二倍角的正弦、余弦、正切学案

成都龙泉 刘杰名师工作室

1 必修四 3．1．4 二倍角的正弦、余弦、正切公式

【学习目标】

1.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能说出这些公式的结构特征．

2.会用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的求值、化简、证明．

3.体会化归思想在推导、应用公式中所起的作用．提高同学们观察分析能力、应用意识、数学素养．

【学习重点】二倍角公式的推导及其应用．

【难点提示】灵活二倍角公式的推导及其应用．

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材第128-131相结合进行自主学习、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.本节课型属于“公式法则课”，则需要同学们在学习过程中定要弄清公式的产生、推导、运用，并进一步挖掘拓展，弄清公式特征、联系、记忆方法、深度运用.

【学习过程】 一、学习准备

前面我们学习了三角函数及相关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题和做好学习新课的情感准备：

（1）同角三角函数关系式为 、 ，运用时需注意些什么？

（2）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

)cos( ，)cos( ，

)sin( ，)sin( ，

tan() ( ， ， )， 三角

函数

任意角

弧度制 任意角

三角函数

诱导公式 三角函数

图像性质 任意角

概念 象限角

轴上角 任意角

三角函数概念 三角函数值所在象限的符号 同终边角的表示法 弧度制与角度制相互转换 诱导公式（一） 三角函数

线 同角三角函数关系式 扇形弧

长与面

积公式

诱导公式（二） 诱导公式（三） 诱导公式（四） 诱导公式（五） 诱导公式（六） 正、余弦

的图像 正、余弦

的性质 正切图像与性质

两角和与差的正弦

、余弦、正切公式 待定

两角差的余弦公式 两角和与差的正、余弦、正切公式 待定 待定 待定 待定 知识网络再现

正、余弦型图象变换 三角函数简单运用 成都龙泉 刘杰名师工作室

2 tan() ( ， ， )，

以上几组公式各有哪些特征？有何联系？如何记忆？有易混点吗？这些公式中各有几个量？有哪些运用方式？公式使用范围是什么？

二、学习探究

前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式.那么，同学们自然就要问由前面这些公式还能得到哪些公式呢？如：当上面这些公式中角时，这些公式变成怎样？请同学们探究一下吧！

探究：

归纳概括

（2S）

（2C）

（2T）

快乐体验 1.已知sin0.8,(0,),sin2cos2tan2.2求、、的值

解：

2.已知11tan,tan,.73求tan(+2)的值

解：

3.求下列各式的值：22(1)sin15cos15_____;(2)cossin______;88

22tan22.5(3)_______;(4)2cos22.51______.1tan22.5

解后反思 （1）以上三题的题型怎样？怎样求解的？各有几种解？有易错点吗？

（2）通过对正弦、余弦、正切的倍角公式的探究、推导、体验，你有哪些感悟？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？

挖掘拓展 （1）以上三组公式2S、2C、2T还有其它形式吗？如：

在公式2C中，可以要求结果仅含的正弦（或余弦）吗？请同学们再度探究，并填空：

从而三个倍角公式中的2C又增加两种重

要形式. 我们把以上这些公式叫做倍角公式.

你怎样理解“倍角”的含义呢？（链接1）

（2）这些公式各有何特征？公式的作用在哪里？你怎样记忆这些公式？（链接2）

（3）你从这些公式的推导中体会到了什么数学思想?这些公式有哪些运用方式？有哪些变形？ 2sin

2cos

2tan

2cos

2cos

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3 如：你还能写出公式2C的变形式吗？请填空：2cos ，2sin ，

2cos1 ，2cos1 .

（4）这些公式的适用范围在哪里？如：在公式2T中 且2 ，为什么？

对任意角，下列三个式子sin22sin、cos22cos、tan22tan成立吗？

三．典例赏析

例1.教材第133页例5，请同学们审题后独立解答，再与书上对比，优化解题过程．

解：

解后反思 本题条件给出了2的正弦值，4是2的二倍角，该题的题型怎样？解本题用了哪些公式？先求的什么？有易错点吗？

变式练习 教材P135页练习的第1、2题（可做在书上）.

例2.教材第133~134页例6，请认真审读题目后，先独立解答，再参阅与对比教材的解题过程.

解：

解后反思 该题的题型如何？你的解答与教材的解答谁更好？你在解答中注意到了本题的隐含条件吗？你对BA22与BA,之间关系有几种看法？你想到了几种不同解法？教材两种解法本质上有区别吗？ 解答的关键点、易错点在哪里？你能变式吗？（链接3）

变式练习 （2006年高考辽宁卷）已知等腰ABC△的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（ ）

Ａ32 Ｂ3 Ｃ158 Ｄ157

例3（2007年高考四川卷）已知0,1413)cos(,71cos且<<<2,

（1）求2tan的值． （2）求．

解：

解后反思 解本题用了三角恒等变形的哪些公式？怎样使用这些公式使问题的解答简捷规范的？

变式练习 （2010年高考湖南卷）已知函数2()3sin22sinfxxx

（1）求函数()fx的最大值；（2）求函数)(xf的零点集合.

解：

四、学习反思

1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 成都龙泉 刘杰名师工作室

4 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：几个二倍角公式的推导、特征都掌握了吗？都能灵活运用了吗？在运用中有哪些技巧呢？（链接4）

2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？

3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？

五、学习评价

1（2007年高考重庆卷）下列各式中，值为23的是（ ）

A.0015cos15sin2； B.020215sin15cos；C.115sin202；D.020215cos15sin.

2（2010年高考陕西卷）对于函数,cossin2)(xxxf下列选项中正确的是（ ）

A． )(xf在)2,4(上是递增的 B． )(xf的图象关于原点对称

C． )(xf的最小正周期为2 D． )(xf的最大值为2

3.求下列各式的值：（1）8cos212；（2）0010cos310sin1

解：

4.求证tan2cos2sin12cos2sin1.

证：

5（2008年高考四川卷）求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值

解;

6（2006年高考安徽卷）已知40,sin25，

（1）求22sinsin2coscos2的值；（2）求5tan()4的值

解：

7.教材P137习题3.1A组第18、19，B组1、2、3、4.

◆承前启后 本节课我们学习了正弦、余弦、正切的倍角公式，那么三角函数还有哪些变换呢？

【学习链接】链接1. 注意“倍角”的相对性.

链接2. 请回顾在3.1.2中，我们归纳的从哪些方面观察公式的特征；今天我们学习的公式的作用是给出了“单角”与“倍角”之间的三角函数的关系；记忆方法就是抓住公式特征.

链接3. 本题若把求)22tan(BA的值改为求C2tan的值，怎么求？

链接4.在三角变换中，注意几个“异”化为几个“同”，即：化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”，这叫“一致代换”法，是一种重要方法，请用心感悟！