全国高中数学联赛初赛试题及答案201331

2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。

2013年高中数学联赛初赛广东省试题一、填空题（每小题8分，满分64分）1、已知sin cos ,cos sin 2αβαβ==，则22sin cos βα+=_______. 解：0或3.2已知两式平方相加，得2sin 0β=或21cos .4β=222sin cos 2sin βαβ+==0或3.22、不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集为_________. 解：(,1)(2,).-∞-⋃+∞原不等式等价于623(2)(2).x x x x +>+++ 设3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调增.所以，原不等式等价于22()(2)21 2.f x f x x x x x >+⇔>+⇔<->或3、已知错误！未找到引用源。

(错误！未找到引用源。

表示不超过x 的最大整数)，设方程12012{}2013x x -=的两个不同实数解为12,x x ，则2122013()x x ⨯+=__________. 解：2011-.由于1{}[0,1),(0,1)2013x ∈∈，所以112012(1,1).20122012x x ∈-⇒-<< 当102012x -<<时，原方程即21120121201320122013x x x -=+⇒=-； 当102012x ≤<时，原方程即2212012201312013x x x -=⇒=.4、在平面直角坐标系中，设点*(,)(,)A x y x y N ∈，一只虫子从原点O 出发，沿x 轴正方向或y 轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A 的不同路线数目记为(,)f x y . 则(,2)f n =_______.解：1(1)(2).2n n ++ 111(1,2)323,(2,2)634,(3,2)104 5.222f f f ==⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯猜测1(,2)(1)(2)2f n n n =++，可归纳证明.5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点P 到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为___________.解：3或11.分别以三个面两两的交线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.设点P 坐标为(4,5,5)，小球圆心O 坐标为(,,).r r r6、将20132012表示成两个*1()n n N n+∈型分数的乘积的不同方法数是________.（其中ab 与ba 是同一种表示方法）解：24.设,p q 是正整数，满足201311201220132012.20122012p q p p q q ++⨯=⋅⇒=+- 220122013231161503⨯=⨯⨯⨯⨯的正因数的个数为4(12)(11)48+⨯+=.注意到(,)()p q p q ≠与(,)q p 是相同的表示方法，故所求的方法数为24.7、设E 为正方形ABCD 边AB 的中点，分别在边AD 、BC 上任取两点P 、Q ，则∠PEQ 为锐角的概率为__________.解：3ln 4.4- 设正方形边长为1，,AP x BQ y ==.则1()()0.4EP EQ EA AP EB BQ EA EB AP BQ xy ⋅=+⋅+=⋅+⋅=-> 从而，14xy >. 又01,01x y <<<<. 故所求概率为两直线1,1x y ==及曲线14xy =所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比，即1214313ln 41:1.4444x ⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭⎰8、已知实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根，则使得2222()()()a b b c c a ra -+-+-≥成立的正实数r 的最大值为____________.解：max 9.8r =不妨设1a =，方程20x bx c ++=的两实根为12,x x .由韦达定理，1212,.b x x c x x =--=222222()()()(1)()(1)a b b c c a b b c c ∴-+-+-=-+-+-22212121212(1)()(1)x x x x x x x x =++++++-2211222(1)(1)x x x x =++++2212131392[()][()].24248x x =++⋅++≥从而，98r ≤，当1212x x ==-时等号成立.二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）9、已知数列{}n a 的各项均为正数，121,3a a ==，且对任意*n N ∈，都有2122n n n a a a ++=+．问：是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？ 解：在2122n n n a a a ++=+中，令1n =，得37.a = 若存在常数λ使得21n n n a a a λ+++=，则1328.3a a a λλ+=⇒=∵2122n n n a a a ++=+，∴2*112(2,)n n n a a a n n N -+=+≥∈.∴222212111112n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++-++-++-=-⇒+=+.由于0n a >，上式两边同除以1n n a a +，得1121(2).n n n n n n a a a a n a a +-++++=≥所以，21113128.3n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++====即存在常数83λ=，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立.34OM OA OB =+，点N 由34OM OA OB =+，得M点.所以，由椭圆定义有||||2 2.NCND +=11、已知*(,)m n m n N <∈，两个有限正整数集合,A B 满足：||||,||A B n A B m ==⋂=（这里用||X 表示集合X 的元素个数）.平面向量集{,}k u k A B ∈⋃满足1i j i Aj Bu u ∈∈==∑∑. 证明：22||.k k A B u m n ∈⋃≥+∑ 证明：不妨设{1,2,,},{1,2,,2}.A n B n m n m n m ==-+-+-令121221,n m n n n m a a a a a a -++-======== 12 4.n m n m n a a a -+-+====由柯西不等式，注意到212()42().n mii an m m n m -==-+=+∑从而，22212||||.n m k i k A Bi u u m n-∈⋃==≥+∑∑。

2013年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．23ππ+B ．83πC ． 2343ππ+D ．323ππ+2．已知函数)0)(6cos()3sin(2)(>-++=ωπωπωx x x f 的最小正周期为π，则ω的值为（ ） A ． 4B ．2C ．21D ． 41 3．已知函数()([0,1])f x ax b x =+∈，则“20a b +>”是“()0f x >恒成立”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件4．若函数()y f x =图像上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件|| ||y x >，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是 （ ）A ．()1x f x e =-B ．()ln(1)f x x =+C ．()sin f x x =D ．()tan f x x =5.在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为3的概率为( )A ．21 B ．31 C ． 41 D ． 612 22侧（左）视图22 2正（主）视图俯视图二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）6．已知函数)0)(4cos()(>+=A x A x f ωπω在)8,0(π上是减函数，则ω的最大值是 . 7．三棱锥ABC S -中，︒=∠=∠=∠90ACB SAC SAB ，13,2==BC AC ,29=SB .则直线SC 与AB 所成角的余弦值为_____________.8．椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若菱形ABCD 的内切圆半径等于椭圆焦距的66，则椭圆的离心率为 ______． 9．设,a b 为两个非零向量，且2,22a a b =+=，则a b b ++的最大值是 _____ ．10．对于数列{}n a ，如果存在一个数列{}n b ，使得对于任意的n N *∈，都有n n a b ≥，则把{}n b 叫做{}n a 的“弱数列”.设3222n a n n tn t =--+，32524n b n n n =--+，()n N *∈, 且{}n b 是{}n a 的“弱数列”，则实数t 的取值范围是 ． 11．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。

全国高中数学联赛江苏赛区2013年初赛试题答案班级____________ 姓名____________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是____________． 解：方程22210x mx m -+-=的两根为：11x m =-，21x m =+；由题设可得：1214m m ->-⎧⎨+<⎩，解之可得：13m -<<．(点评：本题易让人首先想到“根的分布”，而事实上求出根来，其法也不错！) 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为____________．解：若成两双，则有26C 种取法；若成一双，则先在6双中取1双，再在剩下5双中取两双，每双各取其中1只；故概率为：21211665224121733C C C C C P C +⨯⨯⨯==． (点评：本题是极其经典的排列组合题，仅有一双的取法，必须牢记，还要会举一反三！) 3．设实数x y 、满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是____________． 解：由题意可知：点(, )x y 在圆22:(2)1C x y -+=上，22x y +表示圆C 上的点到原点距离的平方，其最大值为9，最小值为1；所以22x y +的最大值与最小值的差为8． (点评：凡与圆有关的问题，毫不外地要考虑好圆心，还有几何意义！)4．若存在正实数a b 、满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是_______． 解：当1, 2n =时，经过计算，不存在正实数, a b 满足()()n n a bi a bi +=-，当3n =时，取1, 2a b =()()1n n a bi a bi +=-=-，故n 的最小值是3．(点评：本题易让人首先想到“二项式展开”，从一开始，验证！整数问题的“回马枪”．) 5．若ABC ∆的三边AB BC AC 、、成等差数列，则A ∠的取值范围是____________． 解：令ABC ∆的A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、；则由题意可知：2a b c =+；由余弦定理可得：2222223323()4288b c a b c bc b c bcbc bc bc+-+--+==； 因为b c 、是正实数，所以1cos 2A ≥，当且仅当b c =时，等号成立； 由0A π<<，可知：03A π<≤．(点评：绝对的常规题！应该放在第1小题．)6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是____________．解：由11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=可知：110n n a a +--=或130n n a a +-=；因为49a =，所以3a 可能是3，同理2a 可能为1，从而推知1a 可能为0；因此，符合条件的一个数列的前四项可以是0，1，3，9；故所有可能值之积为0． (点评：小题应小做，小题若大做，则上了命题人的当！) 7．已知2()942013f x x x =-+，则6030(()())n f n f n =+=∑___________．解：取值代入可知：(30)93f =，(31)60f =，(32)29f =，(33)0f =；当34, 35, , 60n = 时，()0f n <，从而有()()0f n f n +=； 所以，6030(()())2(936029)364n f n f n =+=⨯++=∑．(点评：数据大的问题，常常是“纸老虎”，分清类别第一重要，各个击破重要手段！)8．设[0, 2]x y π∈、，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ⋅++=-，则x y +的最大值为___________．解：由12sin cos sin cos 2x y x y ⋅++=-，可得：(2sin 1)(2cos 1)0x y ++=；所以1sin 2x =-，或1cos 2y =-；所以有76x π=或116π，此时y 可以取[0, 2]π内的任意值； 或23y π=或43π，此时x 可以取[0, 2]π内的任意值； 所以x y +的最大值为：1123266πππ+=． (点评：平时难得见这类题！思维若呆板，定是要楞一会儿，别人一点拔，啊！我也会嘛！) 9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是平面ABC 上的一个动点，满足P 到平面DAB 、DBC 、DCA 的距离成等差数列，则点P 到平面DCA 距离的最大值是____________．解：记点P 到平面D AB D BC D CA 、、的距离分别为123d d d 、、；则123d d d ++为正四面体ABCD 的高123d d d 、、成等差数列，故点P 到平面DCA 的距离的最大值为（注：此时是极端情形10d =）(点评：绝对的常规题！应该放在第2题，因为想到极端情况，还是有一点意外的！)10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王 现在的年龄是____________．解：设小王现在的年龄是a ，小孙现在的年龄是b ；设a 有m 个数字，b 有n 个数字，由已知得：4m n +=；如果2m <，那么3n ≥，但在31年后，a 是2位数，合起来是5位数，这与题意不符； 由对称性，可知n 也不小于2，从而有2m n ==； 设按题中要求顺序的平方数依次为2x 和2y ，且0x y <<； 则设223131y x =+，即有()()313131101y x y x -+==⨯，所以必有：31y x -=且101y x +=，从而35x =，66y =；由21225x =知，小王现在12岁． (点评：有两个平方数，出现了“差”，x y -与x y +分解且奇偶性相同，就该现脑海中！)二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆222:19x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．解：由22()19x k y -+=与2219x y +=，解得22()0x k x --=，解得：2kx =；将其代入2219x y +=中，得A 点的纵坐标为y =10分因为四边形ABCD 为正方形，根据对称性知：BD AC =，又(3, 0)B k -+，(3, 0)D ，则6BD k =-，AC =；…………………15分所以6k -=，即29(6)(6)(6)k k k -=+-，解得6k =（舍），或245k =； 所以245k =．………………………………………………………………………20分 (点评：虽然中心不在原点的椭圆不是高考内容，但是按抛物线平移规则，不算超纲！)12．如图，梯形ABCD 中，B D 、关于对角线AC 对称的点分别是''B D 、，A C 、关于对角线BD 对称的点分别是''A C 、；证明：四边形''''A B C D 是梯形．证明：如图，B D 、关于对角线AC 对称的点分别是''B D 、，由于AC 是对称轴，轴上的点自身对称，则BD 与''B D 的交点是BD 与AC 的交点O ；………………5分 从而由对称可知：'//'BB DD ， 所以''OB OB OD OD =，同理：''OC OC OA OA =；………………10分 再由梯形可知：//AD BC ， 所以1OB OC BCOD OA AD==≠；………………………15分 从而''1''OB OC OD OA =≠，所以''//''B C A D ，且''''B C A D ≠， 所以四边形''''A B C D 是梯形．………………20分(点评：几何变换是第一次考！！！通常有四大变换：平移、旋转、对称、位似．)13．设实数a b 、满足1012a b ≤≤≤≤；证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-． 证明：将所求不等式改写：2cos 2cos b b a a ππ+≤+；于是可设：()2cos f x x x π=+，问题转化为：“证明：()()f b f a ≤”． 求导得：()2sin f x x ππ'=-，2()cos f x x ππ''=-；当1(0, )2x ∈时，2()cos 0f x x ππ''=-<，当1(, 1)2x ∈时，2()cos 0f x x ππ''=->；所以()f x '在区间1(0, )2上是单调递减函数，在区间1(, 1)2上是单调递增函数；又因为(0)(1)2f f ''==和1()202f π'=-<，所以存在α和β，使得1012αβ<<<<，且()()0f f αβ''==； 当且仅当()x αβ∈、时，()0f x '<；……………………10分 所以函数()f x 在区间[0, ]α和[, 1]β上是单调递增函数，在区间[, ]αβ是单调递减函数；（图像见右）又因为1(0)()(1)12f f f ===，所以对于1[0, ]2x ∈，()1f x ≥；对于1[, 1]2x ∈，()1f x ≤；故当1012a b ≤≤≤≤时，()()f b f a ≤，从而原题得证．………………20分 (点评：相对于高考的内容，这道题是难题，因为平时训练题的思维没有这么深；但是，研究函数值的问题，一定要把握好函数的图像的变化情况，而要想这清楚这个， 二次求导则是自然想到的事．其实，函数就必须从“数与形”方面去思考！)14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一；证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．证明：记正100边形123100A A A A 的外接圆半径为r ；把顶点分为25个点集：4342414{, , , }k k k k A A A A ---，1, 2, 3, , 25k = ； 第个点集之中，4个点染成3色，至少有两点同色， 此两点为端点的劣弧长分别为23505050rr rπππ、、之一；………………………………10分 弧长为23505050rr rπππ、、，且两端同色的弧共有9种； 前10个点集之中至少存在10段此类弧， 因而总有两段弧“同种”，且均在某直径一侧，故此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形．…………………………………20分 (点评：抽屉原理的关键是“造抽屉”，想到用抽屉原理还不一定能做得出不来．这道题实在太完美了，组合三大原理即抽屉原理、容斥原理、极端原理， 考到一个；组合图论思想考到了，组合染色沾到边儿．)。

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ．2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．3．设实数x ，y 满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是 ．4．若存在正实数a ，b 满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．5．若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ．7．已知2()942013f x x x =-+，则()6030()()n f n f n =+=∑ ．8．设x ，[]0,2y π∈，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ++=-，则x y +的最大值为 ．9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是面ABC 上的一个动点，满足P 到面DAB 、DBC 、DCA 的距离成等差数列，则P 到面DCA 距离的最大值是 ．10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆222:19x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．13．设实数,a b 满足0≤a ≤12≤b ≤1，证明：2()b a -≤cos cos a b ππ-．14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．。

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。

2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为 2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。

2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。