用v-t图像巧解多过程匀变速直线运动 曹艳平

江苏省响水中学高中物理教学论文《巧用“v-t ”图像，智取力学难题》力学知识是学习物理的基础，其基本思想贯穿高中物理的每一个章节，是历年高考中进行综合能力考查的一块“热土”，分数比例大，题目难度高。

许多问题因涉及物体多、过程复杂而困扰学生思维，甚至用解析法无法顺利解答，此时如果科学地运用图像分析，则犹如快刀斩乱麻，茅塞顿开，可谓强攻不如智取。

下面例举三题，以飨读者！例1.光滑水平面上有一个静止的木块，枪沿水平方向先后发射两颗质量和速度都相同的子弹，两子弹分别从不同位置穿过木块。

假设两子弹在穿过木块时受到的阻力大小相同，忽略重力和空气阻力的影响，则两颗子弹先后穿过木块的过程中（ ）A ．两颗子弹损失的动能相同B.木块每次增加的动能相同C ．因摩擦而产生的热量相同D.木块每次移动的距离不相同点拨：此题主要考查学生的建模能力和分析能力,难度高。

若用解析法，很难推理出备选答案有关的表达式，其过程显得十分繁琐或束手无策，从而无法完整解答。

若用图像法（简解如下），抓住题目中的关键词“穿过”，建立合适的图像，答案将变得柳暗花明！ 解析：如图1所示，同时画出木块和两颗子弹的V -t 图像，其中图线a 表示第一颗子弹的运动，图线b 表示第二颗子弹的运动，图线c 表示木块的运动。

因为两颗子弹都“穿过”木块，所以穿过过程中子弹和木块的相对位移△L 相等；因为两颗子弹受到的阻力大小相同，所以穿过过程中两颗子弹的加速度相等，木块前后的加速度相等，即图线中有关斜线平行。

由图可见，面积△L 相等，则因摩擦而产生的热量Q = f △L 相同，（C ）答案正确； 又（t 1－0）＜ (t 3－t 2), V 〞＜Vˊ,（V 0－V 〞）＞（V 0－Vˊ），所以两颗子弹损失的动能△E k ˊ＜△Ek〞，（A ）答案错误；又（V 2－V 1）＞（V 1－0），所以木块每次增加的动能△E k1＜△E k2，（B ）答案错误；面积S 2＞S 1，所以（D ）答案正确。

高一物理中v—t图像法的妙用摘要图像法是高中物理中很常用的一种解题方法，它的优点是：简洁直观、思路清晰、运算简单，尤其是在处理运动学中的很多问题上，v-t图像、s-t图像的应用更是非常广泛，但是在本文中，我要用到的v-t图像法不是它的传统运用，而是在处理一类特殊问题中，运用我称之为的“精准图像法”，将之前的v-t图像进一步深化，使其在定量运算中更加简单，收到意想不到的效果.关键词高一物理；v-t图像法例：有甲乙两辆车停在在平直的公路上，甲车在第一段时间内先以加速度a 做匀加速直线运动，紧接着在下一段相等的时间内以加速度2a继续做匀加速运动；乙车在第一段时间内先以加速度2a做匀加速直线运动，紧接着在下一段相等的时间内以加速度a继续做匀加速运动，甲乙辆车运动总时间相同，求两车运动总位移之比？分析：本题属于分段匀变速直线运动，题中没用具体点数据条件，而且所给物理量条件相对隐蔽，用刚学过匀变速直线运动公式的学生，找不到落脚点去套公式，无处下手，学生往往比较害怕；因此需要先通过仔细审题，充分挖掘条件：甲乙辆车都经过了两段相同的时间，时间可以设为t，前后两段甲乙的加速度大小刚好相反，运动总时间又相同，而且题目所求为位移之比而非具体结果，因此用公式法可做如下求解：对于甲车：第一段时间内，位移X1= at2 其末速度V1=at第二段时间内，位移X2=V1t+ 2at2=2 at2 可得X甲= X1+ X2=2.5 at2对于乙车：第一段时间内，位移X1= 2at2=at2 其末速度V2=2at第二段时间内，位移X2=V2t+ at2=2.5 at2 可得X乙= X1+ X2=3.5 at2因此可得：X甲：X乙=5：7现用图像法，简单分析可知：甲乙运动时间相同，加速度对称，速度变化量相同，末速度亦相同，可先在v-t图像上画出坐标格，然后再画出甲乙运动图像如图所示：根据v-t图像的意义，图像与时间轴所围面积即可代表所经过位移，现取图中一个标准坐标格面积为x，则直接观察可得甲车图像OAP与时间轴所围面积为2.5x；乙车图像OBP与时间轴所围面积为3.5x，可直接看出，两辆车位移之比为5：7.本人把该方法取名为“精准作图法”，其优点为：先画出标准的坐标格，在坐标格上做图像，可以直接观察辆车的运动速度和位移，省去繁琐运算，把常规图像法中的求面积变成了数方格，把一道运动学中复杂的公式运算题变成了一道口算题，简洁明了，学生容易接受，也培养了求解匀变速运动类问题的信心；其适用性：适合处理匀变速运动中，有明确物理量或者数据的分段运动，无论是定性分析还是定量运算，都很实用；还可以拓展到追及与相遇问题中的位移确定，都能收到很不错的效果。

V-T图像中匀变速直线运动的一、二、三、四图像是一种语言，是表示规律的一种方法，是研究问题的一种手段。

匀变速直线运动是高中物理中重要运动模型，采用V-T图像可以更加直观地描述其速度和位移的变化规律。

通过V-T图像来说明一个运动（匀变速直线运动）、两个基本式、三个推导式、四个特点，教学过程中采用数形结合加深学生对运动的进一步理解和巩固，也为学生应用V-T图像处理相关问题打下坚实的基础。

1．V-T图像中一条倾斜直线，理解匀变速直线运动的定义匀变速直线运动中“匀”指均匀；“变”指变化，可以是变大也可以是变小；“速”指速度。

因此匀变速直线运动应是速度“均匀变化”的直线运动。

如何才是均匀变化？必须是相同的时间内速度变化相同。

如下图1所示：相同的时间T内速度变化△V1=△V2=△V3，所以匀变速直线运动的图线是一条倾斜的直线。

图线斜向上（如图1）表示匀加速直线运动，图线斜向下则表示匀减速直线运动。

图线斜率k=△V1/T就是其加速度 a=△V1/T，斜率的正负就是加速度的正负，表示加速度的方向。

V-T图像中的一条倾斜直线的斜率是恒定的，匀变速直线运动是加速度恒定不变的直线运动。

2．匀变速直线运动的两个基本式：速度公式和位移公式2．1速度公式的推导若已知匀变速直线运动的初速度V0，和加速度a，则经过时间t后的速度V t。

由图2可知V t= V0+△V，又因为a=k=△V/t，△V=at，所以V t= V0+at。

若t为变量则V t为应变量，即V t= V0+at为图线的数学表达式，表示V t随时间t的变化规律。

2.2位移公式的推导若已知匀变速直线运动的初速度V0和加速度a，则经过时间t后的位移x。

通过微元法可以得到V-T图像中图线、时间轴和两时刻线所围成的几何图形（梯形）的面积就是该时间内的位移。

梯形可以分成一个矩形和一个三角形。

矩形面积为V0t，三角形面积为=，所以改时间内的位移可以表示为x=V0t+。

当时间t为自变量时，则x为应变量，该表达式可以描述位移x随时间t 的变化规律。

用v —t 图象巧解高考题图象在物理中应用十分广泛，它能形象地表达物理规律，能直接地描述物理过程，能鲜明地表示物理量之间的依赖关系。

从近几年高考命题特点来看，直线运动一直是重要的命题题材，这类题型能很好地考查学生运用匀变速运动规律和牛顿运动定律的能力，近三年高考计算题中也经常出现这种题型。

这类题中物体的运动情况比拟复杂，假设能灵活地运用速度—时间图象对解题会很有帮助。

下面以六道高考题为例阐述速度—时间图象的应用。

1．〔 2005年全国I 〕原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地。

从开始蹬地到离地是加速过程〔视为匀加速〕加速过程中重心上升的距离称为“加速距离〞。

离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度〞。

现有如下数据：人原地上跳的“加速距离〞d 1＝0.50m ，“竖直高度〞h 1＝1.0m ；跳蚤原地上跳的“加速距离〞d 2＝0.00080m ，“竖直高度〞h 2＝0.10m 。

假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离〞仍为0.50m ，如此人上跳的“竖直高度〞是多少？解析：假设假想人具有和跳蚤一样的加速度，人和跳蚤都是先做初速度为零的匀加速运动〔加速度一样〕，离地后做竖直上抛运动到最高点,人和跳蚤的v —t 图象如图１所示。

图中的两个三角形相似，人和跳蚤原地上跳的“加速距离〞和“竖直高度〞 对应图中三角形的面积，设人上跳的“竖直高度〞为H ，由相似比有，212d d h H =，即212d d h H =2.〔2006年全国Ⅱ〕一质量为m ＝40kg 的小孩子站在电梯内的体重计上。

电梯从t ＝0时刻由静止开始上升，在0到6s 内体重计示数F 的变化如下列图。

试问：在这段时间内电梯上升的高 度是多少？取重力加速度g ＝10m/s 2。

解析：由图可知，在t =0到t =t 1=2s 的时间内，体重计的示数大于mg ，故电梯应做向上的加速运动。

设这段时间内体重计作用于小孩的力为F ，电梯与小孩的加速度为a 1,由牛顿第二定律得F/N 440 400 320 1000 1 2 3 4 5 6 t/sF －mg = m a 1，①v 0= a 1t 1 ②代入数椐解得：v 0=2m/s在2∽5s 的时间内体重计的示数等于mg ,故电梯应做匀速上升运动，在5∽6s 的时间内，体重计的示数小于mg ，故电梯应做向上的减速运动。

巧用V—t图像解决运动学难题作者：袁利娟来源：《课程教育研究》2018年第03期【摘要】教学中经常发现部分学生一遇到运动学问题就会先写出一大堆公式，尝试套公式、碰运气去解题，其实有些题目用公式去解决，反而会更加繁琐，有些题目因条件不足而无法用公式求解。

本文重点讲述如何利用V-t图像的斜率和面积快速的解决运动学的一些难题。

并通过三道例题说明用V-t图像解决问题的简洁、快速。

【关键词】巧用 V-t图像斜率面积【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）03-0159-01在平时的教学中经常发现部分学生一遇到运动学问题就会先写出一大堆公式，尝试套公式、碰运气去解题，其实有些题目用公式去解决，反而会更加繁琐，有些题目因条件不足而无法用公式求解。

而且在高考物理中，物理图像被作为重点考查的对象，原因很简单，因为它可以直观的反映物理量间的关系，又能考查学生观察能力、综合分析能力、知识迁移能力等等。

比如V-t图像就非常直观的反映了速度V和时间t之间的关系，同时也达到了考查学生能力的目的。

因此熟练掌握、灵活应用V-t图像，可以让一些原本很复杂的运动学问题的求解变得简单明了，运用V-t图像解题，首先要搞清楚图像的意义：图像代表速度随时间的变化规律；图像上某点的切线的斜率代表对应时刻的物体加速度，斜率的正负代表加速度方向，斜率的大小代表加速度大小；图像与坐标轴围成的面积大小代表物体位移的大小；两图像的交点仅表示这时刻两物体的速度相同。

下面我们用例题来看看用V-t图像可以怎样化繁为简。

【例题1】甲、乙、丙三辆汽车在笔直的马路上，以相同的速度同时经过某一个路标，之后甲车一直匀速运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相等，则（）A.甲车先通过下一个路标B.乙车先通过下一个路标C.丙车先通过下一个路标D.条件不足，无法判断解析：本题一般学生首先想到的方法是用运动学公式联立求解，但题目中一个字母都没有，要设大量字母出来表示物理量，加速度都有四个，所以很麻烦，很多学生吓坏了，其实用运动学图像可以很快很方便的解决这个难题。

妙用v—t图象破解学匀变速运动规律之难作者：纪希弟来源：《中学物理·高中》2014年第04期初、高中物理衔接台阶的跨度之大应为众学科之首.新课改之前新高一学生在第一次单元考试近八成不及格（我校为省一级示范校，生源质量为全市最好），新课改之后中、高考难度同时下调，还是没有降低衔接台阶的跨度，同时面临初中数学难度也下调，三角知识中正余弦定理要求不高，但在高中物理尤显重要，一定程度也加剧学生畏难情绪.教材编者也注意到初高中物理衔接问题，进行多次调整.上世纪90年代出版的试验本教材中，把几何光学的知识调为高中物理的第一章知识，初高中这部分知识变化不是太大，易于衔接（本部分知识需1个多月的教学，为高中物理所需数学知识储备赢得时间），可惜这样调整破坏了高中物理的知识体系的完整性；进入21世纪新课改以来，教材变化最大就是采用模块式，供不同类型的高中学生使用，最常见有五种版本：人教版、社科版、沪科版、粤科版、司南版（鲁科版）等，各版本教材在编写过程都尽最大努力地降低衔接的跨度，采用图文并茂、版块多样等让学生喜爱的方式，一定程度上缓解学生“抵触”的情绪.针对每一章节知识，教材也都下了苦功去钻研，所编写的教材在知识内容表达上比较通俗易懂，学生自行学习时也能够理解，但与课程标准、考试说明的要求相比有所脱节，总体表现出学生能够“听明白，想明白”，但答题时又做不来.为了更好地突破这一“怪圈”，教师在备课时、研讨时着重从初高中已有知识体系去调整，教材提供的是一种教学参考建议，并不是“紧箍咒”，目的是能够帮助学生系统地掌握知识，并灵活运动知识解决问题.对这五版本的教材在匀变速直线运动规律呈现方式进行比较，都是先通过推导得出“数学”关系式，然后通过例题示范如何运用相关规律解决问题，最后呈现v-t图象，作为规律运用一条途径或方法.如司南版必修Ⅰ中“匀变速直线运动的位移变化规律”是这样描述的“在匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，匀变速直线运动的平均速度=v0+vt2，将上式代入位移公式，有s=t=v0+vt2t，再将匀变速直线运动的速度公式vt=v0+at代入上面的位移公式，可得s=v0t+12at2”.学生学完之后首先对平均速度等于初、末速度和的一半表示不太能够接受，虽然我们可以通过举数据来说明，但总是有所缺憾，以至于到了高三总复习时，不分运动模型直接把初、末速度和的一半作为平均速度的学生所占比例不少，足见入学的第一眼的印象是太深刻，即便后来花大代价去纠正也无济于事.笔者改变这章节教学顺序，妙用速度-时间图象，演绎得出匀变速直线运动规律，通过几届实践这个改变取得较好效果，供同行商榷.1学生已储备的数学知识首先向学生或初中数学老师了解数学图象知识，已经掌握了横纵坐标、标度、图象规律（截距、斜率、拐点、表达式）等意义，而且还学会如何求出或写出相关表达式.如图1，在xOy二维直角坐标系中一条倾斜直线，表明函数y随自变数x线性增加（或均匀增加，反倾斜则为均匀减小）；截距表示该图线与纵（或横）坐标交点的坐标；斜率表示该图线倾斜程度，用图线与横轴夹角（图示小于90°，反倾斜大于90°）的正切值表示，可通过如图的直角三角形求得k=ΔyΔx；该图线的数学表达式可写成y=kx+b，其中k表示图线的斜率（图示倾斜为正值，反倾斜为负值），b表示纵轴截距.2匀速直线运动的速度随时间变化规律匀速直线运动教学时，学生学习重点之一就是通过v-t图象来掌握如何运用图象来描述物体的运动规律，反映出物体运动速度随时间的变化规律（学生在初中时已经学过匀速直线运动的速度-时间图象），要突破图象中的“面积”意义，由匀速直线运动的位移公式s=vt知，图2中“阴影面积”即表示物体在时间t内通过的位移s，注意的是此“面积”非是数学几何中的面积.为日后学习加速度、匀变速直线运动规律做好铺垫.3匀变速直线运动的速度随时间变化规律顺势给出如图3所示的v-t图象，留时间给学生思考.学生从图中能够获取如下信息：（1）物体运动速度v随时间t均匀增加（第一象限若为反向倾斜直线则物体运动速度随时间均匀减小），进而得出在v-t图象中为一条倾斜直线，则物体速度随时间均匀变化，此运动称为匀变速直线运动.（2）该图线斜率为ΔvΔt，表示物体速度变化率，或物体速度变化快慢，物理学上用a表示此斜率（即a=ΔvΔt），称为加速度.实践表明，由此引出加速度比教材为了表述速度变化快慢直接引入新物理量（类比速度的引入）更能让学生准确掌握，更好理解加速度的物理意义.（3）学习加速度之后，给出图4中甲、乙、丙、丁四个v-t图象，留时间给学生思考、讨论：如何快速准确判断物体是加速还是减速？经过思考、讨论，学生会得出图甲、丙为加速，图乙、丁为减速，给出解答的理由是：图甲速度v>0、斜率a>0，图丙速度v0、斜率a0，都是v、a反向，表明物体速度在减小.进一步引导学生能够顺利借助逻辑，分析得出一般规律：在直线运动中，当加速度与速度同向时，物体运动速度增大，做加速运动；当加速度与速度反向时，物体运动速度减小，做减速运动.（4）学生根据图象（类似数学）写出表达式：v=kt+b，进一步引导学生：纵轴（速度）截距表示t=0时刻的速度用v0表示，斜率为加速度用a表示，t时刻的速度用vt表示，则匀变速直线运动的速度公式为：vt=v0+at，适用条件必为匀变速直线运动.4匀变速直线运动的位移变化规律根据匀速运动的v-t图象的“面积”表示这段时间内物体通过的位移，如图5所示的匀变速直线运动的速度时间图象，图线与横、纵坐标轴围成几何形状的“面积”是否还表示时间t内通过的位移呢？根据“分割累加法”（实质上是微积分的思想，采用逼近法或极限法），每一个时段，物体近似以某一速度做匀速运动，则在这时段所对应的位移在数值上等于这段时段对应的“矩形面积”，划分越细越接近真实运动.当时段足够小时，设想的运动便等于真实运动，“矩形面积”之和便等于“梯形面积”.司南版教材在拓展一步中介绍此方法，实际上，提前向学生介绍此方法（针对此方法的名称的要求不过于严谨即可，笔者称之为“分割累加法”），学生是能够接受的.（1）匀变速直线运动的位移公式：s=v0+vt2t.（2）也可在“梯形”中作一条平行横轴的辅助线，由一个“矩形”和一个“直角三角形”组成，则匀变速直线运动的位移公式可写成另一种形式s=v0t+12at2.5匀变速直线运动规律的一些推论5.1一段时间中间时刻的瞬时速度等于初、末速度和的一半设这段时间从0～t，中间时刻为t/2，对应的瞬时速度为v1/2.由梯形的中位线定理（中位线等于上、下底和的一半）可知：匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度为vt/2=v0+vt2.图7中“梯形面积”等于以vt/2的速度做匀速运动在时间t内的“矩形面积”，表明中间时刻的瞬时速度也等于这段时间内的平均速度.5.2相邻相等的时间内位移之差为一恒量如图8，在横轴上取相同时间间隔T，作出相应时间内的“梯形”，则“梯形面积”为时间T 内的位移.相邻两个相等时间T内的位移差Δs，为图中有颜色的“平行四边形面积”，每个“平行四边形”的竖直边代表Δv=aT，对应边的高为T.相邻相等的时间内位移之差为一恒量，数值上为“图中有颜色的平行四边形面积”，表达式为Δs=aT2.进一步拓展为第3个时间T内与第1个时间T内位移差为2aT2，第4个时间T内与第2个时间T内位移差也为2aT2；一般有第m个时间T内的位移与第n个时间T内的位移之差为（m-m）aT2.5.3初速为零的匀加速直线运动，相邻相等时间内位移之比为1∶3∶5∶7∶…如图9，在横轴上取相同时间间隔T，作出相应时间内的“梯形”，则“梯形面积”为时间T 内的位移.由于初速度为零，第1个“梯形”变为“直角三角形”.图中每个小“三角形”的面积相等，第1个时间T内为1个三角形，第2个时间T内为3个三角形，第3个时间T内为5个三角形，第4个时间T内为7个三角形，依此类推，第n个时间T内为2n-1个三角形，对应时间内物体通过位移即为“三角形面积”之和.初速为零的匀加速直线运动，相邻相等时间内的位移之比为：sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sn∶=1∶3∶5∶…∶（2n-1）.当时新课教学之后，课堂上给出下列一道例题供学生思考、讨论，近八成学生能够给出正确的答案，并说出恰当的理由：通过作出该物体的速度-时间图象，并辅助一条匀变速直线运动的倾斜直线加以解决.例一个物体自静止开始做加速度逐渐变大的加速直线运动，经过时间t，末速度为v1，则这段时间内的位移A.xv1t2D.无法确定几届实践以来，无论是高一新课学习还是高三复习，笔者所任教班级学生在运用图象解决实际问题能力比较强，从省、市质检质量分析结果显示，考查匀变速直线运动规律的正确率高于其他任课教师班级近30个百分点，就实效性来看，这样的改变就是成功的.。

用ｖ－ｔ图像巧解高考题
作者：李健华
来源：《考试·高考理科版》2007年第04期
《新课程标准物理考试大纲》（以下简称《新大纲》）对能力考查有明确的要求，其中“应用数学处理物理问题的能力”是五种能力要求之一，《新大纲》是这样叙述这种能力的，“能够根据具体问题列出物理量之间的关系，进行指导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。

”而V-t图像的运用正是考查同学运用数学图像对物体运动的描述能力，新课标也明确提出“经历匀速变速直线运动的实验研究过程，要求能用公式和图像描述匀变速直线运动，体会数学在研究物理问题中的重要性”。

由此看来，新课标与《新大纲》都强调了利用图像解释和分析研究物体运动，下面就利用V-t图像巧解几道高考题加以说明。

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

用v-t图像巧解多过程匀变速直线运动曹艳平图像法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易、化繁为简的目的。

高中物理学习中涉及大量的图像问题，运用图像解题是一种重要的解题方法。

在运用图像解题的过程中，如果能分析有关图像所表达的物理意义，抓住图像的斜率、截距、交点、面积、临界点等几个要点，常常就可以方便、简明、快捷地解题。

在多过程匀变速直线运动问题处理中，学生列表达式是没有问题，但是在解决方程过程中常常会犯一些错，学生感到头疼，而且占用很多时间。

下面通过几个实例，介绍一种运用v-t图像处理多过程的匀变速直线运动，解决结果快而且还很准确。

例：一辆汽车沿着公路做直线运动，汽车的初速度为10m/s，加速时的加速度为2m/s2，减速时的加速度大小为4m/s2，汽车前方71m处有个水坑，问汽车最多能加速几秒？【图像解法】解：题目图像如下图所示：用图像来处理这样的习题也是很麻烦的，关键我们是处理不规则的，用图像处理该题的结果也很麻烦。

我们可以把这图像变成一个三角形来处理就简单多了。

也就是把汽车的初速度变成0，汽车从0加速到10m/s所用时间为5s，位移是25m，我们可以把上边的图像变成一个三角形。

则设加速时间为t1`=t1+5s，减速时间为t2，总位移为x=71m+25m=96m。

这样用补图形的方法更能体现出图像解决问题的重要性和方便之处。

不但能够帮助学生来解决方程的结果，而且还能更好的体现出任何初速度不为0的匀变速直线运动都是初速度为0的匀变速直线运动过程中的一部分。

通过上面的例子，图像法在处理多过程匀变速直线运动的结果时确实很方便，学生可以通过图像更好的看清物体的运动过程。

图像法不是简单掌握的，学生通过长期的训练，才能正确利用图像解决问题，开拓思路，提高能力。

当然在应用图像法解决物理问题的过程中，并非要削弱解析法的应用。