋sin α－1－sin α.分析：本题是一个根式，要想化简，根据化简的基本思想，需要消去根式，联想恒等式1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22可以帮助求解．解析：∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π，从而有sin α2＋cos α2<0，sin α2－cos α2>0.∴1＋sin α－1－sin α＝⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2－⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2＋cos α2－sin α2＝－2sin α2. 巩 固 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ分析：半角公式、倍角公式的灵活运用．证明：证法一 原式＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝sin θ2cos θ2＋cosθ2sin θ2＝1cos θ2sinθ2＝2sin θ.证法二 原式＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ.题型六 两角和与差公式的变形与应用例6 已知锐角α，β满足条件cos 2α－cos 2β＝cos 2()α－β－32，求α－β的值．分析：已知等式的左边是2α和2β的余弦函数差，右边是α－β的二倍角函数，要求α－β的值，考虑先求出α－β的某个三角函数值，把已知等式左边用和差化积公式，右边用二倍角公式化开，就会出现α－β的三角函数，然后再化简求值．解析：∵cos 2α－cos 2β＝cos 2()α－β－32，∴－2sin ()α＋βsin ()α－β＝1－2sin 2()α－β－32，即2sin 2()α－β－2sin ()α＋βsin ()α－β＋12＝0，2[sin 2()α－β－sin ()α＋βsin ()α－β＋14sin 2()α＋β]＋12－12sin 2()α＋β＝0，∴2[sin ()α－β－12sin ()α＋β]2＋12cos 2()α＋β＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos ()α＋β＝0，sin ()α－β－12sin ()α＋β＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin ()α＋β＝1，sin ()α－β－12sin ()α＋β＝0. 则sin ()α－β＝12，又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2，∴α－β＝π6.点评：由已知条件求值类的题目我们一般先找出所求与已知的联系，再用适当的方法求解，此题中所求为α－β的值，故我们在已知等式左右两边想办法凑出与α－β有关的三角函数来．等式的左边要凑出与α－β有关的三角函数，很自然的应该想到和差化积公式，所以熟练运用公式是快速解题的关键．巩 固 求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x.分析：从消除恒等式左右两边的差异入手，将右边的角x,2x 凑成3x 2，x 2的形式，注意到x ＝3x 2－x 2，2x ＝3x 2＋x2.证明：右边＝2sin x cos x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cos x 2＝tan 3x 2－tan x2＝左边．A 组1．若sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角解析：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425<0， cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝⎛⎭⎫－352－⎝⎛⎭⎫452＝－725<0， ∴角α是第三象限角．故选C. 答案：C2．设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α的值是________．分析：由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 33．sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：原式＝12sin 40°cos 310°＝sin 40°2cos ()270°＋40°＝sin 40°2sin 40°＝12.故选A.答案：A4．直接应用二倍角的正弦、余弦、正切公式求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°； (2)cos 215°－sin 215°； (3)2tan 15°1－tan 215°. 解析：(1)sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝14.(2)cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.(3)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. B 组1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( )A ．π B.π2 C.π4 D ．2π解析：∵y ＝cos 2x ，∴函数的最小正周期T ＝π.故选A. 答案：A2．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果是( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2 α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.故选B.答案：B3．化简sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的结果是( )A.12sin 2xB.12cos 2x C ．－12cos 2x D ．－12si n 2x解析：原式＝⎝⎛⎭⎫sin π4cos x ＋cos π4sin x ⎝⎛⎭⎫sin π4cos x －cos π4sin x ＝⎝⎛⎭⎫22cos x ＋22sin x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x ＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x .故选B. 答案：B4．已知cos α＝－35，且π<α<3π2，则cos α2＝ ( )A.55 B ．－55 C.255 D ．－255解析：∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2＝15.∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2＝－15＝－55.故选B. 答案：B5．当3π<α<4π时，化简1＋cos α2－ 1－cos α2( ) A.2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4 B ．－2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4C.2sin ⎝⎛⎭⎫α2－π4 D ．－2sin ⎝⎛⎭⎫α2－π4 解析： 1＋cos α2－1－cos α2＝cos 2α2－sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪sin α2， ∵3π<α<4π，∴3π2<α2<2π，∴sin α2<0，cos α2>0. ∴原式＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4.故选A. 答案：AC 组1．已知三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝34，则三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：∵sin α＋cos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1＋sin 2α＝916，∴sin 2α＝－716<0， 又α是三角形的一个内角，故α是钝角．故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；解析：f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14. (2)求f (x )的最大值和最小值．解析：f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )＝3cos 2x －1，x ∈R.∵cos x ∈[]－1，1，∴当cos x ＝±1时，f (x )取最大值2；当cos x ＝0时，f (x )取最小值－1.3．已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos 2α的值． 解析：∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，2sin αcos α＝－23，又0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝53， ∴sin α－cos α＝153.∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－153×33＝－53.A 组1．下列各式中恒成立的是( )A ．tan α2＝1－cos αsin αB ．cos 2α2＝1＋cos α2C ．tan α2＝± 1－cos α1＋cos αD ．tan 2α＝2tan α1－tan 2α解析：A.tan α2＝1－cos αsin α不恒成立．恒成立的条件是sin α≠0， C ．tan α2＝±1－cos α1＋cos α不恒成立．恒成立的条件是cos α≠－1， D ．tan 2α＝2tan α1－tan 2α不恒成立．恒成立的条件是tan α≠±1， B 恒成立，故选B.答案：B2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35解析：原式＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.故选B. 答案：B3．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )A ．－cos 1B ．cos 1C.3cos 1 D ．－3cos 1 答案：CB 组1．已知180°＜α＜360°，则cos α2＝( ) A.1＋cos α2 B. 1－cos α2 C ．－ 1＋cos α2D ．－ 1－cos α2 解析：∵90°＜α2＜180°，∴cos α2＝－ 1＋cos α2.答案：C2．将函数y ＝si n 2x 的图象向左平移π4个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝2cos 2x B ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x 解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋co s 2x ＝2cos 2x ，故选A.答案：A3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.故选D. 答案：D4．如果tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么1＋tan α1－tan α的值为( ) A.1316 B.322 C.1322 D.316答案：B5．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79解析：cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－1＋2×19＝－79. 答案：AC 组1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；解析：A ＋C ＝π－B ，A ，B ∈(0，π)⇒sin(A ＋C )＝sin B ＞02sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇔cos A ＝12⇔A ＝π3. (2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析：设BC →＝a ，AC →＝b ，AB →＝c ，则|a |2＝a·a ＝(b －c )·(b －c )＝b ·b ＋c ·c －2b ·c ＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a ＝3⇒b 2＝。

《二倍角的正弦余弦正切公式》教案教案：二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1.理解二倍角的概念，并掌握二倍角的正弦、余弦和正切的定义；2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导方法；3.能够应用二倍角公式解决相关的数学问题。

二、教学内容：1.二倍角的概念和定义；2.二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导；3.二倍角公式的应用。

三、教学步骤：步骤一：引入知识（10分钟）1.引导学生回顾正弦、余弦、正切公式；2.提问：你知道什么是角的二倍角吗？请举个例子。

步骤二：二倍角的概念和定义（10分钟）1.明确角的二倍角的定义：角的二倍角是角度大小是原角的两倍的角；2.引导学生通过几何图形理解二倍角的概念；3.提问学生：如何表示角的二倍角？步骤三：二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导（20分钟）1.讲解二倍角的正弦公式的推导过程：根据正弦的定义，sin2θ = 2sinθcosθ，sinθ = ±√(1 -cos^2(θ))，将sinθ代入sin2θ = 2sinθcosθ的式子中，推导出sin2θ的表达式；2.讲解二倍角的余弦公式的推导过程：根据余弦的定义，cos2θ = cos^2(θ) - sin^2(θ)，将sinθ和cosθ用tan(θ/2)表示，利用三角恒等式cos^2(θ) = 1/(1 +tan^2(θ/2))和sin^2(θ) = tan^2(θ/2)/(1 + tan^2(θ/2))，将cos^2(θ)和sin^2(θ)代入cos2θ = cos^2(θ) - sin^2(θ)的式子中，推导出cos2θ的表达式；3.讲解二倍角的正切公式的推导过程：根据正切的定义，tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2(θ))，将t anθ用sinθ/cosθ表示，化简得到tan2θ的表达式。

步骤四：二倍角公式的应用（30分钟）1.通过例题引导学生理解和应用二倍角公式；2.给学生分发练习题，让学生独立解答并进行讲解、讨论；3.布置作业：完成练习题，总结课堂所学内容。